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  • 傅里叶级数与拉普拉斯变换
    2021-10-05 17:20:53

            傅立叶变换以及拉普拉斯变换本质上都是积分变换,而傅立叶变换是拉普拉斯变换的特殊形式,Z变换则是拉普拉斯变换的离散形式。每种变换都有其应用价值,傅立叶变换在信号处理的频域分析中提供了强大的数学工具,而拉普拉斯变换在电子学、控制工程、航空航天等领域提供了建模、分析的数学分析工具;Z变换则将这些变换进而落地为数字实现提供数学理论依据。

    1 欧拉公式

            欧拉公式将三角函数与复指数函数巧妙地关联了起来,有下面的形式:
    e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ e^{i\theta} =\cos \theta +i\sin \theta eiθ=cosθ+isinθ

            其中, e e e 为自然常数, i i i 为虚数, θ \theta θ 则是以弧度为单位的参数(变量)。

            下面给出一种常用的方式(级数)验证欧拉公式,在实数域里,有下面的麦克劳林级数:

    e x = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ sin ⁡ x = x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 + ⋯ cos ⁡ x = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 + ⋯ e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots \\ \quad \\ \sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+\cdots \\ \quad \\ \cos x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+\cdots ex=1+x+2!1x2+3!1x3+sinx=x3!1x3+5!1x5+cosx=12!1x2+4!1x4+
            把 x = i θ x = i\theta x=iθ 带入 e x e^x ex 中有:
    e i θ = 1 + i θ + ( i θ ) 2 2 ! + ( i θ ) 3 3 ! + ( i θ ) 4 4 ! + ( i θ ) 5 5 ! + ( i θ ) 6 6 ! + ( i θ ) 7 7 ! + ( i θ ) 8 8 ! + ⋯ = 1 + i θ − θ 2 2 ! − i θ 3 3 ! + θ 4 4 ! + i θ 5 5 ! − θ 6 6 ! − i θ 7 7 ! + θ 8 8 ! + ⋯ = ( 1 − θ 2 2 ! + θ 4 4 ! − θ 6 6 ! + θ 8 8 ! − ⋯   ) + i ( θ − θ 3 3 ! + θ 5 5 ! − θ 7 7 ! + ⋯   ) = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ \begin{aligned} e^{i\theta} & = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \frac{(i\theta)^5}{5!} + \frac{(i\theta)^6}{6!} + \frac{(i\theta)^7}{7!} + \frac{(i\theta)^8}{8!} + \cdots \\ & = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - \frac{i\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{i\theta^5}{5!} - \frac{\theta^6}{6!} - \frac{i\theta^7}{7!} + \frac{\theta^8}{8!} + \cdots \\ & = \left( 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \frac{\theta^8}{8!} - \cdots \right) + i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots \right) \\ &=\cos\theta + i\sin\theta \end{aligned} eiθ=1+iθ+2!(iθ)2+3!(iθ)3+4!(iθ)4+5!(iθ)5+6!(iθ)6+7!(iθ)7+8!(iθ)8+=1+iθ2!θ23!iθ3+4!θ4+5!iθ56!θ67!iθ7+8!θ8+=(12!θ2+4!θ46!θ6+8!θ8)+i(θ3!θ3+5!θ57!θ7+)=cosθ+isinθ

            当参数 x x x 等于 π \pi π 的时候,欧拉公式可简化为:
    e i π + 1 = 0 e^{i\pi}+1 =0 eiπ+1=0
            上式将5个微妙且看似无关的数学符号 e 、 i 、 π 、 0 、 1 e、i、\pi、0、1 eiπ01 紧密地联系了起来,其美妙之处让人称绝。

    拓展:


    2 傅里叶变换

    2.1 推导

    (1)傅里叶级数
            对于周期函数 f ( x ) f(x) f(x),根据傅里叶级数公式有:

    f ( x ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ ( 2 π n T x ) + b n sin ⁡ ( 2 π n T x ) ) , a 0 ∈ R f(x)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \left(\frac{2 \pi n}{T} x\right)+b_{n} \sin \left(\frac{2 \pi n}{T} x\right)\right), a_{0} \in \mathbb{R} f(x)=a0+n=1(ancos(T2πnx)+bnsin(T2πnx)),a0R

            通过欧拉公式,可以得到:
    { e i x = c o s x + i s i n x e − i x = c o s x − i s i n x    ⟹    { s i n x = e i x − e − i x 2 i c o s x = e i x + e − i x 2 \begin{cases} e^{ix}= cosx+isinx \\ e^{-ix}= cosx-isinx \\ \end{cases} \implies \begin{cases} sinx = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \\ cosx = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \\ \end{cases} {eix=cosx+isinxeix=cosxisinx{sinx=2ieixeixcosx=2eix+eix
            将上面的等式代入傅里叶级数公式,可以得到:
    f ( x )    = C ⋅ 1 + a 1 cos ⁡ ( 2 π T x ) + b 1 sin ⁡ ( 2 π T x ) + . . . + a n cos ⁡ ( 2 π n T x ) + b n sin ⁡ ( 2 π n T x ) = c 0 ⋅ e 0 + c 1 ⋅ e i 2 π T x + c − 1 ⋅ e i 2 π ( − 1 ) T x + . . . + c n ⋅ e i 2 π n T x + c − n ⋅ e i 2 π ( − n ) T x f(x)\;= C\cdot1+a_{1}\cos \left(\frac{2 \pi }{T} x\right)+b_{1}\sin \left(\frac{2 \pi }{T} x\right)+...+a_{n}\cos \left(\frac{2 \pi n}{T} x\right)+b_{n}\sin \left(\frac{2 \pi n}{T} x\right)\\ \quad \\ \qquad=c_{0}\cdot{e^0}+c_{1}\cdot{e^{i \frac{2\pi }{T}x}}+c_{-1}\cdot{e^{i \frac{2\pi (-1)}{T}x}}+...+c_{n}\cdot{e^{i \frac{2\pi n}{T}x}}+c_{-n}\cdot{e^{i \frac{2\pi (-n)}{T}x}} f(x)=C1+a1cos(T2πx)+b1sin(T2πx)+...+ancos(T2πnx)+bnsin(T2πnx)=c0e0+c1eiT2πx+c1eiT2π(1)x+...+cneiT2πnx+cneiT2π(n)x
            从而可以得到:
    f ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n ⋅ e i 2 π n x T ( 1 ) \displaystyle f(x)=\sum _{{n=-\infty }}^{\infty}c_{n}\cdot e^{{i{\tfrac {2\pi nx}{T}}}} \quad (1) f(x)=n=cneiT2πnx1
            这里的 C n C_n Cn 是一个复数,一般称为傅里叶系数,平时对频域的变换,一般改变的就是 C n C_n Cn,那么如何求 C n C_n Cn

            由公式(1)可以得到:
    c k ⋅ e i 2 π k x T = f ( x ) − ∑ n = − ∞ , n ≠ k ∞ c n ⋅ e i 2 π n x T c_{k}\cdot e^{{i{\tfrac {2\pi kx}{T}}}} = f(x) -\sum_{{n=-\infty, n\not=k}}^{\infty}c_{n}\cdot e^{{i{\tfrac {2\pi nx}{T}}}} ckeiT2πkx=f(x)n=,n=kcneiT2πnx
            两边同时乘以 e − i 2 π k x T e^{{-i{\tfrac {2\pi kx}{T}}}} eiT2πkx,可以得到:
    c k = f ( x ) ⋅ e − i 2 π k x T − ∑ n = − ∞ , n ≠ k ∞ c n ⋅ e i 2 π ( n − k ) x T c_{k} = f(x) \cdot e^{{-i{\tfrac {2\pi kx}{T}}}} -\sum_{{n=-\infty, n\not=k}}^{\infty}c_{n}\cdot e^{{i{\tfrac {2\pi (n-k)x}{T}}}} ck=f(x)eiT2πkxn=,n=kcneiT2π(nk)x

            两边积分可以得到:
    ∫ 0 T c k d t = ∫ 0 T [ f ( x ) ⋅ e − i 2 π k x T − ∑ n = − ∞ , n ≠ k ∞ c n ⋅ e i 2 π ( n − k ) x T ] d t T c k = ∫ 0 T f ( x ) ⋅ e − i 2 π k x T d t − ∑ n = − ∞ , n ≠ k ∞ ∫ 0 T c n ⋅ e i 2 π ( n − k ) x T d t \int_{0}^{T} c_{k}dt = \int_{0}^{T} [f(x) \cdot e^{{-i{\tfrac {2\pi kx}{T}}}} -\sum_{{n=-\infty, n\not=k}}^{\infty}c_{n}\cdot e^{{i{\tfrac {2\pi (n-k)x}{T}}}} ]dt \\ \quad Tc_{k} = \int_{0}^{T} f(x) \cdot e^{{-i{\tfrac {2\pi kx}{T}}}} dt - \sum_{{n=-\infty, n\not=k}}^{\infty} \int_{0}^{T} c_{n}\cdot e^{{i{\tfrac {2\pi (n-k)x}{T}}}} dt 0Tckdt=0T[f(x)eiT2πkxn=,n=kcneiT2π(nk)x]dtTck=0Tf(x)eiT2πkxdtn=,n=k0TcneiT2π(nk)xdt

            下面计算 ∫ 0 T c n ⋅ e i 2 π ( n − k ) x T d t \int_{0}^{T} c_{n}\cdot e^{{i{\tfrac {2\pi (n-k)x}{T}}}} dt 0TcneiT2π(nk)xdt
    ∫ 0 T c n ⋅ e i 2 π ( n − k ) x T d t = T c n 2 π i ( n − k ) e i 2 π ( n − k ) x T ∣ 0 T = T c n 2 π i ( n − k ) [ e 2 π i ( n − k ) − e 0 ] = 0 \int_{0}^{T} c_{n}\cdot e^{{i{\tfrac {2\pi (n-k)x}{T}}}} dt \\ \quad = \frac{Tc_{n}}{2\pi i(n-k)} e^{{i{\tfrac {2\pi (n-k)x}{T}}}}|_{0}^{T} \\ \quad = \frac{Tc_{n}}{2\pi i(n-k)}[e^{2\pi i(n-k)} - e^0] = 0 0TcneiT2π(nk)xdt=2πi(nk)TcneiT2π(nk)x0T=2πi(nk)Tcn[e2πi(nk)e0]=0
            由欧拉公式可知, e 2 π i ( n − k ) = c o s ( 2 π ∗ 整 数 ) + i s i n ( 2 π ∗ 整 数 ) = 1 e^{2\pi i(n-k)} = cos(2\pi*整数) + isin(2\pi*整数)=1 e2πi(nk)=cos(2π)+isin(2π)=1,所以可以得到:
    c n = 1 T ∫ x 0 x 0 + T f ( x ) ⋅ e − i 2 π n x T   d x \displaystyle c_{n}={\frac{1}{T}}\int _{{x_{0}}}^{{x_{0}+T}}f(x)\cdot e^{{-i{\tfrac {2\pi nx}{T}}}}\ dx cn=T1x0x0+Tf(x)eiT2πnx dx

            当 T → ∞ T \to \infty T 时,取 ω = 2 π T \omega = \frac{2\pi}{T} ω=T2π,定义 F ( ω ) F(\omega) F(ω) 为:
    { F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x )   e − i ω x   d x c n = 1 T F ( n ω ) \begin{cases} F(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\ e^{-i\omega x}\,dx \\ c_{n}={\frac{1}{T}}F(n\omega) \\ \end{cases} {F(ω)=f(x) eiωxdxcn=T1F(nω)

            最后可以得到:
    { f ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω )   e i ω x   d ω F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x )   e − i ω x   d x \begin{cases} f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)\ e^{i\omega x}\,d\omega \\ F(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\ e^{-i\omega x}\,dx\\ \end{cases} {f(x)=2π1F(ω) eiωxdωF(ω)=f(x) eiωxdx

    f ( x ) ⇄ F − 1 F F ( ω ) f(x) \overset{\mathscr{F}}{\underset{\mathscr{F^{-1}}}{\rightleftarrows}} F(\omega) f(x)F1FF(ω)

             f ( x ) 和 F ( ω ) f(x) 和 F(\omega) f(x)F(ω) 称为傅立叶变换对,函数 F ( i ω ) F(i\omega) F(iω) 称为 f ( x ) f(x) f(x) 的傅里叶变换或傅里叶积分。
            注: F \mathscr{F} F F \mathcal{F} F 都表示傅里叶变换算子,只是书写的方式不同。

            傅里叶级数和傅里叶变换的根本区别是被操作的函数是否为周期函数:当被操作函数的周期趋向于无穷大,傅里叶级数“密集”成傅里叶变换;当被操作函数的周期从无穷大变成有限值时,傅里叶变换退化成傅里叶级数。所以,其实傅里叶级数只是傅里叶变换的一种特殊情况,或者说傅里叶变换是傅里叶级数的推广。

    2.2 收敛性

            狄利赫利条件:

    1. f ( x ) f(x) f(x) 绝对可积,即
      ∫ − ∞ + ∞ ∣ f ( x ) ∣ d x < ∞ \int_{-\infty}^{+\infty} \lvert f(x) \rvert dx < \infty +f(x)dx<
    2. 在任何有限区间内, f ( x ) f(x) f(x) 只有有限个最大值和最小值。
    3. 在任何有限区间内, f ( x ) f(x) f(x) 有有限个不连续点,并且在每个不连续点都必须是有限值。

    2.3 性质

    表1 傅里叶变换的性质
    性质公式表示
    线性定理 - 齐次性 F [ a f ( t ) ] = a F ( ω ) \mathscr{F}[af(t)] = aF(\omega) F[af(t)]=aF(ω)
    线性定理 - 叠加性 F [ f 1 ( t ) ± f 2 ( t ) ] = F 1 ( ω ) ± F 2 ( ω ) \mathscr{F}[f_1(t)\pm f_2(t)]=F_1(\omega)\pm F_2(\omega) F[f1(t)±f2(t)]=F1(ω)±F2(ω)
    时移定理 F [ f ( t − t 0 ) ] = e − i ω t 0 F ( ω ) \mathscr F[f(t-t_0)]=e^{-i\omega t_0}F(\omega) F[f(tt0)]=eiωt0F(ω)
    频移定理 F [ e j ω 0 t f ( t ) ] = F ( ω − ω 0 ) \mathscr F[e^{j {\omega}_0t}f(t)]=F(\omega- {\omega}_0) F[ejω0tf(t)]=F(ωω0)
    共轭定理 F [ f ∗ ( t ) ] = F ∗ ( − ω ) \mathscr{F}[f^{*}(t)]=F^{*}(-\omega) F[f(t)]=F(ω)
    时间反转 F [ f ( − t ) ] = F ( − ω ) \mathscr{F}[f(-t)]=F(-\omega) F[f(t)]=F(ω)
    相似定理 F [ f ( a t ) ] = 1 ∣ a ∣ F ( ω a ) \mathscr F[f(at)]=\frac1{|a|}F\left(\frac\omega a\right) F[f(at)]=a1F(aω)
    卷积定理 F [ ∫ 0 t f 1 ( t − τ ) f 2 ( τ ) d τ ] = F 1 ( ω ) F 2 ( ω ) \mathscr{F}[\int_{0}^{t}f_1(t-\tau)f_2(\tau)d\tau]=F_1(\omega)F_2(\omega) F[0tf1(tτ)f2(τ)dτ]=F1(ω)F2(ω)
    相乘 F [ f 1 ( t ) ⋅ f 2 ( t ) ] = 1 2 π F 1 ( ω ) ∗ F 2 ( ω ) \mathscr{F}[f_1(t)\cdot f_2(t)]=\frac{1}{2\pi}F_1(\omega)*F_2(\omega) F[f1(t)f2(t)]=2π1F1(ω)F2(ω)
    时域微分 F [ d n f ( t ) d t n ] = ( i ω ) n F ( ω ) \mathscr F\left[\frac{d^nf(t)}{dt^n}\right]=(i\omega)^nF(\omega) F[dtndnf(t)]=(iω)nF(ω)
    积分 F [ ∫ − ∞ t f ( t ) d t ] = 1 i ω F ( ω ) + π F ( 0 ) δ ( ω ) \mathscr{F}[\int_{-\infty}^{t}f(t)dt]=\frac{1}{i\omega}F(\omega)+\pi F(0)\delta(\omega) F[tf(t)dt]=iω1F(ω)+πF(0)δ(ω)
    频域微分 F [ t f ( t ) ] = i d F ( ω ) d ω \mathscr{F}[tf(t)]=i\frac{dF(\omega)}{d\omega} F[tf(t)]=idωdF(ω)
    对称性 若 F [ f ( t ) ] = F ( ω ) , 则 F [ F ( t ) ] = 2 π f ( − ω ) 若\mathscr{F}[f(t)]= F(\omega),则\mathscr{F}[F(t)] = 2\pi f(-\omega) F[f(t)]=F(ω)F[F(t)]=2πf(ω)
    帕萨瓦尔定理 ∫ − ∞ + ∞ ∣ f ( t ) ∣ 2 d t = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ∣ F ( ω ) ∣ 2 d ω \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^2dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\omega)|^2d{\omega} +f(t)2dt=2π1+F(ω)2dω
    表2 基本的傅里叶变换变换对
    信号傅里叶变换傅里叶级数系数(若为周期的)
    ∑ k = − ∞ + ∞ a k e i k ω 0 t \sum_{k = -\infty}^{+\infty}a_ke^{ik {\omega}_0 t} k=+akeikω0t 2 π ∑ k = − ∞ + ∞ a k δ ( ω − k ω 0 ) 2\pi\sum_{k = -\infty}^{+\infty}a_k\delta(\omega-k\omega_0) 2πk=+akδ(ωkω0) a k a_k ak
    e i k ω 0 t e^{ik {\omega}_0 t} eikω0t 2 π δ ( ω − ω 0 ) 2\pi\delta(\omega-\omega_0) 2πδ(ωω0) a 1 = 1 , a k = 0 , 其 余 为 k a_1=1, a_k = 0, 其余为 k a1=1,ak=0,k
    cos ⁡ ω 0 t \cos{\omega}_0 t cosω0t π [ δ ( ω − ω 0 ) + δ ( ω + ω 0 ) ] \pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)] π[δ(ωω0)+δ(ω+ω0)] a 1 = a − 1 = 1 2 , a k = 0 , 其 余 为 k a_1= a_{-1} = \frac{1}{2}, a_k = 0, 其余为 k a1=a1=21,ak=0,k
    sin ⁡ ω 0 t \sin{\omega}_0 t sinω0t π i [ δ ( ω − ω 0 ) − δ ( ω + ω 0 ) ] \frac{\pi}{i}[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)] iπ[δ(ωω0)δ(ω+ω0)] a 1 = − a − 1 = 1 2 i , a k = 0 , 其 余 为 k a_1= -a_{-1} = \frac{1}{2i}, a_k = 0, 其余为 k a1=a1=2i1,ak=0,k
    1 1 1 2 π δ ( ω ) 2\pi\delta(\omega) 2πδ(ω) a 0 = 1 , a k = 0 , k ≠ 0 a_0= 1, a_k = 0, k \neq 0 a0=1,ak=0,k=0
    周 期 方 波 : f ( t ) = { 1 , if  ∣ t ∣ < T 1 0 , if  T 1 < ∣ t ∣ ≤ T 2 周期方波:f(t) = \begin{cases} 1, & \text {if $|t| < T_1$} \\ 0, & \text{if $T_1 < |t| \leq \frac{T}{2}$} \end{cases} f(t)={1,0,if ∣t<T1if T1<t2T ∑ k = − ∞ + ∞ 2 sin ⁡ k ω 0 T 1 k δ ( ω − k ω 0 ) \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \frac{2\sin k{\omega}_0 T_1}{k} \delta(\omega-k\omega_0) k=+k2sinkω0T1δ(ωkω0) ω 0 T 1 π s i n c ( k ω 0 T 1 π ) = s i n k ω 0 T 1 k π \frac{\omega_0 T_1}{\pi}sinc(\frac{k{\omega}_0 T_1}{\pi})=\frac{sink{\omega}_0 T_1}{k\pi} πω0T1sinc(πkω0T1)=kπsinkω0T1
    ∑ n = − ∞ + ∞ δ ( t − n T ) \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT) n=+δ(tnT) 2 π T ∑ n = − ∞ + ∞ δ ( ω − 2 π k T ) \frac{2\pi}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega - \frac{2\pi k}{T}) T2πn=+δ(ωT2πk) a k = 1 T a_k=\frac{1}{T} ak=T1
    f ( t ) = { 1 , if  ∣ t ∣ < T 1 0 , if  ∣ t ∣ > T 1 f(t) = \begin{cases} 1, & \text {if $|t| < T_1$} \\ 0, & \text{if $|t| > T_1$} \end{cases} f(t)={1,0,if ∣t<T1if ∣t>T1 sin ⁡ ω T 1 ω \frac{\sin{\omega T_1}}{\omega} ωsinωT1 − -
    sin ⁡ W t π t \frac{\sin{Wt}}{\pi t} πtsinWt F ( ω ) = { 1 , if  ∣ ω ∣ < W 0 , if  ∣ ω ∣ > W F(\omega) = \begin{cases} 1, & \text {if $|\omega| < W$} \\ 0, & \text{if $|\omega| > W$} \end{cases} F(ω)={1,0,if ∣ω<Wif ∣ω>W − -
    δ ( t ) \delta(t) δ(t) 1 1 1 − -
    u ( t ) u(t) u(t) 1 i ω + π δ ( ω ) \frac{1}{i\omega}+\pi\delta(\omega) iω1+πδ(ω) − -
    δ ( t − t 0 ) \delta(t-t_0) δ(tt0) e − i ω t 0 e^{-i\omega t_0} eiωt0 − -
    e − a t u ( t ) e^{-at}u(t) eatu(t) 1 a + i ω \frac{1}{a+i\omega} a+iω1 − -
    t e − a t u ( t ) te^{-at}u(t) teatu(t) 1 ( a + i ω ) 2 \frac{1}{(a+i\omega)^2} (a+iω)21 − -
    t n − 1 ( n − 1 ) ! e − a t u ( t ) \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}u(t) (n1)!tn1eatu(t) 1 ( a + i ω ) n \frac{1}{(a+i\omega)^n} (a+iω)n1 − -

            具体推导,可以阅读:傅里叶变换性质

            对傅里叶变换的形象理解,建议阅读下面两篇博文,从时域频域的角度讲解傅里叶变换:深入浅出的讲解傅里叶变换,另外一篇,从数学角度分析对傅里叶变换的理解,如何理解傅里叶变换


    3 拉普拉斯变换

            在古典意义下的傅里叶变换存在的条件是 f ( x ) f(x) f(x) 除了满足狄拉克雷条件以外,还要在 ( − ∞ , + ∞ ) (−\infty, +\infty) (,+) 上绝对可积,许多函数都不满足这个条件。在很多实际问题中,存在许多以时间 t t t 为自变量的函数,这些函数根本不需要考虑 x < 0 x < 0 x<0 的情况。为了解决这个该问题,就需要通过一些变换使得这些函数变得符合傅里叶变换的条件。

    3.1 推导

            设一个函数 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x),其在 x < 0 x <0 x<0 的区间上没有定义,也不满足在 [ 0 , + ∞ ) [0, +\infty) [0,+) 上绝对可积的限制。我们可以通过下面的变换使其满足限制:

    1. 乘以单位阶跃函数
      u ( t ) = { 0 , t < 0 1 , t > 0 u(t) = \begin{cases}0,\quad t<0\\1,\quad t>0\end{cases} u(t)={0,t<01,t>0
              这样在 t < 0 t < 0 t<0 的情况就完全不用考虑。
    2. 乘以一个衰减函数 e − σ t e^{-\sigma t} eσt
      lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) e − σ x = 0 , σ ∈ R \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)e^{-\sigma x}=0,\sigma\in R x+limf(x)eσx=0,σR
              很多时候 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x) [ 0 , + ∞ ) [0, +\infty) [0,+) 不可积是因为增长过快,所以我们乘以一个 e e e 的负指数函数使其强制衰减。

            这样傅里叶变换就变成了:

    F ( ω ) = ∫ 0 + ∞ f ( x ) u ( x ) e − σ x e − i ω x d x = ∫ 0 + ∞ f ( x ) e − ( σ + i ω ) x d x F(\omega)=\int_{0}^{+\infty}f(x)u(x)e^{-\sigma x}e^{-i\omega x}dx=\int_{0}^{+\infty}f(x)e^{-(\sigma+i\omega) x}dx F(ω)=0+f(x)u(x)eσxeiωxdx=0+f(x)e(σ+iω)xdx

            令 s = σ + i ω s=\sigma+i\omega s=σ+iω,则函数 f ( x ) f(x) f(x) 的拉氏变换为:
    F ( s ) = ∫ 0 + ∞ f ( x ) e − s x d x = L { f ( x ) } F(s)=\int_{0}^{+\infty}f(x)e^{-s x}dx = \mathscr{L}\{f(x)\} F(s)=0+f(x)esxdx=L{f(x)}

            称 F ( s ) F(s) F(s) f ( x ) f(x) f(x) 的拉普拉斯变换,记作 F ( s ) = L [ f ( x ) ] F(s)=\mathscr{L}[f(x)] F(s)=L[f(x)],其中, s s s 是复变量。 F ( s ) F(s) F(s) 称为时间域内的函数 f ( x ) f(x) f(x) 的象函数, f ( t ) f(t) f(t) 称为 F ( s ) F(s) F(s) 的原函数。

            函数 F ( s ) F(s) F(s) 的拉氏逆变换:
    f ( x ) = 1 2 π j ∫ c − i ∞ c + i ∞ F ( s ) e s x d s = L − 1 { F ( s ) }        x > 0 f(x)=\frac{1}{2\pi j} \int_{c -i\infty}^{c +i\infty}F(s)e^{sx}ds=\mathscr{L}^{-1}\{F(s)\}\ \ \ \ \ \ x>0 f(x)=2πj1cic+iF(s)esxds=L1{F(s)}      x>0
    f ( x ) ⇄ L − 1 L F ( s ) f(x) \overset{\mathscr{L}}{\underset{\mathscr{L^{-1}}}{\rightleftarrows}} F(s) f(x)L1LF(s)

            注: L \mathscr{L} L L \mathcal{L} L 都表示拉普拉斯变换算子。

            拉普拉斯变换存在的条件:当 x ≥ 0 x \geq 0 x0 时, f ( x ) f(x) f(x) 有定义,所以这里采用的是单边拉普拉斯变换;由于拉氏变换是通过负指数函数来使得原函数强制衰减,所以要求原函数 f ( x ) f(x) f(x) t → ∞ t \to \infty t 时增长速度不能超过指数函数,一般也不会有函数的增长速度可以超过指数函数了,所以这个限制其实非常宽泛。

    拓展:

            傅里叶变换是将函数分解到频率不同、幅值恒为1的单位圆上;拉普拉斯变换是将函数分解到频率幅值都在变化的圆上。因为拉普拉斯变换的基有两个变量,因此更灵活,适用范围更广。

    3.2 性质

    表3 拉普拉斯变换的常用定理
    性质公式表示
    线性定理 - 齐次性 L [ a f ( t ) ] = a F ( s ) \mathscr{L}[af(t)] = aF(s) L[af(t)]=aF(s)
    线性定理 - 叠加性 L ( f 1 ( t ) ± f 2 ( t ) ) = F 1 ( s ) ± F 2 ( s ) \mathscr{L}(f_1(t)\pm f_2(t))=F_1(s)\pm F_2(s) L(f1(t)±f2(t))=F1(s)±F2(s)
    微分定理 - 一阶导 L [ d f ( t ) d t ] = s F ( s ) − f ( 0 ) \mathscr{L}[\frac{df(t)}{dt}]=sF(s)-f(0) L[dtdf(t)]=sF(s)f(0)
    微分定理 - 二阶导 L [ d 2 f ( t ) d t 2 ] = s 2 F ( s ) − s f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) \mathscr{L}[\frac{d^2f(t)}{dt^2}]=s^2F(s)-sf(0)-f'(0) L[dt2d2f(t)]=s2F(s)sf(0)f(0)
    微分定理 - n阶导 L [ d n f ( t ) d t n ] = s n F ( s ) − ∑ k = 1 n s n − k f k − 1 ( 0 ) \mathscr{L}[\frac{d^n f(t)}{dt^n}]=s^nF(s)-\sum_{k=1}^{n}s^{n-k}f^{k-1}(0) L[dtndnf(t)]=snF(s)k=1nsnkfk1(0)
    积分定理 - 一重积分 L [ ∫ f ( t ) d t ] = F ( s ) s + [ ∫ f ( t ) d t ] t = 0 s \mathscr{L}[\int f(t)dt]=\frac{F(s)}{s}+\frac{[\int f(t)dt]_{t=0}}{s} L[f(t)dt]=sF(s)+s[f(t)dt]t=0
    积分定理 - 二重积分 L [ ∬ f ( t ) ( d t ) 2 ] = F ( s ) s 2 + [ ∫ f ( t ) d t ] t = 0 s 2 + [ ∬ f ( t ) ( d t ) 2 ] t = 0 s \mathscr{L}[\iint f(t)(dt)^2]=\frac{F(s)}{s^2}+\frac{[\int f(t)dt]_{t=0}}{s^2}+\frac{[\iint f(t)(dt)^2]_{t=0}}{s} L[f(t)(dt)2]=s2F(s)+s2[f(t)dt]t=0+s[f(t)(dt)2]t=0
    积分定理 - n重积分 L [ ∫ … ∫ ⏞ n f ( t ) ( d t ) n ] = F ( s ) s n + ∑ k = 1 n [ ∫ … ∫ ⏞ k f ( t ) ( d t ) k ] t = 0 s n − k + 1 \mathscr{L}[\overbrace{\int \dotso \int}^{n}f(t)(dt)^n]=\frac{F(s)}{s^n}+\sum_{k=1}^n\frac{[\overbrace{\int \dotso \int}^{k}f(t)(dt)^k]_{t=0}}{s^{n-k+1}} L[ nf(t)(dt)n]=snF(s)+k=1nsnk+1[ kf(t)(dt)k]t=0
    位移定理 - 时域中 L [ f ( t − T ) 1 ( t − T ) ] = e − T s F ( s ) \mathscr{L}[f(t-T)1(t-T)]=e^{-Ts}F(s) L[f(tT)1(tT)]=eTsF(s)
    位移定理 - 复域中 L [ f ( t ) e − a t ] = F ( s + a ) \mathscr{L}[f(t)e^{-at}]=F(s+a) L[f(t)eat]=F(s+a)
    终值定理 lim ⁡ t → ∞ f ( t ) = lim ⁡ s → 0 s F ( s ) \lim\limits_{t \to \infty}f(t)=\lim\limits_{s \to 0}sF(s) tlimf(t)=s0limsF(s)
    初值定理 lim ⁡ t → 0 f ( t ) = lim ⁡ s → ∞ s F ( s ) \lim\limits_{t \to 0}f(t)=\lim\limits_{s \to \infty}sF(s) t0limf(t)=slimsF(s)
    卷积定理 L [ ∫ 0 t f 1 ( t − τ ) f 2 ( τ ) d τ ] = F 1 ( s ) F 2 ( s ) \mathscr{L}[\int_{0}^{t}f_1(t-\tau)f_2(\tau)d\tau]=F_1(s)F_2(s) L[0tf1(tτ)f2(τ)dτ]=F1(s)F2(s)
    相似定理 L [ f ( a t ) ] = 1 ∣ a ∣ f ( s a ) \mathscr{L}[f(at)]=\frac{1}{\vert a\vert}f(\frac{s}{a}) L[f(at)]=a1f(as)
    表4 常用函数的拉普拉斯变换表
    原函数f(t)象函数F(s)原函数f(t)象函数F(s)
    δ ( t ) \delta(t) δ(t)1 1 − e − a t 1-e^{-at} 1eat a s ( s + a ) \frac{a}{s(s+a)} s(s+a)a
    ∑ n = 0 ∞ δ ( t − n T ) \sum_{n=0}^{\infty}\delta(t-nT) n=0δ(tnT) 1 1 − e − T s \frac{1}{1-e^{-Ts}} 1eTs1 e − a t − e − b t e^{-at}-e^{-bt} eatebt b − a ( s + a ) ( s + b ) \frac{b-a}{(s+a)(s+b)} (s+a)(s+b)ba
    1 ( t ) 1(t) 1(t) 1 s \frac{1}{s} s1 sin ⁡ ω t \sin \omega t sinωt ω s 2 + ω 2 \frac{\omega}{s^2+\omega^2} s2+ω2ω
    t t t 1 s 2 \frac{1}{s^2} s21 cos ⁡ ω t \cos \omega t cosωt s s 2 + ω 2 \frac{s}{s^2+\omega^2} s2+ω2s
    t 2 2 \frac{t^2}{2} 2t2 1 s 3 \frac{1}{s^3} s31 e − a t sin ⁡ ω t e^{-at}\sin \omega t eatsinωt ω ( s + a ) 2 + ω 2 \frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2} (s+a)2+ω2ω
    t n n ! \frac{t^n}{n!} n!tn 1 s n + 1 \frac{1}{s^{n+1}} sn+11 e − a t cos ⁡ ω t e^{-at}\cos \omega t eatcosωt s + a ( s + a ) 2 + ω 2 \frac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2} (s+a)2+ω2s+a
    e − a t e^{-at} eat 1 s + a \frac{1}{s+a} s+a1 a t / T a^{t/T} at/T 1 s − ( 1 / t ) ln ⁡ a \frac{1}{s-(1/t)\ln a} s(1/t)lna1
    t n e − a t t^ne^{-at} tneat n ! ( s + a ) n + 1 \frac{n!}{(s+a)^{n+1}} (s+a)n+1n! t n t^{n} tn n ! s n + 1 \frac{n!}{s^{n+1}} sn+1n!

    拓展:


    4 数学变换

            数学上的变换是指数学函数从原向量空间变换为自身向量空间,或另一个向量空间,或对于集合 X X X 到其自身(比如线性变换)或从 X X X 到另一个集合 Y Y Y 的可逆函数。常见的变换有:旋转变换、镜像变换、平移变换……

            数学中还有很多数学变换,其本质都可以看成是将函数 f ( x ) f(x) f(x) 利用变换因子进行的一种数学映射,其变换结果其函数的自变量有可能还是原来的几何空间,或许会变成其他的向量空间。

            从数学的角度来看,不论傅里叶变换还是拉普拉斯变换,都是由于原问题求解比较困难,而通过一定的积分变换,就可以在变换域内进行求解。这种类似的解决问题的思路,还有对数变换、解析几何的坐标变换、高等代数中的线性变换;在积分中的变量代换和积分运算化简;在微分方程中所作的自变量或未知函数的变换;复变函数的保角变换。当然变换要可逆,也就是核函数要可逆。

            从数学的角度理解积分变换就是通过积分将一个函数从其原始函数空间映射到另一个函数空间,其中原始函数的某些属性可能比原始函数空间更容易表征和操作。 通常可以使用逆变换将变换后的函数映射回到原始函数空间,这样的变换是可逆变换;也可以理解成是算内积,然后就变成一个函数向另一个函数的投影。假定对于函数为自变量 t t t 的函数 f ( t ) f(t) f(t),都类似具有以下的范式:
    { F ( s ) = ∫ a b f ( t ) ⋅ K ( t , s ) d t f ( t ) = ∫ c d F ( s ) K − 1 ( s , t ) d s \begin{cases}F(s) = \int_{a}^{b}f(t) \cdot K(t, s) dt \\ \\ f(t) = \int_{c}^{d}F(s)K^{-1}(s, t)ds\end{cases} F(s)=abf(t)K(t,s)dtf(t)=cdF(s)K1(s,t)ds

            函数 f ( t ) f(t) f(t) 是该变换的输入, F ( s ) F(s) F(s) 为变换的输出,因此积分变换一般也称为一种特定的数学运算符。而函数 K ( t , s ) K(t, s) K(t,s) 称为积分核函数(kernel function)。当选取不同的积分域和变换核函数时,就得到不同名称的积分变换。学术一点的说法是:向核空间投影,将原问题转化到核空间。所谓核空间,就是这个空间里面装的是核函数。下表列出常见的变换及其核函数:

    表5 常见的变换及其核函数
    变换名称
    傅里叶变换(Fourier Transform) K ( t , ω ) = 1 2 π e − i ω t K(t, \omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i \omega t} K(t,ω)=2π 1eiωt
    拉普拉斯变换(Laplace Transform) K ( t , s ) = e − s t K(t, s) = e^{-st} K(t,s)=est
    梅林变换(Mellin Transform) K ( t , s ) = t s − 1 K(t, s) = t^{s-1} K(t,s)=ts1
    汉克尔变换(Hankel Transform) K ( t , s ) = t ⋅ J n ( s t ) K(t, s) = t \cdot J_n(st) K(t,s)=tJn(st)
    魏尔斯特拉斯变换(Weierstrass Transform) K ( t , s ) = 1 4 π e − ( s − t ) 2 4 K(t, s) = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-\frac{(s-t)^2}{4}} K(t,s)=4π 1e4(st)2
    阿贝尔变换(Abel Transform) K ( t , s ) = 2 t t 2 − s 2 K(t, s) = \frac{2t}{\sqrt{t^2-s^2}} K(t,s)=t2s2 2t
    希尔伯特变换(Hilberit Transform) K ( t , s ) = 1 π 1 s − t K(t, s) = \frac{1}{\pi}\frac{1}{s-t} K(t,s)=π1st1
            当然,选取什么样的核主要看我们面对的问题有什么特征。不同问题的特征不同,就会对应特定的核函数。把核函数作为基函数,将现在的坐标投影到核空间里面去,问题就会得到简化。之所以叫核,是因为这是最核心的地方。为什么其他变换你都没怎么听说过而只熟悉傅里叶变换和拉普拉斯变换呢?因为复指数信号才是描述这个世界的特征函数!

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    傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系:

     

    傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系:

     

     

     

     

     

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  • 傅里叶变换与拉普拉斯变换

    一、基本信号

    1.1信号的分类

            1.1.1确定性信号和随机信号

                    对任意时刻,信号有确定的函数值,称为确定性信号。信号的取值在不同时刻随机变化则成为随机信号。

            1.1.2周期信号与非周期信号

                      按某一固定周期重复出现的信号,可表示为f(t)=f(t+T),其中T的取值为R。例如无电阻损耗的理想LC电路的自然响应。

            1.1.3连续时间信号与离散时间信号

                    连续时间信号:在所有连续时间值上均有定义,简称为连续信号或模拟信号。

                    离散时间信号:仅在一些离散时间点上才有定义,简称为离散信号。

            1.1.4因果信号与非因果信号

                    因果信号:在t< 0时,f(t)=0,则称为因果信号。无记忆系统属于因果信号。

                    非因果信号:周期信号均为非因果信号。

    1.2常用的基本信号

            1.2.1直流信号

                    f(t)=A(-\infty<t< +\infty ),属于非因果信号。

            1.2.2正弦信号

                    f(t)=Asin(wt+\varphi )

            1.2.3单位阶跃信号

                    \varepsilon (t)=\left\{\begin{matrix} 1 (t>0)\\ 0 (t<0) \end{matrix}\right. 

            1.2.4斜坡信号

                    r(t)=\left\{\begin{matrix} t(t\geq 0)\\ 0(t<0) \end{matrix}\right.

            1.2.5实指数信号

                    f(t)=Ae^{-\alpha t}(\alpha >0,t>0),属于因果信号

            1.2.6复指数信号

                    f(t)=Ae^{(\alpha +jw)t},若\alpha =0,则f(t)为虚指数信号,若w=0,则f(t)为实指数。

                    根据欧拉公式,复指数信号又可表示为:f(t)=Ae^{^{\alpha t}}(cos wt+jsin wt)

            1.2.7降正弦函数

                    Sa(t)=\frac{sint}{t}

                    特点:(1)Sa(t)是偶函数;

                               (2)当t=0时,Sa(t)为最大值1;

                               (3)曲线呈震荡衰减,取无穷大时极限为0;

                               (4)\int_{0}^{\infty }Sa(t)dt= \frac{\pi}{2},\int_{-\infty }^{\infty }Sa(t)dt= \pi;

                               (5)sinc(t)的定义:sinc(t)=\frac{sin\pi t}{\pi t}=Sa(\pi t);

    1.3信号的基本处理

            1.3.1相加与相乘

                    相加

                    相乘

            1.3.2反转与延时

                    将自变量t换成-t可得到另一个函数f(-t),称为信号的反转;

                    将自变量t换成t\pm t_{0},t_{0}为正的实常数,可得新信号f(t\pm t_{0}).

            1.3.3压缩与扩展

                     将自变量t换成at可得到另一个函数f(at),a为正实数,则信号f(t)将在时间尺度上压缩或扩展。

            1.3.4微分与积分

                    f(t)的一阶导数:\frac{df(t)}{dt}=f'(t)=f^{(1)}t

                    f(t)的二阶导数:\frac{d^{2}f(t)}{dt^{2}}=f''(t)=f^{(2)}t

                    f(t)的积分表示:y(t)=\int_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau =f^{(-1)}(t)

    1.3单位冲激函数

            1.3.1冲激函数的定义

            冲激函数是一个奇异函数,定义为\begin{cases} \delta (t)=0& t\neq 0 \\ \int_{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1 \end{cases},解释为在0这一刻瞬间出现又立即消失的信号,且幅值无限大;在其他时刻始终为0.

            阶跃信号与冲激信号的确切关系:单位冲激信号的积分为单位阶跃信号,单位阶跃信号的导数应为单位冲激信号。

         单位冲激函数:   \delta (t)=\frac{d\varepsilon (t)}{dt}\varepsilon (t)=\int_{-\infty }^{t}\delta (\tau )d\tau;

            1.3.2冲激函数的性质

            1.\delta (t)是偶函数:\delta (t)=\delta (-t)

            2.\delta (t)具有取样性;

    二、傅里叶级数

    2.1傅里叶级数

            给定一个周期为T的函数x(t),当周期信号满足狄里赫利条件时,可用傅里叶级数表示。

            狄里赫利条件:(1)在单个周期内只有有限个极大值和极小值,且只有有限个第一类不连续点;

                                     (2)在单个周期内f(t)绝对可积,即\int_{-\pi /2}^{\pi /2}\left | f(t) \right |dt<\infty.

            表示为无穷级数:x(t)=\sum_{-\infty }^{+\infty }a_{k}e^{jkw_{0}t}=\sum_{-\infty }^{+\infty }a_{k}e^{jk(2\pi /T)t};

            基波频率为w_{0},基波周期T=2\pi /w_{0}.

            基波分量:k=\pm 1合在一块称为基波分量或一次谐波分量。

    2.2傅里叶级数的表示形式

            2.1.1三角级数表示

                     三角形式:  f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}cos \, nw_{1}t+b_{n}sin\, nw_{1}t);

                    其中w_{1}=2\pi /T为基波角频率,nw_{1}称为n次谐波的频率;a_{0}为直流分量。

                    系数求解:     

                       a_{0}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T }{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt;a_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T }{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)cos\, nw_{1}tdt;b_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T }{2}}f(t)sin\, nw_{1}tdt.

                    系数的求解思路:a_{0}可直接使用在单个周期内进行积分,因为cos与sin在周期内积分为0,a_{n}b_{n}则可以利用三角函数的正交性进行求解,a_{n}直接乘以cos\, nw_{1},除cos\, nw_{1}自身外都可以正交积分为0, b_{n}直接乘以sin \, nw_{1},除sin \, nw_{1}自身外都可以正交积分为0.

                    傅里叶级数又可表示为余弦实函数:f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }A_{n}cos(nw_{1}t+\varphi _{n});

                    其中a_{n}=A_{n}cos\varphi _{n},b_{n}=-A_{n}sin\varphi _{n} ;A_{n}=\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}};\varphi _{n}=-arctan(\frac{b_{n}}{a_{n}}).

            2.1.2复指数级数表示

                    使用欧拉公式将三角形式转换成复指数形式,即

                    f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}\frac{e^{jnw_{1}t}+e^{-jnw_{1}t}}{2}+b_{n}\frac{e^{jnw_{1}t}-e^{-jnw_{1}t}}{2j})

                    化简后则有f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{a_{n}-jb_{n}}{2}e^{jnw_{1}t}+\frac{a_{n}+jb_{n}}{2}e^{-jnw_{1}t}),

                    令F_{0}=a_{0},F_{n}=\frac{a_{n}-jb_{n}}{2},由a_{n}=A_{n}cos\varphi _{n},b_{n}=-A_{n}sin\varphi _{n}

                    可知a_{n}=a_{-n},b_{n}=-b_{-n}

                    可得F_{-n}=\frac{a_{n}+jb_{n}}{2}f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }(F_{n }\,e^{jnw_{1}t}+F_{-n }\,e^{-jnw_{1}t})

                    可化简为f(t)=\sum_{-\infty}^{\infty }F_{n }\,e^{jnw_{1}t}

                    其系数为F_{n}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\,e^{-jnw_{1}t}dt.

                    F_{n}可视为各次谐波nw_{1}的函数,可表示为F_{n}=\left | F_{n} \right |e^{j\varphi _{n}};F_{-n}=\left | F_{n} \right |e^{-j\varphi _{n}},\left | F_{n} \right |为各次谐波的幅度,\varphi _{n}=nw_{1}为其相位。

                    每对频率项可合成一个余弦实数项,即F_{n }\,e^{jnw_{1}t}+F_{-n }\,e^{-jnw_{1}t}=2\left | F_{n} \right |cos(nw_{1}t+\varphi _{n}).各谐波振幅为A_{n}=2\left | F_{n} \right |.

    三、傅里叶变换

    3.1傅里叶变换

            3.1.1 傅里叶变换的定义

            傅里叶变换是一种分析信号的方法,它可分析信号的成分,也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分,比如正弦波、方波、锯齿波等,傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。

            3.1.2傅里叶变换的分类

            非周期性连续信号傅里叶变换(Fourier Transform)

            周期性连续信号傅里叶级数(Fourier Series)

            非周期性离散信号离散时域傅里叶变换(Discrete Time Fourier Transform)

            周期性离散信号离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)

            3.1.3傅里叶级数到傅里叶变换

            正变换的推导:

            已知复指数形式的周期信号有以下关系:f(t)=\sum_{-\infty}^{\infty }F_{n }\,e^{jnw_{1}t}F_{n}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\,e^{-jnw_{1}t}dt

            而  F_{n}可视为离散值nw_{1}的函数,则F(nw_{1})=F_{n}T=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\,e^{-jnw_{1}t}dt

            当T\rightarrow \infty时,谱线高度F_{n}和谱线间隔w_{1}趋于无穷小,则w_{1}可用dw代替,nw_{1}变为连续变量w,且T=\frac{2\pi }{w_{1}}=\frac{2\pi }{dw};

            即可推导出F(w)=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-jwt}dt;同时F(w)=\lim_{T\rightarrow \infty }F_{n}T=\frac{2\pi F_{n} }{dw},可见F(w)相当于单位频率所占的幅度,具有密度的意义,一般情况下为连续谱。

            反变换的推导:

             根据上面的公式可得F_{n}又可表示为:F_{n}=\frac{dw }{2\pi}F(w),再代入到f(t)F_{n}的表达式中可得,同时将nw_{1}换成w,求和变成积分

            可得:f(t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }F(w)e^{jwt}dw

             3.1.4连续傅里叶变换的正反变换

            正变换:F(w)=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-jwt}dt;F(w)=\wp [f(t)]

            反变换:f(t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }F(w)e^{jwt}dw;f(t)=\wp ^{-1}[F(w)]

            3.1.5离散傅里叶变换的正反变换

            正变换:X(e^{jw})=\sum_{-\infty }^{\infty}x[n]e^{-jwn}

            反变换:x[n]=\frac{1}{2\pi }\int_{2\pi }^{}X(e^{jw})e^{jwn}dw

            3.1.6F(w)的复指数表现形式

            频谱函数F(w)一般为w的复函数,则可将F(w)记为F(jw),则可写成F()=\left | F(w) \right |e^{j\varphi (w)};

            \left | F(w) \right |为幅度频谱,是偶函数,\varphi (w)为相位频谱,是奇函数;

            F(w)=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-jwt}dt=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)cos\, wtdt-j\int_{-\infty }^{\infty }f(t)sin\, wtdt=R(w)-jX(w);

            其中R(w)=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)cos\, wtdt; X(w)=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)sin\, wtdt

           可得  \left | F(w) \right |=\sqrt{R^{2}(w)+X^{2}(w)}\varphi (w)=-arctan[\frac{X(w)}{R(w)}];

    3.2常用信号的傅里叶变换

            3.2.1门信号的傅里叶变换

                    门函数:幅度为1,宽度为\tau的单个矩形脉冲,记为g_{\tau }(t)=\left\{\begin{matrix} 1\, (\left | t \right |<\frac{\tau }{2})\\ 0\, (\left | t \right |>\frac{\tau }{2}) \end{matrix}\right.;

                    F(w)=\int_{-\infty }^{\infty }g_{\tau }(t)e^{-jwt}dt=\int_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}e^{-jwt}dt=\frac{e^{-j\frac{w\tau }{2}}-e^{j\frac{w\tau }{2}}}{-jw}=\frac{2sin(\frac{w\tau }{2})}{w}=\tau \frac{sin\frac{w\tau }{2}}{\frac{w\tau }{2}};

                    令Sa(\frac{w\tau }{2})=\frac{sin(\frac{w\tau }{2})}{\frac{w\tau }{2}},则频谱为F(w)=\tau Sa(\frac{w\tau }{2});

            3.2.2冲激信号的傅里叶变换

                    F(w)=\int_{-\infty }^{\infty }\delta (t)e^{-jwt}dt=1,有变换对\delta (t)\leftrightarrow 1,可见冲激信号的频谱为均匀谱。

            3.2.3直流信号的傅里叶变换

                    设直流信号f(t)=1,则有\delta (t)=\delta (-t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{-jwt}dw,可推出\int_{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{-jwt}dt=2\pi \delta (w);即1\leftrightarrow 2\pi\delta (w);

            3.2.4指数信号的傅里叶变换

                    设单边指数信号为f(t)=e^{-at},F(w)=\int_{0}^{\infty }e^{-\alpha t}\cdot e^{-jwt}dt=\int_{0}^{\infty }e^{-(\alpha +jw)t}dt=\frac{1}{\alpha +jw};

                    变换对:e^{-\alpha t}\varepsilon (t)\leftrightarrow \frac{1}{\alpha +jw};

            3.2.5符号信号的傅里叶变换

                    符号函数定义为:sgn(t)=\left\{\begin{matrix} 1\, (t>0)\\ -1\, (t<0) \end{matrix}\right.,由于不满足绝对可积条件,所以只能视为双边指数函数在0这一点的极限,即sgn(t)=\lim_{\alpha \rightarrow 0}e^{-\alpha t}\varepsilon (t)+\lim_{\alpha \rightarrow 0}-(e^{-\alpha t})\varepsilon (-t),则频谱为F(w)=\lim_{\alpha \rightarrow 0}(\frac{1}{\alpha +jw}-\frac{1}{\alpha -jw})=\frac{2}{jw};

            3.2.6阶跃信号的傅里叶变换

                    单位阶跃函数可以用直流信号和符号函数表示为:\varepsilon (t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sgn(t),频谱可化为\varepsilon (t)\leftrightarrow \pi \delta (w)+\frac{1}{jw};

    3.3傅里叶变换的性质

            3.3.1线性性质

                    因为傅里叶变换本身就是线性变换,所以满足线性关系。

            3.3.2脉冲展缩与频带变化

                    已知f(t)\leftrightarrow F(w),则f(at)\leftrightarrow \frac{1}{\left | a \right |}F(\frac{w}{a}),表明了信号时域波形的压缩,对应其频谱图形的的扩展;信号时域波形的扩展对应其频谱图形的压缩,且展缩倍数一致。

            3.3.3延时与相位移动

                    f(t)延时t_{0}后,其对应的幅度频谱保持不变,但相位频谱中所有分量的相位均滞后wt_{0}.

            3.3.4调制与频谱搬移

                    调制:乘以e^{jwt}将信号抬升至高频区间;

                    解调:乘以e^{-jwt}将信号搬移到低频区间;

                    频谱搬移:f(t)e^{jwt}\leftrightarrow F(w-w_{0})

            3.3.5时-频对称性

                    信号的时域变化与其频谱特性之间存在一定的对称性,若f(t)\leftrightarrow F(w),则有F(t)\leftrightarrow 2\pi f(-w);它表明了若函数f(t)的频谱为F(w),则时间信号F(t)=F(w)|_{w=t}对应的频谱为2\pi f(-w)=2\pi f(t)|_{t=-w};

            3.3.6卷积定理

                    f_{1}(t)\ast f_{2}(t)\leftrightarrow F_{1}(w)\cdot F_{2}(w),时域的卷积对应频域函数的相乘;

                    f_{1}(t)\cdot f_{2}(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi }F_{1}(w)\ast F_{2}(w),时域相乘对应频域卷积。

            3.3.7时域微分

                    若f(t)\leftrightarrow F(w),则有\frac{df(t)}{dt}\leftrightarrow jwF(w);推广可得\frac{d^{n}f(t)}{dt^{n}}\leftrightarrow (jw)^{n}F(w)

            3.3.8时域积分

                    若f(t)\leftrightarrow F(w),则有\int_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau \leftrightarrow \pi F(0)\delta (w)+\frac{F(w)}{jw};

    四、拉普拉斯变换

    4.1拉普拉斯变换

            4.1.1拉普拉斯变换的定义

                    拉普拉斯正变换的推导:已知傅里叶变换为F(w)=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-jwt}dt,乘以收敛因子e^{-\sigma t},\sigma为实常数,则有F(w)=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-(\sigma +jw)t}dt;

                    令复频率s=\sigma +jw,则有F(s)=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-st}dt,F(s)称为信号f(t)的双边拉普拉斯变换,简称双边拉氏变换。

                    拉普拉斯反变换的推导:f(t)e^{-\sigma t}=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }F(s)e^{jwt}dw,利用了傅里叶变换的频谱搬移性质。再同乘以e^{\sigma t},可得f(t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }F(s)e^{(\sigma +jw)t}dw,因为s=\sigma +jw,且\sigma为实常数,则有ds=jdw,当w=\pm \infty时,有s=\sigma \pm j\infty,从而f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty }F(w)e^{-st}dt

            4.1.2傅里叶到拉普拉斯

                    由于傅里叶变换需要满足狄里赫利条件,但大部分函数都是不满足其绝对可积条件的,所以采用一个衰减函数使其满足其绝对可积。

    4.2常用信号的拉普拉斯变换

     

    4.3拉普拉斯变换的性质

            4.3.1线性性质

                    满足可加性与齐次性:a_{1}f_{1}(t)+a_{2}f_{2}(t)\leftrightarrow a_{1}F_{1}(s)+a_{2}F_{2}(s)

            4.3.2延时性质

                    f(t-t_{0})\varepsilon (t-t_{0})\leftrightarrow F(s)e^{-st_{0}}

                    从t=0开始的周期信号的拉氏变换等于其第一周期波形的拉氏变换乘以\frac{1}{1-e^{-sT}};

                    即F(s)=F_{1}(s)\frac{1}{1-e^{-sT}}

            4.3.3微分定理

                    若f(t)\leftrightarrow F(s),则有f^{'}(t)\leftrightarrow sF(s)-f(0_{-});f^{''}(t)=s^{2}F(s)-sf(0_{-})-f(0_{-});

                    若f(t)为有始函数,则f(0_{-}),则有f^{'}(t)\leftrightarrow sF(s);f^{''}(t)\leftrightarrow s^{n}F(s).

            4.3.4积分定理

                    若f(t)\leftrightarrow F(s),\int_{0_{-}}^{t}f(\tau )d\tau \leftrightarrow \frac{F(s)}{s};

            4.2.5卷积定理

                    f_{1}(t)\ast f_{2}(t)\leftrightarrow F_{1}(s)\cdot F_{2}(s)

            4.2.6初值与终值定理

                    若信号在0处不含冲激函数,则初值定理为f(0_{+})=\lim_{s\rightarrow \infty }sF(s),中值定理为f(\infty)=\lim_{s\rightarrow 0_{+} }sF(s).

    五、附录

    5.1.1傅里叶变换的性质

    5.1.2周期信号的傅里叶变换

    5.1.3非周期信号的傅里叶变换

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    本文是对知乎上大佬的学习, 其知乎名为逸珺:傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换的联系是什么?为什么要进行这些变换? - 知乎

    三者关系如下

    如下图所示,傅里叶变换是拉普拉斯变换的特殊形式,Z变换是拉普拉斯变换的离散形式。

     

    要理解三种变换的联系区别,首先要理解什么是数学变换,什么是积分变换 

    因为:傅里叶变换和及拉普拉斯变换的本质都是基本变换

    什么是数学变换

    数学变换:指函数从原向量空间变换为另一个向量空间,或从集合x到另一个集合Y的可逆函数。

    如旋转变换,平移,对称等等

    数学中还有很多数学变换,其本质都可以看成是将函数f(x)利用变换因子进行的一种数学映射,其变换结果其函数的自变量有可能还是原来的几何空间,或许会变成其他的向量空间,比如傅立叶变换就从时域变换为频域。

     

     而傅立叶变换与拉普拉斯变换本质上都是对连续函数的一种积分变换,那么什么是积分变换呢

    为何积分变换:

     积分变换通过积分将一个函数从其原始函数空间映射到另一个函数空间,其中原始函数的某些属性可能比原始函数空间更容易表征和操作。通常可以通过逆变换变回原函数。

     通常积分变换,假定对于函数为自变量t的函数f(t),都类似具有以下的范式

    函数f(t)是该变换的输入,(Tf)(u)为变换的输出,因此积分变换一般也称为一种特定的数学运算符。而函数K(t,u)称为积分核函数(kernel function)。

     变换可逆

     观察正逆变换可知:

    • 核函数刚好两个自变量交换位置
    • 正变换是对原函数f(t)在时间t维度上进行积分
    • 逆变换是在变换后的函数在u维度上进行积分

     傅里叶级数

    它可以将任何周期信号分解为一个或者多个正弦函数的集合。

    其前为:周期信号,其周期为T。若f(t)在一个周期的能量是有限的

    可以将f(t)展开为傅立叶级数。计算如下:

     F(kw)为傅里叶级数的系数,

     或者利用欧拉公式,将原信号展开为正弦函数和的形式。

     上式中的k表示第k次谐波。

     什么是傅里叶变换

    假设周期信号趋向于无穷大,则谱线间隔趋向于无穷小,周期信号变为非周期信号,谱线变成连续。前提是该函数绝对可积。

     傅里叶变换为:

     

     其反变换为:

     为什么之前说傅里叶变换本质是积分变换呢,这里可以看到傅里叶变换的核函数为:

     

     核函数有两个自变量,t与Ω,一个表征时间,一个表征空间。

     傅里叶变换与傅里叶级数的区别

     

     

    • 傅立叶级数对应的是周期信号,而傅立叶变换则对应的是一个时间连续可积信号(不一定是周期信号)
    • 傅立叶级数要求信号在一个周期内能量有限,而后者则要求在整个区间能量有限
    • 傅立叶级数的对应是离散的,而傅立叶变换则对应Ω是连续的。

    故:

     F(jk)代表周期信号的第k次谐波的大小,F(jΩ)则是频谱密度概念。

     拉普拉斯变换

     

     那么如果对于函数其傅立叶变换为(这里描述单边拉普拉斯变换):

     

     上面公式整理如下:

     令,则上面的变换

     核函数:

     

    傅里叶变换与拉普拉斯区别

     

     

    • 拉普拉斯变换,将原函数从时间维度(不一定是时间维度,只是方便理解本文以常见的时间维度信号进行描述),映射为复平面
    • 傅立叶变换是拉普拉斯变换的特例,也即变换核函数时,拉普拉斯变换就变成傅立叶变换了。相当于只取虚部,实部为0.
    • 傅立叶变换是从原维度变换为频率维度,对于信号处理而言相当于将时域信号变换为频域进行分析,为信号处理提供了强大的数学理论基础及工具。
    • 拉普拉斯变换,将原维度变换为复频域,在电子电路分析以及控制理论中,为建立系统的数学描述提供了强大的数学理论基础,学过控制理论的一天到晚都与传递函数打交道,其本质就是拉普拉斯变换对系统的一种数学建模描述。为分析系统的稳定性、可控性提供了数学工具。

     

     什么是Z变换

     Z变换的本质是拉普拉斯变换的离散形式。对原信号进行抽样得到离散信号

     

    然后进行拉普拉斯变换: 

     利用冲激函数特性

     

     

     Z变换的意义

     利用Z变换很快能够将传递函数描述成差分方程形式,为计算机处理提供便利。



     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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