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  • 傅立叶系数推导

    2014-07-05 21:07:51
    这是关于如何认识傅立叶数的推导与理解,如果不理解,可以自己边看推导
  • 傅里叶系数推导.pdf

    2019-11-21 10:52:23
    傅里叶系数推导,不错的文档,了解傅里叶,分享一下,谢谢原作者
  • 在上一篇文章中我们推导了一个周期为t的函数的傅立叶级数展开的复数形式: 在这里可以看到,Cn才是决定函数形状的系数,而它本身则是一个复数。从三维的角度来看,如果以频率w为横轴,cn的实部为纵轴,虚部为纵轴,...

    在上一篇文章中我们推导了一个周期为t的函数的傅立叶级数展开的复数形式:
    在这里插入图片描述
    在这里可以看到,Cn才是决定函数形状的系数,而它本身则是一个复数。从三维的角度来看,如果以频率w为横轴,cn的实部为纵轴,虚部为纵轴,在上面绘制cn大概就长这样:
    在这里插入图片描述
    如果我们对cn进行取模,也就是把纵轴变成虚部和实部的平方和开根,那么这幅三维图就变成了一个函数在各种频率下的振幅,也就是传说中的频谱。

    可以看到,傅立叶级数展开的情况下,频率横轴并不是连续的,而是0,w0,2w0,3w0……是一个差值为w0的等差数列。

    而这个差值w=2pi/T,如果当周期T趋近于无穷大时,差值就会越来越小,直到趋近于0,因此,我们的频谱也就从离散变成了连续,我们的横轴就从nw0变成了w。

    现在,让我们把周期趋近∞带入到傅立叶级数中,推导出无穷周期函数的展开,也就是傅立叶变换,看看是什么样子的在这里插入图片描述
    最终我们得到的式子长这样:

    在这里插入图片描述
    把中间这部分积分,也就是画波浪线的这部分,就是傅立叶变换FT。而外面对FT乘e^iwt再积分然后乘1/2pi这部分,就是傅立叶逆变换iFT。

    至此,我们就完成了傅立叶变换的数学推导。

    总结一下,其实整个推导过程,首先利用三角函数的正交性来构建坐标系,用三角函数来组成任意图形,再利用欧拉公式中三角函数和指数的关系,把三角函数替换成复指数形式,最后利用极限思想推导出周期无穷大,也就是非周期函数的变换。并不复杂,抽象能力比较强的同学可以从三维空间去发散想象一下这个变换过程在图形上长什么样。

    最后我们再来谈论一下傅立叶变换的应用,算是杂谈。

    傅立叶变换最主要的作用是滤波。在硬件电路上,一些电信号有一些低振幅的噪音,如果我们对这个信号进行傅立叶变换,找到噪音的频率,然后就可以设计对应截止频率的滤波器了。

    再比如,一个声音信号,我们想要声音变得更尖锐一些,我们可以去除其中的低频信号,加强高频信号,或者将整体的频率都提高一些。

    还有雷达测速,大家可以参考我之前一篇多普勒雷达工程的文章,就是使用快速傅里叶变换找出信号中最大振幅的频率,再换算成对应的速度。

    当然,更复杂一点的应用比如对一个信号和一个系统的脉冲响应做卷积,就可以得到这个信号经过这个系统过后的样子。比如,把一个人的歌声和浴室的脉冲响应做卷积,就可以得到这个人在浴室里唱歌的声音了。这也是自控中非常重要的一个知识点和应用。

    在之后的文章中,我会探讨傅立叶变换的一些性质,而这些性质可以帮助我们大大减少计算量,同时开始慢慢步入到三大变换和各类系统之间的联系。

    展开全文
  • mazonex离散傅立叶变换视频笔记 需要先了解傅里叶变换 周期为2π2\pi2π的函数的复数形式展开(傅里叶级数) 在上一篇文章中part4中提到周期T=2LT=2LT=2L函数的复数形式展开为: f(t)=∑n=−∞∞Cneinωt(1.1) \begin...

    mazonex离散傅立叶变换视频笔记
    需要先了解傅里叶变换推导(FT、IFT)
    本文仅作为笔记,推导思想和图片来自视频

    周期为 2 π 2\pi 2π的函数的复数形式展开(傅里叶级数)

    在上一篇文章中part4中提到周期 T = 2 L T=2L T=2L函数的复数形式展开为:
    f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ C n e i n ω t (1.1) \begin{aligned} f(t) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_{n} e^{i n \omega t} \end{aligned}\tag{1.1} f(t)=n=Cneinωt(1.1)

    其中,
    C n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t d t ω = π L = 2 π T \begin{aligned} &C_{n} =\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-i n \omega t} d t\\ &\omega=\frac{\pi}{L}=\frac{2 \pi}{T}\\ \end{aligned} Cn=T10Tf(t)einωtdtω=Lπ=T2π
    周期为 2 π 2\pi 2π ω = 1 \omega=1 ω=1,并且令 k = n k=n k=n
    f ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ c k e i k t (1.2) \begin{aligned} f(t) &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_{k} e^{i k t} \end{aligned}\tag{1.2} f(t)=k=ckeikt(1.2)

    其中,
    c k = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i k t d t \begin{aligned} &c_{k} =\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-i k t} d t\\ \end{aligned} ck=T10Tf(t)eiktdt

    从连续函数到离散函数

    假定 f ( n ) f(n) f(n) f ( x ) f(x) f(x) 在一个周期内的等距离采样,采样N个点:
    [ f 0 , f 1 , ⋯   , f N − 1 ] \left[f_{0}, f_{1}, \cdots, f_{N-1}\right] [f0,f1,,fN1]
    在这里插入图片描述
    注意上面最后一个采样点不包括 2 π 2\pi 2π,因为 2 π 2\pi 2π属于下一个周期。

    假如取 t = 2 π N t=\frac{2 \pi}{N} t=N2π带入式 ( 1.2 ) (1.2) (1.2)中:
    f 1 = f ( 2 π N ) = ∑ k = − ∞ ∞ c k e k 2 π i N = ⋯ + c − 2 e − 2 2 π i N + c − 1 e − 1 2 π i N + c 0 e 0 2 π i N + c 1 e 1 2 π i N + c 2 e 2 2 π i N + ⋯ + c N − 1 e ( N − 1 ) 2 π i N + c N e N 2 π i N + c N + 1 e ( N + 1 ) 2 π i N + ⋯ (1.3) \begin{aligned} f_{1}&=f\left(\frac{2 \pi}{N}\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_{k} e^{k \frac{2 \pi i}{N}}\\ &=\cdots+c_{-2} e^{-2 \frac{2 \pi i}{N}}+c_{-1} e^{-1 \frac{2 \pi i}{N}}+c_{0} e^{0 \frac{2 \pi i}{N}}+c_{1} e^{1 \frac{2 \pi i}{N}}+c_{2} e^{2 \frac{2 \pi i}{N}}+\cdots\\ &\quad+c_{N-1} e^{(N-1) \frac{2 \pi i}{N}}+c_{N} e^{N \frac{2 \pi i}{N}}+c_{N+1} e^{(N+1) \frac{2 \pi i}{N}}+\cdots \end{aligned}\tag{1.3} f1=f(N2π)=k=ckekN2πi=+c2e2N2πi+c1e1N2πi+c0e0N2πi+c1e1N2πi+c2e2N2πi++cN1e(N1)N2πi+cNeNN2πi+cN+1e(N+1)N2πi+(1.3)


    什么是 e k 2 π i N e^{k \frac{2 \pi i}{N}} ekN2πi
    w = e 2 π i N w=e^{\frac{2 \pi i}{N}} w=eN2πi,则 w k = e k 2 π i N w N = w 0 = 1 w^{k}=e^{k \frac{2 \pi i}{N}} \quad w^{N}=w^{0}=1 wk=ekN2πiwN=w0=1
    在这里插入图片描述

    观察上图发现:
    k = 0 , N , − N , 2 N , − 2 N . . . k=0,N,-N,2N,-2N... k=0,N,N,2N,2N...时, e k 2 π i N = e 0 2 π i N = w 0 = 1 e^{k \frac{2 \pi i}{N}} = e^{0 \frac{2 \pi i}{N}}=w^0=1 ekN2πi=e0N2πi=w0=1
    k = 1 , N + 1 , − N + 1 , 2 N + 1 , − 2 N + 1... k=1,N+1,-N+1,2N+1,-2N+1... k=1,N+1,N+1,2N+1,2N+1...时, e k 2 π i N = e 1 2 π i N = w 1 e^{k \frac{2 \pi i}{N}} = e^{1 \frac{2 \pi i}{N}}=w^1 ekN2πi=e1N2πi=w1

    k = N − 1 , 2 N − 1 , − 1 , 3 N − 1 , − N − 1... k=N-1,2N-1,-1,3N-1,-N-1... k=N1,2N1,1,3N1,N1...时, e k 2 π i N = e ( N − 1 ) 2 π i N = w N − 1 e^{k \frac{2 \pi i}{N}} = e^{(N-1) \frac{2 \pi i}{N}}=w^{N-1} ekN2πi=e(N1)N2πi=wN1

    所以式 ( 1.3 ) (1.3) (1.3)为:
    f 1 = f ( 2 π N ) = ∑ k = − ∞ ∞ c k e k 2 π i N = ( c 0 + c N + c − N + c 2 N + c − 2 N + ⋯   ) w 0 + ( c 1 + c N + 1 + c 2 N + 1 + c − N + 1 + c − 2 N + 1 ⋯   ) w 1 + ( c 2 + c N + 2 + c 2 N + 2 + c − N + 2 + c − 2 N + 2 ⋯   ) w 2 ⋯ + ( c N − 1 + c 2 N − 1 + c 3 N − 1 + c − 1 + c − N − 1 ⋯   ) w N − 1 (1.3) \begin{aligned} f_{1}&=f\left(\frac{2 \pi}{N}\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_{k} e^{k \frac{2 \pi i}{N}}\\ &=\left(c_{0}+c_{N}+c_{-N}+c_{2 N}+c_{-2 N}+\cdots\right) w^{0} \\ &\quad+\left(c_{1}+c_{N+1}+c_{2 N+1}+c_{-N+1}+c_{-2 N+1} \cdots\right) w^{1} \\ &\quad+\left(c_{2}+c_{N+2}+c_{2 N+2}+c_{-N+2}+c_{-2 N+2} \cdots\right) w^{2} \\ &\quad\quad \cdots \\ &\quad+\left(c_{N-1}+c_{2 N-1}+c_{3 N-1}+c_{-1}+c_{-N-1} \cdots\right) w^{N-1} \end{aligned}\tag{1.3} f1=f(N2π)=k=ckekN2πi=(c0+cN+cN+c2N+c2N+)w0+(c1+cN+1+c2N+1+cN+1+c2N+1)w1+(c2+cN+2+c2N+2+cN+2+c2N+2)w2+(cN1+c2N1+c3N1+c1+cN1)wN1(1.3)

    结论: f ( 2 π N ) f\left(\frac{2 \pi}{N}\right) f(N2π) 的函数值, 只需要 N N N 个基就能得到,不需要无穷多个基, 只要得
    到这 N N N 个基的 N N N 个系数就可以。

    假如取 t = 2 2 π N t=2\frac{2 \pi}{N} t=2N2π带入式 ( 1.2 ) (1.2) (1.2)中:

    可得:

    f 2 = f ( 2 2 π N ) = ( c 0 + c N + c − N + c 2 N + c − 2 N + ⋯   ) w 0 + ( c 1 + c N + 1 + c 2 N + 1 + c − N + 1 + c − 2 N + 1 ⋯   ) w 2 + ( c 2 + c N + 2 + c 2 N + 2 + c − N + 2 + c − 2 N + 2 ⋯   ) w 4 ⋯ + ( c N − 1 + c 2 N − 1 + c 3 N − 1 + c − 1 + c − N − 1 ⋯   ) w 2 ( N − 1 ) (1.4) \begin{aligned} f_{2}=&f\left(2 \frac{2 \pi}{N}\right)=\left(c_{0}+c_{N}+c_{-N}+c_{2 N}+c_{-2 N}+\cdots\right) w^{0} \\ &+\left(c_{1}+c_{N+1}+c_{2 N+1}+c_{-N+1}+c_{-2 N+1} \cdots\right) w^{2} \\ &+\left(c_{2}+c_{N+2}+c_{2 N+2}+c_{-N+2}+c_{-2 N+2} \cdots\right) w^{4} \\ & \cdots \\ &+\left(c_{N-1}+c_{2 N-1}+c_{3 N-1}+c_{-1}+c_{-N-1} \cdots\right) w^{2(N-1)} \end{aligned}\tag{1.4} f2=f(2N2π)=(c0+cN+cN+c2N+c2N+)w0+(c1+cN+1+c2N+1+cN+1+c2N+1)w2+(c2+cN+2+c2N+2+cN+2+c2N+2)w4+(cN1+c2N1+c3N1+c1+cN1)w2(N1)(1.4)
    同理可以求得 x = 0 2 π N , x = 2 2 π N , 3 2 π N . . . ( N − 1 ) 2 π N x=0\frac{2 \pi}{N},x=2\frac{2 \pi}{N},3\frac{2 \pi}{N}...(N-1)\frac{2 \pi}{N} x=0N2π,x=2N2π,3N2π...(N1)N2π f ( x ) f(x) f(x)的展开形式。

    小结:
    w k w^{k} wk 对任何整数 k k k,都对应 w 0 , w 1 , ⋯   , w N − 1 w^{0}, w^{1}, \cdots, w^{N-1} w0,w1,,wN1 中的一个
    在这里插入图片描述
    所以上图中离散采样的8个点,都可以只用 w 0 , w 1 , ⋯   , w N − 1 w^{0}, w^{1}, \cdots, w^{N-1} w0,w1,,wN1 这8个基来表示。
    f 0 , f 1 , ⋯   , f N − 1 f_{0}, f_{1}, \cdots, f_{N-1} f0,f1,,fN1 w 0 , w 1 , ⋯   , w N − 1 w^{0}, w^{1}, \cdots, w^{N-1} w0,w1,,wN1是已知,把括号中当做未知数,那么8个方程可以解得8个未知数。

    此外假设傅里叶变换展开系数只包含 c 0 , c 1 , ⋯   , c N − 1 c_{0}, c_{1}, \cdots, c_{N-1} c0,c1,,cN1,那么就有结合式 ( 1.2 ) (1.2) (1.2)
    f ( x ) = c 0 + c 1 e i x + c 2 e i 2 x + ⋯ + c N − 1 e i ( N − 1 ) x f ( 0 2 π N ) = c 0 + c 1 + c 2 + ⋯ + c N − 1 f ( 1 2 π N ) = c 0 + c 1 w + c 2 w 2 + ⋯ + c N − 1 w N − 1 f ( 2 2 π N ) = c 0 + c 1 w 2 + c 2 w 4 + ⋯ + c N − 1 w 2 ( N − 1 ) f ( 3 2 π N ) = c 0 + c 1 w 3 + c 2 w 6 + ⋯ + c N − 1 w 3 ( N − 1 ) ⋯ f ( ( N − 1 ) 2 π N ) = c 0 + c 1 w N − 1 + c 2 w 2 ( N − 1 ) + ⋯ + c N − 1 w ( N − 1 ) 2 (1.5) \begin{aligned} &f(x)=c_{0}+c_{1} e^{i x}+c_{2} e^{i 2 x}+\cdots+c_{N-1} e^{i(N-1) x} \\ &f\left(0 \frac{2 \pi}{N}\right)=c_{0}+c_{1}+c_{2}+\cdots+c_{N-1} \\ &f\left(1 \frac{2 \pi}{N}\right)=c_{0}+c_{1} w+c_{2} w^{2}+\cdots+c_{N-1} w^{N-1} \\ &f\left(2 \frac{2 \pi}{N}\right)=c_{0}+c_{1} w^{2}+c_{2} w^{4}+\cdots+c_{N-1} w^{2(N-1)} \\ &f\left(3 \frac{2 \pi}{N}\right)=c_{0}+c_{1} w^{3}+c_{2} w^{6}+\cdots+c_{N-1} w^{3(N-1)} \\ &\cdots \\ &f\left((N-1) \frac{2 \pi}{N}\right)=c_{0}+c_{1} w^{N-1}+c_{2} w^{2(N-1)}+\cdots+c_{N-1} w^{(N-1)^{2}} \end{aligned}\tag{1.5} f(x)=c0+c1eix+c2ei2x++cN1ei(N1)xf(0N2π)=c0+c1+c2++cN1f(1N2π)=c0+c1w+c2w2++cN1wN1f(2N2π)=c0+c1w2+c2w4++cN1w2(N1)f(3N2π)=c0+c1w3+c2w6++cN1w3(N1)f((N1)N2π)=c0+c1wN1+c2w2(N1)++cN1w(N1)2(1.5)

    注意此时 w = e i x w=e^{ix} w=eix,与 x x x取值有关。

    于是有下面矩阵关系:
    [ f 0 f 1 f 2 f 3 ⋮ f N − 1 ] = [ 1 1 1 1 ⋯ 1 1 w w 2 w 3 ⋯ w N − 1 1 w 2 w 4 w 6 ⋯ w 2 ( N − 1 ) 1 w 3 w 6 w 9 ⋯ w 3 ( N − 1 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 w N − 1 w 2 ( N − 1 ) w 3 ( N − 1 ) ⋯ w ( N − 1 ) 2 ] [ c 0 c 1 c 2 c 3 ⋮ c N − 1 ] (1.6) \left[\begin{array}{c} f_{0} \\ f_{1} \\ f_{2} \\ f_{3} \\ \vdots \\ f_{N-1} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & w & w^{2} & w^{3} & \cdots & w^{N-1} \\ 1 & w^{2} & w^{4} & w^{6} & \cdots & w^{2(N-1)} \\ 1 & w^{3} & w^{6} & w^{9} & \cdots & w^{3(N-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & w^{N-1} & w^{2(N-1)} & w^{3(N-1)} & \cdots & w^{(N-1)^{2}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} c_{0} \\ c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \\ \vdots \\ c_{N-1} \end{array}\right]\tag{1.6} f0f1f2f3fN1=111111ww2w3wN11w2w4w6w2(N1)1w3w6w9w3(N1)1wN1w2(N1)w3(N1)w(N1)2c0c1c2c3cN1(1.6)

    f = F N c f=F_N c f=FNc


    F N F N ∗ = N [ 1 0 0 0 ⋱ 0 0 0 1 ] F N − 1 = 1 N F N ∗ F_{N} F_{N}^{*}=N\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \quad \quad \quad \quad \quad \quad F_{N}^{-1}=\frac{1}{N} F_{N}^{*} FNFN=N10000001FN1=N1FN


    1 N [ 1 1 1 1 ⋯ 1 1 w ˉ w ˉ 2 w ˉ 3 ⋯ w ˉ N − 1 1 w ˉ 2 w ˉ 4 w ˉ 6 ⋯ w ˉ 2 ( N − 1 ) 1 w 3 w 6 w 9 ⋯ w 3 ( N − 1 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 w ˉ N − 1 w ˉ 2 ( N − 1 ) w ˉ 3 ( N − 1 ) ⋯ w ˉ ( N − 1 ) 2 ] [ f 0 f 1 f 2 f 3 ⋮ f N − 1 ] = [ c 0 c 1 c 2 c 3 ⋮ c N − 1 ] (1.7) \frac{1}{N}\left[\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & \bar{w} & \bar{w}^{2} & \bar{w}^{3} & \cdots & \bar{w}^{N-1} \\ 1 & \bar{w}^{2} & \bar{w}^{4} & \bar{w}^{6} & \cdots & \bar{w}^{2(N-1)} \\ 1 & w^{3} & w^{6} & w^{9} & \cdots & w^{3(N-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & \bar{w}^{N-1} & \bar{w}^{2(N-1)} & \bar{w}^{3(N-1)} & \cdots & \bar{w}^{(N-1)^{2}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} f_{0} \\ f_{1} \\ f_{2} \\ f_{3} \\ \vdots \\ f_{N-1} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} c_{0} \\ c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \\ \vdots \\ c_{N-1} \end{array}\right]\tag{1.7} N1111111wˉwˉ2w3wˉN11wˉ2wˉ4w6wˉ2(N1)1wˉ3wˉ6w9wˉ3(N1)1wˉN1wˉ2(N1)w3(N1)wˉ(N1)2f0f1f2f3fN1=c0c1c2c3cN1(1.7)

    F N − 1 f = c F_N^{-1}f=c FN1f=c
    其中, F N F_N FN就是傅里叶矩阵, F N − 1 f = c F_N^{-1}f=c FN1f=c就是离散傅里叶变换(DFT), F N c = f F_Nc=f FNc=f就是离散傅里叶逆变换(IDFT)。

    书上的DFT公式:
    X [ k ] = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] e − k 2 π n i N \quad X[k]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-k \frac{2 \pi n i}{N}} X[k]=n=0N1x[n]ekN2πni

    和矩阵形式对比有以下对应关系:
    [ x [ 0 ] x [ 1 ] x [ 2 ] x [ 3 ] ⋮ x [ N − 1 ] ] = [ f 0 f 1 f 2 f 3 ⋮ f N − 1 ] \left[\begin{array}{c} x[0] \\ x[1] \\ x[2] \\ x[3] \\ \vdots \\ x[N-1] \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} f_{0} \\ f_{1} \\ f_{2} \\ f_{3} \\ \vdots \\ f_{N-1} \end{array}\right] x[0]x[1]x[2]x[3]x[N1]=f0f1f2f3fN1

    [ X [ 0 ] X [ 1 ] X [ 2 ] X [ 3 ] ⋮ X [ N − 1 ] ] = N [ c 0 c 1 c 2 c 3 ⋮ c N − 1 ] \left[\begin{array}{c} X[0] \\ X[1] \\ X[2] \\ X[3] \\ \vdots \\ X[N-1] \end{array}\right]=N\left[\begin{array}{c} c_{0} \\ c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \\ \vdots \\ c_{N-1} \end{array}\right] X[0]X[1]X[2]X[3]X[N1]=Nc0c1c2c3cN1

    注意在式 ( 1.7 ) (1.7) (1.7)中, w ˉ = e − k 2 π i N \bar{w}=e^{-k \frac{2 \pi i}{N}} wˉ=ekN2πi

    例1(复数函数)

    对下列函数进行DFT:
    f ( x ) = 1 + e i x + e i 2 x + e i 3 x (1.8) f(x)=1+e^{i x}+e^{i 2 x}+e^{i 3 x}\tag{1.8} f(x)=1+eix+ei2x+ei3x(1.8)
    N=4时:
    f ( 0 ) = 4 f ( 1 2 π 4 ) = f ( 2 2 π 4 ) = f ( 3 2 π 4 ) = 0 f(0)=4 \quad f\left(1 \frac{2 \pi}{4}\right)=f\left(2 \frac{2 \pi}{4}\right)=f\left(3 \frac{2 \pi}{4}\right)=0 f(0)=4f(142π)=f(242π)=f(342π)=0
    于是:
    w = e 2 π i 4 = i w=e^{\frac{2 \pi i}{4}}=i w=e42πi=i

    [ 1 1 1 1 1 w w 2 w 3 1 w 2 w 4 w 6 1 w 3 w 6 w 9 ] − 1 [ 4 0 0 0 ] = [ 1 1 1 1 ] \left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & w & w^{2} & w^{3} \\ 1 & w^{2} & w^{4} & w^{6} \\ 1 & w^{3} & w^{6} & w^{9} \end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{l} 4 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] 11111ww2w31w2w4w61w3w6w914000=1111

    因此: c 0 = 1 , c 1 = 1 , c 2 = 1 , c 3 = 1 c_0=1,c_1=1,c_2=1,c_3=1 c0=1,c1=1,c2=1,c3=1
    即:
    f ( x ) = 1 + e i x + e i 2 x + e i 3 x f(x)=1+e^{i x}+e^{i 2 x}+e^{i 3 x} f(x)=1+eix+ei2x+ei3x
    注意:式 ( 1.5 ) (1.5) (1.5) f ( x ) f(x) f(x)在每个采样点展开形式不一样( w 0 , w 1 , ⋯   , w N − 1 w^{0}, w^{1}, \cdots, w^{N-1} w0,w1,,wN1),但是系数是一样的。也就可以确定函数的展开式 f ( x ) = c 0 + c 1 e i x + c 2 e i 2 x + ⋯ + c N − 1 e i ( N − 1 ) x f(x)=c_{0}+c_{1} e^{i x}+c_{2} e^{i 2 x}+\cdots+c_{N-1} e^{i(N-1) x} f(x)=c0+c1eix+c2ei2x++cN1ei(N1)x系数。


    N=3时:
    f ( 0 ) = 4 f ( 2 π 3 ) = 1 f ( 2 2 π 3 ) = 1 f(0)=4 \quad f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=1 \quad f\left(2 \frac{2 \pi}{3}\right)=1 f(0)=4f(32π)=1f(232π)=1
    于是:
    w = e 2 π i 3 = − 1 2 + 3 2 i w=e^{\frac{2 \pi i}{3}}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i w=e32πi=21+23 i

    [ 1 1 1 1 w w 2 1 w 2 w 4 ] − 1 [ 4 1 1 ] = [ 2 1 1 ] \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & w & w^{2} \\ 1 & w^{2} & w^{4} \end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{l} 4 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] 1111ww21w2w41411=211
    因此: c 0 = 2 , c 1 = 1 , c 2 = 1 c_0=2,c_1=1,c_2=1 c0=2,c1=1,c2=1
    即:
    f ( x ) = 2 + e i x + e i 2 x f(x)=2+e^{i x}+e^{i 2 x} f(x)=2+eix+ei2x
    而实际上 c 0 + c 3 = 2 , c 1 = 1 , c 2 = 1 c_0+c_3=2,c_1=1,c_2=1 c0+c3=2,c1=1,c2=1假设傅里叶变换展开系数只包含 c 0 , c 1 , ⋯   , c N − 1 c_{0}, c_{1}, \cdots, c_{N-1} c0,c1,,cN1就只能解得合并的结果。


    N=6时:
    f ( 0 ) = 4 f ( 1 2 π 6 ) = 3 i f ( 2 2 π 6 ) = 1 f ( 3 2 π 6 ) = 0 f ( 4 2 π 6 ) = 1 f ( 4 2 π 6 ) = − 3 i \begin{aligned} &f(0)=4 \quad f\left(1 \frac{2 \pi}{6}\right)=\sqrt{3} i \quad f\left(2 \frac{2 \pi}{6}\right)=1 \\ &f\left(3 \frac{2 \pi}{6}\right)=0 \quad f\left(4 \frac{2 \pi}{6}\right)=1 \quad f\left(4 \frac{2 \pi}{6}\right)=-\sqrt{3} i \end{aligned} f(0)=4f(162π)=3 if(262π)=1f(362π)=0f(462π)=1f(462π)=3 i

    于是:
    w = e 2 π i 6 = 1 2 + 3 2 i w=e^{\frac{2 \pi i}{6}}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i w=e62πi=21+23 i

    W 6 − 1 [ 4 3 i 1 0 1 − 3 i ] = [ 1 1 1 1 0 0 ] W_{6}^{-1}\left[\begin{array}{c} 4 \\ \sqrt{3} i \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ -\sqrt{3} i \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] W6143 i1013 i=111100

    因此, c 0 = 1 , c 1 = 1 , c 2 = 1 , c 3 = 1 , c 4 = 0 , c 5 = 0 c_0=1,c_1=1,c_2=1,c_3=1,c_4=0,c_5=0 c0=1,c1=1,c2=1,c3=1,c4=0,c5=0
    即:
    f ( x ) = 1 + e i x + e i 2 x + e i 3 x + 0 e i 4 x + 0 e i 5 x f(x)=1+e^{i x}+e^{i 2 x}+e^{i 3 x}+0e^{i 4 x}+0e^{i 5 x} f(x)=1+eix+ei2x+ei3x+0ei4x+0ei5x

    例2(实值函数)

    对下列函数进行DFT:
    f ( x ) = 1 + cos ⁡ ( x ) + cos ⁡ ( 2 x ) (1.9) f(x)=1+\cos (x)+\cos (2 x)\tag{1.9} f(x)=1+cos(x)+cos(2x)(1.9)

    欧拉公式可知:
    cos ⁡ θ = 1 2 ( e i θ + e − i θ ) sin ⁡ θ = − 1 2 i ( e i θ − e − i θ ) \begin{aligned} &\cos \theta=\frac{1}{2}\left(e^{i \theta}+e^{-i \theta}\right) \\ &\sin \theta=-\frac{1}{2} i\left(e^{i \theta}-e^{-i \theta}\right) \end{aligned} cosθ=21(eiθ+eiθ)sinθ=21i(eiθeiθ)
    所以式 ( 1.9 ) (1.9) (1.9)可转为:
    f ( x ) = 1 2 e − i 2 x + 1 2 e − i x + 1 + 1 2 e i x + 1 2 e i 2 x f(x)=\frac{1}{2} e^{-i 2 x}+\frac{1}{2} e^{-i x}+1+\frac{1}{2} e^{i x}+\frac{1}{2} e^{i 2 x} f(x)=21ei2x+21eix+1+21eix+21ei2x
    后面的DFT和例1一样。

    例3

    例1和例2都是已知函数,对其采样,进行DFT。
    例3未知函数,在给出采样点情况下求DFT。
    现在,不假设傅里叶变换展开系数只包含 c 0 , c 1 , ⋯   , c N − 1 c_{0}, c_{1}, \cdots, c_{N-1} c0,c1,,cN1

    已知周期( T = 2 π T=2\pi T=2π函数的4个采样点值:
    [ 4 0 0 0 ] \left[\begin{array}{l} 4 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] 4000

    则:
    w = e 2 π i 4 = i w=e^{\frac{2 \pi i}{4}}=i w=e42πi=i

    f ( x ) : { f ( 0 2 π 4 ) = 4 f ( 1 2 π 4 ) = 0 f ( 2 2 π 4 ) = 0 f ( 3 2 π 4 ) = 0 \begin{array}{r} f(x):\left\{\begin{aligned} f\left(0 \frac{2 \pi}{4}\right)=4 \\ f\left(1 \frac{2 \pi}{4}\right)=0 \\ f\left(2 \frac{2 \pi}{4}\right)=0 \\ f\left(3 \frac{2 \pi}{4}\right)=0 \end{aligned}\right. \end{array} f(x):f(042π)=4f(142π)=0f(242π)=0f(342π)=0

    类似式 ( 1.3 ) (1.3) (1.3) ( 1.4 ) (1.4) (1.4)的求法:

    f ( x ) = ∑ k = − ∞ ∞ c k e i k x f(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_{k} e^{i k x} f(x)=k=ckeikx

    f ( 0 2 π 4 ) = ( ⋯ + c − 4 + c 0 + c 4 + ⋯   ) w 0 + ( ⋯ + c − 3 + c 1 + c 5 + ⋯   ) w 0 + ( ⋯ + c − 2 + c 2 + c 6 + ⋯   ) w 0 + ( ⋯ + c − 1 + c 3 + c 7 + ⋯   ) w 0 \begin{aligned} f\left(0 \frac{2 \pi}{4}\right) &=\left(\cdots+c_{-4}+c_{0}+c_{4}+\cdots\right) w^{0} \\ &+\left(\cdots+c_{-3}+c_{1}+c_{5}+\cdots\right) w^{0} \\ &+\left(\cdots+c_{-2}+c_{2}+c_{6}+\cdots\right) w^{0} \\ &+\left(\cdots+c_{-1}+c_{3}+c_{7}+\cdots\right) w^{0} \end{aligned} f(042π)=(+c4+c0+c4+)w0+(+c3+c1+c5+)w0+(+c2+c2+c6+)w0+(+c1+c3+c7+)w0

    f ( 1 2 π 4 ) = ( ⋯ + c − 4 + c 0 + c 4 + ⋯   ) w 0 + ( ⋯ + c − 3 + c 1 + c 5 + ⋯   ) w 1 + ( ⋯ + c − 2 + c 2 + c 6 + ⋯   ) w 2 + ( ⋯ + c − 1 + c 3 + c 7 + ⋯   ) w 3 \begin{aligned} f\left(1 \frac{2 \pi}{4}\right)=&\left(\cdots+c_{-4}+c_{0}+c_{4}+\cdots\right) w^{0} \\ +&\left(\cdots+c_{-3}+c_{1}+c_{5}+\cdots\right) w^{1} \\ &+\left(\cdots+c_{-2}+c_{2}+c_{6}+\cdots\right) w^{2} \\ &+\left(\cdots+c_{-1}+c_{3}+c_{7}+\cdots\right) w^{3} \end{aligned} f(142π)=+(+c4+c0+c4+)w0(+c3+c1+c5+)w1+(+c2+c2+c6+)w2+(+c1+c3+c7+)w3

    f ( 2 2 π 4 ) = ( ⋯ + c − 4 + c 0 + c 4 + ⋯   ) w 0 + ( ⋯ + c − 3 + c 1 + c 5 + ⋯   ) w 2 + ( ⋯ + c − 2 + c 2 + c 6 + ⋯   ) w 4 + ( ⋯ + c − 1 + c 3 + c 7 + ⋯   ) w 6 \begin{aligned} f\left(2 \frac{2 \pi}{4}\right) &=\left(\cdots+c_{-4}+c_{0}+c_{4}+\cdots\right) w^{0} \\ &+\left(\cdots+c_{-3}+c_{1}+c_{5}+\cdots\right) w^{2} \\ &+\left(\cdots+c_{-2}+c_{2}+c_{6}+\cdots\right) w^{4} \\ &+\left(\cdots+c_{-1}+c_{3}+c_{7}+\cdots\right) w^{6} \end{aligned} f(242π)=(+c4+c0+c4+)w0+(+c3+c1+c5+)w2+(+c2+c2+c6+)w4+(+c1+c3+c7+)w6

    f ( 3 2 π 4 ) = ( ⋯ + c − 4 + c 0 + c 4 + ⋯   ) w 0 + ( ⋯ + c − 3 + c 1 + c 5 + ⋯   ) w 3 + ( ⋯ + c − 2 + c 2 + c 6 + ⋯   ) w 6 + ( ⋯ + c − 1 + c 3 + c 7 + ⋯   ) w 9 \begin{aligned} f\left(3 \frac{2 \pi}{4}\right)=&\left(\cdots+c_{-4}+c_{0}+c_{4}+\cdots\right) w^{0} \\ &+\left(\cdots+c_{-3}+c_{1}+c_{5}+\cdots\right) w^{3} \\ &+\left(\cdots+c_{-2}+c_{2}+c_{6}+\cdots\right) w^{6} \\ &+\left(\cdots+c_{-1}+c_{3}+c_{7}+\cdots\right) w^{9} \end{aligned} f(342π)=(+c4+c0+c4+)w0+(+c3+c1+c5+)w3+(+c2+c2+c6+)w6+(+c1+c3+c7+)w9

    类似式 ( 1.6 ) (1.6) (1.6),但是不假设傅里叶变换展开系数只包含 c 0 , c 1 , ⋯   , c N − 1 c_{0}, c_{1}, \cdots, c_{N-1} c0,c1,,cN1,于是有:
    [ f ( 0 2 π 4 ) f ( 1 2 π 4 ) f ( 2 2 π 4 ) f ( 3 2 π 4 ) ] = [ 1 1 1 1 1 w w 2 w 3 1 w 2 w 4 w 6 1 w 3 w 6 w 9 ] [ ( ⋯ + c − 4 + c 0 + c 4 + ⋯   ) ( ⋯ + c − 3 + c 1 + c 5 + ⋯   ) ( ⋯ + c − 2 + c 2 + c 6 + ⋯   ) ( ⋯ + c − 1 + c 3 + c 7 + ⋯   ) ] \left[\begin{array}{c} f\left(0 \frac{2 \pi}{4}\right) \\ f\left(1 \frac{2 \pi}{4}\right) \\ f\left(2 \frac{2 \pi}{4}\right) \\ f\left(3 \frac{2 \pi}{4}\right) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & w & w^{2} & w^{3} \\ 1 & w^{2} & w^{4} & w^{6} \\ 1 & w^{3} & w^{6} & w^{9} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \left(\cdots+c_{-4}+c_{0}+c_{4}+\cdots\right) \\ \left(\cdots+c_{-3}+c_{1}+c_{5}+\cdots\right) \\ \left(\cdots+c_{-2}+c_{2}+c_{6}+\cdots\right) \\ \left(\cdots+c_{-1}+c_{3}+c_{7}+\cdots\right) \end{array}\right] f(042π)f(142π)f(242π)f(342π)=11111ww2w31w2w4w61w3w6w9(+c4+c0+c4+)(+c3+c1+c5+)(+c2+c2+c6+)(+c1+c3+c7+)

    可以发现 c c c是按模4取得。
    求解上式可得:
    c = [ 1 1 1 1 ] = [ ( ⋯ + c − 4 + c 0 + c 4 + ⋯   ) ( ⋯ + c − 3 + c 1 + c 5 + ⋯   ) ( ⋯ + c − 2 + c 2 + c 6 + ⋯   ) ( ⋯ + c − 1 + c 3 + c 7 + ⋯   ) ] c=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} \left(\cdots+c_{-4}+c_{0}+c_{4}+\cdots\right) \\ \left(\cdots+c_{-3}+c_{1}+c_{5}+\cdots\right) \\ \left(\cdots+c_{-2}+c_{2}+c_{6}+\cdots\right) \\ \left(\cdots+c_{-1}+c_{3}+c_{7}+\cdots\right) \end{array}\right] c=1111=(+c4+c0+c4+)(+c3+c1+c5+)(+c2+c2+c6+)(+c1+c3+c7+)
    于是下面求得的函数都满足 c c c
    ( 1 ) : f ( x ) = 1 + e i x + e i 2 x + e i 3 x ( 2 ) : f ( x ) = 1 + e i x + e i 2 x + e − i x ( 3 ) : f ( x ) = 1 2 e − i x + 1 + e i x + e i 2 x + 1 2 e i 3 x ( 4 ) : f ( x ) = 1 + 1 3 e i x + 1 3 e i 5 x + 1 3 e i 9 x + e i 2 x + e i 3 x \begin{aligned} &(1):f(x)=1+e^{i x}+e^{i 2 x}+e^{i 3 x} \\ &(2):f(x)=1+e^{i x}+e^{i 2 x}+e^{-i x} \\ &(3):f(x)=\frac{1}{2} e^{-i x}+1+e^{i x}+e^{i 2 x}+\frac{1}{2} e^{i 3 x} \\ &(4):f(x)=1+\frac{1}{3} e^{i x}+\frac{1}{3} e^{i 5 x}+\frac{1}{3} e^{i 9 x}+e^{i 2 x}+e^{i 3 x} \end{aligned} (1)f(x)=1+eix+ei2x+ei3x(2)f(x)=1+eix+ei2x+eix(3)f(x)=21eix+1+eix+ei2x+21ei3x(4)f(x)=1+31eix+31ei5x+31ei9x+ei2x+ei3x

    比如(4):
    c 0 = 1 c 1 = 1 3 , c 5 = 1 3 , c 9 = 1 3 c 2 = 1 c 3 = 1 \begin{aligned} &c_0=1\\ &c_1=\frac{1}{3},c_5=\frac{1}{3},c_9=\frac{1}{3}\\ &c_2=1\\ &c_3=1 \end{aligned} c0=1c1=31,c5=31,c9=31c2=1c3=1


    既然存在无限多函数组合,所以我们假设傅里叶变换展开系数只包含 c 0 , c 1 , ⋯   , c N − 1 c_{0}, c_{1}, \cdots, c_{N-1} c0,c1,,cN1,于是有:
    c = [ 1 1 1 1 ] = [ c 0 c 1 c 2 c 3 ] c=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} c_0 \\ c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{array}\right] c=1111=c0c1c2c3

    f ( x ) = 1 + e i x + e i 2 x + e i 3 x f(x)=1+e^{i x}+e^{i 2 x}+e^{i 3 x} f(x)=1+eix+ei2x+ei3x

    所以当原函数存在高频,就比如(4)存在 e i 5 x , e i 9 x e^{i 5 x}, e^{i 9 x} ei5x,ei9x这种函数就无法得出,因为我在上面假设情况下总是做低频处理。所以DFT的缺点就是丢失了高频信号,但是当采样点足够多,比如原函数最高频率对应就为 e i 9 x e^{i 9 x} ei9x,而采样点数目刚好为9个,就可以完整恢复原函数。

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  • 关于傅立叶系数的计算公式

    千次阅读 2019-11-28 10:49:47
    我们称将一个周期信号分解成一个直流和一系列复指数信号分量之和的过程为傅立叶展开,也就是说,要用一系列的角速度为ω  =  kω0\omega \; =\; k\omega _{0}ω=kω0​ 的旋转向量ckejkω0tc_{k}e^{jk\omega _{0...

    我们称将一个周期信号分解成一个直流一系列复指数信号分量之和的过程为傅立叶展开,也就是说,要用一系列的角速度为 ω    =    k ω 0 \omega \; =\; k\omega _{0} ω=kω0 的旋转向量 c k e j k ω 0 t c_{k}e^{jk\omega _{0}t} ckejkω0t来合成周期信号。

    具体的应用就是:我们得到一个周期信号 f ( t )    =    ∑ k = − ∞ ∞ c k e j k ω 0 t f\left( t \right)\; =\; \sum_{k=-\infty }^{\infty }{c_{k}e^{jk\omega _{0}t}} f(t)=k=ckejkω0t,假设要提取第m个( k = m k=m k=m),对应的旋转向量为 m ω 0 m\omega _{0} mω0的系数 c m c_{m} cm,应该怎样计算 c m c_{m} cm的值。

    1. 我们将要求的 k = m k=m k=m项从累加公式中提出来:
      f ( t )    =    ∑ k = − ∞ ∞ c k e j k ω 0 t = c m e j m ω 0 t    +    ∑ k = − ∞ , k ≠ m ∞ c k e j k ω 0 t f\left( t \right)\; =\; \sum_{k=-\infty }^{\infty }{c_{k}e^{jk\omega _{0}t}} =c_{m}e^{jm\omega _{0}t}\; +\; \sum_{k=-\infty ,k\neq m}^{\infty }{c_{k}e^{jk\omega _{0}t}} f(t)=k=ckejkω0t=cmejmω0t+k=,k=mckejkω0t

    2. 两端乘 e − j m ω 0 t e^{-jm\omega _{0}t} ejmω0t:
      f ( t ) e − j m ω 0 t = c m e j m ω 0 t    e − j m ω 0 t +    ∑ k = − ∞ , k ≠ m ∞ c k e j ( k − m ) ω 0 t f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}=c_{m}e^{jm\omega _{0}t}\; e^{-jm\omega _{0}t}+\; \sum_{k=-\infty ,k\neq m}^{\infty }{c_{k}e^{j\left( k-m \right)\omega _{0}t}} f(t)ejmω0t=cmejmω0tejmω0t+k=,k=mckej(km)ω0t

    好像我们讲傅立叶展开式搞得更复杂了,但是接下来我们要用复指数信号的正交特性进行化简。先看看要用到的性质:

    • 任意一个复指数信号与另一个复指数信号共轭乘积在基波周期内的积分都为0
      ∫ T e j m ω 0 t e − j n ω 0 t d t    =    0    ,    ( m    ≠    n ) \int_{T}^{}{e^{jm\omega _{0}t}e^{-jn\omega _{0}t}dt}\; =\; 0\; ,\; \left( m\; \neq \; n \right) Tejmω0tejnω0tdt=0,(m=n)
    • 任意一个复指数信号与自身共轭的乘积在基波周期内的积分都为T
      ∫ T e j m ω 0 t e − j n ω 0 t d t    =    T    ,    ( m    =    n ) \int_{T}^{}{e^{jm\omega _{0}t}e^{-jn\omega _{0}t}dt}\; =\; T\; ,\; \left( m\; =\; n \right) Tejmω0tejnω0tdt=T,(m=n)
      (这两个可以先用欧拉公式化为三角函数,再通过积化和差推导)
    1. 在基波周期内对两端进行积分:
      ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j m ω 0 t d t = ∫ − T 2 T 2 c m d t +    ∫ − T 2 T 2 ∑ k = − ∞ , k ≠ m ∞ c k e j ( k − m ) ω 0 t d t \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}dt}=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{c_{m}dt}+\; \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{\sum_{k=-\infty ,k\neq m}^{\infty }{c_{k}e^{j\left( k-m \right)\omega _{0}t}}}dt 2T2Tf(t)ejmω0tdt=2T2Tcmdt+2T2Tk=,k=mckej(km)ω0tdt

    2. 化简:
      ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j m ω 0 t d t = ∫ − T 2 T 2 c m d t \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}dt}=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{c_{m}dt} 2T2Tf(t)ejmω0tdt=2T2Tcmdt

    3. 求出 c m c_{m} cm:
      c m    =    1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j m ω 0 t d t c_{m\; =\; }\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}dt} cm=T12T2Tf(t)ejmω0tdt

    我们已经将整个求过程 c m c_{m} cm描述完毕,回头再看 c m    =    1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j m ω 0 t d t c_{m\; =\; }\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}dt} cm=T12T2Tf(t)ejmω0tdt这个式子,其实就是利用复指数信号的正交特性在基波周期内对其化简:

    • 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j m ω 0 t d t \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}dt} T12T2Tf(t)ejmω0tdt展开
    • 1 T ( 0    +    0    + . . . +    c m e j m ω 0 t e − j m ω 0 t +    0    + . . . +    0 ) \frac{1}{T}\left( 0\; +\; 0\; +...+\; c_{m}e^{jm\omega _{0}t}e^{-jm\omega _{0}t}+\; 0\; +...+\; 0 \right) T1(0+0+...+cmejmω0tejmω0t+0+...+0)
    • 1 T ( T c m ) \frac{1}{T}\left( Tc_{m} \right) T1(Tcm)

    没错,这就是 c m c_{m} cm,醉了(e_e)
    但是,我们在求解过程中是周期信号 f ( t ) f\left( t \right) f(t)不是用来分解的(因为不知道 c m c_{m} cm,😂),而是要整体代入求解。

    最后:
    之前一直坚信我不会再碰通信了,但是最近方向“突变”为CSI,我崩了。也后悔之前的不正经,没学好杜军老师讲的通信原理。

    参考:陈爱军. 深入浅出通信原理

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