本文主要介绍如何利用MATLAB编程实现系统传递函数的构建以及它们之间进行串联、并联、反馈时的构建方法

一、传递函数的构建方法

    首先 ，我们把想要构建的传递函数分子和分母的系数按照阶次从高到低（缺项补零）分别保存在一个向量中，然后调用tf（）函数进行构建，tf函数用来建立实部或复数传递函数模型或将状态方程、或零级增益模型转化成传递函数形式。比如构建如下传递函数的代码如下：

$$\frac{1}{s^3+2s^2+s}$$

num=[1];
den=[1 2 1 0];
G=tf(num,den)

    运行结果如下：

G =
 
         1
  ---------------
  s^3 + 2 s^2 + s

    如果我们拿到的传递环数是以零极点的形式表示的，而我们又不想手动的去展成多项式形式，可以采用如下的方式构建传递函数，我们把传递函数的零点z，极点p，增益k，分别放到一个向量中，然后再调用zpk（）函数进行构建，如构建如下传递环数的代码如下：

$$\frac{1}{s（s+1{）}^2}$$

z=[];    //没有零点就空着，若里面写零代表分子为S
p=[0 -1 -1];
k=[1];
G=zpk(z,p,k)

    运行结果如下：

G =
 
      1
  ---------
  s (s+1)^2

    其实以上两种模型之间可以相互转化，转化代码如下：

   num_1=[1];
   den_1=[1 2 1 0];
   G_1=tf(num_1,den_1)
   [z,p,k]=tf2zp(num_1,den_1);   //传递函数模型转化为零极点模型
   G_2=zpk(z,p,k)
   [num_3,den_3]=zp2tf(z,p,k);    //零极点模型转化为传递函数模型
   G_3=tf(num_3,den_3)

    运行结果如下：

G_1 =
 
         1
  ---------------
  s^3 + 2 s^2 + s
  
G_2 =
 
      1
  ---------
  s (s+1)^2
  
 G_3 =
 
         1
  ---------------
  s^3 + 2 s^2 + s

二、多个传递环数间串联、并联、反馈的构建方法

    本部分我们用如下两个传递函数为例，就他们之间进行串联，并联，反馈的模型搭建方法进行介绍。

$$\frac{1}{s^3+2s^2+s}和\frac{1}{s^2+2s+1}$$

  1、串联

    方法一：先根据第一部分的介绍搭建两个传递函数，然后利用用series函数计算两个传递函数的串联形式，代码如下：

  num_1=[1];
  den_1=[1 2 1 0];
  G_1=tf(num_1,den_1);

  num_2=[1];
  den_2=[1 2 1 ];
  G_2=tf(num_2,den_2);
  
  [num_c,den_c]=series(G_1,G_2);
  G_c=tf(num_c,den_c)

    这种方法呢有时会出现输出参数太多 (InputOutputModel)的错误，为了简洁性和不易错性，推荐大家采用以下的第二种方法，并联和反馈也将采用如下方法介绍：

  num_1=[1];
  den_1=[1 2 1 0];
  num_2=[1];
  den_2=[1 2 1 ];
  [num_c,den_c]=series(num_1,den_1,num_2,den_2);
  G_c=tf(num_c,den_c)

    运行结果如下：

G_c =
 
                 1
  -------------------------------
  s^5 + 4 s^4 + 6 s^3 + 4 s^2 + s

  2、并联

    采用parallel（）函数可以计算两个传递函数的并联形式，代码如下：

   num_1=[1];
   den_1=[1 2 1 0];
   num_2=[1];
   den_2=[1 2 1 ];
   [num_b,den_b]=parallel(num_1,den_1,num_2,den_2);
   G_b=tf(num_b,den_b)

    运行结果如下：

G_b =
 
       s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1
  -------------------------------
  s^5 + 4 s^4 + 6 s^3 + 4 s^2 + s

  3、反馈

    采用feedback（）函数可以计算两个传递函数的反馈形式，相比于前两种情况，feedback（）多了最后一个参数，为1时为正反馈，为-1时为负反馈，缺省时为负反馈，代码如下：

   num_1=[1];
   den_1=[1 2 1 0];
   num_2=[1];
   den_2=[1 2 1 ];
  [num_f,den_f]=feedback(num_1,den_1,num_2,den_2,-1); //此处为负反馈，将-1改为1，则变成正反馈
   G_f=tf(num_f,den_f)

    运行结果如下：

G_f =
 
             s^2 + 2 s + 1
  -----------------------------------
  s^5 + 4 s^4 + 6 s^3 + 4 s^2 + s + 1

    用以上方法就可以得到系统的闭环传递环数，也就得到了系统的闭环特征方程，可以进步求解特征方程的特征根，从而判断系统的稳定性，具体步骤可参考如下博文：博文链接：利用MATLAB解特征方程，并画出特征根的分布，便于分析系统的稳定性。

3.方框图的描述与转化2-并联

设本节中传递函数G1(s)、G2(s)分别为
$$G_1(s)=\frac{b_m{s}^m+b_{m-1}{s}^{m-1}+...+b_{1}s+b_0}{a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+...+a_{1}s+a_0}$$
$$G_2(s)=\frac{c_i{s}^i+c_{i-1}{s}^{i-1}+...+c_{1}s+c_0}{d_j{s}^j+d_{j-1}{s}^{j-1}+...+d_{1}s+a_0}$$

2.并联
并联连接如图

设G1(s)的分子、分母多项式系数向量分别为num1，den1；G2(s)的分子、分母多项式系数向量分别为num2，den2。
用如下形式表达G1(s)、G2(s)的分子和分母多项式系数：

>> num1=[bm bm-1 ... b1 b0];
>> num2=[ci ci-1 ... c1 c0];				
%G1(s)、G2(s)分子系数
>> den1=[am am-1 ... a1 a0];		
>> den2=[dj dj-1 ... d1 d0];		
%G1(s)、G2(s)分母系数

可以通过两种方式得到系统的传递函数模型

①先分别建立G1(s)、G2(s)的传递函数，再将两者相加。
需要用到的MATLAB函数：

tf函数：用于建立传递函数的多项式形式数学模型

>> y1=tf(n,d)				
%其中n,d分别为传递函数的分子、分母的系数行向量

使用范例：

>> G1=tf(num1,den1);
>> G2=tf(num2,den2);
%分别建立G1(s)、G2(s)的传递函数
>> G=G1+G2;
%将G1(s)、G2(s)的传递函数相加，得到两者并联的传递函数

②先求得G1(s)、G2(s)并联后的传递函数G(s)的系数向量，再构建G(s)的传递函数
需要用到的MATLAB函数：

parallel函数：用于将并联的几个传递函数的系数向量，转化成总传递函数的系数向量。

>> [n,d]=parallel(n1,d1,n2,d2,...,nx,dx);
%其中n1，d1为第一个传递函数的分子，分母系数向量。n，d为并联总传递函数的分子和分母系数向量。

使用范例：

>> [num,den]=parallel(n1,d1,n2,d2);
%将并联的2个传递函数的系数向量，转化成总传递函数的系数向量
>>G=tf(num,den);
%建立总传递函数的多项式形式数学模型

例题1：
使用MATLAB建立如下方框图所示的传递函数数学模型

%%%%%%  以下为<MATLAB>实现  %%%%%%
>> num1=[1];
>> den1=[1 2 0 5 1];
>> num2=[1 3 2];
>> den2=[3 2 2 5 1];
>> [num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)

num =

     0     0     1     5    11    11    18    18     3


den =

     3     8     6    24    24    14    27    10     1

>> G=tf(num,den)

G =
 
           s^6 + 5 s^5 + 11 s^4 + 11 s^3 + 18 s^2 + 18 s + 3
  --------------------------------------------------------------------
  3 s^8 + 8 s^7 + 6 s^6 + 24 s^5 + 24 s^4 + 14 s^3 + 27 s^2 + 10 s + 1
 
Continuous-time transfer function.