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  • 周期延拓 周期为2l的周期函数展开傅里叶级数 几个常见脉冲信号的傅里叶级数
  • 方波信号傅里叶级数展开

    万次阅读 多人点赞 2020-04-07 17:30:06
    周期信号可以进行傅里叶级数展开 在研究非周期信号的傅里叶变换之前 首先应掌握傅里叶级数的三种表述形式: 三角函数形式 谐波形式 指数形式 并根据定义式求出傅里叶系数: 以周期性的方波信号为例,掌握傅里叶...

    傅里叶级数


    周期信号可以进行傅里叶级数展开
    在这里插入图片描述

    在研究非周期信号的傅里叶变换之前

    首先应掌握傅里叶级数的三种表述形式:
    三角函数形式
    谐波形式
    指数形式

    并根据定义式求出傅里叶系数:

    以周期性的方波信号为例,掌握傅里叶级数展开:

    推导过程:



    实验验证


    得到解析式后,可以用MATLAB仿真一下试试效果如何,

    代码示例:

    clc,clear;
    x = linspace(0,10*pi,1000);
    y=4/pi.*sin(0.5.*x); %E=2, w=0.5
    for n = 2:10
        y = y + 4/pi.*(1/(2.*n-1).*sin((2.*n-1).*0.5.*x))
    end
    plot(x,y)
    set(gca,'xticklabel',{'0';'\pi';'2\pi';'10\pi'});%关联的标签,用cell指定刻度标签,这里不再详细标注坐标来了
    

    最高10次谐波效果:

    最高15次谐波效果:

    最高150次谐波效果:

    可以发现,n取得越高,效果越逼近于方波,但边角处明显有突出的毛刺,这也称之为吉布斯现象

    将具有不连续点的周期函数(如矩形脉冲)进行傅立叶级数展开后,选取有限项进行合成。当选取的项数越多,在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点。当选取的项数很大时,该峰起值趋于一个常数,大约等于总跳变值的9%。

    当最高为1000次谐波时,还算比较平滑。

    以上是时域上观察周期信号的傅里叶级数展开,在频域上则是展开式中的各频率信号对应的谐波成分,频域图像就像五线谱一样,每一根谱线对应一个频率,而时域图像就像是这个音符对应的频率的波形
    在这里插入图片描述

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  • 傅立叶级数的介绍我就不说了,自己也是应用为主,之前一直觉得很难懂,但最近通过自己编程实现了一些函数的傅立叶级数展开之后对傅立叶 级数展开的概念比较清楚了 (1)函数如下 函数图象如下:   代码: from...
  • 2020-03-23傅立叶级数是将周期函数表示成由多个 (或无穷多个) 不同频率的正弦函数和余弦函数的线性组合,这些不同的频率是不连续的,例如傅立叶级数: ,其 sin 内的 x, 3x, 5x 是不连续的。而傅立叶积分是将傅立叶...

    d9009ed8c35a69384ab67ecd72e2dd2b.png

    2020-03-23

    傅立叶级数是将周期函数表示成由多个 (或无穷多个) 不同频率的正弦函数和余弦函数的线性组合,这些不同的频率是不连续的,例如傅立叶级数:

    sin 内的 x, 3x, 5x 是不连续的。而傅立叶积分是将傅立叶级数延伸到非周期函数,但这些不同的频率是连续的,例如:若 f(x) 的傅立叶积分=

    ,其
    cos 内的 wx 是连续的 (因 w 积分从 0 积到)。至于傅立叶变换是将函数变换成另一种形式,以方便某些领域的计算。接下来,我们将傅立叶级数及变换分成十个章节来探讨。

    周期函数

    (1). 若函数 f(x) 的定义域为实数集合 R 且存在一正数 T,使得 f(x+T)=f(x),x∈R,则称 f(x) 为周期函数,且此正的数值 T 称为 f(x) 的周期。

    (2). f(x) g(x) 的周期均为 T,则 h(x)=af(x)±bg(x) 亦为周期 T 的函数。

    (3). f(x) 的周期为 T,则 f(kx) 的周期为:

    (4). f(x) 的周期为 mT,g(x) 的周期为 nT,则 h(x)=af(x)±bg(x) 的周期为 m, n 的最小公倍数乘以 T。(若 m, n 为分数,则先通分后再取分子的最小公倍数)

    (5). 常数函数 f(x)=c,亦为周期函数,其周期为任意数。

    (6). 级数

    ,其中

    均为常数,则此级数称为三角级数,而
    称为此级数的系数。

    (7). 三角级数的周期为

    (ex.47) sin(2x)+cos(3x) 的周期。

    Sol:

    (1) . sin(2x) 的周期为

    (2) . cos(3x) 的周期为

    ,而
    ,两周期的分子
    3 2 的最小公倍数是 6,所以 sin(2x)+cos(3x) 的周期为

    周期为 2π 的傅立叶级数

    (1). 若函数 f(x) 是周期为 的周期函数,则其可以用下面的三角级数表示:

    (2). 在上式中,若 f(x) 已知,则

    可由下法求得:

    n=1, 2, 3…

    n=1, 2, 3…

    pf:

    (3). 用法:要求周期为的周期函数 f(x) 的傅立叶级数时,

    (a). 抄下

    (b). 抄下

    (c). 将题目的 f(x) 代入 (b) 式。

    (d). (b) 式积分出来,求出

    (e). 重复 (b)~(d) 式,算出

    (f). 最后将

    代入
    (a) 式。

    (g).

    求出前三项之值 (
    n=1, 2, 3 代入),找出其规律。

    (4).

    ,则右式称为
    f(x) 的傅立叶级数,而
    称为
    f(x) 的傅立叶系数。

    (ex.48) f(x) 的周期为 ,且

    ,求
    f(x) 的傅立叶级数。

    Sol:由傅立叶级数公式知

    (1).

    (2).

    (3).

    偶函数与奇函数的傅立叶级数

    此节的目的是要简化计算傅立叶系数的过程。

    (1). 若函数 f(x) 满足 f(-x)=f(x),则 f(x) 称为偶函数,例如:

    等,或图形沿
    y 轴对折,左右两边图形会重叠在一起,如下图:

    c5266e0f111789fce313c0f8d63aba07.png

    (2). 若函数 g(x) 满足 g(-x)=-g(x),则 g(x) 称为奇函数,例如:

    等,或图形沿
    y 轴对折,再沿 x 轴对折,右上图形与左下图形会重叠在一起,如下图:

    079b60dc2ea3706d534c9d929e192e5c.png

    (3). 偶函数与偶函数的乘积为偶函数,例如:

    为偶函数;偶函数与奇函数的乘积为奇函数,例如:
    为奇函数;奇函数与奇函数的乘积为偶函数,例如:
    为偶函数。

    (4). 偶函数积分积一个周期等于积半个周期的 2 倍,即若函数 f(x) 是周期为的偶函数,

    (5). 奇函数积分积一个周期的值为 0,即若函数 g(x) 是周期为 的奇函数,则

    (6). 若函数 f(x) 是周期为的周期函数,且为偶函数,则 f(x) f(x)cosnx 为偶函数,f(x)sinnx 为奇函数,所以 f(x) 的傅立叶级数为:

    其中,

    (7). 若函数 f(x) 是周期为的周期函数,且为奇函数,则 f(x) f(x)cosnx 为奇函数,f(x)sinnx 为偶函数,所以 f(x) 的傅立叶级数为:

    其中,

    (ex.49) f(x) 的周期为 ,且

    ,求
    f(x) 的傅立叶级数。

    Sol:f(x) 可改写成

    因为它是偶函数,所以

    (1).

    (2).

    (3).

    (4).

    任意周期函数之傅立叶级数

    (1). 周期为 2L 的周期函数 f(t) (注:L 为半周期),其傅立叶级数为:

    ,其中,

    Pf:

    说明:周期为 2L 的傅立叶级数,只要将周期为的傅立叶级数作下列二项修改,

    (a). 将公式的所有 π 改成 L

    (b). sin cos 内的 x 改成

    (2). 周期为 2L 的偶函数 f(x),其傅立叶级数为:

    其中,

    (3). 周期为 2L 的奇函数 f(x),其傅立叶级数为:

    其中,

    (ex.50) 周期为 4 f(x),且

    ,求
    f(x) 的傅立叶级数。

    Sol:週期 2L=4

    ,所以

    (1).

    (2).

    (3).

    (4).

    (5). 所以

    半周期函数 (或称半周期展开)

    (1). 若給定一半週期函數,如週期是 2L 的函數,f(x) 只在 [0, L] 內有定義,現要將函數f(x)的定義擴展到 (-∞, ∞),其擴展的方式有二種:

    (a). 偶函数扩展:即先扩展到 [-L, L] 一周期的偶函数,再扩展到 (-∞, ∞)

    (b). 奇函数扩展:即先扩展到 [-L, L] 一周期的偶函数,再扩展到 (-∞, ∞)

    函数本来定义在 [0, L] 半周期内,经以上的扩展方式,周期均变为 2L,称为"半周期展开"。

    (2). 要求半周期展开的傅立叶级数时,可以使用上节「任意周期函数之傅立叶级数」方法求得,及若是偶函数扩展或奇函数扩展,则代偶函数或奇函数的傅立叶级数公式。

    (ex.51) 求下列函数的偶函数和奇函数半周期展开,且

    Sol:半周期 L=2

    (1). 展开成一周期偶函数

    (a). 偶函数扩展:

    (b).

    (c).

    (d). n=1, 2, 3, …代入,得

    ,….

    (e). 所以

    (2). 展开成一周期奇函数

    (a). 奇函数扩展:

    (b).

    (c). n=1, 2, 3, …代入,得

    ,….

    (d). 所以

    复数傅立叶级数

    (1). 也可以用复数方法来求傅立叶级数,其与用前面的方法求出来的答案相同。

    (2). 函数 f(x) 是周期为 的函数,其复数傅立叶级数为

    ,其中,

    ,n=0, ±1, ±2, …

    (3). 要求复数傅立叶级数时,

    (a). 抄下

    (b). 抄下

    (c). 将题目的 f(x) 代入 (b) 式。

    (d). (b) 式积分出来。

    (e). 求出

    中的第
    -k 项 (即
    和第
    k 项 (即
    ,再将此二项相加起来,以消去虚数部分。

    (f). 求出

    的第
    0 项 (即
    )。

    (g).

    ,答案与用前面方法求出答案相同。

    注:

    (i). 若题目要求「复数傅立叶级数」,只要做到 (d) 步骤,再将

    代回
    (a) 式即可;

    (ii). 若题目要求「傅立叶级数」,则还要往下做以消去虚数 i,其結果与用前面方法求出答案相同。

    (4). 函数 f(x) 是周期为 2L 的函数,其复数傅立叶级数为:

    ,其中,

    ,n=0, ±1, ±2, …

    说明:周期为 2L 的复数傅立叶级数只要将周期为 的复数傅立叶级数作下列二项修改:

    (a). 将公式的所有 π 改成 L

    (b). e 的指数 x 改成

    (ex.52) f(x) 的周期为,且

    ,用复数方法求
    f(x) 的傅立叶级数。

    Sol:

    (1).

    (2).

    (注:

    ,因
    n 是整数,所以 sin(-nπ)=0)

    (3). (a). n=-k 代入

    (b). n=k 代入

    (c). (a)+(b)

    (4). n=0 代入

    (5).

    (答案与「周期为 的傅立叶级数」中 (ex.48) 相同。)

    傅立叶积分

    (1). 若函数 f(x) 为非周期性函数或考虑整个 x 轴时,就要使用傅立叶积分。

    (2). f(x) 的傅立叶积分为:

    ,其中,

    (3). f(x) 是偶函数,则 B(w)=0;若 f(x) 是奇函数,则 A(w)=0

    (ex.53)

    ,求其傅立叶级数。

    Sol:

    所以 f(x) 的傅立叶积分

    傅立叶余弦与正弦变换

    (1). fc(w) 称为 f(x) 的“傅立叶余弦变换” (其中,c 表示 cos),

    (2). f(x) 称为 f(x) 的“反傅立叶余弦变换”,

    (3). fs(w) 称为 f(x) 的“傅立叶正弦变换” (其中,s 表示 sin),

    (4). f(x) 称为 f(x) 的“反傅立叶正弦变换” (其中,c 表示 cos),

    (5). 它们在某些应用中仍然是首选,例如信号处理或统计。

    (ex.54)

    ,求其
    (1).傅立叶余弦级数;(2).傅立叶正弦级数。

    Sol:

    (1). 傅立叶余弦转换,

    (2). 傅立叶正弦转换,

    离散傅立叶变换

    (1). 在数字影像处理或通信系统的应用中,所处理的数据都是离散 (非连续) 数值。

    (2). f(x) 是周期为 的周期函数 (0≦x≦2π),对 f(x) N 次相同“间隔点”(是离散数值)的量测,即间隔点为

    k=1, 2, …., N-1,量测到的值是

    注:

    符号上面有箭头,表示其为向量。

    (3). f(x) 的离散傅立叶变换

    ,即

    =

    其中,

    (a).

    NxN 傅立叶矩阵。

    (b).

    a・b 是矩阵行与列位置的相乘,因
    NxN 矩阵,有时候
    會寫成

    (c).

    (d).

    (ex.55) N=4 次量测 (取样值),量到的值为

    ,此离散傅立叶变换为何?

    Sol:

    =
    =

    快速傅立叶变换

    (1). 离散傅立叶变换的矩阵 NxN,若取样点有 1,000 点,其计算时间会很常,此时可以用快速傅立叶变换 (Fast Fourier Transform, FTF) 来解题。

    (2). 快速傅立叶变换是将 N 分成 2 组,即 N=2M 来解。

    (3). 将原向量

    分解成二个包含
    M 个分量的向量,及包含所有的偶数分量
    ,和包含所有的奇数分量

    (注:有顶线的 f 表一向量,而无顶线的 f 表一纯量。)

    (4). 分别对

    计算其离散傅立叶变换,可利用下列公式求得:

    ---(A)

    ---(B)

    (注:上面两个

    是相同的。)

    (5). (A)、(B) 我们可以得到某一组量测点 f 的离散傅立叶变换,即为:

    (ex.56) N=4 次量测 (取样值),量到的值为

    ,此离散傅立叶变换为何?

    Sol: N=4,所以

    ,而
    (M=2)

    =

    (N=4)

    (A) 式得

    (B) 式得

    (C) 式得

    (D) 式得

    Ref.:

    李狗嗨:如何给文科生解释傅里叶变换?zhuanlan.zhihu.com
    87d8e4ba262c9c4ab107fc887e9a818e.png
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  • 在上一篇文章中我们推导了一个周期为t的函数的傅立叶级数展开的复数形式: 在这里可以看到,Cn才是决定函数形状的系数,而它本身则是一个复数。从三维的角度来看,如果以频率w为横轴,cn的实部为纵轴,虚部为纵轴,...

    在上一篇文章中我们推导了一个周期为t的函数的傅立叶级数展开的复数形式:
    在这里插入图片描述
    在这里可以看到,Cn才是决定函数形状的系数,而它本身则是一个复数。从三维的角度来看,如果以频率w为横轴,cn的实部为纵轴,虚部为纵轴,在上面绘制cn大概就长这样:
    在这里插入图片描述
    如果我们对cn进行取模,也就是把纵轴变成虚部和实部的平方和开根,那么这幅三维图就变成了一个函数在各种频率下的振幅,也就是传说中的频谱。

    可以看到,傅立叶级数展开的情况下,频率横轴并不是连续的,而是0,w0,2w0,3w0……是一个差值为w0的等差数列。

    而这个差值w=2pi/T,如果当周期T趋近于无穷大时,差值就会越来越小,直到趋近于0,因此,我们的频谱也就从离散变成了连续,我们的横轴就从nw0变成了w。

    现在,让我们把周期趋近∞带入到傅立叶级数中,推导出无穷周期函数的展开,也就是傅立叶变换,看看是什么样子的在这里插入图片描述
    最终我们得到的式子长这样:

    在这里插入图片描述
    把中间这部分积分,也就是画波浪线的这部分,就是傅立叶变换FT。而外面对FT乘e^iwt再积分然后乘1/2pi这部分,就是傅立叶逆变换iFT。

    至此,我们就完成了傅立叶变换的数学推导。

    总结一下,其实整个推导过程,首先利用三角函数的正交性来构建坐标系,用三角函数来组成任意图形,再利用欧拉公式中三角函数和指数的关系,把三角函数替换成复指数形式,最后利用极限思想推导出周期无穷大,也就是非周期函数的变换。并不复杂,抽象能力比较强的同学可以从三维空间去发散想象一下这个变换过程在图形上长什么样。

    最后我们再来谈论一下傅立叶变换的应用,算是杂谈。

    傅立叶变换最主要的作用是滤波。在硬件电路上,一些电信号有一些低振幅的噪音,如果我们对这个信号进行傅立叶变换,找到噪音的频率,然后就可以设计对应截止频率的滤波器了。

    再比如,一个声音信号,我们想要声音变得更尖锐一些,我们可以去除其中的低频信号,加强高频信号,或者将整体的频率都提高一些。

    还有雷达测速,大家可以参考我之前一篇多普勒雷达工程的文章,就是使用快速傅里叶变换找出信号中最大振幅的频率,再换算成对应的速度。

    当然,更复杂一点的应用比如对一个信号和一个系统的脉冲响应做卷积,就可以得到这个信号经过这个系统过后的样子。比如,把一个人的歌声和浴室的脉冲响应做卷积,就可以得到这个人在浴室里唱歌的声音了。这也是自控中非常重要的一个知识点和应用。

    在之后的文章中,我会探讨傅立叶变换的一些性质,而这些性质可以帮助我们大大减少计算量,同时开始慢慢步入到三大变换和各类系统之间的联系。

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  •  傅里叶级数傅里叶变换、离散傅里叶变换、短时傅里叶变换。。。这些理解和应用都非常难,网上的文章有两个极端:“Esay” Or “Boring”!如果单独看一两篇文章就弄懂傅里叶,那说明你真的是大神了。  本博文是...

    说明:

      傅里叶级数、傅里叶变换、离散傅里叶变换、短时傅里叶变换。。。这些理解和应用都非常难,网上的文章有两个极端:“Esay”  Or  “Boring”!如果单独看一两篇文章就弄懂傅里叶,那说明你真的是大神了。

      本博文是经过查阅网上几十篇大神的博客、文章、书籍等进行的一个汇总,希望对初学者和我自己一个入门和总结,所以本博文并非原创,抄袭+汇总+修改+总结

    主要参考:

      1.傅里叶变换到小波变换的风趣讲解:https://zhuanlan.zhihu.com/p/22450818

      2.一篇外文的翻译者,讲的非常好,本博文大部分基于此大神的翻译进行的部分优化:http://blog.csdn.net/dznlong

      3.风趣幽默的讲解傅里叶的由来和一些基础:https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358

      4.网上很多人都基于这篇外文进行的翻译和总结:http://www.dspguide.com/ch8/5.htm,外文得FQ,这里下载之后供大家下载:

      5.扬州大学的一个PPT讲解傅里叶级数推导,原地址不知道在哪,这里给出好心人上传的百度地址:https://wenku.baidu.com/view/67a0cccdda38376baf1faec4.html

      6.百度文库关于傅立叶级数到傅立叶变换的详细描述:https://wenku.baidu.com/view/365c63740b4c2e3f57276383.html

      7.参考的博文在这里或者博文结尾给出,文中直接引用将不再进行说明,请见谅!


    一.风趣理解傅立叶级数

      废话先不说,直接看维基百科的几个图片,很容易发现sin(x)和cos(x)可以组合成无穷多种函数,傅立叶级数也是基于此而进行的。

      是不是直接可以很直观的理解傅立叶的思路?想看具体的推导公式请看下一节~~

     

    二.傅立叶级数的理论理解

      2.1函数的正交性

        首先明白一个概念,什么叫“正交性”?

        我们应该想到向量的正交:如下图所示,

    正交,在数学上的表达就是点积为0.    

        那么我们所有的向量都可以用这个

    为基去表示:

        由向量的正交性定义,我们引出函数的正交性--->>>

        不想手打字了,重复造轮子没意义。

        以下是三角函数属于正交函数集的证明:(有时间就了解一下,这个知道就行)

        如果想继续了解正交分解多少个N合适,那么请参考“巴塞瓦尔公式”,这里不做详细解释:https://wenku.baidu.com/view/911f5d67ddccda38376baf41.html

      2.2傅立叶级数的正余弦形式

        好了,有了上面的正交函数的来源,接下来就开始利用Sin(x)和Cos(x)代替一个复杂的函数了。

        第一种表示

        上面说了那么多其实就是为了得出傅立叶级数和求解傅立叶参数!

          第二种表示:(

    )

            由以上的推到和分析得到傅立叶级数可表示为如下方程,其中 

    表示角频率,周期为T,
    表示原始的角度。

            我们可以根据三角函数的关系,把上面的式子都换成cos或者sin的样式:

            合并之后的另一种表达式如下:

             第三种表示

            再由第二种表示傅立叶函数如下所示,

    角频率,周期T,其它参数见上图!

            现在不用角频率去表示,而是用频率f表示函数,大家都知道

    ,所以得到如下傅立叶公式:

        你也许会问,这么多表示方法有什么用?一个物体是不变的,但是从不同的角度分析得有不同的表示方法,便于理解!

      2.3复数的含义和欧拉公式

        2.3.1复数的提出

          在此,先让我们看一个物理实验:把一个球从某点向上抛出,然后根据初速度和时间来计算球所在高度,这个方法可以根据下面的式子计算得出:

          其中h表示高度,g表示重力加速度(9.8m/s2)v表示初速度,t表示时间。现在反过来,假如知道了高度,要求计算到这个高度所需要的时间,这时我们又可以通过下式来计算:

          经过计算我们可以知道,当高度是3米时,有两个时间点到达该高度:球向上运动时的时间是0.38秒,球向下运动时的时间是1.62秒。但是如果高度等于10时,结果又是什么呢?根据上面的式子可以发现存在对负数进行开平方运算,我们知道这肯定是不现实的。第一次使用这个不一般的式子的人是意大利数学家Girolamo Cardano(1501-1576),两个世纪后,德国伟大数学家Carl Friedrich Gause(1777-1855)提出了复数的概念,为后来的应用铺平了道路,他对复数进行这样表示:复数由实数(real)和虚数(imaginary)两部分组成,虚数中的根号负1i来表示(在这里我们用j来表示,因为i在电力学中表示电流的意思)。

          我们可以把横坐标表示成实数,纵坐标表示成虚数,则坐标中的每个点的向量就可以用复数来表示,如下图:

          上图中的ABC三个向量可以表示成如下的式子:

    A = 2 + 6j

    B = -4 – 1.5j

    C = 3 – 7j

          这样子来表达方便之处在于运用一个符号就能把两个原来难以联系起来的数组合起来了,不方便的是我们要分辨哪个是实数和哪个是虚数,我们一般是用Re( )Im( )来表示实数和虚数两部分,如:

    Re A = 2      Im A = 6

         Re B = -4     Im B = -1.5

      Re C = 3      Im C = -7

          复数之间也可以进行加减乘除运算:

          这里有个特殊的地方是j2等于-1,上面第四个式子的计算方法是把分子和分母同时乘以c – dj,这样就可消去分母中的j了。

          复数也符合代数运算中的交换律、结合律、分配律:

    A B = B A

     (A + B) + C = A + (B + C)

    A(B + C) = AB + AC

        2.3.2复数的极坐标表示形式

          前面提到的是运用直角坐标来表示复数,其实更为普遍应用的是极坐标的表示方法,如下图:

          上图中的M即是数量积(magnitude),表示从原点到坐标点的距离,θ是相位角(phase angle),表示从X轴正方向到某个向量的夹角,下面四个式子是计算方法:

          我们还可以通过下面的式子进行极坐标到直角坐标的转换:

    a + jb = M (cosθ + j sinθ)

          上面这个等式中左边是直角坐标表达式,右边是极坐标表达式。

        2.3.3欧拉公式的引出

          还有一个更为重要的等式——欧拉等式(欧拉是瑞士的著名数学家,Leonhard Euler1707-1783):

    ejx = cos x  +  j sin x

          这个等式可以从下面的泰勒级数变换中得到证明: 

          泰勒级数在x=0处的展开如下:

          指数函数在x=0处的泰勒级数如下:

          复数指数函数在x=0处的泰勒展开,再进行分割成sin和cos在x=0处的级数如下:

          其中sin(x)、cos(x)的泰勒级数展开如下:

          上面中右边的两个式子分别是cos(x)和sin(x)的泰勒(Taylor)级数:        ejx = cos x  +  j sin x

          这样子我们又可以把复数的表达式表示成指数的形式了:

    a + jb = M e jθ (这便是复数的两个表达式)

          指数形式是数字信号处理中数学方法的支柱,也许是因为用指数形式进行复数的乘除运算极为简单的缘故吧:

      2.4傅立叶级数的复数表示

        由欧拉函数的式子可以推到处sin和cos用指数表示的方程:

        转换之后如下所示:

        则我们就可以把上面的第二种表示转化为指数的表示:

      2.3傅立叶级数的频谱图

        注释:想要具体了解特点以及证明为什么收敛等,请看:

           这不是我们的重点,想看的朋友也没必要细入--

                              https://wenku.baidu.com/view/911f5d67ddccda38376baf41.html

                              https://wenku.baidu.com/view/365c63740b4c2e3f57276383.html

           2.3.1频谱图含义

            频谱图顾名思义,就是傅立叶级数之后得到的频率和相位图,我们得到这些信息之后肯定想可视化去观察才能得出有用的信息,所以引出这一小节。

            咱们还是引用维基百科网上一位大神的图去体现:

            幅度值-频率图

    (由于n>0故称此为单边频谱图)
    或者 
    (由于绝对值里面可正负,所以称为双边频谱图)

            相位-频率图  :

            具体求法上一节已经说过了,这里不再赘述!

    频率振幅图

    时域、频域、相位图

              2.3.2傅立叶级数的频谱图特点

    三.参考文章

        类似我这种参考别人然后一个总结,说的不是很详细:http://blog.csdn.net/znculee/article/details/48291981

       一篇外文,大概看了一点点挺好的:https://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/

       文中的公式编辑器:http://private.codecogs.com/latex/eqneditor.php

       部分参考博文开头已经给出,如果有参考没有给出地址的,请告知立马改正!

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傅里叶级数指数展开