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  • 函数 e^(-x) 在区间 (0,2pi) 上的傅立叶级数 (FS)。 这个程序类似于Matlab Demo of Square wave from Sine wave。 它绘制了 e^(-x) 前 40 项 FS 之间的误差。 由于近似值(忽略 41 到 inf 项)而出现此错误
  • 傅里叶级数变换公式: 代码实现 本次实现的是符号函数的拟合: 注:若要实现其他函数的拟合,修改程序中 fx 的表达式即可 """ 傅里叶级数""" import sympy as sym import numpy as np import matplotlib.pyplot ...

    好记性不如烂笔头

    傅里叶级数变换原理

    原理:待续…

    傅里叶级数变换公式:
    在这里插入图片描述
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    代码实现

    本次实现的是符号函数在范围为(-pi,pi)区间的拟合,

    在这里插入图片描述
    注:若要实现其他函数的拟合,修改程序中 fx 的表达式即可

    """ 傅里叶级数"""
    import sympy as sym
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    N = 8  # 拟合的阶数
    
    L = sym.pi  # 周期的一半
    n, x = sym.symbols('n x')  # 创建符号
    
    fx = sym.sign(x)  # 创建符号表达式 即要进行傅里叶级数分解的函数, 这里采用的是 符号函数
    
    
    a0 = (1/(2*L))*sym.integrate(fx, (x, -L, L))
    an = (1/L)*sym.integrate(fx*sym.cos((n*sym.pi*x)/(L)), (x, -L, L))
    bn = (1/L)*sym.integrate(fx*sym.sin((n*sym.pi*x)/(L)), (x, -L, L))
    
    a = []
    b = []
    a.append(a0)
    b.append(0)
    
    for i in range(1, N):
        a.append(an.subs(n, i))
        b.append(bn.subs(n, i))
    
    
    # 绘图 x轴范围设置
    t = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 256, endpoint=True)
    
    Fx = a0
    for i in range(1, N):
        if a[i] == 0 and b[i] == 0:
            continue
        
        # 累加 计算 Fx
        Fx = Fx + a[i]*sym.cos((i*sym.pi*x)/(L)) + b[i]*sym.sin((i*sym.pi*x)/(L))
    
        # 绘图使用
        y = []
        for j in t:
            y.append(Fx.subs(x, j))
    
        plt.plot(t, y, linewidth=0.5*(10-j), label='N={}'.format(i))
    
    
    # 打印输出 各项的系数 以及 傅里叶级数表达式
    # print('an:', a)
    # print('bn:', b)
    print('Fx:',Fx)
    
    
    # 设置 图像字体信息
    img_font = {'family': 'Microsoft YaHei',
                'size': 12,
                'weight': 'bold',
                }
    
    # 图像显示设置
    plt.legend(loc='upper right')
    plt.title("傅里叶级数拟合符号函数", fontproperties=img_font)
    plt.xlabel("x", fontproperties=img_font)
    plt.ylabel("F(x)", fontproperties=img_font, rotation=360)
    plt.grid(alpha=0.5)
    
    plt.show()
    
    

    程序输出结果:

    Fx: 4*sin(x)/pi + 4*sin(3*x)/(3*pi) + 4*sin(5*x)/(5*pi) + 4*sin(7*x)/(7*pi)
    

    效果图

    N=8 时
    在这里插入图片描述

    N = 20 时:
    在这里插入图片描述

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  • 理解欧拉公式和傅里叶级数公式

    千次阅读 2019-05-12 15:14:00
    欧拉公式: https://www.matongxue.com/madocs/8.html 傅里叶变换 https://www.matongxue.com/madocs/619.html OR https://www.zhihu.com/question/19714540 转载于:https://www.cnblogs.com/...

     

    做个笔记,如下文章解释非常明了:

     

    欧拉公式:

    https://www.matongxue.com/madocs/8.html

     

    傅里叶变换

    https://www.matongxue.com/madocs/619.html

    OR

    https://www.zhihu.com/question/19714540

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/zoneofmine/p/10852367.html

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  • 首先,傅里叶分析是指把一个周期或非周期函数展开成一个个三角函数的叠加,如果是对其还没有基本概念的,可以看看傅里叶分析之掐死教程,这篇文章不依赖数学公式却又十分透彻地讲述了傅里叶分析的基本概念,十分值得...

    首先,傅里叶分析是指把一个周期或非周期函数展开成一个个三角函数的叠加,如果是对其还没有基本概念的,可以看看傅里叶分析之掐死教程,这篇文章不依赖数学公式却又十分透彻地讲述了傅里叶分析的基本概念,十分值得一读。但如果先深入探讨其中的数学由来,接下来会讲述详细的数学推导。

    傅里叶级数

    三角函数系的正交性

    三角函数系:{1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,…,sinnx,cosnx,…},它由无数个sinnx和cosnx组成,其中n=0,1,2,…。

    正交性:
    ∫ − π π sin ⁡ n x cos ⁡ m x d x = 0 \int^\pi_{-\pi}\sin nx \cos mx dx = 0 ππsinnxcosmxdx=0

    ∫ − π π cos ⁡ n x cos ⁡ m x d x = 0 , n ≠ m \int^\pi_{-\pi}\cos nx \cos mx dx = 0,n\neq m ππcosnxcosmxdx=0n=m

    ∫ − π π sin ⁡ n x sin ⁡ m x d x = 0 , n ≠ m \int^\pi_{-\pi}\sin nx \sin mx dx = 0,n\neq m ππsinnxsinmxdx=0n=m

    当向量点乘等于0:
    a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0 \vec a \cdot \vec b = 0 a b =0
    则两个向量正交

    拓展到函数中,两个函数相乘,原本点乘的加和变成取积分,则:
    ∫ x 2 x 1 f ( x ) g ( x ) d x = 0 \int^{x_1}_{x_2}f(x) g(x) dx = 0 x2x1f(x)g(x)dx=0
    称为两个函数正交

    证明其正交性,可以用积化和差公式:
    ∫ − π π cos ⁡ n x cos ⁡ m x d x = 1 2 ∫ − π π [ c o s ( n − m ) x + c o s ( n + m ) x ] d x = 0 \int^\pi_{-\pi}\cos nx \cos mx dx = \frac{1}{2}\int^\pi_{-\pi}[cos(n-m)x+cos(n+m)x]dx =0 ππcosnxcosmxdx=21ππ[cos(nm)x+cos(n+m)x]dx=0
    其他情况同理。

    周期为2π的函数展开

    因此当一个函数f(x)周期为2π时,可以展开成
    f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n c o s n x + ∑ n = 0 ∞ b n s i n n x = 1 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n x + b n s i n n x ) f(x) = \sum^\infty_{n=0}a_ncosnx + \sum^\infty_{n=0}b_nsinnx = \frac 1 2 a_0 + \sum^\infty_{n=1}({a_ncosnx + b_nsinnx}) f(x)=n=0ancosnx+n=0bnsinnx=21a0+n=1(ancosnx+bnsinnx)
    对两边取积分,由于三角函数的正交性
    ∫ − π π f ( x ) d x = 1 2 ∫ − π π a 0 d x = π a 0 \int_{-\pi}^\pi f(x)dx = \frac1 2\int_{-\pi}^\pi a_0dx = \pi a_0 ππf(x)dx=21ππa0dx=πa0

    a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x a_0 = \frac 1 {\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)dx a0=π1ππf(x)dx

    原式乘以cos mx 再对两边取积分可得:
    ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ m x d x = ∑ n = 1 ∞ ∫ − π π a n c o s n x c o s m x d x = ∫ − π π a n c o s 2 n x d x = a n π \int^\pi_{-\pi}f(x) \cos mx dx = \sum^\infty_{n=1}\int^\pi_{-\pi} a_ncosnx cosmx dx = \int^\pi_{-\pi} a_ncos^2 nx dx = a_n\pi ππf(x)cosmxdx=n=1ππancosnxcosmxdx=ππancos2nxdx=anπ

    a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x a_n = \frac 1 \pi \int^\pi_{-\pi}f(x) \cos nx dx an=π1ππf(x)cosnxdx

    同理,两边同乘sinmx再取积分可得:
    b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ n x d x b_n = \frac 1 \pi \int^\pi_{-\pi}f(x) \sin nx dx bn=π1ππf(x)sinnxdx

    周期为2L的函数展开

    利用换元的方法,令: x = π L t x = \frac \pi L t x=Lπt ,即 t = L π x t = \frac L \pi x t=πLx,可得:
    f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n π L t + b n s i n n π L t ) f(t) = \frac {a_0} 2 + \sum^\infty_{n=1}({a_ncos \frac{n\pi}{L}t + b_nsin\frac{n\pi}{L}t}) f(t)=2a0+n=1(ancosLnπt+bnsinLnπt)

    a 0 = 1 L ∫ − L L f ( t ) d t a_0 = \frac 1 {L}\int_{-L}^L f(t)dt a0=L1LLf(t)dt

    a n = 1 L ∫ − L L f ( x ) cos ⁡ n x d x a_n = \frac 1 L \int^L_{-L}f(x) \cos nx dx an=L1LLf(x)cosnxdx

    b n = 1 L ∫ − L L f ( x ) sin ⁡ n x d x b_n = \frac 1 L \int^L_{-L}f(x) \sin nx dx bn=L1LLf(x)sinnxdx

    在工程中t总是从0开始,周期T=2L,ω = π L = 2 π T \frac \pi L = \frac 2\pi T Lπ=π2T,此时:
    f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s ω t + b n s i n ω t ) f(t) = \frac {a_0} 2 + \sum^\infty_{n=1}({a_ncosωt + b_nsinωt}) f(t)=2a0+n=1(ancosωt+bnsinωt)

    a 0 = 2 T ∫ 0 T f ( t ) d t a_0 = \frac 2 {T}\int_{0}^T f(t)dt a0=T20Tf(t)dt

    a n = 2 T ∫ 0 T f ( x ) cos ⁡ n x d x a_n = \frac 2 T \int^T_{0}f(x) \cos nx dx an=T20Tf(x)cosnxdx

    b n = 2 T ∫ 0 T f ( x ) sin ⁡ n x d x b_n = \frac 2 T \int^T_{0}f(x) \sin nx dx bn=T20Tf(x)sinnxdx

    傅里叶级数的复数表达形式

    欧拉公式:$ e^{iθ} = cosθ + isinθ$

    可得:
    c o s θ = 1 2 ( e i θ + e − i θ ) cosθ = \frac 1 2 (e^{iθ}+e^{-iθ}) cosθ=21(eiθ+eiθ)

    s i n θ = 1 2 i ( e i θ − e − i θ ) sinθ = \frac 1 2 i(e^{iθ}-e^{-iθ}) sinθ=21i(eiθeiθ)

    把这两条式子代入f(t)的式子中可得:
    f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n − i b n 2 e i n ω t + ∑ n = 1 ∞ a n + i b n 2 e − i n ω t = ∑ n = 0 0 a 0 2 e i n ω t + ∑ n = 1 ∞ a n − i b n 2 e i n ω t + ∑ n = − 1 − ∞ a − n + i b − n 2 e i n ω t = ∑ − ∞ ∞ C n e i n ω t f(t) = \frac {a_0} 2 + \sum_{n=1}^\infty \frac {a_n-ib_n} 2 e^{in\omega t}+ \sum_{n=1}^\infty \frac {a_n+ib_n} 2 e^{-in\omega t} = \sum_{n=0}^0 \frac {a_0} 2 e^{in\omega t} + \sum_{n=1}^\infty \frac {a_n-ib_n} 2 e^{in\omega t}+ \sum_{n=-1}^{-\infty} \frac {a_{-n}+ib_{-n}} 2 e^{in\omega t} = \sum_{-\infty}^\infty C_n e^{in\omega t} f(t)=2a0+n=12anibneinωt+n=12an+ibneinωt=n=002a0einωt+n=12anibneinωt+n=12an+ibneinωt=Cneinωt
    当n = 0时,
    C n = a 0 2 = 1 T ∫ 0 T f ( t ) d t C_n = \frac {a_0} 2 = \frac 1 {T}\int_{0}^T f(t)dt Cn=2a0=T10Tf(t)dt
    当n > 0时,
    C n = a n − i b n 2 = 1 2 ( 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s n ω t − i 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n n ω t ) = 1 T ∫ 0 T f ( t ) ( c o s n ω t − i s i n n ω t ) d t = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t d t C_n = \frac {a_n-ib_n} 2 = \frac 1 2 (\frac 2 T \int_0^T f(t)cos{n\omega t} - i\frac 2 T \int_0^Tf(t)sin{n\omega t}) = \frac 1 T \int_0^T f(t)(cos{n\omega t} - isin{n\omega t}) dt = \frac 1 T \int_0^T f(t) e^{-in\omega t}dt Cn=2anibn=21(T20Tf(t)cosnωtiT20Tf(t)sinnωt)=T10Tf(t)(cosnωtisinnωt)dt=T10Tf(t)einωtdt
    当n < 0时,
    C n = a − n + i b − n 2 = 1 T ∫ 0 T f ( t ) ( c o s n ω t − i s i n n ω t ) d t = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t d t C_n = \frac {a_{-n}+ib_{-n}} 2 = \frac 1 T \int_0^T f(t)(cos{n\omega t} - isin{n\omega t}) dt = \frac 1 T \int_0^T f(t) e^{-in\omega t}dt Cn=2an+ibn=T10Tf(t)(cosnωtisinnωt)dt=T10Tf(t)einωtdt

    因此得出结论,一个周期函数f(t)有f(t)=f(t+T)时:
    f ( t ) = ∑ − ∞ ∞ C n e i n ω t f(t) = \sum_{-\infty}^\infty C_n e^{in\omega t} f(t)=Cneinωt

    C n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t d t C_n = \frac 1 T \int_0^T f(t) e^{-in\omega t}dt Cn=T10Tf(t)einωtdt

    傅里叶变换

    对于 C n C_n Cn来说,它的值是一个复数,而nω是一个离散的值,那么可以在代表nω的轴上一个个特定的点上设一个平面,这个平面是一个复平面,它的长度和方向代表 C n C_n Cn
    在这里插入图片描述

    在工程上,横坐标为时间的波形图称为时域表达,而这幅图显示的是在各种不同频率下的值,称为频域表达,也是波形图的频谱,这就是从不同的角度看时间,每一种波形都对应一种频谱。不过很多时候的频谱都不是这种复平面三维的,我们会把 C n C_n Cn的幅度即模单独拿出来,就可以表示这个函数在不同频率下的强度了。
    在这里插入图片描述

    当T增大时,ω数值减小,nω之间就挨得越近。T趋于无穷时会形成一条连续的曲线:

    在这里插入图片描述

    由:
    f ( t ) = ∑ − ∞ ∞ C n e i n ω t f(t) = \sum_{-\infty}^\infty C_n e^{in\omega t} f(t)=Cneinωt

    C n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t d t C_n = \frac 1 T \int_0^T f(t) e^{-in\omega t}dt Cn=T10Tf(t)einωtdt

    得到:
    f T ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ 1 T ∫ − T 2 T 2 f T ( t ) e − i n ω 0 t d t e i n ω 0 t f_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac 1 T \int_{-\frac T 2}^{\frac T 2} f_T(t) e^{-in\omega_0 t}dt e^{inω_0t} fT(t)=n=T12T2TfT(t)einω0tdteinω0t

    f T ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ Δ ω 2 π ∫ − T 2 T 2 f T ( t ) e − i n ω 0 t d t e i n ω 0 t f_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac {\Deltaω} {2\pi} \int_{-\frac T 2}^{\frac T 2} f_T(t) e^{-in\omega_0 t}dt e^{inω_0t} fT(t)=n=2πΔω2T2TfT(t)einω0tdteinω0t

    T → ∞ T \rightarrow \infty T
    f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t e i n ω t d ω f(t) = \frac {1} {2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}dt e^{inωt}d\omega f(t)=2π1f(t)eiωtdteinωtdω
    因此我们把中间的公式称为傅里叶变换(FT)
    F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t F(ω) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}dt F(ω)=f(t)eiωtdt
    通过这个函数可以表示在任何频率的情况下的三角函数的波形的振幅,这通常是一个复数a+bi,其中实数部分代表cos,虚数部分代表sin。而负频率没有现实意义,其振幅为正频率的共轭,只是为了在数学上的计算便利,实际上用 a 2 + b 2 \sqrt{a^2+b^2} a2+b2 表示其振幅。

    外面套的公式称为傅里叶变换的逆变换(IFT)
    f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e i ω t d ω f(t) = \frac {1} {2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(ω) e^{iωt}d\omega f(t)=2π1F(ω)eiωtdω
    傅里叶变换的所有内容讲解完毕了,傅里叶变换其实是一种特殊的拉普拉斯变换(s=iω),遵循拉普拉斯变换的所有性质。

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  • 其实一直对傅里叶变换一直停留在认识的层面,今天就要好好梳理一下,为什么这么多人要用它来处理信号,它到底有什么魔力。 那我们就行最初提出的傅里叶级数公式开始推导吧。

    终于有机会可以把傅里叶分析推导一遍了。其实我对傅里叶变换一直停留在认识层面,今天就要好好梳理一下,为什么这么多人要用它来处理信号,它到底有什么魔力。

    好,那我们就从傅里叶级数开始吧。

    一、周期信号 x ( t ) x(t) x(t)

    傅里叶级数公式: x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k w 0 t              ( 1 ) x(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{a_k}{e^{jk{w_0}t}}} \;\;\;\;\;\; (1) x(t)=k=+akejkw0t1
    为什么上述公式需要用 e j k w 0 t {e^{jk{w_0}t}} ejkw0t而不用其他呢?
    e j k w 0 t = cos ⁡ ( k w 0 t ) + j sin ⁡ ( k w 0 t ) {e^{jk{w_0}t}}={\cos (k{w_0}t) + j\sin (k{w_0}t)} ejkw0t=cos(kw0t)+jsin(kw0t) 是由不同频率的正弦函数构成的。在自然界中,正弦是最普遍的现象,且易于表达和计算,所以首选是正弦函数。**傅里叶分析的基本思想是想将所有任意复杂的函数,都通用的表示为一组谐波相关的复指数。**对 e j k w 0 t {e^{jk{w_0}t}} ejkw0t在一个周期内进行积分,可以得到
    ∫ T 0 e j k w 0 t d t = ∫ T 0 ( cos ⁡ ( k w 0 t ) + j sin ⁡ ( k w 0 t ) ) d t = { T 0            k = 0 0                k ≠ 0 \int_{{T_0}} {{e^{jk{w_0}t}}dt = \int_{{T_0}} {(\cos (k{w_0}t) + j\sin (k{w_0}t)} )dt = \left\{ \begin{array}{l} {T_0}\;\;\;\;\;k = 0\\ 0\;\;\;\;\;\;\;k \ne 0 \end{array} \right.} T0ejkw0tdt=T0(cos(kw0t)+jsin(kw0t))dt={T0k=00k=0
    积分结果非常的简单。
    所以,在傅里叶级数中,只需要求出系数 a k a_k ak就可以了
    对于周期函数,
    ∫ T 0 x ( t ) e − j n w 0 t d t = ∫ T 0 e − j n w 0 t ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k w 0 t d t                                                        = ∑ k = − ∞ + ∞ a k ∫ T 0 e j ( k − n ) w 0 t d t                                                           = { a k T 0            k = n 0                k ≠ n \begin{array}{l} \int_{{T_0}} {x(t){e^{ - jn{w_0}t}}dt} = \int_{{T_0}} {{e^{ - jn{w_0}t}}\sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{a_k}{e^{jk{w_0}t}}} } dt \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{a_k}\int_{{T_0}} {{e^{j(k - n){w_0}t}}} dt} \; \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \left\{ \begin{array}{l} {a_k}{T_0}\;\;\;\;\;k = n\\ 0\;\;\;\;\;\;\;k \ne n \end{array} \right. \end{array} T0x(t)ejnw0tdt=T0ejnw0tk=+akejkw0tdt=k=+akT0ej(kn)w0tdt={akT0k=n0k=n
    ⇒ a n = 1 T 0 ∫ T 0 x ( t ) e − j n w 0 t d t \Rightarrow {a_n} = \frac{1}{{{T_0}}}\int_{{T_0}} {x(t){e^{ - jn{w_0}t}}dt} an=T01T0x(t)ejnw0tdt

    由于计算机无法处理无限长的函数,所以要进行截断。
    现要处理非周期函数,利用上面周期函数得到的结论进行进一步的推导。

    定义部分时间函数:
    x N ( t ) = ∑ k = − N N a k e j k w 0 t {x_N}(t) = \sum\limits_{k = - N}^N {{a_k}{e^{jk{w_0}t}}} xN(t)=k=NNakejkw0t
    N → ∞ N \to \infty N时, x N ( t ) {x_N}(t) xN(t)是否和 x ( t ) x(t) x(t)一致。这里引出狄利赫里条件,即
    ①在一个周期内,间断点数目有限,且为第一类间断点;
    ②在一个周期内,极大值极小值数目有限;
    ③在一个周期内,信号能量有限。
    所以说,信号在每个连续点上都可以和 x ( t ) x(t) x(t)一致。在不连续点处,会有误差,这是吉布斯效应,如下图所示。
    在这里插入图片描述

    二、非周期信号 x ( t ) x(t) x(t)

    在这里插入图片描述
    T 0 T_0 T0为周期,将它复制成周期信号 x ~ ( t ) \tilde x(t) x~(t) x ~ ( t ) = x ( t ) , ∣ t ∣ < T 0 2 \tilde{x}(t)=x(t),|t|<\frac{T_{0}}{2} x~(t)=x(t),t<2T0。随着 T 0 T_0 T0趋近于无穷,周期信号会变成非周期信号,即 x ~ ( t ) = x ( t ) \tilde x(t)=x(t) x~(t)=x(t),两者可以相互转换,为下面的推导打下了基础。
    对于周期信号 x ~ ( t ) \tilde x(t) x~(t)来说,根据公式(1)可以得到
    x ~ ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k w 0 t                    ( 2 ) \tilde x(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{a_k}{e^{jk{w_0}t}}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2) x~(t)=k=+akejkw0t2
    那么, a k = 1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 x ~ ( t ) e − j k w 0 t d t {a_k} = \frac{1}{{{T_0}}}\int_{ - {T_0}/2}^{{T_0}/2} {\tilde x(t){e^{ - jk{w_0}t}}dt} ak=T01T0/2T0/2x~(t)ejkw0tdt
    即,当 T 0 → ∞ {T_0} \to \infty T0时, a k = 1 T 0 ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j k w 0 t d t {a_k} = \frac{1}{{{T_0}}}\int_{ - \infty }^\infty {x(t){e^{ - jk{w_0}t}}dt} ak=T01x(t)ejkw0tdt

    定义傅里叶变换: X ( w ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j w t d t ⇒ X ( w ) = T 0 a k ( w = k w 0 ) X(w) = \int_{ - \infty }^\infty {x(t){e^{ - jwt}}dt} \Rightarrow X(w)= T_0a_k (w = k{w_0}) X(w)=x(t)ejwtdtX(w)=T0ak(w=kw0)
    那么, a k = 1 T 0 X ( w ) {a_k}=\frac{1}{T_0}X(w) ak=T01X(w)。将该式带入式(2)得,
    x ~ ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k w 0 t                  = ∑ k = − ∞ + ∞ 1 T 0 X ( k w 0 ) e j k w 0 t                  = ∑ k = − ∞ + ∞ w 0 2 π X ( k w 0 ) e j k w 0 t \begin{array}{l} \tilde x(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{a_k}{e^{jk{w_0}t}}} \\\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{ = }}\sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{{{T_0}}}X(k{w_0}){e^{jk{w_0}t}}} \\\;\;\;\;\;\;\;\; = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty }\frac{{w_0}}{{2\pi }} {X(k{w_0}){e^{jk{w_0}t}}} \end{array} x~(t)=k=+akejkw0t=k=+T01X(kw0)ejkw0t=k=+2πw0X(kw0)ejkw0t

    T 0 → ∞ ⇒ w 0 → 0 , w 0 → d w , ∑ → ∫ , x ~ ( t ) → x ( t ) {T_0} \to \infty \Rightarrow {w_0} \to 0,{w_0} \to dw,\sum {} \to \int {},\tilde x(t) \to x(t) T0w00,w0dw,,x~(t)x(t)( w w w变得很小,频域就变成函数了)
    所以, x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ X ( w ) e j w t d w x(t) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {X(w){e^{jwt}}dw} x(t)=2π1+X(w)ejwtdw

    综上所述,
    傅里叶级数:
    a k = 1 T 0 ∫ T 0 x ( t ) e − j k w 0 t d t {a_k} = \frac{1}{{{T_0}}}\int_{{T_0}} {x(t){e^{ - jk{w_0}t}}dt} ak=T01T0x(t)ejkw0tdt
    x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k w 0 t x(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{a_k}{e^{jk{w_0}t}}} x(t)=k=+akejkw0t

    傅里叶变换:
    X ( w ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j w t d t X(w) = \int_{ - \infty }^\infty {x(t){e^{ - jwt}}dt} X(w)=x(t)ejwtdt
    x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ X ( w ) e j w t d w x(t) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {X(w){e^{jwt}}dw} x(t)=2π1+X(w)ejwtdw

    (PS:什么是频域?它是一种坐标系,只不过其空间中只有正弦函数。是构造出来的非真实空间。整正弦波是对频域的描述。因为任何时域波形都可以用正弦波表示。)

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  • 傅里叶级数及奇欧函数的延拓

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    @[TOC]([Matlab-2]函数展开为傅里叶级数(Fourier Series)) 周期延拓 在遇到非周期函数尤其是一段函数时,我们常常将其周期延拓 在时域下,表达式为 如下方波的傅里叶级数为 数值法实现傅里叶级数展开(Realize ...
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空空如也

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傅里叶级数和函数公式