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  • 傅里叶变换性质及证明
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    2021-02-19 22:06:28

    傅里叶变换的性质及证明

    1. 线性性质 F [ α f 1 ( t ) + β f 2 ( t ) ] = α F 1 ( ω ) + β F 2 ( ω ) \qquad F[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)]=\alpha F_1(\omega)+\beta F_2(\omega) F[αf1(t)+βf2(t)]=αF1(ω)+βF2(ω)

    证明:

    F [ α f 1 ( t ) + β f 2 ( t ) ] = ∫ − ∞ + ∞ [ α f 1 ( t ) + β f 2 ( t ) ] e − j w t d t = α ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( t ) e − j w t d t + β ∫ − ∞ + ∞ f 2 ( t ) e − j w t = α F 1 ( ω ) + β F 2 ( ω ) ( 证 毕 ) \begin{aligned} F[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)] &=\int_{-\infty}^{+\infty}[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)]e^{-jwt}dt\\ &=\alpha \int_{-\infty}^{+\infty}f_1(t)e^{-jwt}dt + \beta \int_{-\infty}^{+\infty}f_2(t)e^{-jwt}\\ &=\alpha F_1(\omega)+\beta F_2(\omega)\\ & (证毕) \end{aligned} F[αf1(t)+βf2(t)]=+[αf1(t)+βf2(t)]ejwtdt=α+f1(t)ejwtdt+β+f2(t)ejwt=αF1(ω)+βF2(ω)()

    2. 位移性质 F [ f ( t ± t 0 ) ] = e ± j w t 0 F ( ω ) \qquad F[f(t\pm t_0)]=e^{\pm jwt_0}F(\omega) F[f(t±t0)]=e±jwt0F(ω)

    证明:

    F [ f ( t ± t 0 ) ] = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ± t 0 ) e − j w t d t ( 令 u = t ± t 0 ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( u ) e − j w ( u ∓ t 0 ) d u = e ± j w t 0 ∫ − ∞ + ∞ f ( u ) e − j w u d u = e ± j w t 0 F ( ω ) ( 证 毕 ) \begin{aligned} F[f(t\pm t_0)] &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t\pm t_0)e^{-jwt}dt\qquad(令u=t\pm t_0)\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(u)e^{-jw(u\mp t_0)}du\\ &=e^{\pm jwt_0}\int_{-\infty}^{+\infty}f(u)e^{-jwu}du\\ &=e^{\pm jwt_0}F(\omega)\\ & (证毕) \end{aligned} F[f(t±t0)]=+f(t±t0)ejwtdt(u=t±t0)=+f(u)ejw(ut0)du=e±jwt0+f(u)ejwudu=e±jwt0F(ω)()

    3. 对称性质 F [ f ( − t ) ] = F ( − ω ) \qquad F[f(-t)]=F(-\omega) F[f(t)]=F(ω)

    证明:

    F [ f ( − t ) ] = ∫ − ∞ + ∞ f ( − t ) e − j w t d t ( 令 u = − t ) = ∫ + ∞ − ∞ f ( u ) e − j w ( − u ) d ( − u ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( u ) e − j ( − w ) t d u = F ( − ω ) ( 证 毕 ) \begin{aligned} F[f(-t)] &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(-t)e^{-jwt}dt\qquad(令u=-t)\\ &=\int_{+\infty}^{-\infty}f(u)e^{-jw(-u)}d(-u)\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(u)e^{-j(-w)t}du\\ &=F(-\omega)\\ & (证毕) \end{aligned} F[f(t)]=+f(t)ejwtdt(u=t)=+f(u)ejw(u)d(u)=+f(u)ej(w)tdu=F(ω)()

    4. 尺度性质 F [ f ( a t ) ] = 1 ∣ a ∣ F ( ω a ) ( a ≠ 0 ) \qquad F[f(at)]=\frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})\qquad(a\neq0) F[f(at)]=a1F(aω)(a=0)

    证明:

    F [ f ( a t ) ] = ∫ − ∞ + ∞ f ( a t ) e − j w t d t ( 令 u = a t ) = { ∫ − ∞ + ∞ f ( u ) e − j w u a d u a , a > 0 ∫ + ∞ − ∞ f ( u ) e − j w u a d u a , a < 0 ( 注 意 上 下 限 ) = 1 ∣ a ∣ ∫ − ∞ + ∞ f ( u ) e − j w a u d a = 1 ∣ a ∣ F ( ω a ) ( a ≠ 0 ) ( 证 毕 ) \begin{aligned} F[f(at)] &= \int_{-\infty}^{+\infty}f(at)e^{-jwt}dt\qquad(令u=at)\\ &= \begin{cases} \int_{-\infty}^{+\infty}f(u)e^{-jw\frac{u}{a}}d\frac{u}{a} & ,a>0\\ \int_{+\infty}^{-\infty}f(u)e^{-jw\frac{u}{a}}d\frac{u}{a} & ,a<0\\ \end{cases}\qquad{(注意上下限)}\\ &=\frac{1}{|a|}\int_{-\infty}^{+\infty}f(u)e^{-j\frac{w}{a}u}da\\ &=\frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})\qquad(a\neq0)\\ & (证毕) \end{aligned} F[f(at)]=+f(at)ejwtdt(u=at)={+f(u)ejwaudau+f(u)ejwaudau,a>0,a<0()=a1+f(u)ejawuda=a1F(aω)(a=0)()

    5. 微分性质 F [ f ′ ( t ) ] = j w F ( ω ) \qquad F[f'(t)]=jwF(\omega) F[f(t)]=jwF(ω)

    证明:

    前提:f(x)在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (,+)上连续或只有有限个可去间断点,且 lim ⁡ x → ∞ f ( x ) = 0 \lim\limits_{x\rightarrow\infty} f(x)=0 xlimf(x)=0
    F [ f ′ ( t ) ] = ∫ − ∞ + ∞ f ′ ( t ) e − j w t d t = ∫ − ∞ + ∞ e − j w t d f ( t ) = 0 − ( − j w ) ∫ − ∞ + ∞ e − j w t d t = j w F ( ω ) ( 证 毕 ) \begin{aligned} F[f'(t)] &=\int_{-\infty}^{+\infty}f'(t)e^{-jwt}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-jwt}df(t)\\ &=0-(-jw)\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-jwt}dt\\ &=jwF(\omega)\\ & (证毕) \end{aligned} F[f(t)]=+f(t)ejwtdt=+ejwtdf(t)=0(jw)+ejwtdt=jwF(ω)()

    用数学归纳法易证:当 lim ⁡ x → ∞ f ( k ) ( x ) = 0   ( k = 0 , 1 , … , n − 1 ) 时 , \lim\limits_{x\rightarrow\infty}f^{(k)}(x)=0\ (k=0,1,\dots,n-1)时, xlimf(k)(x)=0 (k=0,1,,n1),
    F [ f ( n ) ( t ) ] = ( j w ) n F ( ω ) F[f^{(n)}(t)]=(jw)^nF(\omega) F[f(n)(t)]=(jw)nF(ω)

    6. 积分性质 F [ ∫ − ∞ t f ( t ) d t ] = 1 j w F ( ω ) \qquad F[\int_{-\infty}^{t}f(t)dt]=\frac{1}{jw}F(\omega) F[tf(t)dt]=jw1F(ω)

    证明:

    前提: lim ⁡ t → + ∞ ∫ − ∞ t f ( t ) d t = 0 \lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\int_{-\infty}^{t}f(t)dt=0 t+limtf(t)dt=0

    令 g ( t ) = ∫ − ∞ t f ( t ) d t , 有 lim ⁡ t → ∞ g ( t ) = 0 \qquad令g(t)=\int_{-\infty}^{t}f(t)dt,\qquad 有\lim\limits_{t\rightarrow\infty}g(t)=0 g(t)=tf(t)dt,tlimg(t)=0
    ∴ F [ g ′ ( t ) ] = j w F [ g ( t ) ] ∵ g ′ ( t ) = f ( t ) ∴ F [ f ( t ) ] = 1 j w F [ g ( t ) ] ( 证 毕 ) \begin{aligned} & \therefore F[g'(t)]=jwF[g(t)]\\ & \because g'(t)=f(t)\\ & \therefore F[f(t)]=\frac{1}{jw}F[g(t)]\\ & (证毕) \end{aligned} F[g(t)]=jwF[g(t)]g(t)=f(t)F[f(t)]=jw1F[g(t)]()

    7. 卷积性质 F [ f ∗ g ] = F ( f ) ⋅ F ( g ) \qquad F[f*g]=F(f)\cdot F(g) F[fg]=F(f)F(g)

    证明:

    F [ f ∗ g ] = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) g ( τ − t ) d t   e − j w τ d τ = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) g ( τ − t ) e − j w ( τ − t ) d τ   e − j w t d t ( 令 u = τ − t ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) g ( u ) e − j w u d u   e − j w t d t = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j w t d t ∫ − ∞ + ∞ g ( u ) e − j w u d u = F ( f ) ⋅ F ( g ) ( 证 毕 ) \begin{aligned} F[f*g] &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(\tau-t)dt\ e^{-jw\tau}d\tau \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(\tau-t)e^{-jw(\tau-t)}d\tau\ e^{-jwt}dt\qquad(令u=\tau-t)\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(u)e^{-jwu}du\ e^{-jwt}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-jwt}dt\int_{-\infty}^{+\infty}g(u)e^{-jwu}du\\ &=F(f)\cdot F(g)\\ & (证毕) \end{aligned} F[fg]=++f(t)g(τt)dt ejwτdτ=++f(t)g(τt)ejw(τt)dτ ejwtdt(u=τt)=++f(t)g(u)ejwudu ejwtdt=+f(t)ejwtdt+g(u)ejwudu=F(f)F(g)()

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    傅里叶变换的性质中,重点关注的就是 时移,频移,奇偶虚实性,下面给出了详细的推导。
    在这里插入图片描述

    1、欢迎大家关注我的微信公众号: xiaoshi_IC,小石谈IC;

    2、2018年4月建号以来,已陆续完成了PCB系列的培训视频的更新,相关PCB设计原创文章的撰写,主要基于Cadence Allegro PCB Design GXL和OrCAD Capture CIS,版本号16.6,基本覆盖了从原理图设计(OrCAD Capture CIS),到出网表(Netlist),以及PCB设计(Allegro PCB Design GXL)的全流程,其中有FPC封装设计培训视频,BGA扇出,区域规则设置,等;

    3、2019年计划,目前在持续更新通信原理,以及verilog数字设计部分(目前针对Xilinx FPGA),主要针对通信系统数字设计,软件无线电设计;

    4、未来计划:逐步完成 IC版图,信号完整性,IC设计,IC后端,这些是作者很感兴趣的部分,未来会不定期更新,也期望有爱好者共同交流;

    5、期望和定位:做开源的、有价值的微电子,电子类公众分享,坚持至少一周一更(目前比较频繁),专注软件无线电,通信算法和工程实现,数字系统设计,不定期放出视频,与大家交流,共同提高,欢迎大家持久关注,订阅,分享,点赞;

    6、B站主页:https://space.bilibili.com/382038930

    知乎主页:https://www.zhihu.com/people/shishu8385

    CSDN主页:https://blog.csdn.net/shishu8385

    Youtube频道:https://www.youtube.com/user/shishu8385

    GitHub主页:https://github.com/shishu8385

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  • 在时域和频域中验证傅立叶变换的线性特性。
  • 常用傅里叶变换及其性质

    千次阅读 2021-03-13 12:38:34
    性质 时域x(t)x(t)x(t) 频域X(ω)X(\omega)X(ω) 定义 x(t)=12π∫−∞∞X(ω)ejωtdωx(t)=\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omegax(t)=2π1​∫−∞∞​X(ω)ejωtdω X(ω)=∫−...
    性质时域 x ( t ) x(t) x(t)频域 X ( ω ) X(\omega) X(ω)
    定义 x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( ω ) e j ω t d ω x(t)=\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega x(t)=2π1X(ω)ejωtdω X ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j ω t d t   = ∣ X ( ω ) ∣ e j ϕ ( ω )   = R e ( ω ) + j I m ( ω ) X(\omega)= \int^\infty_{-\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt\\ \quad \quad\ =\vert X(\omega)\vert e^{j\phi(\omega)}\\ \quad\quad\ =Re(\omega)+jIm(\omega) X(ω)=x(t)ejωtdt =X(ω)ejϕ(ω) =Re(ω)+jIm(ω)
    线性 x 1 ( t ) ⟷ F X 1 ( ω ) x 2 ( t ) ⟷ F X 2 ( ω ) a 1 x 1 ( t ) + a 2 x 2 ( t ) x_1(t)\stackrel{\mathscr{F}}{\longleftrightarrow}X_1(\omega)\\ x_2(t)\stackrel{\mathscr{F}}{\longleftrightarrow}X_2(\omega)\\ a_1x_1(t)+a_2x_2(t) x1(t)FX1(ω)x2(t)FX2(ω)a1x1(t)+a2x2(t) a 1 X 1 ( ω ) + a 2 X 2 ( ω ) a_1X_1(\omega)+a_2X_2(\omega) a1X1(ω)+a2X2(ω)
    奇偶性 x ∗ ( t ) 若 x ( t ) 为 实 函 数 , 即 x ( t ) = x ∗ ( t ) x^*(t)\\ 若x(t)为实函数, 即x(t)=x^*(t) x(t)x(t),x(t)=x(t) X ∗ ( − ω ) X ( ω ) = X ∗ ( − ω ) 或 X ∗ ( ω ) = X ( − ω ) X^*(-\omega)\\ X(\omega)=X^*(-\omega)或X^*(\omega)=X(-\omega) X(ω)X(ω)=X(ω)X(ω)=X(ω)
    对偶性 X ( t ) X(t) X(t) 2 π x ( − ω ) 2\pi x(-\omega) 2πx(ω)
    尺度变换 x ( a t ) a ≠ 0 x(at)\quad a\not=0 x(at)a=0 1 ∣ a ∣ X ( ω a ) \frac{1}{\vert a\vert}X(\frac{\omega}{a}) a1X(aω)
    翻转 x ( − t ) x(-t) x(t) X ( − ω ) X(-\omega) X(ω)
    时移 x ( t ± t 0 ) x ( a t − b ) a ≠ 0 x(t\pm t_0)\\ x(at-b)\quad a\not=0 x(t±t0)x(atb)a=0 e ± j ω t 0 X ( ω ) 1 ∣ a ∣ X ( ω a ) e − j b a ω e^{\pm j\omega t_0}X(\omega)\\ \frac{1}{\vert a\vert}X(\frac{\omega}{a})e^{-j\frac{b}{a}\omega} e±jωt0X(ω)a1X(aω)ejabω
    频移 x ( t ) e ± j ω 0 t x(t)e^{\pm j\omega_0t} x(t)e±jω0t X ( ω ∓ ω 0 ) X(\omega\mp\omega_0) X(ωω0)
    时域微分 d n x ( t ) d t n \frac{d^n x(t)}{dt^n} dtndnx(t) ( j ω ) n X ( ω ) (j\omega)^n X(\omega) (jω)nX(ω)
    时域积分 ∫ − ∞ t x ( τ ) d τ \int^t_{-\infty}x(\tau)d\tau tx(τ)dτ 1 j ω X ( ω ) + π X ( 0 ) δ ( ω ) \frac{1}{j\omega}X(\omega)+\pi X(0)\delta(\omega) jω1X(ω)+πX(0)δ(ω)
    帕斯瓦尔公式 ∫ − ∞ ∞ ∣ x ( t ) ∣ 2 d t \int^\infty_{-\infty}\vert x(t)\vert^2 dt x(t)2dt 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ X ( ω ) ∣ 2 d ω \frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}\vert X(\omega)\vert^2d\omega 2π1X(ω)2dω
    时域卷积 x 1 ( t ) ∗ x 2 ( t ) x_1(t)^*x_2(t) x1(t)x2(t) X 1 ( ω ) X 2 ( ω ) X_1(\omega)X_2(\omega) X1(ω)X2(ω)
    频域卷积 x 1 ( t ) x 2 ( t ) x_1(t)x_2(t) x1(t)x2(t) 1 2 π X 1 ( ω ) ∗ X 2 ( ω ) \frac{1}{2\pi}X_1(\omega)^*X_2(\omega) 2π1X1(ω)X2(ω)
    频域微分 − j t x ( t ) -jtx(t) jtx(t) d X ( ω ) d ω \frac{dX(\omega)}{d\omega} dωdX(ω)
    信号 x ( t ) x(t) x(t)傅里叶变换 X ( ω ) X(\omega) X(ω)
    δ ( t ) \delta(t) δ(t) 1 1 1
    δ ( t − t 0 ) \delta(t-t_0) δ(tt0) e − j ω t 0 e^{-j\omega t_0} ejωt0
    1 1 1 2 π δ ( ω ) 2\pi\delta(\omega) 2πδ(ω)
    u ( t ) u(t) u(t) π δ ( ω ) + 1 j ω \pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega} πδ(ω)+jω1
    s g n ( t ) sgn(t) sgn(t) 2 j ω \frac{2}{j\omega} jω2
    e − a t u ( t ) a > 0 , a ∈ R e^{-at}u(t)\quad a>0,a\in R eatu(t)a>0,aR 1 j ω + a \frac{1}{j\omega+a} jω+a1
    g ( t ) = { 1 ∣ t ∣ < τ 2 0 ∣ t ∣ > τ 2 g(t)=\begin{cases}1\quad &\vert t\vert<\frac{\tau}{2}\\ 0\quad&\vert t\vert>\frac{\tau}{2} \end{cases} g(t)={10t<2τt>2τ τ S a ( ω τ 2 ) \tau Sa(\frac{\omega\tau}{2}) τSa(2ωτ)
    S a ( ω c t ) Sa(\omega_c t) Sa(ωct) π ω c g ( ω ) , g ( ω ) = { 1 ∣ ω ∣ < ω c 0 ∣ ω ∣ > ω c \frac{\pi}{\omega_c}g(\omega),g(\omega)=\begin{cases}1\quad &\vert \omega\vert<\omega_c\\ 0\quad&\vert \omega\vert>\omega_c \end{cases} ωcπg(ω),g(ω)={10ω<ωcω>ωc
    e − a ∣ t ∣ a > 0 e^{-a\vert t\vert}\quad a>0 eata>0 2 a ω 2 + a 2 \frac{2a}{\omega^2+a^2} ω2+a22a
    e − ( a t ) 2 e^{-(at)^2} e(at)2 π a e − ( ω 2 a ) 2 \frac{\sqrt{\pi}}{a}e^{-(\frac{\omega}{2a})^2} aπ e(2aω)2
    e j ω 0 t e^{j\omega_0t} ejω0t 2 π δ ( ω − ω 0 ) 2\pi\delta(\omega-\omega_0) 2πδ(ωω0)
    cos ⁡ ω 0 t \cos\omega_0t cosω0t π [ δ ( ω + ω 0 ) + δ ( ω − ω 0 ) ] \pi[\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0)] π[δ(ω+ω0)+δ(ωω0)]
    sin ⁡ ω 0 t \sin\omega_0t sinω0t j π [ δ ( ω + ω 0 ) − δ ( ω − ω 0 ) ] j\pi[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)] jπ[δ(ω+ω0)δ(ωω0)]
    t e − a t u ( t ) a > 0 , a ∈ R te^{-at}u(t)\quad a>0,a\in R teatu(t)a>0,aR 1 ( j ω + a ) 2 \frac{1}{(j\omega+a)^2} (jω+a)21
    t n − 1 ( n − 1 ) ! e − a t u ( t ) a > 0 , a ∈ R \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}u(t) \quad a>0,a\in R (n1)!tn1eatu(t)a>0,aR 1 ( j ω + a ) n \frac{1}{(j\omega+a)^n} (jω+a)n1
    e − a t cos ⁡ ω 0 t ⋅ u ( t ) a > 0 e^{-at}\cos\omega_0t\cdot u(t)\quad a>0 eatcosω0tu(t)a>0 j ω + a ( j ω + a ) 2 + ω 0 2 \frac{j\omega+a}{(j\omega+a)^2+\omega^2_0} (jω+a)2+ω02jω+a
    e − a t sin ⁡ ω 0 t ⋅ u ( t ) a > 0 e^{-at}\sin\omega_0t\cdot u(t)\quad a>0 eatsinω0tu(t)a>0 ω 0 ( j ω + a ) 2 + ω 0 2 \frac{\omega_0}{(j\omega+a)^2+\omega^2_0} (jω+a)2+ω02ω0
    δ r ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T 0 ) \delta_r(t)=\sum\limits^\infty_{n=-\infty}\delta(t-nT_0) δr(t)=n=δ(tnT0) ω 0 ∑ n = − ∞ ∞ δ ( ω − n ω 0 ) ω = 2 π T 0 \omega_0\sum\limits^\infty_{n=-\infty}\delta(\omega-n\omega_0)\quad\omega=\frac{2\pi}{T_0} ω0n=δ(ωnω0)ω=T02π
    x ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ X ( n ω 0 ) e j n ω 0 t x(t)=\sum\limits^\infty_{n=-\infty}X(n\omega_0)e^{jn\omega_0t} x(t)=n=X(nω0)ejnω0t 2 π ∑ n = − ∞ ∞ X ( n ω 0 ) δ ( ω − n ω 0 ) 2\pi\sum\limits^\infty_{n=-\infty}X(n\omega_0)\delta(\omega-n\omega_0) 2πn=X(nω0)δ(ωnω0)
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  • 傅里叶变换时域积分性质

    千次阅读 2019-01-05 16:51:00
    1.证明3到4使用了变量替换 参考u(t)函数的傅里叶变换。 2. F[ f(t) ]积分表达式中令指数部分的omega等于0,就是F(0)了。 pi F(w) delta(w) = pi F(0) delta(w) 参考g(t)detla(t-t0) = g(t0) ...

    上图的t取的是负数,参考matlab ezplot(heaviside(2-x),[-4,4]) 作图效果

     

    1.证明3到4使用了变量替换 参考u(t)函数的傅里叶变换。

    2. F[ f(t) ]积分表达式中令指数部分的omega等于0,就是F(0)了。

    pi F(w) delta(w)  = pi  F(0) delta(w) 参考g(t)detla(t-t0) =  g(t0) delta(t-t0) 弱相等,当t0=0时,即可

    参考教材P229 性质7.3.4

    F(w) delta(w)考虑到 delta函数只在0点的值是 +inf,看成F(0)

    转载于:https://www.cnblogs.com/wdfrog/p/10225184.html

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    对称性 举例 尺度变换特性 举例 总结 频移特性 频谱搬移 举例 总结 时域微分和积分性 时域微分性 举例
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  • 傅里叶变换使任一信号可以有两种描述形式:时域描述和频域描述。 1. 线性 x1(t)↔FX1(w)x2(t)↔FX2(w) x_1(t)\overset{F}{\leftrightarrow}X_1(w) \\ x_2(t)\overset{F}{\leftrightarrow}X_2(w) x1​(t)↔FX1​(w)x2...
  • 一、傅里叶变换 (FT)二、傅里叶变换(FT)的缺点与短时傅里叶变换(STFT)三、短时傅里叶变换(STFT)的缺点与连续小波变换(CWT)四、连续小波变换(CWT)的缺点与离散小波变换(DWT)源代码:1368069096/From_FT...
  • 离散汉克尔变换(DHT)的先前定义集中在近似于连续汉克尔积分变换的方法上,而不考虑DHT本身的属性。 最近,提出了离散汉克尔变换的理论,该理论遵循与离散傅里叶/连续傅里叶变换相同的路径。 该DHT具有导致可逆性的...
  • 傅里叶变换性质及证明(CTFT)

    万次阅读 多人点赞 2017-11-06 19:28:32
    1.对称性: 2.尺度变化 3.时移 4.频移 5.周期性 周期信号可以写成指数傅里叶级数形式,对两边取傅里叶变换有: 例:对于周期脉冲序列s(t): 其傅里叶系数Fn: 那么s(t)的傅里叶变换为:
  • 深入理解傅里叶变换性质:实函数、卷积、相关、功率谱、频响函数 1实函数傅里叶变换性质 1.1实函数傅里叶变换性质 所以,实函数x(t)的傅里叶变换X(w)的共轭 X*(w)=X(-w) 1.2实偶函数傅里叶变换性质 1.2实...
  • 说到傅里叶变换的基本性质,想必大家都有
  • 第三章:3.7 傅里叶变换性质(一)

    万次阅读 2017-08-26 15:51:11
    线性性质比例变换特性时域的变换和频域的变换有一个相反的对应关系,我们由下面几个图像可以看出对于能量有限的信号可以是有线长度信号也可以是无线长度信号,我们可以通过某些标准定义信号的等效宽度我们取高度与...
  • 一、序列傅里叶变换定义详细分析、 二、证明单位复指数序列正交完备性、 三、序列存在傅里叶变换性质
  • 傅里叶变换(二维离散傅里叶变换)

    万次阅读 多人点赞 2018-06-15 22:22:35
    离散二维傅里叶变换一常用性质: 可分离性、周期性和共轭对称性、平移性、旋转性质、卷积与相关定理;(1)可分离性: 二维离散傅里叶变换DFT可分离性的基本思想是DFT可分离为两次一维DFT。因此可以用通过计算两次...
  • 这时候我们就需要拿出来我们的黑科技——傅里叶变换。一、傅里叶级数的推广当然这东西肯定不是凭空脑补出来的,而是将傅里叶级数进一步推广到非周期函数上。现在已经得到了周期函数的情况,一种很自然的想法就是将非...
  • 了解傅里叶变换性质,对于求解信号的傅里叶变换会有帮助,但是通常来说,可以通过使用EDA工具,如MATLAB等进行仿真求得。这里仅做总结。 傅里叶变换性质: 如果存在信号f(t)f(t)f(t),则其傅里叶变换记为F(jω)F...
  • 第三章:3.7 傅里叶变换性质(二)

    万次阅读 多人点赞 2017-08-27 11:29:55
    如果一个信号为有限长度的信号,那么它导数的积分为0频域微分与积分特性卷积特性根据傅里叶变换的对偶特性,卷积定理分为时域卷积定理和频域卷积定理这两种。时域卷积表明他们对应的傅里叶变换为为乘积关系,频域...
  • 连续时间傅里叶变换的共轭以及共轭对称性在这篇博文中单独拿出来了,下面是傅里叶变换的一些常用性质的简单介绍以及推导。 性质的描述以手稿的形式给出: 线性性质 时移 这个性质说明:信号在时间上移位,并不...
  • 复变函数与积分变换 作 者: 王志勇 编 出版时间:2014 内容简介  本书是参照近年全国高校工科数学教学指导委员会工作会议的意见,结合电子类工科实际编写而成的。内容设计简明,叙述通俗易懂,定位应用和能力培养...
  • [Python图像处理六] :Opencv图像傅里叶变换傅里叶变换原理及实现 一、傅里叶变换 1、傅里叶变换原理 2、自定义傅里叶变换功能函数 3、OpenCV库函数实现傅里叶变换 二、傅里叶变换 1、傅里叶变换原理 2、...

空空如也

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傅里叶积分变换性质

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