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  • 并项求和法公式
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    2018-07-29 16:21:52

     

    \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{1}{3}n(n+1)(n+\frac{1}{2} ) = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)

     

    \sum_{i = 1}^{n} i^{3} = \frac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}

     

     

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    数学大师


    等差数列是常见数列的一种,可以用AP表示,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。

    等差数列求和公式

    1.公式法

    c910b683d6b5431e1359e4df20af485a.png

    2.错位相减法

    3c421f05fe05a24644e53377b874eb70.png

    3.求和公式

    99c201de8ae2cce2efd7c790e684ce54.png

    4.分组法

    有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.

    d1c6d6d0b6532238efeee47b6f43aa7f.png

    5.裂项相消法

    适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)-f(n),然后累加时抵消中间的许多项。

    e42c9b1463e63aaf77bc154041e36cba.png


    【小结】此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
    注意:余下的项具有如下的特点1、余下的项前后的位置前后是对称的。2、余下的项前后的正负性是相反的。

    6.数学归纳法

    一般地,证明一个与正整数n有关的命题,有如下步骤:(1)证明当n取第一个值时命题成立;(2)假设当n=k(k≥n的第一个值,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。

    【例】求证:1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

    证明:当n=1时,有:1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

    假设命题在n=k时成立,

    于是:1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

    则当n=k+1时有:

    1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

    = 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

    = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

    = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)

    = [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

    即n=k+1时原等式仍然成立,归纳得证

    7.并项求和法

    (常采用先试探后求和的方法)【例】1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n

    方法一:(并项)求出奇数项和偶数项的和,再相减。

    方法二:(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]

    方法三:构造新的数列,可借用等差数列与等比数列的复合。an=n(-1)^(n+1)

    等差数列判定及其性质

    等差数列的判定
    (1)a(n+1)--a(n)=d (d为常数、n ∈N*)[或a(n)--a(n-1)=d,n ∈N*,n ≥2,d是常数]等价于{a(n)}成等差数列。
    (2)2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。
    (3)a(n)=kn+b [k、b为常数,n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。
    (4)S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B为常数,A不为0,n ∈N* ]等价于{a(n)}为等差数列。

    特殊性质
    在有穷等差数列中,与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和;特别的,若项数为奇数,还等于中间项的2倍,即,a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中

    【例】数列:1,3,5,7,9,11中

    a(1)+a(6)=12 ;

    a(2)+a(5)=12 ;

    a(3)+a(4)=12 ;

    即,在有穷等差数列中,与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和。


    数列:1,3,5,7,9中

    a(1)+a(5)=10 ;

    a(2)+a(4)=10 ;

    a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ;

    即,若项数为奇数,和等于中间项的2倍,另见,等差中项。

    ​数学大师

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  • 高斯求和法

    千次阅读 2021-08-29 23:52:22
    高斯求和公式:和=(首+末项)x数÷2 例, 1+2+3+4+5+…+100 =(1+100)x100÷2 =101x100÷2 =101x50 =5050 这公式怎么来的? 1+2+3..+100 =(1+100)+(2+99)..(50+51) =101*50 =5050 图示如下; 下面来用C语言...

    高斯求和公式:和=(首项+末项)x项数÷2
    例,
    1+2+3+4+5+…+100
    =(1+100)x100÷2
    =101x100÷2
    =101x50
    =5050

    这公式怎么来的?
    1+2+3..+100 
    =(1+100)+(2+99)..(50+51) 
    =101*50 
    =5050

    图示如下;

    下面来用C语言实现一下;

     

    void CGsqhView::OnDraw(CDC* pDC)
    {
    	CGsqhDoc* pDoc = GetDocument();
    	ASSERT_VALID(pDoc);
    	// TODO: add draw code for native data here
    	CString str1;
    	int i , j;
    	j=0;
    	for(i = 1;i<=100; i++){
    		j+= i;
    	}
    	str1.Format("%d", j);
    	pDC->TextOut(20,20,str1);
    
    	
    	int k;
    	k = (100 * (1+100)) / 2;
    	str1.Format("%d", k);
    	pDC->TextOut(20,50,str1);
    }

        前一段代码是一般方法求和,后一段是高斯求和;输出如下;

    显然后者效率高多了;

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    【导读】

    中公事业单位为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试!今天为大家带来数量关系:等差数列中项法求和的应用。

    【导读】

    中公事业单位为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试!今天为大家带来数量关系:等差数列中项法求和的应用。

    下半年的事业单位考试正在来袭,在大家备考过程中不难发现,计算问题属于一类高频考点,而计算问题中的等差数列又是这一类题里最常考的知识点,那么,今天和大家分享的是等差数列中中项法求和公式的应用。我们初中时就知道了等差数列的通项公式和求和公式,但是那时主要应用的求和公式是:前n项和

    530903bdf953ad9445153c969ccdfa98.png,即

    865f6c8778d90e1ac43c6b4c91f9b370.png,而在实际解题过程中我们发现,等差数列的中项法求和公式应用起来解题会更快。所以,对于等差数列的学习,一定要掌握中项法求和的方式。

    中项法求和分为两种情况,一是数列为奇数项时:Sn=中间一项×项数。

    【例1】主席台前排坐着5个人,最小的一个32岁,从第二个起,每个人都比前一个人年龄大3岁,则这个5个人的平均年龄为( )

    A.28 B.35 C.38 D.41

    【答案】C。

    【中公解析】方法一,依题意可知,5人年龄构成公差为3的等差数列,求5人的平均年龄,只需求5人的年龄和,再除以5即可,a1=32,根据通项公式易知a5=44,则

    1244bc5dbccf8be6b3fb23de86f96035.png,所以,5人平均年龄为190÷5=38。

    方法二,由中项法求和可知:五个人的年龄和S5=第三个人的年龄×5,所以第三个人的年龄即等于5人的平均年龄,第一人是32岁,则第二人为35岁,第三人为38岁,此题选C。

    中项法求和的另一种情况是数列为偶数项时:Sn=中间两项和×项数的一半。

    【例2】一张试卷共8道题,后面每一道题总比前一道多4分,如果试卷满分120分,那么第四道题分值是:

    A.17 B.16 C.13 D.11

    【答案】C。

    【中公解析】方法一,依题意,8道题的分值构成公差为4的等差数列,8项的和S8=120,根据通项公式和常规求和公式有:

    4c8137281f3bb06c2eb2cd19d9906466.png……①;a8=a1+(8-1)×4……②;联立两式解得a1=1,所以,a4=1+(4-1)×4=13。

    方法二,由中项法求和可知:S8=120=(a4+a5)×4,则(a4+a5)=30,又因为a5比a4大4,所以a5=17,a4=13.此题选C.

    通过以上两道例题不难看出,在等差数列的计算问题中,如果能灵活运用中项法求和公式,那么解题过程也许会变得简单,更容易得到结果,所以,在事业单位备考过程中,一定要对中项法求和很熟悉,做到灵活运用。

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