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  • 方法:将共有30名参与者(均患有PFPS的所有女篮球运动员,平均年龄为20-30岁)分为两个等/等渗和对照实验。 建议参加者进行为期八周的等和等渗锻炼,重点是在两个四个星期的阶段中进行的下肢EMSII锻炼。 ...
  • 结果表明齿状和无牙在下颌管长度(p = 0.030),牙槽al的距离(p <0.001)和颊皮质骨的距离(p <0.001)之间存在显着差异,其中齿状值明显更高耐心。 至于性别,女性的神经丛和牙槽骨c之间的距离(p &...
  • matplotlib---直方图

    2019-06-24 23:58:22
    组距:指每个小组的两个端点的距离,公式如下: 组数=极差/组距 应用场景 用户的年龄分布状态 一段时间内用户的点击次数的分布状态 用户活跃时间的分布状态 案例 现有250个数据,分别是电影的时间长度,统计...

    把数据分成多少组进行统计

    注意:组数要适当,太少会有较大的统计误差,太多规律不明显

    组数:将数据分组,当数据在100个以内时,按数据多少需分5-12组

    组距:指每个小组的两个端点的距离,公式如下:

    \LARGE zushu=\frac{max(a)-min(a)}{binwidth}

    组数=极差/组距

    应用场景

    • 用户的年龄分布状态
    • 一段时间内用户的点击次数的分布状态
    • 用户活跃时间的分布状态

    案例

    现有250个数据,分别是电影的时间长度,统计每个时间段内的电影数或出现的频率

    
    # import random
    
    # print([random.randint(70, 200) for i in range(250)])
    
    from matplotlib import pyplot as plt
    from matplotlib import font_manager
    
    my_font = font_manager.FontProperties(fname='/usr/share/fonts/cjkuni-uming/uming.ttc')
    
    a = [154, 191, 101, 153, 95, 118, 184, 98, 159, 120, 191, 159, 115, 172, 131, 172, 191, 102, 180, 139, 189, 170, 174,
         188, 111, 132, 148, 74, 195, 151, 92, 181, 172, 124, 149, 151, 172, 139, 111, 124, 152, 167, 167, 185, 195, 170,
         172, 147, 175, 154, 151, 182, 169, 91, 136, 113, 112, 70, 153, 82, 148, 110, 178, 194, 87, 133, 148, 180, 151,
         173, 127, 148, 186, 197, 162, 138, 196, 150, 103, 76, 130, 78, 71, 128, 187, 91, 90, 161, 72, 112, 98, 190, 93,
         182, 182, 93, 150, 138, 76, 135, 187, 196, 169, 134, 129, 151, 146, 109, 152, 88, 119, 100, 120, 122, 119, 182,
         95, 183, 110, 181, 81, 160, 138, 89, 97, 166, 182, 127, 108, 87, 158, 73, 88, 162, 105, 128, 79, 79, 193, 162,
         181, 128, 130, 145, 129, 111, 87, 169, 87, 105, 86, 92, 149, 80, 106, 198, 188, 140, 179, 149, 125, 163, 95, 131,
         185, 187, 143, 82, 193, 148, 157, 179, 146, 107, 82, 87, 75, 98, 75, 112, 102, 163, 152, 112, 160, 129, 84, 186,
         161, 200, 196, 93, 141, 86, 95, 83, 93, 112, 127, 149, 109, 145, 92, 130, 195, 85, 178, 175, 194, 170, 170, 177,
         180, 158, 148, 93, 190, 134, 72, 158, 156, 180, 146, 80, 156, 86, 70, 163, 172, 185, 183, 77, 132, 107, 167, 173,
         134, 130, 167, 96, 118, 189, 82, 170, 118, 119, 168, 82, 174, 119]
    
    plt.figure(figsize=(20, 8), dpi=80)
    
    # 计算组数
    d = 5  # 组距
    num_bins = (max(a)-min(a))//d
    
    plt.hist(a, num_bins)
    
    # 设置x轴的刻度
    plt.xticks(range(min(a), max(a)+d, d))
    
    plt.grid()
    
    plt.show()
    

    如果计算出现的频率,只需改动一处

    plt.hist(a, num_bins, normed=True)

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  • 直方图更多的应用场景: 用户年龄的分布状态; 一段时间内用户的点击数分布状态; 用户活跃时间的分布状态; ...哪些数据可以绘制直方图?...组距: 每个小组里面端点的距离; 组数 = 极差 / 组距 ...
    • 直方图更多的应用场景:

      • 用户年龄的分布状态;
      • 一段时间内用户的点击数分布状态;
      • 用户活跃时间的分布状态;
    • 哪些数据可以绘制直方图?

      • 连续的数据;
      • 没有统计过的数据;
      • 原始数据;
    • 案例1: 250部电影的时长, 电影时长的分布状态;

      • 把数据分为多少组进行统计?
        • 如果数据在100个以内, 一般分为5-12组;
        • 组距: 每个小组里面端点的距离;
        • 组数 = 极差 / 组距
    import random
    from matplotlib import  pyplot as plt
    
    y = [random.randint(60, 180) for i in range(250)]
    
    # 组距
    d = 10  
    
    # 组数
    num_bins = (max(y) - min(y)) // d
    
    # 设置x轴的刻度范围
    plt.xticks(list(range(min(y), max(y) + d))[::d])
    
    # 设置网格
    plt.grid(linestyle='-.', alpha=0.3)
    
    # 直方图绘制数据分为20个分组
    plt.hist(y, num_bins)
    plt.savefig('doc/01_hist.png')
    
    Interval  Width	   Quantity	 Quantity/width
    0			5		4180		836
    5			5		13687		2737
    10			5		18618		3723
    15			5		19634		3926
    20			5		17981		3596
    25			5		7190		1438
    30			5		16369		3273
    35			5		3212		642
    40			5		4122		824
    45			15		9200		613
    60			30		6461		215
    90			60		3435		57
    
    from matplotlib import pyplot as plt
    
    # 公司到家的的距离
    interval = [0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 60, 90]
    # 间距
    width = [5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 15, 30, 60]
    # 对应的人数
    quantity = [836, 2737, 3723, 3926, 3596, 1438, 3273, 642, 824, 613, 215, 57]
    # 设置图形的大小
    plt.figure(figsize=(10, 10))
    # 绘制条形图
    # plt.bar(range(12), quantity, width=1)
    # 绘制折线图
    plt.plot(interval, quantity)
    # 设置x轴的刻度
    # _x = [i-0.5 for i in range(12)]
    # plt.xticks(_x, labels=interval)
    plt.xticks(interval)
    # 设置网格
    plt.grid(linestyle='-.', alpha=0.5)
    # gca====get current axis 获取当前的坐标轴
    ax = plt.gca()
    # 设置右边框和上边框;
    ax.spines['right'].set_color('none')
    ax.spines['top'].set_color('none')
    # 设置x轴为下边框
    ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
    # 设置y轴为作边框
    ax.yaxis.set_ticks_position('left')
    # 设置x轴和y轴的交点为(0, 0)点;
    ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
    ax.spines['left'].set_position(('data', 0 ))
    
    # 保存图片
    plt.savefig('doc/03_bar.png')
    
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  • 数模(6):Leslie矩阵人口模型

    千次阅读 2019-08-21 23:48:42
    上期中介绍了两种利用非线性函数拟合人口与物种增长趋势的方法。这两种方法都可以用于对人口与物种增长的总体趋势进行预测,但预测不够精细。...我们把整个社会中的人群按年龄分成n,每中该年的人口总数...

    上期中介绍了两种利用非线性函数拟合人口与物种增长趋势的方法。这两种方法都可以用于对人口与物种增长的总体趋势进行预测,但预测不够精细。我们知道在正常社会条件或自然条件下,生育率与死亡率是与群体的年龄构成息息相关的。我们需要对整个群体按年龄进行层次划分,构建与年龄相联系的人口模型。典型的例子就是Leslie矩阵模型。

    Leslie矩阵介绍

    我们把整个社会中的人群按年龄等距分成n组,每组中该年的人口总数为ai,i=1,2,...,na_i,i=1,2,...,n,每组人口的每年的普遍存活率为ci,i=1,2,...,n1c_i,i=1,2,...,n-1(设最后一组下一年全部死亡),每组人口的每年普遍生育率为bi,i=1,2,...,nb_i,i=1,2,...,n,则下一年每组中的人口总数ai,i=1,2,...,na'_i,i=1,2,...,n就满足递推关系式{ai=ai1ci1,i=2,3,...,na1=i=1naibi\begin{cases}a'_i=a_{i-1}c_{i-1},i=2,3,...,n\\a'_1=\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\end{cases}

    该式可写成矩阵乘向量的形式:
    a=(b1b2...bn1bnc10...000c2...0000...cn10)(a1,a2,...,an)T \vec{a'}= \left( \begin{matrix} b_1&b_2&...&b_{n-1}&b_n\\ c_1&0&...&0&0\\ 0&c_2&...&0&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&...&c_{n-1}&0 \end{matrix} \right) (a_1,a_2,...,a_n)^T

    该式中左边的矩阵就是Leslie矩阵。

    Leslie矩阵性质

    1. Leslie矩阵有唯一的单重正特征值λ1\lambda_1,对应的特征向量x1=(1,b1/λ1,c1c2/λ12,...,c1c2...cn1/λ1n1)T\vec x_1=(1,b_1/\lambda_1,c_1c_2/\lambda_1^2,...,c_1c_2...c_{n-1}/\lambda_1^{n-1})^T

    证明:设n阶的该矩阵为Ln,n阶的特征多项式为Pn,则有
    Pn=λILn=λb1b2...bn1bnc1λ...000c2...0000...cn1λ P_n=|\lambda I-L_n|= \left| \begin{matrix} \lambda-b_1&-b_2&...&-b_{n-1}&-b_n\\ -c_1&\lambda&...&0&0\\ 0&-c_2&...&0&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&&\\ 0&0&...&-c_{n-1}&\lambda \end{matrix} \right|
    =>Pn=λλb1b2...bn2bn1c1λ...000c2...0000...cn2λ+cn1λb1b2...bn3bn1c1λ...000c2...0000...cn20 =>P_n=\lambda \left| \begin{matrix} \lambda-b_1&-b_2&...&-b_{n-2}&-b_{n-1}\\ -c_1&\lambda&...&0&0\\ 0&-c_2&...&0&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&&\\ 0&0&...&-c_{n-2}&\lambda \end{matrix} \right|+c_{n-1} \left| \begin{matrix} \lambda-b_1&-b_2&...&-b_{n-3}&-b_{n-1}\\ -c_1&\lambda&...&0&0\\ 0&-c_2&...&0&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&&\\ 0&0&...&-c_{n-2}&0 \end{matrix} \right|
    =>Pn=λPn1+cn1(bn1)(c1c2...cn2)(1)n2(1)n2=>Pn=λPn1bn1c1c2...cn1 =>P_n=\lambda P_{n-1}+c_{n-1}(-b_{n-1})(c_1c_2...c_{n-2})(-1)^{n-2}(-1)^{n-2}=> P_n=\lambda P_{n-1}-b_{n-1}c_1c_2...c_{n-1}
    =>Pn=λPn1βn1=>Pn=λnβ1λn1β2λn2...βn=> =>P_n=\lambda P_{n-1}-\beta_{n-1}=> P_n=\lambda^n-\beta_1\lambda^{n-1}-\beta_2\lambda^{n-2}-...-\beta_n=>
    0=λnβ1λn1β2λn2...βn=>Pn=λnβ1λn1β2λn2...βn=> 0=\lambda^n-\beta_1\lambda^{n-1}-\beta_2\lambda^{n-2}-...-\beta_n=>P_n=\lambda^n-\beta_1\lambda^{n-1}-\beta_2\lambda^{n-2}-...-\beta_n=>
    1=β1λ1+β2λ2+...+βnλn 1=\beta_1\lambda^{-1}+\beta_2\lambda^{-2}+...+\beta_n\lambda^{-n} 右边的函数是单调连续减函数,且λ\lambda无穷大时趋近0、λ\lambda趋近于0时趋近正无穷,所以有唯一正特征根λ1\lambda_1,对应的特征向量为x1=(1,b1/λ1,c1c2/λ12,...,c1c2...cn1/λ1n1)T\vec x_1=(1,b_1/\lambda_1,c_1c_2/\lambda_1^2,...,c_1c_2...c_{n-1}/\lambda_1^{n-1})^T

    1. 所有负的特征值都满足λ<λ1|\lambda|<\lambda_1,称λ1\lambda_1严格优势特征值

    证明:设有特征值满足λλ1=>λλ1|\lambda|\geq\lambda_1=>\lambda\geq-\lambda_1,则有其依然满足1=β1λ1+β2λ2+...+βnλn1=\beta_1\lambda^{-1}+\beta_2\lambda^{-2}+...+\beta_n\lambda^{-n} ,而 1=β1λ11+β2λ12+...+βnλ1nβλ1+βλ2+...+βλn>βλ1+βλ2+...+βλn1=\beta_1\lambda_1^{-1}+\beta_2\lambda_1^{-2}+...+\beta_n\lambda_1^{-n} \geq\beta|\lambda^{-1}|+\beta|\lambda^{-2}|+...+\beta|\lambda^{-n}|>\beta\lambda^{-1}+\beta\lambda^{-2}+...+\beta\lambda^{-n},矛盾

    1. 对于任意人口分布向量x\vec x,其迭代k次后的结果有limk>+x(k)λ1k=cx1\displaystyle \lim_{k->+∞} \frac{\vec x^{(k)}}{\lambda_1^k}=c\vec x_1(c为常数),即迭代了无穷多次时,人口的分布比例趋近于特征向量x1\vec x_1,而人口增长率趋近于特征值λ1\lambda_1

    证明:仅对可化为对角阵的情况进行证明(一般情况需要用到约旦标准型)。limk>+x(k)λ1k=limk>+Lkx(0)λ1k=limk>+(Pdiag(λ1,λ2,...,λn)P1)kx(0)λ1k=limk>+Pdiag(λ1k,λ2k,...,λnk)P1x(0)λ1k=limk>+Pdiag(1,λ2k/λ1k,...,λnk/λ1k)P1x(0)\displaystyle \lim_{k->+∞} \frac{\vec x^{(k)}}{\lambda_1^k}=\displaystyle \lim_{k->+∞} \frac{L^k\vec x^{(0)}}{\lambda_1^k}=\displaystyle \lim_{k->+∞} \frac{(Pdiag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)P^{-1})^k\vec x^{(0)}}{\lambda_1^k}=\displaystyle \lim_{k->+∞} \frac{Pdiag(\lambda_1^k,\lambda_2^k,...,\lambda_n^k)P^{-1}\vec x^{(0)}}{\lambda_1^k}=\displaystyle \lim_{k->+∞} Pdiag(1,\lambda_2^k/\lambda_1^k,...,\lambda_n^k/\lambda_1^k)P^{-1}\vec x^{(0)},由于λ1\lambda_1严格优势特征值,有=limk>+Pdiag(1,0,...,0)P1x(0)=(x1,x2,...,xn)diag(1,0,...,0)(x1,x2,...,xn)(a1,a2,...,an)T=cx1原式=\displaystyle \lim_{k->+∞} Pdiag(1,0,...,0)P^{-1}\vec x^{(0)}=(\vec x_1,\vec x_2,...,\vec x_n)diag(1,0,...,0)(\vec x'_1,\vec x'_2,...,\vec x'_n)(a_1,a_2,...,a_n)^T=c\vec x_1

    总结

    列出Leslie矩阵,我们即可对人口年龄分布进行迭代。且无论一开始的人口分布向量如何,人口比例在迭代无数次之后总趋近于特征向量x1\vec x_1。而人口增长率趋近于特征值λ1\lambda_1,说明特征值λ1\lambda_1可以用于预测人口增长速度,对于计生有重要意义。

    展开全文
  • 组距式分组;二单项式数组的频数分析;1对年龄按升序排序 2将各组的年龄值输入到工作表中作为组界 3单击插入单击函数选择FREQUENCY 4选择组界区域和数据区域的单元格地址 单击确定 5按下F2+Ctrl+Shift+Enter得到频数...
  • Matplotlib

    2018-10-24 16:45:35
    直方图描述的是一组数据的频次分布,是以矩形的长度表示每一组的频数或数量,宽度则表示各组的组距,因此其高度与宽度均有意义,利于展示大量数据集的统计结果。例如把年龄分成“0-5,5-10,……,80-85”17个组,...

    直方图

    直方图与柱状图的对比

    • 柱状图是以矩形的长度表示每一组的频数或数量,其宽度(表示类别)则是固定的,利于较小的数据集分析

    • 直方图描述的是一组数据的频次分布,是以矩形的长度表示每一组的频数或数量,宽度则表示各组的组距,因此其高度与宽度均有意义,利于展示大量数据集的统计结果。例如把年龄分成“0-5,5-10,……,80-85”17个组,统计一下中国人口年龄的分布情况。直方图有助于我们知道数据的分布情况,诸如众数、中位数的大致位置、数据是否存在缺口或者异常值

      1. 直方图展示数据的分布,柱状图比较数据的大小。

      ​ 这是直方图与柱状图最根本的区别。举个例子,有10个苹果,每个苹果重量不同。如果使用直方图,就展示了重量在0-10g的苹果有多少个,10-20g的苹果有多少个;如果使用柱状图,则展示每个苹果的具体重量。

        所以直方图展示的是一组数据中,在你划分的区间里,这些数据的分布情况,但是我们不知道在一个区间里,单个数据的具体大小。上图展现了游客在博物馆的游览时间,其中,将近40%的游客仅逗留了0-10分钟。但是我们无法知道这些游客中,每个人具体的游览时间是多少。

      ​ 而在柱状图里,我们能看到的是每个数据的大小,并且进行比较。下图就比较了在12次展览中,参观者参观时间的中位数,我们能够知道参观的具体用时。

       

      2. 直方图X轴为定量数据,柱状图X轴为分类数据。

      ​ 在直方图中,X轴上的变量是一个个连续的区间,这些区间通常表现为数字,例如代表苹果重量的“0-10g,10-20g……”,代表时间长度的“0-10min,10-20min……”。而在柱状图中,X轴上的变量是一个个分类数据,例如不同的国家名称、不同的游戏类型。

       

      ​ 直方图上的每根柱子都是不可移动的,X轴上的区间是连续的、固定的。而柱状图上的每根柱子是可以随意排序的,有的情况下需要按照分类数据的名称排列,有的则需要按照数值的大小排列。

      3. 直方图柱子无间隔,柱状图柱子有间隔

      因为直方图中的区间是连续的,因此柱子之间不存在间隙。而柱状图的柱子之间是存在间隔。

      4. 直方图柱子宽度可不一,柱状图柱子宽度须一致

      ​ 柱状图柱子的宽度因为没有数值含义,所以宽度必须一致。但是在直方图中,柱子的宽度代表了区间的长度,根据区间的不同,柱子的宽度可以不同,但理论上应为单位长度的倍数。

        例如,美国人口普查局(The U.S. Census Bureau)调查了12.4亿人的上班通勤时间,由于通勤时间在45-150分钟的人数太少,因此区间改为45-60分钟、60-90分钟、90-150分钟,其他组距则均为5。

        可以看到,Y轴的数据为“人数/组距”,在这种情况下,每个柱子的面积相加就等于调查的总人数,柱子的面积就有了意义。

      ​ 当上图的Y轴表达的是“区间人数/总人数/组距”,这个直方图就是我们初中学习的“频率分布直方图”,频率指的是“区间数量/总数量”。在这样的直方图中,所有柱子的面积相加就等于1啦。

       

    # 1)准备数据
    time = [131,  98, 125, 131, 124, 139, 131, 117, 128, 108, 135, 138, 131, 102, 107, 114, 119, 128, 121, 142, 127, 130, 124, 101, 110, 116, 117, 110, 128, 128, 115,  99, 136, 126, 134,  95, 138, 117, 111,78, 132, 124, 113, 150, 110, 117,  86,  95, 144, 105, 126, 130,126, 130, 126, 116, 123, 106, 112, 138, 123,  86, 101,  99, 136,123, 117, 119, 105, 137, 123, 128, 125, 104, 109, 134, 125, 127,105, 120, 107, 129, 116, 108, 132, 103, 136, 118, 102, 120, 114,105, 115, 132, 145, 119, 121, 112, 139, 125, 138, 109, 132, 134,156, 106, 117, 127, 144, 139, 139, 119, 140,  83, 110, 102,123,107, 143, 115, 136, 118, 139, 123, 112, 118, 125, 109, 119, 133,112, 114, 122, 109, 106, 123, 116, 131, 127, 115, 118, 112, 135,115, 146, 137, 116, 103, 144,  83, 123, 111, 110, 111, 100, 154,136, 100, 118, 119, 133, 134, 106, 129, 126, 110, 111, 109, 141,120, 117, 106, 149, 122, 122, 110, 118, 127, 121, 114, 125, 126,114, 140, 103, 130, 141, 117, 106, 114, 121, 114, 133, 137,  92,121, 112, 146,  97, 137, 105,  98, 117, 112,  81,  97, 139, 113,134, 106, 144, 110, 137, 137, 111, 104, 117, 100, 111, 101, 110,105, 129, 137, 112, 120, 113, 133, 112,  83,  94, 146, 133, 101,131, 116, 111,  84, 137, 115, 122, 106, 144, 109, 123, 116, 111,111, 133, 150]
    
    # 2)创建画布
    plt.figure(figsize=(20, 8), dpi=100)
    
    # 3)绘制直方图
    # 设置组距
    distance = 2
    # 计算组数
    group_num = int((max(time) - min(time)) / distance)
    # 绘制直方图
    plt.hist(time, bins=group_num)
    
    # 修改x轴刻度显示
    plt.xticks(range(min(time), max(time))[::2])
    
    # 添加网格显示
    plt.grid(linestyle="--", alpha=0.5)
    
    # 添加x, y轴描述信息
    plt.xlabel("电影时长大小")
    plt.ylabel("电影的数据量")
    
    # 4)显示图像
    plt.show()

    3 直方图注意点

    1. 注意组距

    ​ 组距会影响直方图呈现出来的数据分布,因此在绘制直方图的时候需要多次尝试改变组距。

     

    2. 注意Y轴所代表的变量

    ​ Y轴上的变量可以是频次(数据出现了多少次)、频率(频次/总次数)、频率/组距,不同的变量会让直方图描述的数据分布意义不同。

    2.3.4 直方图的应用场景

    • 用于表示分布情况
    • 通过直方图还可以观察和估计哪些数据比较集中,异常或者孤立的数据分布在何处

    例如:用户年龄分布,商品价格分布

     

    饼图

    饼图广泛得应用在各个领域,用于表示不同分类的占比情况,通过弧度大小来对比各种分类。饼图通过将一个圆饼按照分类的占比划分成多个区块,整个圆饼代表数据的总量,每个区块(圆弧)表示该分类占总体的比例大小,所有区块(圆弧)的加和等于 100%。

    # 1)准备数据
    movie_name = ['雷神3:诸神黄昏','正义联盟','东方快车谋杀案','寻梦环游记','全球风暴','降魔传','追捕','七十七天','密战','狂兽','其它']
    
    place_count = [60605,54546,45819,28243,13270,9945,7679,6799,6101,4621,20105]
    
    # 2)创建画布
    plt.figure(figsize=(20, 8), dpi=100)
    
    # 3)绘制饼图
    plt.pie(place_count, labels=movie_name, autopct="%1.2f%%", colors=['b','r','g','y','c','m','y','k','c','g','y'])
    
    # 显示图例
    plt.legend()
    
    # 添加标题
    plt.title("电影排片占比")
    
    # 4)显示图像
    plt.show()

    添加axis

    为了让显示的饼图保持圆形,需要添加axis保证长宽一样

    plt.axis('equal')
    

    2.6.3 饼图应用场景

    • 分类的占比情况(不超过9个分类)

    例如:班级男女分布占比,公司销售额占比

     

     

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  • 直方图的绘制

    2019-03-06 23:48:47
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