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  • 周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式,共享学习。百度已有,只是这个不用下载券!不用下载券!不用下载券!
  • 三角函数傅立叶级数

    千次阅读 2019-12-19 09:34:53
    我讨厌傅立叶级数的叫法,这老让我感觉到很深奥,但当我用三角级数时,感觉就大不同了!! 下面进入正题 正弦波 信号处理中极为极为极为重要的一个函数,三角函数,之所以叫做三角函数,是因为它的计算方式和直角...

    我讨厌傅立叶级数的叫法,这老让我感觉到很深奥,但当我用三角级数时,感觉就大不同了!!

    下面进入正题

    正弦波

    信号处理中极为极为极为重要的一个函数,三角函数,之所以叫做三角函数,是因为它的计算方式和直角三角密切相关,三角函数又常常叫正弦函数,实际在使用中,不管是sin还是cos都常常被统称为正弦函数。(假设θ为自变量,θ称为相位或相角,单位rad

     

    当我们引入动态的概念后(角频率,角速度,相位 θ=ωt+ψ),正弦函数随之而动,从一个定值变成了一个波,在信号处理中,我们称之为正弦波(同上不管是sin还是cos都称正弦波)正弦波具有三个要素,角频率,初相位和波幅(振幅),通用的公式来描述正弦

    Sean:“波”就是一个动态的概念,三要素能唯一表征出一个正弦波,生活中最常见的交流电就是正弦波

     

     

    三角函数的正交性

    不同频率的正弦波相乘,对其周期积分后,其结果是0!

    为什么呢

    因为不同频率的正弦波相乘(不管是sin还是cos)通过积化和差总是可化为两个正弦波之和或差,而我们知道们,对正弦波正无穷到负无穷内进行积分,其结果必定是0(主值积分,取周期),当同频时则结果等于它的周期的一半

     

     

    信号处理的公式中比如傅里叶变换,默认都以柯西主值积分作为钦定的积分方式

     

     

    傅里叶变换中使用的是柯西主值积分,整个无穷区间取周期倍),的结果必然为0。

    傅立叶级数(实质就是三角级数)

    任何”周期信号都可以用一系列成谐波关系的正弦曲线来表示。(所有的目标,谐波表示法)

    直观地可以用下面这个式子来表示

     

    利用三角函数的变换公式,上式可变形为

     

    现在,让我们正式的引入正交性的性质,还记得检波手段么,这里,我们假设对 f(t)用sin(κωt)进行检波(说人话就是乘起来,然后为了方便计算对其在一个周期内积分),那么就有。

    不要问为什么要加上积分,当然是为了利用三角积分的性质

     

    附 :(0,T)代入可得T/2

     

     非无穷函数展开为三解级数

    上面的结论都是针对“波”即随时间变化的无限的函数(定义域为负无究到正无究的函数)通常它含有ωt,角频率的自变量t形式。此时只有周期函数才能展开为傅立叶级数。在信号在信号处理领域我们称傅立叶级数只针对周期函数。

    特别注意实际上如 脉冲函数,一个方波等的函数,定义域也是无究的,只是值域可能为零。但它们是非周期函数,所以不能直接展开为三角级数。这也正是提出傅立叶变换的原因

    跳出信号处理的领域回归更一般的场合--定义域非无究的情况,傅立叶级数的定义为

    (系数的计算和上面方法是类似的)

     

    而且f(x)可以是分段连续的,此时关于其断点的傅立叶级数收敛性有:

     

    波”的傅立叶级数实质就是区间傅立叶级数的周期拓展的结果。

    傅立叶级数的周期延拓

    奇函数的偶函数关于对称区间的积分

     

    余项级数(余弦项的级数)

    因此如果对区间为(0,L) (这里的L来源于绝缘棒的长度)的函数进行偶延拓,则三角级数所有的正弦项系数(奇函数积分)将全为0,因此只有余项级数

     

    如果进行奇延拓,则三角级数只有正弦级数

     

    吉伯斯现象

    对于存在断点的函数的三角级数,在断点处的傅立叶级数的展开式总会有一个上冲。(对连续的部分当然是是随着三角级数项增加而无限接近,但断点处却不能,而总会有一个上冲,而且恒接近于1.09)

     

     

     

    狄利克雷充分条析

    傅里叶在提出傅里叶级数时坚持认为,任何一个周期信号都可以展开成傅里叶级数,但狄利克雷认为,只有在满足一定条件时,周期信号才能展开成傅里叶级数。这个条件被称为狄利克雷条件。

    (1 )在一周期内,连续或只有有限个第一类间断点;

    (2)在一周期内,极大值和极小值的数目应是有限个;

    (3)在一周期内,信号是绝对可积的

    一般我们遇到的周期信号都能满足狄利克雷条件。

    狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。--人话讲就是满足的一定可展开为三角级数,不满足就不一定。

    展开全文
  • 我们用函数的幂级数展开式表示与讨论函数,因此我们也可将周期函数展开由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。具体地说,将周期为T(=2πω)T(=\frac{2\pi}{\omega})T(=ω2π​)的周期函数用一系列以T为周期的正弦...

    由三角函数组成的函数项级数,即所谓的三角级数,着重研究如何把函数展开成三角级数。

    一、三角级数 三角函数系的正交性

    如何深入研究非正弦周期函数呢?我们用函数的幂级数展开式表示与讨论函数,因此我们也可将周期函数展开由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。具体地说,将周期为 T ( = 2 π ω ) T(=\frac{2\pi}{\omega}) T(=ω2π)的周期函数用一系列以T为周期的正弦函数 A n s i n ( n ω t + φ n ) A_nsin(n\omega t+\varphi_n) Ansin(nωt+φn)组成的级数来表示,记为
    f ( t ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n s i n ( n ω t + φ n ) (1) f(t)=A_0+\sum_{n=1}^\infty A_nsin(n\omega t+\varphi_n) \tag{1} f(t)=A0+n=1Ansin(nωt+φn)(1)
    其中 A 0 , A n , φ n ( n = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ ) A_0,A_n,\varphi_n(n=1,2,3,···) A0,An,φn(n=1,2,3,)都是常数。

    将周期函数按上述方式展开,它的物理意义很明确,就是把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。在电工学上,这种展开称为谐波分析,其中常数项 A 0 A_0 A0称为 f ( t ) f(t) f(t)的直流分量, A 1 s i n ( ω t + φ 1 ) A_1sin(\omega t+\varphi_1) A1sin(ωt+φ1)称为一次谐波(又叫做基波), A 2 s i n ( 2 ω t + φ 2 ) A_2sin(2\omega t+\varphi_2) A2sin(2ωt+φ2) A 3 s i n ( 3 ω t + φ 3 ) , ⋅ ⋅ ⋅ A_3sin(3\omega t+\varphi_3),··· A3sin(3ωt+φ3),依次称为二次谐波,三次谐波,等等。

    为了方便起见,将正弦函数 A n s i n ( n ω t + φ n ) A_nsin(n\omega t+\varphi_n) Ansin(nωt+φn)按三角公式变形得
    A n s i n ( n ω t + φ n ) = A n s i n   φ n c o s   n ω t + A n c o s   φ n s i n   n ω t A_nsin(n\omega t+\varphi_n)=A_nsin\,\varphi_n cos\, n\omega t+A_ncos\,\varphi_nsin\,n\omega t Ansin(nωt+φn)=Ansinφncosnωt+Ancosφnsinnωt
    并且令 a 0 2 = A 0 , a n = A n s i n φ n , b n = A n c o s φ n , ω = π l \frac{a_0}{2}=A_0,a_n=A_nsin\varphi_n,b_n=A_n cos\varphi_n,\omega=\frac{\pi}{l} 2a0=A0,an=Ansinφn,bn=Ancosφn,ω=lπ(即 T = 2 l T=2l T=2l),则(1)式右端的级数就可以改写为
    a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n π t l + b n s i n n π t l ) (2) \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_ncos\frac{n\pi t}{l}+b_nsin\frac{n\pi t}{l}) \tag{2} 2a0+n=1(ancoslnπt+bnsinlnπt)(2)
    形式(2)式的级数叫做三角级数,其中 a 0 , a n , b n ( n = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ ) a_0,a_n,b_n(n=1,2,3,···) a0,an,bn(n=1,2,3,)都是常数。

    π l l = x \frac{\pi l}{l}=x lπl=x,(2)式成为
    a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s   n x + b n s i n   n x ) (3) \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos\,nx+b_nsin\,nx) \tag{3} 2a0+n=1(ancosnx+bnsinnx)(3)
    这就把2l为周期的三角级数转换成以 2 π 2\pi 2π为周期的三角函数

    下面讨论以 2 π 2\pi 2π为周期的三角级数(3)

    如同讨论幂级数时一样,必须先讨论三角级数(3)的收敛问题,以及给定周期为 2 π 2\pi 2π的周期函数如何展开成三角三角级数(3)。为此,首先介绍三角函数系的正交性。

    所谓三角函数系
    1 , c o s   x , s i n   x , c o s   2 x , s i n   2 x , ⋅ ⋅ ⋅ , c o s   n x , s i n   n x , ⋅ ⋅ ⋅ (4) 1,cos\, x,sin\,x,cos\,2x,sin\,2x,···,cos\,nx,sin\,nx,··· \tag{4} 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,,cosnx,sinnx,(4)
    在区间 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π]上正交,就是指在三角函数系(4)中任何不同的两个函数的乘积在区间 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π]上的积分等于零,即
    ∫ − π π c o s   n x d x = 0 ( n = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ ) , ∫ − π π s i n   n x d x = 0 ( n = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ ) , ∫ − π π s i n   k x   c o s   n x d x = 0 ( 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ ) , ∫ − π π c o s   k x   c o s   n x d x = 0 ( k , n = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ , k ≠ n ) , ∫ − π π s i n   k x   s i n   n x d x = 0 ( k , n = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ , k ≠ n ) \int_{-\pi}^\pi cos\,nxdx=0 \quad(n=1,2,3,···), \\ \int_{-\pi}^\pi sin\,nxdx=0 \quad(n=1,2,3,···), \\ \int_{-\pi}^\pi sin\,kx\,cos\,nxdx=0\quad(1,2,3,···), \\ \int_{-\pi}^\pi cos\,kx\,cos\,nxdx=0\quad(k,n=1,2,3,···,k\neq n), \\ \int_{-\pi}^\pi sin\,kx\,sin\,nxdx=0 \quad(k,n=1,2,3,···,k\neq n) ππcosnxdx=0(n=1,2,3,),ππsinnxdx=0(n=1,2,3,),ππsinkxcosnxdx=0(1,2,3,),ππcoskxcosnxdx=0(k,n=1,2,3,,k=n),ππsinkxsinnxdx=0(k,n=1,2,3,,k=n)
    以上等式,都可以通过计算定积分来验证

    在三角函数系(4)中,两个相同函数的乘积在区间 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π]上的积分不等于零,即
    ∫ − π π 1 2 d x = 2 π , ∫ − π π s i n 2 n x d x = π , ( n = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ ) \int_{-\pi}^\pi1^2dx=2\pi,\int_{-\pi}^\pi sin^2nxdx=\pi ,(n=1,2,3,···) ππ12dx=2π,ππsin2nxdx=π,(n=1,2,3,)

    二、函数展开成傅里叶级数

    f ( x ) f(x) f(x)是周期为 2 π 2\pi 2π的周期函数,且能展开成三角级数
    f ( x ) = a 0 2 + ∑ k = 1 ∞ ( a k c o s   k x + b k s i n   k x ) (5) f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty(a_kcos\,kx+b_ksin\,kx) \tag{5} f(x)=2a0+k=1(akcoskx+bksinkx)(5)
    问题:系数 a 0 , a 1 , b 1 , ⋅ ⋅ ⋅ a_0,a_1,b_1,··· a0,a1,b1,与函数 f ( x ) f(x) f(x)之间存在着怎样的关系?换句话说,如何利用 f ( x ) f(x) f(x) a 0 , a 1 , b 1 , ⋅ ⋅ ⋅ a_0,a_1,b_1,··· a0,a1,b1,表达出来?为此,应进一步假设(5)式右端的级数可以逐项积分。

    先求 a 0 a_0 a0.对(5)式从 − π -\pi π π \pi π积分,由于假设(5)式右端级数可逐项积分,因此有
    ∫ − π π f ( x ) d x = ∫ − π π a 0 2 d x + ∑ k = 1 ∞ [ a k ∫ − π π c o s   k x d x + b k ∫ − π π s i n   k x d x ] \int_{-\pi}^\pi f(x)dx=\int_{-\pi}^\pi\frac{a_0}{2}dx+\sum_{k=1}^\infty[a_k\int_{-\pi}^\pi cos\,kxdx+b_k\int_{-\pi}^\pi sin\,kxdx] ππf(x)dx=ππ2a0dx+k=1[akππcoskxdx+bkππsinkxdx]
    根据三角函数系(4)的正交性,等式右端除第一项外,其余各项均为零,所以
    ∫ − π π f ( x ) d x = a 0 2 ⋅ 2 π \int_{-\pi}^\pi f(x)dx=\frac{a_0}{2}·2\pi ππf(x)dx=2a02π
    于是得
    a 0 = 1 π f ( x ) d x a_0=\frac{1}{\pi}f(x)dx a0=π1f(x)dx
    其次求 a n a_n an。用 c o s   n x cos\, nx cosnx乘(5)式两端,再从 − π -\pi π π \pi π积分,得到
    ∫ − π π f ( x ) c o s   n x d x = a 0 2 ∫ − π π c o s   n x d x + ∑ k = 1 ∞ [ a k ∫ − π π c o s   k x   c o s   n x d x + b k ∫ − π π s i n   k x   c o s   n x d x ] \int_{-\pi}^\pi f(x)cos\,nxdx=\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^\pi cos\,nxdx+\sum_{k=1}^\infty[a_k\int_{-\pi}^\pi cos\,kx\,cos\,nxdx+b_k\int_{-\pi}^\pi sin\,kx\,cos\,nxdx] ππf(x)cosnxdx=2a0ππcosnxdx+k=1[akππcoskxcosnxdx+bkππsinkxcosnxdx]
    根据三角系数系(4)的正交性,等式右端除 k = n k=n k=n的一项外,其余各项均为零,所以
    ∫ − π π f ( x ) c o s   n x d x = a n ∫ − π π c o s 2 n x d x = a n π \int_{-\pi}^\pi f(x)cos\,nxdx=a_n\int_{-\pi}^\pi cos^2nxdx=a_n\pi ππf(x)cosnxdx=anππcos2nxdx=anπ
    于是得
    a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) c o s   n x d x ( n = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ ) a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)cos\,nxdx\quad (n=1,2,3,···) an=π1ππf(x)cosnxdx(n=1,2,3,)
    类似地,用 s i n   n x sin\,nx sinnx乘(5)式的两端,再从 − π -\pi π π \pi π积分,可得
    b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) s i n   n x d x ( n = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ ) b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)sin\,nxdx(n=1,2,3,···) bn=π1ππf(x)sinnxdx(n=1,2,3,)
    由于当 n = 0 n=0 n=0时, a n a_n an的表达式正好给出 a 0 a_0 a0,因此,已得结果可以合并写成
    a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) c o s   n x d x ( n = 0 , 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ ) b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) s i n   n x d x ( n = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ ) (6) a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)cos\,nxdx\quad (n=0,1,2,3,···) \\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)sin\,nxdx(n=1,2,3,···) \tag{6} an=π1ππf(x)cosnxdx(n=0,1,2,3,)bn=π1ππf(x)sinnxdx(n=1,2,3,)(6)
    如果式(6)中的积分都存在,这时它们定出的系数 a 0 , a 1 , b 1 , ⋅ ⋅ ⋅ a_0,a_1,b_1,··· a0,a1,b1,叫做函数 f ( x ) f(x) f(x)傅里叶系数。将这些系数代入(5)式右端,所得的三角级数
    a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s   n x + b n s i n   n x ) \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_ncos\,nx+b_nsin\,nx) 2a0+n=1(ancosnx+bnsinnx)
    叫做函数 f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶级数。

    一个定义在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (,+)上周期为 2 π 2\pi 2π的函数 f ( x ) f(x) f(x),如果它在一个周期上可积,那么一定可以作出 f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶级数。然而,函数 f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶级数是否一定收敛?如果它收敛,他是否一定收敛于函数 f ( x ) f(x) f(x)?一般说来,这两个问题的答案都不是肯定的。那么, f ( x ) f(x) f(x)在怎样的条件下,它的傅里叶级数不仅收敛,而且收敛于 f ( x ) f(x) f(x)?也就是说, f ( x ) f(x) f(x)满足什么条件可以展开成傅里叶级数?

    下面收敛定理给出上述问题的一个重要结论。

    定理:(收敛定理,狄利克雷充分条件)设 f ( x ) f(x) f(x)是周期为 2 π 2\pi 2π的周期函数,如果它满足:

    (1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点

    (2)在一个周期内至多只有有限个极值点,

    那么 f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶级数收敛,并且

    当x是 f ( x ) f(x) f(x)的连续点时,级数收敛于 f ( x ) f(x) f(x)

    当x是 f ( x ) f(x) f(x)的间断点时,级数收敛于 1 2 [ f ( x − ) + f ( x + ) ] \frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)] 21[f(x)+f(x+)]

    收敛定理表明:只要函数在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π]上至多有有限个第一类间断点,并且不作无限次振动,函数的傅里叶级数在连续点处就收敛于该点的函数值,在间断点处收敛于该点左极限与右极限的算术平均值。可见,函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多。记
    C = { x ∣ f ( x ) = 1 2 [ f ( x − ) + f ( x + ) ] } C=\{x|f(x)=\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]\} C={xf(x)=21[f(x)+f(x+)]}
    在C上就成立 f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶级数展开式.
    f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s   n x + b n s i n   n x ) , x ∈ C (7) f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_ncos\,nx+b_nsin\,nx),x\in C \tag{7} f(x)=2a0+n=1(ancosnx+bnsinnx),xC(7)
    例1:设 f ( x ) f(x) f(x)是周期为 2 π 2\pi 2π的周期函数,它在 [ − π , π ) [-\pi,\pi) [π,π)上的表达式为
    f ( x ) = { − 1 , − π ≤ x < 0 1 , 0 ≤ x < π f(x)=\begin{cases} -1,&-\pi\leq x<0 \\ 1, &0\leq x<\pi \end{cases} f(x)={1,1,πx<00x<π
    f ( x ) f(x) f(x)展开成傅里叶级数,并作出级数的和函数的图形。

    :所给函数满足收敛定理的条件,它在点 x = k π ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ) x=k\pi(k=0,\pm 1,\pm 2,···) x=kπ(k=0,±1,±2,)处不连续,在其他点处连续,从而由收敛定理知道 f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶级数收敛,并且当 x = k π x=k\pi x=kπ时级数收敛于
    − 1 + 1 2 = 1 + ( − 1 ) 2 = 0 \frac{-1+1}{2}=\frac{1+(-1)}{2}=0 21+1=21+(1)=0
    x ≠ k π x\neq k\pi x=kπ时级数收敛于 f ( x ) f(x) f(x)

    计算傅里叶系数如下:
    a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) c o s   n x d x = 1 π ∫ − π 0 ( − 1 ) c o s   n x d x + 1 π ∫ 0 π 1 ⋅ c o s   n x d x = 0 ( n = 0 , 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ) ; a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)cos\,nxdx \\ =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0 (-1)cos\,nxdx +\frac{1}{\pi}\int_{0}^\pi 1·cos\,nxdx \\ =0 \quad (n=0,1,2,···); an=π1ππf(x)cosnxdx=π1π0(1)cosnxdx+π10π1cosnxdx=0(n=0,1,2,);

    b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) s i n   n x d x = 1 π ∫ − π 0 f ( x ) s i n   n x d x + 1 π ∫ 0 π 1 ⋅ s i n   n x d x = 2 n π [ 1 − ( − 1 ) n ] = { 4 n π , n = 1 , 3 , 5 , ⋅ ⋅ ⋅ 0 , n = 2 , 4 , 6 , ⋅ ⋅ ⋅ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)sin\,nxdx \\ =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0 f(x)sin\,nxdx + \frac{1}{\pi}\int_0^\pi 1·sin\,nxdx \\ =\frac{2}{n\pi}[1-(-1)^n] \\ =\begin{cases} \frac{4}{n\pi}, & n=1,3,5,··· \\ 0, & n=2,4,6,··· \end{cases} bn=π1ππf(x)sinnxdx=π1π0f(x)sinnxdx+π10π1sinnxdx=nπ2[1(1)n]={nπ4,0,n=1,3,5,n=2,4,6,

    将求得的系数代入(7)式,就得到 f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶级数展开式为
    f ( x ) = 4 π [ s i n   x + 1 3 s i n   3 x + ⋅ ⋅ ⋅ + 1 2 k − 1 s i n   ( 2 k − 1 ) x + ⋅ ⋅ ⋅ ] = 4 π ∑ k = 1 ∞ 1 2 k − 1 s i n   ( 2 k − 1 ) x ( − ∞ < x < + ∞ ; x ≠ 0 , ± π , ± 2 π , ⋅ ⋅ ⋅ ) f(x)=\frac{4}{\pi}[sin\,x+\frac{1}{3}sin\,3x+···+\frac{1}{2k-1}sin\,(2k-1)x+···] \\ =\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2k-1}sin\,(2k-1)x\quad (-\infty<x<+\infty;x\neq 0,\pm \pi,\pm 2\pi,···) f(x)=π4[sinx+31sin3x++2k11sin(2k1)x+]=π4k=12k11sin(2k1)x(<x<+;x=0,±π,±2π,)
    在这里插入图片描述
    如果把上例中的函数理解为矩形波的波形函数(周期 T = 2 π T=2\pi T=2π,振幅 E = 1 E=1 E=1,自变量x表示时间),那么上面所得到的展开式表明:矩形波是由一系列不同频率的正弦波叠加而成的,这些正弦波的频率依次为基波频率的奇数倍。

    应该注意,如果函数 f ( x ) f(x) f(x)只在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π]上有定义i,并且满足收敛定理的条件,那么 f ( x ) f(x) f(x)也可以展开成傅里叶级数。事实上,我们可在 [ − π , π ) [-\pi,\pi) [π,π) ( − π , π ] (-\pi,\pi] (π,π]外补充函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义,使它拓广成周期为 2 π 2\pi 2π的周期函数 F ( x ) F(x) F(x)。按这种方式拓广函数的定义域的过程称为周期延拓。再将 F ( x ) F(x) F(x)展开成傅里叶级数。最后限制 x x x ( − π , π ) (-\pi,\pi) (π,π)内,此时 F ( x ) ≡ f ( x ) F(x)\equiv f(x) F(x)f(x),这样便得到 f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶级数展开式。根据收敛定理,这级数在区间端点 x = ± π x=\pm \pi x=±π处收敛于 f ( π − ) + f ( − π + ) 2 \frac{f(\pi^-)+f(-\pi^+)}{2} 2f(π)+f(π+)

    三、正弦级数和余弦级数

    一般来说,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项。但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项。实际上,这是与所给函数 f ( x ) f(x) f(x)的奇偶性有密切关系的。对于周期为 2 π 2\pi 2π的函数 f ( x ) f(x) f(x),它的傅里叶系数计算公式为
    a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) c o s   n x d x ( n = 0 , 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ) , b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) s i n   n x d x ( n = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ ) a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos\, nxdx\quad (n=0,1,2,···), \\ b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)sin\,nxdx\quad (n=1,2,3,···) an=π1ππf(x)cosnxdx(n=0,1,2,),bn=π1ππf(x)sinnxdx(n=1,2,3,)
    由于奇函数在对称区间上的积分为零,偶函数在对称区间上的积分等于半区间上积分的两倍,因此,

    f ( x ) f(x) f(x)为奇函数时, f ( x ) c o s   n x f(x)cos\,nx f(x)cosnx是奇函数, f ( x ) s i n   n x f(x)sin\, nx f(x)sinnx是偶函数,故
    a n = 0 ( n = 0 , 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ) b n = 2 π ∫ 0 π f ( x ) s i n   n x d x ( n = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ ) a_n=0 \quad(n=0,1,2,···) \\ b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)sin\,nxdx \quad(n=1,2,3,···) an=0(n=0,1,2,)bn=π20πf(x)sinnxdx(n=1,2,3,)
    即知奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数
    ∑ n = 1 ∞ b n s i n   n x \sum_{n=1}^\infty b_nsin\,nx n=1bnsinnx
    f ( x ) f(x) f(x)为偶函数时, f ( x ) c o s   n x f(x)cos\,nx f(x)cosnx是偶函数, f ( x ) s i n   n x f(x)sin\,nx f(x)sinnx是奇函数,故
    a n = 2 π ∫ 0 π f ( x ) c o s   n x d x ( n = 0 , 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ) b n = 0 ( n = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ ) a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)cos\,nxdx(n=0,1,2,···) \\ b_n=0 \quad (n=1,2,3,···) an=π20πf(x)cosnxdx(n=0,1,2,)bn=0(n=1,2,3,)
    即知偶函数的傅里叶级数只是含有常数项和余弦项的余弦级数
    a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s   n x \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_ncos\,nx 2a0+n=1ancosnx
    在实际应用(如研究某种波动问题、热的传导、扩散问题)中,有时还需要把定义在区间 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上的函数 f ( x ) f(x) f(x)展开成正弦级数或余弦级数。

    根据前面讨论的结果,这类展开问题可以按如下方法解决:设函数 f ( x ) f(x) f(x)定义在区间 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上并且满足收敛定理的条件,我们在开区间 ( − π , 0 ) (-\pi,0) (π,0)内补充函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义,得到定义在 ( − π , π ] (-\pi,\pi] (π,π]上的函数 F ( x ) F(x) F(x),使它在 ( − π , π ) (-\pi,\pi) (π,π)上成为奇函数(偶函数),若 f ( 0 ) ≠ 0 f(0)\neq 0 f(0)=0,则规定 F ( 0 ) = 0 F(0)=0 F(0)=0。按这种方法括广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓)。然后将奇延拓(欧延拓)后的函数展开成傅里叶级数,这个级数必定是正弦级数(余弦级数)。再限制x在 ( 0 , π ] (0,\pi] (0,π]上,此时 F ( x ) ≡ f ( x ) F(x)\equiv f(x) F(x)f(x),这样便得到 f ( x ) f(x) f(x)的正弦级数(余弦级数)展开式。

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  • 人工智能-机器学习-数学-数学分析-总结(十二):无穷级数

    一、常数项级数的概念和性质

    1、常数项级数的概念和性质

    1.1 常数项级数的概念

    在这里插入图片描述

    1.2 收敛级数的基本性质

    在这里插入图片描述

    二、常数项级数的审敛法

    1、正项级数及其审敛法

    在这里插入图片描述

    2、交错级数及其审敛法

    在这里插入图片描述

    3、绝对收敛与条件收敛

    在这里插入图片描述

    4、绝对收敛级数的性质

    在这里插入图片描述

    三、幂级数

    1、函数项级数的概念

    在这里插入图片描述

    2、幂级数的定义

    在这里插入图片描述

    3、幂级数的收敛性

    在这里插入图片描述

    4、幂级数的运算

    在这里插入图片描述

    四、函数展开成幂级数

    给定函数f(x), 要考虑它是否能在某个区间内” 展开成幂级数”,就是说, 是否能找到这样一个幂级数,它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f(x) 。如果能找到这样的幂级数,我们就说, 函数f(x) 在该区间内能展开成幂级数,而这个幂级数在该区间内就表达了函数f(x ) 。

    1、泰勒展开式

    在这里插入图片描述

    2、泰勒级数

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    3、n 次泰勒多项式

    在这里插入图片描述

    4、泰勒展开式成立的条件

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    5、麦克劳林展开式

    在这里插入图片描述

    6、要把函数f(x) 展开成x的幂级数步骤

    在这里插入图片描述

    7、要把函数f(x) 展开成x的幂级数案例

    在这里插入图片描述

    五、函数的幂级数展开式的应用

    1、近似计算

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    2、微分方程的幂级数解法

    在这里插入图片描述

    3、欧拉公式

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    七、傅里叶级数(三角级数)

    1、三角级数

    在这里插入图片描述

    2、三角函数系正交

    在这里插入图片描述

    3、函数展开成傅里叶级数

    在这里插入图片描述

    4、函数展开成傅里叶级数案例

    在这里插入图片描述

    5、函数的傅里叶级数的收敛性

    在这里插入图片描述

    6、正弦级数和余弦级数

    在这里插入图片描述

    八、一般周期函数的傅里叶级数

    在这里插入图片描述

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  • 傅里叶分析之掐死教程,我看了,说实话我觉得有点绕,如果没学过傅里叶变换我觉得不可能看一遍就懂,估计会卡死很久。尤其是那些矢量图和大海螺旋图,让我一脸懵逼,怀疑自己没学过傅里叶变换。Heinrich:傅里叶分析...

    af643a1aded0ff0d246f301d9880e85e.png

    <前言>

    傅里叶分析之掐死教程,我看了,说实话我觉得有点绕,如果没学过傅里叶变换我觉得不可能看一遍就懂,估计会卡死很久。尤其是那些矢量图和大海螺旋图,让我一脸懵逼,怀疑自己没学过傅里叶变换。

    Heinrich:傅里叶分析之掐死教程(完整版)更新于2014.06.06​zhuanlan.zhihu.com
    f1fb9ba712f3784683558426748d02ce.png

    仔细一想,作者说“要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析”。这就麻烦了,数学语言简洁直接,要最快理解显然应该不应该走这条路,而应该先把相关的数学知识搞清楚到能理解傅里叶变换的程度。

    当然像作者这样去讲述也是很棒的(尤其是我引用的那张图,很清晰),但是我总觉得这样会使已经有一点数学基础的人看的更晕,没有数学基础的同学也不可能很快理解。

    </前言>

    <正文>

    我们可以将任意信号强度随时间变化的规律写成函数f(x),x表示时间。

    任意信号往往非常复杂毫无规律,难以用数学式表示,于是我们希望将函数f(x)分解为几个简单的函数相加的形式,分解如下表示:

    3e252a3ed3c43399ebca92744a5b5e0d.png

    我们自然希望找到一种分解(选择一种合适的基底函数),能够很方便地求出系数c_n。数学家告诉我们三角函数、复指数函数正是合适的基底函数。

    利用三角函数系或复指数函数系展开的函数级数被称为傅立叶级数。

    周期为T的函数f(x)傅里叶级数展开如下:

    b0de9e13bcc902915fee0a9a709d9bbf.png

    数学家(知道我们不会算)同时告诉了我们系数:

    85363d3471144f7859dc3b9a1f6794ef.png
    式中a_n, b_n是傅立叶系数,ω为基频,与周期T或频率f的关系是ω=2π/T=2πf。

    abfc24c0d735e2b80dd94909ca34183d.png
    补充一下振幅和相位的定义

    把频率作为x轴(数值用n表示),把振幅An作为y轴,可以画出频谱图(幅度谱):

    74950337f582ed0750617100e5895c2d.png
    (随便取的数值)

    利用频谱图还可以直观地分析各谐波分量的组成以及比重。当然还有相位谱图,频率作为x轴(数值用n表示),相位φ作为y轴就好了。

    如上所述,我们可以将一个复杂的周期性信号分解成几个简单的简谐波叠加。

    (把复杂的波形变成如上几根线段,真是太爽了!)

    那非周期性函数怎么办?非周期函数的傅立叶展开式,周期无限大,采用傅立叶积分。

    傅立叶积分是傅立叶级数取极限得到的,推导过程如下图所示:

    (前方复指数函数警告,没学过可以跳过下图推导)

    a0ac1a3e6e869a4a37c7bdb8004dbebe.png
    (非周期拿几个简谐波叠加凑不好,那就多几个,无限多个来个积分总够了吧!)

    对比一下傅里叶级数的式子:

    293dddd0f43d9e3465ac7973a6f350db.png

    非周期信号的F(f)就是周期性信号的An(也就是一开始说的系数)。

    非周期信号和周期性信号的区别就在于频谱是否连续:

    ee7dacdca28deb7ed2a0baf404e9fcaa.png
    (两图的数值都是乱定的)

    <总结一下>

    所以呢,傅里叶变换就是在分解一个函数的过程中,某个叫傅里叶的人发现某种分解方式特别简洁好算,然后就把这种分解方式(变换)命名为傅里叶变换。

    从数学上理解,就是把一个函数写成几个(或者无限个,取个极限)函数(三角函数或复指数函数)相加的过程。

    从信号处理的角度来理解,就是把一个在时域上非常复杂的信号函数(随时间变化非常复杂),转变为在频域上相对简单便于处理的频谱函数的过程。

    下图非常直观地表现了这一过程。基底函数是三角函数,原始信号函数前面那个是图像类似于矩形波的函数。如果要分解真正的矩形波(显然是非周期函数),频谱图像就是连续的。

    7abd7e865c7e405e76cd8ba92f0d2183.png

    </总结一下>

    很多时候会把f写成u:

    d23e554673945712406a45f659ce355c.png

    还有傅里叶反(逆)变换:

    628304475a5a565cd2b326549ebda673.png

    傅立叶变换是互逆的,唯一的。如果没有这一性质,就不能将一个时域的函数变换为频域进行分析,再变换回时域。

    值得注意的是,上文我们以信号随时间的变化举例来理解一维的傅里叶变换,或者说应用一维傅里叶变换处理随时间变换的信号问题。但是傅里叶变换在数学上仅仅是一个函数变换,具体变量的含义并无规定。

    </正文>

    <遥感数字图像处理原理课的复习>

    通过“处理时间信号”的例子,现在我们已经理解了傅里叶变换。很容易将傅里叶变换拓展至多维。二维函数的傅立叶变换和反变换分别定义为:

    72b3eca332d8ca369cd926bb8c05ff12.png

    处理静态二维图像需要使用二维傅里叶变换。

    f(x,y)是一幅图像,F(u,v)是它的傅立叶变换。u, v是傅立叶变换的空间频率。

    对比一下利用一维傅里叶变换处理时间信号:

    • 一维傅里叶变换(处理时间信号):时域的函数变换为频域,进行分析,再变换回时域。
    • 二维傅里叶变换(处理二维图像):空域的函数变换为频域,进行分析,再变换回空域。

    应该不难理解。

    空间频率在上一节课《数字图像处理的光学基础》中已经讲过,可以理解为等相位线在x,y坐标投影的截距的倒数。对于图像信号,空间频率是指单位长度内亮度作周期性变化的次数。

    空间频率的概念在图像处理中十分重要。了解噪声、线、细节、背景或平滑区域等对应的空间频率特性,才能更好地对图像进行处理。

    空间频率知识细节对应到光学,涉及阿贝成像理论:

    物体经过光学系统到像经历了两个过程:

    (1)物经过光学系统后,在它的后焦面上形成衍射图样(夫琅和费衍射)。

    (2)以衍射图样为次波波源,在像平面上产生振幅叠加而构成了物的像。

    这两个过程分别对应傅立叶正变换和傅里叶反变换。阿贝在数学上证明了,二次成像过程就是对二维光场的复振幅进行正、反两次傅立叶变换的过程。

    第一次是把光场复振幅的空间分布,变成光学系统后焦面上的空间频率的分布。

    第二次的作用是把空间频率分布还原成光场复振幅的空间分布。

    光的二次傅立叶变换,是数字图像处理中改善图像质量的光学理论基础。

    </遥感数字图像处理原理课的复习>

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傅里叶级数三角函数展开式