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  • 傅里叶级数的数学推导

    千次阅读 2018-11-04 22:14:36
    傅里叶级数的数学推导    首先,隆重推出傅里叶级数的公式,不过这个东西属于“文物”级别的,诞生于19世纪初,因为傅里叶他老人家生于1768年,死于1830年。  但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、...

    傅里叶级数的数学推导

     

      首先,隆重推出傅里叶级数的公式,不过这个东西属于“文物”级别的,诞生于19世纪初,因为傅里叶他老人家生于1768年,死于1830年。

      但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用,这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍,动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”,弄一长串公式,让人云山雾罩。

      如下就是傅里叶级数的公式:

      傅里叶级数的数学推导

      不客气地说,这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”,而且来历相当蹊跷,不知那个傅里叶什么时候灵光乍现,把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式,就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和,且每项都有不同的系数,即An和Bn,至于这些系数,需要用积分来解得,即②③④式,不过为了积分方便,积分区间一般设为[-π, π],也相当一个周期T的宽度。

      能否从数学的角度推导出此公式,以使傅里叶级数来得明白些,让我等能了解它的前世今生呢?下面来详细解释一下此公式的得出过程:

     

    1、把一个周期函数表示成三角级数:

      首先,周期函数是客观世界中周期运动的数学表述,如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等,大多可以表述为:

      f(x)=A sin(ωt+ψ)

      这里t表示时间,A表示振幅,ω为角频率,ψ为初相(与考察时设置原点位置有关)。

     

      然而,世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单,如方波、三角波等。傅叶里就想,能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢?因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是,傅里叶写出下式:(关于傅里叶推导纯属猜想)

       傅里叶级数的数学推导
      这里,t是变量,其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比,5式中多了一个n,且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数,也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看,傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加,这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量(即式中An)、有不同的周期或说是频率(是原周期函数的整数倍,即n)、有不同的初相角(即ψ),当然还有一项常数项(即A0)。要命的是,这个n是从1到无穷大,也就是是一个无穷级数。

        应该说,傅里叶是一个天才,想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为,式子右边一大堆的函数,其实都是最简单的正弦函数,有利于后续的分析和计算。当然,这个式能否成立,关键是级数中的每一项都有一个未知系数,如A0、An等,如果能把这些系数求出来,那么5式就可以成立。当然在5式中,唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数,上式就可以成立,也能计算了。

        于是乎,傅里叶首先对式5作如下变形:

      傅里叶级数的数学推导
      这样,公式5就可以写成如下公式6的形式:

      傅里叶级数的数学推导

      这个公式6就是通常形式的三角级数,接下来的任务就是要把各项系数an和bn及a0用已知函数f(t)来表达出来。

     

    2、三角函数的正交性:

      这是为下一步傅里叶级数展开时所用积分的准备知识。一个三角函数系:1,cosx , sinx , cos2x , sin2x , … , cosnx , sinnx , … 如果这一堆函数(包括常数1)中任何两个不同函数的乘积在区间[-π, π]上的积分等于零,就说三角函数系在区间[-π, π]上正交,即有如下式子:

      傅里叶级数的数学推导

      以上各式在区间[-π, π]的定积分均为0,第1第2式可视为三角函数cos和sin与1相乘的积分;第3-5式则为sin和cos的不同组合相乘的积分式。除了这5个式子外,不可能再有其他的组合了。注意,第4第5两个式中,k不能等于n,否则就不属于“三角函数系中任意两个不同函数”的定义了,变成同一函数的平方了。但第3式中,k与n可以相等,相等时也是二个不同函数。下面通过计算第4式的定积分来验证其正确性,第4式中二函数相乘可以写成:

      傅里叶级数的数学推导
        可见在指定[-π, π]的区间里,该式的定积分为0。其他式也可逐一验证。

     

    3、函数展开成傅里叶级数:

      先把傅里叶级数表示为下式,即⑥式:

      傅里叶级数的数学推导

      对⑥式从[-π, π]积分,得:

       傅里叶级数的数学推导

      这就求得了第一个系数a0的表达式,即最上边傅里叶级数公式里的②式。接下来再求an和bn的表达式。用cos(kωt)乘⑥式的二边得

    傅里叶级数的数学推导

      

      至此,已经求得傅里叶级数中各系数的表达式,只要这些积分都存在,那么⑥式等号右侧所表示的傅里叶级数就能用来表达原函数f(t)。上述过程就是整个傅里叶级数的推导过程。事实上,如果能够写出⑥式,不难求出各个系数的表达式,关键是人们不会想到一个周期函数竟然可以用一些简单的正弦或余弦函数来表达,且这个表达式是一个无穷级数。这当然就是数学家傅里叶的天才之作了,我等只有拼命理解的份了。

     

        综上,傅里叶级数的产生过程可以分为以下三步:

    1、设想可以把一个周期函数f(t)通过最简单的一系列正弦函数来表示,即5式;

    2、通过变形后用三角级数(含sin和cos)来表示;

    3、通过积分,把各未知系数用f(t)的积分式来表达;

    4、最后得到的4个表达式就是傅里叶级数公式。

     

      在电子学中,傅里叶级数是一种频域分析工具,可以理解成一种复杂的周期波分解成直流项、基波(角频率为ω)和各次谐波(角频率为nω)的和,也就是级数中的各项。一般,随着n的增大,各次谐波的能量逐渐衰减,所以一般从级数中取前n项之和就可以很好接近原周期波形。这是傅里叶级数在电子学分析中的重要应用。

     

    转载自: http://blog.sina.com.cn/s/blog_57ad1bd20100txgs.html

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  • 在开始傅里叶变换的推导前,我们先使用欧拉公式把傅里叶级数变成指数形式的,因为指数的积分微分更简单。 关于欧拉公式网上有很多推导视频,如果不想看纯数学推导的同学,可以参考这张图: 这个螺旋前进的轨迹,从...

    上一篇文章简单介绍了傅里叶级数,这一篇我们将傅里叶级数进行复数形式的推导,把公式里的三角函数全部转化为指数,进而得到傅里叶变换。

    在开始傅里叶变换的推导前,我们先使用欧拉公式把傅里叶级数变成指数形式的,因为指数的积分微分更简单。

    在这里插入图片描述
    关于欧拉公式网上有很多推导视频,如果不想看纯数学推导的同学,可以参考这张图:
    在这里插入图片描述
    这个螺旋前进的轨迹,从侧面看是三角函数,从复数域看是个圆。因此,这个螺旋前进的轨迹从不同方向看,蕴含了不同的信息。把自然底数e,虚数i,π,0,和1紧密地联系了起来,可以说是一个公式就描述了数学世界的底层逻辑,非常简洁优美。

    正所谓横看成岭侧成峰,我们的傅里叶变换也是如此,一个信号从时域看和从频域看是截然不同的,但时域频率又紧密相关。

    就像欧拉公式把三角函数转变成圆一样,我们也可以通过数学手段将时域转变为频域。甚至发散一下,我们可以从三维空间去绘制一个螺旋前进的轨迹来综合描述三角函数和圆,那么我们也可以从三维空间去绘制一个图来综合描述频域和时域。这就是三大变换中的拉普拉斯变换,它不仅展现了一个信号的频率组成,同时还展现了一个信号的过去未来的变化趋势。

    当计算速度足够快时,我们可以对这个世界所有的东西进行变换,得到它本身的频率,响应等等。神话中佛陀手指一掐可知过去未来,其实把佛陀看作是一台超算加各类感应器,科技修仙不是问题。

    好,现在将欧拉公式代入傅里叶级数,得到指数形式的公式:
    在这里插入图片描述
    推导到这里卡住了,接下来要用亿一点点数学手段。

    注意观察此式,n从1到正无穷的式子有两个,我们令最后一项中的n=-n,这一项就变成了:
    在这里插入图片描述
    注意,这一项实际并没有改变,-n只是一个符号,做这样的变换只是为了方便我们进行合并而已。

    现在负无穷到-1,1到正无穷都有了,还差一个0我们就可以进行合并了。

    所以,我们对a0/2进行以下改写:
    在这里插入图片描述
    注意因为n=0,所以指数部分为1,这就成立了。

    好,现在三项就是从负无穷到正无穷的n为整数的求和:
    在这里插入图片描述
    这就是傅里叶级数的指数形式,当然,还不是最简,让我们进一步化简:

    在这里插入图片描述
    把a0,an和bn分别代入到Cn中,我们先计算Cn(n=0)是多少:
    在这里插入图片描述
    再是Cn(n>0):
    在这里插入图片描述
    括号中的三角函数,我们根据奇偶性进行正负的转变,然后发现这就是欧拉公式中的内容,可以转化为指数:
    在这里插入图片描述
    所以Cn(n>0)化简下来就是:
    在这里插入图片描述
    同样的方法我们再推到n<0的情况:
    在这里插入图片描述
    最后的结果令人感到振奋,n<0和n>0的化简结果竟然是一样的!而且不要忘了,在n=0时,我们也可以写作这个形式,因为e的0次方等于1!

    所以,当我们使用欧拉公式对傅里叶级数进行转换时,发现只用指数形式只需要一个式子就可以描述整个傅里叶级数!!而且微积分都非常便于计算!

    总结一下:在这里插入图片描述
    这就是一个周期为T的函数的傅里叶级数展开,十分的简洁明了。而当T趋近于无穷时,我们就得到了傅里叶变换。

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  • 傅立叶推导的平方函数
  • 三角形式傅里叶级数详细推导过程

    千次阅读 2019-01-28 22:24:05
    特点:信号时域累加,系数 积分,关心的是 系数,后续再引出 指数形式的,二者的关系是 欧拉公式。 我的微信公众号: xiaoshi_IC,小石谈IC,近期已完成了PCB系列,后续后续会逐步完成 IC版图,F...

    对比:

    周期信号 ----> 傅里叶级数

    非周期信号 ----> 傅里叶变换

    本节先引出 周期信号,那自然是 傅里叶级数

    特点:信号时域累加,系数 积分,关心的是 系数,后续再引出 指数形式的,二者的关系是 欧拉公式。

    在这里插入图片描述

    我的微信公众号: xiaoshi_IC,小石谈IC,近期已完成了PCB系列,后续后续会逐步完成 IC版图,FPGA设计,信号完整性,IC设计,通信原理系列,做开源的微电子,电子公众分享,坚持做有价值的分享,欢迎持久关注。该公众号内容同步分享 csdn,B站,知乎,youtube等,用户搜索相关的文章标题,即可很方便找到,同步更新。

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  • 在第2课中,我们有以下推导 首先我们知道傅里叶级数就是能通过不同频率的三角函数组合起来的数学表达式: $S_n(t) = \frac{a_0}{...它能通过推导得到以下复指数形式 $S_n(t) = \displaystyle{\sum^n_{k=-n}C_ke^{...

    第2课中,我们有以下推导

    首先我们知道傅里叶级数就是能通过不同频率的三角函数组合起来的数学表达式:

    $S_n(t) = \frac{a_0}{2}+\displaystyle{\sum^n_{k=1}}(a_kcos(2\pi kt)+b_ksin(2\pi kt))$

    它能通过推导得到以下复指数形式

    $S_n(t) = \displaystyle{\sum^n_{k=-n}C_ke^{2\pi ikt} }$

    而其中的傅里叶系数$C_k$被推导出有以下形式

    $C_k = \displaystyle{\int_{0}^{1}}e^{-2\pi ikt}S_n(t)dt$

     

     

     

    下面讨论看看,是否任何周期为1的信号$f(t)$都能表现成这种傅里叶级数的形式。

    首先$f(t)$的傅里叶系数是可以求的

    $C_k = \displaystyle{\int_{0}^{1}}e^{-2\pi ikt}f(t)dt$

     

    现在我们把求得的这个傅里叶系数通过傅里叶级数的方式组合,组合成一个新的函数$S_n(x)$,然后判断这个新组合成的函数是不是原函数$f$

    $\begin{align*}
    S_n(x)&=\sum_{k=-n}^nC_ke^{2\pi ikx}\\
    &=\sum_{k=-n}^n\left(\int_0^1e^{-2\pi ikt}f(t)dt\right)e^{2\pi ikx}\\
    &=\int_0^1\left(\sum_{k=-n}^{n}e^{-2\pi ikt}e^{2\pi ikx}\right)f(t)dt\\
    &=\int_0^1\left(\sum_{k=-n}^{n}e^{-2\pi ik(t-x)}\right)f(t)dt\\
    &=\int_0^1\left(\sum_{k=-n}^{n}e^{2\pi ik(t-x)}\right)f(t)dt\\
    &=\int_0^1\left(e^{-2\pi in(t-x)}+...+e^{-2\pi i(t-x)}+e^0+e^{2\pi i(t-x)}+...+e^{2\pi in(t-x)} \right)f(t)dt\\
    &=\int_0^1\left(1+2cos(2\pi(t-x))+...+2cos(2\pi n(t-x))\right)f(t)dt\qquad(Eular\ Formula)\\
    &=\int_0^1\left(2\left(1+cos(2\pi(t-x))+...+cos(2\pi n(t-x))\right)-1\right)f(t)dt\\
    &=\int_0^1\left(2Re\left\{\sum_{k=0}^ne^{2\pi ik(t-x)}\right \}-1\right)f(t)dt\qquad(Eular\ Formula)\\
    &=\int_0^1\left(2Re\left\{\frac{1-e^{2\pi i(n+1)(t-x)}}{1-e^{2\pi i(t-x)}}\right\}-1\right)f(t)dt\qquad(Exponential\ Sum\ Formula)
    \end{align*}$

    $\begin{align*}
    \qquad \ &=\int_0^1\left(2Re\left\{\frac{e^{-\pi i(t-x)}-e^{2\pi i(n+\frac{1}{2})(t-x)}}{e^{-\pi i(t-x)}-e^{\pi i(t-x)}}\right\}-1\right)f(t)dt \qquad (The\ numerator\ and\ denominator \times e^{-\pi i(t-x)})\\
    &=\int_0^1\left(2Re\left\{\frac{cos(-\pi i(t-x))+isin(-\pi i(t-x))-cos(2\pi i(n+\frac{1}{2})(t-x))-isin(2\pi i(n+\frac{1}{2})(t-x))}{-2isin(\pi(t-x))}\right\}-1 \right )f(t)dt\\
    &\qquad (Eular\ Formula)\\
    &=\int_0^1\left(2Re\left\{\frac{icos(-\pi(t-x))-sin(-\pi(t-x))-icos(2\pi(n+\frac{1}{2})(t-x))+sin(2\pi(n+\frac{1}{2})(t-x))}{2sin(\pi(t-x))} \right\}-1 \right )f(t)dt \\
    &\qquad (The\ numerator\ and\ denominator \times i)\\
    &=\int_0^1\left(2\times\frac{sin(\pi(t-x))+sin(2\pi(n+\frac{1}{2})(t-x))}{2sin(\pi(t-x))}  -1\right )f(t)dt\\
    &=\int_0^1\left(\frac{sin(2\pi(n+\frac{1}{2})(t-x))}{sin(\pi(t-x))}\right)f(t)dt
    \end{align*}$

     

    现在令$P_n(u) = \frac{sin(2\pi(n+\frac{1}{2})u)}{sin(\pi u)} $,则有

    $\begin{align*}
    S_n(x) &= \int_0^1 P_n(t-x)f(t)dt\\
    &=\int_{0-x}^{1-x}P_n(u)f(u+x)du \qquad letting\ u=t-x\\
    &=\int_0^1P_n(u)f(u+x)du \qquad f\ and\ P_n\ is\ period\ of\ 1
    \end{align*}$

     

    在上面的推导过程中我们也知道

    $P_n(u) = 1+2cos(2\pi u)+...+2cos(2\pi nu)$

     

    对$P_n(u)$在$(0,1)$区间进行积分,对1积分得1,对右边的三角函数进行积分得0,因此

    $\displaystyle{\int_0^1 P_n(u)du =1}$

     

    那么就有

    $\displaystyle{\int_0^1 P_n(u)f(x)du = f(x)}$

     

    这意味着我们只需要证明

    $\displaystyle{ \int_0^1P_n(u)f(u+x)du  \ \rightarrow  \ \int_0^1 P_n(u)f(x)du }$

     

    就能证明任何函数都能写成傅里叶级数的形式

    $\begin{align*}
    & \quad \ \int_0^1P_n(u)f(u+x)du  \ \rightarrow  \ \int_0^1 P_n(u)f(x)du \\
    & \Rightarrow \int_0^1 P_n(u)\left(f(u+x)-f(x)\right)du \ \rightarrow \ 0
    \end{align*}$

     

    我们对这个式子进行展开

    $\begin{align*}
    &\quad \int_0^1 P_n(u)\left(f(u+x)-f(x)\right)du\\
    &=\int_0^1\frac{sin(2\pi(n+\frac{1}{2})u)}{sin(\pi u)}(f(u+x)-f(x))du\\
    &=\int_0^1\frac{f(u+x)-f(x)}{sin(\pi u)}sin(2\pi(n+\frac{1}{2})u)du\\
    \end{align*}$

     

    根据Riemann-Lebesgue Lemma,只要有两个条件,这个式子就等于$0$

    • $\frac{f(u+x)-f(x)}{sin(\pi u)}$在[0,1]内可积
    • $n\rightarrow \infty$

     

    我们只需要证明$\frac{f(u+x)-f(x)}{sin(\pi u)}$在$[0,1]$内是可积的,其中$u$是变量。

    其实只要$f(x)$在$[0,1]$内是可积的,$\frac{f(u+x)-f(x)}{sin(\pi u)}$就是可积的,因为我们在$(0,1)$中的任意点处都能得到$f(u+x)-f(x)$以及$sin(\pi u)$的确切值。而在$0$点处,由于此时分母$sin(\pi u)$变为0了,需要另外讨论

    $\begin{align*}
    &\quad \lim_{u\rightarrow 0}\frac{f(u+x)-f(x)}{sin(\pi u)}\\
    &=\lim_{u\rightarrow 0}\frac{1}{\pi}\frac{f(u+x)-f(x)}{u}\frac{\pi u}{sin(\pi u)}\\
    &=\frac{1}{\pi}f'(0) \qquad \left(\lim_{u\rightarrow 0} \frac{\pi u}{sin(\pi u)} = 1 \right )
    \end{align*}$

     

    $\frac{f(u+x)-f(x)}{sin(\pi u)}$在$0$点处是收敛于$\frac{1}{\pi}f'(0)$的,这就证明了$\frac{f(u+x)-f(x)}{sin(\pi u)}$在$[0,1]$内是可积的。

     

    因此,对于在[0,1]区间内可积的周期为$1$的函数$f(t)$,都是可以用傅里叶级数的形式表达的,当然条件是傅里叶系数有无限多个,即$n \rightarrow \infty$

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  • 傅里叶级数推导

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傅里叶级数指数形式推导