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  • (5)傅里叶级数、傅里叶系数、傅里叶变换的关系是什么?(6)周期信号傅里叶级数中的傅里叶系数物理意义是什么?(7)周期信号傅里叶级数中的傅里叶系数与非周期信号傅里叶变换的关系是什么?(8)非周期信号的...

    学过《信号与系统》课程的人往往会被许多问题所困惑,如:

    (1)周期信号傅里叶级数表示什么内容?

    (2)信号的频谱表示什么?

    (3)通过信号的频谱我们能知道什么?

    (4)信号的时域和频域的关系是什么?

    (5)傅里叶级数、傅里叶系数、傅里叶变换的关系是什么?

    (6)周期信号傅里叶级数中的傅里叶系数物理意义是什么?

    (7)周期信号傅里叶级数中的傅里叶系数与非周期信号傅里叶变换的关系是什么?

    (8)非周期信号的傅里叶变换到底是什么意思?

    (9)傅里叶变换的物理意义是什么?

    (10)复数形式的傅里叶变换的物理意义?

    (11)为什么周期信号的傅里叶变换在相应频率处出现冲激函数?

    (12)为什么正弦(或余弦)信号的傅里叶变换是冲激函数?

    上述问题尽管看上去有些零碎,其实它们是有联系的,下面,我从头到尾把这些问题串起来,内容可能比较多,如果你想知道结果,则需要你耐心阅读,并希望下面的内容能对你有所帮助,更详细的内容和应用还请参见我写的《信号与系统分析和应用》一书,本书在高等教育出版社出版发行。

    要知道傅里叶变换把时域信号变换为频域函数(频谱),首先需要知道信号的频谱是什么。我在教学的时候,规定时域是“信号”,频域是“函数”。

    注意,下面我站在求解“频谱”的角度来说问题!

    一、周期信号及其频谱

    1、先从周期信号说起

    周期信号的频谱表示了这个周期信号含有的所有不同频率余弦信号的频率、幅度和初相位这三个“参数”,每个余弦的这“三个参数”表征了这个余弦的全部信息,信号的频谱是用原周期信号含有的所有各个频率余弦信号的“三参数”来表征原时域信号的组成成分和分量(傅里叶级数是在时域用余弦信号的形式来表征周期信号的组成,注意:傅里叶级数是时域的,它的自变量是时间t)。

    我们不能总是喋喋不休地只讨论一个复杂的时间信号是由哪些基本信号合成的,而我们真正要关心的是这个复杂信号的“组成成分”和这些“成分的分量”。我非常赞赏网友用的“配方”这个词,它一针见血地指出了一个混合物(相当于时域信号)和它的组成成分及其分量(频谱---信号配方)。可以看到,周期信号的“配方”就是组成这个周期信号的各个频率的余弦的“频率”、“幅度”和“初相位”这“三个参数”。

    如一副中药相当于原时域信号,而它的“药单”相当于其“频谱”。

    一副混合好的中药(相当于一个复杂信号),你从下面图中看不出组成它的各成分的分量。

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    一副混合好的中药(相当于一个复杂信号),你看不出组成它的各成分的分量

    要想知道它的组成成分和分量,你一定要拿到它的药单

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    药单上列出了一副中药的组成成分和各味药的“分量”。对应我们讨论的信号来说,药名相当于“余弦信号的频率”,重量相当于“余弦信号的幅度”。可以看到,这个药单图只有“各个味药”和它的重量,这个药单其实相当于“信号的幅度谱”。我们也可以把各味药的产地标上(也可以理解为余弦信号的初相位)。反过来,我们按着“药单”去抓药就能构成一副中药。

    2、傅里叶积分公式(对非周期信号来说就是它的傅里叶变换)的伟大之处在哪里?

    在这里为什么我要说“傅里叶积分公式”而不说“傅里叶变换”?因为,求周期信号的频谱是用傅里叶积分公式,而求非周期信号的频谱的公式我们通常称其为“傅里叶变换”,其实,傅里叶变换也是傅里叶积分公式。

    傅里叶积分公式的伟大之处在于:利用整数倍频率的正、余弦分量的“正交性”,通过积分公式能求出原信号的“配方”或者说求出组成原信号所有不同频率余弦(或正弦)信号的“三参数”,也就是我们在信号与系统课程中讲到“频谱”。

    傅里叶积分公式要完成两个任务:第一个是利用整数倍频率的正、余弦分量的“正交性”,从一个“混合物”(一个复杂信号)中分离出其中的一个成分(某个频率的余弦),另一个是它像一杆秤似的称出被分离出来的那个成分的“分量”(余弦的幅度和初相位)。我们不但要知道一个混合物的“成分”,还要知道其中某个成分的“分量”。所以,傅里叶积分公式兼有“成分分离器”和“秤”的双重作用。

    下面就让我们去看看如何从复杂信号中分离出一个余弦,然后怎样求出被分离出来的这个余弦的幅度和初相位(这是一个真正伟大的工作)。

    3、周期信号的表示以及它的频谱的求解

    我们先看看一个周期信号的时域表示(傅里叶级数),然后就让我们去见证一个伟大的傅里叶积分公式,它是如何求出这个周期信号的“配方”(频谱),也就是用傅里叶积分公式如何从周期信号中分离出一个余弦以及怎样求出这个余弦的幅度和初相位的(这是一个真正伟大的工作)。

    (1)周期信号三角函数形式的傅里叶级数

    为了尽快完成下面内容,下面我把我写的《信号与系统分析和应用》书上内容直接复制过来,更详细内容还请参见这本书。

    请注意:为什么我把周期信号三角函数形式的傅里叶级数写成下面的形式,而不是公式(4.2-8)的形式?因为只有这样才能充分理解信号频谱以及频谱的作用、傅里叶系数、非周期确知信号的傅里叶变换的物理意义,才能充分理解我写的下面的内容。

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    特别要注意:所谓的傅里叶级数是在时域表示原周期信号的组成。

    由公式(4.2.2)可知:

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    这样就能计算出一个周期信号的频谱了(“配方”或“药单”)。我们将所有“三参数”按频率的位置表示出来就是原周期信号的“频谱”了,因此,下面的周期信号的傅里叶级数公式才是与“频谱”对应的周期信号三角函数形式的傅里叶级数。

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    用上面公式表示周期信号三角函数形式的傅里叶级数才能更好地理解信号的“频谱”到底表示了什么?以及后面我要说的非周期信号傅里叶变换的“物理意义”是什么,才能更好理解信号频域分析的目的。那么,公式(4.2-8)可以看做求解信号频谱的中间环节,当然,它也是三角函数形式的傅里叶级数,只是用它不利于理解信号频谱表示的内容(也有特殊情况)。

    可以说,公式(4.2-10)以及(4.2-11)是“最伟大的积分公式”之一。这两个公式为什么能计算出an和bn?我们需要讨论信号的正交性问题。

    下面把《信号与系统分析和应用》书上内容复制过来。

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    注意:上面积分区间一定在是整倍周期期间才成立。

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    这样,下面的积分公式的物理意义就很清楚了:

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    想必大家已经领略到了数学的伟大魔力了吧。

    4、周期信号组成成分的表示---信号频谱

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    可以看到,频谱图(a)和(b)表示了组成原周期信号的所有不同频率余弦信号的“频率”(横坐标)、“幅度”以及“初相位”这三个参数,这与公式(4.2.2)是对应的,这就是为什么我将周期信号傅里叶级数写成公式(4.2.2)的根本原因。

    信号频谱的作用就是用图形(频谱图)或公式(向量形式)来表示组成这个周期信号的所有不同频率的余弦信号的“三参数” (幅度、初相和频率或角频率),也就是说,频谱是用“参数”的形式表示原信号的组成成分,我们不但要知道信号的组成成分还要知道这些成分的份额,这就是大家说到的“原信号的配方”。从频谱图上,我们就能看到原周期信号含有的所有频率的余弦(或正弦)信号的幅度和相位的大小,也就知道了周期信号含有的所有频率成分以及这些频率成分对原信号的贡献大小。上面图(c)是将图(a)和(b)合成一个图(合成的原则请参见《信号与系统分析和应用》书)。

    5、周期信号复指数形式的傅里叶级数与傅里叶系数(复数形式的信号频谱)

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    周期信号复指数形式傅里叶级数中的傅里叶系数Xn是用复数的形式表示每个余弦信号的幅度和初相位信息(包含余弦信号的两个参数)。它的积分公式其实还是求an和bn,只是用一个积分公式一起求出的,还是利用“正交性”,傅里叶系数Xn就是复数形式的原周期信号的“频谱”(“药单”或“配方”)。

    二、非周期信号的傅里叶变换

    非周期信号的傅里叶变换是从周期信号复指数形式傅里叶级数中的傅里叶系数Xn推导来的(注意:不是从傅里叶级数推导来的!),所以,非周期信号的傅里叶变换就是非周期信号的“频谱”。绝对可积信号的傅里叶变换是自变量为频率或角频率的相量函数,它含有原时域信号含有的所有频率余弦信号的“三参数”信息(频率信息是由傅里叶变换的自变量来表征的)。但是,绝对可积非周期信号含有的每个余弦信号的幅度都趋于无穷小,非周期信号的傅里叶变换中的幅度谱是每个余弦信号无穷小的幅度乘上一个无穷大的周期。如果一个非周期信号是确知信号,则它的傅里叶变换就是一个自变量为频率或角频率的确知相量函数(所以,不能把它叫做信号),这说明,这个原确知时间信号含有的所有频率余弦信号的幅度和初相不是孤立的,他们满足一定关系,这个关系就是以自变量为频率或角频率的“频域函数”。更多内容请参看我写的《信号与系统分析和应用》书上第4章和第5章内容。

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    下面举个信号的例子:

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    上面是信号傅里叶变换是复函数的物理意义。下面看看因果稳定系统的频率响应的物理意义

    因果稳定系统的频率响应是此系统单位冲激响应的傅里叶变换,由于此系统是因果稳定系统,则其频率响应也是复函数。

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    可以看到,信号的傅里叶变换与系统单位冲激响应的傅里叶变换即使都是复函数,但是,它们的物理意义是不同的。

    三、周期信号的傅里叶变换以及冲激函数的作用

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    除了上述对信号进行傅里叶变换得到信号的频谱以及对系统单位冲激响应进行傅里叶变换而得到系统频率响应,这些“傅里叶变换”都有其物理意义,人们还发现时域信号经过傅里叶变换后在变换域内其频域函数之间的运算比时域简单,人们借助于频域运算可以简化时域里的运算。最后,简单总结一下傅里叶变换:

    (1)对信号进行傅里叶变换得到信号的频谱;

    (2)对系统单位冲激响应进行傅里叶变换得到系统频率响应;

    (3)经过傅里叶变换后能使运算简单;

    如果你手里有《信号与系统分析和应用》教材,请你关注“信号与系统分析”微信公众号,那里面列出书中发现的问题。

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  • 傅里叶级数展开系数项求解

    千次阅读 2019-10-28 19:19:17
    如果一个函数的傅里叶级数处处收敛于 f(x)f(x)f(x),则称这个级数是这个函数的傅里叶展开式,即: f(x)=a02+∑n=1∞an(cos⁡nx+bnsin⁡nx),x∈[−π,π] f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infin}a_{n}(\cos{nx}+b_...

    对于一个周期函数 f(x)f(x): 若满足狄利克雷条件,即在一个周期中,只有有限个第一类间断点以及有限个极值点,则这个函数可以展开成傅里叶级数,若这个傅里叶级数处处收敛于 f(x)f(x),则称这个级数是这个函数的傅里叶展开式,即:
    f(x)=a02+n=1(ancosnx+bnsinnx),x[π,π] f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infin}(a_{n}\cos{nx}+b_{n}\sin{nx}),\quad x\in[-\pi,\pi]
    其中:
    {a0=1πππf(x)dxan=1πππf(x)cosnxdxbn=1πππf(x)sinnxdx \begin{cases} & a_{0}=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)dx \\\\ & a_{n}=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)\cos{nx}dx \\\\ & b_{n}=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)\sin{nx}dx \end{cases}

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  • 几种常见波形的傅里叶级数展开式

    千次阅读 2020-01-03 22:04:45
    几种常见波形的傅里叶级数展开式 梯形波(奇函数) 傅里叶展开为: 脉冲波(偶函数) 傅里叶展开为: 方波(奇函数) 傅里叶展开为: 三角波(奇函数) 傅里叶展开为: 锯齿波(非奇非偶函数) 傅里叶...
    • 公式
      给定一个周期为的函数,那么它可以表示为无穷级数:
      在这里插入图片描述
      其中傅里叶系数为:
      在这里插入图片描述
      几种常见波形的傅里叶级数展开式
    1. 梯形波(奇函数)
      在这里插入图片描述
      傅里叶展开为:
      在这里插入图片描述
    2. 脉冲波(偶函数)
      在这里插入图片描述
      傅里叶展开为:
      在这里插入图片描述
    3. 方波(奇函数)
      在这里插入图片描述
      傅里叶展开为:
      在这里插入图片描述
    4. 三角波(奇函数)
      在这里插入图片描述
      傅里叶展开为:
      在这里插入图片描述
    5. 锯齿波(非奇非偶函数)
      在这里插入图片描述
      傅里叶级数展开式为:
      在这里插入图片描述
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  • 00.傅里叶级数展开式

    千次阅读 2018-12-04 16:32:11
    来自《深入浅出通信原理》   实质就是将周期信号分解成一系列旋转向量之和,各旋转向量的角速度分别为:、、、...、 在时刻的初始向量就是傅里叶系数  ...

     来自《深入浅出通信原理》

                                        f(x) =\sum_{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{jkw_{0}t}

    实质就是将周期信号分解成一系列旋转向量之和,各旋转向量的角速度分别为:\pm w_{_{0}}\pm 2w_{_{0}}\pm 3w_{_{0}}、...、\pm kw_{_{0}}

    t=0时刻的初始向量就是傅里叶系数c_{_{_{^{_{k}}}}}

     

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  • 方波信号傅里叶级数展开

    万次阅读 多人点赞 2020-04-07 17:30:06
    周期信号可以进行傅里叶级数展开 在研究非周期信号的傅里叶变换之前 首先应掌握傅里叶级数的三种表述形式: 三角函数形式 谐波形式 指数形式 并根据定义求出傅里叶系数: 以周期性的方波信号为例,掌握傅里叶...
  • MATLAB实现周期信号的傅里叶级数展开

    万次阅读 热门讨论 2019-03-02 21:01:01
    MATLAB小白,不足之处还请多指教! 设周期函数的波形为: 求该周期信号的傅里叶级数展开式,并画出傅里叶展开后的波形 ...通过求出傅里叶级数的系数,带入傅里叶级数展开式的式子,就可以求出周期信号的傅里叶级数展...
  • (一)前言 Matlab并没有自带的求解傅里叶级数的函数,本文将介绍如何使用Matlab进周期函数的...设f(x)为周期为T的周期函数,则我们有傅里叶级数展开式: 根据系数的求解的定义,我们使用int()函数进行积分即...
  • 傅里叶级数展开时基底函数取1,cosx、sinx,cos2x、sin2x.....cosnx、sinnx,傅里叶级数一般情况下表示为: a0、an、bn是展开系数。假定一个周期为2π的函数f(x+2π)=f(x)现在计算其系数。这就需要一点灵活的数学...
  • 具有周期T的连续变量t的周期函数f(t)在区间(t_0,t_0+T)可以展开成在完备正交信号空间中的无穷级数,如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集,那么,周期信号所展开的无穷级数就分别称为“三角型傅里叶级数”...
  • 周期信号的傅里叶变换

    千次阅读 2019-09-21 03:56:06
    为了在统一框架里分析周期信号与非周期信号,可以...对于周期信号x(t)x(t),其傅里叶级数展开式为: x(t)=∑k=−∞+∞akejkw0tx(t)=∑k=−∞+∞akejkw0t 系数akak表示为: 由于 说明周期性复指数信号的频谱...
  • 傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换

    千次阅读 2015-06-01 17:59:27
    通过欧拉公式ejθ=cos(θ)+jsin(θ)e^{j\theta }=cos(\theta)+jsin(\theta)可以将三角函数形式以an,bna_{n},b_{n}为系数傅里叶级数展开,变成复函数形式以cnc_{n}为系数的傅里叶展开。总结起来就是:傅里叶级数是...
  • 信号的合成与分解 正弦信号作为基本信号 可以将方波信号分解成一个直流分量和一系列余弦波分量之和。 复指数信号作为基本信号 ...傅里叶级数展开式 ck是傅里叶系数 f(t)=∑k=−∞∞ckejkω0t f(t) = \sum_{k=-\...
  • 给出了相位测量误差与条纹强度误差之间的统计关系,对条纹强度量化误差进行傅里叶级数展开,并利用条纹强度与相位的关系求得该级数的系数,进而得到标准N幅算法的相位的解析表达式。最后对强度量化误差效应的一些...
  • 双边指数函数的傅里叶变换,双边指数函数的波形如图所示,其数学表达式为0t题图1-2双边指数函数解:xt()是一个非周期信号,它的傅里叶变换即为其频谱密度函数,按定义求解:1.2求题图1-1周期三角波的傅里叶级数(三角...
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  • 周期信号的分解1、三角形式周期为T的周期信号,满足狄里赫利(Dirichlet)条件(实际中遇到的所有周期信号都符合该条件),便可以展开傅里叶级数的三角形式,即:(1)(2)(3)中: 为基波频率, 与 为傅里叶系数。...
  • 函数的傅里叶级数展开式 ------------681.问题的提出•狄利克雷积分 ------------682.第一基本引理 ------------683.局部化定理 ------------684.迪尼与利普希茨的傅里叶级数收敛性的判别法 ------------685.第二...
  • 2.3.2 角向马蒂厄函数傅里叶级数展开系数的递推关系 2.3.3 角向马蒂厄方程的特征值的计算 2.3.4 特征值am和bm的特征曲线 2.4 角向整数阶马蒂厄函数的正交归一化关系 2.5 角向马蒂厄函数图像 2.6 角向马蒂厄函数数表 ...
  • 2.3.2 角向马蒂厄函数傅里叶级数展开系数的递推关系 2.3.3 角向马蒂厄方程的特征值的计算 2.3.4 特征值am和bm的特征曲线 2.4 角向整数阶马蒂厄函数的正交归一化关系 2.5 角向马蒂厄函数图像 2.6 角向马蒂厄函数数表 ...
  • 张宇带你学高数

    2018-06-11 13:35:26
    第一章 函数与极限 1.1.函数 1.1.1.定义:三要素 1.1.2.函数的运算 四则运算 复合运算 反函数 1.1.3.函数的性质 单调性 ...周期为2π的周期函数的傅里叶级数 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 收敛定理
  • 研究实变函数和泛函分析,在广义函数、偏微分方程理论、经典分析和傅里叶级数领域有重要贡献。在数学教学方面颇具影响力,其多部著作(包括与盖尔范德等合作的《广义函数》)已成为经典并广为流传。 目录 · · · ...
  • 8.4.5 协方差与相关系数 8.5 统计作图 8.5.1 正整数频率表 8.5.2 累积分布函数图形 8.5.3 最小二乘拟合直线 8.5.4 绘制正态分布概率图形 8.5.5 样本数据的盒图 8.5.6 参考线绘制 8.5.7 样本概率...
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空空如也

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