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  • 前置知识:微积分、复变函数、傅里叶变换tetradecane:积分变换(2)——连续傅里叶变换​zhuanlan.zhihu.com我们总结一下傅里叶变换有哪些有用的性质。这些性质用傅氏变换的定义式即可证明,教科书上很容易找到。我...

    0e8fee38df6fa127e50272d096bda0f5.png

    学习阶段:大学数学,积分变换。

    前置知识:微积分、复变函数、傅里叶变换

    tetradecane:积分变换(2)——连续傅里叶变换zhuanlan.zhihu.com
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    我们总结一下傅里叶变换有哪些有用的性质。这些性质用傅氏变换的定义式即可证明,教科书上很容易找到。我会换一种方式,用尽可能直观、接近本质的方式来理解这些性质。

    1. 线性性

    为常数,则

    傅里叶变换的本质,就是用各种频率不同的周期函数(频域)线性表示原始函数(时域),必然具有线性性。这与积分的线性性是一致的。

    线性性质可用图1来概括。先变换再求和,与先求和再变换,结果是一致的。

    f9acc3608b17d8df9e10c110bd689206.png
    图1 线性性质概括

    2. 位移性

    为常数,则

    把时域的函数向右平移了

    ,相当于时间起点改到了
    ,那么频域的相位也要相应地退回。分量
    在时刻
    的值
    的值作为起点,因此
    乘上了该量。

    把频域的函数向右平移了

    ,相当于把每个分量
    的频率都减慢为了
    ,那么时间自然要加快以弥补这个变化。对分量
    补乘上
    ,就能还原回原来的频率,因此
    乘上了该量。

    3. 放缩/相似性

    为非零常实数,则

    ,那么
    . 取
    ,则
    ,显然是将每个分量的频率都加快为了原来的两倍。为了抵消这个变化,让
    除以2,但同时分量的系数也成比例变了,如图2所示:

    749a5a7c32895a0693b15a35b5421041.png
    图2 系数成比例变化

    除以
    ,会让分量
    变为
    的同时,其系数也变为了
    倍。因此,最终
    要再除以
    .

    对于上述例子,利用

    函数的放缩性,易得

    4. 对称性

    ,则

    对圆周运动的典型分量

    做两次变换观察一下,如图3所示:

    ad44dbdabb703fd405268f714ae9fb2e.png
    图3 e^(it)做两次傅氏变换

    首先对

    进行各种频率的反向旋转,
    时平均为0,
    时叠加出无穷大,得到
    ,这是第一次变换。再对
    做第二次变换,变换的结果是把每个频率的起点都改为
    ,最终
    时平均为0,
    时叠加出无穷大,正好时域上构成一冲激强度为
    的冲激函数。频域脉冲对应时域圆周,时域脉冲对应频域圆周,这构成了对称性。

    实际上,函数

    既可以用一系列圆周函数
    线性表示为
    ,又可以用一系列冲激函数
    线性表示为
    ,这是两种非常重要的思想。傅氏变换会把圆周
    变为脉冲,脉冲翻转后变为圆周,因此具有
    的关系。大致示意图如图4所示:

    1d02741fc306f548b4ccd03ea49ee459.png
    图4 对称性示意图

    5. 微分关系

    ,只要相关的导数存在,则

    对于复值函数

    的含义是复值速度,其中实部表示沿实轴方向的速度,虚部表示沿虚轴方向的速度。每次对
    求导会让起点逆时针旋转
    并伸缩至
    倍,但不改变频率,如图5所示:

    ac02689a281896c24a4ad8b1176bc245.png
    图5 对e^(iωt)求导

    根据求导公式也容易直接写出

    对t的n阶导数是
    .

    因此

    对t求n阶导时,频谱只需要简单地把每个分量
    乘上
    ,即
    乘上
    .

    求导时,考虑将
    分解为冲激函数,且时域的
    分量对应频域的
    分量。
    求n阶导数得到
    ,那么
    的每个分量
    也只需要简单地乘上
    即可。
    只会在
    时影响到整体的值,故求和之后得到的是
    .

    6. 积分关系

    ,则

    这与微分关系是一致的,取

    即可。

    由于

    ,这个任意常数
    会在频谱中带来一个冲激函数
    ,而
    无意义,因此这个公式不考虑
    的情况。

    7. 帕萨瓦尔(Parseval)定理

    ,则

    这个定理充分体现了

    这些基底在
    内积下的正交性。
    中的一个分量
    分别乘以
    中的每一个分量
    并对
    做积分,在
    时积分结果为0,在
    时积分结果为1. 也就是说,两个函数只有频率相同的分量的系数才会相乘。

    中分量
    的系数近似为
    ,同理
    的系数近似为
    ,那么两者乘积的
    的系数即可近似为
    . 如图6所示:

    f08bae152b16c316ce1e3a4a53efacda.png
    图6 对应点系数相乘

    因为

    算的是
    ,那么
    分量算出的是
    ,最后把所有
    求和并取极限即可得到帕萨瓦尔定理。

    特别地,若取

    ,则可得到

    8. 卷积与卷积定理

    8.1 卷积

    冲激函数的筛选性质

    非常重要,我们称这个运算是
    的卷积。一般地,定义
    卷积(convolution)为

    视第二个函数为冲激函数的线性组合,即

    ,那么它的
    分量的系数可近似为
    ,而
    卷积得到
    ,相当于把
    向右平移了
    个单位。因此,卷积的含义是:
    的起点平移到
    处,就把函数值放缩为原来的
    倍。对于任意的
    ,把所有这些平移且放缩过的
    函数叠加的结果。如图7所示:

    ca99808b8461799fe40d4a9fa799f954.png
    图7 卷积的示意图

    概括来说,卷积就是

    的滑动加权和,权重由
    决定。

    同时,如果只考虑

    的一个冲激函数分量,则在卷积中会生成一个滑动加权的
    ,且由
    控制。也就是说,卷积具有
    交换律。如图8所示:

    4d0122056960f41c0ee60f67c52dfca9.png
    图8 卷积交换律的示意图

    实际上,卷积还满足结合律和分配律,这里不再详述。

    8.2 时域卷积定理

    ,则

    按照8.1节对卷积的理解,将

    拆成各种
    分量,且系数近似为
    . 那么
    对于一个分量的卷积,相当于平移后加权。根据第2节的位移性,易得频谱函数变为
    ,对
    求和就得到了
    .

    8.3 频域卷积定理

    ,则

    这里我们把

    拆成各种
    的分量,且系数近似为
    . 那么
    对于一个分量的卷积,也是平移后加权。根据第2节的位移性,易得时域函数变为
    ,对
    求和就得到了
    .
    展开全文
  • tetradecane:积分变换(1)——傅里叶级数​zhuanlan.zhihu.com傅里叶级数有其局限性。考虑将 区间上的函数 转化为傅里叶级数 ,容易发现而该级数以 为周期,于是会出现图1的情况:图1 傅里叶级数是周期函数因此,...

    757741be6861e9ea830901ff7be973d5.png

    学习阶段:大学数学,积分变换。

    前置知识:微积分、复变函数、傅里叶级数。

    tetradecane:积分变换(1)——傅里叶级数zhuanlan.zhihu.com
    76ce12cf6e620cfc73b9d09c1809b445.png

    傅里叶级数有其局限性。考虑将

    区间上的函数
    转化为傅里叶级数
    ,容易发现而该级数以
    为周期,于是会出现图1的情况:

    3ecbe628ff816b4cfc81ed57df017562.png
    图1 傅里叶级数是周期函数

    因此,对于非周期函数,没有傅里叶级数能在

    的区间上收敛到它。但是,我们可以认为非周期函数是周期无穷大的函数,试着将傅里叶级数中的
    推广到无穷大。

    1. 傅里叶变换

    1.1 推广傅里叶级数到无穷区间

    我们首先对函数

    在区间
    上展开为傅里叶级数得

    考虑让

    ,这样就把
    上的函数
    全部纳入了考虑范围。此时
    可视为相邻频率的周期函数的频率间隔
    ,那么
    可视为连续变化的,记
    . 那么

    如果

    收敛,则
    是个无穷小量。这是可以理解的,因为
    描述的是在区间
    路径的重心,只有分量
    会造成影响。当
    时,造成影响的分量也被稀释掉了。可以想象一卷线圈,匝数非常多,即便线圈的头和尾没有对齐,其重心也基本是在几何中心。

    将上式

    代回到傅里叶级数中,得到

    极限得到

    上式被称为傅里叶积分定理

    1.2 傅里叶变换

    我们记

    在确定

    后,该函数只与给定的频率
    有关,它描述的是
    中分量
    的分布密度。称该函数为
    频谱密度函数(简称为连续频谱频谱)。

    从理解上来说,视

    频率区间中的分量
    频率恒定,它的系数近似为
    . 如图2所示:

    fcb403753e2d3cab82edc066ff7e4b2c.png
    图2 频谱密度的含义

    对任何一个函数

    都可以尝试通过这种操作变为另一个对应的函数
    ,因此这是一个函数的函数,称之为(连续时间)
    傅里叶变换(Fourier Transform, FT)或傅氏变换,记为

    在函数变换中,称

    象函数,称
    象原函数。与傅里叶级数类似,称
    振幅谱
    相位谱

    得到频谱函数后,自然可以把它逆变换回去,即

    称该变换为傅里叶逆变换,记为

    2. 广义傅里叶变换

    2.1 狭义傅里叶变换的局限性

    如果

    是周期函数,它能完整地用傅里叶级数表示,但它反而求不出傅里叶变换。因为它的分量是离散分布的,求不出分布密度。

    例如周期函数

    ,它的离散频谱为
    . 我们试着求它的傅里叶变换:

    这里产生了两个问题:

    ①在

    时,广义积分
    震荡不收敛。

    这个问题比较好解决。规定它的值为

    ,即可与傅里叶级数相容。

    ②在

    时,广义积分
    发散到正无穷大。

    如果我们仅仅是简单地在

    上挖去这些无穷大的点,那么我们会无法区分
    中,分量
    的系数。如果没有这些系数,我们将无法进行逆变换,无法通过
    还原出
    的原貌。

    2.2 单位冲激函数

    为了解决上述问题,我们引入了单位冲激函数,又称狄拉克

    函数
    。这是一个广义函数,并不能由通常的数集映射来定义,必须依赖于积分。广义函数在泛函分析中有详细讨论,这里只简单介绍一下它的直观定义:

    ①对于任意

    满足

    ②满足积分

    .

    显然,

    函数并不能简单地记为
    ,因为这并不能体现性质②,也就无法体现
    的区别。
    函数有许多直观的近似方法,以下举两例:

    ,这是矩形冲激函数(图4红线)的极限状态。

    ,这是
    导函数(图4蓝线)的极限状态。

    0329c807ee44aa79154c212c6cf23f55.png
    图4 δ函数的近似

    容易证明他们满足性质②,且在极限状态下满足性质①。

    通常,在画函数图像时,冲激函数用一箭头表示,并标上它的冲激强度

    的冲激强度就是
    . 图5是一些例子:

    316942212ec1b66af8916992f9a423f0.png
    图5 冲激函数的图示

    函数并不是真实存在的函数,它最初是用来描述物理中的理想模型的,例如质点、点电荷这种没有尺度的模型。关于它们的很多函数只会在图像上有一瞬间的脉冲,用
    函数就能很好地描述。

    以下给出

    函数的一些性质:

    筛选性质

    ②是偶函数,即

    放缩/相似性

    ④是单位阶跃函数

    的导函数。

    2.3 广义傅里叶变换

    利用

    函数,我们就可以把傅里叶级数中的离散频谱数列也表示成傅里叶变换得到的连续频谱函数。涉及到
    函数的傅里叶变换,被称为
    广义傅里叶变换,它能对周期函数进行傅里叶变换。

    首先,我们对

    函数进行傅氏变换,得到

    也就是说,

    均匀地含有各种频率分量且系数相等,称此为
    均匀频谱白色频谱。直观上可以这样理解:只有在
    时各个分量
    齐心协力都为1,叠加得到无穷大;而在
    时各个分量杂乱无章,平均而言就得0.

    那么常数1的傅里叶逆变换应得到

    ,即

    得到了一个十分重要的公式:

    . 换元即可得到
    ,也就是说常数1的连续频谱为
    .

    上述公式也可以通过离散情况的极限来直观得出。如图6所示,积分

    的值仅在
    处为
    ,其他情况均为
    . 而频率间隔
    ,因此它构成一个矩形冲激函数,矩形的面积为
    . 在
    时,自然得到了冲激强度为
    的函数
    .

    2b3b32ab6d2ed978f91d8a8b29a6f2f6.png
    图6 δ函数的重要公式的直观解释

    由此,在2.1节提到的函数

    就可轻易求出其傅里叶变换为

    而且它还能逆变换回去:

    的连续频谱作图得图7:

    b44e7e7b1ffe9b9b0b675dc09b359c7f.png
    图7 e^(it)+2e^(2it)的连续频谱

    立刻可以读出其傅里叶级数的系数分别为1和2. 因此,连续频谱能表示离散频谱,离散频谱能转换为连续频谱,它们是一一对应的。

    附录

    推荐视频:

    【官方双语】形象展示傅里叶变换www.bilibili.com
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    学习阶段:大学数学,积分变换。

    前置知识:微积分、复变函数、傅里叶变换

    tetradecane:积分变换(2)——连续傅里叶变换zhuanlan.zhihu.com
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    我们总结一下傅里叶变换有哪些有用的性质。这些性质用傅氏变换的定义式即可证明,教科书上很容易找到。我会换一种方式,用尽可能直观、接近本质的方式来理解这些性质。

    1. 线性性

    为常数,则

    傅里叶变换的本质,就是用各种频率不同的周期函数(频域)线性表示原始函数(时域),必然具有线性性。这与积分的线性性是一致的。

    线性性质可用图1来概括。先变换再求和,与先求和再变换,结果是一致的。

    e70b91e5e5ebccb925060c2a799fe53c.png
    图1 线性性质概括

    2. 位移性

    为常数,则

    把时域的函数向右平移了

    ,相当于时间起点改到了
    ,那么频域的相位也要相应地退回。分量
    在时刻
    的值
    的值作为起点,因此
    乘上了该量。

    把频域的函数向右平移了

    ,相当于把每个分量
    的频率都减慢为了
    ,那么时间自然要加快以弥补这个变化。对分量
    补乘上
    ,就能还原回原来的频率,因此
    乘上了该量。

    3. 放缩/相似性

    为非零常实数,则

    ,那么
    . 取
    ,则
    ,显然是将每个分量的频率都加快为了原来的两倍。为了抵消这个变化,让
    除以2,但同时分量的系数也成比例变了,如图2所示:

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    图2 系数成比例变化

    除以
    ,会让分量
    变为
    的同时,其系数也变为了
    倍。因此,最终
    要再除以
    .

    对于上述例子,利用

    函数的放缩性,易得

    4. 对称性

    ,则

    对圆周运动的典型分量

    做两次变换观察一下,如图3所示:

    5c7f706578be2619914caca1f9ec3d38.png
    图3 e^(it)做两次傅氏变换

    首先对

    进行各种频率的反向旋转,
    时平均为0,
    时叠加出无穷大,得到
    ,这是第一次变换。再对
    做第二次变换,变换的结果是把每个频率的起点都改为
    ,最终
    时平均为0,
    时叠加出无穷大,正好时域上构成一冲激强度为
    的冲激函数。频域脉冲对应时域圆周,时域脉冲对应频域圆周,这构成了对称性。

    实际上,函数

    既可以用一系列圆周函数
    线性表示为
    ,又可以用一系列冲激函数
    线性表示为
    ,这是两种非常重要的思想。傅氏变换会把圆周
    变为脉冲,脉冲翻转后变为圆周,因此具有
    的关系。大致示意图如图4所示:

    5f88b46893d2e712d4f337d0519eb8c7.png
    图4 对称性示意图

    5. 微分关系

    ,只要相关的导数存在,则

    对于复值函数

    的含义是复值速度,其中实部表示沿实轴方向的速度,虚部表示沿虚轴方向的速度。每次对
    求导会让起点逆时针旋转
    并伸缩至
    倍,但不改变频率,如图5所示:

    1b0aba0b508eb6b9ed56833d33f1c1be.png
    图5 对e^(iωt)求导

    根据求导公式也容易直接写出

    对t的n阶导数是
    .

    因此

    对t求n阶导时,频谱只需要简单地把每个分量
    乘上
    ,即
    乘上
    .

    求导时,考虑将
    分解为冲激函数,且时域的
    分量对应频域的
    分量。
    求n阶导数得到
    ,那么
    的每个分量
    也只需要简单地乘上
    即可。
    只会在
    时影响到整体的值,故求和之后得到的是
    .

    6. 积分关系

    ,则

    这与微分关系是一致的,取

    即可。

    由于

    ,这个任意常数
    会在频谱中带来一个冲激函数
    ,而
    无意义,因此这个公式不考虑
    的情况。

    7. 帕萨瓦尔(Parseval)定理

    ,则

    这个定理充分体现了

    这些基底在
    内积下的正交性。
    中的一个分量
    分别乘以
    中的每一个分量
    并对
    做积分,在
    时积分结果为0,在
    时积分结果为1. 也就是说,两个函数只有频率相同的分量的系数才会相乘。

    中分量
    的系数近似为
    ,同理
    的系数近似为
    ,那么两者乘积的
    的系数即可近似为
    . 如图6所示:

    180f572c26b874144c6a63195304185a.png
    图6 对应点系数相乘

    因为

    算的是
    ,那么
    分量算出的是
    ,最后把所有
    求和并取极限即可得到帕萨瓦尔定理。

    特别地,若取

    ,则可得到

    8. 卷积与卷积定理

    8.1 卷积

    冲激函数的筛选性质

    非常重要,我们称这个运算是
    的卷积。一般地,定义
    卷积(convolution)为

    视第二个函数为冲激函数的线性组合,即

    ,那么它的
    分量的系数可近似为
    ,而
    卷积得到
    ,相当于把
    向右平移了
    个单位。因此,卷积的含义是:
    的起点平移到
    处,就把函数值放缩为原来的
    倍。对于任意的
    ,把所有这些平移且放缩过的
    函数叠加的结果。如图7所示:

    34826fb98eb35ef492a62c275972a7aa.png
    图7 卷积的示意图

    概括来说,卷积就是

    的滑动加权和,权重由
    决定。

    同时,如果只考虑

    的一个冲激函数分量,则在卷积中会生成一个滑动加权的
    ,且由
    控制。也就是说,卷积具有
    交换律。如图8所示:

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    图8 卷积交换律的示意图

    实际上,卷积还满足结合律和分配律,这里不再详述。

    8.2 时域卷积定理

    ,则

    按照8.1节对卷积的理解,将

    拆成各种
    分量,且系数近似为
    . 那么
    对于一个分量的卷积,相当于平移后加权。根据第2节的位移性,易得频谱函数变为
    ,对
    求和就得到了
    .

    8.3 频域卷积定理

    ,则

    这里我们把

    拆成各种
    的分量,且系数近似为
    . 那么
    对于一个分量的卷积,也是平移后加权。根据第2节的位移性,易得时域函数变为
    ,对
    求和就得到了
    .
    展开全文
  • 1.傅里叶变换的定义 上一章我们讨论了傅里叶级数和傅里叶积分,有许多傅里叶积分的特殊形式,我们关注的最多的是傅里叶变换。对于一个任意的复数函数 ,其傅里叶变换为 和 是一对傅里叶变换的变量, 的单位是空域中...

    上一章《傅里叶光学(二)》讲述了傅里叶变换,本章继续探讨傅里叶变换的性质。

    1.傅里叶变换的定义

    上一章我们讨论了傅里叶级数和傅里叶积分,有许多傅里叶积分的特殊形式,我们关注的最多的是傅里叶变换。

    对于一个任意的复数函数

    ,其傅里叶变换为

    是一对傅里叶变换的变量,
    的单位是空域中的单位“1”(空间中的长度单位),
    是单位“1”的倒数(长度的倒数、或者空间频率)。函数
    是空域信号,
    是频域信号,两者是一对傅里叶变换对。傅里叶变换对用以下常用的表示方法:

    傅里叶逆变换:

    2.傅里叶变换的性质

    这一小节阐述傅里叶变换的性质,有些比较简单、直观的推导过程笔者在这里就省去不写了,较为复杂的推导过程会详细的写下。

    2.1 正负性质

    2.2 共轭函数的傅里叶变换

    对于函数

    的共轭
    进行傅里叶变换:

    2.3 实函数、虚函数的傅里叶变换

    • 实数函数(虚部为0)

    两边同时进行傅里叶变换,得到

    ,从该结果得,实函数的傅里叶变换呈现厄密对称(Hermitian symmetry),傅里叶变换的实部是偶函数,虚部是奇函数。
    • 虚数函数(实部为0)

    两边同时进行傅里叶变换,得到

    ,从结果得,傅里叶变换的实部是奇函数,虚部是偶函数。

    2.4 傅里叶变换的傅里叶变换

    如果对傅里叶变换的结果

    再次进行傅里叶变换,那么结果会怎样呢?将变量换成
    ,对
    再次进行一次傅里叶变换:

    结果得到了原函数

    的形式!只不过变量变成了

    这一结论对于有些不方便直接求解傅里叶变换的函数非常好用。比如若要求

    函数的傅里叶变换,直接带入到公式中进行计算非常不方便,但是我们知道
    的傅里叶变换是很容易求的,有:

    那么利用这个性质,

    的傅里叶变换就很容易求了:

    2.5 缩放函数的傅里叶变换

    2.6 函数平移的傅里叶变换

    2.7 调制函数的傅里叶变换

    2.8 周期函数的傅里叶变换

    这个结果的获得用到了在上一章推导的关系

    2.9 导数的傅里叶变换

    进一步可以推广到n次导数:

    利用性质2.4,相似的形式还有:

    3. 基本傅里叶变换对

    更多的傅里叶变换对以及傅里叶变换的性质见下面两张表格。

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    傅里叶变换对

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    傅里叶变换的性质
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傅里叶积分变换性质