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  • 最小二乘法求解傅里叶级数系数 **自己推导的,如有错误,请大家批评指出 ** 题目 Solution

    最小二乘法求解傅里叶级数系数

    自己推导的,如有错误,请大家批评指出,谢谢!

    题目

    在这里插入图片描述

    Solution

    要求解x^\hat{x}, 相当于找到一个合适的x^\hat{x}使得估计的测量误差Hx^zH\hat{x}-z最小。
    可以采用欧几里得范数Hx^z|H\hat{x}-z|来表征估计误差,或者等价采用其平方形式 ε2(x^)=Hx^z2=Σi=1m[Σj=1nhijxj^zi]2\varepsilon^2(\hat{x})=|H\hat{x}-z|^2 = \Sigma^{m}_{i=1}[\Sigma^{n}_{j=1}h_{ij}\hat{x_j}-z_i]^2
    该微分函数在所有关于xk^\hat{x_k}的导数等于零的点取得最小值。对xkx_k求偏导即可。

    在这里插入图片描述

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  • 傅里叶级数展开及系数求解

    千次阅读 2019-10-28 19:19:17
    如果一个函数的傅里叶级数处处收敛于 f(x)f(x)f(x),则称这个级数是这个函数的傅里叶展开式,即: f(x)=a02+∑n=1∞an(cos⁡nx+bnsin⁡nx),x∈[−π,π] f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infin}a_{n}(\cos{nx}+b_...

    对于一个周期函数 f(x)f(x): 若满足狄利克雷条件,即在一个周期中,只有有限个第一类间断点以及有限个极值点,则这个函数可以展开成傅里叶级数,若这个傅里叶级数处处收敛于 f(x)f(x),则称这个级数是这个函数的傅里叶展开式,即:
    f(x)=a02+n=1(ancosnx+bnsinnx),x[π,π] f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infin}(a_{n}\cos{nx}+b_{n}\sin{nx}),\quad x\in[-\pi,\pi]
    其中:
    {a0=1πππf(x)dxan=1πππf(x)cosnxdxbn=1πππf(x)sinnxdx \begin{cases} & a_{0}=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)dx \\\\ & a_{n}=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)\cos{nx}dx \\\\ & b_{n}=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)\sin{nx}dx \end{cases}

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  • 前面花了两章的时间,从纯数学的角度证明了连续周期信号的傅里叶级数求解,以及如何用级数表达出原先的信号。系列(1)从0开始花了很大的篇幅讲了三角级数。技术派到了中年:傅里叶变换系列学习(1)----从线性变换...

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    前面花了两章的时间,从纯数学的角度证明了连续周期信号的傅里叶级数求解,以及如何用级数表达出原先的信号。

    系列(1)从0开始花了很大的篇幅讲了三角级数。

    技术派到了中年:傅里叶变换系列学习(1)----从线性变换说起zhuanlan.zhihu.com

    系列(2)在系列(1)的基础上,把信号分解拓展到了复数领域,复信号看上去更简单一些。

    技术派到了中年:傅里叶变换系列学习(2)----复信号的傅里叶级数zhuanlan.zhihu.com

    前面主要处理的是连续周期信号,对应的是,傅里叶级数 Fourier Series,英文简写就是FS。今天继续从纯数学的角度证明一下其他类型的傅里叶变换。下面用表格概括的介绍其他类型的变换。

    1. FT(Fourier Transform)

    有的地方也称之为CTFT(Continuous Time Fourier Transform),处理的时连续周期信号。

    先抛公式,正变换:

    逆变换:

    对于非周期函数,数学上的处理是,假设函数的周期为T,然后让T趋向于无穷大的,我们这边做类似的动作。根据系列(2), 我们可以得到正变换如下:

    ,即

    再根据系列(2)里面的反变换公式,我们可以得到:

    时,
    ,上面的求和就变成了高度为
    ,宽度为
    的小矩形累计求面积,其中的自变量k从
    变到
    变成了连续变量,记为
    ,

    求极限

    得证。

    2. DFS(Discrete Fourier Series)

    DFS处理的是离散周期信号,信号周期是N,序列满足x[n]=x[n+rN],其中n,r,N都是整数。

    在连续域,我们的基是

    ,其中k是整数,一直变化对应到不同的基,
    是周期,t是连续的时间变量。这是我们第一次处理离散信号,离散信号的周期变成了N,连续的时间信号t换成离散的序列n,这样我们的基就变成了

    DFSFS如出一辙,先回顾一下FS

    正变换:

    逆变换:

    到了离散域,把积分换成求和,基变换一下即可,先跟公式,然后证明。

    离散域通常用大写字母序列表示正变换结果,小写字母序列表示原信号。

    正变换:

    逆变换:

    证明,使用内积公式

    得证。so easy!

    请注意,有的地方是这样写的:

    正变换:

    逆变换:

    事实上,这一组变换,跟上面的一组,最终结果是一样的,区别在于归一化因子在不同的域,不影响全局。更有其他的表达式如下:

    正变换:

    逆变换:

    仔细看一下,其实,最终的表达是都是一样的,差异只是在于归一化因子在不同的域。

    3. DTFT(Discrete Time Fourier Series)

    严格来说,DTFT处理的是离散时间序列信号,这种信号在时间上是离散的,但是信号的幅度是可以任意值,也就是说没有量化,还不是数字信号。非严格的场合,可以认为它是离散信号,并且是非周期信号。

    对于非周期信号,我们完全可以参考FT或者是CTFT的变换。

    对于FT的正变换公式

    离散序列不能积分,所以把积分换成求和,f(t)换成x[n],另外把连续时间t换成离散序列n即可

    正变换 :

    逆变换:

    值得注意的是,DTFT的正变换,其结果是连续的。

    证明略。

    4. DFT(Discrete Fourier Transform)

    DFT才是我们耳熟能详的变换,DFT处理的是非周期离散信号,这样的信号计算机比较容易处理,我们再看看DTFT,正变换产生了连续信号,这个不利于计算机处理。为了方便计算机处理,必须让正变换的结果也是离散值,这一点DFS正满足。DFS应对的是周期离散信号,正变换后的序列也是周期离散的。前面我们提到,对于非周期信号,数学家总是先假设其周期为T,然后取极限,让T趋向于无穷大,这样得到了非周期信号的变换结果。细心的你,可能已经发现,非周期信号的变换结果,都是连续的,连续信号对于CPU来说,不是一个好东西。

    所以,数学家在这次处理非周期信号的时候,采用了不同的方法。这次的方法是对非周期信号做周期延拓,这样不就变成DFS了吗,还要DFT做什么呢。别急,DFS变换后是周期离散信号,但是DFT只取DFS变换后的一个周期。DFT在处理的时候投机取巧,方便了计算机处理,所以我们通常听得比较多的就是DFT

    另外,DFT也可以从DTFT抽样过来,DTFT作为连续信号,均匀采样N个点,就变成DFT了。

    DFT的变换可以原样copy DFS的公式。

    略略略。

    5. FFT(Fast DFT)

    终于讲到FFT了,FFTDFT的快速算法,节约了大量的运算。对于工程领域的同学来说,FFT就是天。没有FFT,啥也没有了。有了FFT,才使得DFT成为可能。

    DFT的运算级别是

    量级的,
    FFT的运算级别是
    级别的,看上去差别好像不是很大,N变大后,差别就非常大了。(
    FFT是基2的,就是说N必须是2的幂次)

    对于动辄1024点或者以上的DFT运算,FFT的出现,使得DFT运算变成了可能。在通信领域,可以说FFT的出现,才使得4G/5G成为可能。

    FFT算法的详细介绍,暂时先放一下,后面会做仔细的描述。

    至此,纯基于数学的傅里叶系列的FS, FT, DFS, DTFT, DFT, FFT基本介绍完成,下一章,我们从其他角度再分辨。

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  • ——————评论区小伙伴的补充——————感谢评论区的朋友 @摩天轮1111 指出合成公式的满足条件,在特定情况下合成公式不一定成立。...原答案解释了傅里叶级数分析公式(傅里叶系数求解公式)的由来...

    ——————评论区小伙伴的补充——————

    感谢评论区的朋友 @摩天轮1111 指出合成公式的满足条件,在特定情况下合成公式不一定成立。具体的内容大家可以翻看评论区,原答案中我已补充这个条件

    ——以下是更新答案,非通信专业请直接跳过——

    啊呀呀,点赞的人数有好几十,我很感动啊 ,于是决定更新点新的内容,也是答主最近学到的一点东西,就拿出来卖弄啦。

    原答案解释了傅里叶级数分析公式(傅里叶系数求解公式)的由来,但是没有解释其物理意义,本次更新打算讲解一下傅里叶级数分析公式的物理意义。首先,这是余弦三角函数形式的傅里叶级数

    这是合成公式:

    这是分析公式(n≠0):

    这个分析公式同样可以通过原答案的方法求出,在此就不赘述了。通过正交以及消项的方法,我们求出了上述公式,但是这个公式有什么物理意义呢?我觉得可以从两个方面解释。

    1.相关运算的角度

    互相关函数是计算两个信号时域波形相关性的一种方法

    周期信号互相关函数的公式定义如下,可看做f1(t)与f2(-t)的卷积

    这个卷积的过程反应了互相关函数的物理意义,即f1(t)不动,f2(t)在时域上不断移位再与f1(t)对位相乘再相加,反应f1(t)与f2(t)在不同时间位置上的相关性。

    当τ=0时,该互相关函数转化为互相关系数,反应f1(t)与f2(t)在原点位置上的相关性(具体内容可搜索相关函数的相关内容)

    那么这个式子和傅里叶级数是不是很像呢?

    实际上如果我们把f2(t)换成cosnwot就可以得到:

    这个公式与我们上述定义的傅里叶级数分析公式只有常数倍数上的一点差异(目前我还没有找到特别合理的数学解释的原因,我个人认为无关紧要,因为如果是复指数形式的傅里叶级数分析公式,系数就完全相同了),所以可以看出,傅里叶级数分析公式某种意义上是在求信号与不同频率谐波的相似性,其求出的傅里叶系数某种意义上就是相关系数。

    2.从线性空间基函数的角度说明:

    这个也是原答案的讲解思路。不同频率的余弦函数在线性空间上正交,构成一组完备正交基。从合成公式上看:

    可看出cn是每个基函数前面的系数,那么从线性组合的角度上解释,cn就应该是f(t)在每个线性基地分量上的投影大小,实际上也确实如此。

    那么我们回顾一下投影定理,a在x上的投影ax为

    我在原答案中证明了一件事情,即两个周期函数在一个周期内的积分可以看做两个线性空间向量的点乘。在此再证明一下

    那么,我们回归傅里叶级数分析公式,可见其分子就是f(t)与cosnwot的点乘。所以傅里叶级数的另一个物理意义(最为重要,也是傅里叶变换的物理意义)就是原函数在各组基函数上的投影大小。

    至此,本答案更新结束,随着学习的深入,了解了很多,但是也仍然有很多的问题,希望广大大佬,老师,同学批评指正,也谢谢大家对本答案的支持

    ——————以下是原答案——————

    说说我对于傅里叶级数的理解吧。

    1.傅里叶级数定义:

    傅里叶级数应该和泰勒级数一样,是为了简化复杂函数的分析过程而提出的一种数学方法。如果要说明傅里叶级数的系数到底怎么求解,那就先从傅里叶级数的定义开始吧,傅里叶级数最早提出是想用三角函数的线性组合去表达一个复杂函数,既然是线性组合,根据线性代数的理论来说,我们最好用彼此线性无关的量去线性表示另一个量,这种情况下会比较方便,而三角函数系的正交性正好满足彼此无关这一个条件。那么三角函数的正交到底是什么意思呢?

    *三角函数系的正交

    相量的正交在线性代数的理论中有非常完整简洁的定义,两个相量点积之后结果为0即说明两相量正交,比如相量a(a1,a2,a3)与相量b(b1,b2,b3)正交,则a1b1+a2b2+a3b3=0,可以看出相量的点积其实是对应分量相乘再累加的过程,而这种关系与连续函数的正交定义是有密切联系的,三角函数系的正交定义,比如cosx,与sinx正交,则写成

    而其实积分的过程可以看做cosx和sinx分别在某个点的取值后相乘再对应累加(积分),说具体些,假设我这里积分周期选择0-T,定义一个无穷小的数ξ,则积分可以近似看做

    可以看出来这种关系与相量正交的形式是相同的,所以可以认为两个函数相乘积分结果为0则两函数正交。而可以证明三角函数系的正交关系,无论是

    sinnx还是cosnx都与除了它本身外的任意三角函数正交。

    那么现在回到傅里叶级数,既然三角函数系彼此正交,把三角函数系看成一个相量空间就变得可行了,所以f(x)(周期为2π)可以做如下拆分(注:此公式仅在满足狄利克雷条件下存在)

    这就是傅里叶级数的合成形式,它的物理意义也是非常明显的,一个周期函数可以拆分成周期为自身整数倍的三角函数的线性组合。

    2.系数求解

    那么说了这么多终于可以回到问题上来了,那么对于上述级数,我们该怎么样求解各个系数呢,这个问题在我学傅里叶级数的时候也一直不能理解,直到最近详细研究了泰勒级数才发现二者的异曲同工,求解系数的方法就是消项,比如对于a0的求解,我们只需要把除了a0以外等式所有的项全部消掉不就可以了吗,那么怎么消呢,很容易,a0是唯一一个不包含三角函数的系数,而其他项的三角函数的周期均为2π(注意:我说的是周期,而不是最小周期,其实cosx的周期是2π,cos2x周期为π,……cosnx的周期为2π/n,不过大家周期的最小公倍数都是2π,所以2π是所有这些三角函数的周期),所以我们只需要对等式两端同时进行-π到π的一个积分,就会只留下a0,处理过程是这样

    这里我要说明一点,很多高数书(例如同济)上的结果与我这里有一处不同,是因为数学数上定义的常数分量是ao/2,而我这里是ao。

    那么ao求出来了,an和bn呢?那么这里就要应用到三角函数系的正交法则,举个例子,比如我们要求解an的值,就意味我们必须把除了an以外所有项都消掉,而an和cosnx相乘,所以我们让整个式子乘上cosnx再积分

    bn的求法雷同。

    另本人水平有限,如果有错误求大神指出,也希望没有误导题主啊

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