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  • 7.4.2 利用MATLAB计算随机变量的期望和方差 一用MATLAB计算离散型随机变量的数学期望通常对取值较少的离散型随机变量可用如下程序进行计算对于有无穷多取值的随机变量其期望的计算公式为可用如下程序进行计算案例...
  • 常见分布期望和方差的推导

    千次阅读 2020-06-01 09:31:09
    设有一随机变量X, 其期望存在为E(X),方差存在为D(X) 有结论D(X)=E(X2)−[E(X)]2D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2D(X)=E(X2)−[E(X)]2 1.二项分布 X~b(n, p) P{X=k}=(nk)pk(1−p)n−k, k=0,1,2,...,n P\{X=k\} = {n...

    设有一个随机变量X, 其期望存在为E(X),方差存在为D(X)
    有结论 D ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 D(X)=E(X2)[E(X)]2

    1.二项分布

    表达式:
    X ~ b ( n , p ) P { X = k } = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k ,   k = 0 , 1 , 2 , . . . , n X \text{\textasciitilde} b(n, p)\\ P\{X=k\} = {n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}, \space k=0,1,2,...,n X~b(n,p)P{X=k}=(kn)pk(1p)nk, k=0,1,2,...,n

    期望推导过程:
    E ( X ) = ∑ k = 0 n P { X = k } ⋅ k = ∑ k = 1 n ( n k ) k p k ( 1 − p ) n − k = ∑ k = 1 n n p ( n − 1 k − 1 ) p k − 1 ( 1 − p ) n − k =   n p ∑ k = 1 n ( n − 1 k − 1 ) p k − 1 ( 1 − p ) n − k = n p \begin{aligned} E(X) = &\sum_{k=0}^nP\{X=k\}\sdot k = \sum_{k=1}^n{n \choose k}kp^k(1-p)^{n-k}={\sum_{k=1}^n}np{n-1 \choose k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k}\\ =&\space np\sum_{k=1}^n {n-1 \choose k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k} = np \end{aligned} E(X)==k=0nP{X=k}k=k=1n(kn)kpk(1p)nk=k=1nnp(k1n1)pk1(1p)nk npk=1n(k1n1)pk1(1p)nk=np

    这里面有2个变换:
    ( n k ) = n k ( n − 1 k − 1 ) ( n − 1 k − 1 ) p k − 1 ( 1 − p ) n − k = ( p + 1 − p ) n − 1 = 1 {n \choose k} = \frac n k {n-1 \choose k-1} \\ {n-1 \choose k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k} = (p+1-p)^{n-1} = 1 (kn)=kn(k1n1)(k1n1)pk1(1p)nk=(p+1p)n1=1

    方差的推导过程:
    E ( X 2 ) = ∑ k = 0 n k 2 ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k 令 1 − p = q E ( X 2 ) = ∑ k = 1 n k 2 ( n k ) p k q n − k = ∑ k = 1 n n k ( n − 1 k − 1 ) p k q n − k = ∑ k = 1 n n ( k − 1 + 1 ) ( n − 1 k − 1 ) p k q n − k = ∑ k = 1 n n ( k − 1 ) ( n − 1 k − 1 ) p k q n − k   + ∑ k = 1 n n p ( n − 1 k − 1 ) p k − 1 q n − k = ∑ k = 2 n n ( n − 1 ) p 2 ( n − 2 k − 2 ) p k − 2 q n − k + n p = n ( n − 1 ) p 2 + n p D ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) 2 ] = n ( n − 1 ) p 2 + n p − ( n p ) 2 = n p ( 1 − p ) \begin{aligned} E(X^2) &= \sum_{k=0}^nk^2{n \choose k}p^k(1-p)^{n-k} \quad 令 1-p = q\\ E(X^2) &= \sum_{k=1}^n k^2 {n \choose k} p^k q^{n-k} = \sum_{k=1}^n nk {n-1 \choose k-1} p^k q^{n-k}\\ &= \sum_{k=1}^n n(k -1 + 1){n-1 \choose k-1} p^k q^{n-k}\\ &= \sum_{k=1}^n n(k-1) {n-1 \choose k-1}p^k q^{n-k} \space + \sum_{k=1}^n np {n-1 \choose k-1} p^{k-1} q^{n-k}\\ &= \sum_{k=2}^n n(n-1) p^2 {n-2 \choose k-2} p^{k-2} q^{n-k} + np\\ &= n(n-1)p^2 + np\\ \\ D(X) &= E(X^2) - [E(X)^2]\\ &= n(n-1)p^2 + np -(np)^2\\ &= np(1-p) \end{aligned} E(X2)E(X2)D(X)=k=0nk2(kn)pk(1p)nk1p=q=k=1nk2(kn)pkqnk=k=1nnk(k1n1)pkqnk=k=1nn(k1+1)(k1n1)pkqnk=k=1nn(k1)(k1n1)pkqnk +k=1nnp(k1n1)pk1qnk=k=2nn(n1)p2(k2n2)pk2qnk+np=n(n1)p2+np=E(X2)[E(X)2]=n(n1)p2+np(np)2=np(1p)

    2.泊松分布

    表达式:
    X ~ π ( λ ) P { X = k } = λ k e − λ k ! , k = 0 , 1 , 2 , . . . X \text{\textasciitilde} \pi(\lambda)\\ P\{X=k\} = \frac {\lambda^k e^{-\lambda}} {k!}, k=0,1,2,... X~π(λ)P{X=k}=k!λkeλ,k=0,1,2,...

    期望推导过程:
    E ( X ) = ∑ k = 0 ∞ k λ k e − λ k ! = λ e − λ ∑ k = 1 ∞ λ k − 1 k ! = λ e − λ e λ = λ \begin{aligned} E(X) &= \sum_{k=0}^\infin k {\frac {\lambda^k e^{-\lambda} } {k!}} = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^\infin {\frac {\lambda^{k-1}} {k!} } \\ &= \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda}\\ &= \lambda\\ \end{aligned} E(X)=k=0kk!λkeλ=λeλk=1k!λk1=λeλeλ=λ

    这里也有一个变换(就是 e^x的泰勒展开式):
    ∑ k = 0 ∞ λ k k ! = e λ \sum_{k=0}^\infin {\frac {\lambda^{k}} {k!} } = e^{\lambda} k=0k!λk=eλ

    方差推导过程:
    E ( X 2 ) = ∑ k = 0 ∞ k 2 λ k e − λ k ! = ∑ k = 1 ∞ k e − λ λ   λ k − 1 ( k − 1 ) ! = ∑ k = 1 ∞ ( k − 1 + 1 ) λ e − λ λ k − 1 ( k − 1 ) ! = ∑ k = 1 ∞ ( k − 1 ) λ e − λ λ k − 1 ( k − 1 ) !   + λ e − λ ∑ k = 1 ∞ λ k − 1 ( k − 1 ) ! = λ 2 e − λ ∑ k = 2 ∞ λ k − 2 ( k − 2 ) !   + λ = λ 2 + λ D ( X ) = λ 2 + λ − λ 2 = λ \begin{aligned} E(X^2) &= \sum_{k=0}^\infin k^2 {\frac {\lambda^k e^{-\lambda}} {k!}} = \sum_{k=1}^\infin k e^{-\lambda} \lambda \space {\frac {\lambda^{k-1}} {(k-1)!}} \\ &= \sum_{k=1}^\infin (k-1+1) \lambda e^{-\lambda} {\frac {\lambda^{k-1}} {(k-1)!}} \\ &= \sum_{k=1}^\infin (k-1) \lambda e^{-\lambda} {\frac {\lambda ^{k-1}} {(k-1)!}} \space + \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^\infin {\frac {\lambda^{k-1}} {(k-1)!}} \\ &= \lambda^2 e^{-\lambda} \sum_{k=2}^\infin {\frac {\lambda^{k-2}} {(k-2)!}} \space + \lambda \\ &= \lambda^2 + \lambda \\ \\ D(X) &= \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda \end{aligned} E(X2)D(X)=k=0k2k!λkeλ=k=1keλλ (k1)!λk1=k=1(k1+1)λeλ(k1)!λk1=k=1(k1)λeλ(k1)!λk1 +λeλk=1(k1)!λk1=λ2eλk=2(k2)!λk2 +λ=λ2+λ=λ2+λλ2=λ

    3.几何分布

    表达式:
    X ~ G ( p ) P { X = k } = ( 1 − p ) k − 1 p ,   k = 1 , 2 , 3 , . . . X \text{\textasciitilde} G(p)\\ P\{X=k\} = (1-p)^{k-1}p, \space k= 1, 2, 3, ... X~G(p)P{X=k}=(1p)k1p, k=1,2,3,...

    期望的推导:
    E ( X ) = ∑ k = 1 ∞ k ( 1 − p ) k − 1 p = p ∑ k = 1 ∞ k ( 1 − p ) k − 1 令 q = 1 − p ,   S = ∑ k = 1 ∞ k q k − 1 S = 1 + 2 q + 3 q 2 + 4 q 3 + . . . + k q k − 1 , k = ∞ ① q S = q + 2 q 2 + 3 q 3 + 4 q 4 + . . . + k q k , k = ∞ ② ① − ② 得 ( 1 − q ) S = 1 + q + q 2 + q 3 + . . . + q k − 1 − k q k S = 1 − q k ( 1 − q ) 2 − k q k 1 − q = 1 ( 1 − q ) 2 = 1 p 2 , 这 里 因 为 k = ∞ E ( X ) = p 1 p 2 = 1 p \begin{aligned} E(X) &= \sum_{k=1}^\infin k (1-p)^{k-1} p = p \sum_{k=1}^\infin k (1-p)^{k-1} \\ 令q = &1 - p, \space S = \sum_{k=1}^\infin kq^{k-1} \\ &\\ S = 1 &+ 2q + 3q^2 + 4q^{3} + ... + kq^{k-1}, k=\infin \qquad ① \\ qS = q&+ 2q^2 + 3q^3 + 4q^4 + ... + kq^k, k=\infin \qquad ② \\ ① - ②得 \quad &(1-q)S = 1+ q +q^2 + q^3 + ... + q^{k-1} - kq^k \\ S = & {\frac {1-q^k} {(1-q)^2} } - {\frac {kq^k} {1-q}} = {\frac 1 {(1-q)^2} } = \frac 1 {p^2}, \quad 这里因为k=\infin \\ \\ E(X) &= p {\frac 1 {p^2}} = {\frac 1 p} \\ \end{aligned} E(X)q=S=1qS=qS=E(X)=k=1k(1p)k1p=pk=1k(1p)k11p, S=k=1kqk1+2q+3q2+4q3+...+kqk1,k=+2q2+3q3+4q4+...+kqk,k=(1q)S=1+q+q2+q3+...+qk1kqk(1q)21qk1qkqk=(1q)21=p21,k==pp21=p1

    方差推导过程:
    E ( X 2 ) = ∑ k = 1 ∞ k 2 ( 1 − p ) k − 1 p = p ∑ k − 1 ∞ k 2 ( 1 − p ) k − 1 令 1 − p = q S = ∑ k = 1 ∞ k 2 q k − 1 = ∑ k = 1 ∞ ( k q k ) ′ = [ ∑ k = 1 ∞ k q n ] ′ = [ q ( 1 − q ) 2 ] ′ = ( 1 − q ) 2 + 2 ( 1 − q ) q ( 1 − q ) 4 = 2 p − p 2 p 4 = 2 − p p 3 所 以 E ( X 2 ) = 2 − p p 2 D ( X ) = 2 − p p 2 − ( 1 p ) 2 = 1 − p p 2 \begin{aligned} E(X^2) &= \sum_{k=1}^\infin k^2 (1-p)^{k-1} p = p\sum_{k-1}^\infin k^2 {(1-p)}^{k-1} \\ 令1-p &= q \\ S &= \sum_{k=1}^\infin k^2 q^{k-1} = \sum_{k=1}^\infin (kq^k)' = {[\sum_{k=1}^\infin kq^n]}' \\ &= [\frac q {(1-q)^2}]' \\ &= \frac {(1-q)^2 + 2(1-q)q} {(1-q)^4} \\ &= \frac {2p - p^2} {p^4} \\ &= \frac {2-p} {p^3} \\ 所以 E(X^2) &= \frac {2-p} {p^2} \\ D(X) &= \frac {2-p} {p^2} - {(\frac 1 p)}^2 \\ &= \frac {1-p} {p^2}\\ \end{aligned} E(X2)1pSE(X2)D(X)=k=1k2(1p)k1p=pk1k2(1p)k1=q=k=1k2qk1=k=1(kqk)=[k=1kqn]=[(1q)2q]=(1q)4(1q)2+2(1q)q=p42pp2=p32p=p22p=p22p(p1)2=p21p

    4.超几何分布

    表达式:
    X ~ H ( n , K , N ) P { X = k } = ( K k ) ( N − K n − k ) ( N n ) X \text{\textasciitilde} H(n, K, N) \\ P\{X=k\} = {\frac {{K \choose k} {N-K \choose n-k} } {N \choose n} } \\ X~H(n,K,N)P{X=k}=(nN)(kK)(nkNK)

    期望推导过程:
    E ( X ) = ∑ k = 0 n k ( K k ) ( N − K n − k ) ( N n ) = K n N ∑ k = 1 n ( K − 1 k − 1 ) ( N − K n − k ) ( N − 1 n − 1 ) = K n N \begin{aligned} E(X) &= \sum_{k=0}^n k {\frac {{K \choose k} {N-K \choose n-k} } {N \choose n}} \\ &= {\frac {Kn} {N}} \sum_{k=1}^n {\frac {{K-1 \choose k-1} {N-K \choose n-k}} {N-1 \choose n-1}} \\ &= {\frac {Kn} {N}}\\ \end{aligned} E(X)=k=0nk(nN)(kK)(nkNK)=NKnk=1n(n1N1)(k1K1)(nkNK)=NKn

    方差的推导过程:
    E ( X 2 ) = ∑ k = 0 n k 2 ( K k ) ( N − K n − k ) ( N n ) = K n N ∑ k = 1 n ( k − 1 + 1 ) ( K − 1 k − 1 ) ( N − K n − k ) ( N − 1 n − 1 ) = K n N [ ∑ k = 1 n ( k − 1 ) ( K − 1 k − 1 ) ( N − K n − k ) ( N − 1 n − 1 ) + ∑ k = 1 n ( K − 1 k − 1 ) ( N − K n − k ) ( N − 1 n − 1 ) ] = K n N [ ( K − 1 ) ( n − 1 ) N − 1 ∑ k = 2 n ( K − 2 k − 2 ) ( N − K n − k ) ( N − 2 n − 2 ) + 1 ] = K n N [ ( K − 1 ) ( n − 1 ) N − 1 + 1 ] D ( X ) = K n N [ ( K − 1 ) ( n − 1 ) N − 1 + 1 ] − ( K n N ) 2 = K n N ( N − K ) ( N − n ) N ( N − 1 ) \begin{aligned} E(X^2) &= \sum_{k=0}^n k^2 {\frac {{K \choose k} {N-K \choose n-k}} {N \choose n} } \\ &= {\frac {Kn} {N}} \sum_{k=1}^n (k-1+1) {\frac { {K-1 \choose k-1} {N-K \choose n-k} } {N-1 \choose n-1} } \\ &={\frac {Kn} {N}} [ \sum_{k=1}^n (k-1){\frac { {K-1 \choose k-1} {N-K \choose n-k} } {N-1 \choose n-1}} + \sum_{k=1}^n{\frac { {K-1 \choose k-1} {N-K \choose n-k} } {N-1 \choose n-1}} ] \\ &= {\frac {Kn} {N}} [{\frac {(K-1)(n-1)} {N-1}}\sum_{k=2}^n {\frac { {K-2 \choose k-2} {N-K \choose n-k} } {N-2 \choose n-2}} + 1] \\ &= {\frac {Kn} {N}}[{\frac {(K-1)(n-1)} {N-1}} +1] \\ \\ D(X) &= {\frac {Kn} {N}}[{\frac {(K-1)(n-1)} {N-1}} +1] - ({\frac {Kn} N})^2 \\ &= {\frac {Kn} {N}} {\frac {(N-K)(N-n)} {N(N-1)}} \\ \end{aligned} E(X2)D(X)=k=0nk2(nN)(kK)(nkNK)=NKnk=1n(k1+1)(n1N1)(k1K1)(nkNK)=NKn[k=1n(k1)(n1N1)(k1K1)(nkNK)+k=1n(n1N1)(k1K1)(nkNK)]=NKn[N1(K1)(n1)k=2n(n2N2)(k2K2)(nkNK)+1]=NKn[N1(K1)(n1)+1]=NKn[N1(K1)(n1)+1](NKn)2=NKnN(N1)(NK)(Nn)

    5.均匀分布

    表达式:

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  • 常见分布的概率分布及期望方差

    千次阅读 2020-04-07 20:58:01
    文章转载:https://www.jianshu.com/p/c05bafb52877

    文章转载:https://www.jianshu.com/p/c05bafb52877f

    参考链接:https://blog.csdn.net/sodacoco/article/details/89041910
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  • 常见分布期望及其方差

    千次阅读 2019-11-24 09:31:29
    期望 方差 0-1分布 Pi=P(X=i)=pipn−iP_i=P({X=i})=p^ip^{n-i}Pi​=P(X=i)=pipn−i p p(1-p) 二项分布 Pi=P(X=i)=Cnipipn−iP_i=P({X=i})=C^i_np^ip^{n-i}Pi​=P(X=i)=Cni​pipn−i np np(1-p) 泊松分布 ...
    分布名称表达式期望方差
    0-1分布 P i = P ( X = i ) = p i p n − i , ( i = 0 , 1 ) P_i=P({X=i})=p^ip^{n-i},(i=0,1) Pi=P(X=i)=pipni,(i=0,1)pp(1-p)
    二项分布 P i = P ( X = i ) = C n i p i p n − i , ( i = 0 , 1 , 2 , 3... ) P_i=P({X=i})=C^i_np^ip^{n-i},(i=0,1,2,3...) Pi=P(X=i)=Cnipipni,(i=0,1,2,3...)npnp(1-p)
    泊松分布 P i = P ( X = i ) = λ i i ! e − λ x , ( i = 0 , 1 , 2 , 3... ) P_i=P({X=i})=\frac{\lambda ^i}{i!}e^{-\lambda x},(i=0,1,2,3...) Pi=P(X=i)=i!λieλx,(i=0,1,2,3...) λ \lambda λ λ \lambda λ
    指数分布 f ( x ) = { λ e − λ x , 0 < x 0 , x < = 0 f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},\quad &0<x \\0, &x<=0\end{cases} f(x)={λeλx,0,0<xx<=0 1 λ \frac{1}{\lambda} λ1 1 λ 2 \frac{1}{\lambda^2} λ21
    几何分布 P i = P ( X = i ) = p ( 1 − p ) i − 1 , ( i = 0 , 1 , 2 , 3... ) P_i=P({X=i})=p(1-p)^{i-1},(i=0,1,2,3...) Pi=P(X=i)=p(1p)i1,(i=0,1,2,3...) 1 p \frac{1}{p} p1 1 − p p 2 \frac{1-p}{p^2} p21p
    超几何分布 P i = P ( X = i ) = C M i C N − M n − i C N n , ( i = 0 , 1 , 2 , 3... ) P_i=P{(X=i)}=\frac{C_M^iC_{N-M}^{n-i}}{C_N^n},(i=0,1,2,3...) Pi=P(X=i)=CNnCMiCNMni,(i=0,1,2,3...) n M N n\frac{M}{N} nNM n M N ( 1 − M N ) N − n n − 1 n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})\frac{N-n}{n-1} nNM(1NM)n1Nn
    正态分布 f ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − u ) 2 2 σ 2 , ( − ∞ < x < + ∞ ) f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{(x-u)^2}{2 \sigma ^2}},(-\infty <x <+\infty) f(x)=σ2π 1e2σ2(xu)2,(<x<+)u σ 2 \sigma ^2 σ2
    χ 2 \chi^2 χ2分布 χ 2 = x 1 2 + x 2 2 + . . . . + x n 2 , ( X 1 , X 2 , . . . , X n 相 互 独 立 , 且 都 服 从 标 准 正 态 分 布 N ( 0 , 1 ) ) \chi ^2 = x_1^2+x_2^2+....+x_n^2,(X_1,X_2,...,X_n相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1)) χ2=x12+x22+....+xn2,(X1,X2,...,XnN(0,1))n2n
    均匀分布 f ( x ) = 1 b − 1 f(x) = \frac{1}{b-1} f(x)=b11 a + b 2 \frac{a+b}{2} 2a+b ( b − a ) 2 12 \frac{(b-a)^2}{12} 12(ba)2
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  • 常见分布期望和方差.doc
  • 内容有各种常见概率分布,一般会写含义、密度函数形式、期望方差、特征函数,其它性质感觉重要就添加(有趣但感觉没什么用的不会添加)。先介绍下在R中的使用随机数,密度函数,分布函数,分位函数的命令,使用...

    老是记不住各种分布及其意义,每次用时,回查各个课本资料也很麻烦,一些分布的重要性质也是各处散布,经常找不到,故这里做个总结,当作个资料卡用。

    内容有各种常见概率分布,一般会写含义、密度函数形式、期望、方差、特征函数,其它性质感觉重要就添加(有趣但感觉没什么用的不会添加)。

    先介绍下在R中的使用随机数,密度函数,分布函数,分位函数的命令,使用正态分布为示例。以下不做说明均是使用 R 语言。

    • 随机数

    从服从某种分布的总体中抽出样本

    > rnorm(5)
    [1]  0.2858567 -0.7578348  0.6322224  0.6289619 -0.6743083
    • 概率密度函数(probability density function pdf)

    分布的概率密度函数值

    。有时直接称密度函数。
    > dnorm(0)
    [1] 0.3989423
    > dnorm(3.2)
    [1] 0.002384088

    使用这个函数就可以画出概率密度函数图,

    x = seq(-5,5,by=0.01)
    y = dnorm(x)
    plot(x,y)

    2f8f0df890a1bc86d0892efb0a5ffa34.png
    • 累积分布函数(cumulative distribution function cdf)

    含义为对pdf的积分函数

    。有时直接称分布函数。
    > pnorm(0)
    [1] 0.5
    > pnorm(1.3)
    [1] 0.9031995
    > pnorm(3.6)
    [1] 0.9998409
    • 分位函数

    cdf的反函数,从pdf理解更简单,pdf下方总的面积为1,q(0.9)表示从

    到值q(0.9)处,累积概率为0.9。显然这个函数一个用处是计算否定域
    > qnorm(0.5)
    [1] 0
    > qnorm(0.9031)
    [1] 1.29942
    
    > qnorm(0.025)    #显著性水平为0.05,拒绝域(-1.95,1.95)
    [1] -1.959964

    用随机数理解,如果随机抽取,90%的数在

    到值q(0.9)之间,
    > qnorm(0.9)
    [1] 1.281552
    
    > sum(rnorm(1e5)<1.281552)/1e5
    [1] 0.90048

    1.退化分布;2.伯努利分布;3.Categorical 分布;4.二项分布;5.多项分布;6.中餐馆分布

    7.泊松分布;8.几何分布;9.超几何分布;10.负二项分布(又称巴斯卡分布);11.正态分布;

    12.均匀分布;13.指数分布;14.卡方分布;15.t分布;16.F分布;17.柯西分布;

    18.Gamma分布;19.beta分布;20.对数正态分布;21.Weibull分布;22.逻辑分布;23.狄利克雷分布;

    1.退化分布(degenerate distribution)

    [1]基本

    • 密度函数

    随机变量值只取常数

    。事实上它并不随机,但把它看作随机变量的退化情况,因此称为退化分布。
    • 期望

    • 方差

    • 特征函数

    [2]重要性质

    2.伯努利分布

    [1]基本

    随机变量只取0或1,表示事件不发生或发生,也可以说是事件发生0次或发生1次

    • 密度函数

    为随机变量,
    为该分布的参数。
    • 期望

    • 方差

    • 特征函数

    [2]重要性质

    3.Categorical分布

    [1]基本

    伯努利分布为一次只有两种可能结果{0,1}的试验,Categorical 分布可以有多种可能{1,2,...,K}。

    • 密度函数

    d58e70b0c18479247667f3a4e9074a40.png
    • 期望
    • 方差
    • 特征函数

    [2]重要性质

    4.二项分布

    [1]基本

    也称为

    重伯努利分布,某伯努利事件成功的概率为
    ,重复进行
    次伯努利事件,成功的次数为
    的概率。随机变量为
    ,可取
    • 密度函数

    画个密度图看看,

    k = 0:15      #随机变量
    p = dbinom(k,15,0.7)   #15重伯努利,成功概率取0.7
    plot(k,p)

    ac1eb6fd80969c91e7c26cabab605ed4.png
    • 期望

    • 方差

    • 特征函数

    [2]重要性质

    1.几个二项式系数的关系式

    14fcf61d3990ddfe09ca403f7ae8a8f4.png

    2b8804e3a954b381a3c13c7a1ceb2349.png

    81b219c28c03f9fb2917d24aad3b9b52.png

    4f910e5e5a2d976fb0678c6f95022c5c.png

    2.二项分在

    时近似为正态分布
    k = 0:100     
    p = dbinom(k,100,0.4)   
    plot(k,p)

    be91ffae2bd9959ea6e7365c8c984749.png

    5.多项分布(Multinomial Distribution)

    [1]基本

    也可以进行多次Categorical 分布试验,Categorical 分布的事件用

    表示,对应的概率为
    ,进行
    次试验(每次都会发生
    中的一个)各个事件发生的次数为
    ,注意有
    ,概率为,
    • 密度函数

    • 期望
    • 方差
    • 特征函数

    [2]重要性质

    1.从离散分布抽iid的样本,样本发生的概率都可以看作是多项分布。多项分布在推导皮尔逊卡方定理、列联表的卡方检验都有用到。是一个重要且很有用的分布。

    6.中餐馆分布(Chinese restaurant process CRP )

    这是本专栏中“狄利克雷过程和中餐馆过程”的部分内容,里面同时也说明了该分布的用处。

    多次伯努利分布(每次试验只有两种结果)得到二项分布,多次Categorical 分布(每次试验有K种结果)得到多项分布。进一步考虑。如果每次试验有无穷种可能结果,进行多次试验又会如何。

    [1]基本

    把过程想象成客人进入餐馆就坐的过程,餐馆中有无穷个桌子。每一次试验相当于一个客人选择一个桌子坐下。

    c88fcd9c157833a83ec2306bd567979a.png

    圆圈表示餐桌,数字表示客人,1号客人选择了第一个餐桌,4号客人选择了第3个餐桌。

    看看上图发生的概率,

    首先所有桌都没人,1号进入直接坐在1桌;

    2号进入,分别以概率

    坐在1桌和一个新的空桌,结果是坐在了1桌;

    3号进入,分别以概率

    坐在1桌和一个新空桌,结果坐在了一个新空桌2桌;

    ...

    8号进入,分别以概率

    分别为进入第1,2,3,4个桌和一个新空桌的概率,结果坐在了3桌;

    故上图发生的概率为,

    • 概率密度函数

    关于这个概率的计算前人早就算好了,

    867398e0147a141349ae973b50ce16cc.png

    A是

    为第
    类的数量,即坐在第k个桌的人数,
    当前非空的桌数量。
    library(nimble)
    
    > rCRP(n=1, conc = 2, size=15)     #alpha也称concentration,即这里的conc参数。15个客人
     [1] 1 2 3 1 1 4 5 1 5 1 3 4 1 1 1
    > rCRP(n=1, conc = 2, size=15)    #该函数目前只能一次产生一个随机样本,即 n 只能为1
     [1] 1 2 2 2 3 4 3 2 2 3 2 5 5 3 6
    > rCRP(n=1, conc = 2, size=15) 
     [1] 1 2 1 3 1 4 4 2 4 4 2 4 1 4 4
    > rCRP(n=1, conc = 2, size=15)
     [1] 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1
    #可以看到有时分为5类,有时分为6类,有时分为4类,...
    
    z = c(1,1,2,3,1,3,4,3)
    dCRP(z, conc = 1, size=8)  #这里看看上面例子发生的概率。注意size要和z的长度值相等
    [1] 9.920635e-05

    从上面的分析可知

    越大,客人坐到空桌的概率越大
    ,也就
    参数越大,上面产生随机样本时类越多。

    如果已知c(1,1,2,3,1,3,4),看上面可以算出

    条件概率分布,懒得自己编程,也可以利用dCRP()函数和关系
    计算,
    a = c()
    
    for(i in 1:5){
      
      z7 = c(1,1,2,3,1,3,4)
      z8 = c(1,1,2,3,1,3,4,i)
      a = c(a,dCRP(z8, conc = 1, size=8)/dCRP(z7, conc = 1, size=7))
    }
    
    > a    #即已知前7个情况,第8个客人选择各个餐桌的概率
    [1] 0.375 0.125 0.250 0.125 0.125

    这里有一个问题是dCRP()可能会很小,看上面size=8时会计算出9.920635e-05,如果size更大概率会更小使得R语言认为该值为0,导致除法没法算,方法自然是计算时使用概率的对数值,dCRP()设置参数log即可,

    > dCRP(z1, conc = 1, size=400)   #z1的size=400,即试验了400次
    [1] 0
    
    > dCRP(z1, conc = 1, size=i,log=1)  #实际计算时,应该注意这个值为概率对数值
    [1] -922.6469

    其实可以看到R语言里面很多计算概率的函数都会设置log这个参数,也是预防这个问题。

    • 期望
    • 方差
    • 特征函数

    [2]重要性质

    7.泊松分布(

    )

    [1]基本

    泊松分布起初是作为二项分布的近似引出的。当二项分布中

    很大(计算
    困难),而
    很小时,取
    ,有
    ,其中
    • 密度函数

    为随机变量,可取0, 1, 2, ...

    密度图,

    k = 0:20    #随机变量取值,可取到无穷大,这里只取到20
    p = dpois(k,0.8)
    plot(k,p)

    fbb5b44a44f00809c3a1891e2689c828.png
    • 期望

    • 方差

    • 特征函数

    [2]重要性质

    1.这个分布的期望方差相等

    2.极限分布(

    )为正态分布

    画个 图看看,

    k = 0:50
    p = dpois(k,20)  #lambda = 20
    plot(k,p)

    fb9830c2c67496c4dec60fe46bf9911b.png

    [3]为何要引入泊松分布来近似二项分布

    5e79e49cb73cb4e220d948450f373714.png

    [4]泊松分布也可以不由二项分布推出来,而由一些条件独立于二项分布推出来

    4453b7d220bb480962499d1c8d2f71f6.png

    53a26e22721e5d027a0fdc4b7ebde4f2.png

    d521d7601b97b13555d1601edb057f51.png

    19190b71f9a812668ac46e439b914adc.png

    [5]广义泊松分布

    泊松分布的期望和方差值相等是一个特点,也是一个很强的限制,然而现实生活中大多数据是不符合期望方差相等的,于是创建一个不限制期望方差相等的离散分布。

    389fdf2c73eeb7fde27bc3a54d45aa85.png

    对应期望方差,

    9e3708b6c6705e97a8593736a2482ee8.png

    时就回到了一般的泊松分布。

    8.几何分布

    [1]基本

    进行多次伯努利试验,直到第

    ​次才首次成功的概率,​
    为随机变量可取1,2,...
    • 密度函数

    概率密度图,

    k = 0:50      #注意,随机变量确实应该从1开始,但R语言中k=0,实际是+1后再代入计算
    p = dgeom(k,0.3)  #在使用rgeom()产生的随机数也是从0开始,应+1
    plot(k,p)

    b06dd3d4ae3d79380a4c9d8ad13fd4a2.png
    • 期望

    • 方差

    • 特征函数

    [2]重要性质

    1.无记忆性

    ​表示首次成功时的已经试验的次数。一种情况是第​
    次首次成功,概率为
    ;另一种情况,前​次
    没有成功,那么再试验​
    次首次成功的概率为
    。再试验​
    次和直接试验​
    次概率相同,好像前​
    次没有发生,称为无记忆性。只有几何分布有这种无记忆性。

    9.超几何分布

    [1]基本

    一批产品共有

    个,次品共有
    个,从中抽取
    个,则次品
    为个的概率。然而,一般是无法提前知道一批产品中共有多少次品。
    • 密度函数

    a9bc4fe339d95d7f0781a668d5c51938.png

    随机变量为

    ,可取0, 1, 2, ...,

    密度图,

    k1 = 0:8
    p = dhyper(k1,m=10,n=30,k=8)  #产品中次品10个,好品30个,每次抽8个
    plot(k1,p)

    ab6b790404a8314bdabb0c73d236a30c.png
    • 期望

    • 方差

    • 特征函数

    3e6ceae519f1e161ed0876315ca0cb23.png

    [2]重要性质

    10.负二项分布(又称巴斯卡分布)

    [1]基本

    多重伯努利事件中,已知成功​

    次,则达成成功​
    次时的试验次数为
    ​的概率,第​
    次试验刚好达到第​
    次成功。随机变量为试验次数
    ​。如,要成功3次,进行5次试验就出现第3次成功的概率
    • 密度函数

    e210eb542d117f42c79ef289b1cdfe26.png
    k1 = 0:10   #计算时,会自动 k1+4 ,于是随机变量取值为,4,5,...,14
    p = dnbinom(k1,size=4,prob=0.3)  #伯努利试验成功的概率为0.3,需要成功4次
    plot(k1,p)

    de4b643a6da8b3c8a8874143de62b2ce.png
    • 期望

    • 方差

    • 特征函数

    800c895ac0270d734d4e971fef151b73.png

    [2]重要性质

    1.期望方差的计算:

    巴斯卡分布

    是重复独立试验(成功概率
    )中成功
    次所需要的试验次数 可以把它分解为
    ,其中
    为在前一次成功后,再成功一次所需要的试验次数,
    服从几何分布,期望为
    ,方差是
    。得,

    “ 常用概率分布总结(2)”接其它分布。

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