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  • 傅里叶系数

    千次阅读 2019-04-02 21:56:54
    正交:向量点积后结果为0则说明两向量正交,比如 a(a1,a2,a3)a(a_1,a_2,a_3)a(a1​,a2​,a3​)与 b(b1,b2,b3)b (b _1,b_2,b_3)b(b1​,b2​,b3​)正交, 即a1b1+a2b2+a3b3=0a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0a1​b1​+a2​b2​+...

    以下均为不严格的,带个人理解的语言描述

    1.三角函数系正交
    正交:向量点积后结果为0则说明两向量正交,比如 a(a1,a2,a3)a(a_1,a_2,a_3)b(b1,b2,b3)b (b _1,b_2,b_3)正交,
    a1b1+a2b2+a3b3=0a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0==>向量点积是对应分量相乘再累加
    书本P116正交定义
    在这里插入图片描述

    ==>三角函数系的正交定义:比如cosx与sinx正交写为Tcosxsinxdx=0\int_{T} cosxsinx dx=0
    可以理解为cosx,sinx在不同点上相乘再累加(积分)
    定理:三角函数中任意三角函数(除本身)正交

    2.既然三角函数彼此正交,那么可以将三角函数看成一个向量空间
    书本P116正交函数集定义
    在这里插入图片描述
    则f(x)周期(2π\pi)(满足狄利克雷条件下)可以拆分成
    fx=a0+a1cosx+b1sinx+a2cos2x+b2sin2x+...ancosnx+bnsinnxf(x)=a_0+a_1cosx+b_1sinx+a_2cos2x+b_2sin2x+...a_ncosnx +b_nsinnx
    (理解为a=ai+bj+ck\vec a=a\vec i+b\vec j+c\vec k)
    物理意义:一个周期函数可以拆分成周期自身整数倍的三角函数线性组合。

    书上P120
    在这里插入图片描述

    注:狄利克雷条件:(1 )在一周期内,连续或只有有限个第一类间断点;(2)在一周期内,极大值和极小值的数目应是有限个;(3)在一周期内,信号是绝对可积的。

    3.系数推导
    方法:消项
    (1).求a0a_0
    如求a0a_0,即将a0a_0之外的全部消掉
    a0a_0是不包含三角函数的系数,而其他都包含,周期都可为2π\pi
    所以只需对整体积分
    ππf(x)dx=ππ(a0+a1cosx+b1sinx+a2cos2x+b2sin2x+...ancosnx)dx\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx=\int_{-\pi}^{\pi}(a_0+a_1cosx+b_1sinx+a_2cos2x+b_2sin2x+...a_ncosnx) dx
    ππf(x)dx=ππa0dx\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx=\int_{-\pi}^{\pi}a_0dx
    a0=12πππf(x)dxa_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx
    (有的地方写a02\frac{a_0}{2}是一样的)

    (2).
    同样方法求an
    方法:消项,三角函数正交
    如求ancosnxa_ncosnx,将f(x)整体乘cosnx,再积分
    ππcosnxf(x)dx=ππ(a0+a1cosx+b1sinx+...ancosnx)cosnxdx\int_{-\pi}^{\pi} cosnxf(x) dx=\int_{-\pi}^{\pi}(a_0+a_1cosx+b_1sinx+...a_ncosnx)cosnx dx
    ππcosnxf(x)dx=ππancos2nxdx\int_{-\pi}^{\pi} cosnxf(x) dx=\int_{-\pi}^{\pi}a_n cos^2nxdx
    ππcosnxf(x)dx=anππcos2nx+12dx\int_{-\pi}^{\pi} cosnxf(x) dx=a_n\int_{-\pi}^{\pi} \frac{cos2nx+1}{2}dx
    ππcosnxf(x)dx=anπ\int_{-\pi}^{\pi} cosnxf(x) dx=a_n\pi
    an=1πππcosnxf(x)dxa_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} cosnxf(x) dx(推毕)

    (3)
    bnb_n推导方法相同

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  • f(t) = t的傅里叶系数

    2019-10-07 14:50:00
    计算机网络课程讲到物理层,布置作业的第一题是求f(t)=t (0≤t≤1)的傅里叶系数。  我们知道任何一个周期函数都可以被傅里叶级数逼近。如果是实值函数,则可以用正弦分量,余弦分量,直流分量来近似。公式如下:$$...

      计算机网络课程讲到物理层,布置作业的第一题是求f(t)=t (0≤t≤1)的傅里叶系数。

      我们知道任何一个周期函数都可以被傅里叶级数逼近。如果是实值函数,则可以用正弦分量,余弦分量,直流分量来近似。公式如下:$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n cosnx+b_n sinnx)$$

      利用正余弦函数的正交性反变换可得到f(x)的系数。本题中认为函数周期是1,进行延拓可以看成是无数个f(t)沿着x轴平移。

      简单计算得$a_0=1$, $a_n=0$, $b_n=-\frac{1}{\pi n}$ 至此题目结束。

      但是我想练习一下最近自己刚刚接触到的numpy和matplotlib,于是动手写了一个python小程序想看看拟合的效果是什么样的。效果图和代码如下。  

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    
    x = np.linspace(0, 1, 100)
    y_ = np.zeros_like(x)
    y = x
    y_ = y_ + 0.5
    for n in range(1, 11):
        y_ = y_ - 1/np.pi/n * np.sin(2*np.pi*x*n)
    
    plt.plot(x, y, label='y=x')
    plt.plot(x, y_, label='approximation')
    
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
    
    plt.title("CFS")
    plt.legend()
    plt.show()
    

     

      代码一直拟合到十阶分量。可看到效果还是不错的,增加x采样点可以增加图像平滑

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  • 傅里叶级数展开及系数项求解

    千次阅读 2019-10-28 19:19:17
    如果一个函数的傅里叶级数处处收敛于 f(x)f(x)f(x),则称这个级数是这个函数的傅里叶展开式,即: f(x)=a02+∑n=1∞an(cos⁡nx+bnsin⁡nx),x∈[−π,π] f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infin}a_{n}(\cos{nx}+b_...

    对于一个周期函数 f(x)f(x): 若满足狄利克雷条件,即在一个周期中,只有有限个第一类间断点以及有限个极值点,则这个函数可以展开成傅里叶级数,若这个傅里叶级数处处收敛于 f(x)f(x),则称这个级数是这个函数的傅里叶展开式,即:
    f(x)=a02+n=1(ancosnx+bnsinnx),x[π,π] f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infin}(a_{n}\cos{nx}+b_{n}\sin{nx}),\quad x\in[-\pi,\pi]
    其中:
    {a0=1πππf(x)dxan=1πππf(x)cosnxdxbn=1πππf(x)sinnxdx \begin{cases} & a_{0}=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)dx \\\\ & a_{n}=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)\cos{nx}dx \\\\ & b_{n}=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)\sin{nx}dx \end{cases}

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  • %2017/8/23日 星期三 ...%思想:由于f(x)是奇函数,所以系数a(k)=0,只有b(k)起作用 clear all close all %输入信号 N = 200; %数据点数 dt = 4/N; % 采样间隔0.02s N*dt = 200*0.02 = 4秒 for n = 1:N %得到方波
    %2017/8/23日  星期三
    %工程北629
    %功能:傅里叶分析——方波的合成——吉伯斯现象
    %思想:由于f(x)是奇函数,所以系数a(k)=0,只有b(k)起作用
    
    clear all
    close all
    
    %输入信号
    N = 200;    %数据点数
    dt = 4/N;   % 采样间隔0.02s    N*dt = 200*0.02 = 4秒
    for n = 1:N  %得到方波    n = 1、2...198、199、200  n*dt = 0.02、0.04...3.96、3.98、4.00
        if(n*dt >= 2)
            x(n) = 0.8;
        else
            x(n) = -0.8;
        end
    end
    
    %信号处理
    a = zeros(1,N);
    b = zeros(1,N);
    nn = floor(N/2) + 1;  % nn = 101
    for k = 0:nn-1   % k = 0、1、2、3、4......98、99、100
        a(k+1) = 0;  %    a(1)、a(2)、a(3)、a(4)......a(99)、a(100)、a(101)
        b(k+1) = 0;  %    b(1)、b(2)、b(3)、b(4)......b(99)、b(100)、b(101)
        for ii = 0:N-1  %0、1、2、3、4......198、199、200
            a(k+1) = a(k+1) + 2/N*x(ii+1)*cos(2*pi*k*ii/N);  %求解傅里叶系数ak
            b(k+1) = b(k+1) + 2/N*x(ii+1)*sin(2*pi*k*ii/N);  %求解傅里叶系数bk
        end
        c(k+1) = sqrt(a(k+1).^2 + b(k+1).^2);                %ck = sqrt(a_k^2+b_k^2)
    end
    
    %输出信号
    figure(1)   %打开第一个绘图窗口,绘制原始信号和分析系数
    subplot(2,1,1),plot((1:N)*dt,x),grid on, hold on;
    plot((1:N)*dt,zeros(1,N),'k'),xlabel('时间/s'),title('原始信号')  %绘制原始信号
    subplot(2,1,2),plot((0:nn-1)/(N*dt),c);title('傅里叶变换'),xlabel('频率/Hz'),ylabel('振幅');  %绘制振幅图,注意横坐标的。
    
    m = input('输入谐波最大阶数:');   %m越大,即k值越大,越接近原始方波
    if(m > floor(N/2) + 1)
        error('谐波最大阶数必须小于Nyquist频率对应的阶数')    %最大输入阶数是101
    end
    if(mod(N,2) ~= 1)a(nn) = a(nn)/2;
    end    %此时b(nn)为0,a(nn)减半
    for ii = 0:N-1      %合成信号
        xx(ii + 1) = a(1)/2;
        for k = 1:m
            xx(ii + 1) = xx(ii +1) + a(k+1)*cos(2*pi*k*ii/N) + b(k + 1)*sin(2*pi*k*ii/N);
        end
    end
    figure(2)      %打开第二个绘图窗口,绘制合成信号
    plot((1:N)*dt,xx,(0:N-1)*dt,x);
    hold on
    plot((1:N)*dt,zeros(1,N),'k'),xlabel('时间/s')    %绘制合成信号和方波图便于比较
    title('合成信号')
    
    %总结:傅里叶分析含有:傅里叶分解和傅里叶合成,编程尝试公式的编写方法。傅里叶级数分解:得到信号中含有哪种频率成分,这些频率对应的振幅是多少(从频域中的幅度谱可以得到时域中该信号的振幅数值。)。

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  • 傅里叶变换

    2018-03-11 19:19:00
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    2019-10-06 04:44:48
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  • 快速傅里叶变换教程

    2020-08-16 22:21:14
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  • 快速傅里叶变换(FFT)和逆快速傅里叶变换(IFFT)

    万次阅读 多人点赞 2019-03-09 01:12:28
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    千次阅读 2017-06-04 20:08:44
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    千次阅读 2013-07-25 16:49:50
    两个次数界为n的多项式A(x)和B(x)相乘,输入输出均采用系数表示法。(假定n为2的幂) 1)使次数界增加一倍:A(x)和B(x)扩充为次数界为2n的多项式,并构造起系数表示 2)求值:两次应用2n阶FFT,计算出A(x...
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    千次阅读 2018-01-24 22:22:49
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傅里叶系数a