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  • 傅里叶级数展开matlab实现
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    2021-05-08 06:30:06

    傅里叶级数展开matlab 实现给个例子说明下:将函数

    y=x*(x-pi)*(x-2*pi),在(0,2*pi)的范围内傅里叶级数展开syms x fx=x*(x-pi)*(x-2*pi);

    [an,bn,f]=fseries(fx,x,12,0,2*pi)%前12 项展开latex(f)%将f 转换成latex 代码an = [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0] bn = [ -12, 3/2, -4/9, 3/16, -12/125, 1/18, -12/343, 3/128, -4/ 243, 3/250, -12/1331, 1/144] f =

    12*sin(x)+3/2*sin(2*x)+4/9*sin(3*x)+3/16*sin(4*x)+12/ 125*sin(5*x)+1/18*sin(6

    *x)+12/343*sin(7*x)+3/128*sin(8*x)+4/243*sin(9*x)+3/ 250*sin(10*x)+12/1331* sin(11*x)+1/144*sin(12*x) ans = 12\,\sin \left( x \right) +3/2\,\sin \left( 2\,x \right)

    +4/9\,\sin \left( 3\,x \right) +3/16\,\sin \left( 4\,x \right) +{\frac {12}{125}}\,\sin \left( 5\,x \right) +1/18\,\sin

    \left( 6\,x \right) +{\frac {12}{343}}\,\sin \left( 7\,x \right) +{\frac {3}{128}}\,\sin \left( 8\,x \right) +{\frac

    {4}{243}}\,\sin \left( 9\,x \right) +{\frac {3}{250}}\,\sin \left( 10\,x \right) +{\frac {12}{1331}}\,\sin \left( 11\,x \right) +{\frac {1}{144}}\,\sin \left( 12\,x \right) function [an,bn,f]=fseries(fx,x,n,a,b) %傅里叶级数展开% %an 为fourier 余弦项系数%bn 为fourier 正弦项系数%f 为展开表达式%f 为给定函数%x 为自变量%n 为展开系

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  • 这是一个系列笔记,在理解图卷积神经网络的时候需要用到傅立叶变换,傅立叶变换的基础是傅立叶级数公式,而傅立叶级数公式中又包含欧拉公式,这篇文章就是这么来的。 一、复数的概念? 我们把形如 z=a+bi(a、b均为...


    前言

    这是一个系列笔记,在理解图卷积神经网络的时候需要用到傅立叶变换,傅立叶变换的基础是傅立叶级数公式,而傅立叶级数公式中又包含欧拉公式,这篇文章是第二篇。


    一、傅立叶级数的由来

    数学家们猜测一些周期函数可以写成三角函数的和,即像图中表示的那样(黑色斜线:周期为2Π的函数;红色曲线:各个三角函数的和)。
    在这里插入图片描述
    而傅里叶则猜测任意周期函数都可以写成三角函数的和。

    二、傅立叶级数公式

    在这里插入图片描述
    分析公式(即为什么周期函数可以写成三角函数的和呢?):
    1、常数项C,用来调整整体位置。
    2、因为任意函数都可以分解为奇函数和偶函数之和,所以正弦、余弦函数是组成任意函数的基础,他们之间经过合理的加减组合,可以成为任意函数,必须有!
    在这里插入图片描述
    3、调整振幅(振幅是正弦、余弦函数前边的系数),为了使其尽可能的逼近原函数。
    4、正弦、余弦函数内的系数是为了让他们周期为T,即所有三角函数的和组成的函数要与他们要逼近函数的周期相同。

    三、频域和时域

    有关于为什么要讲到频域和时域,是因为在后边详细推导傅立叶级数公式的时候会用到。

    在上一个笔记里,我们讲到了欧拉公式:
    传送门:傅立叶变换之(一)——欧拉公式
    在这里插入图片描述
    一看到这个,我们就应该想出来这么一幅图:
    在这里插入图片描述即欧拉公式代表的就是单位圆上的点。
    我们把欧拉公式的虚部(也就是纵坐标)记录下来,得到的就是正弦函数。(欧拉公式整体看成是我们熟知的a+bi就可以了,虚部不就是对应欧拉公式中的正弦函数吗?)
    在这里插入图片描述
    同理,我们把实部(也就是横坐标)记录下来,就是余弦函数的曲线。
    在这里插入图片描述
    这两种看待欧拉公式的角度,一个可以观察到旋转的频率,所以称之为频域;另一种可以看到流逝的时间,所以称之为时域
    在这里插入图片描述

    四、傅立叶级数公式的进一步求解

    4-1、抛砖引玉

    假设有函数:
    在这里插入图片描述
    根据上一点对频域和时域的讲解,这里我们把它转化到频域中去。
    由欧拉公式 e i t = cos ⁡ ( t ) + i sin ⁡ ( t ) {\rm e}^{it}=\cos(t)+i \sin(t) eit=cos(t)+isin(t)可以得到:
    e i t + e i 2 t = ( cos ⁡ ( t ) + cos ⁡ ( 2 t ) ) + i ( sin ⁡ ( t ) + sin ⁡ ( 2 t ) ) {\rm e}^{it}+{\rm e}^{i2t}=(\cos(t)+\cos(2t))+i( \sin(t)+\sin(2t)) eit+ei2t=cos(t)+cos(2t)+isin(t)+sin(2t)
    即g(x)函数是 e i t + e i 2 t {\rm e}^{it}+{\rm e}^{i2t} eit+ei2t 的虚部。
    在这里插入图片描述
    我们令:
    G ( t ) = e i t + e i 2 t G(t)= {\rm e}^{it}+{\rm e}^{i2t} G(t)=eit+ei2t
    从线性代数的角度来说: G ( t ) G(t) G(t)是基 e i t {\rm e}^{it} eit e i 2 t {\rm e}^{i2t} ei2t的线性组合。
    注意:基是描述、刻画向量空间的基本工具。
    接下来看如何求正交向量(基)中其中一个向量前边的系数
    假设有:
    w ⃗ = 2 u ⃗ + 3 v ⃗ \vec{w} = 2\vec{u}+ 3\vec{v} w =2u +3v
    其中 u ⃗ = ( − 1 , 1 ) \vec{u}=(-1,1) u =(1,1), v ⃗ = ( 1 , 1 ) \vec{v}=(1,1) v =(1,1)
    因为他们是正交向量,所以:
    u ⃗ ⋅ v ⃗ = 0 \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 u v =0
    结论一(只有正交基才使用)
    u ⃗ \vec{u} u 的系数a可以计算为:
    w ⃗ ⋅ u ⃗ u ⃗ ⋅ u ⃗ = 2 \frac{\vec{w} \cdot \vec{u}} {\vec{u} \cdot \vec{u}} = 2 u u w u =2
    同理:
    v ⃗ \vec{v} v 的系数b可以计算为:
    w ⃗ ⋅ v ⃗ v ⃗ ⋅ v ⃗ = 3 \frac{\vec{w} \cdot \vec{v}} {\vec{v} \cdot \vec{v}} = 3 v v w v =3
    反推:
    w ⃗ ⋅ u ⃗ = a ⋅ u ⃗ ⋅ u ⃗ \vec{w} \cdot \vec{u} = a \cdot \vec{u} \cdot \vec{u} w u =au u
    ( 2 u ⃗ + 3 v ⃗ ) ⋅ u ⃗ = a ⋅ u ⃗ ⋅ u ⃗ (2\vec{u} +3\vec{v})\cdot \vec{u} = a \cdot \vec{u} \cdot \vec{u} (2u +3v )u =au u
    因为他们是正交向量,所以乘积为0,等式成立。

    os:先记住这个结论就好了,不要问那么多为什么,我是个数学渣渣能推到这已经很不容易了,先糊弄过去。

    结论二(函数向量点积的定义)

    os:同样的先记住这个结论。
    在这里插入图片描述

    4-2、傅立叶级数公式进化

    傅立叶级数公式可以写为:
    在这里插入图片描述
    也就是说f(x)的基为:
    在这里插入图片描述
    那么可以得到:
    在这里插入图片描述
    C也可以通过点积来表示:
    在这里插入图片描述


    参考文章:
    如何理解傅立叶级数公式?
    傅里叶系列(一)傅里叶级数的推导
    Cmd Markdown 公式指导手册

    总结

    马上就下班了,今天的摸鱼就到此结束吧。

    展开全文
  • 通俗易懂的傅立叶级数理解

    千次阅读 多人点赞 2017-08-17 10:54:57
    前面说到过泰勒展开式,这里我们在复习一下。...因为我们把y展开成泰勒级数 y = 1+x+x^2+x^3+x^4+…的时候我们可以无限细分得到函数在每个点的【【变化】】呀! 这和你把3234.352拆成3000+200+30+4+0.3+0.05+0.002一样

    前面说到过泰勒展开式,这里我们在复习一下。

    我们知道泰勒展开式就是把函数分解成1,x,x^2,x^3....幂级数(指数)的和。

    你知道为什么要展开成幂级数的和吗?请看这里:
    因为我们把y展开成泰勒级数 y = 1+x+x^2+x^3+x^4+…的时候我们可以无限细分得到函数在每个点的【【变化】】呀!
    这和你把3234.352拆成3000+200+30+4+0.3+0.05+0.002一样一样一样的啊!!!
    所谓对函数的无限细分,就是不断求导,得到123456789阶变化率,从而得到这个函数到底在各个点【精细】【变化】的有多剧烈啊!还记得神马叫变化吗?位移的变化是速度,速度的变化是加速度,加速度的变化是加加速度的。
    泰勒级数的每一阶的系数(主值)就是各阶导数啊!
    所以泰勒级数就是在描述一个函数的各个点的变化啊!!


    明白了,泰勒展开级数,是把函数转变成幂级数的和,那我们回归原题,看看,傅立叶级数表达的含义。  
    百度百科是这样说的:

    法国数学家傅里叶发现,任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示(选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的),后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数,根据欧拉公式,三角函数又能化成指数形式,也称傅立叶级数为一种指数级数。

    哦,终于有点明白了,

    你想知道为什么分解成三角函数的和(正弦波或余弦波)那么重要吗?
    我们知道,对于一个周期函数来说,和周期对应的叫频率。频率表示了周期性变化的快慢(比如说振动的快慢)。我们知道弹簧是有振动频率的、电磁波是有振荡频率的,光也是有频率的。频率就是这些物质的本质属性。
    那凭什么是正弦/余弦的频率呀!
    因为正弦/余弦函数是【二阶偏微分方程】(就是含有电容等元件的电路方程)的【本征解!】。   

    我们知道我们要把函数展开成三角不同频率的三角函数的和,而且系统对某种频率的【三】【角】【函】【数】的响应方式还是【同频率的三角函数】,所以响应也是对这些不同【三】【角】频率【响应的叠加】这叫什么,这就叫频域分析,这就叫信号与系统!!

    我们再来看看傅立叶级数公式吧。

    1. 什么是投影
        我们先来复习什么是投影吧。考虑一个简单的二维平面的例子。如下图所示,给定两个向量 u 和 v ,我们从 u 的末端出发作到 v 所在直线的垂线,得到一个跟 v 同向的新向量 p 。这个过程就称作 u 到 v 所在直线的投影,得到的新向量 p 就是 u 沿 v 方向的分量。图中的系数 c 是 p 跟 v 的比例,也就是 u 在 v 轴上的“坐标”。我们可以用尺规作图来完成投影这个动作,问题是:如果给定的向量 u 和 v 都是代数形式的,我们怎么用代数的方法求 c ?
         
     
        我相信只要有基本线性代数知识的同学都可以轻松解决这个问题。我们知道 u-cv 这个向量是“正交”于 v 的,用数学语言表达就是 (u-cv)T v = 0。我们马上就可以得到 c 的表达式如下。
     
    (1)

     

    这里补充一点向量正交:

    “正交向量”是一个数学术语,指点积为零的两个或多个向量。
    如果两个向量x,y正交,则其夹角为90度,可表示为表达式:
    注意:x,y的顺序没有区别,即下式也成立:
    两个向量正交,可以表示为下图:
    由勾股定理可知:
    将上式展开得:
    我们举例说明:假设两个向量分别为x,y,z=x+y:
    其中x,y满足下式:
    向量的长度(即向量的2范数)为:
    显然满足勾股定理:
    如果两个或多个向量,它们的点积为0,那么它们互相称为正交向量。在二维或三维的欧几里得空间中,两个或三个向量两两成90°角时,它们互为正交向量。正交向量的集合称为正交向量组。

    例如:a=(1,1,0),b=(1,-1,0) ,则内积(a,b)=1*1+1*(-1)+0*0=0,所以a,b正交。向量组两两正交就是其任意两个向量都正交。

     
    2. 向量在一组正交基上的展开
        在讲傅里叶级数之前,我们还需引进线性代数中“正交基”的概念。如果这个概念你觉得陌生,就把它想成是互相垂直的“坐标轴”。回到刚才这个例子,如下图所示,现在我们引进一组正交基 {v1,v2},那么 u 可以展开成以下形式
      (2)
     
        从图上来看,(2) 式其实说的是我们可以把 u“投影”到 v1 和 v2 这两个坐标轴上,c1 和 c2 就是 u 的新“坐标”。问题是:我们怎么求 c1 和 c2 呢?你会说,我们可以 (2) 式两边同时乘以 v1 或 v2,然后利用它们正交的性质来求 c1,c2。没错,数学上是这么做的。但是利用之前关于投影的讨论,我们可以直接得出答案,直接利用 (1) 式就可以得到如下的表达式:
      (3)
     
    3. 傅里叶级数的几何意义
        现在我们已经明白一件事情了:如果想把一个向量在一组正交基上展开,也就是找到这个向量沿每条新“坐标轴”的“坐标”,那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了,也就是把 (1) 式中的 v 换成新坐标轴就好了。说了半天,这些东西跟傅里叶级数有什么关系?我们先回忆一下傅里叶级数的表达式。给定一个周期是 2l 的周期函数 f(x),它的傅里叶级数为:
      (4)
    其中系数表达式如下:
      (5)
     
        我不喜欢记忆这些公式,有办法可以更好的理解他们来帮助记忆吗?答案是有的,那就是从几何的角度来看。傅里叶告诉我们,f(x) 可以用下面这组由无限多个三角函数(包括常数)组成的“正交基”来展开,
      (6)
     
        这里我们需要在广义上来理解“正交”。我们说两个向量,或两个函数之间是正交的,意思是它们的“内积”(inner product)为零。 “内积”在有限维的“向量空间”中的形式为“点积”(dot product)。在无限维的“函数空间”中,对于定义在区间 [a,b] 上的两个实函数 u(x),v(x) 来说,它们的内积定义为
      (7)
     
        正交基 (6) 中的每个函数都可以看做是一条独立的坐标轴,从几何角度来看,傅里叶级数展开其实只是在做一个动作,那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的“坐标轴”上。上面 (5) 式中的系数则是函数在每条坐标轴上的坐标。
        现在的问题是我们不能直接用 (1) 式来求这些坐标了,因为它只适用于有限维的向量空间。在无限维的函数空间,我们需要把 (1) 式中分子分母的点积分别替换成 (7) 式。那么 (5) 式中的所有系数马上可以轻松的写出:
      (8)
     
       值得注意的是,(8) 式中所有积分可以在任意一个长度是2l的区间内进行。也就是说,不管是 [-l,l] 还是 [0,2l],答案都是一样的。
       有同学会说,老师上课教的是对 (4) 式两边乘以1,cos(nπx/l),或 sin(nπx/l), 然后积分,利用这些函数之间的正交性来得到 (5) 式。这些当然是对的,而且我们应该学会这种推导来加深对正交性的理解。但是在应用上,我更喜欢用几何的角度来看傅里叶级数,把函数看成是无限维的向量,把傅里叶级数跟几何中极其简单的“投影”的概念联系起来,这样学习新知识就变得简单了,而且可以毫无障碍的把公式记住,甚至一辈子都难忘。
       熟悉傅里叶级数的同学会问,那么对于复数形式的傅里叶级数,我们是否也能用几何投影的观点来看,然后写出级数中的所有系数呢?答案是肯定的。给定一个周期是 2l 的周期函数 f(x),它的傅里叶级数的复数形式为:
      (9)
    其中系数表达式如下:
      (10)
     
    这意味着我们用了下面这组“正交基”来展开原函数,
      (11)
     
       我们之前提到了两个函数正交,意思是它们的内积为零。对于定义在区间 [a,b] 上的两个复函数 u(x),v(x) 来说,它们的内积定义为
      (12)
    其中v加上划线意思是它的共轭。(10) 中指数函数里的负号就是因为取了共轭的关系。
       现在我们同样可以把原函数分别投影到 (11) 中的每个函数所在的“坐标轴”来求出对应的“坐标”,也就是系数cn:
      (13)
     
       这里我想强调一下这个“正交基”的重要性。在一个有限维的向量空间,给定任何向量都可以被一组基展开,它可以不必是正交的,这个时候展开项中的系数(也就是沿这组基中任一坐标轴的坐标)需要求解一个线性方程组来得到。只有当这组基是正交的时候,这些系数才能从给定向量往各坐标轴上投影得出,也就是 (1) 式。同样的,在无限维的函数空间,我们可以把一个函数在某个“基”中展开,但是只有在“正交基”中,展开项中的系数才能看成是函数投影的结果。
       最后做一个总结,不管是向量 u 还是函数 u,他们都可以被一组正交基{vn:n=1,...,N}(有限个向量)或{vn:n=1,...,∞}(无限个函数)展开如下:
      (14)
       上式中的 cn 代表 u 在 vn 所在的坐标轴上投影产生的坐标。而 (14) 式中内积的定义视情况而定,在有限维的向量空间(实数域),向量 u 和 v 的内积是点积 uTv;在无限维的函数空间,函数 u(x) 和 v(x) 的内积的通用形式是 (12),如果它们是实函数,那么 (12) 就可以简化成 (7) 的形式。
       我们可以看到,用几何投影的观点来看待傅里叶级数,理解变得更加容易,因为我相信所有人都能理解投影的概念;同时,傅里叶级数所有的公式都可以轻松的记住,想要遗忘都难了。我们在学习不同学科的时候可以经常的去做联系,尝试着用不同的角度去看待同一个问题,我相信这么做是很有好处的。


    参考:http://blog.renren.com/share/343320656/15540620254/0

    参考:http://www.360doc.com/content/13/0328/12/202378_274443797.shtml

    展开全文
  • 这是一组代码,适用于经典阻尼谐波振荡器 (CDHO)、Voigt、傅立叶级数和三角基函数的介电常数。 详见:介电常数的光谱曲线拟合,AIP Advances 7, 015042 (2017); 这些代码可用于从在有限光谱范围内测量的吸收/反射...
  • 傅里叶级数推导

    千次阅读 2019-06-11 13:50:09
    的周期函数,且可逐积分,利用三角级数得 f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ) f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right) f ( x ) ...

    物理意义:把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。

    三角函数系

    cos x, sinx, cos2x, sin2x.…, cosnx, sinnx.…

    正交性

    在[- π \pi π π \pi π]上正交,即其中任意两个不同的函数之积在[- π \pi π π \pi π]上的积分等于0.

    可以证明:

    • ∫ − π π cos ⁡ n x d x = 0 \int_{-\pi}^{\pi} \cos n x d x=0 ππcosnxdx=0
    • ∫ − π π sin ⁡ n x d x = 0 \int_{-\pi}^{\pi} \sin n x d x=0 ππsinnxdx=0
    • ∫ − π π cos ⁡ m x cos ⁡ n x d x = 0 ( m = 1 , 2 , 3 , ⋯   , n = 1 , 2 , 3 , ⋯ m ≠ n ) \begin{array}{c}{\int_{-\pi}^{\pi} \cos m x \cos n x d x=0 \quad(m=1,2,3, \cdots, n=1,2,3, \cdots m \neq n )}\end{array} ππcosmxcosnxdx=0(m=1,2,3,,n=1,2,3,m̸=n)
    • ∫ − π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x = 0 ( m = 1 , 2 , 3 , ⋯   , n = 1 , 2 , 3 , ⋯ m ≠ n ) \begin{array}{c}{\int_{-\pi}^{\pi} \sin m x \sin n x d x=0 \quad(m=1,2,3, \cdots, n=1,2,3, \cdots m \neq n )}\end{array} ππsinmxsinnxdx=0(m=1,2,3,,n=1,2,3,m̸=n)
    • ∫ − π π sin ⁡ m x cos ⁡ n x d x = 0 ( m = 1 , 2 , 3 , ⋯   , n = 1 , 2 , 3 , ⋯   ) \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} \sin m x \cos n x d x &=0 \quad(m=1,2,3, \cdots, n=1,2,3, \cdots ) \end{aligned} ππsinmxcosnxdx=0(m=1,2,3,,n=1,2,3,)当m=n时
      ∫ − π π 1 ⋅ 1 d x = 2 π ∫ − π π cos ⁡ 2 n x d x = π ∫ − π π sin ⁡ 2 n x d x = π ( n = 1 , 2 , ⋯   ) \begin{array}{l}{\int_{-\pi}^{\pi} 1 \cdot 1 \mathrm{d} x=2 \pi} \\\\ {\int_{-\pi}^{\pi} \cos ^{2} n x d x=\pi} \\\\ {\int_{-\pi}^{\pi} \sin ^{2} n x d x=\pi}\end{array}(n=1,2, \cdots) ππ11dx=2πππcos2nxdx=πππsin2nxdx=π(n=1,2,)
      f ( x ) f(x) f(x)是周期为2 π \pi π的周期函数,且可逐项积分,利用三角级数得
      f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ) f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right) f(x)=2a0+n=1(ancosnx+bnsinnx) 想要表达 f ( x ) f(x) f(x)得求出 a 0 , a n , b n a_{0},a_{n},b_{n} a0,an,bn,对两边进行积分得
      ∫ − π π f ( x ) d x = ∫ − π π a 0 2 d x + ∑ n = 1 ∞ [ ∫ − π π a n cos ⁡ n x d x + ∫ − π π b n sin ⁡ n x d x ] \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=& \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a_{0}}{2} \mathrm{d} x+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\int_{-\pi}^{\pi} a_{n} \cos n x \mathrm{d} x\right. +\int_{-\pi}^{\pi} b_{n} \sin n x \mathrm{d} x ] \end{aligned} ππf(x)dx=ππ2a0dx+n=1[ππancosnxdx+ππbnsinnxdx]因为 a 0 , a n , b n a_{0}, a_{n}, b_{n} a0,an,bn为常数,利用三角函数的正交性
    • ∫ − π π cos ⁡ n x d x = 0 \int_{-\pi}^{\pi} \cos n x d x=0 ππcosnxdx=0
    • ∫ − π π sin ⁡ n x d x = 0 \int_{-\pi}^{\pi} \sin n x d x=0 ππsinnxdx=0
      得到
      ∫ − π π f ( x ) d x = ∫ − π π a 0 2 d x = π a 0 \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{a_{0}}{2} \mathrm{d} x=\pi a_{0} ππf(x)dx=ππ2a0dx=πa0
      a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x a_{0}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) d x a0=π1ππf(x)dx
      为了求 a n a_{n} an,在等式两边 cos ⁡ k x \cos k x coskx
      ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ k x d x = ∫ − π π a 0 2 cos ⁡ k x d x + ∑ n = 1 ∞ I − π π a n cos ⁡ k x cos ⁡ n x d x + ∫ − π π b n cos ⁡ k x sin ⁡ n x d x ] \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos k x d x &=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{a_{0}}{2} \cos k x d x \\ &+\sum_{n=1}^{\infty} I_{-\pi}^{\pi} a_{n} \cos k x \cos n x d x \\ &+\int_{-\pi}^{\pi} b_{n} \cos k x \sin n x d x ] \end{aligned} ππf(x)coskxdx=ππ2a0coskxdx+n=1Iππancoskxcosnxdx+ππbncoskxsinnxdx]当k=n时,由三角函数的正交性可知 ∫ − π π a n cos ⁡ k x cos ⁡ n x d x = ∫ − π π a n cos ⁡ 2 n x d x = a n ∫ − π π 1 + cos ⁡ 2 n x 2 d x = a n π \begin{aligned} & \int_{-\pi}^{\pi} a_{n} \cos k x \cos n x d x=\int_{-\pi}^{\pi} a_{n} \cos ^{2} n x d x \\=& a_{n} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1+\cos 2 n x}{2} d x=a_{n} \pi \end{aligned} =ππancoskxcosnxdx=ππancos2nxdxanππ21+cos2nxdx=anπ其余各项均为零.因此 a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯   ) a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x d x \quad(n=1,2,3, \cdots) an=π1ππf(x)cosnxdx(n=1,2,3,)同理 b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ n x d x ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯   ) b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n x d x \quad(n=1,2,3, \cdots) bn=π1ππf(x)sinnxdx(n=1,2,3,)
      整理一下得:
      { a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯   ) b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ n x d x ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯   ) \left\{\begin{array}{ll}{a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x d x} & {(n=0,1,2, \cdots)} &\\\\ {b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n x d x} & {(n=1,2,3, \cdots)}\end{array}\right. an=π1ππf(x)cosnxdxbn=π1ππf(x)sinnxdx(n=0,1,2,)(n=1,2,3,)
      a n ( 0 开 始 的 ) , b n a_{n}(0开始的),b_{n} an(0)bn称为傅里叶系数。由傅里叶系数组成的三角级数称为傅里叶级数。


    f ( x ) = { − 1 , − π ≤ x &lt; 0 1 , 0 ≤ x &lt; π f(x)=\left\{\begin{array}{lr}{-1,} &amp; {-\pi \leq x&lt;0} \\ {1,} &amp; {0 \leq x&lt;\pi}\end{array}\right. f(x)={1,1,πx<00x<π
    在这里插入图片描述

    a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x = 1 π ∫ − π 0 ( − 1 ) cos ⁡ n x d x + 1 π ∫ 0 π cos ⁡ n x d x = − 1 π 1 n sin ⁡ n x ] − π 0 + 1 π 1 n sin ⁡ n x ] 0 π = 0 ( n = 0 , 1 , 2 , 3 ⋯ &ThinSpace; ) \begin{aligned} a_{n} &amp;=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x d x \\ &amp;=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0}(-1) \cos n x d x+\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos n x d x \\ &amp;=-\frac{1}{\pi} \frac{1}{n} \sin n x ]_{-\pi}^{0}+\frac{1}{\pi} \frac{1}{n} \sin n x ]_{0}^{\pi}=0 \\ &amp;(n=0,1,2,3 \cdots) \end{aligned} an=π1ππf(x)cosnxdx=π1π0(1)cosnxdx+π10πcosnxdx=π1n1sinnx]π0+π1n1sinnx]0π=0(n=0,1,2,3)
    b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ u x d x = 1 π ∫ − π 0 ( − 1 ) sin ⁡ x d x + 1 π ∫ 0 π sin ⁡ x d x = 1 π 1 n cos ⁡ n x ∣ − π 0 − 1 π [ 1 n cos ⁡ n x ] 0 π = 2 n π [ 1 − ( − 1 ) n ] = { 4 n π , n = 1 , 3 , 5 , ⋯ 0 \begin{aligned} b_{n} &amp;=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin u x d x \\ &amp;=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0}(-1) \sin x d x+\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x d x \\ &amp;=\frac{1}{\pi} \frac{1}{n} \cos n\left.x\right|_{-\pi} ^{0}-\frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{n} \cos n x\right]_{0}^{\pi} \\ &amp;=\frac{2}{n \pi}\left[1-(-1)^{n}\right] \\ &amp;=\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{n \pi}, n=1,3,5, \cdots} \\ {0}\end{array}\right. \end{aligned} bn=π1ππf(x)sinuxdx=π1π0(1)sinxdx+π10πsinxdx=π1n1cosnxπ0π1[n1cosnx]0π=nπ2[1(1)n]={nπ4,n=1,3,5,0所以 f ( x ) = ∑ n = 1 ∞ b n sin ⁡ n x = 4 π [ sin ⁡ x + 1 3 sin ⁡ 3 x + ⋯ + 1 2 n − 1 sin ⁡ ( 2 n − 1 ) x + ⋯ &ThinSpace; ] f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n} \sin n x\\=\frac{4}{\pi}\left[\sin x+\frac{1}{3} \sin 3 x+\cdots+\frac{1}{2 n-1} \sin (2 n-1) x+\cdots\right] f(x)=n=1bnsinnx=π4[sinx+31sin3x++2n11sin(2n1)x+]

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  • 傅里叶级数傅里叶变换

    万次阅读 多人点赞 2019-07-19 17:40:05
    傅里叶级数:任何周期函数,只要满足一定条件都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦之和的形式,该和成为傅里叶级数傅里叶变换:任何非周期函数(但该曲线下的面积是有限的),也可以用正弦和/或余弦乘以加权函数...
  • 一般说来,一个函数的傅立叶级数既含有正弦,又含有余弦。但是,有些函数的傅立叶级数只含有正弦或只含有余弦,究其原因,它与所给函数的奇偶性有关。 【定理】以为周期的奇函数展开成傅立叶级数时,它的傅...
  • 泰勒级数&傅立叶级数

    2019-03-05 10:41:00
    (#977) 泰勒级数的基本公式. 这个方程相当于是待解析曲线在求解点附近做了一条切线,并进行迭代法累加(n阶导数)。迭代次数越多,越接近原始曲线。举例用泰勒级数来分解sin(t),...傅立叶级数的基本公式   ...
  • 0x01 三角函数系的正交性与傅里叶级数 我们首先看一下这个定理: 组成三角级数的函数系 0(sin0x),1(cos0x),sinx,cosx,sin2x,cos2x,…,sinnx,cosnx \begin{aligned} 0(\text{sin}0x),1(\text{cos}0x),\text{sin}x,\...
  • 周期函数展开成傅里叶级数,Geogebra,同济大学高数下册P312 例1(A、B即是书中的an、bn)
  • 本人专业是自动化,离不开信号与系统这门课,提到信号与系统,自然是离不开大名鼎鼎的傅立叶,傅立叶级数、傅立叶变换都是常用的计算工具。 同时,我也搞搞算法竞赛,众所周知,FFT(快速傅立叶变换)是一种计算...
  • 信号与系统—傅里叶级数

    千次阅读 2019-09-15 21:43:34
    写在前面:相信很多接触傅里叶级数的人都觉得这是一个很复杂的东西,包含大量的复杂公式并且不知道它是用来干什么的。此文从傅里叶级数的最初产生过程进行介绍,产生之初必然伴也随着某种应用,更准确的说是应用促使...
  • 单看那个(1)式,就是把周期函数 f(t) 描述成一个常数系数 a0、及1倍 ω 的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和,且每都有不同的系数,即an和bn,至于这些系数,需要用...
  • 傅里叶级数详解

    万次阅读 多人点赞 2017-04-02 14:21:11
    2. 傅里叶级数就是三角级数 2.1 傅里叶级数就是把周期函数展开成基频和倍频分量 2.2 每个分量的大小我们用投影的方法来求。 ————————————————————————   你是大学生吗?你学理工科吗...
  • 高数第十二章 级数12.1 常数项级数

    千次阅读 2020-04-26 16:11:32
    常数项级数级数的分类级数收敛数项级数函数项级数常数项级数性质两个重要级数正向级数正项级数审敛法交错级数莱布尼茨审敛法绝对收敛与相对收敛常数项级数审敛法 级数的分类 一、 1、常数项级数 2、幂级数 3、傅里叶...
  • 由三角函数组成的函数项级数,即所谓的三角级数,着重研究如何把函数展开成三角级数。 一、三角级数 三角函数系的正交性 如何深入研究非正弦周期函数呢?我们用函数的幂级数展开式表示与讨论函数,因此我们也可将...
  • 傅里叶级数的系数是怎么得到的?

    千次阅读 2020-12-23 23:48:17
    ——————评论区小伙伴的补充——————感谢评论区的朋友 @摩天轮1111 指出合成公式的满足条件,在特定情况下合成公式不一定成立。...原答案解释了傅里叶级数分析公式(傅里叶系数求解公式)的由来...
  • 傅里叶级数表述为: f(t)=a0+∑k=1∞{akcos⁡(2πkT0t)+bksin⁡(2πkT0t)} f(t) = a_0 + \sum^\infin_{k=1} \left \{ a_k \cos \left( \frac {2\pi k}{T_0}t \right) + b_k \sin \left( \frac{2\pi k}{T_0}t \right)...
  • 2020-03-23傅立叶级数是将周期函数表示成由多个 (或无穷多个) 不同频率的正弦函数和余弦函数的线性组合,这些不同的频率是不连续的,例如傅立叶级数: ,其 sin 内的 x, 3x, 5x 是不连续的。而傅立叶积分是将傅立叶...
  • 傅里叶级数

    万次阅读 2017-12-23 19:22:56
    傅里叶级数到连续傅里叶 这次的内容是有关傅里叶变换的,本文重点在于理解傅里叶变换的思想,对于公式的推导也仅仅是泛泛而谈,如有不严谨之处还望大家莫怪。在正式推导公式之前我想先简单的谈一谈对函数进行...
  • 本节是傅里叶级数的练习。推导了几个典型周期信号的傅里叶级数
  • 文章目录深刻理解傅里叶级数傅里叶变换的联系一、引入1.1 信号分解的基本思想1.2 系统特征函数1.3 复指数分解二、周期信号的傅里叶级数2.1 谐波复指数集2.2 傅里叶级数2.2.1 表示形式2.2.2 收敛条件2.2.3 傅里叶...
  • 傅里叶级数傅里叶变换

    千次阅读 2017-10-12 16:01:03
    写在前面傅里叶变换这个东东是一块心病,记得刚接触计算机视觉那会儿,最先看的是冈萨雷斯的《数字图像处理》。当看到频率域滤波那章节的时候,首先就是傅里叶变换,当时看了两三遍愣是没懂。无奈之下,去问老师,...
  • 周期信号的傅里叶级数表示

    千次阅读 2018-11-03 10:38:09
    1. 线性时不变系统对复指数信号的响应 在研究 LTILTILTI(Linear and Time-invariant System)系统时,将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的,但这些基本信号应该具有以下两个性质: ...傅里叶分析的...
  • 方波信号傅里叶级数展开

    万次阅读 多人点赞 2020-04-07 17:30:06
    周期信号可以进行傅里叶级数展开 在研究非周期信号的傅里叶变换之前 首先应掌握傅里叶级数的三种表述形式: 三角函数形式 谐波形式 指数形式 并根据定义式求出傅里叶系数: 以周期性的方波信号为例,掌握傅里叶...
  • 傅里叶级数公式推导

    2021-08-03 10:44:09
    傅里叶 三角函数形式展开
  • 傅里叶级数的推导

    2020-03-02 19:12:39
    傅里叶级数公式
  • 文章目录傅里叶级数信号的频率希尔伯特空间三角函数正交性推导简谐波构成的函数系傅里叶展开傅里叶级数推导表示任意的连续周期函数Fourier 级数的物理含义离散频谱与频谱图参考 傅里叶级数 傅里叶级数是基于一个问题...
  • 傅里叶级数的数学推导及应用价值

    千次阅读 2021-01-27 11:29:48
    傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用,这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍,动不动就跳出一个“傅里叶级数”或...
  • 三角函数形式的傅里叶级数:在直流分量(常数项)上叠加不同频率的正弦波来近似周期函数。 一、基本形式: 函数的周期为,角频率为,频率,傅里叶级数展开表达式为: ....(1) 其中,n为正整数,各次谐波成分...

空空如也

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傅里叶级数常数项