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  • 使用jupyter notebook通过单纯形和scipy库对比分析求解线性规划最大值和最优解问题一、单纯形1、单纯形定义2.基本思想3.单纯形的解题步骤二、求解例题1、求解以下约束条件的线性规划的最大值和最优解2....

    一、单纯形法

    1.基本思想

    单纯形法的基本思想是:先找出一个基本可行解,对它进行鉴别,看是否是最优解;若不是,则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别;若仍不是,则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限,故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。 根据单纯形法的原理,在线性规划问题中,决策变量(控制变量)x1,x2,…x n的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。使目标函数达到最大值(或最小值)的可行解称为最优解。这样,一个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值(或最小值)。求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。

    2.单纯形法的解题步骤

    1)把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组,找出基本可行解作为初始基本可行解。
    2)若基本可行解不存在,即约束条件有矛盾,则问题无解。
    3)若基本可行解存在,从初始基本可行解作为起点,根据最优性条件和可行性条件,引入非基变量取代某一基变量,找出目标函数值更优的另一基本可行解
    4)按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件(这时目标函数值不能再改善),即得到问题的最优解。
    5)若迭代过程中发现问题的目标函数值无界,则终止迭代。

    二、求解例题

    1、求解以下约束条件的线性规划的最大值和最优解

    在这里插入图片描述

    2.求解步骤

    1)线性规范-标准化
    以上题目的规范化如下所示:
    引入松弛变量:s1,s2,s3
    在这里插入图片描述
    2)提取系数,填入表格
    初始单纯性表的各个区域属性
    在这里插入图片描述
    区域解答结果:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    s1,s2,s3作为基
    3)求解
    从初始基本可行解X0迭代出另一个基本可行解X1,并判断X1是否
    为最优解。
    在这里插入图片描述
    总结一下步骤:
    第一步,从原来的非基变量中选一个(称为进基变量)使其成为基本变量;
    第二步,从原来的基本变量中选一个(称为离基变量)使其成为新的非基变量,最终求解即可得到结果。

    3.求解结果验证

    1)通过手工推导,上面的最优解为Z=27500
    2)最优解为
    X1=50
    X2=250
    S1=50
    s2=s3=0

    三、通过单纯形法求解线性规划最优解和最大值

    1.新建txt文档,填入线性回归分析标准化模型

    题目中的线性回归分析的标准化模型如下:
    在这里插入图片描述

    2.实现代码

    1)导入需要的库

    import numpy as np
    

    2)定义列出线性回归系数模型函数

    def pivot(d,bn):
        l = list(d[0][:-2])
        jnum = l.index(max(l)) #转入编号
        m = []
        for i in range(bn):
            if d[i][jnum] == 0:
                m.append(0.)
            else:
                m.append(d[i][-1]/d[i][jnum])
        inum = m.index(min([x for x in m[1:] if x!=0]))  #转出下标
        s[inum-1] = jnum
        r = d[inum][jnum]
        d[inum] /= r
        for i in [x for x in range(bn) if x !=inum]:
            r = d[i][jnum]
            d[i] -= r * d[inum]
    

    2)定义更新基变量函数:从一个初始极点出发,不断找到更优的相邻极点,直到找到最优的极点(或极线)

    def solve(d,bn):
        flag = True
        while flag:
            if max(list(d[0][:-1])) <= 0: #直至所有系数小于等于0
                flag = False
            else:
                pivot(d,bn)      
    

    3)定义输出打印结果函数

    def printSol(d,cn):
        for i in range(cn - 1):
            if i in s:
                print("x"+str(i)+"=%.2f" % d[s.index(i)+1][-1])
            else:
                print("x"+str(i)+"=0.00")
        print("objective is %.2f"%(-d[0][-1]))
    

    4)导入线性回归模型、调用函数,求解最优解和最优值

    d = np.loadtxt("回归分析标准化模型.txt", dtype=np.float)
    (bn,cn) = d.shape
    s = list(range(cn-bn,cn-1)) #基变量列表
    solve(d,bn)
    printSol(d,cn)
    

    运行结果:
    在这里插入图片描述

    四、使用python中的scipy库对线性规划的最优解、最大值进行求解

    1.线性回归模型

    在这里插入图片描述

    2.实现代码

    #导入包
    from scipy import optimize
    import numpy as np
    #确定c,A_ub,B_ub
    c = np.array([50,100])
    A_ub = np.array([[1,1],[2,1],[0,1]])
    B_ub = np.array([300,400,250])
    #求解
    res =optimize.linprog(-c,A_ub,B_ub)
    print(res)
    

    运行结果:
    在这里插入图片描述

    五、通过拉格朗日乘子法进行该题求解

    1.完整代码

    #拉格朗日求解线性规划最大值和最优解
    #导入sympy包,用于求导,方程组求解等等
    from sympy import * 
    #设置变量
    x1 = symbols("x1")
    x2 = symbols("x2")
    alpha1 = symbols("alpha1")
    alpha2 = symbols("alpha2")
    alpha3 = symbols("alpha3")
    #构造拉格朗日等式
    L = 50 *x1-100*x2 + alpha1 * (x1+ x2-300) +alpha2 *(2*x1 + x2-400)
    #求导,构造KKT条件
    difyL_x1 = diff(L, x1)  #对变量x1求导
    difyL_x2 = diff(L, x2)  #对变量x2求导
    difyL_alpha2 = diff(L, alpha2)  #对乘子alpha2求导
    dualCpt =alpha1 * (x1+ x2-300)
    #求解KKT等式
    aa = solve([difyL_x1, difyL_x2, dualCpt,difyL_alpha2], [x1, x2,alpha1,alpha2])
    #打印结果,还需验证kkt约束条件
    for i in aa:
        if i[2] >= 0 and i[0]>=0 and i[1]>=0:
            if (i[0]+i[1]-300) <= 0 and (2*i[0]+i[1]-400) <= 0 and (i[0]-250)<=0:
                print(i)
    

    2.运行结果

    在这里插入图片描述

    六、单纯形法和scipy库求解结果对比

    单纯形法:
    在这里插入图片描述
    scipy库:
    在这里插入图片描述
    对比一看,scipy库方法的结果精确到小数点后好几位,但单纯形法就是很完美的整数,更贴近例题而且两者的误差很小。

    展开全文
  • 1、单纯形定义 1)、单纯形 simplex method 求解线性规划问题的通用方法。单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947首先提出来的。它的理论根据是:线性规划问题的可行域是 n维向量空间Rn中的多面凸集,其最优...

    一、单纯形法的简单了解

    1、单纯形法的定义

    1)、单纯形法 simplex method 求解线性规划问题的通用方法。单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。它的理论根据是:线性规划问题的可行域是 n维向量空间Rn中的多面凸集,其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。

    2、单纯形法的基本思路

    1)、单纯形法的基本思想是:先找出一个基本可行解,对它进行鉴别,看是否是最优解;若不是,则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别;若仍不是,则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限,故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。 根据单纯形法的原理,在线性规划问题中,决策变量(控制变量)x1,x2,…x n的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。使目标函数达到最大值(或最小值)的可行解称为最优解。这样,一个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值(或最小值)。求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。

    3、单纯形法的解题步骤

    1)、把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组,找出基本可行解作为初始基本可行解。
    2)、若基本可行解不存在,即约束条件有矛盾,则问题无解。
    3)、若基本可行解存在,从初始基本可行解作为起点,根据最优性条件和可行性条件,引入非基变量取代某一基变量,找出目标函数值更优的另一基本可行解
    4)、按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件(这时目标函数值不能再改善),即得到问题的最优解。
    5)、若迭代过程中发现问题的目标函数值无界,则终止迭代。

    用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。现在一般的线性规划问题都是应用单纯形法标准软件在计算机上求解,对于具有106个决策变量和104个约束条件的线性规划问题已能在计算机上解得。

    4、最优解可能出现的情况

    1)、存在着一个最优解
    2)、存在着无穷多个最优解
    3)、不存在最优解

    不存在最优解只在两种情况下发生,即没有可行解或各项约束条件不阻止目标函数的值无限增大(或向负的方向无限增大)

    二、通过单纯形法求解线性规划最优解和最大值

    1、搭建python环境

    1)、打开Windows终端命令行,输入jupyter notebook,打开我们的jupyter工具,如下所示:
    在这里插入图片描述
    2)、在jupyter的web网页中创建python文件,如下所示:
    在这里插入图片描述
    3)、现在就可以在jupyter的代码行里面输入我们的代码
    在这里插入图片描述
    2、新建txt文档,填入线性回归分析标准化模型
    1)、题目中的线性回归分析的标准化模型如下:
    在这里插入图片描述
    2)、新建txt文档,写入标准化模型系数,如下所示:

    50 100 0 0 0 0
    1 1 1 0 0 300
    2 1 0 1 0 400
    0 1 0 0 1 250
    1
    2
    3
    4
    在这里插入图片描述

    3、编写python代码

    1)、导入需要的库
    import numpy as np
    2)、定义列出线性回归系数模型函数
    def pivot(d,bn):
    l = list(d[0][:-2])
    jnum = l.index(max(l)) #转入编号
    m = []
    for i in range(bn):
    if d[i][jnum] == 0:
    m.append(0.)
    else:
    m.append(d[i][-1]/d[i][jnum])
    inum = m.index(min([x for x in m[1:] if x!=0])) #转出下标
    s[inum-1] = jnum
    r = d[inum][jnum]
    d[inum] /= r
    for i in [x for x in range(bn) if x !=inum]:
    r = d[i][jnum]
    d[i] -= r * d[inum] def pivot(d,bn):
    l = list(d[0][:-2])
    jnum = l.index(max(l)) #转入编号
    m = []
    for i in range(bn):
    if d[i][jnum] == 0:
    m.append(0.)
    else:
    m.append(d[i][-1]/d[i][jnum])
    inum = m.index(min([x for x in m[1:] if x!=0])) #转出下标
    s[inum-1] = jnum
    r = d[inum][jnum]
    d[inum] /= r
    for i in [x for x in range(bn) if x !=inum]:
    r = d[i][jnum]
    d[i] -= r * d[inum]

    2)、定义更新基变量函数:从一个初始极点出发,不断找到更优的相邻极点,直到找到最优的极点(或极线)

    def solve(d,bn):
    flag = True
    while flag:
    if max(list(d[0][:-1])) <= 0: #直至所有系数小于等于0
    flag = False
    else:
    pivot(d,bn)

    3)、定义输出打印结果函数

    def printSol(d,cn):
    for i in range(cn - 1):
    if i in s:
    print(“x”+str(i)+"=%.2f" % d[s.index(i)+1][-1])
    else:
    print(“x”+str(i)+"=0.00")
    print(“objective is %.2f”%(-d[0][-1]))

    4)、导入线性回归模型、调用函数,求解最优解和最优值

    d = np.loadtxt(“D:\my.txt”, dtype=np.float)
    (bn,cn) = d.shape
    s = list(range(cn-bn,cn-1)) #基变量列表
    solve(d,bn)
    printSol(d,cn)

    运行结果如下所示:
    在这里插入图片描述
    上图中,x2、x3、x4对应引入的变量 s1、s2、s3

    4、python整体代码如下所示:
    import numpy as np
    def pivot(d,bn):
    l = list(d[0][:-2])
    jnum = l.index(max(l)) #转入编号
    m = []
    for i in range(bn):
    if d[i][jnum] == 0:
    m.append(0.)
    else:
    m.append(d[i][-1]/d[i][jnum])
    inum = m.index(min([x for x in m[1:] if x!=0])) #转出下标
    s[inum-1] = jnum
    r = d[inum][jnum]
    d[inum] /= r
    for i in [x for x in range(bn) if x !=inum]:
    r = d[i][jnum]
    d[i] -= r * d[inum]
    def solve(d,bn):
    flag = True
    while flag:
    if max(list(d[0][:-1])) <= 0: #直至所有系数小于等于0
    flag = False
    else:
    pivot(d,bn)
    def printSol(d,cn):
    for i in range(cn - 1):
    if i in s:
    print(“x”+str(i)+"=%.2f" % d[s.index(i)+1][-1])
    else:
    print(“x”+str(i)+"=0.00")
    print(“objective is %.2f”%(-d[0][-1]))
    d = np.loadtxt(“D:\my.txt”, dtype=np.float)
    (bn,cn) = d.shape
    s = list(range(cn-bn,cn-1)) #基变量列表
    solve(d,bn)
    printSol(d,cn)

    四、通过python中的scipy库对线性规划的最优解、最大值进行求解

    1、通过scipy库比较简单,这里直接给出完整代码

    1)、根据模型填写系数。线性回归模型如下:
    在这里插入图片描述
    1)、代码如下所示:

    #导入包
    from scipy import optimize
    import numpy as np
    #确定c,A_ub,B_ub
    c = np.array([50,100])
    A_ub = np.array([[1,1],[2,1],[0,1]])
    B_ub = np.array([300,400,250])
    #求解
    res =optimize.linprog(-c,A_ub,B_ub)
    print(res)

    2)、代码说明
    很容易发现:
    c:c指的应该是要求最大值的函数的系数数组
    A_ub:A_ub是应该是不等式未知量的系数矩阵,也就是不等式左边
    B_ub:B_ub就是不等式的右边了,也就是不等式右边
    需要注意的是:如果大家的题目中,不等式方向不一样,需要添加负号调节方向,使之对应;相应的,系数矩阵的系数也要改变方向!

    2、运行结果
    1)、运行结果如下所示:
    在这里插入图片描述
    以上结果,第二行的绝对值表示最优值,也就是最大值,最后一行表示最优解,也就是x1、x2!

    3、以上两种方法对的结果对比分析
    1)、单纯形法结果:
    在这里插入图片描述
    2)、scipy库结果:
    在这里插入图片描述
    通过以上两种结果对比,以精确度来说,单纯形法的结果更加精确,因为是具体结果x0=50,x1=250;相比于scipy库来说,更加精确,对于scipy库的内部方法,我们不得而知,但从结果来看,不应该是小数,而是整体结果,手工推导也是如此,但相差不大,基本误差在0.00000001,所以,这个误差可以忽略!

    五、通过拉格朗日乘子法进行该题求解

    1、拉格朗日乘子法求解极值
    1)、python完整代码如下所示:

    #拉格朗日求解线性规划最大值和最优解
    #导入sympy包,用于求导,方程组求解等等
    from sympy import *
    #设置变量
    x1 = symbols(“x1”)
    x2 = symbols(“x2”)
    alpha1 = symbols(“alpha1”)
    alpha2 = symbols(“alpha2”)
    alpha3 = symbols(“alpha3”)
    #构造拉格朗日等式
    L = 50 x1-100x2 + alpha1 * (x1+ x2-300) +alpha2 (2x1 + x2-400)
    #求导,构造KKT条件
    difyL_x1 = diff(L, x1) #对变量x1求导
    difyL_x2 = diff(L, x2) #对变量x2求导
    difyL_alpha2 = diff(L, alpha2) #对乘子alpha2求导
    dualCpt =alpha1 * (x1+ x2-300)
    #求解KKT等式
    aa = solve([difyL_x1, difyL_x2, dualCpt,difyL_alpha2], [x1, x2,alpha1,alpha2])
    #打印结果,还需验证kkt约束条件
    for i in aa:
    if i[2] >= 0 and i[0]>=0 and i[1]>=0:
    if (i[0]+i[1]-300) <= 0 and (2*i[0]+i[1]-400) <= 0 and (i[0]-250)<=0:
    print(i)

    2、运行结果
    1)、运行结果如下所示:
    在这里插入图片描述

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  • 2018清华大学912试题----分治

    千次阅读 2019-11-02 19:35:20
    单峰向量定义为A[0, n),其中前缀{a0, a1, …, ak}严格递增,后缀{... 设计算法在O(logn)的时间内找到最大值所在位置k。 int find (int arr[],int len){ if (len ==1) { return 0; } if (arr[0]<arr[1]) { ...

    单峰向量定义为A[0, n),其中前缀{a0, a1, …, ak}严格递增,后缀{ak+1, ak+2, …, an-1}严格递减。 设计算法在O(logn)的时间内找到最大值所在位置k。

    int find (int arr[],int len){
       if (len ==1) {
           return 0;
       }
       if (arr[0]<arr[1]) {
           return 0;
       }
    
       int low = 0,high = len -1;
       if(arr[high ]> arr[high - 1]){
           return high;
       }
       int mid = 0;
       while (low<high) {
           mid = (low+high)/2;
           if (arr[mid]>=arr[mid -1]&&arr[mid] > arr[mid+1]) {
               return mid;
           }
           if (arr[mid] > arr[mid+1]) {
               high = mid -1;
           }
           if (arr[mid] > arr[mid-1]) {
               low = mid + 1;
           }
       }
       return mid;
    }
    
    展开全文
  • 21.3.3 最大最小值问题 21.3.4.练习题 §21.4 条件极值与条件最值 21.4.1 条件极值 21.4.2 条件最值 21.4.3 隐函数的极值 21.4.4 练习题 §21.5 高维Rolle定理 §21.6 对于教学的建议 21.6.1 学习要点 21.6.2 参考题...
  • 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质. 考试内容 函数的概念及表示 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合...
  • 4·2 二次函数的最大值、最小值(1) 4·3 二次函数的最大值、最小值(2) 5.分式函数、无理函数的图象 5·1 分式函数的图象 5·2 图象的合成 5·3 分式函数的最大值、最小值 5·4 无理函数的图象 5·5 无理函数的最大值...
  • 4·2 二次函数的最大值、最小值(1) 4·3 二次函数的最大值、最小值(2) 5.分式函数、无理函数的图象 5·1 分式函数的图象 5·2 图象的合成 5·3 分式函数的最大值、最小值 5·4 无理函数的图象 5·5 无理函数的最大值...
  •  12.5 单定义及单性定理 第13章 多函数  13.1 多函数的概念  13.2 Riemann曲面  13.3 定义于Riemann曲面上的函数  13.4 代数函数 第14章 一类特征函数的零点分布Ⅲ  14.1 序言  14.2 特征函数P(s,...
  • 在上一个模型中我们假设了所有船均以皮划艇的速度航行,而在大长河的旅行中,这显然是很理想的情况。...对于6-18天的条件如何考虑进去,我们觉得已经隐含在前面一开始定义的人们每天所能持续最大时间之中。
  •  12.5 单定义及单性定理 第13章 多函数  13.1 多函数的概念  13.2 Riemann曲面  13.3 定义于Riemann曲面上的函数  13.4 代数函数 第14章 一类特征函数的零点分布Ⅲ  14.1 序言  14.2 特征函数P(s,...
  • 考试内容 函数的概念及表示 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数...了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),
  • Java的算数方法.docx

    2020-10-30 11:26:26
    包含 //x++ //++x的形式 //x—的形式 //--x的形式 //存放结果 //加法 //字符串连接 //减法 //乘法 //除 //分子分母都是整型时,结果为整除后... //求a和b的最大值 //闰年的判断规则:能被4整除而不能被100整除的
  • 范围: BINARY 或有效的语言定义名。 默认值: 从 NLS_LANGUAGE 中获得 nls_territory: 说明: 为以下各项指定命名约定, 包括日期和星期的编号, 默认日期格式, 默认小数点字符和组分隔符, 以及默认的 ISO 和本地...
  • javascript文档

    2009-08-11 10:44:24
    length 属性 (Array) 返回比数组中所定义的最高元素大 1 的整数 。 length 属性 (Function) 返回为函数所定义的参数个数。 length 属性 (String) 返回 String 对象的长度。 小于运算符 (<) 比较两个表达式,...
  • 微软JavaScript手册

    2009-04-08 22:54:53
    length 属性 (Array) 返回比数组中所定义的最高元素大 1 的整数 。 length 属性 (Function) 返回为函数所定义的参数个数。 length 属性 (String) 返回 String 对象的长度。 小于运算符 (<) 比较两个表达式,...
  • JScript 语言参考

    2009-05-28 08:53:39
    length 属性 (Array) 返回比数组中所定义的最高元素大 1 的整数 。 length 属性 (Function) 返回为函数所定义的参数个数。 length 属性 (String) 返回 String 对象的长度。 小于运算符 (<) 比较两个表达式,...
  • 方法:自20183月31日至9月30日,在45位稳定的慢性血液透析黑人患者(年龄≥20岁,进行至少3个月的血液透析并获得知情同意)前往金沙萨的3个血液透析中心。 白天每20分钟(早上6点至晚上10点)和晚上每30分钟...
  • 数学一   章节 2008大纲内容 2009大纲内容 对比分析 ...了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质. 对比:无变化 ......
  • 10.第十章 函数.txt

    2019-11-08 16:30:38
    /*求最大公约数用辗转相除*/ #include int main() { int i1,i2,i3,i4,gcd,lcm,temp; printf("Input i1 and i2:"); scanf("%d%d",&i1;,&i2;); i3=i1; i4=i2; temp=i2; while(temp!=0) { temp=i1%i2; ...
  • 8.2求数组中的最大值与最小值的差 31 8.3创建Point数组,要求X与Y在夹角为45度的直线上 32 8.4定义一个Circle数组,为它的各个元素赋值 33 8.5冒泡排序 35 8.6讲了java内置的排序的方法以及数组copy的方法 36 8.7...
  • 怎样求最大值(最小值或中间值)平均数怎么弄 去掉其中两个最大值和两个最小值的公式 去一行最高分最低分求平均值 在9个数值中去掉最高与最低然后求平均值 求最大值(n列) 如何实现求平均值时只对不等于零的数求...
  • 4.20 一中的第几天 第5章 数学趣题(一) 5.1 舍罕王的失算 5.2 求两个数的最大公约数和最小公倍数 5.3 歌德巴赫猜想的近似证明 5.4 三色球问题 5.5 百钱买百鸡问题 5.6 判断回文数字 5.7 填数字游戏求解 5.8 ...
  • 软件测试规范

    2018-04-23 09:16:12
    分析 .......................................................................................................................................... 8 4.猜错 ..........................................
  • EXCEL函数公式集

    热门讨论 2010-03-16 03:26:38
    怎样求最大值(最小值或中间值)平均数怎么弄 去掉其中两个最大值和两个最小值的公式 去一行最高分最低分求平均值 在9个数值中去掉最高与最低然后求平均值 求最大值(n列) 如何实现求平均值时只对不等于零的数求...
  • 大话数据结构

    2018-12-14 16:02:18
    4.9.1后缀(逆波兰)表示法定义 104 4.9.2后缀表达式计算结果 106 4.9.3中缀表达式转后缀表达式 108 4.10队列的定义 111 电脑有时会处于疑似死机的状态。就当你失去耐心,打算了reset时。突然它像酒醒了一样,把...
  • 程序员二进制计算器 v1.36

    热门讨论 2014-07-16 16:21:43
    %val 519322y = 51.9322tril (2012国内生产总值,y是后缀运算符,表示前乘以1亿) 6-固定比例输出格式 (1)按百分比输出 %2 %2将结果按百分比格式输出,例如: 对150种食品进行抽查,仅105种合格,合格率...

空空如也

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