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  • 傅立叶级数的介绍我就不说了,自己也是应用为主,之前一直觉得很难懂,但最近通过自己编程实现了一些函数的傅立叶级数展开之后对傅立叶 级数展开的概念比较清楚了(1)函数如下函数图象如下:代码:from pylab import ...

    傅立叶级数的介绍我就不说了,自己也是应用为主,之前一直觉得很难懂,但最近通过自己编程实现了一些函数的傅立叶级数展开之后对傅立叶 级数展开的概念比较清楚了

    (1)函数如下

    函数图象如下:

    代码:

    from pylab import * x = mgrid[-10:10:0.02] # 这里类似于MATLAB用冒号产生步长为0.02的序列,但是语法和MATLAB不同 n = arange(1,1000) def fourier_transform(): a0 = (1-exp(-pi))/pi+1 s=a0/2 for i in range(1,100,1): s0 = ( (1-(-1)**i*exp(-pi))/(pi*(1+i**2))*cos(i*x)+1/pi*( (-i*(1-(-1)**i*exp(-pi)))/(1+i**2) + (1-(-1)**i)/i ) * sin(i*x) ) s=s+s0 plot(x,s,orange,linewidth=0.6) title(fourier_transform) show() fourier_transform()

    结果如下:

    (2)

    转换代码:

    from pylab import * def fourier1(): s=pi/2 for i in range(1,100,1): s0 = 2/pi*(1-(-1)**i)/i**2 * cos(i*x) s=s+s0 plot(x,s,orange,linewidth=0.6) title(fourier1) show() fourier1()

    结果如下:

    关于傅里叶级数展开的还有一些例子在我的另一篇博客也有讨论,通过以上的例子可以很好直观感受傅立叶级数的作用,在电气工程上对分析流经变压器的谐波分量、整流装置输出谐波等分析具有重要作用。

    还有一点就是python的强大功能,利用for循环语句可以方便地实现级数展开的求和运算,自己感觉编程起来比MATLAB/Octave跟快

    相关文章:Python实现快速傅里叶变换(FFT)

    以上就是本文的全部内容,希望对大家的学习有所帮助,也希望大家多多支持脚本之家。

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  • 傅里叶级数和傅里叶变换基本定理三角函数的正交性欧拉公式傅里叶级数三角形式指数形式傅里叶变换傅里叶积分定理 最近在做音频处理相关的内容,所以打算对傅里叶的相关内容做一个小结。大学本科时学过复变函数,不过...


    最近在做音频处理相关的内容,所以打算对傅里叶的相关内容做一个小结。大学本科时学过复变函数,不过现在已经忘的差不多了,然后毕业后也经常会用到这个东西,无论是一维的信号还是二维的图像,所以就打算对此做一个理论推导。另外,在下文推导中全部假设所有函数都满足可进行傅里叶变换的条件假设,对于其他一些特殊函数,不在本文讨论范围之内。

    基本定理

    三角函数的正交性

    对于三角函数组合 1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,...,sinnx,cosnx,...1, sinx , cosx, sin2x, cos2x,...,sinnx,cosnx,...中任意两个函数的乘积在[π,π][-\pi,\pi]上的积分都为0,即ππsin(x)dx=0\int\limits_{-\pi}^{\pi} {sin(x)}dx=0 ππcos(x)dx=0 \int\limits_{-\pi}^{\pi} {cos(x)}dx=0 ππsin(mx)cos(nx)dx=0 \int\limits_{-\pi}^{\pi} {sin(mx)cos(nx)}dx=0ππsin(mx)sin(nx)dx=0 \int\limits_{-\pi}^{\pi} {sin(mx)sin(nx)}dx=0 ππcos(mx)cos(nx)dx=0 \int\limits_{-\pi}^{\pi} {cos(mx)cos(nx)}dx=0

    欧拉公式

    eix=cos(x)+isin(x)e^{ix}=cos(x) +isin(x)

    傅里叶级数

    三角形式

    对于一个周期为 TT 的函数,可以用一系列三角函数的叠加组成,令ω=2πT\omega={2\pi \over T},则
    f(t)=b02+n=1+[ansin(nωt)+bncos(nωt)]f(t) = {b_0 \over 2} + \sum \limits_{n=1}^{+\infty}{[a_n sin(n\omega t)+b_ncos(n\omega t)]}
    对上式在某个周期上进行积分可得t0t0+Tf(t)dt=t0t0+Tb02dt+t0t0+Tn=1+[ansin(nωt)+bncos(nωt)]dt\int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {f(t)dt = } \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} { {b_0 \over 2}} dt + \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} \sum \limits_{n=1}^{+\infty} {[{a_n}\sin (n\omega t) + {b_n}\cos (n\omega t)]} dt=b02T+2πTx0x0+2πn=1+[ansin(nx)+bncos(nx)]dx=b0T = {b_0 \over 2}T + {{2\pi } \over T}\int\limits_{{x_0}}^{{x_0} + 2\pi } \sum \limits_{n=1}^{+\infty} {[{a_n}\sin (nx) + {b_n}\cos (nx)]} dx=b_0T得到,b0=2Tt0t0+Tf(t)dtb_0={2 \over T} \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {f(t)dt}

    对上式两边同时乘以sin(mωt)sin(m\omega t),再在某个周期上进行积分可得t0t0+Tf(t)sin(mωt)dt=a0t0t0+Tsin(mωt)dt+t0t0+Tn=1+[ansin(nωt)sin(mωt)+bncos(nωt)sin(mωt)]dt\int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {f(t)\sin (m\omega t)dt = } {a_0}\int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {\sin (m\omega t)} dt + \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} {[{a_n}\sin (n\omega t)\sin (m\omega t ) + {b_n}\cos (n\omega t)\sin (m\omega t )]} } dt=amt0t0+Tsin2(mωt)dt=am2t0t0+T[1cos(2mωt)]dt=am2T = {a_m}\int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {{{\sin }^2}(m\omega t)} dt = {{{a_m}} \over 2}\int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {[1-\cos (2m\omega t)} ]dt = {{{a_m}} \over 2}T
    得到am=2Tt0t0+Tf(t)sin(mωt)dta_m ={2 \over T} \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {f(t)\sin (m\omega t)dt}

    对上式两边同时乘以cos(mωt)cos(m\omega t),再在某个周期上进行积分可得t0t0+Tf(t)cos(mωt)dt=a0t0t0+Tcos(mωt)dt+t0t0+Tn=1+[ansin(nωt)cos(mωt)+bncos(nωt)cos(mωt)]dt\int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {f(t)\cos (m\omega t)dt = } {a_0}\int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {\cos (m\omega t)} dt + \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} {[{a_n}\sin (n\omega t)\cos (m\omega t ) + {b_n}\cos (n\omega t)\cos (m\omega t )]} } dt=bmt0t0+Tcos2(mωt)dt=bm2t0t0+T[cos(2mωt)+1]dt=bm2T = {b_m}\int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {{{\cos }^2}(m\omega t)} dt = {{{b_m}} \over 2}\int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {[\cos (2m\omega t)} + 1]dt = {{{b_m}} \over 2}T
    得到bm=2Tt0t0+Tf(t)cos(mωt)dtb_m ={2 \over T} \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {f(t)\cos (m\omega t)dt}

    综上,可以得到傅里叶级数及其系数的形式,如下
    f(t)=b02+n=1+[ansin(nωt)+bncos(nωt)]f(t) = {b_0 \over 2} + \sum \limits_{n=1}^{+\infty}{[a_n sin(n\omega t)+b_ncos(n\omega t)]}an=2Tt0t0+Tf(t)sin(nωt)dta_n ={2 \over T} \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {f(t)\sin (n\omega t)dt} bn=2Tt0t0+Tf(t)cos(nωt)dtb_n ={2 \over T} \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {f(t)\cos (n\omega t)dt}

    指数形式

    根据欧拉公式可以得到
    cos(x)=eix+eix2cos(x) = {{e^{ix} + e^{-ix}} \over 2} sin(x)=eixeix2isin(x) = {{e^{ix} - e^{-ix}} \over 2i} 代入傅里叶级数-三角形式中可以得到
    f(t)=b02+n=1+[aneinωteinωt2i+bneinωt+einωt2]f(t) = {b_0 \over 2} + \sum \limits_{n=1}^{+\infty}{[a_n {{e^{in\omega t} - e^{-in\omega t}} \over 2i} +b_n{{e^{in\omega t} + e^{-in\omega t}} \over 2}]}=b02+n=1+[aneinωteinωt2i+bneinωt+einωt2]= {b_0 \over 2} + \sum \limits_{n=1}^{+\infty}{[a_n {{e^{in\omega t} - e^{-in\omega t}} \over 2i} +b_n{{e^{in\omega t} + e^{-in\omega t}} \over 2}]}=b02+n=1+[bnian2einωt+bn+ian2einωt]={b_0 \over 2} + \sum \limits_{n=1}^{+\infty }{[{{b_n-ia_n} \over{2} }e^{in\omega t} + {{b_n+ia_n} \over{2} }e^{-in\omega t}]}
    ωn=nω\omega_n = n\omega
    f(t)=n=+cneiωntf(t) = \sum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{i\omega_n t}n=0n=0c0=b02=1Tt0t0+Tf(t)dtc_0={b_0 \over 2}={1 \over T} \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {f(t)dt}n>0n> 0, cn=bnian2=1Tt0t0+Tf(t)[cos(ωnt)isin(ωnt)]dt=1Tt0t0+Tf(t)eiωntdtc_n={{b_n-ia_n} \over{2}}={1\over T} \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} f(t)[cos(\omega_n t) -i sin(\omega_n t)]dt= {1\over T} \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T}f(t)e^{-i\omega_n t}dtn<0n < 0, cn=bn+ian2=1Tt0t0+Tf(t)[cos(ωnt)isin(ωnt)]dt=1Tt0t0+Tf(t)eiωntdtc_{-n}={{b_{-n}+ia_{-n}} \over{2}}={1\over T} \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} f(t)[cos(\omega_n t) -i sin(\omega_n t)]dt= {1\over T} \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T}f(t)e^{-i\omega_n t}dt
    总上所述,可以得到傅里叶级数的指数形式f(t)=1Tn=+t0t0+Tf(t)eiωntdteiωntf(t) ={1\over T} \sum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}\int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T}f(t)e^{-i\omega_n t}dt e^{i\omega_n t}

    傅里叶变换

    傅里叶积分定理

    对于周期函数有上述的傅里叶级数形式,但对于非周期函数,则无法使用傅里叶级数。但非周期函数可以认为是周期趋于无穷大的周期函数,满足傅里叶积分定理。所谓傅里叶积分定理,是指满足一定条件的函数f(x)f(x) 满足
    f(t)=12πF(ω)eiωxdωf(t) = {1 \over 2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega x}d\omega F(ω)=f(t)eiωtdtF(\omega)= \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}dtF(ω)f(t)f(t)F(ω)F(\omega)为f(t)的傅里叶变换函数,f(t)为F(\omega)的原函数,那么接下来,我们来证明这个傅里叶积分定理。首先,我们回顾一下黎曼积分的具体形式,设f(t)f(t)[a,b][a,b]上的可积函数,则abf(t)dt=limN+i=1Nf(a+i(ba)N)baN\int\limits_{a}^{b} f(t)dt= \mathop {\lim }\limits_{N \to +\infty } \sum \limits_{i=1}^{N}f(a + {i(b-a)\over N}){b-a\over N}那么,对于非周期函数,可以用周期区域无穷大的周期函数进行近似得到,则f(t)=limT1Tn=+t0t0+Tf(t)eiωntdteiωntf(t) = \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty }{1\over T} \sum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}\int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T}f(t)e^{-i\omega_n t}dt e^{i\omega_n t} =limN+1Tn=+F(ωn)eiωnt= \mathop {\lim }\limits_{N \to +\infty }{1\over T} \sum \limits_{n=-\infty}^{+\infty} F(\omega_n) e^{i\omega_n t} =limN+12πn=+F(ωn)eiωnt2πT= \mathop {\lim }\limits_{N \to +\infty }{1\over 2\pi} \sum \limits_{n=-\infty}^{+\infty} F(\omega_n) e^{i\omega_n t} {{2\pi\over T}}=12π+F(ω)eiωtdω={1\over 2\pi}\int\limits_{{-\infty}}^{{+\infty} }F(\omega) e^{i\omega t}d\omegaF(ω)=f(t)eiωtdtF(\omega)= \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}dt以上就是傅里叶级数和傅里叶变换推导的全过程。

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  • 傅里叶级数条件:所变换的函数必须是周期函数,对于不是周期的函数,则是通过周期延拓来,然后把T周期设成无限大,这样子就可以看成原始函数的傅里叶变换。其如下: 下面我们来推导下傅里叶变换,看下面一个周期方...

    1、傅里叶变换、傅里叶级数的区别和联系;

     傅里级数就是傅里叶变换的特例。

    傅里叶变换的动态图:








    傅里叶级数条件:所变换的函数必须是周期函数,对于不是周期的函数,则是通过周期延拓来,然后把T周期设成无限大,这样子就可以看成原始函数的傅里叶变换。其如下:

    下面我们来推导下傅里叶变换,看下面一个周期方波信号,宽2T1,周期为T:

        图像如下

         根据前面的知识,其存在傅里叶级数,且该信号的级数系数为:

    由于并未给出T1和T的具体值,这里我们设T=4*T1,其图像是:

        黑色包络线并非级数结果,因为结果是离散的,是红色点标出的值,红色点的纵坐标就是级数的系数值,横坐标为对应的频率。
        可以看出,决定形状的变量有k,T1,和T,我们对ak的表达式做简单的变形,将w0与k合体,因为w0为基波频率,其根据周期T唯一确定,如下: 

               这样一来,如果式子右边以w为变量,且w连续,那么就是一种很常见的波形了,我们暂且称之为SA函数波形,也就是上图外面的包络波形,如果w是离散的,也就是求级数的情况,相当于对包络函数的等间隔取样。
           接下来我们设定T为T1的整数倍,而w0由T唯一确定,而且,最重要的是,我们发现上面式子中,右侧公式的值不受T的影响(虽然w0受到T影响,但可以用k来抵消掉,而使w保持不变)所以我们来调整T的大小,随之T的增大,w0不断变小,而包络线不变,这样当T逐渐增大,w0=2*pi/T逐渐变小当如下图:
    当T逐渐增大的时候
        T进一步增加

        我们来看级数系数在对应的w0的变化在SA函数取样
        当T=8*T1的时候:
     
         当T=16*T1的时候:

        当T趋近于无穷大,级数系数取样间隔变得无穷小,周期方波变成只有一个方波的非周期绝对可积信号。
        以上通过扩大一个周期信号的周期,给出一个周期无穷大的绝对可积的信号的“傅里叶级数”形式,当我们原始信号为一个周期无穷大,或者是非周期的绝对可积信号,我们将使用相同的思想,先将原始信号按照一定的周期复制成周期信号,然后求解周期信号的傅里叶级数,然后将周期扩展到无穷大:


        上面图中是x(t)周期复制的结果,的傅里叶级数为:

        分析公式为:

        由于x(t)在-T/2到T/2内与相同,在区间-T/2到T/2外,x(t)为0,所以将换成x(t):

        定义Tak的包络函数
        所以,系数ak可以写为:

        把ak带回来式子中得到

        因为,改写为:
        当T趋近于无穷大的时候,w0趋近于无穷小上式子变成积分形式,上式求和内容为一个矩形面积,当w0趋近于无穷小的时候,收敛于x(t)。

         至此,我们得出傅里叶完整公式对:

        因为傅里叶变换是无限的“级数”,所以存在收敛问题:
    • 条件1:信号绝对可积
    • 条件2:任何区间内,x(t)具有有限个最大值与最小值
    • 条件3:任何区间内,x(t)具有有限个不连续点,并且每个不连续点的值是有限值。
       对于周期函数的傅里叶变换,其结果与傅里叶级数相同,我们可以理解为其傅里叶变换的一串冲击函数。

    2、傅里叶变换在图像中的意义
       

    在图像处理中,频域反应了图像在空域灰度变化剧烈程度,也就是图像灰度的变化速度,也就是图像的梯 度大小。对图像而言,图像的边缘部分是突变部分,变化较快,因此反应在频域上是高频分量;图像的噪声大部分情况下是高频部分;图像平缓变化部分则为低频分 量。也就是说,傅立叶变换提供另外一个角度来观察图像,可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征。书面一点说就是,傅里叶变换提供了一条从 空域到频率自由转换的途径。对图像处理而言,以下概念非常的重要:

    图像高频分量: 图像突变部分;在某些情况下指图像边缘信息,某些情况下指噪声,更多是两者的混合;

    低 频分量:图像变化平缓的部分,也就是图像轮廓信息

    高通滤波器:让图像使低频分量抑 制,高频分量通过

    低通滤波器:与高通相反,让图像使高频分量抑制,低频分量通过

    带通滤波器:使图像在某一部分的频率信息通过,其他过低或过高都抑制

    还有个带阻滤波器,是带通的反。

    模板运算与卷积定理

    在时域内做模板运算,实际上就是对图像进行卷积。 模板运算是图像处理一个很重要的处理过程,很多图像处理过程,比如增强/去噪(这两个分不清楚),边缘检测中普遍用到。根据卷积定理,时域卷积等价与频域 乘积。因此,在时域内对图像做模板运算就等效于在频域内对图像做滤波处理。

    比如说 一个均值模板,其频域响应为一个低通滤波器;在时域内对图像作均值滤波就等效于在频域内对图像用均值模板的频域响应对图像的频域响应作一个低通滤波。

    图像去噪

    图像去噪 就是压制图像的噪音部分。因此,如果噪音是高频额,从频域的角度来看,就是需要用一个低通滤波器对图像进行处理。通过低通滤波器可以抑制图像的高频分量。 但是这种情况下常常会造成边缘信息的抑制。常见的去噪模板有均值模板,高斯模板等。这两种滤波器都是在局部区域抑制图像的高频分量,模糊图像边缘的同时也 抑制了噪声。还有一种非线性滤波-中值滤波器。中值滤波器对脉冲型噪声有很好的去掉。因为脉冲点都是突变的点,排序以后输出中值,那么那些最大点和最小点 就可以去掉了。中值滤波对高斯噪音效果较差。

    图像增强

    有时候感觉图像增 强与图像去噪是一对矛盾的过程,图像增强经常是需要增强图像的边缘,以获得更好的显示效果,这就需要增加图像的高频分量。而图像去噪是为了消除图像的噪 音,也就是需要抑制高频分量。有时候这两个又是指类似的事情。比如说,消除噪音的同时图像的显示效果显著的提升了,那么,这时候就是同样的意思了。

        注意:有时对图像的一些滤波操作要转换到频域来,是因为频域的计算时间快,其时间复杂度是:Nlog(N);而时域的时间复杂度是:N^2,耗时长。在opencv1书上有写,其在P205.





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  • 傅里叶级数或变换表示的函数特征完全可以通过傅里叶反变换来重建,且不会丢失任何信息。 在详细公式推导之前,我想先分析一下频域时域之间关系: 最前面黑色线就是所有正弦波叠加而成总和,也就是...

    1 傅里叶级数到傅里叶变换公式推导

    1.1傅里叶级数

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    傅里叶级数:周期信号都可以分解为有限或无限个正弦波或余弦波的叠加,且这些波的频率都是原始信号频率的整数倍。用傅里叶级数或变换表示的函数特征完全可以通过傅里叶反变换来重建,且不会丢失任何信息。
    在这里插入图片描述
    在详细的公式推导之前,我想先分析一下频域和时域之间的关系:
    在这里插入图片描述

    最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和,也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来,而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了,每两个正弦波之间都还有一条直线,那并不是分割线,而是振幅为0的正弦波!也就是说,为了组成特殊的曲线,有些正弦波成分是不需要的。
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布,幕布的后面有无数的齿轮,大齿轮带动小齿轮,小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演,却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转,永不停歇。

    1.2傅里叶级数的公式推导

    通过傅里叶级数的定义,一个周期函数可以表示为
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    理解:将原始信号和该信号做乘求积分,相当于原始信号在该频率下的三角函数的投影,相当于求出该信号下的相应,求积分相当于求原始信号一个周期内的面积,除以周期得到的是该信号的幅值。 相当于多维信号下求原始信号在该维下的投影。

    1.3傅里叶级数的指数形式

    复数:
    复数最直观的物理意义就是旋转,为了有效区别X,Y轴,对Y轴进行标识就是j。当数字4乘以-1时,相当于在数轴上旋转了180°,j=√(−1),那么4*j就是旋转了90度。
    在这里插入图片描述
    泰勒级数:
    泰勒级数就是用多项式就是用多项式函数去逼近光滑函数。
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    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    欧拉公式:
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    实数轴上为余弦函数,虚数轴上做正弦函数。
    现代物理学告诉我们,宏观宇宙的构成本质是旋转的,带有圆周运动和自旋性;微观世界也是旋转的,也带有圆周运动和自旋性,而欧拉公式描述的核心正是旋转与频率,因此,在物理学定量意义上讲,称它是宇宙第一公式一点也不为过!
    欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域,建立了三角函数和指数函数的关系,被誉为“数学中的天桥”
    在这里插入图片描述
    得到傅里叶级数的指数形式:
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    1.4傅里叶变换

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    黎曼和表达式的实质是,求取面积时,将其分段,乘以步长,面积累积为函数的面积。另一层意思,如何将离散的变为连续的。
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    将离散变为连续需要步长趋近于0.这里就是周期趋近于无穷大。
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    然后将Wx替换为2πu则
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    很多时候信号不是周期的,当我们把周期看成无穷大时,那么离散的傅立叶级数也就成为了连续的傅立叶变换了,傅里叶变换则是将一个时域非周期的连续信号,转换为一个在频域非周期的连续信号。傅里叶级数中的两个频率间隔为1/T,当周期无穷大的时候,两个频率之间无间隔,也就变为连续图像。
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    傅里叶反变换即为对某时刻所有的频率在该时刻的数值进行积分。即为有图中的频率方向求积分。由傅里叶级数可知,对应幅值的频率分量的乘积即对所有频率进行积分。
    有了欧拉公式的帮助,我们便知道:正弦波的叠加,也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。
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    1.5离散傅里叶变换

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    1.6二维傅里叶变换

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    2图像傅里叶变换的性质

    2.1 平移性

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    2.2分配律

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    2.3图像缩放

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    2.4 图像旋转

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    2.5 周期性和共轭对称性

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    DFT的周期性:时时刻刻都要记住,对于而言,他的空域和频域始终都是沿着X和Y方向无限周期拓展的。
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    2.6 分离性

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    2.7 平均值

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    2.8 卷积理论

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    2.9 相关性理论

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    3. 快速傅里叶变换(FFT)

    采用快速傅里叶变换(FFT)算法能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少,特别是被变换的抽样点数N越多,FFT算法计算量的节省就越显著。函数或信号可以透过一对数学的运算子在时域及频域之间转换。和傅里叶变换作用一样。

    3.1 为什么需要快速傅里叶变换?

    人们想让计算机能处理信号 但由于信号都是连续的、无限的,计算机不能处理,于是就有了傅里叶级数、傅里叶变换,将信号由时域变到频域,把一个信号变为有很多个不同频率不同幅度的正弦信号组成,这样计算机就能处理了,但又由于傅里叶变换中要用到卷积计算,计算量很大,计算机也算不过来,于是就有了快速傅里叶变换,大大降低了运算量,使得让计算机处理信号成为可能。快速傅里叶变换是傅里叶变换的快速算法而已,主要是能减少运算量和存储开销,对于硬件实现特别有利。
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    1 对u的M个值中的每一个都需进行M次复数乘法(将f(x)与 e− j2πux / M 相乘)和M-1次加法,即复数乘法和加法的次数都正比于M平方
    2 快速傅里叶变换(FFT)则只需要Mlog2M次运算
    FFT算法与原始变换算法的计算量之比是log2M/M,如M=1024≈10的3次方,则原始变换算法需要10的6次方计算,而FFT需 要10的4次计算,FFT与原始变换算法之比是1:100
    3 只考虑一维的情况,根据傅里叶变换的分离性可知,二维傅里叶变换可由连续2次一维傅里叶变换得到

    3.2 FFT算法基本思想

    FFT算法基于一个叫做逐次加倍的方法。通过推导将原始傅里叶转换成两个递推公式:
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    3.3 FFT公式推导

    假设M的形式是
    M = 2^n, n为正整数。因此,M可以表示为:M = 2K 。将M=2K带入上式:

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    特性:

    一个M个点的变换,能够通过将原始表达式分成两个部分来计算
    通过计算两个(M/2)个点的变换。得Feven(u)和 Fodd(u)
    奇部与偶部之和得到F(u)的前(M/2)个值
    奇部与偶部之差得到F(u)的后(M/2)个值。且不需要额外的变换计算

    3.4 归纳快速傅立叶变换的思想

    (1)通过计算两个单点的DFT,来计算两个点的DFT, (2)通过计算两个双点的DFT,来计算四个点的DFT,…,以此类推
    (3)对于任何N=2m的DFT的计算,通过计算两个N/2点的DFT,来计算N个点的DFT

    4.0 傅里叶变换的讨论

    频域(frequency domain)是指在对函数或信号进行分析时,分析其和频率有关部份,而不是和时间有关的部份,和时域一词相对。
    时域是描述数学函数或物理信号对时间的关系。例如一个信号的时域波形可以表达信号随着时间的变化。若考虑离散时间,时域中的函数或信号,在各个离散时间点的数值均为已知。若考虑连续时间,则函数或信号在任意时间的数值均为已知。在研究时域的信号时,常会用示波器将信号转换为其时域的波形。
    两者相互间的变换时域(信号对时间的函数)和频域(信号对频率的函数)的变换在数学上是通过积分变换实现。对周期信号可以直接使用傅立叶变换,对非周期信号则要进行周期扩展,使用拉普拉斯变换。
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    傅立叶变换以前,图像(未压缩的位图)是由对在连续空间(现实空间)上的采样得到一系列点的集合,我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点,则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的,图像是二维的,因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示,这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度?因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图,就是图像梯度的分布图,当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系,即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点,实际上图像上某一点与邻域点灰度值差异的强弱,即梯度的大小,也即该点的频率的大小(差异/梯度越大,频率越高,能量越低,在频谱图上就越 暗。差异/梯度越小,频率越低,能量越高,在频谱图上就越 亮。换句话说,频率谱上越亮能量越高,频率越低,图像差异越小/平缓)。一般来讲,梯度大则该点的亮度强,否则该点亮度弱。频谱图,也叫功率图。
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    参考:
    1 https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358
    2 http://k.sina.com.cn/article_6385529085_17c9b70fd001006gjp.html?from=science
    3 https://blog.csdn.net/qq_33208851/article/details/94834614
    4 https://zhuanlan.zhihu.com/p/41455378

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