好记性不如烂笔头
 

 
目录
 
傅里叶级数变换原理
代码实现
效果图

 
傅里叶级数变换原理
 
原理：待续…
 
傅里叶级数变换公式：
 
 
 
代码实现
 
本次实现的是符号函数在范围为(-pi,pi)区间的拟合,
 

 注：若要实现其他函数的拟合，修改程序中 fx 的表达式即可
 
""" 傅里叶级数"""
import sympy as sym
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N = 8  # 拟合的阶数

L = sym.pi  # 周期的一半
n, x = sym.symbols('n x')  # 创建符号

fx = sym.sign(x)  # 创建符号表达式 即要进行傅里叶级数分解的函数， 这里采用的是 符号函数


a0 = (1/(2*L))*sym.integrate(fx, (x, -L, L))
an = (1/L)*sym.integrate(fx*sym.cos((n*sym.pi*x)/(L)), (x, -L, L))
bn = (1/L)*sym.integrate(fx*sym.sin((n*sym.pi*x)/(L)), (x, -L, L))

a = []
b = []
a.append(a0)
b.append(0)

for i in range(1, N):
    a.append(an.subs(n, i))
    b.append(bn.subs(n, i))


# 绘图 x轴范围设置
t = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 256, endpoint=True)

Fx = a0
for i in range(1, N):
    if a[i] == 0 and b[i] == 0:
        continue
    
    # 累加 计算 Fx
    Fx = Fx + a[i]*sym.cos((i*sym.pi*x)/(L)) + b[i]*sym.sin((i*sym.pi*x)/(L))

    # 绘图使用
    y = []
    for j in t:
        y.append(Fx.subs(x, j))

    plt.plot(t, y, linewidth=0.5*(10-j), label='N={}'.format(i))


# 打印输出 各项的系数 以及 傅里叶级数表达式
# print('an:', a)
# print('bn:', b)
print('Fx:',Fx)


# 设置 图像字体信息
img_font = {'family': 'Microsoft YaHei',
            'size': 12,
            'weight': 'bold',
            }

# 图像显示设置
plt.legend(loc='upper right')
plt.title("傅里叶级数拟合符号函数", fontproperties=img_font)
plt.xlabel("x", fontproperties=img_font)
plt.ylabel("F(x)", fontproperties=img_font, rotation=360)
plt.grid(alpha=0.5)

plt.show()

 
程序输出结果：
 
Fx: 4*sin(x)/pi + 4*sin(3*x)/(3*pi) + 4*sin(5*x)/(5*pi) + 4*sin(7*x)/(7*pi)
 
效果图
 
N=8 时
 
 
N = 20 时：
 

一：背景
 
前不久和领导聊天，他和我说有道面试题，现在面了几十个人了，没人回答的上来，他说要不把这道题拿掉算了；然后我问啥题，要不你和我说下，我觉得我大学成绩还是可以的…
 
他说： 傅里叶变换和傅里叶级数有啥关系？
 

 卧槽，一脸懵逼，我刚装的逼难道就要翻车了？
 
 
我的大脑开始急速运转，我想起来我桌上的《高等数学 下册》，依稀记得里面有讲傅里叶级数；然后我大学信号与系统考了 75分（我骄傲，不脸红），傅里叶变换好像做了好多的题，还有数字图像处理里面有快速傅里叶变换。
 
于是我的答案是： 傅里叶变换是把信号从时域搬到频域来处理，而傅里叶级数只是一种数学概念…
 
领导似笑非笑的看了我一眼，这一刻我意识到我是傻逼…然后去学习了一波，主要就是参考链接的大哥讲的。
 
二：解释两者关系
 
 
2.1 任何周期信号都能够由不同谐波的正弦波叠加而成，这由傅里叶发现，因此称之为傅里叶级数。
 
2.2 然后我们可以很自然的想到，那非周期信号咋办？
 
 
 
 
2.3 周期和频率成反比的关系，周期无限变大，频率间隔就会无限减小，逼近连续；
 
2.3.1
 
傅里叶认为，既然周期信号可以用正弦信号来表示，那么非周期信号也可以用正弦信号来逼近。
 
原因是非周期信号可以看成是周期无限大的周期信号；（类似于直线可以看成是半径无穷大的圆，这是一种极限的思想）
 
事实证明，傅里叶的想法是对的，于是才有了大名鼎鼎的傅里叶变换。
 
总而言之： 周期无穷大的傅里叶级数是傅里叶变换.
 
OVER！
 
参考链接：1. https://blog.csdn.net/reborn_lee/article/details/80721300

傅里叶级数：任何周期函数，只要满足一定条件都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦之和的形式，该和成为傅里叶级数。
 
傅里叶变换：任何非周期函数（但该曲线下的面积是有限的），也可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分来表示，在这种情况下的公式就是傅里叶变换。
 
傅里叶级数与傅里叶变换的关系：周期函数的周期可以趋向无穷大，这样就可以将傅里叶变换看成是傅里叶级数的推广。
 
 
一、傅里叶级数
 
 
1.1傅里叶级数的三角形式
 
假设f(x)是周期为T的函数，并且满足傅里叶级数的收敛条件，那么可以写作傅里叶级数：
 
                                                  （1）
 
其中：
 
                                                                                                  （2）
 
                                                                              （3）
 
                                                                               （4）
 
 
1.2傅里叶级数的复指数形式
 
借助欧拉公式可以将上述的傅里叶级数的三角形式转换为如下的复指数形式：
 
                                                                                                        (5)
 
其中：
 
                                                                                              (6)
 
也就是说，曲线可以理解为无数旋转的叠加，将f(x)看作是圆周运动的组合，只是x不断增大，不是绕着圆变换。X的不断增大，称为时域。
 
 
1.3傅里叶级数的余弦形式（略）
 
 
 
 
二、傅里叶变换
 
 
2.1一维连续傅里叶变换
 
对于定义域为整个时间轴（-∞<t<+∞）的非周期函数f（x），此时已无法通过周期拓延将其扩展为周期函数，这种情况下就要用到傅里叶变换：
 
                                                                                          (7)
 
根据傅里叶反变换得出：
 
                                                                                             (8)
 
其中u=1/T,是函数f(x)的频率。
 
仔细观察式（7）和式（8），对比复指数形式的傅里叶级数展开式（5），注意到在这里傅里叶变换的结果F（u）实际上相当于傅里叶级数展开中的傅里叶系数，而反变换公式（8）则体现出不同频率复指数函数的加权和的形式，相当于复指数形式的傅里叶级数展开公式，只不过这里的频率u变为了连续的，所以加权和采用了积分的形式。这是因为随着作为式（6）的积分上下限的T向整个实数定义域的扩展，即T趋近于∞，频率u则趋近于du（u=1/T），导致原来离散变化的u连续化。
 
 
2.2一维离散傅里叶变换
 
一维函数f（x）（其中x=0,1,2,...,M-1）的傅里叶变换的离散形式为：
 
                                                       (9)
 
相应的反变换为：
 
                                                    (10)
 
仔细观察式（9）和式（10）注意到在频率域下变换F（u）也是离散的，且其定义域仍为0-M-1,这是因为F（u）的周期性，即：
 
                                                                        
 
式（10）中的系数1/M，在这里被放在了反变换之前，实际上它也可以位于式（9）的正变换中。更一般的情况是只要能保证正变换和反变换之前的系数乘积为1/M即可。例如：两个公式的系数可以均为。
 
为了求得每一个F（u）（u=0,1,2,...,M-1），需要全部M个点的f（x）都参与加权求和运算。对于M个u，则总共需要大约M2次计算。当图像较大时，计算量较大。在快速傅里叶变换中会研究如何提高速度。
 
 
2.3二维连续傅里叶变换
 
                                                                （11）
 
其反变换为：
 
                                                                   （12）
 
 
2.4二维离散傅里叶变换
 
在数字图像处理领域，我们关注的是二维离散函数的傅里叶变换（Discrete Fourier Transform,DFT）公式：
 
                                                                     (13)
 
其反变换为：
 
                                                                 (14)
 
其中M、N分别为图像的宽度、高度。
 
相对于空间域的变量x,y，这里的u，v是频率域的变量。同上述一维中的情况相同，由于频谱的周期性，式（13）只需对u值（u=0,1,2,...,M-1）及v值（v=0,1,2,...,M-1）进行计算。系数1/MN的位置并不重要。
 
根据式（13），频域原点位置的傅里叶变换为：
 
                                                                                               (15)
 
显然这是f(x,y)各个像素的灰度之和。而如果将系数1/MN放在正变换之前，则F（0,0）对应于原图像f（x，y）的平均灰度。F(0,0)有时被称作频率谱的直流分量。
 
 
三、频谱和功率谱
 
 
3.1频谱的获得
 
满足一定条件的信号都可以通过傅立叶变换而分解成一个直流分量（也就是一个常数）和若干个（一般是无穷多个）正弦信号的和。每个正弦分量都有自己的频率和幅值，这样，以频率值作横轴，以幅值作纵轴，把上述若干个正弦信号的幅值画在其所对应的频率上，就做出了信号的幅频分布图，也就是所谓频谱图。本段对频谱图的定义是基于傅里叶级数的三角形式，但是在图像处理中主要用到的是复指数形式，因此本段描述仅仅作为了解。
 
 图像二维频谱图通过对输入图像进行水平和竖直两个方向的所有扫描线的一维傅立叶变换进行叠加得到，用来表示输入图像的频率分布。频谱图以图像的中心（Halcon中心位置可选）为圆心，圆的相位对应原图中频率分量的相位，半径对应频率高低。低频半径小，高频半径大，中心为直流分量（直流分量决定了图像的平均灰度，将其置0后输出图像的平均灰度为0），某点的灰度值对应该频率的能量高低。
 
 
3.2频谱图的特征
 
（1）在频谱图中,中心部分（u-v坐标系中点(0,0)附近）表示原图像中的低频部分。 
 
（2）如果原始图像具有十分明显的规律,那么其频谱一般表现为坐标原点周围的一圈亮点。 
 
（3）如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（各点与邻域差异都不大，梯度相对较小）；反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的（边界分明且边界两边像素差异较大）。
 
（4）频谱图中心对称，并且将一张灰度图像反相后，其频谱样式不变。
 
（5）频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，频谱上每一点都与空域所有点有关，反之，空域每一点都与频谱上所有点有关。
 
（6）频谱图中的横纵坐标分别表示输入图像在横纵坐标的空间频率。频谱图的中心亮点，是0频率点。往外，频率增大；同一圆周上的点，频率相同。频谱图的x轴的最右边点（无论是不是亮点），表示图像水平方向上的最大频率。
 
频谱图的任意点A到中心点O的距离|OA|用来表示频率。
 
（7）深度理解：频谱图的中心为0频率点，可以视为直流分量，这一点表示完全没有灰度变化的部分的能量高低。以该点为圆心做同心圆，半径越大，表示频率越大；亮度越大，表示能量越大。举例如下：
 
①一张全黑的图，频谱图为全黑。（图像无灰度变化，全部为黑色因此也无能量）
 
②一张灰色的图，频谱图表现为一个在中心上的单像素白色方块。（图像无灰度变化，因此能量集中在0频率点上）
 
③一张全白的图，频谱图表现为一个在中心上的单像素白色方块，方块能量值大于上面灰色图像频谱图的能量。（图像无灰度变化，因此能量集中在0频率点上）
 
 
3.3频谱图的组成
 
信号的频谱由两部分构成：幅度谱和相位谱。
 
1.幅度谱：在傅里叶分析中，把各个分量的幅度|Fn|或Cn随着频率的变化称为信号的幅度谱。 
 
                                                             
 
显然，幅度谱关于原点对称，即
 
2.相位谱：把各个分量的相位φn随着频率变化称为信号的相位谱。 
 
                                                          
 
相位谱表面上看并不那么直观，但它隐含着实部与虚部之间的某种比例关系，因此与图像结构息息相关。通过幅度谱与相位谱，可以还原频谱：
 
                                                                
 
3.功率谱：功率谱或有时叫能量谱（power spectrum），或又叫功率密度谱（power density spectrum），或叫谱密度（spectral density或power spectral density）
 
如果一个信号的功率谱为，则该信号的总能量为:
 
                                                                 
 
其中为信号的频率。即对所有频率下的能量积分或求和，就是信号的总能量。从这里也可以看出，功率谱表达的是信号某个频率下所拥有的能量。事实上，功率谱和直方图有很大的相似性。当直方图用于统计一个信号，每个频率区间中的能量时，其意义就和功率谱一致。如何计算信号的功率谱呢？维纳-辛钦定理（Wiener-Khinchine Theorem）给出了一种计算方法:一个信号的功率谱密度就是该信号自相关函数的傅里叶变换。如下式：
 
 
其中是的傅里叶变换，是的复共轭。所以，当知道一个信号的傅里叶变换时，也可以直接求出该信号的功率谱。
 
每个信号f(t)只有唯一的功率谱，虽然反过来未必成立。但功率谱是信号的一种属性。有这种属性，再加上别的一些属性，就可以用于区分信号了。比如在图像处理里，将图像函数看做一个信号函数，对图像某一区块其进行上述标准化互相关函数中讲到的亮度和对比度不变性处理后，进行傅里叶变换，并最后算出图像功率谱，于是就有了一个很好的以频率表达的可用于模板匹配的模板属性。这就是图像处理中所说的，把对图像处理的时空域内思考，转化到频域。可以使一些在时空域较难处理的问题，在频域里找到直观简便的解决方案。
 
 
 
 

 
版权声明：本文为博主原创文章，转载请注明原文出处！
 
写作时间：2019-10-31
 
如果有公式乱码，参见我的个人博客从傅立叶级数到傅立叶变化
 
 


 
文章目录
 
傅立叶级数
傅立叶变换

 
写这篇博文的初衷是在翻阅数字图像处理相关教科书的时候，发现大部分对傅立叶变换的讲解直接给出了变换公式，而对于公式从何而来并没有给出说明。所以，本文在假设已经了解傅立叶级数的背景下，从傅立叶级数推导出傅立叶变换的一般公式。
 
傅立叶级数
 
学过高数的童鞋都听过傅立叶级数，下面直接给出定义，具体证明可以参考高等数学教材。
 
设周期为$T$的周期函数$f(x)$的傅立叶级数为
 
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{2\pi nx}{T}+b_n\sin \frac{2\pi nx}{T}\right)\text{\hspace{1em}(1)}$$
 
其中，系数$a_n$和$b_n$分别为：
 
$$\begin{array}{ll}{a}_n=\frac{2}{T}{\int }_{\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos \frac{2\pi nx}{T}\mathrm{d}x& (n=0,1,2,\cdots )\\ b_n=\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\sin \frac{2\pi nx}{T}\mathrm{d}x& (n=1,2,3,\cdots )\end{array}\}\text{\hspace{1em}(2)}$$
 
利用欧拉公式$$\cos t=\frac{{\mathrm{e}}^{t\mathrm{i}}+{\mathrm{e}}^{-ti}}{2},\sin t=\frac{{\mathrm{e}}^{ti}-{\mathrm{e}}^{-ti}}{2\mathrm{i}}$$
 
可以将公式（1）转化为傅立叶级数的复数形式
 
$$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{\frac{2\pi nx}{T}\mathrm{i}}\text{\hspace{1em}(3)}$$
 
系数$c_n$为
 
$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x){\mathrm{e}}^{-\frac{2\pi nx}{T}\mathrm{i}}\mathrm{d}x(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )\text{\hspace{1em}(4)}$$
 
傅立叶级数的两种形式本质上是一样的，但是复数形式比较简洁，而且只用一个算式计算系数。
 
傅立叶变换
 
傅立叶级数是针对周期函数的，为了可以处理非周期函数，需要傅立叶变换。
 
傅立叶变换将周期函数在一个周期内的部分无限延拓，即让周期趋紧于无穷，然后就得到了傅立叶变换，如下图所示。
 
 
图片来源：Fourier Transform 101 — Part 3: Fourier Transform
 
下面我们看一下，当周期$T$趋于$\infty$的时候，我们看一下公式（3）和（4）的变化。
 
令$\frac{1}{T}=\Delta \omega$，则
 
KaTeX parse error: No such environment: align at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲f(x) &= \sum\li…
 
当$T\to \infty$时，$\Delta \omega \to 0$，$\Delta \omega \to \mathrm{d}\omega$ ，$\mathrm{d}\omega$和$n\mathrm{d}\omega$都成为连续的变量，记为$\omega$。
 
KaTeX parse error: No such environment: align at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲f(x) &= \lim_{T…
 
对应于傅立叶级数，傅立叶变换可以表示为
 
$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi \omega x\mathrm{i}}\mathrm{d}x\text{\hspace{1em}(5)}$$
 
而相应地傅立叶逆变换可以表示为
 
$$f(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{2\pi \omega x\mathrm{i}}\mathrm{d}\omega \text{\hspace{1em}(6)}$$