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  • 傅里叶级数matlab编程
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    2021-05-08 06:30:06

    傅里叶级数展开matlab 实现给个例子说明下:将函数

    y=x*(x-pi)*(x-2*pi),在(0,2*pi)的范围内傅里叶级数展开syms x fx=x*(x-pi)*(x-2*pi);

    [an,bn,f]=fseries(fx,x,12,0,2*pi)%前12 项展开latex(f)%将f 转换成latex 代码an = [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0] bn = [ -12, 3/2, -4/9, 3/16, -12/125, 1/18, -12/343, 3/128, -4/ 243, 3/250, -12/1331, 1/144] f =

    12*sin(x)+3/2*sin(2*x)+4/9*sin(3*x)+3/16*sin(4*x)+12/ 125*sin(5*x)+1/18*sin(6

    *x)+12/343*sin(7*x)+3/128*sin(8*x)+4/243*sin(9*x)+3/ 250*sin(10*x)+12/1331* sin(11*x)+1/144*sin(12*x) ans = 12\,\sin \left( x \right) +3/2\,\sin \left( 2\,x \right)

    +4/9\,\sin \left( 3\,x \right) +3/16\,\sin \left( 4\,x \right) +{\frac {12}{125}}\,\sin \left( 5\,x \right) +1/18\,\sin

    \left( 6\,x \right) +{\frac {12}{343}}\,\sin \left( 7\,x \right) +{\frac {3}{128}}\,\sin \left( 8\,x \right) +{\frac

    {4}{243}}\,\sin \left( 9\,x \right) +{\frac {3}{250}}\,\sin \left( 10\,x \right) +{\frac {12}{1331}}\,\sin \left( 11\,x \right) +{\frac {1}{144}}\,\sin \left( 12\,x \right) function [an,bn,f]=fseries(fx,x,n,a,b) %傅里叶级数展开% %an 为fourier 余弦项系数%bn 为fourier 正弦项系数%f 为展开表达式%f 为给定函数%x 为自变量%n 为展开系

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    千次阅读 2021-04-18 08:49:09
    河南工程学院理 学 院MATLAB(傅立叶级数的模拟)姓名:杨标班级:信息1241学号:201211002126实验目的: (1)用MATLAB模拟傅立叶级数 F(x)=a0/2+ 求a0,an,bn;(2)对矩形函数,三角函数求傅立叶级数;(作图)(3)绘制函数...

    河南工程学院

    理 学 院

    MATLAB(傅立叶级数的模拟)

    姓名:杨标班级:信息1241学号:201211002126

    实验目的: (1)用MATLAB模拟傅立叶级数 F(x)=a0/2+ 求a0,an,bn;(2)对矩形函数,三角函数求傅立叶级数;(作图)(3)绘制函数及其傅立叶逼近实验分析(1):将F(x)=a0/2+ 展开为傅立叶级数,既是求ai,bi 根据三角函数的正交性,可得:a0=;an=;bn=应用积分求解公式int源程序:clearsyms x nf=(“函数方程”) a0=int(f,x,-pi,pi)/pi an=int(f*cos(n*x),x,-pi,pi)/pibn=int(f*sin(n*x),x,-pi,pi)/pi例:求函数f(x)=x^3+5 clearsyms x nf=x^3+5a0=int(f,x,-pi,pi)/pian=int(f*cos(n*x),x,-pi,pi)/pibn=int(f*sin(n*x),x,-pi,pi)/pi运行后得:

    实验分析(2):其中函数为F(X)=X,求解图像及其傅里叶逼近。 展开为傅里??级数: F(x)=a0/2+ ,先求解其中的a0,an,bn源程序:function y=fly(f,k,l)%f为要展开的函数,k为要展开的项数,l为函数半周期syms x n;a0=int(f,x,-l,l)/lan=int(f*cos(n*pi*x/l),x,-l,l)/lbn=int(f*sin(n*pi*x/l),x,-l,l)/lfor n=1:k a(n)=int(f*cos(n*pi*x/l),x,-l,l)/l; b(n)=int(f*sin(n*pi*x/l),x,-l,l)/l;endg=0;for n=1:k s=a(n)*cos(n*pi*x/l)+b(n)*sin(n*pi*x/l); g=g+s; end y=a0/2+g

    依次可以求得,1,3,5,7,10次的部分和,既可以做出图像。输入:x=-pi:0.01:pif1=2*sin(x)f3=2*sin(x)-sin(2*x)+2/3*sin(3*x)f5=2*sin(x)-sin(2*x)+2/3*sin(3*x)-1/2*sin(4*x)+2/5*sin(5*x)f7=2*sin(x)-sin(2*x)+2/3*sin(3*x)-1/2*sin(4*x)+2/5*sin(5*x)-1/3*sin(6*x)+2/7*sin(7*x)f10=2*sin(x)-sin(2*x)+2/3*sin(3*x)-1/2*sin(4*x)+2/5*sin(5*x)-1/3*sin(6*x)+2/7*sin(7*x)-1/4*sin(8*x)+2/9*sin(9*x)-1/5*sin(10*x) plot(x,x,x,f1,x,f3,x,f5,x,f7,x,f10)即可得图像:实验分析(3):求以2π为周期的周期函数函数F(x)=(-1,x<0;1,x>0)的傅里叶系数展开,及逼近(作图)源程序:[A,B,y]=fseries(f,x,n,a,b)f为待展开函数,x为自变量;n为展开项数;[a,b]为展开区间;A,B为傅里叶系数;y为返回的展开式(a)function [A,B,F]=fseries(f,x,n,a,b)if nargin==3, a=-pi; b=pi; end %若输入为3个参数表示f(x)在[-pi,pi]内展开L=(b-a)/2;A=int(f,x,-L,L)/L; %f(x)在[-L,L]内积分B=[]; F=A/2;for i=1:n an=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L; %积分求系数an bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,-L,L)/L; %积分求系数bn A=[A,an]; %记录所有an B=[B,bn]; %记录所有bn F=F+an*cos(i*pi*x/L)+bn*sin(i*pi*x/L); %得到n阶傅里叶展开式end(b)syms x;f=abs(x)/x; %给出待展开函数xx=[-p

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  • [Matlab-2]傅里叶级数(Fourier Series)

    千次阅读 2021-04-25 09:38:20
    @[TOC]([Matlab-2]函数展开为傅里叶级数(Fourier Series)) 周期延拓 在遇到非周期函数尤其是一段函数时,我们常常将其周期延拓 在时域下,表达式为 如下方波的傅里叶级数为 数值法实现傅里叶级数展开(Realize ...

    周期延拓

    在遇到非周期函数尤其是一段函数时,我们常常将其周期延拓
    在这里插入图片描述
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    在时域下,表达式为
    在这里插入图片描述
    如下方波的傅里叶级数为
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    数值法实现傅里叶级数展开(Realize Fourier Series with Numeric Method )

    Loop形式

    % numeric method: loop function, trapz
    clear;clf;
    T = 2; f = 1/T; w1 = 2*pi*f;
    dt = 0.01;
    t = -2:dt:2;
    tao = -0.5:dt:0.5;
    a0 = trapz(tao,tao.^0)/T;
    f = a0;
    N = input('N=');
    an = zeros(1,N);
    bn = zeros(1,N);
    for n = 1:N
     fcos = 1.*cos(n*w1*tao); an(n)=trapz(tao,fcos)*2/T;
     fsin = 1.*sin(n*w1*tao); bn(n)=trapz(tao,fsin)*2/T;
     f = f+ an(n)*cos(n*w1*t)+bn(n)*sin(n*w1*t);
    end
    plot(t,f);xlabel('t(s)');ylabel('ft'); grid on;
    title(['Numeric Loop with N=' num2str(N)]);
    

    矩阵形式

    Matlab在矩阵计算上有着其他软件难以企及的优势,所以通过数学公式变化,我们也可以将其写成矩阵形式
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    % numeric method: matrix calculation
    clear; clf;
    T = 2; f = 1/T; w1 = 2*pi*f;
    dt = 0.01;
    t = -2:dt:2;
    tao = -0.5:dt:0.5;
    a0 = trapz(tao,tao.^0)/T;
    N = input('N=');
    n = 1:N;
    fcos = 1.*cos(n'*w1*tao); an = trapz(tao,fcos,2)*2/T;
    fsin = 1.*sin(n'*w1*tao); bn = trapz(tao,fsin,2)*2/T;
    f = a0 + an'*cos(n'*w1*t) + bn'*sin(n'*w1*t);
    plot(t,f); xlabel('t(s)');ylabel('ft'); grid on;
    title(['Numeric Matrix with N=' num2str(N)]);
    

    符号法实现傅里叶级数展开(Realize the Fourier Series with Symbolic Method )

    Loop结构

    % Symbolic method: loop function, int
    clear; clf;
    N = input('N=');
    syms t1 a0 an bn n
    T1 = 2; f = 1/T1; w1 = 2*pi*f;
    range = [-0.5,0.5];
    a0 = 1/T1*int(t1^0,t1,range);
    f = a0;
    for n=1:N
     an = 2/T1*int(cos(n*w1*t1),t1,range);
     bn = 2/T1*int(sin(n*w1*t1),t1,range);
     f = f+an*cos(n*w1*t1)+bn*sin(n*w1*t1);
    end
    fplot(f); xlabel('t');ylabel('y(t)');
    title(['Symbolic Loop with N=' num2str(N)]);
    axis([-2,2,-0.2,1.2]); grid on;
    

    吉布斯现象(Gibbs Phenomenon)

    在进行高阶展开时。我们常常能遇到下面这些问题,在断点处的峰值不随N变大而减小,这就是所谓的吉布斯现象
    在这里插入图片描述

    不同形式的傅里叶级数

    另一种三角形式

    在这里插入图片描述

    指数形式(complex exponential form)

    在这里插入图片描述

    三角与指数形式之间的关系

    在这里插入图片描述

    样例(Sample)

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  • 目前为止并MATLAB并没有求解傅里叶级数的函数,但是可以利用int函数快速得到,详情见代码。 求解傅里叶级数及其图像逼近验证: syms x n; a0 = int(2,x,0,2)/2; a0 an = int(2*cos(n*pi*x/2),x,0,2)/2; an bn ...

    目前为止并MATLAB并没有求解傅里叶级数的函数,但是可以利用int函数快速得到,详情见代码。

     求解傅里叶级数及其图像逼近验证:
      

    syms x n;
    a0 = int(2,x,0,2)/2;
    a0
    an = int(2*cos(n*pi*x/2),x,0,2)/2;
    an
    bn = int(2*cos(n*pi*x/2),x,0,2)/2;
    bn
    b = 40;
    hold on
    Sm = 1;
    for n = 1:b
      fn = 2*2*sin((2*n-1)*pi*x/2)/(2*n-1)/pi;
      Sm =Sm +fn;
      clf
      subplot(2,1,1)
      ezplot(fn,[-6,6])
      subplot(2,1,2)
      ezplot(Sm,[-6,6])
      if n==6
        pause
      else
        pause(5/n)
      end
     end

    注:上述代码中有求解a0、an、bn公式。

    输出:
     

    a0 =
     
    2
     
     
    an =
     
    (2*sin(pi*n))/(n*pi)
     
     
    bn =
     
    (2*sin(pi*n))/(n*pi)

    图像:

     

    可见随着b的增大,Sm图像逐渐逼近f(x) 

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空空如也

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