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  • 三阶魔方还原 - 只需7步6个公式

    万次阅读 多人点赞 2019-01-19 14:39:29
    (二阶魔方的还原可以完全按照三阶魔方的公式,==待填入网址== 四阶魔方的初级还原方式是先降为三阶,再按照三阶魔方进行还原,==待填入网址==) 所以个人认为三阶魔方是还原 n 阶魔方的基础。   首先要对三...

    这段时间实验室来了段魔方热,为了教0基础的童鞋玩转三阶魔方,我就用4页纸写了4个步骤的公式教,发现写的攻略一看就懂,两个徒弟都是很快就会了,甚至徒弟都收了新的徒弟(笑死hhh= =),所以就用一篇博客总结一下我的傻瓜公式,希望可以“忽悠”更多童鞋来玩。

    三阶魔方的初级还原法,即本文内容,是魔方还原的基础:
    二阶魔方的还原可以完全按照三阶魔方的公式进行还原,“4步2公式”:https://blog.csdn.net/Bob__yuan/article/details/103662803
    四阶魔方的初级还原方式是先降为三阶,再按照三阶魔方进行还原,待填入网址)。
    所以个人认为三阶魔方是还原所有阶魔方的基础。

      首先要对三阶魔方有一个整体的理解,就是三阶魔方的 轴是固定的,也就是说,在转一个面的时候,只有 8 个块在动(因为中心块相对位置永远不变),这一点很重要。还有就是三阶魔方一共 9 + 8 + 9 = 26 个块,其中有棱块 12 个(每层4个),角块 8 个,中心块 6 个(对应6个不同颜色的面),如下图。

      其次需要知道的是三阶魔方公式的含义。公式的定义是在魔方相对自己的位置不变的情况下成立的,也就是在进行一个公式之前,红色面冲自己,白色面朝上,那么这个公式期间,魔方始终保持红色冲自己,白色朝上,进行其他公式之前可以变换魔方的朝向,但是 按照公式旋转期间,魔方朝向是不变的,这也很重要!!。这样才能引出公式中字母表示方法(没有撇就是顺时针,有撇就是逆时针,下标有2就是180度旋转,没有就是90度),顺逆时针都是从改该方向上看,这个面是什么方向转,所以从正面看 R 和 L 的方向是反着的:
      R: 右侧面顺时针旋转,R: 右侧面逆时针旋转, R2: 右侧面旋转180度
      L: 左侧面 … 同理
      F: 正面 … 同理
      B: 背面 … 同理
      U: 顶面 … 同理
      因为底面还原后就不会再动了,一直在底下呆着,所以公式中不会出现底面这个东西。

      最后,就是这篇文章要讲的傻瓜公式(有点傻瓜相机的感觉,因为我的公式是一个步骤记一个公式就可以了,虽然会慢,但是一学就会,一看就懂,而且都理解后可以变快),也就是分七个阶段还原魔方
      1、底面十字
      2、底面还原(一层归位)
      3、中间层还原(两层归位)
      4、顶面十字
      5、顶面还原
      6、顶层中间过程(只剩最后3或4个棱块)
      7、顶层还原(完成!)

    一、底面十字

      还原魔方第一步就是选一个一开始想拼好的面(就是喜欢哪个颜色,先把那个面的9个块拼好),这一步还不是拼好,而是拼出个十字。虽然叫作底面,但是还原之后还是要要把这个面朝上观察比较方便,但是因为公式 3-7 步都是这个面朝下,所以我管它叫作底面
      这一步其实是没有公式的,只需要记住我们的目的是将底面的四个棱块对位到对应位置,同时记住上边讲的旋转一个面只会有8个块动,就可以完成了,只不过是熟能生巧,转多了就有比较快速的想法进行对位了。

    二、底面还原

      还是以白色为底面,和第一步一样没有公式,就是简单的角块移动

    三、中间层还原

      前两步结束底面9个块就都归位了,把魔方掉个个儿,让底面真的朝下(白色朝下),然后它就一直朝下了。
      这一步就是还原中间一层的四个棱块只关心棱块即可!!!!)。这一步的思想就是,先看顶面颜色(也就是顶面中心块的颜色),然后在顶层四个棱块中找没有这个颜色的,如果找到了,那就把第三层的棱块转到相应颜色的面上,再看顶面上这个块是什么颜色(只可能是左边面颜色或者右边面颜色),
      如果是左边面,如下图,那就用公式 F3.1:

    公式 F3.1 :U'L'ULUFU'F'

      如果是右边面,如下图,那就用公式 F3.2:

    公式 F3.2 : URU'R'U'F'UF

      上边两个公式其实很容易看出来是对称的,总结来说,就是要是要归位到左边,那就先把他往右掰,如果要归位到右边,那就先把他往左掰,然后用一个小白块(底面颜色)先出去,带上它,再回来。魔方小站里边管这一步叫作“远切回回,接孩子放学”,公式中体现不出来,但是实际拧的时候,会发现,前4步把孩子送到“学校”(离远点),后四步转一下魔方朝向,去接孩子,然后两个块一起“回家”,还是蛮形象的,“远切回回,接孩子放学”。
      如果四个棱块都有黄色,那就说明中间层棱块已经在中间层上了,因为没有别的地方可以躲了 = =,要不就是反了(如下图),要不就是已经好了,要不就是出现在不该在的位置,那么就用上述两个公式中其中一个,把这个不该在这个位置的棱块转出来,再按上边公式归位到正确位置即可。

    四、顶面十字

      顶面十字过程,只需要观察顶面的棱块即可(角块不关心),所以这一步的示例图就用平面图代替(顶面)。这一步的公式依然只有一个,不过对于不同情况,需要使用 0 ~ 3 次公式进行还原(公式中顶面仍然是T,不过这里只展示顶面平面图)。

    公式 F4 : FRUR'U'F'

      这一个步骤,只观察顶面棱块和中心块,也就是只关心这个 5 个块,一共只会出现4总情况:
      1、一个点:就是只有中心块,4个棱块在顶面的颜色都不是中心块颜色(情况1)
      2、小拐弯:就是中心块和左边、上边棱块是对的,其他情况旋转一下可以得到这个相对位置(情况2)
      3、“一”字 :就是中心块和左边、右边边棱块是对的,上下对的情况旋转一下可以得到这个相对位置(情况3)
      4、“十”字:就是中心块以及4个棱块都是对的了,这是这一步的目标(情况4)
      如果第三步完成后,直接就是情况4,那第4步已经完成,可以跳过了。如果不是情况4,那就按照下图所示路线,进行最少一次,最多三次的公式 F4,一定要注意顶面棱块的相对位置!!也就是 “一”字 一定是横着的,小拐弯 一定在左上角

      另外,因为小拐弯一次公式后,就是情况3,不需要再旋转,所以其实公式中的 F 和 F 是可以省略的,多练一练就熟悉了。

    五、顶面还原

      这一步的目的就是让顶面9个块颜色变为一致(只需要调整顶层四个角块的朝向)。公式依然只有一个,虽然确实是有别的公式可以更快完成,但是本着“傻瓜公式”原则,只需要记一个公式即可。

    公式 F5 : RU'U'R'U'RU'R'

      这一步情况比较多,记住每种情况怎么拿着魔方即可,因为公式只有一个(而且这个公式很好记的一点是,顶面只会逆时针转!上右右下右上右下!)。

      总结来说,就是出现像小鱼的情况,那就让鱼头朝右上方即可,如果忘记了魔方朝向应该是什么样,就一直重复公式5,知道出现很重要的那条小鱼为止
      其实这步用“上右右下右上右下”记好记,“上”代表右侧面向上拧(顺时针),“右”代表顶面向右拧(逆时针),“下”代表右侧面向下拧。可以发现有几次“上”,就一定有几次“下”(因为要保证底面不被破坏),而且顶面只向右拧,且一定是4的倍数次(因为要让底面出去的小白块回来)。
      多转几次就会发现,其实这个公式5,是让顶面的四个角块交叉变换,如下图所示。

    六、顶层中间过程

      第五步结束,顶面颜色都对了,但是顶层的9个颜色不一定是对的,这一步是中间过程,目的是让顶层只有棱块不对,角块都对。公式依然只有一个。

    公式 F6 : RB'RF2R'BRF2R2

      这一步一共只有三种情况:
      1、没有一个面上角块是对的
      2、有一个面角块是对的
      3、四个面角块都是对的。

      我们的目标就是情况3,所以如果直接就是情况3,这一步就跳过了。

    七、顶层还原

      这是三阶魔方的最后一个步骤,把顶层的4个棱块归位。这步一共也是只有三种情况:
      1、四个棱块都不对
      2、有一个棱块是对的
      3、四个棱块都是对的。
      目标就是情况3,不用多说,因为情况3魔方就已经还原了。第2中情况是有两种小情况的,一是三个不对的棱块颜色应该按照顺时针转就对了,二是逆时针转。再次本着“傻瓜公式”原则,只给出一个公式。公式7是从顶面观察的效果。其实很好记,就是4个棱块都不对时,魔方朝向随便,拧一次公式后,会有一个棱块是对的,把这个面朝后边,再拧公式即可。公式可以同5中一样,记为 上右上左上左上右下右,右侧180。

    公式 F7 : RU'RURURU'R'U'R2

      写在最后,个人认为三阶魔方是 n 阶常规魔方的基础,会了三阶魔方就完全会二阶魔方,会了一大半四阶魔方,以及会了三阶“变形金刚”魔方,所以这篇“傻瓜公式”写的还是比较认真,详细的,希望大家喜欢= =。

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  • Word 2016 撰写论文(1): 公式居中、编号右对齐

    万次阅读 多人点赞 2018-08-15 18:59:56
    写论文时,要求公式居中,编号右对齐。刚开始碰到这种问题,很麻烦,网上看了好多方法,目前,两种方法比较实用。第一种是表格法,方便快捷;第二种是制表位法,刚开始设置比较繁琐,一旦设置好了,比表格法速度还要...

    目录

    方法1:表格法

    方法2:制表位法

        新建“样式”批量设置

    参考资料


    写论文时,要求公式居中,编号右对齐。刚开始碰到这种问题,很麻烦,网上看了好多方法,目前,两种方法比较实用。第一种是表格法,方便快捷;第二种是制表位法,刚开始设置比较繁琐,一旦设置好了,比表格法速度还要快。个人推荐制表位法,当然,这样看自己的习惯了。下面将依次介绍两种方法实现公式居中,编号右对齐。

     


     

    方法1:表格法

    1、插入一行三列的表格,在表格中依次插入公式,序号;

     

    2、接下来,设置公式居中,编号右对齐。将光标定位到公式处的单元格 ——> 段落选项卡选择居中的图标;

         再选中表格中编号处单元格 ——> 段落卡选择右对齐的图标。设置完成后,公式居中,编号右对齐了,接下来将表格的框线去除就可以了。

     

    3、选中整个表格——>段落选项卡找到边框的图标 ——> 选择“无框线”。

         这样,就设置完毕了,其他的基本设置,自己慢慢探索吧。


     

    方法2:制表位法

          插入制表位的思想是用两个制表位将一行分为三个部分,关键在于两个制表位参数的设置。这也是制表位中较为繁琐的,不同期刊要求的页面的页边距不同,所设置的也不同。

    1、熟悉制表位

       光标在任意位置 ——> 右击选择“段落” ——> 选择“制表位” ——> 看到对齐方式:“居中”,“右对齐”

     

    2、 熟悉自己页面纸张大小和页边距,一般论文都是用默认的A4纸,A4纸大小为 21cm×29.7cm。 页边距默认为:上下左右分别为:2.54cm,2.54cm,3.18,cm,3.18cm。下面将以这些参数设置制表符,这些参数一定要知道,也是制位表的关键。

     

    3、熟悉了制位表,纸张大小和页边距,下面就要正式进入主题了。

    (1)第一个制表位:设置在页面中间,计算公式为:(21cm-3.18cm×2)÷2=7.32 cm ;

    (2)第二个制表位:设置在页面右侧,计算公式为:21cm-3.18cm=17.82 cm ;

    看到这,是不是很懵,默默地拿起笔,在纸上算,什么鬼,居然还有计算公式?为了更直观理解,可以参考下图。

     

    (3)设置第一个制表位,在光标处右击“段落” ——> “制表位” ——> “制表位位置” 输入:7.32厘米 ——> “对齐方式” 选择“居中” ——> 确定;

     

     

    (4)设置第二个制表位

             在光标处右击“段落” ——> “制表位” ——> “制表位位置”输入:17.82厘米 ——> “对齐方式”选择“右对齐”——>确定;

     

    (5)设置好制表位后,在原先的光标处输入公式和编号,此时公式和编号处于居中,将光标放到公式前面,按“<——Backspace” 键,使其左对齐;

     

    (6)光标放在公式前,按“Tab”键;此时,公式和编号居中。

             接着光标定位到公式后和编号中间,同样按“Tab”键,此时公式居中,编号右对齐。

     

    至此,制位表法设置完毕。假如每个公式都是这样设置,太麻烦,刚才是针对某一个公式设置。实际,在写论文,有很多公式,此时需要借助“样式”,来帮助我们完成批量设置。

     

     

        新建“样式”批量设置

    (1)第一步,新建公式的样式。

             选择“样式选项卡”右下角小箭头,选择“新建样式”;

       

         设置名称为:公式

         后续段落样式为:正文

         选择 ——> 格式 ——> 制表位,与之前设置制表位样,分别设置第一个制表位 7.32厘米 和 第二个制表位 17.82厘米

     

     

     

    (2)设置好后,“样式选项卡”多出一个“公式”样式,此时在文档的任意位置输入公式和编号,注意,此时公式和编号的样式属于“正文”,光标定位到公式那一行,选择样式“公式”;

     

    (3)与之前的步骤相同,将光标分别放到公式前面,按“<——Backspace”键,使其左对齐。

         

          分别将光标放在公式前,按“Tab”键;此时,公式和编号居中。

           接着将光标定位到公式后和编号中间,同样按“Tab”键,此时公式居中,编号右对齐。

           

    以上,对论文中,公式居中、编号右对齐的就设置完毕了。个人推荐制位表法,尤其是,有很多公式的时候,设置一个样式就OK了。其实,在编号一般要自动设置,这样在论文修改时,删除某一个公式,编号会自动变化。如果没有设置自动编号,那样,费时间,牵一发而动全身。自动编号有很多种方法,一种是:在Word 2016 设置“插入题注”。另一种是MathType公式编辑器中设置,插入编号。当然,我推荐,使用Word 2016 设置“插入题注”,简单方便。关于插入题注和交叉引用方法,可以参考另一个博文:Word 2016 撰写论文:交叉引用,公式自动设置编号可以借鉴。

     

    注:本博客于2019年5月6日 19:48更新:将3.17改为3.18。

    若有更好的方法欢迎到评论区留言,一起学习,共同进步。

     


     

    关于 Word 撰写论文 其他的注意及使用技巧可参见我的其他博文:

    [1] Word 2016 撰写论文(2): 交叉引用

    [2] Word 2016 撰写论文(3): 文献中常见的表格(三线表)制作

    [3] Word 2016 撰写论文(4): 批量修改MathType公式字体大小

    [4] Word 2016 撰写论文(5): MathType 矩阵中的每个元素居中对齐

    [5] Word 2016 撰写论文(6): 取消/撤销 自动编号

    [6] Word 2016 撰写论文(7): 毕业论文中引用多篇参考文献

     

    还有关于 LaTex 论文排版 相关内容:

    [1] LaTex 论文排版(1): Win10 下 LaTex所需软件安装 (Tex live 2018 + Tex studio)

    [2] LaTex 论文排版(2): 插入公式 (从MathType公式编辑器导入到LaTex中)

    [3] LaTex 论文排版(3): 插入参考文献

    [4] LaTex 论文排版(4): 插入图片(Visio图转换成.eps图)

     


     

    参考资料

    [1] https://jingyan.baidu.com/article/948f592421b812d80ef5f971.html

    [2] https://zhidao.baidu.com/question/2207504816335761148.html

    [3] http://blog.sina.com.cn/s/blog_16c899fde0102wzgc.html

     


     

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  • 泰勒公式(泰勒展开式)通俗+本质详解

    万次阅读 多人点赞 2019-03-03 12:54:53
    比较通俗地讲解一下泰勒公式是什么。 泰勒公式,也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息,描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,泰勒公式可以利用这些导数值来做...

     

    比较通俗地讲解一下泰勒公式是什么。

    泰勒公式,也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息,描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,泰勒公式可以利用这些导数值来做系数,构建一个多项式近似函数,求得在这一点的邻域中的值

    所以泰勒公式是做什么用的?

    简单来讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像),注意,逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。如果一个非常复杂函数,想求其某点的值,直接求无法实现,这时候可以使用泰勒公式去近似的求该值,这是泰勒公式的应用之一。泰勒公式在机器学习中主要应用于梯度迭代。

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    1. 问题的提出 

    多项式   是最简单的一类初等函数。关于多项式,由于它本身的运算仅是有限项加减法和乘法,所以在数值计算方面,多项式是人们乐于使用的工具。因此我们经常用多项式来近似表达函数。这也是为什么泰勒公式选择多项式函数去近似表达给定的函数。

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    2. 近似计算举例

    初等数学已经了解到一些函数如: 的一些重要性质,但是初等数学不曾回答怎样来计算它们,以 f(x) = \small \cos x 的近似计算为例:

    ①. 一次(线性)逼近                                                                             

    利用微分近似计算公式 f(x) \small \approx f(\small x_{0}) + {f}'(\small x_{0})(x - \small x_{0}) (该式由导数/微分的极限表达公式转换得到),对 \small x_{0} = 0 附近的 f(x) 的线性逼近为: f(x) \small \approx f(0) + {f}'(0) x , 所以 f(x) = \small \cos x \small \approx 1,所以 f(x) 在 \small x_{0} = 0 附近的线性逼近函数 P_{1}(x) = 1,如下图:

    线性逼近优点:形式简单,计算方便;缺点:离原点O越远,近似度越差。  

    ②. 二次逼近     

    二次多项式 逼近 f(x) = \small \cos x ,我们期望:    

    \small P_{2}\left ( 0 \right ) = \small f\left ( 0 \right ) = \small \cos 0 = 1 = \small a_{0}  ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的函数值相等 );

    \small {P_{2}}'\left ( 0 \right ) = \small f{}'\left ( 0 \right ) = \small \sin 0 = 0 = \small a_{1}  ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的斜率相等 );  

    \small {P_{2}}''\left ( 0 \right ) = \small {f}''\left ( 0 \right ) = \small -\cos 0 = -1,所以 \small a_{2} = \small -\frac{1}{2}  ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的曲率相等 ); 

     所以 \small \cos x \small \approx \small P_{2}\left ( x \right ) = 1 - \small \frac{x^{2}}{2},如下图:

    二次逼近要比线性逼近好得多,但局限于 [ \small -\frac{\pi }{2}\small \frac{\pi }{2} ] 内,该范围外,图像明显差异很大。为什么我们期望两个函数在某一点的函数值 、一阶导数值、二阶导数值相等?因为这些值表达了函数(图像)最基本和最主要的性质,这些性质逼近即可以使得两个函数逼近(由上面函数图像可以直观地看出来)

    ③. 八次逼近 

     八次多项式   逼近 f(x) = \small \cos x ,我们期望:     

     \small P_{8}\left (0 \right ) = f\left ( 0 \right ) ,求出  \small a_{0} = 1   ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的函数值相等 );       

     \small {P_{8}}'\left ( 0 \right ) = {f\left ( 0 \right )}',求出 \small a_{1} = 0   ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的斜率相等 );

     .... .... ....          

     \small {P_{8}}^{(8)}\left ( 0 \right ) = f^{(8)}(0),求出 \small a_{8} = \frac{1}{8!}  ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的曲率相等 );                                               

    所以    ,如下图:

    \small P_{8}\left ( x \right ) (绿色图像) 比 \small P_{2}\left ( x \right ) (蓝色图像) 更大范围内更接近余弦函数 (红色图像)   

    由上述3次不同程度的函数逼近可以看出:对于精确度要求较高且需要估计误差的时候,必须用高次多项式来近似表达函数,同时给出误差公式 。

    以上就是利用多项式函数去逼近给定函数的一个过程。

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    3. 泰勒公式的推导

    由此引出一个问题:给定一个函数 \small f\left ( x \right ) ,要找一个在指定点 \small x_{0} 附近与 \small f\left ( x \right ) 很近似的多项式函数 \small P\left ( x \right ),记为:         

      使得  \small f\left ( x \right ) \small \approx  \small P_{n}\left ( x \right ) 并且使得两者误差 \small R_{n}\left ( x \right ) = f\left ( x \right ) - P_{n}\left ( x \right ) 可估计。所以要找的多项式应该满足什么条件,误差是什么?

    从几何上看,\small y = f\left ( x \right )\small y = P_{n}\left ( x \right ) 代表两条曲线,如下图:

           

    使它们在 \small x_{0} 附近很靠近,很明显:

    1. 首先要求两曲线在 \small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right ) 点相交,即  \small P_{n}\left ( x_{0} \right ) = f\left ( x_{0} \right )             

    2. 如果要靠得更近,还要求两曲线在  \small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right ) 点相切,(由图像可以直观看出,相交 [ 棕色和红色图像 ] 和 相切 [ 绿色和红色图像 ],两曲线在 \small x_{0} 附近的靠近情况明显差异很大,相切更接近),即 \small {P_{n}}'\left ( x_{0} \right ) = {f}'\left ( x_{0} \right )                                                

    3. 如果还要靠得更近,还要求曲线在  \small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right ) 点弯曲方向相同,(如上图,弯曲方向相反 [ 绿色和红色图像 ];弯曲方向相同[ 蓝色和红色图像 ],明显在离 \small x_{0} 很远的地方,弯曲方向相同两函数的差异更小一点),即 \small {P_{n}}''\left ( x_{0} \right ) = {f}''\left ( x_{0} \right ) ,进而可推想:若在 \small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right ) 附近有 \small {P_{n}}'\left ( x_{0} \right ) = {f}'\left ( x_{0} \right )\small {P_{n}}''\left ( x_{0} \right ) = {f}''\left ( x_{0} \right ) \small \cdots \cdots \cdots  \small P_{n}^{\left ( n \right )}\left ( x_{0} \right ) = f^{n}\left ( x_{0} \right ),近似程度越来越好。

    综上所述,所要找的多项式应满足下列条件:

                  

    解释一下上面的转换时如何做的,以上面第三行的二阶导数为例: 

    第一个箭头的转换:将 \small P_{n}\left ( x \right ) 求二阶导函数后将 \small x_{0} 带入,求得 \small {P_{n}}''\left ( x_{0} \right ) = 2!a_{2} 

    第二个箭头的转换:所以 \small {f}''\left ( x_{0} \right ) = 2!a_{2},所以 \small a_{2} = \frac{1}{2!}{f}''\left ( x_{0} \right ) 

    多项式函数   中的系数 \small a 可以全部由 \small f\left ( x \right ) 表示,则得到: 

    其中误差为  \small R_{n} \left ( x \right ) = f\left (x \right ) - P_{n}\left ( x \right )。 因为是用多项式函数去无限逼近给定的函数,所以两者之间肯定存在一丢丢的误差。

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    4. 泰勒公式的定义

    所以我们就得到了泰勒公式的定义:

    如果函数 \small f\left ( x \right ) 在含 \small x_{0} 的某个开区间  \small \left ( a,b \right )  内具有直到  \small \left ( n+1 \right ) 阶导数,则对  \small \forall x \in \left ( a,b \right ) ,有  

       

    其中余项 (即误差)  \small R_{n}\left ( x \right ) = \frac{f^{\left ( n+1 \right )}(\xi )}{\left ( n+1 \right )!}(x-x_{0})^{n+1} , \xi 在 \small x_{0} 与 x 之间。 泰勒公式的余项表达方式有好几种,前面这种表是方法称为n阶泰勒展开式的拉格朗日余项。拉格朗日余项即是n阶泰勒公式又多展开了一阶,n变为n+1。注意,这里的余项即为误差,因为使用多项式函数在某点展开,逼近给定函数,最后肯定会有一丢丢的误差,我们称之为余项。

    ****************************************************************************************************************************************

    ****************************************************************************************************************************************

    5. 扩展 —— 麦克劳林公式

    是泰勒公式的一种特殊情况:即当 \small x_{0} = 0 时的泰勒公式。所以将 \small x_{0} = 0 带入公式,即得:

    几个常见的初等函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式:

     佩亚诺余项为    \small \left ( x-x_{0} \right )^{n} 的高阶无穷小 :                                  

                                                                 

     

     

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  • 前面已经在从知乎几个大神那里转载了一些比较通俗易懂的三个公式的推导,现在着重讲一下本人所理解的几个公式之间的相互关系及物理意义。 格林公式其实表达的是能量守恒的关系,比较详细的解释可以参照知乎的这篇...

     最近要推倒波动方程积分解,要对散度、旋度以及他们之间的相互关系有一个理解。看了两天,自己认为理解的差不多了,现在写在这个地方,作为笔记,以后忘记了拿过来看一下,加深一下印象。

    前面已经在从知乎几个大神那里转载了一些比较通俗易懂的三个公式的推导,现在着重讲一下本人所理解的几个公式之间的相互关系及物理意义。

    格林公式其实表达的是能量守恒的关系,比较详细的解释可以参照知乎的这篇文章(https://www.zhihu.com/question/22674439),其主要功能是构建曲线积分和曲面积分的关系,推倒过程简述如下:

    最终可得如下结果:

    将其拓展到三维,就得到斯托克斯公式,其表达式为

    将散度展开,则表达式为

    比较格林公式和斯托克斯公式,可以看到格林公式是斯托克斯公式在xy面上的投影

    不过斯托克斯公式从做功的角度进行理解还是有点太抽象,本来这个公式的产生是为了计算物理中的磁场通量,即电场产生磁场,规定线圈逆时针为正方向,用右手定律可知z方向为磁通量正方向(如上图),而磁通量可以按照曲面形状分别投影到三个坐标平面进行求取,即三个坐标平面的投影面积乘上相对应的磁通量分量,这样理解的话与高斯公式有一定的相似之处(都是计算通量),可以说高斯公式是斯托克斯公式的特殊情况,只是高斯公式构建了三维体积分和闭合曲面积分之间的关系,而斯托克斯公式构建的是面积分和闭合曲线之间的关系(曲面可以不闭合)。这么说可能还是有点抽象,现在给出高斯公式的具体物理意义:

    比如说,闭合曲面中有很多点往外散发能量,现在要求取闭合曲面往外散射的能量(通过闭合曲面的能量),这个时候有两种方法,一种是在闭合曲面上取很小的一个面积乘上这个面积上的强度,按照微积分学的基本思想,在曲面上求取曲面积分,其表达式为

    另外一种方法就是对闭合曲面内中的每个点进行体积分,其表达式为

    这就是高斯公式的表达式。

    将高斯公式与斯托克斯公式进行比较,可以发现

    1. 二者都是描述通量,不同之处在于高斯公式对应有源闭合曲面情况,斯托克斯公式对应无源曲面情况,在此种情况下如果都为闭合曲面,斯托克斯公式对应的通量为零,高斯公式对应的通量非零;
    2. 斯托克斯公式对应的通量是矢量(平行曲面法向方向),高斯公式对应的通量为标量没有方向,这是二者本质区别;

    由以上分析可以知道  高斯公式是斯托克斯公式的特殊形式,在一定情况下斯托克斯公式能退化成高斯公式。

    以上是我对这三个公式的理解,如有不当或者错误的地方,大神们请提出宝贵意见。

    另外插播一条广告,摘抄的方向导数

     

     

     

    现在我们来讨论函数在一点沿某一方向的变化率问题.

    定义 设函数在点的某一邻域内有定义.自点引射线.设轴正向到射线的转角为(逆时针方向:0;顺时针方向:0),并设'(+△,+△)为上的另一点且'∈.我们考虑函数的增量(+△,+△)-'两点间的距离的比值.当'沿着趋于时,如果这个比的极限存在,则称这极限为函数在点沿方向的方向导数,记作,即

                                  (1)

    从定义可知,当函数在点的偏导数x、y存在时,函数在点沿着轴正向=轴正向=的方向导数存在且其值依次为x、y,函数在点沿轴负向=轴负向=的方向导数也存在且其值依次为-x、-y.

    关于方向导数的存在及计算,我们有下面的定理.

    定理  如果函数在点是可微分的,那末函数在该点沿任一方向的方向导数都存在,且有

                                                        (2)

    其中轴到方向的转角.

    证  根据函数在点可微分的假定,函数的增量可以表达为

               

    两边各除以,得到

                         

    所以                 

    这就证明了方向导数存在且其值为

                               

     

    完毕

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