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  • 傅里叶级数拉普拉斯变换傅里叶变换的公式推导新的改变功能快捷键合理的创建标题,有助于目录的生成如何改变文本的样式插入链接图片如何插入一段漂亮的代码片UML 图表FLowchart流程图导出导入导出导入 傅里叶...

    一.从傅里叶级数到傅里叶变换

    1.傅里叶变换的公式推导

    傅里叶级数;
    f(x)=a0+k=1+akcos(kx)+bksin(kx) f\left( x \right) =a_0+\sum_{k=1}^{+\infty}{a_k\cos \left( kx \right) +b_k\sin \left( kx \right)}
    接下来讲述如何求得其中的系数。
    三角函数系如下
    1,cos(x),sin(x),cos(2x),sin(2x),...,cos(kx),sin(kx) 1,\cos \left( x \right) ,\sin \left( x \right) ,\cos \left( 2x \right) ,\sin \left( 2x \right) ,...,\cos \left( kx \right) ,\sin \left( kx \right)
    其中,在三角函数系中任意两个不同的函数的积在一个周期上的积分为0,这就是所谓的三角函数系的正交性。下面给出一个简单的证明过程:
    ππcos(kx)cos(nx)=12ππ{cos[(k+n)x]+sin[(kn)x]}dx=12[sin(k+n)xk+n+sin(kn)xkn]ππ=0\begin{aligned} \int _{-\pi}^{\pi}{\cos {(kx)\cos{(nx)}}}&=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\left\{ \cos \left[ \left( k+n \right) x \right] +\sin \left[ \left( k-n \right) x \right] \right\} dx} \\ &=\frac{1}{2}\left. \left[ \frac{\sin \left( k+n \right) x}{k+n}+\frac{\sin \left( k-n \right) x}{k-n} \right] \right|_{-\pi}^{\pi} \\ &=0 \\ \end{aligned}

    那么根据这个性质,我们可以进行如下推导;
    ππf(x)dx=ππa0dx+k=1+[ππakcos(kx)dx+ππbksin(kx)dx]=ππa0dx=2πa0 \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) dx}&=\int_{-\pi}^{\pi}{a_0dx}+\sum_{k=1}^{+\infty}{\left[ \int_{-\pi}^{\pi}{a_k\cos \left( kx \right) dx}+\int_{-\pi}^{\pi}{b_k\sin \left( kx \right) dx} \right]}\\ &=\int_{-\pi}^{\pi}{a_0dx}\\ &=2\pi a_0\\ \end{aligned}
    ππcos(nx)f(x)dx=ππa0cos(nx)dx+k=1+[ππakcos(kx)cos(nx)dx+ππbksin(kx)cos(nx)dx]=ππancos(nx)cos(nx)dx=πan \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}{\cos \left( nx \right) f\left( x \right) dx} &=\int_{-\pi}^{\pi}{a_0\cos \left( nx \right) dx}+\sum_{k=1}^{+\infty}{\left[ \int_{-\pi}^{\pi}{a_k\cos \left( kx \right) \cos \left( nx \right) dx}+\int_{-\pi}^{\pi}{b_k\sin \left( kx \right) \cos \left( nx \right) dx} \right]} \\ &=\int_{-\pi}^{\pi}{a_n\cos \left( nx \right) \cos \left( nx \right) dx}\\ &=\pi a_n \end{aligned}
    所以有,
    a0=12πππf(x)dx(1) a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{ f\left( x \right) dx}\tag{1}

    an=1πππcos(nx)f(x)dx(2) a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{\cos \left( nx \right) f\left( x \right) dx}\tag{2}
    同理,有
    bn=1πππsin(nx)f(x)dx(3) b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{\sin \left( nx \right) f\left( x \right) dx}\tag{3}
    而我们知道了这样一种转换形式以后,我们更多的关注点在随着n的变化,它的系数的变化。我们知道cos(nx)与sin(nx)之间的角度差了90°。那么我们是不是可以将公式进行一定程度的统一。
    变化一;
    f(x)=c0+k=1ckcos(kx+θk) f\left( x \right) =c_0+\sum_{k=1}^{\infty}{c_k\cos \left( kx+\theta _k \right)}
    其中,an=cncosθn,    bn=cnsinθn,    θn=arctan(bnan) a_n=c_n\cos \theta _n,\,\, \,\, b_n=-c_n\sin \theta _n,\,\,\,\, \theta _n=\text{arc}\tan \left( \frac{-b_n}{a_n} \right)
    但是,这样变化并没有让我们观察更加直观。所以有变化二;
    变化二;
    由于傅里叶级数为;
    f(x)=a0+k=1+akcos(kx)+bksin(kx) f\left( x \right) =a_0+\sum_{k=1}^{+\infty}{a_k\cos \left( kx \right) +b_k\sin \left( kx \right)}
    我们有欧拉公式;
    eiφ=cosφ+isinφ e^{i\varphi}=\cos \varphi +i\sin \varphi
    我们可以初步判断,这种cos和sin形式的函数可以写成另一种形式。
    由此,进一步推导
    cos(kx)=12(ejkx+ejkx)sin(kx)=12j(ejkxejkx) \cos \left( kx \right) =\frac{1}{2}\left( e^{jkx}+e^{-jkx} \right) \\ \sin \left( kx \right) =\frac{1}{2j}\left( e^{jkx}-e^{-jkx} \right)
    那么,利用将两式带入傅里叶级数并整理得如下式;
    f(x)=a0+n=1(anjbn2ejnx+an+jbn2ejnx) f\left( x \right) =a_0+\sum_{n=1}^{\infty}{\left( \frac{a_n-jb_n}{2}e^{jnx}+\frac{a_n+jb_n}{2}e^{-jnx} \right)}
    为了得到系数,我们假设
    F(n)=anjbn2 F\left( n \right) =\frac{a_n-jb_n}{2}
    根据(2)(3)两式我们知道

    F(n)=an+jbn2 F\left( -n \right) =\frac{a_n+jb_n}{2}
    利用(2)(3)与(5)(6)式进行联立得;
    F(n)=12πππ[cos(nx)jsin(nx)]f(x)dx=12πππejnxf(x)dx \begin{aligned} F\left( n \right) &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{\left[ \cos \left( nx \right) -j\sin \left( nx \right) \right]}f\left( x \right) dx \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{e^{-jnx}f\left( x \right) dx} \end{aligned}
    F(n)=12πππ[cos(nx)+jsin(nx)]f(x)dx=12πππejnxf(x)dx \begin{aligned} F\left( -n \right) &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{\left[ \cos \left( nx \right) +j\sin \left( nx \right) \right]}f\left( x \right) dx \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{e^{-jnx}f\left( x \right) dx} \end{aligned}
    由此,我们讲F(n)带入到傅里叶级数公式中,得到;
    f(x)=a0+n=(x0)+F(n)ejnx f\left( x \right) =a_0+\sum_{n=-\infty \left( x\ne 0 \right)}^{+\infty}{F\left( n \right) e^{jnx}}
    但是,这样的式子并不是很好看,因为挖去了n=0n=0的情况,如果我们能够令a0a_0的值为n=0n=0的情况,就可以让表达式变得更加简单。
    所以,我们重新回到(1)式,并观察是否为的特殊形式。
    令n=0,则
    F(0)=12πππf(x)dx F\left( 0 \right) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) dx}
    与(1)式相同,则我们改写并简化傅里叶级数表达式;
    f(x)=n=0±F(n)ejnx f\left( x \right) =\sum_{n=0}^{\pm\infty}{F\left( n \right) e^{jnx}}
    其中,
    F(n)=ππf(x)ejnxdx F\left( n \right) =\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) e^{-jnx}dx}
    这个F(n)虽然并不是三角函数的系数,但是它的意义确与三角函数系数的意义一样。
    因此,对比变化一,变化二的意义更容易为大家所接受。
    将其变为大家通用的的式子,即,nω,ji,xtn\rightarrow \omega ,j\rightarrow i,x\rightarrow t最后,由于现在通用的函数f(x)f(x)并不是周期性函数,那么我们近似将它的周期变为(,+)(-\infty,+\infty),最后,即得傅里叶变换公式。
    F(ω)=+f(t)eiωtdt F\left( \omega \right) =\int_{-\infty}^{+\infty}{f\left( t \right) e^{-i\omega t}dt}

    2.傅里叶变换的使用条件

    我们根据推导,得到了傅里叶变换。那么接下来我们要讨论的是能否在任何情况都使用此变换。
    首先,我们考虑傅里叶级数。
    它能将任意周期函数变换为三角函数的形式。然而,我们知道,三角函数是有界函数,即,函数中的最大值和最小值都不会是正无穷和负无穷。那么,回头看看傅里叶变换公式F(ω)=+f(t)eiωtdtF\left( \omega \right) =\int_{-\infty}^{+\infty}{f\left( t \right) e^{-i\omega t}dt},指数的系数也肯定不是正无穷或负无穷。
    那么,这里能够使用傅里叶变换的函数必须要满足函数收敛或者用狄克赫里条件说——在任意周期内绝对可积。

    二.从傅里叶变换到拉普拉斯变换

    从理解上来说,有较多函数并不满足傅里叶变换中绝对可积的条件。例如;y=x2y=x^2。但如果我们找到一个数 γ-\gamma,并在式子的左右两边同乘以eγxe^{-\gamma x},可以让函数在(0,+)(0,+\infty)区间变为单调递减,同理,在左右两边同乘以eγxe^{\gamma x},可以让函数在(,0)(-\infty,0)区间变为单调递减。这样一来,就可以对函数f(x)={x2eγx  (x>0)x2eγx  (x0)  f\left( x \right) =\begin{cases} x^2e^{-\gamma x}\,\, \left( x>0 \right)\\ x^2e^{\gamma x}\,\, \left( x\leqslant 0 \right) \,\,\\ \end{cases}进行傅里叶变换了。
    而根据傅里叶变换公式,
    F(ω)=+f(t)eiωtdt F\left( \omega \right) =\int_{-\infty}^{+\infty}{f\left( t \right) e^{-i\omega t}dt}
    我们可以得到;
    F(ω)=0+x2e(γ+iω)dx+0x2e(γiω)xdx F(\omega)=\int_{0}^{+\infty}{x^2e^{-(\gamma+i\omega)}dx}+\int_{-\infty}^{0}{x^2e^{(\gamma-i\omega)x}dx}
    看到这里,距离真正的拉普拉斯变换又近了一步。来看看拉普拉斯变换;
    F(s)=0+x2e(σ+iω)tdt F(s)=\int_0^{+\infty}x^2e^{-(\sigma+i\omega)t}dt
    接下来我们对比(7)(8)两式,发现拉普拉斯变换只是保留了(7)式中从零到正无穷的积分式。我在网上找到了一种说法。如下图。图一
    他是说对于时间负半轴的研究没有意义,所以不考虑负半轴,而只留下正半轴。我对这一句话还不是非常理解。不过已经不影响我们对拉普拉斯变换的理解了。
    参考资料;
    拉普拉斯变换的本质意义(好文!通俗易懂)

    展开全文
  • 泰勒级数傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换简单梳理1、 泰勒级数2、傅里叶系列2.1连续周期信号的傅里叶级数 (FS) 时域连续,频域离散2.2 连续傅里叶变换(FT) 时域连续,频域连续2.3离散周期信号的傅里叶级数 (DFS...


    只是简单梳理下上述变换的概念以及关系,具体细节请自行查阅其它资料

    1、 泰勒级数

    用无限项连加式(级数)表示一个函数,单纯的数学工具
    f(x)在点x0的泰勒级数:
    在这里插入图片描述
    X0=0时级数称为麦克劳林级数

    2、傅里叶系列

    2.1连续周期信号的傅里叶级数 (FS) 时域连续,频域离散

    参考:https://blog.csdn.net/reborn_lee/article/details/80721300

    任何周期函数或周期信号可以分解成一个(可能由无穷个元素组成的)简单振荡函数的集合,即正弦函数和余弦函数(或者,等价地使用复指数)

    狄里赫利条件:傅里叶级数的使用条件
    (1) 函数连续,或只有有限个第一类间断点
    (2) 在一个周期内,函数有有限个极大值或极小值
    (3) 函数在单个周期内绝对可积

    由欧拉公式(复指数和正弦函数关系):
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    可以得到下面👇
    在这里插入图片描述
    其中a0, a1, a2, …, 称之为傅里叶系数,信号x(t)的频谱系数,以及谐波的幅度;频谱系数表示各频率分量在总信号中所占的分量
    如下图,为信号的频谱图。(理解这里可以引出下面的傅里叶变换)

    在这里插入图片描述
    傅里叶级数公式 有两种形式(这里图的来源不同,f(x)相当于(1)中的x(t))
    形式①:
    在这里插入图片描述
    形式②:
    在这里插入图片描述
    傅里叶级数到傅里叶变换
    参考:https://www.zhihu.com/question/21665935
    啊啊啊csdn编辑好麻烦啊下面就全部粘我整理的word文档的截图了

    2.2 连续傅里叶变换(FT) 时域连续,频域连续

    已有傅里叶系数ak的表达式,
    定义X(jω)为T*ak的包络(ak组成了信号的频谱),令ω=kω_0得到
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2.3离散周期信号的傅里叶级数 (DFS)

    已知连续时间周期信号的傅里叶级数为
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2.4 离散时间傅里叶变换 (DTFT) 时域离散,频域以2pai为周期连续

    参考:https://www.cnblogs.com/BitArt/archive/2012/11/24/2786390.html
    在这里插入图片描述
    DFT和FFT暂时没整理,以后再补

    3、拉普拉斯变换

    在这里插入图片描述

    4、Z变换

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    注:后面这部分由于太懒全部是在我整理的word里截的图,影响观看请谅解
    最后, 文章里如有不对的地方请大佬指正

    结合这些变换的直观全局关系图食用更佳:
    https://blog.csdn.net/qq_38574198/article/details/107685024

    展开全文
  • 傅立叶级数 傅立叶在提出傅立叶变换时,坚持认为任何一个周期信号都可以展开成傅立叶级数。但是实际上不然,狄里赫利认为一个周期信号必须满足下面条件 函数在任意有限区间内连续,或只有有限个第一类间断点(当t从...

    欧拉公式

    在这里插入图片描述
    证明过程如下
    首先是泰勒展开
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    参考cosX和sinX的泰勒展开可以证明这个问题。
    还有下面这个号称宇宙最美公式
    在这里插入图片描述
    “自然底数e,自然数1和0,虚数i还有圆周率pi,它是这么简洁,这么美丽啊!”

    傅立叶级数

    在这里插入图片描述
    傅立叶在提出傅立叶变换时,坚持认为任何一个周期信号都可以展开成傅立叶级数。但是实际上不然,狄里赫利认为一个周期信号必须满足下面条件

    1. 函数在任意有限区间内连续,或只有有限个第一类间断点(当t从左或右趋于这个间断点时,函数有有限的左极限和右极限)
    2. 在一个周期内,函数有有限个极大值或极小值。
    3. x(t)在单个周期内绝对可积,即
      在这里插入图片描述

    下面,我们尝试将上述式子转化为指数形式
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    上面合并也就是
    在这里插入图片描述
    我们得到了
    在这里插入图片描述
    或者写成
    在这里插入图片描述
    其中
    在这里插入图片描述

    傅立叶变换

    傅立叶变换必须针对一个周期函数,或者是针对一个只有一段定义域的函数(我们可以对其进行周期延拓)。但是,如果一个函数的周期是无限大呢?那么,她就是傅立叶变换。
    在这里插入图片描述
    可以证明,如果是时域的信号是实信号,那么对应的傅立叶变换的是实部一定为偶函数。
    在这里插入图片描述
    进行频谱分析时,我们最关注的并非时实部和虚部。而是幅度和相位。
    显然根据上面所说的狄里赫利条件,一个函数要能做傅立叶变换必须在正负无穷内绝对可积。当然,很多函数并不符合这个条件。
    在这里插入图片描述

    拉普拉斯变换

    为了让一个并非时域绝对可积的函数进行傅立叶变换,我们将它乘以一个指数函数来进行衰减,只就是拉普拉斯变换。

    离散傅立叶变换

    小波变换

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  • 1.傅立叶变换、Gabor变换与小波变换 https://blog.csdn.net/chenaiyanmie/article/details/80246108 2.【直观解释】拉普拉斯变换 https://www.bilibili.com/video/av26328393 3.【官方双语】形象展示傅里叶变换 ...

    1.傅立叶变换、Gabor变换与小波变换
    https://blog.csdn.net/chenaiyanmie/article/details/80246108
    2.【直观解释】拉普拉斯变换
    https://www.bilibili.com/video/av26328393
    3.1【官方双语】形象展示傅里叶变换
    https://www.bilibili.com/video/av19141078
    3.2 傅里叶级数与傅立叶变换 | 熟肉
    https://www.bilibili.com/video/av19086191/?spm_id_from=333.788.videocard.3
    4.小波理论及应用
    https://www.bilibili.com/video/av16618439
    5.傅里叶变换及其实现(MATLAB)
    https://blog.csdn.net/hu694028833/article/details/79015584
    6.【图像处理】数字图像傅里叶变换的物理意义及简单应用
    https://blog.csdn.net/hu694028833/article/details/79015584
    7.使用matlab对图像进行傅里叶变换
    https://www.cnblogs.com/sanshanyin/p/5426822.html
    8.理解图像的傅里叶变换(细心分析)
    https://blog.csdn.net/Struggle_For_M/article/details/51207370
    9.使用matlab对图像进行傅里叶变换
    https://www.cnblogs.com/sanshanyin/p/5426822.html
    10.[转载] Gabor滤波器学习 ,写的非常深入,总结的很好
    https://www.cnblogs.com/arxive/p/4990754.html
    11.离散Gabor变换及代码实现
    https://blog.csdn.net/chenaiyanmie/article/details/80246382
    12.OpenCV实现Gabor滤波
    https://blog.csdn.net/lichengyu/article/details/20743877
    13.matlab实现gabor filter (10) 效果很好
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    14.gabor变换人脸识别的python实现,att_faces数据集平均识别率99%
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    15.Gabor滤波-Python实现
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    千次阅读 2015-06-01 17:59:27
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空空如也

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傅里叶级数与拉普拉斯变换