精华内容
下载资源
问答
  • 公式
    千次阅读
    2020-12-20 11:37:44

    弧长 计算公式

    弧长计算公式

    弧长的定义 在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。有优弧劣弧之分。

    弧长的计算公式 弧长公式:n 是圆心角度数,r 是半径,a 是圆心角弧度。

    公式 l = n(圆心角)x π(圆周率)x r(半径)/180 在半径是 R 的圆中,因为 360°的圆心角所对的弧长就等于

    圆周长 C=2πR,所以 n°圆心角所对的弧长为 l=n°πR÷180°。 例:半径为 1cm,45°的圆心角所对的弧长为 l=nπR/180 =45×π×1/180 =45×3.14×1/180 约等于 0.785(cm)

    拓展 扇形面积公式:S(扇形面积)=n(圆心角度数)x π(圆周

    率)x r²【半径的平方(2 次方)】/360 例子

    如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线 将圆锥体剪开铺平,就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径

    精选文库

    为圆锥体的母线长,弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个 圆组成的,这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。

    补充公式 S 扇=nπr*2/360 =πrnr/360 =2πrn/360×1/2r =πrn/180×1/2r 所以:S 扇=rL/2 还可以是 S 扇=n/360πr² (n 为圆心角的度数,L 为该扇形对应的弧长。) 圆锥母线,弧长,面积计算公式

    圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积 其中:圆锥体的侧面积=πRL 圆锥体的全面积=πRl+πR2 π 为圆周率≈3.14 R 为圆锥体底面圆的半径 L 为圆锥的母线长 我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意 一点的线段叫作圆锥的母线 (注意:不是圆锥的高)是展开扇形的边长 n 圆锥圆心角=r/l*360 360r/l 弧长=圆周长

    --

    2

    精选文库

    侧面展开图的圆心角求法:n=360r/R=πRr 或 2πr=nπr/180 n=360r/R 。如果题目中有切线,经常用的辅助线是链接圆心和切 点的半径,得到直角,再用相关知识解题。 扇形的面积

    扇形的面积 扇形是与圆形有关的一种重要图形,其面积与圆心角(顶角)、 圆半径相关,圆心角为 n°,半径为 r 的扇形面积为 n/360*πr^2。 如果其顶角采用弧度单位,则可简化为 1/2×弧度×半径平方。 扇形还与三角形有相似之处,上述简化的面积公式亦可看成: 1/2×弧长×半径,与三角形面积:1/

    2020-05-10

    107人浏览

    弧长的公式、扇形面积公式

    .

    【本讲教育信息】

    一. 教学内容: 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积

    二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式,并会应用公式解决问题。

    三. 重点及难点 重点:

    1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点: 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。

    [知识要点] 知识点 1、弧长公式

    因为 360°的圆心角所对的弧长就是圆周长 C=2 R,所以 1°的圆心角所对的弧长是

    ,于是可得半径为 R 的圆中,n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式:

    说明:(1)在弧长公式中,n 表示 1°的圆心角的倍数,n 和 180 都不带单位“度”,

    例如,圆的半径 R=10,计算 20°的圆心角所对的弧长 l 时,不要错写成

    (2)在弧长公式中,已知 l,n,R 中的任意两个量,都可以求出第三个量。

    知识点 2、扇形的面积 如图所示,阴影部分的面积就是半径为 R,圆心角为 n°的扇形面积,显然扇形的面积

    是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是 360°的扇形面积等于圆面积 ,所以圆心角

    为 1°的扇形面积是 ,由此得圆心角为 n°的扇形面积的计算公式是

    又因为扇形的弧长

    ,扇形面积

    ,所以又得到扇形面积

    的另一个计算公式:

    知识点 3、弓形的面积 (1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长+弧长

    .

    .

    (3)弓形的面积 如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把 扇形 OAmB 的面积和△AOB 的面积计算出来,就可以得到弓形 AmB 的面积。

    当弓形所含的弧是劣弧时,如图 1 所示, 当弓形所含的弧是优弧时,如图 2 所示, 当弓形所含的弧是半圆时,如图 3 所示, 例:如图所示,⊙O 的半径为 2,∠ABC=45°,则图中阴影部分的面积是 ( ) (结果用 表示)

    分析:由图可知

    由圆周角定理可知∠ABC= ∠AOC,所以

    ∠AOC=2∠ABC=90°,所以△OAC 是直角三角形,所以

    所以

    注意:(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。

    圆周长

    弧长

    2020-05-23

    49人浏览

    弧长的公式扇形面积公式

    【本讲教育信息】

    一.教学内容: 弧长及扇形的面积

    圆锥的侧面积 二.教学要求

    1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式,并会应用公式解决问题。 三.重点及难点 重点:

    1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点:

    1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 [知识要点]

    知识点 1、弧长公式 因为 360°的圆心角所对的弧长就是圆周长 C=2 R,所以 1°的圆心角所对的弧长是

    ,于是可得半径为 R 的圆中,n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式:

    说明:(1)在弧长公式中,n 表示 1°的圆心角的倍数,n 和 180 都不带单位“度”,

    例如,圆的半径 R=10,计算 20°的圆心角所对的弧长 l 时,不要错写成

    (2)在弧长公式中,已知 l,n,R 中的任意两个量,都可以求出第三个量。

    知识点 2、扇形的面积

    如图所示,阴影部分的面积就是半径为 R,圆心角为 n°的扇形面积,显然扇形的面积

    是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是 360°的扇形面积等于圆面积 ,所以圆心角

    为 1°的扇形面积是 ,由此得圆心角为 n°的扇形面积的计算公式是

    又因为扇形的弧长

    ,扇形面积

    ,所以又得到扇形面积的另

    一个计算公式:

    知识点 3、弓形的面积 (1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长+弧长 (3)弓形的面积

    如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把

    扇形 OAmB 的面积和△AOB 的面积计算出来,就可以得到弓形 AmB 的面积。

    当弓形所含的弧是劣弧时,如图 1 所示,

    ?

    当弓形所含的弧是优弧时,如图 2 所示,

    当弓形所含的弧是半圆时,如图 3 所示, 例:如图所示,⊙O 的半径为 2,∠ABC=45°,则图中阴影部分的面积是(???????) (结果用 表示)

    分析:由图可知

    由圆周角定理可知∠ABC= ∠AOC,所以∠

    AOC=2∠ABC=90°,所以△OAC 是直角三角形,所以

    所以

    注意:(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。

    圆周长

    2020-03-29

    318人浏览

    弧长 计算公式复习进程

    精品文档

    弧长计算公式

    弧长的定义 在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。有优弧劣弧之分。

    弧长的计算公式 弧长公式:n 是圆心角度数,r 是半径,a 是圆心角弧度。

    公式 l = n(圆心角)x π(圆周率)x r(半径)/180 在半径是 R 的圆中,因为 360°的圆心角所对的弧长就等于

    圆周长 C=2πR,所以 n°圆心角所对的弧长为 l=n°πR÷180°。 例:半径为 1cm,45°的圆心角所对的弧长为 l=nπR/180 =45×π×1/180 =45×3.14×1/180 约等于 0.785(cm)

    拓展 扇形面积公式:S(扇形面积)=n(圆心角度数)x π(圆周

    率)x r²【半径的平方(2 次方)】/360 例子

    如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线 将圆锥体剪开铺平,就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径

    精品文档

    精品文档

    为圆锥体的母线长,弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个 圆组成的,这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。

    补充公式 S 扇=nπr*2/360 =πrnr/360 =2πrn/360×1/2r =πrn/180×1/2r 所以:S 扇=rL/2 还可以是 S 扇=n/360πr² (n 为圆心角的度数,L 为该扇形对应的弧长。) 圆锥母线,弧长,面积计算公式 圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积 其中:圆锥体的侧面积=πRL 圆锥体的全面积=πRl+πR2 π 为圆周率≈3.14 R 为圆锥体底面圆的半径 L 为圆锥的母线长 我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意 一点的线段叫作圆锥的母线 (注意:不是圆锥的高)是展开扇形的边长 n 圆锥圆心角=r/l*360 360r/l 弧长=圆周长

    精品文档

    精品文档

    侧面展开图的圆心角求法:n=360r/R=πRr 或 2πr=nπr/180 n=360r/R 。如果题目中有切线,经常用的辅助线是链接圆心和切 点的半径,得到直角,再用相关知识解题。 扇形的面积

    扇形的面积 扇形是与圆形有关的一种重要图形,其面积与圆心角(顶角)、 圆半径相关,圆心角为 n°,半径为 r 的扇形面积为 n/360*πr^2。 如果其顶角采用弧度单位,则可简化为 1/2×弧度×半径平方。 扇形还与三角形有相似之处,上述简化的面积公式亦可看成: 1/2×弧长×半径

    2020-05-28

    10人浏览

    弧长计算公式及扇形面积计算公式

    教学目标

    知识与技能 经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;了解弧长 计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题

    过程与方法 经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养 学生的探索能力;了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数 学运用能力.

    情感态度与价值观 经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教 学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性;通过用弧 长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发 学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力.

    重点 经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形面积计算 公式;会用公式解决问题.

    难点 探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题.

    教学流程设计

    活动流程图 活动内容和目的 (一)复习、引出问题 回顾旧知,提出相关新问题 (二)分析、探究、得出公式 学生通过观察、探究得出弧长及扇形面积 公式 (三)公式应用 弧长及扇形面积公式的应用 (四)应用、练习 利用公式解决数学问题 (五)小结 归纳所学知识 (六)作业 布置适当的作业,加深对知识的理解 教学过程设计 问题与情景 师生行为 设计意图 【活动一】复习,引出问题 1.半径为 R 的圆的周长是多少?圆周长可以看作是多少度的圆心角所对 的弧? 2.1°圆心角所对弧长是多少?2°呢?……n°呢? 老师提出问题,学生 思考并回答 回顾旧知识,提出新问题 【活动二】观察,得出弧长公式: 在半径为 R 的图中,n°的圆心角所对的弧长为: 并直接应用公式进行有关的练习 让学生观察,师生共同推导出弧长公 式,并能正确应用公式进行计算 理解弧长与圆心角、半径之间的关系,探索弧长 的计算公式,并运用公式进行计算 【活动三】提问:1、什么是扇形?2、半径为 R 的圆的面积是多少? 类比【活动一】【活动二】,由扇形面积与圆的面积的关系,得出扇形面 积公式为:

    比较:

    得到扇形面积

    另一个公式为: 让学生观察,师生共同推导出扇形面积公式,并能正确

    应用 理解扇形面积与圆心角、半径之间的关系,探索扇形的面积公式,并运用公

    式进行计算

    【活动四】应用、练习

    例 1、如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6cm,其中水面

    高 0.3cm,求截面上有水

    2019-06-26

    614人浏览

    弧长计算公式(自己编制的)

    弧长计算公式

    1 求半径(r) r(半径) 1.32 2求角度(α )(此公式网上查询) 143.02 3 l(弧长) 3.29 按实填写 c(弦长) 2.5 1/2弦长 1.25 系数不动 0.017453 按实填写 c(弦长) 2.5 r(半径) 1.32 角度(α ) 143.02 r(半径) 1.32 系数不动 系数 4

    弓形面积计算公式

    A(弓形面积) 1.65 系数不动 0.5 r(半径) 1.32 l(弧长) 3.29

    按实填写 h(弦高) 0.9 按实填写 h(弦高) 0.9 系数不动 系数 8 按实填写 h(弦高) 0.9

    公式

    c(弦长) 2.5 r(半径) 1.32 h(弦高) 0.9

    2018-11-16

    1090人浏览

    弧长的计算公式

    高庙王中学双案教学设计

    学科 数学

    年级

    时间 11.27

    课题

    弧长的计算公式

    主备人 授课人

    总序

    51

    甄守鲁

    甄守鲁

    教学目标 1、经历探索弧长计算公式的过程,会推导弧长的计算公式 和

    学习目标 2、会运用弧长计算公式计算有关问题

    教学重点 教学难点

    目标 2

    教学内容和学生活动

    教师活动

    一、创设情境 引入新课

    某圆拱桥的半径是 30m,桥拱 AB 所对的圆心 出示问题,让学

    角∠AOB=90°,你会求桥拱 AB 的长度吗?(精确到 生自主探索

    0.1m)

    出示课本中小亮的做法,让学生判断正误 生

    二、探索活动

    1、探索弧长计算公式

    ⑴1°的圆心角所对的弧长是多少?

    分析:1°的圆心角所对的弧长是圆周长的

    1 ,即 2R R

    360 360 180

    ⑵ n °的圆心角所对的弧长是多少?

    分析: n °的圆心角所对的弧长是 1°的圆心

    角所对的弧长的 n 倍,即 l nR 180

    ⑶引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算

    公式,弧长计算公式 l nR ,揭示了 l, n, R 这 3 180

    个量之间的一种相等关系。在 l, n, R 这 3 个量中,

    强调:公式中的

    n 不带单位, n

    表示 1°的圆心 角所对的弧长的 倍数

    如果知道 其中的两个量,就可以由弧长计算公式,

    求出另一个量。

    精选文库

    教学内容和学生活动

    教师活动

    三、例题讲解

    例 1 弯制铝合金框架时,先要按中心线计算框

    架的展直长度再下料,计算如图所示框架的展直长

    度(精确到 1mm)

    学生小组交流讨

    论,然后找一名

    学生到黑板上板

    四、练习

    1、已知圆弧的半径为 30cm,它所对的圆心角 程

    为 70o,求这条圆弧的长度(精确到 0.1cm)

    2、已知圆的半径为 9cm,求 20o 的圆心角所对

    的弧的长度(精确到 0.1cm)

    学生讨论,找学

    3、已知一条弧的长度为πR/4,半径为 R,求 生到黑板板演

    这条弧所对的圆心角的度数

    4、如图,已知扇形的圆心角为 150°,弧长为 20π cm,求扇形的半径.

    --

    2

    精选文库

    教学内容和学生活动 练习 2:如图,圆心角为 60°的扇形的半径为 1

    2020-05-10

    208人浏览

    弧长计算公式

    在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。有优弧劣弧之分。 弧长的计算公式

    弧长公式:n 是圆心角度数,r 是半径,a 是圆心角弧度。

    公式 l = n(圆心角)x π(圆周率)x r(半径)/180 在半径是 R 的圆中,因为 360°的圆心角所对的弧长就等于

    圆周长 C=2πR,所以 n°圆心角所对的弧长为 l=n°πR÷180°。 例:半径为 1cm,45°的圆心角所对的弧长为 l=nπR/180 =45×π×1/180 =45××1/180 约等于(cm)

    拓展 扇形面积公式:S(扇形面积)=n(圆心角度数)x π(圆周

    率)x r²【半径的平方(2 次方)】/360 例子

    如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线 将圆锥体剪开铺平,就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径 为圆锥体的母线长,弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个 圆组成的,这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。

    补充公式

    S 扇=nπr*2/360 =πrnr/360 =2πrn/360×1/2r =πrn/180×1/2r 所以:S 扇=rL/2 还可以是 S 扇=n/360πr² (n 为圆心角的度数,L 为该扇形对应的弧长。) 圆锥母线,弧长,面积计算公式

    圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积 其中:圆锥体的侧面积=πRL 圆锥体的全面积=πRl+πR2 π 为圆周率≈ R 为圆锥体底面圆的半径 L 为圆锥的母线长 我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意 一点的线段叫作圆锥的母线 (注意:不是圆锥的高)是展开扇形的边长 n 圆锥圆心角=r/l*360 360r/l 弧长=圆周长 侧面展开图的圆心角求法:n=360r/R=πRr 或 2πr=nπr/180 n=360r/R 。如果题目中有切线,经常用的辅助线是链接圆心和切 点的半径,得到直角,再用相关知识解题。 扇形的面积

    扇形的面积 扇形是与圆形有关的一种重要图形,其面积与圆心角(顶角)、 圆半径相关,圆心角为 n°,半径为 r 的扇形面积为 n/360*πr^2。 如果其顶角采用弧度单位,则可简化为 1/2×弧度×半径平方。 扇 形 还 与 三 角 形 有 相 似 之 处 ,上 述 简 化 的 面 积 公 式 亦 可 看 成 : 1/2×弧长×半径,与三角形面积:1/2×底×高相似。 公式

    S 扇=(lR

    2020-04-22

    1501人浏览

    弧长 计算公式

    弧长计算公式

    弧长的定义 在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。 有优弧劣弧之分。 弧长的计算公式 弧长公式 :n 是圆心角度数, r 是半径, a 是圆心角弧度。 公式 l = n(圆心角) x π (圆周率) x r(半径) /180 在半径是 R 的圆中,因为 360°的圆心角所对的弧长就等于 圆周长 C=2 π R ,所以 n°圆心角所对的弧长为 l=n° π R÷180°。 例:半径为 1cm ,45°的圆心角所对的弧长为 l=nπ R/180 =45×π ×1/180 =45×3.14×1/180 约等于 0.785(cm) 拓展 扇形面积公式:S(扇形面积)=n(圆心角度数)x π (圆周 率) x r² 【半径的平方( 2 次方)】 /360 例子 如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线 将圆锥体剪开铺平,就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径

    为圆锥体的母线长,弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个 圆组成的,这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。 补充公式 S 扇 =nπ r*2/360 =π rnr/360 =2π rn/360×1/2r =π rn/180×1/2r 所以: S 扇 =rL/2 还可以是 S 扇 =n/360 π r² (n 为圆心角的度数, L 为该扇形对应的弧长。 ) 圆锥母线 , 弧长 , 面积计算公式 圆锥的表面积 =圆锥的侧面积 +底面圆的面积 其中:圆锥体的侧面积 =π RL 圆锥体的全面积 =π Rl+π R2 π 为圆周率≈3.14 R 为圆锥体底面圆的半径 L 为圆锥的母线长 我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意 一点的线段叫作圆锥的母线 (注意:不是圆锥的高)是展开扇形的边长 n 圆锥圆心角 =r/l*360 360r/l 弧长 =圆周长

    侧面展开图的圆心角求法: n=360r/R= π Rr 或 2π r=n π r/180 n=360r/R 。如果题目中有切线,经常用的辅助线是链接圆心和切 点的半径,得到直角,再用相关知识解题。 扇形的面积 扇形的面积 扇形是与圆形有关的一种重要图形, 其面积与圆心角 (顶角) 、 圆半径相关, 圆心角为 n°, 半径为 r 的扇形面积为 n/360*π r^2 。 如果其顶角采用弧度单位,则可简化为 1/2×弧度×半径平方。 扇形还与三

    2015-06-09

    23925人浏览

    弧长的计算公式

    .

    高庙王中学双案教学设计

    学科 数学

    年级

    时间 11.27

    课题

    弧长的计算公式

    主备人 授课人

    总序

    51

    甄守鲁

    甄守鲁

    教学目标 1、经历探索弧长计算公式的过程,会推导弧长的计算公式 和

    学习目标 2、会运用弧长计算公式计算有关问题

    教学重点 教学难点

    目标 2

    教学内容和学生活动

    教师活动

    一、创设情境 引入新课

    某圆拱桥的半径是 30m,桥拱 AB 所对的圆心 出示问题,让学

    角∠AOB=90°,你会求桥拱 AB 的长度吗?(精确到 生自主探索

    0.1m)

    出示课本中小亮的做法,让学生判断正误 生

    二、探索活动

    1、探索弧长计算公式

    ⑴1°的圆心角所对的弧长是多少?

    分析:1°的圆心角所对的弧长是圆周长的

    1 ,即 2R R

    360 360 180

    ⑵ n °的圆心角所对的弧长是多少?

    分析: n °的圆心角所对的弧长是 1°的圆心

    角所对的弧长的 n 倍,即 l nR 180

    ⑶引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算

    公式,弧长计算公式 l nR ,揭示了 l, n, R 这 3 180

    个量之间的一种相等关系。在 l, n, R 这 3 个量中,

    强调:公式中的

    n 不带单位, n

    表示 1°的圆心 角所对的弧长的 倍数

    如果知道 其中的两个量,就可以由弧长计算公式,

    求出另一个量。

    .

    .

    教学内容和学生活动

    教师活动

    三、例题讲解

    例 1 弯制铝合金框架时,先要按中心线计算框

    架的展直长度再下料,计算如图所示框架的展直长

    度(精确到 1mm)

    学生小组交流讨

    论,然后找一名

    学生到黑板上板

    四、练习

    1、已知圆弧的半径为 30cm,它所对的圆心角 程

    为 70o,求这条圆弧的长度(精确到 0.1cm)

    2、已知圆的半径为 9cm,求 20o 的圆心角所对

    的弧的长度(精确到 0.1cm)

    学生讨论,找学

    3、已知一条弧的长度为πR/4,半径为 R,求 生到黑板板演

    这条弧所对的圆心角的度数

    4、如图,已知扇形的圆心角为 150°,弧长为 20π cm,求扇形的半径.

    .

    .

    教学内容和学生活动 练习 2:如图,圆心角为 60°的扇形的半径为 10cm,

    2020-05-23

    5人浏览

    弧长 计算公式

    .

    弧长计算公式

    弧长的定义 在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。有优弧劣弧之分。

    弧长的计算公式 弧长公式:n 是圆心角度数,r 是半径,a 是圆心角弧度。

    公式 l = n(圆心角)x π(圆周率)x r(半径)/180 在半径是 R 的圆中,因为 360°的圆心角所对的弧长就等于

    圆周长 C=2πR,所以 n°圆心角所对的弧长为 l=n°πR÷180°。 例:半径为 1cm,45°的圆心角所对的弧长为 l=nπR/180 =45×π×1/180 =45×3.14×1/180 约等于 0.785(cm)

    拓展 扇形面积公式:S(扇形面积)=n(圆心角度数)x π(圆周

    率)x r²【半径的平方(2 次方)】/360 例子

    如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线 将圆锥体剪开铺平,就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径

    .

    .

    为圆锥体的母线长,弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个 圆组成的,这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。

    补充公式 S 扇=nπr*2/360 =πrnr/360 =2πrn/360×1/2r =πrn/180×1/2r 所以:S 扇=rL/2 还可以是 S 扇=n/360πr² (n 为圆心角的度数,L 为该扇形对应的弧长。) 圆锥母线,弧长,面积计算公式 圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积 其中:圆锥体的侧面积=πRL 圆锥体的全面积=πRl+πR2 π 为圆周率≈3.14 R 为圆锥体底面圆的半径 L 为圆锥的母线长 我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意 一点的线段叫作圆锥的母线 (注意:不是圆锥的高)是展开扇形的边长 n 圆锥圆心角=r/l*360 360r/l 弧长=圆周长

    .

    .

    侧面展开图的圆心角求法:n=360r/R=πRr 或 2πr=nπr/180 n=360r/R 。如果题目中有切线,经常用的辅助线是链接圆心和切 点的半径,得到直角,再用相关知识解题。 扇形的面积

    扇形的面积 扇形是与圆形有关的一种重要图形,其面积与圆心角(顶角)、 圆半径相关,圆心角为 n°,半径为 r 的扇形面积为 n/360*πr^2。 如果其顶角采用弧度单位,则可简化为 1/2×弧度×半径平方。 扇形还与三角形有相似之处,上述简化的面积公式亦可看成: 1/2×弧长×半径,与三角形面积:1/2×底×高相似

    2020-05-23

    407人浏览

    弧长 计算公式

    .

    弧长计算公式

    弧长的定义 在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。有优弧劣弧之分。

    弧长的计算公式 弧长公式:n 是圆心角度数,r 是半径,a 是圆心角弧度。

    公式 l = n(圆心角)x π(圆周率)x r(半径)/180 在半径是 R 的圆中,因为 360°的圆心角所对的弧长就等于

    圆周长 C=2πR,所以 n°圆心角所对的弧长为 l=n°πR÷180°。 例:半径为 1cm,45°的圆心角所对的弧长为 l=nπR/180 =45×π×1/180 =45×3.14×1/180 约等于 0.785(cm)

    拓展 扇形面积公式:S(扇形面积)=n(圆心角度数)x π(圆周

    率)x r²【半径的平方(2 次方)】/360 例子

    如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线 将圆锥体剪开铺平,就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径

    .

    .

    为圆锥体的母线长,弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个 圆组成的,这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。

    补充公式 S 扇=nπr*2/360 =πrnr/360 =2πrn/360×1/2r =πrn/180×1/2r 所以:S 扇=rL/2 还可以是 S 扇=n/360πr² (n 为圆心角的度数,L 为该扇形对应的弧长。) 圆锥母线,弧长,面积计算公式 圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积 其中:圆锥体的侧面积=πRL 圆锥体的全面积=πRl+πR2 π 为圆周率≈3.14 R 为圆锥体底面圆的半径 L 为圆锥的母线长 我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意 一点的线段叫作圆锥的母线 (注意:不是圆锥的高)是展开扇形的边长 n 圆锥圆心角=r/l*360 360r/l 弧长=圆周长

    .

    .

    侧面展开图的圆心角求法:n=360r/R=πRr 或 2πr=nπr/180 n=360r/R 。如果题目中有切线,经常用的辅助线是链接圆心和切 点的半径,得到直角,再用相关知识解题。 扇形的面积

    扇形的面积 扇形是与圆形有关的一种重要图形,其面积与圆心角(顶角)、 圆半径相关,圆心角为 n°,半径为 r 的扇形面积为 n/360*πr^2。 如果其顶角采用弧度单位,则可简化为 1/2×弧度×半径平方。 扇形还与三角形有相似之处,上述简化的面积公式亦可看成: 1/2×弧长×半径,与三角形面积:1/2×底×高相似

    2020-04-27

    536人浏览

    平面弧长的计算

    平面曲线的弧长与曲率 §3. 平面曲线的弧长与曲率

    (一) 教学目的:掌握平面曲线的弧长与曲率 (二) 教学内容:平面曲线的弧长与曲率的计算公式. (1) 基本要求:掌握平面曲线的弧长计算公式. (2) 较高要求:掌握平面曲线的曲率计算公式. (三) 教学建议: (1) 要求学生必须熟记平面曲线的弧长计算公式. (2) 对较好学生可要求他们掌握平面曲线的曲率计算公式.

    ——————————————————

    1 直角坐标情形

    设曲线弧由直角坐标方程

    给出,其中

    上具有一阶连续导数。

    现在用元素法来计算这曲线弧的长度. 取横坐标 为积分变量,它的变化区间为 . 曲线 y = f (x ) 上对应于 上任一小

    区间 [ x , x + dx] 的一段弧的长度

    可以用该曲现在点 ( x , f ( x )) 出的切线上相应的一小段的

    长度来近似代替(图 3.8.4). 而这相应切线段的长度为

    以此作为弧长元素

    ,即

    ds = 1 + y ′ 2 dx

    以 1 + y ′ dx 为被积表达式,在区间 [ a , b] 上做定积分,变得所求得弧长.

    2

    曲线段弧

    的长度为

    s = ∫ 1 + y ′ 2 dx

    a

    b

    2.

    参数方程情形

    设曲线弧由参数方程

    给出,其中

    上具有一阶连续导数。

    现在来计算这曲线弧的长度. 取参数 为积分变量,它的变化区间为 .相应 上任一小区间 的小

    弧段的长度的近似值及弧长元素为

    于是,曲线段弧

    的长度为

    3. 极坐标情形 设曲线弧由极坐标方程

    给出,其中

    上具有连续导数。

    现在来计算这曲线弧的长度. 由直角坐标与极坐标的关系可得

    这就是以极角为参数的曲线弧的参数方程. 于是,弧长元素为

    从而,曲线段弧

    的长度为

    2012-04-11

    8757人浏览

    弧长面积计算公式

    弧长面积计算公式 弧长计算公式 编辑本段弧长的定义 一段弧的长度叫做弧长。 编辑本段弧长的计算公式 在半径是 R 的圆中,因为 360?的圆心角所对的弧长就等于圆周长 C,2πR,所 以 n?圆心角所对的弧长为 l,nπR?180。 比如半径为 1cm,45?的圆心角所对的弧长为 l,nπR?180 ,45×3.14×1?180 ,0.785(cm),7.85(mm) 如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平, 就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长,弧长等于圆锥体底 面 圆的周长的扇形和一个圆组成的,这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。 编辑本段圆锥母线,弧长,面积计算公式 圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积 其中:圆锥体的侧面积=πRL 圆锥体的全面积=πRl+πR2 π 为圆周率 3.14 R 为圆锥体底面圆的半径 L 为圆锥的母线长(注意:不是圆锥的高) 扇形计算公式 开放分类: 数学 扇形周长公式 因为扇形,两条半径,弧长 若半径为 R,扇形所对的圆心角为 n?,那么扇形周长: C,2R,nπR?180 扇形面积公式 在半径为 R 的圆中,因为 360?的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积 S,πR^2, 所以圆心角为 n?的扇形 面积: S,nπR^2?360

    1/2

    比如:半径为 1cm 的圆,那么所对圆心角为 135?的扇形的周长: C,2R,nπR?180 ,2×1,135×3.14×1?180 ,2,2.355 ,4.355(cm),43.55(mm) 扇形的面积: S,nπR^2?360 ,135×3.14×1×1?360 ,1.1775(cm^2)=117.75(mm^2) 扇形还有另一个面积公式 S=1/2lR 其中 l 为弧长,R 为半径

    2/2

    2019-03-19

    149人浏览

    更多相关内容
  • 出现问题: ...尝试在C:\Program Files\Microsoft Office\root\Office16下打开word,具体就是在C:\Program Files\Microsoft Office\root\Office16下打开WINWORD.EXE,再打开需要转换公式的文...

    转换公式

    出现问题:

    解决方案

    1.

    文件下载地址 https://docs.wiris.com/_media/en/mathtype/office_tools/support_notices/omml2mml.zip

     2.

    尝试在C:\Program Files\Microsoft Office\root\Office16下打开word,具体就是在C:\Program Files\Microsoft Office\root\Office16下打开WINWORD.EXE,再打开需要转换公式的文件转换,已经OK

    3或者尝试将C:\Program Files\Microsoft Office\root\Office16添加到起始位置

    自动编号

    插入编号,用word打开即将要编辑的文件。下载MathType后我们可以在word的顶部看到MathType一栏,在其中我们可以对文章中的公式进行细致的操作。首先,我们需要找到插入编号的的位置,点击MathType后可以看到插入编号一栏,点击格式化后我们就可以编辑公式编号。

     

     

    插入引用,与上一步一样,我们首先需要进入MathType编辑栏,然后点击我们需要插入公式的位置,然后选择右编号。在弹出的窗口中进行公式编辑,编辑完成后按Ctrl+S键进行保存,可以看到编辑的公式居中在下一行,而且右侧已经有了公式编号。在编辑公式时,如果出现删除公式的情况,自动编号会作自动的相应调整,极大的节省公式编号的时间。

    MathType如何批量调整Word文档中公式的大小

    步骤一:先运行MathType,点击“Size”菜单中的“Define”命令,中文版的“尺寸”——“定义”。

    点击“Size”——“Define”


    点击“Size”——“Define”

    步骤二:打开“Define Sizes”对话框,我们可以在“Full”后的输入框中要调整的字号大小(比如word字体为小五,则相应的公式大小调整为9 pt)。公式中其它的元素会自动进行相应的调整的,所以一般情况下可以不做其它改动。点击“OK”按钮,关闭对话框。在打开的“定义尺寸”对话框,可以在“完全”后面输入要调整的字号大小,单击“确定”。

    Define Sizes对话框

    步骤四:再点击“Preferences”菜单中的“Equation Preferences→Save to File”命令,将我们设置好的选项保存成一个后缀名为“eqp”的文件。点击主界面菜单的“参数”——“公式参数”——“保存到文件”命令,把刚才的设置保存为一个“.eqp”格式的文件。(在MathType的安装目录下../mathtype/preferences/文件.eqp)。

    点击“Preferences”菜单中的“Equation Preferences→Save to File”


    点击“Preferences”菜单中的“Equation Preferences→Save to File”

    步骤五:这就是保存格式,后面我们还要在WORD中打开,这就是是调整公式大小的关键文件)。

    保存界面


    保存界面

    步骤六:然后回到Word环境中,点击“MathType”菜单中的“Format Equations”命令(可能很多朋友遇到菜单栏没能显示mathtype选项,解决办法见后面)。

    点击MathType——Format Equations


    点击MathType——Format Equations

    步骤七:打开Format Equations对话框。

    Format Equations对话框


    Format Equations对话框

    步骤八: 然后在打开的“Format Equations”对话框中选中中间的“MathType preference file”单选项,并点击“Browse”按钮,找到我们保存好的那个text.eqp文件并双击。然后再选中下方“Range”项目中“Whole document”单选项,点击“OK”按钮后稍候片刻,就可以看到所有的公式都按指定的字号调整完成了。

    若公式出现偏上或者偏下的 情况

     具体参考

    MathType如何批量调整Word文档中公式的大小-MathType中文网

    mathtype中文网

    行距为固定值20磅时显示不全部 

    将行距设为“最小值”,不要用“固定值”。不影响排版

    数学公式规范

     矢量点乘运算符不能省略

    一,使用斜体的情况: 
    1) 变量(variables)应该用斜体表示:例如T表示温度(temperature),r表示速率(rate). 
    注意:即便用变量来作为形容词的组成部分,依然要保持斜体, 
    举例:In this equation, ViVi is the frequency of the iith mode. 
    2) 坐标轴(axes):the yy axis. 
    3) 平面(planes):plane PP. 
    4) 行列式(determinants)和矩阵(matrices)中的元素:gngn. 
    5) 常数(constants)符号: kBkB : 玻尔兹曼常数;gg : 重力加速度 
    6) 描述变量的函数:f(x)f(x).

    二,不用斜体,用直体的情况: 
    1) 数字; 
    2) 标点符号和括号; 
    3) 大多数运算符; 
    4) 量度单位和时间单位:毫克, mg; 开尔文温度, K; 帕斯卡, Pa; 毫米汞柱, mmHg. 
    5) 非数学符号和数量:s, 原子轨道(atomic orbital); S1, 分子状态(molecular state); R, 化学命名法中的自由基(radical). 
    6) 变量的多字符缩写: 临界胶束浓度,cmc. 
    7) 数学常量(mathematical constants): 自然对数, e; i, 复数的虚部; 圆周率, π. 
    8) 矩阵的转置(transposes), AT(T是矩阵A的转置) 
    9) 点(point)和线(line): point A, line AB. 
    10) 行列式(determinants): A是矩阵A的行列式 
    11) 三角函数和其他数学函数: cos, 余弦函数; sin, 正弦函数; max, 最大值; lim, 极限; log, 十的对数;mod, 模量; Re, 实部等

    三,用粗体的情况: 
    1)向量(vectors); 
    2)张量(tensors); 
    3)矩阵(matrics); 
    4)多维物理量;

    四,当上下标本身就是代表物理量或数字的符号时,用斜体(italic), 如果上下标是缩写或者不是符号时,不用斜体,采用直体. 
    举例:CpCp for heat capacity at constant pressure常压比热(p是压力的符号,采用斜体) 
         CBCB for heat capacity of substance B 物质B的比热(B不是符号,不用斜体) 
         CgCg where g is gas 气体比热(g是气体gas的缩写,不用斜体) 
         EiEi for energy of the iith level, where ii is a number(i是代表数字的符号) 
         gngn where n is normal(n是气体normal的缩写,不用斜体)

    五,正文中,长表达式不要用根号,应该转化成相应的上标形式 
    举例:(x−y2)1/3(x−y2)1/3   [sinh2u+(coshu–1)2]1/2

    http://ieeeauthorcenter.ieee.org/wp-content/uploads/IEEE_Style_Manual.pdf

    参考博客数学符号在论文中的格式规范 - MrCharles在cnblogs - 博客园

     

    展开全文
  • 手撕Buck!Buck公式推导过程

    万次阅读 多人点赞 2021-09-06 20:34:24
    Boost公式推导及实验验证》,在我看来,Buck与boost是完全类似的,明白一个,另外一个也就明白了。 不过后来还是陆续有粉丝问我有没有buck,那么今天就来推导下buck的公式。毕竟大家基础也是各不相同,举一反三...

    这个文章我本来没打算写的,因为之前我已经写了《手撕Boost!Boost公式推导及实验验证》,在我看来,Buck与boost是完全类似的,明白一个,另外一个也就明白了。

    不过后来还是陆续有粉丝问我有没有buck,那么今天就来推导下buck的公式。毕竟大家基础也是各不相同,举一反三有时还比较困难,有现成的更好。

    图片

    如果没看过手撕boost的,我建议可以先看看,因为有很多的前提条件在那里面有详尽的解释。这些前提条件在buck里面也是适用的,这篇文章就不会再赘述了,罗里吧嗦也不好。

    先简要说明一下文章会说哪些内容

    1、buck的拓扑结构,工作原理

    2、输入输出电容取值的推导过程,电感感量的计算过程

    3、boost各处电压,电流波形

    4、buck,boost公式汇总

    5、实际电路应用情况

    Buck的拓扑结构

    Buck是直流转直流的降压电路,下面是拓扑结构,作为硬件工程师,这个最好是能够记下来,了然于胸

    为啥要记下来,自然是因为这个电路太基础了,并且谁都会用到,更重要的一点,面试可能会考。。。

    图片

    上图是个异步buck,同步buck就是将里面的二极管换成MOS管。

    我用异步buck来分析的原因,就是觉得它要复杂一点,多了一个二极管导通压降,如果异步的明白了,那么同步的自然也明白了。

    并且,根据这个拓扑推导的公式也是适用同步Buck的,只需要让公式里面的二极管压降为0即可。

    首先,还是来看下工作原理

    工作原理其实非常简单,上图中MOS管就是一个开关,只要这个速度够快(开关频率够高),控制好导通与关断时间(电感充放电时间),配合输出滤波电容,就可以得到基本稳定的Vo了,也就是输出电压。

    下面来看下两个过程开关导通开关断开

    先看开关导通

    图片

    开关导通时,二极管不导通,我们看电感,电感左边是Vi,右边是Vo,因为是降压,所以左边大于右边,那么电感两端电压是Vi-Vo,为恒定值。如果把电感电流向右定义为正,那么电感电流是线性增大的,因为L*di/dt=Vi-Vo,那么di/dt=(Vi-Vo)/L=常数。

    图片

    开关断开时,电感要续流,会产生反向电动势,让二极管导通,二极管导通电压是Vd。因为二极管阳极接地,所以阴极电压是-Vd,也就是电感左边的电压就是-Vd,右边的电压是Vo不变,因此电感两端电压是-Vd-Vo。此时电感电流是线性减小的,因为L*di/dt=-Vd-Vo,di/dt=-(Vo+Vd)/L=常数,并且是负值,所以是线性减小的。

    推导公式

    我们推导公式,是为了选型,选择输入滤波电容,输出滤波电容,电感

    那么先把已知条件列出来

    首先是输入电压Vi,输出电压Vo,输出电流Vo/R,咱总得知道自己想要什么吧,所以这些在设计之初都是已知的。

    其次是开关频率f,这个在芯片选型之后就是确定的了。

    再然后就是设计的目标,输入纹波大小△Vi,输出纹波大小△Vo。

    我们根据这些已知的量,就可以求得电感感量,输入滤波电容大小,输出滤波电容大小。

    因为计算的基本原理其实就是电容和电感的充放电。所以,我们首先要求的就是开关导通的时间和断开的时间,或者说是占空比

    这个也非常简单,我们可以这么想

    在开关导通的时候,电感两端电压是Vi-Vo。

    在开关断开的时候,输出端电压为Vo,二极管导通,那么电感右侧就是Vo,电感左侧接的是-Vd,所以此时电感两端电压是Vo+Vd。

    整个电路稳定之后,因为负载电流恒定,那么一个周期时间之内,在开关导通时电感电流增加的量,要等于开关截止时,电感电流减小的量,即电感充了多少电就要放多少电,不然负载的电流或者电压就要发生变化。

    即一个周期内,电感电流增大量等于减小量。

    然后又因为U=Ldi/dt,di/dt=U/L,L不变,所以电感电流变化速度与电压成正比。

    简单说就是,电感电流上升或下降的斜率与电压成正比

    图片

    斜率与电压成正比,电感电流上升的高度与下降高度又相同,那上升时间不就和电压成反比了吗?

    所以,自然就有了:

    Ton/Toff=(Vo+Vd)/(Vi-Vo)

    我们变换一下,就得到了江湖所传的“伏秒法则

    图片

    再根据T=Ton+Toff=1/f

    我们可以分别求得导通时间,关断时间,占空比。

    图片

    如果是同步buck,那么Vd=0,则会见到我们经常看见的公式:

    图片

    功率电感选择

    我们电感选型首先需要考虑两个参数,电感感量电感电流

    电感电流分为2个,平均电流IL纹波电流△IL

    先看平均电流

    图片

    显然,输出电压Vo基本不变,也就是说输出滤波电容两端电压没有变化,那么电容的平均电流为0,根据输出节点的基尔霍夫电流定律,节点电流和为0,那么电感的平均电流就等于负载的平均电流Io。

    IL=Io=Vo/R

    图片

    然后我们再来求电感的纹波电流△IL

    从前面知道,电感电流就是个三角波,在开关导通时电感电流增大,在关断时,电感电流减小。

    那纹波电流的大小求起来就简单了,就等于在开关导通时电感电流增大的值,也等于关断时电感电流减小的值。

    我们就计算其中一个,计算开关导通时电感电流增大了多少吧。

    这个也非常easy,开关导通,电感两端电压是Vi-Vo,导通时间Ton前面已经求出来了。

    根据U=Ldi/dt就可以求出电感电流纹波△IL=di=U/L*Ton

    图片

    可以看到,电感电流的纹波跟负载电流的大小没有关系

    同时呢,我们也很容易得到电感的峰值电流,就是电感的平均电流加上纹波电流的一半嘛,即ILp=IL+△IL/2=Io+△IL/2。

    也就是:

    图片

    计算这个峰值电流有什么用呢?

    电感选型时,电感的饱和电流必须大于这个ILp,并且要留一定的裕量。

    现在我们已经写出来了电感的平均电流IL,电感的纹波电流△IL,△IL应该是IL的20%-40%为宜

    即:△IL=(0.2~0.4)*IL

    根据这个范围,就能求得我们的电感值范围了。

    图片

    输入滤波电容计算

    我们在确定输入滤波电容的时候,是有一个假设的,这个假设是什么呢?

    输入电源默认来自远方,是没法提供快速变化的电流的

    实际应用中,输入电源可能距离很远,有了很长的走线,走线越长,寄生电感就越大,也就是说输入电源不能快速响应这个Buck输入电流的需求。

    因此,我们在一个周期时间内,可以将输入电源的电流看作是恒定的,稳定状态下,这个电流也等于电源输入的平均电流Ii,我们先求一下电源输入的平均电流Ii

    怎么求电源的输入电流呢?

    很简单,使用能量守恒定律就可以了。

    不考虑MOS管的损耗的话,那么用耗电的器件有2个,一个是二极管,一个是负载R。

    由工作原理可知,二极管只在MOS开关断开时有电流流过,其电流等于电感电流,并且一个周期内有电流流过的时间为Toff,所以二极管的平均电流也等于电感的平均电流,为IL=Io。

    一个周期内二极管流过电流的时间为Toff,电流为IL,导通压降为Vd。

    所以二极管的功率为:

    Pd=Vd*Io*Toff*f =Vd*Io *(Vi-Vo)/(Vi+Vd)

    负载的功率是Pr=Io*Vo

    电源输入功率Pi=Vi*Ii

    根据能量守恒,Pi=Pr+Pd,可以得到输入电源的平均电流Ii为

    图片

    现在已经求出Ii,在一个周期内,电源的输入电流可以看成恒定值,为Ii

    了解了这个前提条件,我们回到目标:计算输入滤波电容的容量

    我们先理清下思路,输入电压纹波就是输入电容上面的电压变化。电容上面的纹波变化可以分成两个部分

    一个是电容放电或者是充电,存储了电荷量发生了变化,这个变化会导致电压变化,可以用公式Q=CUq来表示,Uq即是电压的变化。

    另一个是电容有等效串联电阻ESR,电容充放电时有电流流过,电流流过ESR会产生压降,这个压降用Uesr表示吧。

    所以,电压纹波应该是:

    △Vi=Uq+Uesr

    1、电容电荷量变化引起的压降Uq

    我们看输入节点,这个节点的电流有3个,一个是来自电源Vi输入的,前面说了,在一个周期内,它可以看作是恒定的,一个节点是电容,另外一个节点是开关

    图片

    根据基尔霍夫电流定律,节点电流和为0,并且电源输入的电流恒定为Ii,那么输入电容电流的变化量必然等于开关电流的变化量,因为最终3者的和为0。

    也就是说,开关断开时,开关电流为0,那么电源输入的电流全都流进输入电容,电容被充电,此时电容的充电电流为Ii。而开关导通时,电感需要续流,这个电流由电源输入和输入滤波电容二者共同提供,电容此时放电。

    并且,开关切换的时候,开关电流是突变的。而三者电流和为0,那么电容的电流必然也是突变的。

    我们画出三者的电流波形如下:

    图片

    一个周期内,电容的充电电荷量和放电电荷量必然一样,我们计算出其中一个就行了。

    显然,充电的时候更好计算,因为充电时开关断开,电容的电流就是电源的输入电流,是恒定的,为Ii。

    根据Q=I*t,那么充入的电荷量为Q=Ii*Toff,电容充入电荷,会导致电压变大,这个电压的增量这里取个名字叫Uq,那么Q=Uq*C,也就是Uq=Q/C=Ii*Toff/C

    最终可以求得Uq

    图片

    2、电流流过电容的ESR造成的压降Uesr

    想要知道ESR造成的纹波大小,我们只需要知道流过电容的电流就知道了,因为电压等于电流乘以ESR。

    我们把电容的电流波形单独画一下。

    图片

    这个波形下面解释下

    开关断开的时候,电源输入电流Ii全部进入输入滤波电容,因为li恒定,因此输入滤波电容的电流就是恒定为li,此时电容充电,如果我们把充电电流定义为正,那么电流就是+li。

    开关导通之后,电感原本从二极管续流,变成了从MOS管续流,因为之前电感一直在放电,所以切换时电感电流最小,等于IL-△IL/2,在整个Ton时间段内,电感是被充电的,所以电感电流一直在增大,直到达到峰值电流IL+△IL/2。

    并且在Ton时间内,电感电流走的是MOS管通路,因此,Mos管电流最大也是IL+△IL/2。根据输入节点电流和为0,这个电流等于输入电源电流Ii和滤波电容的放电电流,所以滤波电容的最大放电电流为IL+△IL/2-Ii。因为前面定义了充电电流为正,那么放电电流就为负,即滤波电容电流是:-(IL+△IL/2-Ii)。

    知道了电流,ESR,那么我们就知道了纹波大小

    在开关断开时,ESR上面产生的压降是恒定的,为:Ii*ESR

    在开关导通后,ESR上面产生的最大压降是:-(IL+△IL/2-Ii)*ESR

    两者相减,得到的就是一个周期内ESR引起的纹波大小,也就是:

    Uesr=(IL+△IL/2)*ESR

    计算过程如下:

    图片

    好,我们已经算出Uesr和Uq。

    那么根据△Vi=Uesr+Uq,我们就可以△Vi的表达式了,如果知道△Vi,我们也能得到输入滤波电容Ci的大小或者是ESR了。

    输入总的纹波公式

    图片

    这个公式看着有点复杂,有两个参数都跟电容本身有关系,ESR和容量Ci

    考虑到我们的电容实际使用情况

    陶瓷电容ESR小,容量小,Uq对纹波起决定作用,所以输入纹波电压可以近似为Uq,如果我们要限定纹波不能大于△Vi,那么Uq≤△Vi。

    铝电解电容容量大,ESR大,Uesr对纹波起决定作用,所以输入纹波电压可以近似Uesr,如果我们要限定纹波不能大于△Vi,那么Uesr≤△Vi

    根据上面两点,我们就可以去选择合适的电容了。

    陶瓷电容根据容量值去选

    图片

    铝电解电容根据ESR去选

    图片

    好,现在输入电容的理论计算已经搞定了,我们接着看输出滤波电容。

    输出滤波电容

    相比输入纹波△Vi大小,我们可能更关心输出纹波△Vo的大小,毕竟是要带负载的。同样,纹波由电容容量和ESR决定。

    1、电容电荷量变化引起的Uq

    图片

    我们看输出节点,这个节点的电流有3个,一个是来自负载的,它可以看作是恒定的,为Io=Vo/RL,一个节点是输出滤波电容,另外一个节点是电感。

    根据基尔霍夫电流定律,节点电流和为0,并且负载的电流恒定,那么电感电流的变化量必然等于电容电流的变化量,因为最终3者的和为0。

    我们画出三者的电流波形如下:

    根据节点电流和为0,那么输出电容的电流变化就是功率电感的电流变化(你增大时我减小,你减小时我增大)。我们从上图也可以很直观的看出来。

    显然,电容电流大于0时,电容在充电,电容电流小于0时,电容在放电。并且图中也可以看到,电容充电和放电时间长度是一样的,都是周期的一半,T/2

    那充放电的电荷量是多少呢?

    从前面知道,输出电容的电流变化就是功率电感的电流变化,因为电感的纹波电流是△IL,那么电容的纹波电流也是 △IL。又因为电容的平均电流是0,所以电容的充电电流和放电电流都是△IL/2。

    需要注意,电容电流是在大于0时充电,电流小于0时放电,也就是图中阴影部分,充电与放电的切换的时刻并不是开关导通与断开的时候,而是在中间时刻。

    然后电容放电/充电的总电荷量Q等于电流乘以时间,这不就是图中阴影三角形的面积吗?

    三角形底部是时间,充电/放电时间等于T/2

    三角形的高为电感纹波电流的一半,△IL/2。

    所以总放电量为Q=1/2*底*高

    再结合Q=CUq,即可求得Uq了。

    具体计算如下图所示:

    图片

    2、电流流过电容的ESR造成的压降Uesr

    前面波形图知道,电容的充电电流最大是△IL/2,放电电流最大就是-△IL/2,负号表示电流方向,方向的不同,引起的压降的电压也是相反的。

    那么ESR引起的总的压降是:

    Uesr=△IL/2*ESR-(-△IL/2*ESR)=△IL*ESR

    最终,我们求得Uesr的公式如下:

    图片

    好,我们已经算出Uesr和Uq,那么根据△Vo=Uesr+Uq,就可以求出总的输出纹波大小△Vo。

    图片

    根据上面两点,我们就可以去选择合适的电容了。

    陶瓷电容根据容量值去选

    陶瓷电容ESR小,容量小,Uq对纹波起决定作用,所以可以近似为Uq,如果我们要限定纹波不能大于△Vo,那么Uq≤△Vo

    图片

    铝电解电容根据ESR去选

    图片

    公式到这里就基本推完了。

    公式汇总

    下面把Buck所有的公式汇总下,如下图:

    图片

    之前写过boost的公式推导,不过没汇总公式,现在也汇总如下:

    图片

    实际电路应用

    公式现在都已经推出来了,这些公式都是从拓扑结构里面推出来的,我们也会在很多芯片手册中看到这些公式,那么我们设计时,按照这些公式选择电容可以吗?

    答案是:no,no,no!

     

    原因在于,实际我们使用的器件都不会是理想的。

    就陶瓷电容来说,一个直流偏压特性,可能就使得电容实际容量只有标称值的30%甚至更低。

    还有电容会有ESL等参数,电路本身还有会其它的损耗等等,这些都会使得buck/boost实际输出与理论推导有较大的出入。

    虽然这些公式不能直接套用,但是我们根据它们也能大致知道是个什么情况,所以其作用还是有的,我们设计时也需要去算一算的。

    这些因素具体有多大的威力,以及实际电路该如何考量。因为我在之前的《手撕Boost!Boost公式推导及实验验证》一文中,进行了大量的实验以及分析,现在就不再说了,有兴趣可以去翻一翻。

    展开全文
  • word怎么实现自动计算公式

    万次阅读 2021-07-30 03:13:47
    在word中自动求和步骤如下:1、打开一个需要进行数据计算的表格,如下图中,我们 已知五个学生的语文、数学、外语成绩,我们要通过公式完成总分和平均分的计算;2、把光标移动到要求总分的单元格,点击菜单栏的...

    3376f086bd9bbed1c96f369fc2f256d5.png

    WORD中能否自动计算,怎么实现Word自动求和?

    在word中自动求和步骤如下:1、打开一个需要进行数据计算的表格,如下图中,我们 已知五个学生的语文、数学、外语成绩,我们要通过公式完成总分和平均分的计算;2、把光标移动到要求总分的单元格,点击菜单栏的“表格”菜单,执行菜单中的“公式”命令。

    打开“公式”对话框;3、在打开的“公式”对话框中, 公式中会默认识别我们要计算的数据,一般会识别成求和,如下图,公式自动识别,对左边数据进行求和;点击确定按钮后,总分就自动求出来了。

    如下图所示;4、刚才我们用的公式是=sum(left),意思是对左边的数据进行求和,那么我们要求的数据不是全部左边的怎么办,其实word中继承了excel中公式和单元格的方法,整个表格也以A,B开始例列,而1,2开始命名行。

    所以我们要计算张三2的总分,我们输入公式=sum(b3:d3);5、我们还可以用单个数据参数的方法来计算和,如我们要计算张三3的总分,我们可以在公式栏中输入=sum(b4,c4,d4) 如下图,同样可以总分计算出来;

    word公式编辑器怎么自动计算结果

    在Word中,公式编辑器只能输入公式表达式,并不能自动计算结果,如图需要计算,在表格实现。

    例如上面计算桌子的总金额的方法:1、将光标定位在桌子的总金额的单元格中;2、单击表格工具布局----公式按钮;3、弹出公式对话框,在公式的输入框中输入:=B2*C2;4、单击确定按钮后,效果如图所示。

    word文档里怎么设置自动计算?

    1、打开【word】,菜单栏【工具】找到【自定义】。

    2、点击,就出现一个选项卡,选择【命令】项,然后,在【类别】选中【表格】,在右边的【命令】找到【自动求和】。

    3、将它拖放到常用工具栏中的适当位置,然后关闭“自定义”对话框。

    4、把插入点置于存放求和的单元格中,单击常用工具栏中的〔自动求和〕按钮,则Word将计算并显示插入点所在的上方单元格中或左方单元格中数值的总和。

    word自动求和公式默认怎么修改

    打开一个需要进行数据计算的表格,如下图中,我们 已知五个学生的语文、数学、外语成绩,我们要通过公式完成总分和平均分的计算; 把光标移动到要求总分的单元格,点击菜单栏的“表格”菜单,执行菜单中的“公式”命令。

    打开“公式”对话框; 在打开的“公式”对话框中, 公式中会默认识别我们要计算的数据,一般会识别成求和,如下图,公式自动识别,对左边数据进行求和;点击确定按钮后,总分就自动求出来了 刚才我们用的公式是=sum(left),意思是对左边的数据进行求和,那么我们要求的数据不是全部左边的怎么办,其实word中继承了excel中公式和单元格的方法,整个表格也以A,B开始例列,而1,2开始命名行。

    所以我们要计算张三2的总分,我们输入公式=sum(b3:d3); 我们还可以用单个数据参数的方法来计算和,如我们要计算张三3的总分,我们可以在公式栏中输入=sum(b4,c4,d4) 如下图,同样可以总分计算出来; 我们可以用上面的方法,把其他学生的成绩进行计算,word中只能一个一个数据进行计算,不可以像在excel中一样对公式进行复制,所以只能对简单少量的数据进行计算,如果数据量大的话不建议用word进行。

    下面我们来计算成绩的平均分,学会了计算总分,现在来求平均值其实很简单;和求总分一样,把光标移动到要求平均值的单元格;打开公式对话框; 在打开的公式对话框中,我们在粘贴函数下拉列表中找到AVERAGE(),即求平均数的公式,这个公式和excel中的是一样的,下面我们就要以用步骤4和步骤5的方法来计计算平均值了。

    我们在张三1的平均分单元格中输入公式=AVERAGE(b2:d2),设置好后点击确定按钮,张三1的平均分就自动求出来了,我们可以用相同的方法对其他学生的成绩进行计算;

    在word文档中使用公式自动计算?具体的实例在附件中,请各位大侠

    你的是07的么?我的07,在“表格”的“布局”选项卡里,最右端有“公式”,点击可以自己编辑公式。

    例如: 求16500那一项时,先选中那一格,然后输入公式:=product(left),意思是将这一格左侧的有效数字相乘,即10*1650。

    但个人觉得像这种表格中的数据计算,还是到EXCEL里边做吧,毕竟那里公式多,可应对的问题也多。

    怎样在word和excel中实现+ + +

    插入公式后,将公式单独放在一个段落,在公式上点击右键,选择“设置对象格式|版式”为嵌入型(Word默认)。

    光标放在公式之后,不要(注意是“不要”)选中公式,在“插入|引用”菜单选“题注”(2007中是引用-插入题注),由于没有选中项目,所以“位置”一项为灰色,新建标签“公式1-”,在编号一项选中包含章节号,点击“确定”。

    点击“确定”,Word就将标签文字和自动产生的序号插入到光标所在位置。

    根据需要,可以给序号添加括号。

    公式的编号要求在右边行末,具体方法:制表位是指水平标尺上的位置,它指定了文字缩进的距离或一栏文字开始的位置,使用户能够向左、向右或居中对齐文本行;或者将文本与小数字符或竖线字符对齐。

    用户可以在制表符前自动插入特定字符,如句号或划线等。

    默认情况下,按一次Tab键,Word将在文档中插入一个制表符,其间隔为0.74厘米。

    制表位的类型包括:左对齐,居中对齐,右对齐,小数点对齐和竖线对齐等,这些制表位的使用方法大致相同,这里仅根据论文中公式排版的要求和目录的制作为例说明制表位的使用方法和效果,更详细的说明请参阅Word的帮助文档。

    论文里的公式要求单独放在一个段落,公式居中;按章节进行编号,编号用小括号括起来放在右边行末。

    首先输入公式和编号,公式的版式选择“嵌入式”,编号用小括号括起来。

    然后把光标放在公式所在的段落里,点击页面左上角的制表位图标,切换到居中制表位,用鼠标在水平标尺上大约中间的位置点一下,这样就放置了一个居中制表位在点击的地方,如果位置不合适还可以用鼠标拖动进行调节。

    把左上角的制表位图标切换到右对齐制表位,用放置居中制表位相同的方法放置一个右对齐制表位在行末。

    设置好制表位后,把光标放在公式的前面,按一下Tab键,这样就在公式的前面插入了一个制表符,此时公式以居中制表位为中心居中对齐,再把光标移到公式和左括号之间,再按Tab键插入一个制表符,编号就跑到行末了。

    用制表位的方法来处理公式的排版,很简单也很方便,不用去敲很多空格去把公式挪到中间,编号推到行末。

    还有一个好处,若公式或编号的长度发生变化时,Word会自动调节以使公式始终在页面的中间,编号始终在行末,不会因为公式或编号变长而换行。

    若手工设置制表位,无法保证每次居中制表位和右对齐制表位的位置都一样。

    更简单的作法是把公式段落的设置保存为样式,所有的公式段落应用此样式,即简单又方便,而且可以保持所有的公式段落制表位的一致。

    把公式段落的设置保存为样式的方法:公式的格式设置好后(即已通过题注插入编号,并且已通过制表位设置公式居中、编号在右边行末),选中该公式及其编号,点击“格式|样式和格式”,这时在word右方出现“样式和格式”栏,点击该栏上部的“新样式”,即弹出“新建样式”框,将框里的“名称”改为你熟悉的名称,例如改为“my”,然后确定,则“my”就出现在word右边的格式设置栏里。

    新公式段落应用此样式的方法:题注给新公式编号后,选中公式和编号,在 word右边“样式和格式”栏里选中“my”,此时新公式已经应用了制表位的设置,把光标放在公式的前面,按一下Tab键,此时公式以居中制表位为中心居中对齐,再把光标移到公式和左括号之间,再按Tab键插入一个制表符,编号就跑到行末了。

    注:(1)插入题注过程中“新建标签”时,Word会自动在标签文字和序号之间加一个空格,看起来不那么舒服,可以在插入题注后将空格删除,这样在文档中引用该图的编号时,做成的书签就不会有空格了。

    (2)书签名最好用图(表、公式)的说明文字,尽量做到见名知“图”。

    (3)图(表、公式)的编号改变时,文档中的引用有时不会自动更新,可以鼠标右击引用文字,在弹出的菜单中选“更新域”。

    关闭文档再打开Word会更新所有的域。

    如何让word的里的公式直接算出答案

    以求总成绩为例,介绍在Word表格中用公式的计算方法:1、将光标定位在张三总成绩的单元格中;2、单击表格工具布局----公式按钮;3、弹出公式对话框,在公式的输入框中输入:=SUM(LEFT);4、单击确定按钮后,效果如图所示。

    实现word表格自动计算功能

    1.首先启动word2010办公软件。

    2.然后制作表格,并输入数据。

    3.接下来,利用公式来自动计算“金额”和“总计”。

    4.切换到菜单。

    5.点开“文档部件”--“域”。

    6.再点开“域“中的”公式“。

    7.在公式中输入”=c2*e2",确定即可得到结果。

    注:在word中,单位格的表示和电子表格excel中的表示是一样,字母代表列,数字代表行,等号后面表示计算开始。

    8.其他行的计算,用同样的方法得到。

    复制上面的公式到下一行,切换到“域”代码即可更改公式,更改完成后,选择“更新域”即可。

    9.如基础数据,如单价,数量,发生改变后,同样更新域,即可得到新结果。

    在域中支持四则混合运算规则,也可以内置的函数来实现更高级的计算功能。

    ...

    展开全文
  • 1.编写Java代码实现识别图片中Latex公式 2.测试结果 ​3.源码下载 1.编写Java代码实现识别图片中Latex公式 直接上代码: public static String serverUrl = "http://open.zrscsoft.com:81/routerjson"; ...
  • 最全面的Excel函数排名公式汇总

    万次阅读 2021-07-28 06:15:06
    使用排序的方法可以很便捷的进行排名,但是运用函数公式可能更加方便和高大上。本文列举了关于排名的几种方法:第一部分:美式排名公式一、用RANK函数两参数用法做基础排名(默认降序排列)。特点:如果有两个数字排名...
  • Word按公式计算所占比值

    千次阅读 2021-07-28 03:08:51
    2回答2020-10-21浏览:132分类:办公入门回答:Word有计算吗……感觉就Excel在国二里考需要记一些函数2回答回答:1、首先在打开的Word中点击需要计算比值的单元格并选择“表格工具”中的“公式”。2、然后在打开的...
  • 一、高斯公式 参考文章:图像处理 高斯滤波(带权值的均值滤波) 1、一维高斯滤波。 a表示得到曲线的高度,u是指曲线在x轴的中心,σ指width(与半峰全宽有关,即平方差)。 2、二维高斯滤波。 二、泰勒...
  • Word中减法公式怎么用

    千次阅读 2021-07-25 05:37:25
    2 回答2021-04-01 浏览:28 分类:办公入门回答:可以跟excel一样,鼠标点在你要显示计算结果的单元格内,点:表格——公式,在弹出窗口里,公式那一栏,默认的是加法公式,你把它删除,输入=单元格-单元格(例如A1-...
  • Latex公式编号: 多行公式多编号,多行公式单编号

    万次阅读 多人点赞 2021-07-09 16:40:31
    提示: \begin{align} 与 \begin{equation}不能同时使用 ...这里主要介绍使用\begin{align}的公式编号,以LSTM的公式为例子: 多行公式多编号 % 多行公式多编号 \begin{align} \hat{C}_t &= tanh(W_C\...
  • 复合梯形公式

    千次阅读 2021-04-22 20:32:32
    1、从积分和式到求积公式 插值型求积公式 求积公式的代数精度 复合梯形公式 MATLAB求积分命令,第五章 数值积分与数值微分,椭圆周长计算:,x =a cos t y =b sin t,0 t 2,椭圆积分,x = a sin cos y = b sin sin z = c ...
  • 免费使用mathtype截图识别公式公式自定义自动编号
  • 文章目录0、前言1、行内公示(inline equation)2、行间公式(displayed equation)2.1 最基本的行间公式(不带编号)2.2 equation 行间公式(带编号)3、特殊格式公式(多行公式的排版)3.1 技巧一:多行排列(独立标号...
  • 公式编辑一直都是 Microsoft Word 中的老大难问题,网上各路方法五花八门,杂七杂八,很多路子都不好。希望这篇文章,能帮到这些正在写论文的学子。在这里感谢一下我本科的张翔老师,他是生环学院的老师,闲暇时候...
  • LaTeX中的多行数学公式

    千次阅读 2022-02-07 14:45:18
    LaTeX中的多行数学公式 一、gather以及gather*环境编排公式 文章目录一、gather以及gather*环境编排公式1、 `gather`环境2、 `gather*`环境3、 阻止编号二、align以及align*环境设定公式对齐方式1、`align`环境2、`...
  • Texstudio公式总结

    千次阅读 多人点赞 2021-07-01 17:30:12
    1、数学公式 数学公式的前后要加上 $ 或 \,比如:$f(x) = 3x + 7$ 和 \(f(x) = 3x + 7\) 效果是一样的; 如果用\ \,或者使用 $$ 和 $$,则改公式独占一行; 如果用 \begin{equation} 和 \end{equation},则公式...
  • 计算平方的公式 各类计算公式

    千次阅读 2021-07-25 07:58:51
    平方米是面积单位,边长为1米的正方形的...计算平方的公式计算平方的公式根据物体的形状有不同的公式,具体如下:1、长方形:{长方形面积=长×宽}2、正方形:{正方形面积=边长×边长}3、平行四边形:{平行四边形面...
  • Excel疑难千寻千解丛书之二《Excel2010函数与公式》高清PDF 《Excel 2010函数与公式》是“Excel疑难千寻千解”丛书之一,为读者展示了在Excel 2010中运用函数与公式解决疑难问题的实战技巧,包含函数与公式的基础...
  • 马上临近毕业季,大家也开始撰写本科毕设论文,对于工科学生来说,这其中难免少不了插入严谨的公式来进行逻辑推导。美观高效的公式会给阅读带来极大便捷,也会给自己的论文增添不少姿色。除了使用Word自带的墨迹公式...
  • 1.1 实验3.1:分别用复化梯形公式与复化Simpson公式计算下列积分,并与精确积分值相比较,探讨两类积分公式的精度。 2实验内容 编写相应的M文件实现下列问题: 分别用复化梯形公式与复化Simpson公式计算下列积分,...
  • ln公式(lg公式大全)

    千次阅读 2021-01-17 15:30:37
    性质 ①loga(1)=0; ②loga(a)=1; ③负数与零无对数.运算法则 ①loga(MN)=logaM+...公式=ln(a2:a4890)要求出总和就要使公式处于数组状态,将公式对每个单元格求出的值再求和。方法1.=sum(ln(a2:a4890)) 数组公式...
  • Excel输入公式

    千次阅读 2021-07-25 06:45:06
    在Microsoft 2000版中,我们可以在单元格中输入公式或者使用Excel提供的函数来完成对工作表的计算,我们还可以进行多维引用,来完成各种复杂的运算。例如,制作工程预算表并对其进行分析;或者对财务报表进行计算、...
  • 华莱士公式

    千次阅读 2022-05-11 16:33:37
    华莱士公式 华莱士公式( 点火公式 ) 三角函数的出现就注定了题目的变态,但是总会有些技巧类小可爱,帮助我们解决头秃的无奈! 比如下面要介绍的“点火公式”,在分部积分法中经常会用,而且灰常好用...
  • 复杂的公式,这里可能写不了,但是简单的介绍的话也可以的套用初中物理的“液体的压强公式”。 如果你对初中物理还有记忆的话,你一定记得“液体的压强公式”。 .大气压=760mm*水银的密度*10N/kg =0.76mX13.6X10^3kg...
  • Wallis公式(点火公式)

    万次阅读 多人点赞 2020-06-15 09:18:08
    WallisWallisWallis公式(点火公式): In=∫0π2(sinnx)dx=∫0π2(cosnx)dx={(n−1)!!n!!×π2,n为正偶数(n−1)!!n!!×1  ,n为大于1的奇数I_n=\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(sin^nx)dx=\large\int_{0}^\...
  • 使用LaTeX在Word中输入公式

    千次阅读 2021-01-24 20:56:17
    由于近日居家写论文,公式多的一批,用Mathtype或者word自带公式编辑器还要不断的打开关闭插入公式,鼠标点来点去麻烦的很,索性查了一下用latex在word中编辑公式 1、首先避免不了还是需要安装MathTyoe,链接放下边...
  • 怎样用C语言编写数学公式 如何用C语言输入数学公式怎样用C语言编写数学公式 如何用C语言输入数学公式相关问题:匿名网友:1、C语言有现场的常用数学函数,所在函数库为math.h、stdlib.h。函数名及解释:int abs(int i)...
  • 约瑟夫环——公式法(递推公式

    万次阅读 多人点赞 2017-06-04 01:02:52
    上面这个例子验证了这个递推公式的确可以计算出胜利者的下标,下面将讲解怎么推导这个公式。 问题1: 假设我们已经知道11个人时,胜利者的下标位置为6。那下一轮10个人时,胜利者的下标位置为多少? 答: 其实吧,第...
  • 弧长计算公式公式

    万次阅读 2020-12-30 06:27:51
    1. 弧长公式:32313133353236313431303231363533e78988e69d8331333365643661l = n(圆心角)× π(圆周率)× r(半径)/180=α(圆心角弧度数)× r(半径)在半径是R的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆...
  • LaTex编辑器编辑公式

    万次阅读 热门讨论 2021-11-08 15:37:53
    LaTex编辑器编辑公式 文章目录LaTex编辑器编辑公式一、简介二、如何获取LaTex三、教程四、一些实例1、示例一2、示例二3、示例三五、总结 一、简介 LaTeX(LATEX,音译“拉泰赫”)是一种基于ΤΕΧ的排版系统,由...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 1,285,855
精华内容 514,342
关键字:

公式

友情链接: calculate.zip