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  • 2018-09-16 14:38:00

    要证明f(x)在X上有界,必须找到一个M>0,使任意x属于X都有 |f(x)|<=M;要证明f(x)在X上无界,只需要找到一个数列{xn}存在于X,使f(xn) n趋于∞,f(xn)趋于∞

    外界函数有界,复合函数必有界

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  • 有界变差函数

    千次阅读 2018-05-07 00:15:23
    变差函数是Motheron在1965年提出的一种矩估计方法,为区域化变量的增量平方的数学期望,也就是区域化变量的增量的方差,很多学者直接将半变差函数称之为变差函数。变差函数是地统计学特有的研究工具,不仅能够表征...


    变差函数是Motheron在1965年提出的一种矩估计方法,为区域化变量的增量平方的数学期望,也就是区域化变量的增量的方差,很多学者直接将半变差函数称之为变差函数。
    变差函数是地统计学特有的研究工具,不仅能够表征区域化变量的空间结构性,而且能够表征区域化变量的随机性,反映了区域化变量在某个方向上某一距离范围内的变化程度。


    若在区间(a,b)中,函数f(x)能够表成Φ(x)一Ψ(x)的形状,而Φ与Ψ都是非减有界函数,则称f(x)在(a,b)中是有界变差的.易见两有界变差函数的和、差与积也都是有界变差的.

    定义

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    它的另外几种定义如下:
    定义一
    区间(a,b)被点a=x0<x1<…<xn=b所划分,若
    常小于一个与划分方法无关的 常数,则称函数在(a,b)中有界变差.这种和数的 上确界称为全变差  [1]   .
    定义二
    设f是定义在区间[a,b]上的函数,考察[a,b]上的任意一组分点:a=x0<x1<…<xn=b,当分点变动时,称上确界
    为f在[a,b]上的全变差(或全变分).并记为
       
    .若
       
    <+∞.则称f为[a,b]上的有界变差函数(或囿变函数)  [2]   
    定义三
    设f(x)为定义在[a,b]上的 函数,任取[a,b]的分割D:a=x0<x1<…<xn=b,  [3]  
       
    (f,D)为f(x)关于分割D的 变差,若变差
       
    (f,D)都不超过某个正常数,即存在M>0,使对一切分割D,
     
    (f,D)≤M,
    则称f(x)为[a,b]上的有界变差函数。记
       
    (f)=sup
       
    (f,D),称
       
    (f)为f(x)在[a,b]上的全变差或总变差。

    性质

    编辑
    1.单调函数是有界变差函数.
    2.有限个有界变差函数的和、差、乘积仍为有界变差函数.
    3.两个有界变差函数之商(分母不为零)仍为有界变差雨数.
    4.(Jordan分解定理)f为[a,b]上的有界变差函数的充要条件是f可表为两个不减的非负函数之差.
    5.(Lebesgue) 若f是[a,b]上的单凋函数.则f在[a,b]上几乎处处可微。
    6.绝对连续函数必是有界变差函数.  [2]  
    7.若f(x)是[a,b]上的有界变差函数,则∣f(x)∣在[a,b]上必为有界变差函数;
    8.设f(x)是[a,b]上的有界变差函数,且a<c<b,则f(x)在[a,c]和[c,b]上均为有界变差函数,且有
       
    (f)=
       
    (f)+
       
    (f);
    9.设f(x),g(x)都是[a,b]上有界变差函数,α、β为两个常数,则αf(x)+βg(x)是[a,b]上的有界变差函数;
    10.设f(x),g(x)都是[a,b]上有界变差函数,则f(x)g(x)在[a,b]上亦为有界变差函数;
    11.设{fn(x)}为[a,b]上的有界变差函数列,且{
       
    (fn)}有界
       
    =f(x),则f(x)在[a,b]上为有界变差函数  [3]   
    推论:有界变差函数几乎处处可微  [2]   




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  • 有界格上引进了6个函数(算子),研究了它们之间的关系,并且得到了儿半群。
  • 连续函数的分量连续性质,让我得以将数学分析研究的一元函数的性质,推广到多元函数。因此,我们必要回顾一下一元函数的一些性质。...因此,研究函数的连续性,一躲不开的问题,是序列的极限...

    连续函数的分量连续性质,让我得以将数学分析研究的一元函数的性质,推广到多元函数。因此,我们有必要回顾一下一元函数的一些性质。一般地,我们有两种定义连续函数的性质。一种是利用 ϵ \epsilon ϵ- δ \delta δ语言定义,一种是利用序列极限定义。在一元函数中,这两种定义是等价的。同时,利用分量连续的性质,不难证明这两种定义在多元函数中也是等价的。因此,研究函数的连续性,一个躲不开的问题,是序列的极限。关于实数序列极限,在数学分析中有许多重要的定理,包括确界原理,阿基米德性质,单调有界收敛定理,柯西收敛定理,闭区间套定理,有限覆盖定理,收敛子序列定理等等。这些结论中,将其中一个或者两个作为原理,可以推导出余下的定理。它们共同构成实数完备性的基石,当然也是整个分析学的基石。

    按照一般的设定,我们通常假设确界原理是一个公理,由此推导出其他的定理。本文介绍的是实数序列的单调有界收敛定理。

    定义 我们说实数序列 { x m } \{x_m\} {xm}是单调非减的,如果 x j ≤ x j + 1 x_j \leq x_{j+1} xjxj+1对所有的正整数 j j j成立。类似地,我们可以定义单调非增序列。

    定义 我们说实数序列 { x m } \{x_m\} {xm}有界,如果存在实数 C C C满足 ∣ x j ∣ &lt; C |x_j| &lt; C xj<C对所有的正整数 j j j成立。

    单调有界收敛定理 任何单调有界的序列都有极限。

    证明 我们假设序列 { x m } \{x_m\} {xm}单调非增,对于非减的情况证明类似。设集合 { x m } \{x_m\} {xm}的上确界为 x x x,我们将证明 lim ⁡ m → ∞ x m = x \lim_{m\rightarrow\infty} x_m=x limmxm=x

    事实上,对于任意的 ϵ &gt; 0 \epsilon &gt; 0 ϵ>0都存在正整数 M M M满足
    x − ϵ &lt; x M ≤ x 。 x-\epsilon &lt; x_M \leq x。 xϵ<xMx
    由序列的单调性知
    x − ϵ &lt; x n ≤ x x-\epsilon &lt; x_n \leq x xϵ<xnx
    也即
    ∣ x n − x ∣ &lt; ϵ | x_n - x | &lt; \epsilon xnx<ϵ
    对所有的 n &gt; M n&gt;M n>M成立。这就证明了 lim ⁡ m → ∞ x m = x \lim_{m\rightarrow\infty} x_m=x limmxm=x。证毕。

    单调有界收敛定义最大的应用在于,我们可以不显式地求解序列的极限,来判断序列是否收敛。因为,绝大部分序列的极限是没有显式表达式的。

    关于一个单调有界序列,一个最著名的例子是
    a n = ∑ m = 0 n 1 m ! a_n=\sum_{m=0}^n \frac{1}{m!} an=m=0nm!1
    其单调性非常容易验证。为证明它有界我们有 m ! ≤ 2 m − 1 m!\leq2^{m-1} m!2m1对所有的 m ≥ 2 m\geq2 m2成立。故而
    a n ≤ 2 + ∑ m = 2 n 1 m ! ≤ 2 + ∑ m = 2 n 1 2 m − 1 &lt; 3 。 a_n \leq 2 + \sum_{m=2}^n \frac{1}{m!} \leq 2 + \sum_{m=2}^n \frac{1}{2^{m-1}}&lt;3。 an2+m=2nm!12+m=2n2m11<3
    从上面我们可以推知 { a n } \{a_n\} {an}的极限介于2与3之间。事实上,它的极限是自然对数 e e e

    关于自然对数,另一个重要的序列是
    b n = ( 1 + 1 n ) n 。 b_n=(1+\frac{1}{n})^n。 bn=(1+n1)n
    为了验证序列 { b n } \{b_n\} {bn}的单调性,将 b n b_n bn进行二项式展开,
    b n = ∑ m = 0 n ( n m ) 1 n m = ∑ m = 0 n c ( n , m ) , b_n =\sum_{m=0}^n \binom{n}{m}\frac{1}{n^m}=\sum_{m=0}^n c(n, m), bn=m=0n(mn)nm1=m=0nc(n,m)
    其中
    c ( n , m ) = ( n m ) 1 n m = n ⋅ ( n − 1 ) ⋅ . . . ⋅ ( n − m + 1 ) m ! n m = 1 m ! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) . . . ( 1 − m − 1 n ) 。 \begin{array}{lll} c(n,m)&amp;=&amp;\binom{n}{m}\frac{1}{n^{m}}\\ &amp;=&amp;\frac{n\cdot(n-1)\cdot...\cdot(n-m+1)}{m!n^m}\\ &amp;=&amp;\frac{1}{m!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{m-1}{n})。 \end{array} c(n,m)===(mn)nm1m!nmn(n1)...(nm+1)m!1(1n1)(1n2)...(1nm1)
    显然, c ( n , m ) &gt; 0 c(n,m)&gt;0 c(n,m)>0且关于 n n n单调递增。于是
    b n + 1 = ∑ m = 0 n + 1 c ( n + 1 , m ) &gt; ∑ m = 0 n c ( n + 1 , m ) &gt; ∑ m = 0 n c ( n , m ) = b n , b_{n+1} =\sum_{m=0}^{n+1} c(n+1, m)&gt;\sum_{m=0}^{n} c(n+1, m)&gt;\sum_{m=0}^{n} c(n, m)=b_n, bn+1=m=0n+1c(n+1,m)>m=0nc(n+1,m)>m=0nc(n,m)=bn
    这说明序列 b n + 1 b_{n+1} bn+1是单调递增的。同时 b n &lt; a n b_n &lt; a_n bn<an,故 b n b_n bn有界,其中 { a n } \{a_n\} {an}是上一个例子中定义的序列。于是序列 { b n } \{b_n\} {bn}极限存在。

    接下来,我们证明
    lim ⁡ a n = lim ⁡ b n 。 \lim a_n = \lim b_n。 liman=limbn
    很显然, lim ⁡ a n ≥ lim ⁡ b n \lim a_n \geq \lim b_n limanlimbn。为了证明 lim ⁡ a n ≤ lim ⁡ b n \lim a_n \leq \lim b_n limanlimbn,对于任意给定的实数 ϵ &gt; 0 \epsilon &gt; 0 ϵ>0以及正整数 n n n,都存在正整数 M n M_n Mn满足
    ( 1 − 1 M n ) ( 1 − 2 M n ) . . . ( 1 − n − 1 M n ) &gt; 1 − ϵ 。 (1-\frac{1}{M_n})(1-\frac{2}{M_n})...(1-\frac{n-1}{M_n}) &gt; 1 - \epsilon。 (1Mn1)(1Mn2)...(1Mnn1)>1ϵ
    于是
    b M n = ∑ m = 0 M n 1 m ! ( 1 − 1 M n ) ( 1 − 2 M n ) . . . ( 1 − m − 1 M n ) ≥ ∑ m = 0 n 1 m ! ( 1 − 1 M n ) ( 1 − 2 M n ) . . . ( 1 − m − 1 M n ) ≥ ( 1 − ϵ ) ∑ m = 0 n 1 m ! = ( 1 − ϵ ) a n 。 \begin{array}{lll} b_{M_n}&amp;=&amp;\sum_{m=0}^{M_n} \frac{1}{m!} (1-\frac{1}{M_n})(1-\frac{2}{M_n})...(1-\frac{m-1}{M_n})\\ &amp;\geq&amp;\sum_{m=0}^{n} \frac{1}{m!} (1-\frac{1}{M_n})(1-\frac{2}{M_n})...(1-\frac{m-1}{M_n})\\ &amp;\geq&amp;(1-\epsilon)\sum_{m=0}^{n} \frac{1}{m!} \\ &amp;=&amp; (1-\epsilon) a_n。 \end{array} bMn==m=0Mnm!1(1Mn1)(1Mn2)...(1Mnm1)m=0nm!1(1Mn1)(1Mn2)...(1Mnm1)(1ϵ)m=0nm!1(1ϵ)an
    这样,我们有
    lim ⁡ b n = lim ⁡ b M n ≥ ( 1 − ϵ ) ⋅ lim ⁡ a n 。 \lim b_n = \lim b_{M_n} \geq (1-\epsilon)\cdot\lim a_n。 limbn=limbMn(1ϵ)liman
    ϵ \epsilon ϵ的任意性可知 lim ⁡ b n ≥ lim ⁡ a n \lim b_n \geq \lim a_n limbnliman成立。

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  • 现在我们证明连续实值函数的一重要性质,即有界定理。有界定理表明连续函数在紧集上是有界的并且在集合上的某些点取得最大值与最小值,准确的描述放到定理5中。为了理解上面的结论,我们考虑非紧集上函数会发生...

    现在我们证明连续实值函数的一个重要性质,即有界定理。有界定理表明连续函数在紧集上是有界的并且在集合上的某些点取得最大值与最小值,准确的描述放到定理5中。

    为了理解上面的结论,我们考虑非紧集上函数会发生什么情况。首先,连续函数不一定是有界的,图 ??? 给出的是开区间 (0,1) 上的函数 f(x)=1/x ,随着 x 越来越靠近0,函数变得任意大,但是不管怎样f是连续的,因为 f 是1 与连续函数xx 的商,而这个连续函数在 (0,1) 上不等于0。


    这里写图片描述
    图1

    接下来,我们将说明即便函数是有界且连续的,在其定义域内也可能没有最大值。图 ??? 给出的是开区间 [0,1) 上的函数 f(x)=x ,这个函数没有最大值,因为即便有无限个点靠近1,但是没有任何一个点 x 满足f(x)=1。从这些例子中可以看出,对于紧集上的连续函数,这些情况都是不会发生的。

    现在我们形式化成定理。


    这里写图片描述
    图2

    5 ARn,f:AR 是连续函数,令 KA 是紧集,那么 f K上是有界的,即 B={f(x)|xK}R 是有界集。进一步,存在点 x0,x1K 使得 f(x0)=inf(B),f(x1)=sup(B) ,我们称 sup(B) f K上的最大值, inf(B) f K上的最小值。

    相比我们在微积分中学到的利用求导来定位极大值与极小值,这个结论要更近一步。例如 R 上的一些处处不可导的连续函数;这样的函数我们无法用光滑曲线画出来,所以直观上不很明显。

    1给出一个紧集上不连续函数的实例,且这个函数无界。

    f:[0,1]R 定义成:如果 x>0,f(x)=1/x ,如果 x=0,f(0)=0 ,很明显这个函数与 (0,1] 上的函数 1/x 具有同样的无界性。

    2 [0,1] 上的函数 f(x)=x/(x2+1) ,验证定理5。

    f(0)=0,f(1)=1/2 ,我们将验证它的最大值在 x=1 处,最小值在 x=0 处。首先,因为 x0,x2+11 ,所以 x/(x2+1)0 ,对于 0x1,f(x)f(0) ,因此0是最小值。接下来,注意到 0(x1)2=x22x+1 ,所以 x2+12x ,故当 0 时,

    xx2+1x2x=12

    所以 f(x)f(1)=12 ,即 x=1 是最大值点。

    3 说明定理5中的 x0,x1 不一定是唯一。

    对于所有的 x[0,1],f(x)=1 ,那么任何 x0,x1[0,1] 都会如此。

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