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  • 并集及其运算
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    2021-10-30 08:19:39

    随机事件的关系及其运算

    1.随机事件间的关系

    名称记号含义
    包含 A ⊂ B A \subset B ABA发生 ⟶ \longrightarrow B发生
    相等 A = B A = B A=BA发生 ⟷ \longleftrightarrow B发生
    (并)事件 A ⋃ B A \bigcup B ABA , B至少有一个发生
    (可能只发生其中一个,也可能都发生)
    (交)事件 A ⋂ B A \bigcap B ABA , B都发生
    差事件 A − B A - B ABA发生, B不发生 ps:集合里的减法跟减法的含义不同
    A , B不相容(互斥) A ⋂ B = ϕ A \bigcap B = \phi AB=ϕA , B不同时发生
    A的逆事件(对立) a ‾ \overline{a} aA不发生

    2.随机事件间的运算

    交换律 A ⋃ B = B ⋃ A A \bigcup B = B \bigcup A AB=BA
    B ⋂ A = A ⋂ B B \bigcap A = A \bigcap B BA=AB
    结合律 A ⋃ ( B ⋃ C ) = ( A ⋃ B ) ⋃ C A \bigcup (B \bigcup C) = (A \bigcup B) \bigcup C A(BC)=(AB)C
    A ⋂ ( B ⋂ C ) = ( A ⋂ B ) ⋂ C A \bigcap (B \bigcap C) = (A \bigcap B) \bigcap C A(BC)=(AB)C
    分配律 A ⋃ ( B ⋂ C ) = ( A ⋃ B ) ⋂ ( A ⋃ C ) A \bigcup (B \bigcap C) = (A \bigcup B) \bigcap (A \bigcup C) A(BC)=(AB)(AC)
    A ⋂ ( B ⋃ C ) = ( A ⋂ B ) ⋃ ( A ⋂ C ) A \bigcap (B \bigcup C) = (A \bigcap B) \bigcup (A \bigcap C) A(BC)=(AB)(AC)
    对偶律(德摩根率) A ⋃ B ‾ = A ‾ ⋂ B ‾ \overline{A \bigcup B} = \overline{A} \bigcap \overline{B} AB=AB
    A ⋂ B ‾ = A ‾ ⋃ B ‾ \overline{A \bigcap B} = \overline{A} \bigcup \overline{B} AB=AB
    逆与差 A ‾ = S − A , A ‾ ‾ = A \overline{A} = S - A , \overline{\overline{A}}=A A=SA,A=A
    A ⋃ A ‾ = S , A ⋂ A ‾ = ϕ A \bigcup \overline{A} = S , A \bigcap \overline{A} = \phi AA=S,AA=ϕ(满足这2个条件的一组事件则称对立事件)
    A − B = A B ‾ = A − A B A - B = A\overline{B}=A-AB AB=AB=AAB

    最后想说的一些话

    一开始看这些符号不能理解含义,尤其是减号➖,不过这个在随机事件间的关系里讲的很明白了😄😄😄

    还有我一直经常搞混并集和交集的符号,但是用了latex写了一下这2符号算是明白了,并集也称用的是cup意思是杯子,就是把所有东西装进杯子里就是了嘛。而交集也称用的是cat意思是帽子,把东西扣进来不就是交集了么?我觉得还是蛮形象的

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    1、集合的简介:

    • 集合:具有某种特定性质的对象全体;比如自然数集\mathbb{N}、有理数集\mathbb{Q}、实数集\mathbb{R}
    • 元素:集合内的每个对象;
    • 集合与元素的关系:x\in Ax\notin A
    • 集合的一般表示形式举例:A=\left \{ 1,2,3 \right \}A=\left \{ x\mid x<6, x\in N \right \}\left \{ x\in N\mid x<6 \right \}
    • 集合间的关系:A\subset BA\subseteq BAB的子集);AB的真子集;A=B(相等);C=A\cup B(并集);C=A\cap B(交集);C=A-B(或C=A\setminus B)(差集);当A\subset B时,A-B=\complement_AB(余集/补集)(其中若限定固定集合A讨论子集,\complement_AB记作\complement BB^{C});\left ( A-B \right )\cup \left ( B-A \right )=A\bigtriangleup B(对称差);

     2、集合的运算:

    • 集合族\left \{ A_{\alpha } \right \}_{\alpha \in I}多个集合的整体构成的集合;
    • 集合族的交集与并集:\bigcup_{\alpha \in I}^{}A_{\alpha }=\left \{ x\mid \exists \alpha \in I,x\in A_{\alpha } \right \}\bigcap_{\alpha \in I}^{}A_{\alpha }=\left \{ x\mid \forall \alpha \in I,x\in A_{\alpha } \right \}
    • 集合交并集具有交换律、结合律以及分配律:A\cup B=B\cup AA\cap B=B\cap AA\cup \left ( B\cup C \right )=\left ( A\cup B \right )\cup CA\cap \left ( B\cap C \right )=\left ( A\cap B \right )\cap CA\cap \left ( B\cup C \right )=\left ( A\cap B \right )\cup \left ( A\cap C \right )A\cup \left ( B\cap C \right )=\left ( A\cup B \right )\cap \left ( A\cup C \right );(其中分配律可以扩展到集合族的形式A\cap \left ( \bigcup_{\alpha \in I}^{} B_{\alpha }\right )= \bigcup_{\alpha \in I}^{} \left ( A\cap B_{\alpha } \right )A\cup \left ( \bigcap_{\alpha \in I}^{} B_{\alpha }\right )= \bigcap_{\alpha \in I}^{} \left ( A\cup B_{\alpha } \right ));
    • 德·摩根(De. Morgan)法则:S-\left ( \bigcup_{\alpha \in I}^{}A_{\alpha } \right )=\bigcap_{\alpha \in I}^{}\left ( S-A_{\alpha } \right )S-\left ( \bigcap_{\alpha \in I}^{}A_{\alpha } \right )=\bigcup_{\alpha \in I}^{}\left ( S-A_{\alpha } \right )

    3、集合列及其上下限集:

    • 集合列\left \{ A_{k} \right \}与函数列类似,集合列就是将集合视为元素的数列;集合列的极限集记为\lim_{k\rightarrow \infty }A_{k}
    • 递减集合列:满足A_{1}\supset A_{2}\supset \cdots A_{k}\supset \cdots的集合列;此时\bigcap_{k=1}^{\infty }A_{k}\left \{ A_{k} \right \}的极限集;
    • 递增集合列:满足A_{1}\subset A_{2}\subset \cdots A_{k}\subset \cdots的集合列;此时\bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\left \{ A_{k} \right \}的极限集;
    • 上限集\varlimsup_{k \to \infty}A_{k}=\lim_{k \to \infty}\sup A_{k}=\left \{ x\mid \forall j\in \mathbb{N},\exists k\geq j,x\in A_{k} \right \}集合列的最大极限集合,\varlimsup_{k \to \infty}A_{k}中的任意元素均在A_{l_{1}},A_{l_{2}},\cdots A_{l_{k}},\cdots(无穷多个A_{k})内,集合写法为\bigcap_{n=1}^{\infty }\bigcup_{m=n}^{\infty }A_{m},指的是\left (\bigcup_{m=1}^{\infty } A_{m} \right )\bigcap \left (\bigcup_{m=2}^{\infty } A_{m} \right )\bigcap \cdots \left (\bigcup_{m=k}^{\infty } A_{m} \right )\bigcap \cdots
    • 下限集\varliminf_{k \to \infty}A_{k}=\lim_{k \to \infty}\inf A_{k}=\left \{ x\mid \exists j_{0}\in \mathbb{N},\forall k\geq j_{0},x\in A_{k} \right \}集合列的最小极限集合,\varliminf_{k \to \infty}A_{k}中只有有限个k使得元素不在A_{k}内,集合写法为\bigcup_{n=1}^{\infty }\bigcap_{m=n}^{\infty }A_{m},指的是\left (\bigcap_{m=1}^{\infty } A_{m} \right )\bigcup \left (\bigcap_{m=2}^{\infty } A_{m} \right )\bigcup \cdots \left (\bigcap_{m=k}^{\infty } A_{m} \right )\bigcup \cdots
    • 上下限集相等\varlimsup_{k \to \infty}A_{k}=\varliminf_{k \to \infty}A_{k},则集合列的极限集存在,且\lim_{k \to \infty}A_{k}=\varlimsup_{k \to \infty}A_{k}=\varliminf_{k \to \infty}A_{k}
    • 递增集合列满足\varlimsup_{k \to \infty}A_{k}=\bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k};递减集合列满足\varliminf_{k \to \infty}A_{k}=\bigcap_{k=1}^{\infty }A_{k}
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  • 6.5 矩阵的运算及其运算规则 一、矩阵的加法与减法  1、运算规则   设矩阵,,  则    简言之,两个矩阵相加减,即它们相同位置的元素相加减!  注意:只有对于两个行数、列数...

    6.5 矩阵的运算及其运算规则

    一、矩阵的加法与减法


      1、运算规则 
      设矩阵
      则
           
      简言之,两个矩阵相加减,即它们相同位置的元素相加减!
      注意:只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵(即同型矩阵),加减法运算才有意义,即加减运算是可行的.

      2、 运算性质 (假设运算都是可行的) 
      满足交换律和结合律
      交换律   
      结合律  
     

    二、矩阵与数的乘法


      1、 运算规则 
      乘矩阵A,就是将数乘矩阵A中的每一个元素,记为
      特别地,称称为的负矩阵.
      2、 运算性质 
      满足结合律和分配律
      结合律: (λμ)A=λ(μA)  (λ+μ)A =λA+μA
      分配律: λ (A+B)=λA+λB

      典型例题 
      例6.5.1 已知两个矩阵

      满足矩阵方程,求未知矩阵
       由已知条件知
         
         
     

    三、矩阵与矩阵的乘法


      1、 运算规则 
      设,则A与B的乘积是这样一个矩阵:
      (1) 行数与(左矩阵)A相同,列数与(右矩阵)B相同,即
      (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘,再取乘积之和.

      典型例题 
      例6.5.2 设矩阵

      计算 
       的矩阵.设它为
            

            
      想一想:设列矩阵,行矩阵的行数和列数分别是多少呢 
      是3×3的矩阵,是1×1的矩阵,即只有一个元素.

      课堂练习 
      1、设,求
      2、在第1道练习题中,两个矩阵相乘的顺序是A在左边,B在右边,称为A左乘B或B右乘A.如果交换顺序,让B在左边,A在右边,即A右乘B,运算还能进行吗?请算算试试看.并由此思考:两个矩阵应当满足什么条件,才能够做乘法运算.
      3、设列矩阵,行矩阵,求,比较两个计算结果,能得出什么结论吗?
      4、设三阶方阵,三阶单位阵为,试求,并将计算结果与A比较,看有什么样的结论.

      解: 
      第1题

      第2题
      对于

      求是有意义的,而是无意义的.

      结论1 只有在下列情况下,两个矩阵的乘法才有意义,或说乘法运算是可行的:左矩阵的列数=右矩阵的行数.
      第3题
      矩阵,的矩阵.
               
                  
        结论2 在矩阵的乘法中,必须注意相乘的顺序.即使在均有意义时,也未必有=成立.可见矩阵乘法不满足交换律.
      第4题
      计算得:
      结论3 方阵A和它同阶的单位阵作乘积,结果仍为A,即
      单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用.

      典型例题 
      例6.5.3 设,试计算
        
           
          
         
           
           
        结论4 两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵.由此若,不能得出的结论.

      例6.5.4 利用矩阵的乘法,三元线性方程组

      可以写成矩阵的形式

     

      若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为

     

      则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式:

      2、 运算性质(假设运算都是可行的) 
      (1) 结合律 
      (2) 分配律 (左分配律);
             (右分配律).
      (3) 
       3、 方阵的幂 
     
      定义:设A是方阵,是一个正整数,规定

    显然,记号表示个A的连乘积.

    四、矩阵的转置


      1、 定义
     
      定义:将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵,记作
      例如,矩阵的转置矩阵为
      2、运算性质(假设运算都是可行的)
      (1)  
      (2)  
      (3)  
      (4) 是常数.

      典型例题 
      例6.5.5  利用矩阵

      验证运算性质: 
          
      而
         
      所以
       
     
     
      定义:如果方阵满足,即,则称A为对称矩阵
      对称矩阵的特点是:它的元素以主对角线为对称轴对应相等.
     

    五、方阵的行列式


      1、定义
     
      定义:由方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式,记作

      2 、运算性质 
      (1)  (行列式的性质)
      (2) ,特别地: 
      (3) 是常数,A的阶数为n)
      思考:设A为阶方阵,那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是,而是

      不妨自行设计一个二阶方阵,计算一下
      例如,则
      于是,而 
      思考:,有几种方法可以求
        方法一:先求矩阵乘法,得到一个二阶方阵,再求其行列式.
        方法二:先分别求行列式,再取它们的乘积.
    展开全文
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    Earth Engine 支持对Geometry对象的各种操作。这些包括对单个几何图形的操作,例如计算缓冲区、质心、边界框、周长等。例如:

    缓冲区100公里的图形,重心就是图中的黑点 

    // 建立一个几何图形
    var polygon = ee.Geometry.Polygon([
      [[-5, 40], [65, 40], [65, 60], [-5, 60], [-5, 60]]
    ]);
    
    // 并按此建立一个缓冲区
    var buffer = polygon.buffer(1000000);
    
    // 计算这些polygon的重心
    var centroid = polygon.centroid();
    Map.addLayer(buffer, {}, 'buffer');
    Map.addLayer(centroid, {}, 'centroid');

    支持的几何运算还包括几何之间的关系计算,例如交集、联合、差异、距离、包含等。为了测试其中一些关系,几何默认使用“奇偶”规则。根据奇偶规则,如果从该点到已知在多边形外部的某个点的线与奇数个其他边相交,则该点在多边形内部。多边形的内部是壳内的所有东西,而不是孔内。作为一个简单的例子,圆形多边形内的一个点必须正好穿过一条边才能脱离多边形。如有必要,几何图形可以选择使用“左内”规则。想象一下按照给定的顺序走环的点;内部将在左侧。

    为了演示使用“左向内”规则 ( ) 创建的几何与使用“奇偶”规则创建的几何之间的区别,以下示例将一个点与两个不同的多边形进行比较:evenOdd: false

    // 创造一个左侧的几何图形用来验证是不是包含在里面
    var holePoly = ee.Geometry.Polygon({
      coords: [
        [[-35, -10], [-35, 10], [35, 10], [35, -10], [-35, -10]]
      ],
      evenOdd: false
    });
    
    // 创建多边形的奇偶版本。
    var evenOddPoly = ee.Geometry({
      geoJson: holePoly,
      evenOdd: true
    });
    
    // 创建一个点来测试多边形的内部。
    var pt = ee.Geometry.Point([1.5, 1.5]);
    
    // 使用 contains 运算符检查内部情况。是否包含的检验
    print(holePoly.contains(pt));       // false
    print(evenOddPoly.contains(pt));    // true

    前面的示例演示了在Polygon构造左多边形时,提供给构造函数的坐标顺序如何 影响结果。具体来说,该点位于左内多边形之外,但位于奇数多边形内。

    以下示例基于两个多边形之间的关系计算和可视化派生几何:也就是两个几何图形之间的交、并、非集。

    显示的结果 

     

    intersection(right, maxErrorproj)

    确定两个是否交的一个函数

    Returns the intersection of the two geometries.

    Arguments:

    this:left (Geometry):

    The geometry used as the left operand of the operation.

    right (Geometry):

    The geometry used as the right operand of the operation.

    maxError (ErrorMargin, default: null):

    执行任何必要的重新投影时允许的最大错误量。

    The maximum amount of error tolerated when performing any necessary reprojection.

    proj (Projection, default: null):

    在其中执行操作的投影。如果未指定,则操作将在球坐标系中执行,并且球体上的线性距离以米为单位。

    The projection in which to perform the operation. If not specified, the operation will be performed in a spherical coordinate system, and linear distances will be in meters on the sphere.

    Returns: Geometry

    // 建两个圆形,创建的方式就是缓冲区
    var poly1 = ee.Geometry.Point([-50, 30]).buffer(1e6);
    var poly2 = ee.Geometry.Point([-40, 30]).buffer(1e6);
    
    // 加载图像
    Map.setCenter(-45, 30);
    Map.addLayer(poly1, {color: 'FF0000'}, 'poly1');
    Map.addLayer(poly2, {color: '0000FF'}, 'poly2');
    
    // 计算交点,以绿色显示。
    var intersection = poly1.intersection(poly2, ee.ErrorMargin(1));
    Map.addLayer(intersection, {color: '00FF00'}, 'intersection');
    
    // 计算并集,以洋红色显示。
    var union = poly1.union(poly2, ee.ErrorMargin(1));
    Map.addLayer(union, {color: 'FF00FF'}, 'union');
    
    // 计算非,显示为黄色。
    var diff1 = poly1.difference(poly2, ee.ErrorMargin(1));
    Map.addLayer(diff1, {color: 'FFFF00'}, 'diff1');
    
    // 计算对称差,以黑色显示。
    var symDiff = poly1.symmetricDifference(poly2, ee.ErrorMargin(1));
    Map.addLayer(symDiff, {color: '000000'}, 'symmetric difference');

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