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  • 傅里叶级数展开系数项求解
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    2019-10-28 19:19:17

    对于一个周期函数 f ( x ) f(x) f(x): 若满足狄利克雷条件,即在一个周期中,只有有限个第一类间断点以及有限个极值点,则这个函数可以展开成傅里叶级数,若这个傅里叶级数处处收敛于 f ( x ) f(x) f(x),则称这个级数是这个函数的傅里叶展开式,即:
    f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ) , x ∈ [ − π , π ] f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infin}(a_{n}\cos{nx}+b_{n}\sin{nx}),\quad x\in[-\pi,\pi] f(x)=2a0+n=1(ancosnx+bnsinnx),x[π,π]
    其中:
    { a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ n x d x \begin{cases} & a_{0}=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)dx \\\\ & a_{n}=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)\cos{nx}dx \\\\ & b_{n}=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)\sin{nx}dx \end{cases} a0=π1ππf(x)dxan=π1ππf(x)cosnxdxbn=π1ππf(x)sinnxdx

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    引言近来,在开展课题时遇到了需要将梯形波进行傅里叶级数展开的问题,查询了一些资料(惭愧,一开始就没想着自己动手积分),然后没有找到自己想要的结果(其实有相近的,只不过不是任意周期的,当时没有转变过来),...

    引言

    近来,在开展课题时遇到了需要将梯形波进行傅里叶级数展开的问题,查询了一些资料(惭愧,一开始就没想着自己动手积分),然后没有找到自己想要的结果(其实有相近的,只不过不是任意周期的,当时没有转变过来),最后还是动手算出来了,在这里做一个小小的记录,算是回顾以前的知识吧,捂脸。

    由于像三角波,矩形波,梯形波这种波形不连续,因此在仿真软件中很容易出现计算不收敛的情况。所以,在这种情况下,利用一系列谐波叠加的形式来等价于原来的波形,可以很好的优化模型。

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    预备知识

    公式

    给定一个周期为 \(T\) 的函数 \(x(t)\) ,那么它可以表示为无穷级数:

    \[

    f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left [a_n \cos \left (\frac{2 {\pi} nx}{T} \right ) + b_n \sin \left (\frac{2 {\pi} nx}{T} \right ) \right ] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \frac{2 {\pi} nx}{T} }

    \]

    其中傅里叶系数为:

    \[

    \left \{ \begin{aligned}

    a_n = &\frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cdot \cos \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt \qquad &n=0, 1, 2, \cdots \\[2ex]

    b_n = &\frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cdot \sin \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt &n=1, 2,3, \cdots \\[2ex]

    c_n = &\frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cdot e^{-i \frac{2 {\pi} nt}{T} }dt &n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots

    \end{aligned} \right.

    \]

    性质

    收敛性

    在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下:

    在定义区间上,\(x(t)\)需绝对可积;

    在任一有限区间中,\(x(t)\)只能取有限个极值点;

    在任何有限区间上,\(x(t)\)只能有有限个第一类间断点。

    满足上述条件的\(x(t)\)傅里叶级数都收敛,且:

    当\(t\)是\(x(t)\)的连续点时,级数收敛于\(x(t)\)

    当\(t\)是\(x(t)\)的间断点时,级数收敛于\(\frac{1}{2} \left [x(t^-)+x(t^+) \right ]\)

    正交性

    所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0,这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如,在三维欧式空间中,互相垂直的向量之间是正交的。三角函数族的正交性用公式表示出来就是:

    \[

    \left\{ \begin{aligned}

    &\int_0^{2 \pi} \cos(mx) \cdot \cos(nx) dx =0 \qquad (m \ne n) \\[2ex]

    &\int_0^{2 \pi} \sin(nx) \cdot \sin(nx) dx = \pi \\[2ex]

    &\int_0^{2 \pi} \cos(nx) \cdot \cos(nx) dx = \pi

    \end{aligned} \right.

    \]

    奇偶性

    奇函数\(f_o(x)\)可以表示为正弦级数,而偶函数\(f_e(x)\)则可以表示成余弦级数:

    \[

    \begin{aligned}

    f_o(x) &\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \left (\frac{2 {\pi} nx}{T} \right ) \\

    f_e(x) &\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \left (\frac{2 {\pi} nx}{T} \right )\end{aligned}

    \]

    几种常见波形的傅里叶级数展开式

    梯形波(奇函数)

    c4dda66403708d15d1a1ae920dec14ef.png

    如上图所示,该梯形波是一个周期为T的奇函数,幅值为\(A_{max}\),上升沿时间为\(d\),在区间\(\left [0, \frac{T}{2} \right ]\)的函数表达式为:

    \[

    f(t) = \begin{cases}

    \frac {A_{max} }{d} t, \qquad \qquad & 0 \le t \le d \\[2ex]

    A_{max}, & d \le t \le \frac{T}{2} - d \\[2ex]

    \frac {A_{max} }{d} \left (\frac{T}{2} - t \right ), & \frac{T}{2} - d \le t \le \frac{T}{2}

    \end{cases}

    \]

    由奇偶性可知,该波形在区间\(\left [-\frac{T}{2}, \frac{T}{2} \right ]\)的傅里叶级数展开式为:

    \[

    f(t) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )

    \]

    其中傅里叶系数为:

    \[

    b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} } f(t) \cdot \sin \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt \quad \quad n=1, 2,3, \cdots

    \]

    将\(f(t)\)函数代入傅里叶系数表达式中,可得:

    \[

    \begin{aligned}

    b_n &= \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} } f(t) \cdot \sin \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt = \frac{4}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2} } f(t) \cdot \sin \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt \\[2ex]

    &= \frac{4}{T} \left [ \int_0^d \frac{A_{max} }{d} t \cdot \sin \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt + \int_d^{\frac{T}{2} - d} A_{max} \cdot \sin \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt + \int_{\frac{T}{2} - d}^{\frac{T}{2} } \frac{A_{max} }{d} \left (\frac{T}{2}-t \right ) \cdot \sin \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt \right ] \\[2ex]

    &= \left . \left . \frac{4}{T} \left [ -\frac{A_{max} }{d} {T \over {2 \pi n} } \cdot t \cdot \cos \left ( \frac{2\pi nt}{T} \right ) \right | _0^d + {A_{max} \over d } {T^2 \over 4 \pi^2 n^2} \cdot \sin \left( {2 \pi n t \over T} \right ) \right | _0^d \right ] + {4 \over T} \left [ \left . - {A_{max}T \over 2 \pi n} \cdot \cos \left( {2\pi nt \over T}\right) \right |_d^{ {T \over 2}-d} \right ] + {} \\[2ex]

    &{} + \left. {4 \over T} \left [ -{A_{max} \over d} {T \over 2 \pi n} \cdot \left ( {T \over 2} - t \right ) \cdot \cos \left ( \frac{2\pi nt}{T} \right ) \right | _{ {T \over 2} - d}^{T \over 2} - \left . {A_{max} \over d}{T^2 \over 4 \pi^2 n^2} \cdot \sin \left( {2 \pi n t \over T} \right ) \right | _{ {T \over 2} - d}^{T \over 2} \right ] \\[2ex]

    &= {4 \over T} \left \{ {A_{max} T^2 \over 4d \pi ^2 n^2} \left [ \sin \left( {2 \pi n \over T} \cdot d \right) + \sin \left( {2 \pi n \over T} \cdot \left( {T \over 2} - d \right ) \right) \right ] \right \} ={A_{max} T \over d \pi ^2 n^2} \left[ \sin\left( {2 \pi n d \over T} \right) + \sin \left( n\pi - {2 \pi n d \over T} \right) \right]

    \end{aligned}

    \]

    由 \[

    \sin \left( n\pi - {2 \pi n d \over T} \right) = \begin{cases} \sin\left( {2 \pi n d \over T} \right) \qquad \qquad &n=2N-1 \\[2ex]

    -\sin\left( {2 \pi n d \over T} \right) &n=2N

    \end{cases}

    \] 可得:

    \[

    b_n = \begin{cases} {2 A_{max} T \over d \pi ^2 n^2} \left[ \sin\left( {2 \pi n d \over T} \right) \right ] \qquad \qquad &n=2N-1 \\[2ex]

    0 &n=2N

    \end{cases}

    \]

    综上所述,可以得到该梯形波在区间\(\left[ -{T \over 2}, {T \over 2} \right ]\)的傅里叶级数展开式为:

    \[

    f(t) \sim {4 A_{max} \over \pi \omega d} \sum _{n=1}^{\infty} {\sin ( { (2n-1) \omega d }) \over (2n-1)^2} \cdot \sin((2n-1) \omega t) \qquad n=1,2,3,\cdots

    \] 其中:\(\omega = {2 \pi \over T}\)

    脉冲波(偶函数)

    7073989a4d4bdd90890c2a158dbd0f01.png

    如上图所示,该脉冲波是一个周期为T的偶函数,幅值为\(A_{max}\),脉冲宽度为\(\alpha T\),在区间\(\left[ -{T \over 2}, {T \over 2} \right ]\)的函数表达式为:

    \[

    f(t)= \begin{cases}

    A_{max}, \quad &|t| \le { {\alpha T} \over 2} \\[2ex]

    0, &|t| \gt { { {\alpha T} } \over 2}

    \end{cases}, \qquad - {T \over 2} \le t \le {T \over 2}

    \]

    由奇偶性可知,该波形在区间\(\left[ -{T \over 2}, {T \over 2} \right ]\)的傅里叶级数展开式为:

    \[

    f(t) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \left (\frac{2 {\pi} n t}{T} \right )

    \]

    其中傅里叶系数为:

    \[

    a_n =\left\{\begin{aligned} &{2 \over T} \int_{-{T \over 2} }^{T \over 2} f(t) dt \qquad \qquad \qquad \qquad & n=0 \\[2ex]

    &\frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} } f(t) \cdot \cos \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt & n=1, 2,3, \cdots \end{aligned}\right.

    \]

    将\(f(t)\)函数代入傅里叶系数表达式中,可得:

    \[

    \begin{aligned}

    a_0 &= {2 \alpha A_{max} } \\[2ex]

    a_n &={2 \over T} \int _{-{\alpha T \over 2} }^{\alpha T \over 2} A_{max} \cos \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt = {4 \over T} \int _{0}^{\alpha T \over 2} A_{max} \cos \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt\\[2ex]

    &= \left . {4 \over T} {A_{max} T \over 2 \pi n } \sin \left( {2 \pi n t \over T} \right) \right|_0^{\alpha T \over 2} ={2A_{max} \over n \pi} \sin (\alpha n \pi) \qquad \qquad \qquad \qquad n=1,2,3,\cdots

    \end{aligned}

    \]

    因此,可以得到该梯形波在区间\(\left [ -{T \over 2}, {T \over 2} \right ]\)的傅里叶级数展开式为:

    \[

    f(t) \sim \alpha A_{max} + {2A_{max} \over \pi} \sum _{n=1}^{\infty}{\sin (\alpha n \pi) \over n} \cos(n\omega t) \qquad n=1,2,3, \cdots

    \]

    其中:\(\omega = {2 \pi \over T}\)

    方波(奇函数)

    46f223710496dc1d07647960fda7f3e3.png

    同理,该方波在区间\(\left [ -{T \over 2}, {T \over 2} \right ]\)的傅里叶级数展开式为:

    \[

    f(t) \sim {4A_{max} \over \pi} \sum_{n=1}^{\infty}{\sin((2n-1)\omega t) \over 2n-1} \qquad \qquad n=1,2,3,\cdots

    \]

    其中:\(\omega = {2 \pi \over T}\)

    三角波(奇函数)

    438c9ad86d1951a6f5112f6e25c023a8.png

    同理,该三角波在区间\(\left [ -{T \over 2}, {T \over 2} \right ]\)的傅里叶级数展开式为:

    \[

    f(t) \sim {8A_{max} \over \pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}\sin((2n-1)\omega t) \over (2n-1)^2} \qquad n=1,2,3,\cdots

    \]

    锯齿波(非奇非偶函数)

    ceb0e98dc72938cc945ae9aa555b8516.png

    该锯齿波如上图所示,在区间\([0, T]\)的函数表达式为:

    \[

    f(t)={A_{max} \over T}t \qquad \qquad 0 \le t \le T

    \]

    由于该函数为非奇非偶函数,因此,该波形在区间\([0, T]\)的傅里叶级数展开式为:

    \[

    f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left [a_n \cos \left (\frac{2 {\pi} nx}{T} \right ) + b_n \sin \left (\frac{2 {\pi} nx}{T} \right ) \right ]

    \]

    其中傅里叶系数为:

    \[

    \begin{aligned}

    a_n &= \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cdot \cos \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt \qquad \qquad & n=0, 1, 2, \cdots \\[2ex]

    b_n &= \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cdot \sin \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt & n=1, 2,3, \cdots

    \end{aligned}

    \]

    将\(f(t)\)函数代入傅里叶系数表达式中,可得:

    \[

    \begin{aligned}

    a_0 &=A_{max} \\[2ex]

    a_n &= {2 \over T} \int_0^T{A_{max} \over T}t \cdot \cos \left( {2 \pi nt\over T} \right) dt \\[2ex]

    & = {2 \over T} {A_{max} \over T}{T \over 2 \pi n} \left . \left . \left[ t\sin \left({2\pi nt \over T}\right) \right| _0^T + {T \over 2 \pi n} \cos \left({2\pi nt \over T}\right) \right| _0^T \right] =0 \qquad &n=1,2,3,\cdots\\[2ex]

    b_n &= {2 \over T} \int_0^T{A_{max} \over T}t \cdot \sin \left( {2 \pi nt\over T} \right) dt \\[2ex]

    &= -{2 \over T} {A_{max} \over T}{T \over 2 \pi n} \left . \left . \left[ t\cos \left({2\pi nt \over T}\right) \right| _0^T - {T \over 2 \pi n}\sin \left({2\pi nt \over T}\right) \right| _0^T \right] =-{A_{max} \over n\pi} &n=1,2,3,\cdots

    \end{aligned}

    \]

    因此,可以得到该锯齿波在区间\([0,T]\)的傅里叶级数展开式为:

    \[

    f(t) \sim {A_{max} \over 2}-{A_{max} \over \pi} \sum_{n=1}^{\infty} {\sin(n \omega t) \over n} \qquad \qquad n=1,2,3,\cdots

    \]

    结语

    这里仅仅列出了极小部分的波形的傅里叶级数展开式,对于其它波形,类似代入计算即可,给出公式之后,更多的是考验数学积分计算了。

    参考文献

    [1] 维基百科编者. 傅里叶级数

    [2] 百度百科编者. 傅里叶级数

    展开全文
  • 计算函数的级数展开傅立叶系数,以及幅度谱和相位谱。 该脚本包含一些理论和 3 种不同的计算系数的方法。 用法Fourier_coeff(fun,t0,T) Fourier_coeff(fun,t0,T,M) Fourier_coeff(fun,t0,T,M,N) Fourier_coeff...
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    • 公式
      给定一个周期为的函数,那么它可以表示为无穷级数:
      在这里插入图片描述
      其中傅里叶系数为:
      在这里插入图片描述
      几种常见波形的傅里叶级数展开式
    1. 梯形波(奇函数)
      在这里插入图片描述
      傅里叶展开为:
      在这里插入图片描述
    2. 脉冲波(偶函数)
      在这里插入图片描述
      傅里叶展开为:
      在这里插入图片描述
    3. 方波(奇函数)
      在这里插入图片描述
      傅里叶展开为:
      在这里插入图片描述
    4. 三角波(奇函数)
      在这里插入图片描述
      傅里叶展开为:
      在这里插入图片描述
    5. 锯齿波(非奇非偶函数)
      在这里插入图片描述
      傅里叶级数展开式为:
      在这里插入图片描述
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  • 周期函数的傅里叶级数展开

    千次阅读 2020-02-04 18:15:44
    周期函数的傅里叶级数展开周期函数 周期函数 周期函数表达式为: f(x) = f(x + kT) (k = 1,2,3…) 如果该周期函数满足狄利赫里条件,那么该周期可以展开为傅里叶级数: f(t)=a02+∑n=1∞(a0cos⁡(nω1t)+bnsin...

    周期函数的傅里叶级数展开

    周期函数

    周期函数表达式为:
    f(x) = f(x + kT) (k = 1,2,3…)
    如果该周期函数满足狄利赫里条件,那么该周期可以展开为傅里叶级数:
    f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a 0 cos ⁡ ( n ω 1 t ) + b n sin ⁡ ( n ω 1 t ) ) f(t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^\infty(a_{0}\cos{(n\omega_{1}t)}+b_{n}\sin{(n\omega_{1}t)}) f(t)=2a0+n=1(a0cos(nω1t)+bnsin(nω1t))
    其中傅里叶系数计算如下:
    a 0 2 = 1 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) d t \frac{a_{0}}{2} = \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T }{f(t)dt} 2a0=T1t0t0+Tf(t)dt
    a n = 2 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) cos ⁡ n ω 1 t d t a_{n} = \frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}{f(t)\cos{n\omega_{1}tdt}} an=T2t0t0+Tf(t)cosnω1tdt
    b n = 2 T ∫ t 0 t 0 + T sin ⁡ n ω 1 t d t b_{n} = \frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}{\sin{n\omega_{1}tdt}} bn=T2t0t0+Tsinnω1tdt

    方波信号的傅里叶级数展开

    常见方波信号有两种,第一种表达式为:
    f ( t ) = { U k T ≤ t ≤ ( k T + a 2 ) 0 ( k T + a 2 ) ≤ t ≤ ( k T + a ) f(t) = \begin{cases} U &\text{} kT\le t \le (kT+\frac{a}{2}) \\ 0 &\text{}(kT+ \frac{a}{2}) \le t \le (kT + a) \end{cases} f(t)={U0kTt(kT+2a)(kT+2a)t(kT+a)
    则方波信号得傅里叶级数展开得系数为:
    a 0 2 = U 2 \frac{a_{0}}{2} = \frac{U}{2} 2a0=2U
    a n = U n π sin ⁡ n π = 0 a_{n} = \frac{U}{n\pi}\sin{n\pi} = 0 an=nπUsinnπ=0
    b n = 2 U n π b_{n} = \frac{2U}{n\pi} bn=nπ2U
    所以方波函数的傅里叶展开式为:
    f ( t ) = U 2 + 2 U π ∑ n = 1 ∞ 1 n sin ⁡ 2 π f 1 t f(t) = \frac{U}{2} + \frac{2U}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n} \sin{2\pi f_{1}t}} f(t)=2U+π2Un=1n1sin2πf1t
    式中:f1 为周期函数的频率。

    第二种常见方波表达式为:

    f ( t ) = { U k T ≤ t ≤ ( k T + a 2 ) − U ( k T + a 2 ) ≤ t ≤ ( k T + a ) f(t) = \begin{cases} U &\text{} kT\le t \le (kT+\frac{a}{2}) \\ -U &\text{}(kT+ \frac{a}{2}) \le t \le (kT + a) \end{cases} f(t)={UUkTt(kT+2a)(kT+2a)t(kT+a)
    则方波信号得傅里叶级数展开得系数为:
    a 0 2 = 0 \frac{a_{0}}{2} = 0 2a0=0
    a n = 0 a_{n} = 0 an=0
    b n = 4 U n π b_{n} = \frac{4U}{n\pi} bn=nπ4U
    所以方波函数的傅里叶展开式为:
    f ( t ) = U 2 + 4 U π ∑ n = 1 ∞ 1 n sin ⁡ 2 π f 1 t f(t) = \frac{U}{2} + \frac{4U}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n} \sin{2\pi f_{1}t}} f(t)=2U+π4Un=1n1sin2πf1t
    式中:f1 为周期函数的频率。

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    千次阅读 2021-09-20 19:00:06
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  • 傅里叶级数表述为: f(t)=a0+∑k=1∞{akcos⁡(2πkT0t)+bksin⁡(2πkT0t)} f(t) = a_0 + \sum^\infin_{k=1} \left \{ a_k \cos \left( \frac {2\pi k}{T_0}t \right) + b_k \sin \left( \frac{2\pi k}{T_0}t \right)...
  • 周期信号的傅里叶级数展开

    千次阅读 2020-04-17 16:03:34
    傅里叶级数展开的定义 ...周期信号f(t)f(t)f(t)的傅里叶级数展开式为:f(t)=∑k=−∞∞ckejkw0tf(t)=\sum_{k=-\infin}^{\infin}c_ke^{jkw_0t}f(t)=k=−∞∑∞​ck​ejkw0​t 其中: w0:w0=2πTw_0:w_0=\frac{2\pi}{...
  • 该文件包括不同波形的傅立叶级数图,例如: 1) 半波整流2) 全波整流3)锯齿4) 矩形5) 三角形6) 冲动列车7) 方波傅立叶系数用于获得傅立叶级数,然后将傅立叶级数相对于时间绘制以产生波形。
  • 傅里叶级数展开matlab实现

    千次阅读 2021-05-08 06:30:06
    傅里叶级数展开matlab 实现给个例子说明下:将函数y=x*(x-pi)*(x-2*pi),在(0,2*pi)的范围内傅里叶级数展开syms x fx=x*(x-pi)*(x-2*pi);[an,bn,f]=fseries(fx,x,12,0,2*pi)%前12 项展开latex(f)%将f 转换成latex ...
  • 傅里叶分析之掐死教程,我看了,说实话我觉得有点绕,如果没学过傅里叶变换我觉得不可能看一遍就懂,估计会卡死很久。尤其是那些矢量图和大海螺旋图,让我一脸懵逼,怀疑自己没学过傅里叶变换。Heinrich:傅里叶分析...
  • 上一部分讲述了有关正交函数集的概念,是学习理解傅里叶级数傅里叶变换的数学基础。这一部分将了解将信号表示为傅里叶级数的方法。傅里叶级数是一种最常用的正交函数集,在信号处理,数字信号处理,滤波等等工程中...
  • 方波信号傅里叶级数展开

    万次阅读 多人点赞 2020-04-07 17:30:06
    周期信号可以进行傅里叶级数展开 在研究非周期信号的傅里叶变换之前 首先应掌握傅里叶级数的三种表述形式: 三角函数形式 谐波形式 指数形式 并根据定义求出傅里叶系数: 以周期性的方波信号为例,掌握傅里叶...
  • 对其进行傅里叶级数展开,计算后可得: 编写的matlab代码如下: close all; clear all; N = 1000; %取展开式的项数为1000项 T = 1; %方波周期为1 fs = 1/T; N_sample = 128; %为了画出波形,...
  • 文章目录傅里叶级数信号的频率希尔伯特空间三角函数正交性推导简谐波构成的函数系傅里叶展开傅里叶级数推导表示任意的连续周期函数Fourier 级数的物理含义离散频谱与频谱图参考 傅里叶级数 傅里叶级数是基于一个问题...
  • 傅里叶变换(一) 傅里叶级数

    千次阅读 2021-02-01 01:58:29
    开的这个坑大概就是写写从另一个视角来看快速离散傅里叶变换FFT。oi当中常见的FFT的推导方法...在这个专题下,将会依次讲解傅里叶级数FS,傅里叶变换FT,离散时间傅里叶变换DTFT,离散傅里叶变换DFT。主要是参考wys...
  • 三角函数到傅立叶级数

    千次阅读 2019-12-19 09:34:53
    我讨厌傅立叶级数的叫法,这老让我感觉到很深奥,但当我用三角级数时,感觉就大不同了!! 下面进入正题 正弦波 信号处理中极为极为极为重要的一个函数,三角函数,之所以叫做三角函数,是因为它的计算方式和直角...
  • §11.5 函数展开成幂级数 一、泰勒级数 如果在处具有任意阶的导数,我们把级数  (1) 称之为函数在处的泰勒级数。 它的前项部分和用记之,且 这里: 由上册中介绍的泰勒中值定理,有 当然,这里是...
  • 周期信号的频谱分析 周期信号: x(t)=x(t+mT)m=0,±1,±2,⋯ x(t)=x(t+mT) \quad m=0,\pm1,\pm2,\cdots x(t)=x(t+mT)m=0,±1,±2,⋯ 信号的角频率为$w=2\pi f $ (一)周期信号的傅里叶级数展开式 狄利赫里条件: ...
  • 我们用函数的幂级数展开式表示与讨论函数,因此我们也可将周期函数展开由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。具体地说,将周期为T(=2πω)T(=\frac{2\pi}{\omega})T(=ω2π​)的周期函数用一系列以T为周期的正弦...
  • 周期函数傅里叶级数的各次谐波系数确定 在不考虑直流分量的情况下对于周期函数的系数进行计算确定。 简单阐述原理过程。 实例场景: 假定被采样信号的模拟信号时一个周期性时间函数,除基波外还含有不衰减的直流分量...
  • 4.6指数形式的傅里叶级数

    千次阅读 2020-08-11 09:19:12
    三角形式的傅里叶级数,含义比较明确,但运算常感不便,因而经常采用指数形式的傅里叶级数。 这里利用到了欧拉公式 cosx=ejx+e−jx2cosx=\frac{e^{jx}+e^{-jx}}{2}cosx=2ejx+e−jx​
  • Matlab 周期方波信号傅里叶级数展开

    千次阅读 2021-05-08 14:44:04
    方波信号为:傅里叶级数展开为:程序运行结果:程序代码:clearx = -6:0.01:6;T = 4;f = x;for N = 1:length(f)temp = rem(abs(x(N)),T);if temp>1 && temp<3f(N) = 0;elsef(N) = 1;endend% f(x) = 1/...
  • 周期信号的傅里叶级数展开 ,在连续信号条件下,其傅里叶级数对为 x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k ω 0 t = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k ( 2 π / T ) t (1) (1) x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k...
  • 通俗易懂的傅立叶级数理解

    千次阅读 多人点赞 2017-08-17 10:54:57
    前面说到过泰勒展开式,这里我们在复习一下。 我们知道泰勒展开式就是把函数分解成1,x,x^2,x^3....幂级数(指数)的和。 你知道为什么要展开成幂级数的和吗?请看这里: 因为我们把y展开成泰勒级数 y = 1+x+x^2+...
  • 关于傅里叶级数傅里叶变化

    千次阅读 2020-05-08 21:45:07
    关于傅里叶级数傅里叶变化的一些问题(这里都是连续信号,离散信号看成连续信号的特例即可) 傅里叶级数 1.任何周期信号都可以用正弦信号和余弦信号构成的无穷级数来表示(cos信号和sin信号的基波和谐波)(周期为...
  • 傅里叶级数详解

    2021-12-28 01:32:25
    函数分解为正交函数 1向量的正交分解 2函数的正交分解 周期函数的傅里叶级数 1周期函数三角形式的傅里叶级数 1.1三角形式的傅里叶级数 1.2余弦形...

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