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  • 关于傅立叶系数计算公式

    千次阅读 2019-11-28 10:49:47
    我们称将一个周期信号分解成一个直流和一系列复指数信号分量之和的过程为傅立叶展开,也就是说,要用一系列的角速度为ω  =  kω0\omega \; =\; k\omega _{0}ω=kω0​ 的旋转向量ckejkω0tc_{k}e^{jk\omega _{0...

    我们称将一个周期信号分解成一个直流一系列复指数信号分量之和的过程为傅立叶展开,也就是说,要用一系列的角速度为 ω    =    k ω 0 \omega \; =\; k\omega _{0} ω=kω0 的旋转向量 c k e j k ω 0 t c_{k}e^{jk\omega _{0}t} ckejkω0t来合成周期信号。

    具体的应用就是:我们得到一个周期信号 f ( t )    =    ∑ k = − ∞ ∞ c k e j k ω 0 t f\left( t \right)\; =\; \sum_{k=-\infty }^{\infty }{c_{k}e^{jk\omega _{0}t}} f(t)=k=ckejkω0t,假设要提取第m个( k = m k=m k=m),对应的旋转向量为 m ω 0 m\omega _{0} mω0的系数 c m c_{m} cm,应该怎样计算 c m c_{m} cm的值。

    1. 我们将要求的 k = m k=m k=m项从累加公式中提出来:
      f ( t )    =    ∑ k = − ∞ ∞ c k e j k ω 0 t = c m e j m ω 0 t    +    ∑ k = − ∞ , k ≠ m ∞ c k e j k ω 0 t f\left( t \right)\; =\; \sum_{k=-\infty }^{\infty }{c_{k}e^{jk\omega _{0}t}} =c_{m}e^{jm\omega _{0}t}\; +\; \sum_{k=-\infty ,k\neq m}^{\infty }{c_{k}e^{jk\omega _{0}t}} f(t)=k=ckejkω0t=cmejmω0t+k=,k=mckejkω0t

    2. 两端乘 e − j m ω 0 t e^{-jm\omega _{0}t} ejmω0t:
      f ( t ) e − j m ω 0 t = c m e j m ω 0 t    e − j m ω 0 t +    ∑ k = − ∞ , k ≠ m ∞ c k e j ( k − m ) ω 0 t f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}=c_{m}e^{jm\omega _{0}t}\; e^{-jm\omega _{0}t}+\; \sum_{k=-\infty ,k\neq m}^{\infty }{c_{k}e^{j\left( k-m \right)\omega _{0}t}} f(t)ejmω0t=cmejmω0tejmω0t+k=,k=mckej(km)ω0t

    好像我们讲傅立叶展开式搞得更复杂了,但是接下来我们要用复指数信号的正交特性进行化简。先看看要用到的性质:

    • 任意一个复指数信号与另一个复指数信号共轭乘积在基波周期内的积分都为0
      ∫ T e j m ω 0 t e − j n ω 0 t d t    =    0    ,    ( m    ≠    n ) \int_{T}^{}{e^{jm\omega _{0}t}e^{-jn\omega _{0}t}dt}\; =\; 0\; ,\; \left( m\; \neq \; n \right) Tejmω0tejnω0tdt=0,(m=n)
    • 任意一个复指数信号与自身共轭的乘积在基波周期内的积分都为T
      ∫ T e j m ω 0 t e − j n ω 0 t d t    =    T    ,    ( m    =    n ) \int_{T}^{}{e^{jm\omega _{0}t}e^{-jn\omega _{0}t}dt}\; =\; T\; ,\; \left( m\; =\; n \right) Tejmω0tejnω0tdt=T,(m=n)
      (这两个可以先用欧拉公式化为三角函数,再通过积化和差推导)
    1. 在基波周期内对两端进行积分:
      ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j m ω 0 t d t = ∫ − T 2 T 2 c m d t +    ∫ − T 2 T 2 ∑ k = − ∞ , k ≠ m ∞ c k e j ( k − m ) ω 0 t d t \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}dt}=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{c_{m}dt}+\; \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{\sum_{k=-\infty ,k\neq m}^{\infty }{c_{k}e^{j\left( k-m \right)\omega _{0}t}}}dt 2T2Tf(t)ejmω0tdt=2T2Tcmdt+2T2Tk=,k=mckej(km)ω0tdt

    2. 化简:
      ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j m ω 0 t d t = ∫ − T 2 T 2 c m d t \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}dt}=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{c_{m}dt} 2T2Tf(t)ejmω0tdt=2T2Tcmdt

    3. 求出 c m c_{m} cm:
      c m    =    1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j m ω 0 t d t c_{m\; =\; }\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}dt} cm=T12T2Tf(t)ejmω0tdt

    我们已经将整个求过程 c m c_{m} cm描述完毕,回头再看 c m    =    1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j m ω 0 t d t c_{m\; =\; }\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}dt} cm=T12T2Tf(t)ejmω0tdt这个式子,其实就是利用复指数信号的正交特性在基波周期内对其化简:

    • 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j m ω 0 t d t \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}dt} T12T2Tf(t)ejmω0tdt展开
    • 1 T ( 0    +    0    + . . . +    c m e j m ω 0 t e − j m ω 0 t +    0    + . . . +    0 ) \frac{1}{T}\left( 0\; +\; 0\; +...+\; c_{m}e^{jm\omega _{0}t}e^{-jm\omega _{0}t}+\; 0\; +...+\; 0 \right) T1(0+0+...+cmejmω0tejmω0t+0+...+0)
    • 1 T ( T c m ) \frac{1}{T}\left( Tc_{m} \right) T1(Tcm)

    没错,这就是 c m c_{m} cm,醉了(e_e)
    但是,我们在求解过程中是周期信号 f ( t ) f\left( t \right) f(t)不是用来分解的(因为不知道 c m c_{m} cm,😂),而是要整体代入求解。

    最后:
    之前一直坚信我不会再碰通信了,但是最近方向“突变”为CSI,我崩了。也后悔之前的不正经,没学好杜军老师讲的通信原理。

    参考:陈爱军. 深入浅出通信原理

    展开全文
  • 用直接计算傅里叶系数方法算法及练习,周期信号的频谱分析
  • 计算函数的级数展开的傅立叶系数,以及幅度谱和相位谱。 该脚本包含一些理论和 3 种不同的计算系数的方法。 用法Fourier_coeff(fun,t0,T) Fourier_coeff(fun,t0,T,M) Fourier_coeff(fun,t0,T,M,N) Fourier_coeff...
  • 傅里叶系数

    千次阅读 2019-04-02 21:56:54
    是不包含三角函数的系数,而其他都包含,周期都可为2 π \pi π 所以只需对整体积分 ∫ − π π f ( x ) d x = ∫ − π π ( a 0 + a 1 c o s x + b 1 s i n x + a 2 c o s 2 x + b 2 s i n 2 x + . . . a n c ...

    以下均为不严格的,带个人理解的语言描述

    1.三角函数系正交
    正交:向量点积后结果为0则说明两向量正交,比如 a ( a 1 , a 2 , a 3 ) a(a_1,a_2,a_3) a(a1,a2,a3) b ( b 1 , b 2 , b 3 ) b (b _1,b_2,b_3) b(b1,b2,b3)正交,
    a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0 a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0 a1b1+a2b2+a3b3=0==>向量点积是对应分量相乘再累加
    书本P116正交定义
    在这里插入图片描述

    ==>三角函数系的正交定义:比如cosx与sinx正交写为 ∫ T c o s x s i n x d x = 0 \int_{T} cosxsinx dx=0 Tcosxsinxdx=0
    可以理解为cosx,sinx在不同点上相乘再累加(积分)
    定理:三角函数中任意三角函数(除本身)正交

    2.既然三角函数彼此正交,那么可以将三角函数看成一个向量空间
    书本P116正交函数集定义
    在这里插入图片描述
    则f(x)周期(2 π \pi π)(满足狄利克雷条件下)可以拆分成
    f ( x ) = a 0 + a 1 c o s x + b 1 s i n x + a 2 c o s 2 x + b 2 s i n 2 x + . . . a n c o s n x + b n s i n n x f(x)=a_0+a_1cosx+b_1sinx+a_2cos2x+b_2sin2x+...a_ncosnx +b_nsinnx fx=a0+a1cosx+b1sinx+a2cos2x+b2sin2x+...ancosnx+bnsinnx
    (理解为 a ⃗ = a i ⃗ + b j ⃗ + c k ⃗ \vec a=a\vec i+b\vec j+c\vec k a =ai +bj +ck )
    物理意义:一个周期函数可以拆分成周期自身整数倍的三角函数线性组合。

    书上P120
    在这里插入图片描述

    注:狄利克雷条件:(1 )在一周期内,连续或只有有限个第一类间断点;(2)在一周期内,极大值和极小值的数目应是有限个;(3)在一周期内,信号是绝对可积的。

    3.系数推导
    方法:消项
    (1).求 a 0 a_0 a0
    如求 a 0 a_0 a0,即将 a 0 a_0 a0之外的全部消掉
    a 0 a_0 a0是不包含三角函数的系数,而其他都包含,周期都可为2 π \pi π
    所以只需对整体积分
    ∫ − π π f ( x ) d x = ∫ − π π ( a 0 + a 1 c o s x + b 1 s i n x + a 2 c o s 2 x + b 2 s i n 2 x + . . . a n c o s n x ) d x \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx=\int_{-\pi}^{\pi}(a_0+a_1cosx+b_1sinx+a_2cos2x+b_2sin2x+...a_ncosnx) dx ππf(x)dx=ππ(a0+a1cosx+b1sinx+a2cos2x+b2sin2x+...ancosnx)dx
    ∫ − π π f ( x ) d x = ∫ − π π a 0 d x \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx=\int_{-\pi}^{\pi}a_0dx ππf(x)dx=ππa0dx
    a 0 = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) d x a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx a0=2π1ππf(x)dx
    (有的地方写 a 0 2 \frac{a_0}{2} 2a0是一样的)

    (2).
    同样方法求an
    方法:消项,三角函数正交
    如求 a n c o s n x a_ncosnx ancosnx,将f(x)整体乘cosnx,再积分
    ∫ − π π c o s n x f ( x ) d x = ∫ − π π ( a 0 + a 1 c o s x + b 1 s i n x + . . . a n c o s n x ) c o s n x d x \int_{-\pi}^{\pi} cosnxf(x) dx=\int_{-\pi}^{\pi}(a_0+a_1cosx+b_1sinx+...a_ncosnx)cosnx dx ππcosnxf(x)dx=ππ(a0+a1cosx+b1sinx+...ancosnx)cosnxdx
    ∫ − π π c o s n x f ( x ) d x = ∫ − π π a n c o s 2 n x d x \int_{-\pi}^{\pi} cosnxf(x) dx=\int_{-\pi}^{\pi}a_n cos^2nxdx ππcosnxf(x)dx=ππancos2nxdx
    ∫ − π π c o s n x f ( x ) d x = a n ∫ − π π c o s 2 n x + 1 2 d x \int_{-\pi}^{\pi} cosnxf(x) dx=a_n\int_{-\pi}^{\pi} \frac{cos2nx+1}{2}dx ππcosnxf(x)dx=anππ2cos2nx+1dx
    ∫ − π π c o s n x f ( x ) d x = a n π \int_{-\pi}^{\pi} cosnxf(x) dx=a_n\pi ππcosnxf(x)dx=anπ
    a n = 1 π ∫ − π π c o s n x f ( x ) d x a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} cosnxf(x) dx an=π1ππcosnxf(x)dx(推毕)

    (3)
    b n b_n bn推导方法相同

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  • 文章目录一、信号的合成和分解(一)傅里叶级数(二)将正弦波合成方波二、信号的相关性及傅里叶系数计算(一)信号的相关性(二)傅里叶系数(三)相关性的验证及幅值、相位的计算三、信号的分解从信号合成到信号...


    一、信号的合成和分解


    • 任何信号都可以由正弦波合成,反之,任何信号都可以分解为正弦波的叠加,这是傅里叶变换告诉我们的。

    (一)傅里叶级数

    • 由公式

    在这里插入图片描述

    • 可以知道一个信号可以由正弦波叠加而成

    (二)将正弦波合成方波

    • 使用matlab生成基波及3、5、7、9、11次谐波
    w=1000;%基波频率,单位Hz
    f1=sin(2*pi*w*t);%基波信号
    f3=sin(2*pi*3*w*t)/3;%3次谐波信号
    f5=sin(2*pi*5*w*t)/5;%5次谐波信号
    f7=sin(2*pi*7*w*t)/7;%7次谐波信号
    f9=sin(2*pi*9*w*t)/9;%9次谐波信号
    f11=sin(2*pi*11*w*t)/11;%11次谐波信号
    

    matlab生成及次谐波

    • 将基波及3、5、7、9、11次谐波进行叠加
    f=f1+f3+f5+f7+f9+f11;
    

    几次谐波叠加而成的方波

    • 这里只是使用了基波及3、5、7、9、11次谐波来叠加,已经可以看得出方波的雏形了,如果使用更多的13、15、17、19。。。次谐波来叠加则会更向方波,事实上一个完整的方波是无限多、无限高次谐波的叠加。另外提一点,即使使用无限多、无限高次谐波来合成方波仍会发现会在间断点出现剑锋,大概是9%的偏差,这个现象叫做吉伯斯现象,因为当谐波次数取得很大时,间断点尖峰下的面积趋近于零,在均方的意义上合成波形与原方波真值没有区别。
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    二、信号的相关性及傅里叶系数的计算


    (一)信号的相关性

    • 所谓信号的相关性,就是一个信号与一个固定频率信号相乘,如果该信号含有固定频率信号的频率成分,那么乘积的结果作积分不为零,反之为零。因为随机信号不含有固定的频率,所以一个随机信号与任意一个固定频率信号相乘做积分结果为零,这正是傅里叶变换能消除随机干扰的原因

    (二)傅里叶系数

    • 由傅里叶系数计算公式
      在这里插入图片描述
    • 可知要计算傅里叶系数就是将原信号与一个固定频率的信号进行相乘然后求积分,我们知道任何一个信号都是由正弦波叠加而成的,我们只要将一个信号与一个已知频率的信号相乘求积分,就知道了在该信号中这个频率的分量,这个过程其实就是求傅里叶系数
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    (三)相关性的验证及幅值、相位的计算

    • 使用matlab生成相关函数,该相关函数的频率与合成信号的三次谐波频率相同
    f_cos=cos(2*pi*3*w*t);%相关函数,用于与合成信号作相关
    f_sin=sin(2*pi*3*w*t);%相关函数,用于与合成信号作相关
    
    • 这里提一点,为什么要用两个信号(cos、sin)来乘呢?你可以把这个过程当做信号的分解,其实这两个信号(cos、sin)是两个正交信号,相当于把原信号分解到两个正交信号上
      相关函数

    • 将相关信号与合成信号相乘

    f_relaven_cos=f.*f_cos;%将合成信号与相关函数相乘,得到实部
    f_relaven_sin=f.*f_sin;%将合成信号与相关函数相乘,得到虚部
    

    在这里插入图片描述

    • 将相乘后的信号求积分
    sum_data_cos=sum_len(f_relaven_cos,N);%实部求和
    sum_data_cos=sum_data_cos/N;
    sum_data_sin=sum_len(f_relaven_sin,N);%虚部求和
    sum_data_sin=sum_data_sin/N;
    

    在这里插入图片描述

    • 求幅值,我们的三次谐波中的幅值正好是一除以三再除以二也就是1.66666666666666…,得出结论原信号与该频率的信号相关,并且原信号中该频率成分分量的幅值为1.666666666666666,
    sum_data=sqrt(sum_data_cos^2+sum_data_sin^2);
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    • 若要从能量的角度解释,就是原信号中该频率分量的成分所占能量为0.0278
    sum_data_energy=sum_data_cos^2+sum_data_sin^2;
    

    在这里插入图片描述

    • 再来求一下相角
    angle_data=atan(sum_data_sin/sum_data_cos)*180/pi;
    

    在这里插入图片描述

    • 初始相位是零看不出结果,我们将三次谐波进行移相,再求相角,注意这时候可能合成的已经可能不是正弦波了

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    三、信号的分解


    从信号合成到信号分解

    • 前面的验证我们知道任何一个信号都可以由正弦波合成,那么反过来,任何信号都可以分解为正弦波的叠加。那么问题来了,怎样分解呢?答案就是傅里叶变换。但是傅里叶变换太复杂了,有没有更简单的理解方式呢?我们可以从傅里叶级数出发。
    • 我们知道,欲求一个信号中某种频率的分量,只要将这个信号与欲求频率的信号相乘求积分就能得到这个信号中该频率的含量
    • 再反过来,欲知一个信号中含有那些频率成分及各成分的分量,那就将这个信号与任意频率的信号相乘求积分(作相关),就能得到该信号中所含的所有频率成分及各个分量大小。
    • 但是,与任意频率作相关,这个计算量也太大了吧。。。所以只需要对那奎斯特采样频率一半的信号作相关就够了,并且将任意频率抽取,即每隔多少频率求一次相关,这就是频谱分辨率,怎么越来越像傅里叶变换,没错这就是傅里叶变换。但是傅里叶变换是连续的,在数字系统中无法使用,所以要用离散傅里叶变换,但是离散傅里叶变换计算量还是很大,于是根据离散傅里叶变换的奇、偶、虚、实特特性,快速傅里叶变换诞生了,并且加速了数字信号处理的发展。

    最后

    • 本文从信号的合成、分解、相关及傅里叶级数的计算,一非常浅显的方式对信号进行分析,最后引出傅里叶变换、离散傅里叶变换和快速傅里叶变换,之后的内容便是对傅里叶变换、离散傅里叶变换和快速傅里叶变换进行探讨和实现,欲知后事如何请待下回分解。

    声明:本文仅作为个人技术交流,所述如有不当之处,欢迎读者批评指正!
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  • 傅里叶变换(一) 傅里叶级数

    千次阅读 2021-02-01 01:58:29
    oi当中常见的FFT的推导方法是从多项式乘法出发,作为多项式乘法的优化算法出现,关于多项式的相关理论详见Miskcoo大佬的blog从多项式乘法到快速傅里叶变换 - Miskcoo's Space,写的十分详细。在这个专题下,将会依次...

    开的这个坑大概就是写写从另一个视角来看快速离散傅里叶变换FFT。oi当中常见的FFT的推导方法是从多项式乘法出发,作为多项式乘法的优化算法出现,关于多项式的相关理论详见Miskcoo大佬的blog从多项式乘法到快速傅里叶变换 - Miskcoo's Space,写的十分详细。

    在这个专题下,将会依次讲解傅里叶级数FS,傅里叶变换FT,离散时间傅里叶变换DTFT,离散傅里叶变换DFT。主要是参考wys在WC2018上讲课的课件。

    首先在这篇文章中介绍傅里叶级数的相关内容。傅里叶级数作为一种周期函数的无穷级数展开,它将周期函数表示为正弦函数和余弦函数构成的级数。正如泰勒级数将连续且在

    equation?tex=x_0处任意阶可导的函数表示为

    equation?tex=f%28x%29%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7B%5Cfrac%7Bf%5E%7B%28n%29%7D%28x_0%29%7D%7Bn%21%7D%28x-x_0%29%5En%7D这样由幂函数构成的级数一样,傅里叶级数将周期函数表示为

    equation?tex=f%28t%29%3D%5Cfrac%7Ba_0%7D%7B2%7D%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%28a_n+%5Cmathrm%7Bcos%7Dn+%5Comega+t%2Bb_n+%5Cmathrm%7Bsin%7Dn+%5Comega+t%29,其中角频率

    equation?tex=%5Comega%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7BT%7D

    equation?tex=T

    equation?tex=f%28t%29的周期。对于周期函数,可以很容易地联想到最典型的正余弦函数,而且它们的周期大小是十分易于调整的,这也就启发我们去使用它们来表示各类周期函数。

    一、正交性

    傅里叶级数的基础是三角函数系

    equation?tex=1%2C%5Cmathrm%7Bsin%7Dx%2C%5Cmathrm%7Bcos%7Dx%2C%5Cmathrm%7Bsin%7D2x%2C%5Cmathrm%7Bcos%7D2x%2C...%2C%5Cmathrm%7Bsin%7Dnx%2C%5Cmathrm%7Bcos%7Dnx的正交性。正交是对于线性无关的抽象概念,类比向量正交即为内积等于零的概念,函数的正交同样采用内积等于零来判断。

    现定义两个实函数

    equation?tex=f%28x%29%2Cg%28x%29的内积。若

    equation?tex=f%28x%29%2Cg%28x%29在闭区间

    equation?tex=%5Ba%2Cb%5D上可积且平方可积,则它们的内积

    equation?tex=%3Cf%2Cg%3E%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df%28x%29g%28x%29%5Cmathrm%7Bd%7Dx

    equation?tex=%5B0%2C2%5Cpi%5D上,三角函数系是两两正交的,它们满足如下性质,

    equation?tex=%281%29%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cmathrm%7Bsin%7Dnx%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D0%28n%5Cin+%5Cmathbb%7BN%5E%2A%7D%29

    equation?tex=%282%29%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cmathrm%7Bcos%7Dnx%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D0%28n%5Cin+%5Cmathbb%7BN%5E%2A%7D%29

    equation?tex=%283%29%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cmathrm%7Bsin%7Dnx%5Cmathrm%7Bcos%7Dmx%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D0%28n%5Cne+m%2Cn%5Cin+%5Cmathbb%7BN%5E%2A%7D%2Cm%5Cin+%5Cmathbb%7BN%5E%2A%7D%29

    equation?tex=%284%29%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cmathrm%7Bsin%7Dnx%5Cmathrm%7Bsin%7Dmx%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D0%28n%5Cne+m%2Cn%5Cin+%5Cmathbb%7BN%5E%2A%7D%2Cm%5Cin+%5Cmathbb%7BN%5E%2A%7D%29

    equation?tex=%285%29%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cmathrm%7Bcos%7Dnx%5Cmathrm%7Bcos%7Dmx%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D0%28n%5Cne+m%2Cn%5Cin+%5Cmathbb%7BN%5E%2A%7D%2Cm%5Cin+%5Cmathbb%7BN%5E%2A%7D%29

    前两个式子显然成立,后三个式子的推导主要是利用积化和差公式,在这里给出最后一个式子的推导过程。

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+%26%5Cquad%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cmathrm%7Bcos%7Dnx%5Cmathrm%7Bcos%7Dmx%5Cmathrm%7Bd%7Dx+%5C%5C+%26%3D+%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bcos%7D%28n%2Bm%29x%2B%5Cmathrm%7Bcos%7D%28n-m%29x%7D%7B2%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx%5C%5C+%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5B%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bsin%7D%28n%2Bm%29x%7D%7Bn%2Bm%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bsin%7D%28n-m%29x%7D%7Bn-m%7D%5D%5E%7B2%5Cpi%7D_%7B0%7D%5C%5C+%26%3D0+%5Cend%7Balign%7D

    由此可以得到三角函数系

    equation?tex=1%2C%5Cmathrm%7Bsin%7D%5Comega+x%2C%5Cmathrm%7Bcos%7D%5Comega+x%2C%5Cmathrm%7Bsin%7D2%5Comega+x%2C%5Cmathrm%7Bcos%7D2%5Comega+x%2C...%2C%5Cmathrm%7Bsin%7Dn%5Comega+x%2C%5Cmathrm%7Bcos%7Dn%5Comega+x

    equation?tex=%5B0%2CT%5D上同样正交。

    二、展开为傅里叶级数

    傅里叶级数表示为

    equation?tex=f%28t%29%3D%5Cfrac%7Ba_0%7D%7B2%7D%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%28a_n+%5Cmathrm%7Bcos%7Dn+%5Comega+t%2Bb_n+%5Cmathrm%7Bsin%7Dn+%5Comega+t%29,其中需要求出的是展开后的系数

    equation?tex=a_n%2Cb_n

    首先考虑最为特殊的

    equation?tex=a_0,对上式两侧同时从

    equation?tex=0

    equation?tex=T积分,可以由三角函数系的正交性发现求和号内的项均为0,

    因而得到

    equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7Df%28t%29%5Cmathrm%7Bd%7Dt%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7D%5Cfrac%7Ba_0%7D%7B2%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dt

    求出

    equation?tex=a_0%3D%5Cfrac%7B2%7D%7BT%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7Df%28t%29%5Cmathrm%7Bd%7Dt

    然后要求的是除

    equation?tex=a_0外的其余系数

    equation?tex=a_n%2Cb_n。先求

    equation?tex=a_n,在等号两侧同乘

    equation?tex=%5Cmathrm%7Bcos%7Dn%5Comega+t,再同时从

    equation?tex=0

    equation?tex=T积分,同样是由三角函数的正交性,可以得到等号右侧除了

    equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7Da_n%5Cmathrm%7Bcos%5E2%7Dn%5Comega+t%5Cmathrm%7Bd%7Dt不为0外,其余项皆等于0。

    于是便有

    equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7Df%28t%29%5Cmathrm%7Bcos%7Dn%5Comega+t%5Cmathrm%7Bd%7Dt%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7Da_n%5Cmathrm%7Bcos%5E2%7Dn%5Comega+t%5Cmathrm%7Bd%7Dt

    计算得

    equation?tex=a_n%3D%5Cfrac%7B2%7D%7BT%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7Df%28t%29%5Cmathrm%7Bcos%7Dn%5Comega+t%5Cmathrm%7Bd%7Dt

    对于

    equation?tex=b_n也是采取类似的方法,得

    equation?tex=b_n%3D%5Cfrac%7B2%7D%7BT%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7Df%28t%29%5Cmathrm%7Bsin%7Dn%5Comega+t%5Cmathrm%7Bd%7Dt

    equation?tex=a_0同样满足

    equation?tex=a_n的等式,这便是傅里叶级数当中写成

    equation?tex=%5Cfrac%7Ba_0%7D%7B2%7D而非

    equation?tex=a_0的目的所在。因而可以将所有情况综合起来写为

    equation?tex=a_n%3D%5Cfrac%7B2%7D%7BT%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7Df%28t%29%5Cmathrm%7Bcos%7Dn%5Comega+t%5Cmathrm%7Bd%7Dt%28n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%29

    equation?tex=b_n%3D%5Cfrac%7B2%7D%7BT%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7Df%28t%29%5Cmathrm%7Bsin%7Dn%5Comega+t%5Cmathrm%7Bd%7Dt%28n%5Cin%5Cmathbb%7BN%5E%2A%7D%29

    三、傅里叶级数的收敛性

    与其它的级数展开相同,傅里叶级数同样需要判断收敛性,若级数不收敛于

    equation?tex=f%28t%29,则不能在两者之间画等号。关于傅里叶级数的收敛性目前没有它的充分必要条件,只有一些可以用来判断收敛的充分不必要条件。其中最常用的为狄利克雷条件对于一个周期为

    equation?tex=2%5Cpi的函数

    equation?tex=f%28x%29,如果它满足:

    (1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;

    (2)在一个周期内只有有限个极值点。

    那么

    equation?tex=f%28x%29的傅里叶级数收敛于

    equation?tex=%5Cfrac%7Bf%28x%2B0%29%2Bf%28x-0%29%7D%7B2%7D

    狄利克雷条件只是傅里叶级数收敛的充分条件,而非必要条件,级数收敛不代表该条件成立。

    由以上推导,我们便可以写出一个周期函数的傅里叶级数。

    例如周期为

    equation?tex=2%5Cpi的函数

    equation?tex=f%28x%29,在

    equation?tex=%28-%5Cpi%2C%5Cpi%5D

    equation?tex=f%28x%29%3Dx,求

    equation?tex=f%28x%29的傅里叶级数。

    equation?tex=a_n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7Dx%5Cmathrm%7Bcos%7Dnx%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D0

    equation?tex=b_n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7Dx%5Cmathrm%7Bsin%7Dnx%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D%28-1%29%5E%7Bn%2B1%7D%5Cfrac%7B2%7D%7Bn%7D

    狄利克雷条件显然成立,所以

    equation?tex=f%28x%29%3D%5Csum%5E%7B%5Cinfty%7D_%7Bn%3D1%7D%28-1%29%5E%7Bn%2B1%7D%5Cfrac%7B2%7D%7Bn%7D%5Cmathrm%7Bsin%7Dnx

    四、傅里叶级数的指数形式

    通过观察傅里叶级数的形式,不难发现它的每一项与欧拉公式的形式十分相似,可以通过代数变形来使用复指数表示傅里叶级数。

    equation?tex=i表示虚数单位,傅里叶级数的指数形式为

    equation?tex=f%28t%29%3D%5Csum%5E%7B%5Cinfty%7D_%7Bn%3D-%5Cinfty%7Dc_ne%5E%7Bin%5Comega+t%7D

    其中

    equation?tex=c_n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7D%5Cint%5E%7BT%7D_%7B0%7Df%28t%29e%5E%7B-in%5Comega+t%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dt

    指数形式与三角形式是相等的,推导如下

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+%26%5Cquad%5Csum%5E%7B%5Cinfty%7D_%7Bn%3D-%5Cinfty%7Dc_ne%5E%7Bin%5Comega+t%7D+%5C%5C+%26%3Dc_0%2B%5Csum%5E%7B%5Cinfty%7D_%7Bn%3D1%7D%28c_ne%5E%7Bin%5Comega+t%7D%2Bc_%7B-n%7De%5E%7B-in%5Comega+t%7D%EF%BC%89+%5C%5C+%26%3Dc_0%2B%5Csum%5E%7B%5Cinfty%7D_%7Bn%3D1%7D%5B%28c_n%2Bc_%7B-n%7D%29%5Cmathrm%7Bcos%7Dn%5Comega+t%2Bi%28c_n-c_%7B-n%7D%29%5Cmathrm%7Bsin%7Dn%5Comega+t%5D+%5C%5C+%26%3D%5Cfrac%7Ba_0%7D%7B2%7D%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%28a_n+%5Cmathrm%7Bcos%7Dn+%5Comega+t%2Bb_n+%5Cmathrm%7Bsin%7Dn+%5Comega+t%29+%5Cend%7Balign%7D

    五、傅里叶级数的几何意义

    关于傅里叶级数的几何意义,可以类比向量基底的概念。在欧几里得空间当中,可以通过选取一组正交基,使得空间内的所有向量都可以由这组正交基线性表出。

    傅里叶级数是利用三角函数系的正交性,通过这样一组正交基张成了函数空间,将这个函数空间当中的函数全部表示为三角函数的线性组合。

    考虑傅里叶级数的系数

    equation?tex=a_n%2Cb_n,令

    equation?tex=g%28x%29%3D%5Cmathrm%7Bcos%7Dn%5Comega+t

    equation?tex=h%28x%29%3D%5Cmathrm%7Bsin%7Dn%5Comega+t,则系数可以写作

    equation?tex=a_n%3D%5Cfrac%7B2%7D%7BT%7D%3Cf%2Cg%3E

    equation?tex=b_n%3D%5Cfrac%7B2%7D%7BT%7D%3Cf%2Ch%3E。正如向量空间当中基底分解的系数为

    equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B%7C%5Cvec%7Bx%7D%7C%7D%3C%5Cvec%7Bx%7D%2C%5Cvec%7Be%7D%3E,其中

    equation?tex=%5Cvec%7Be%7D为基向量,傅里叶级数所做的就是将函数

    equation?tex=f%28t%29投影到三角函数系这样一组正交基上,通过这组基线性表出

    equation?tex=f%28t%29

    六、傅里叶级数的物理意义

    如果将

    equation?tex=f%28t%29看作是一个周期信号,则傅里叶级数将

    equation?tex=f%28t%29分解到各个频率的正余弦波之上。

    例如

    equation?tex=f%28t%29表示如下信号

    傅里叶级数将其分解为以下四种信号

    傅里叶级数的局限性在于其只适用于周期函数 ,对于非周期函数我们需要更为强大的工具,通过对傅里叶级数的推广将会得到适用范围更加广泛的傅里叶变换。

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傅里叶系数的计算方法

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