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  • 微分和导数的关系什么

    万次阅读 多人点赞 2017-08-21 21:44:44
    在初学微分和导数时,虽然感觉概念不复杂,但是我对两者的关系有点模糊,比如以下问题就觉得模棱两可: 对于导数链式法则, dydx=dydududx \frac {dy}{dx} = \frac {dy}{du} \frac {du}{dx} ,可以理解为约去du du ...

    在初学微分和导数时,虽然感觉概念不复杂,但是我对两者的关系有点模糊,比如以下问题就觉得模棱两可:

    • 对于导数链式法则, d y d x = d y d u d u d x \frac {dy}{dx} = \frac {dy}{du} \frac {du}{dx} dxdy=dudydxdu,可以理解为约去 d u du du,所以等式相等。但假如有 F ( x , y ) , d y d x = − ∂ F / ∂ x ∂ F / ∂ y F(x,y),\frac {dy}{dx} = -\frac {\partial F / \partial x}{\partial F / \partial y} F(x,y)dxdy=F/yF/x ,通过消去 ∂ F { \partial F} F,我们是否可以推出 d y d x = − d y d x \frac {dy}{dx} = - \frac {dy}{dx} dxdy=dxdy

    • ∫ a b d y d x d x    ⟹    ∫ a b d y    ⟹    y ∣ a b \int _ a^ b \frac {dy}{dx}dx \implies \int _ a^ b dy \implies y \rvert _ a^ b abdxdydxabdyyab,这里实实在在地消去了 d x dx dx

    • d ( u v ) = ( u + d u ) ( v + d v ) − u v = u d v + v d u + d u d v d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu+dudv d(uv)=(u+du)(v+dv)uv=udv+vdu+dudv,然后说 d u d v dudv dudv太小了,所以忽略掉,得到微分的乘法法则: d ( u v ) = u d v + v d u d(uv)=udv+vdu d(uv)=udv+vdu,难道 u d v udv udv v d u vdu vdu 不小?

    我当时脑子一片混乱,到底 d x dx dx d u du du d v dv dv是什么东西?为什么有的地方可以消去,有的地方不可以消去?其实在各个历史时期,导数和微分的定义是不一样的,要想解答上面的疑问,还得从微积分的发展历史中寻找答案。

    我尝试讲一下微积分发展的历史和数学思想,主要针对 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)这样的一元函数。

    1. 古典微积分

    牛顿和莱布尼兹各自独立发明了微积分,下面我采用莱布尼兹的微积分符号进行说明(要了解各种微积分符号,可以参看维基百科

    1.1 为什么会出现导数?

    导数不是牛顿和莱布尼兹发明的,他们之前的数学家已经对曲线的切线进行了研究。在解决曲面(一维函数是曲线,即一维曲面)下面积时,牛顿和莱布尼兹确定了导数的定义。

    在微积分出现之前,曲线下的面积是一个很复杂的问题,微积分求解的主要思想是把曲线下的面积划分成无数个矩形面积之和。

    这里写图片描述

    直觉告诉我们,如果 n n n越大,则这个近似越准确:

    这里写图片描述

    这时,无穷小量 d x dx dx Δ x \Delta x Δx是把曲线底分成n份的间隔长度)出现了。无穷小量 d x dx dx是建立微积分的基础,莱布尼兹介绍微积分的论文就叫做《论深度隐藏的几何学及无穷小与无穷大的分析》。

    在当时的观点下,无穷小量 d x dx dx到底是什么也是有争论的,有数学家打比喻:“无穷小量就好比山上的灰尘,去掉和增加都没有什么影响”,很显然有人认为无穷小量 d x dx dx是真实存在的。

    在具体计算曲面下面积,即我们现在所说的定积分的时候,必然会遇到导数的问题,所以很自然的开始了对导数的定义和讨论。

    1.2 导数的古典定义

    在曲线上取两点,连接起来,就称为曲线的割线:

    这里写图片描述

    割线可以反应曲线的平均变化率,也就是说这一段大概的趋势是上升还是下降,上升了多少,但是并不精确。

    这里写图片描述

    有了切线之后,我们进一步定义导数:

    这里写图片描述

    从这张图得出导数的定义: f ′ ( x ) = d y d x f'(x) =\frac{dy}{dx} f(x)=dxdy,而 d x {dx} dx d y {dy} dy 被称为 x x x y y y 的微分,都是无穷小量,所以导数也被莱布尼兹称为微商(微分之商)。

    1.3 无穷小量导致的麻烦

    上节的图实际上是矛盾的:
    这里写图片描述

    所以就切线的定义而言,微积分的基础就是不牢固的。

    无穷小量的麻烦还远远不止这一些, x 2 x^2 x2的导数是这样计算的:
    这里写图片描述

    仔细看运算过程, 无穷小量$dx 先 是 在 约 分 中 被 约 掉 , 然 后 又 在 加 法 中 被 忽 略 , 也 就 是 说 先是在约分中被约掉,然后又在加法中被忽略,也就是说 dx$先被当作非0的量,又被当作了0。这就是大主教贝克莱(就是在高中政治书被嘲笑的唯心主义的代表)攻击的像幽灵一样的数,一会是0一会又不是0。

    无穷小量和无穷小量相除为什么可以得到不一样的值?难道不应该都是1吗?

    无穷小量还违反了阿基米德公理,这个才是更严重的缺陷。康托尔证明过,如果阿基米德公理被违背的话会出大问题。

    一边是看起来没有错的微积分,一边是有严重缺陷的无穷小量,这就是第二次数学危机。数学的严格性受到了挑战,“对于数学,严格性不是一切,但是没有了严格性就没有了一切”。

    1.4 对于古典微积分的总结

    • 切线:通过割线和无穷小量定义了切线。

    • 导数:通过切线和无穷小量定义了导数,导数是曲线在某点处切线的斜率,导数的值等于微商。

    • 微分:微分是微小的增量,即无穷小量。

    2. 基于极限重建微积分

    莱布尼兹、欧拉等都认识到了无穷小量导致的麻烦,一直想要拼命修补,但是这个问题到200年后,19世纪极限概念的清晰之后,才得到解决。解决办法是,完全摈弃无穷小量,基于极限的概念重新建立微积分。

    2.1 极限

    现在都是用 ϵ − δ \epsilon -\delta ϵδ 语言描述极限:

    这里写图片描述

    可以看到,极限的描述并没有用到无穷小量 d x dx dx

    2.2 导数的极限定义

    这里写图片描述

    用极限重新严格定义,导数已经脱离了微商的概念。此时,导数应该被看成一个整体。

    不过我们仍然可以去定义什么是微分。说到这里,真是有点剧情反转,古典微积分是先定义微分再有的导数,极限微积分却是先定义导数再有的微分。

    这里写图片描述

    Δ y = f ′ ( x 0 ) Δ x + a Δ x \Delta y=f'(x_0)\Delta x+a\Delta x Δy=f(x0)Δx+aΔx得出, Δ y \Delta y Δy由两部分组成,通过图来观察一下几何意义:

    这里写图片描述

    d y = f ′ ( x ) Δ x dy=f'(x)\Delta x dy=f(x)Δx,这是 d y dy dy的定义。

    令函数 f ( x ) f(x) f(x)的一个函数为 y = x y = x y=x(用线性函数去逼近原函数), f ′ ( x ) = 1 f'(x) = 1 f(x)=1 y = x    ⟹    d y = 1 Δ x    ⟹    d x = Δ x y=x \implies dy=1\Delta x\implies dx=\Delta x y=xdy=1Δxdx=Δx,这是 d x dx dx的定义。

    最后我们得到 d y = f ′ ( x ) d x    ⟹    d y d x = f ′ ( x ) dy=f'(x)dx\implies \frac{dy}{dx}=f'(x) dy=f(x)dxdxdy=f(x)
    这里写图片描述

    2.3 对于极限微积分的总结

    • 导数:导数被定义为一个极限,其几何意义是曲线变化率。导数值是一个常数,是一个常量。开区间内的导数值集合起来,就成为导函数。

    • 微分:微分是函数的局部线性近似,就是一个线性函数,局部看起来很接近原函数,导数是这个线性函数的系数。其意义是变化的具体数值,是一个变量。

    • 切线:有了导数之后,就可以确定切线。

    3. 疑问的解答

    微积分实际上被发明了两次,古典微积分和极限微积分可以说是两个东西。我们再来比较一下古典微积分和极限微积分。

    3.1 古典微积分与极限微积分的对比

    • 古典微积分是先定义微分再定义导数,极限微积分是先定义导数再定义微分。

    • 古典微积分的导数是基于无穷小量定义的,极限微积分的导数是基于极限定义的。

    • 古典微积分的微分是无穷小量,极限微积分的微分是一个线性函数。

    • 古典微积分的定积分是求无穷小矩形面积的和,极限微积分的定积分是求黎曼和。

    • 古典微积分的切线是可以画出来的,极限微积分的切线是算出来的。

    • 古典微积分的建立过程很直观,极限微积分的建立过程更抽象。

    古典微积分最大的好处就是很直观,不过也是因为太直观了,所以我们一直都无法忘记它带来的印象,也对我们理解极限微积分造成了障碍。也让我们在实际应用中造成了错误的理解。

    3.2 疑问的解答

    之前的疑惑主要是由于古典微积分带来的。

    • d y d x = d y d u d u d x \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx} dxdy=dudydxdu ,在古典微积分中可以理解为消去,但是在极限微积分中我们应该认识到,这两个 du 实际上是不同的函数。

    • ∫ a b d y d x d x \int _a^ b \frac{dy}{dx}dx abdxdydx古典微积分中, d x dx dx确实表明是无穷多个矩形的底边,消去也是合理的,而极限微积分中, ∫ a b d x \int _ a^ b dx abdx是求黎曼和,我们可以把 ∫ a b \int _ a^ b ab当作左括号, d x dx dx当作右括号,就好比 ( 2 + 6 ) = 8 (2+6)=8 (2+6)=8 ,计算完毕之后,括号自然就消失了。

    • d ( u v ) = ( u + d u ) ( v + d v ) − u v = u d v + v d u + d u d v d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu+dudv d(uv)=(u+du)(v+dv)uv=udv+vdu+dudv在古典微积分中这么计算没有错误,只是 dudv 的消去也是不严谨的,而极限微积分中应该重新用极限的方法进行证明,这里不再列出。

    实际上,古典微积分已经被摒弃了。我们应该重新从极限的角度去认识微积分。

    3.3 古典微积分的用处

    我们应该从古典微积分,以直代曲、化整为零的数学思想出发去开始认识微积分。

    并且,莱布尼兹一直认为数学符号应该具有启发性,他设计的微积分符号确实很符合直觉,我们可以继续借用他的符号来描述微积分。


    4. 无穷小量的逆袭

    有的数学家还是对无穷小量念念不忘,最后真的发明了既可以兼容无穷小量又不会出现问题的实数,即超实数

    基于超实数,数学家又重新定义了微积分,这次定义的微积分又很像莱布尼兹时代的微积分。这门学科被称为非标准分析(基于没有无穷小量的实数体系的微积分,就是标准分析)。


    5. 多元函数的微分

    多元函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0y0)处可微(可全微分),也就是说 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)可以在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0y0)处,找到唯一的线性函数逼近,这个线性函数就叫做全微分函数。

    全微分函数在分量上的系数叫做偏导数,是其一个属性。

    转自知乎:微分和导数的关系是什么?两者的几何意义有什么不同?为什么要定义微分 ?

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  • 例3.7 均匀线列阵波束响应与阵间距的关系 例3.7均匀线列阵波束响应与阵间距的关系 依旧延续采用下图所示坐标系统: 图1 均匀线列阵坐标系统 对于该坐标系统,假设由个均匀分布的阵组成的线列阵,假设阵...

    阅读原文还请移步我的知乎专栏:
    https://www.zhihu.com/column/c_1287066237843951616


    本篇包括内容为:

    例3.7 均匀线列阵波束响应与阵元间距的关系


    例3.7均匀线列阵波束响应与阵元间距的关系

    依旧延续采用下图所示坐标系统:

    图1 均匀线列阵坐标系统

    对于该坐标系统,假设由 M 个均匀分布的阵元组成的线列阵,假设阵元间距为 d ,则线列阵总长度为 L=Md 。这里计算线阵列长度时,将两端阵元向外各延伸了 d/2 ,该均匀线列阵相当于对原连续阵列进行了空间采样。

    因此,考虑一个 M=10 的均匀线列阵,假设阵元间距与波长之比 d/\lambda 从 0\sim 0.5 变化,期望波束观察方向分别为 \theta_o=0^\circ 与 90^\circ ,考察常规波束形成的波束响应。运用下式计算波束响应。

    B\left( \theta \right)=\frac{sin\left( Mkd\left( sin\theta-sin\theta_o \right)/2 \right)}{Msin\left( kd\left( sin\theta-sin\theta_o \right)/2 \right)}

    波束观察方向\theta_o=0^\circ 与 90^\circ 时得到的波束响应随d/\lambda的变化分别显示于图2与图3中。

    图 2

    从图2可以看出,当\theta_o=0^\circ时,得到的波束在 0^\circ 方向形成了主瓣。由于线阵具有对称性,在 180^\circ 方向亦出现主瓣。 d/\lambda=0 时,波束响应为圆,即没有方向性;随着d/\lambda 从 0\sim 0.5 变化,波束主瓣宽度逐渐减小。

    图 3

    从图3可以看出,当 \theta_o=90^\circ 时,得到的波束在 90^\circ 方向形成了主瓣。 d/\lambda=0 时,波束响应为圆;0<d/\lambda<0.5 时,只在 90^\circ 方向出现一个主瓣;当d/\lambda=0.5时,在 -90^\circ 方向亦出现一个主瓣(栅瓣)。

    实现代码如下:

    c=340;       %声速
    theta_d = 90*pi/180; %入射角度
    f=1000;      %频率
    lambda = c/f;
    space=lambda/2;  %麦克风间距
    M=10;         %麦克风数量
    theta_angle=0:0.1:360;
    theta=theta_angle*pi/180;
    z_axis = 0:0.001:0.5;
    rslt = zeros(length(z_axis), length(theta_angle));
    for i = 1:length(z_axis)
        space = lambda * z_axis(i);
        B=sin((M*pi*f*space*(sin(theta)-sin(theta_d)))/c)...
        ./(M*sin((pi*f*space*(sin(theta)-sin(theta_d)))/c));
        index = isnan(B);
        B(index) = 1;
        B_db=20*log10(abs(B));
        limit_dB = -40;
        index = B_db < limit_dB;
        B_db(index) = limit_dB; 
        rslt(i, :) = -limit_dB+B_db;
    end

    参考书籍:

    《优化阵列信号处理》

     

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  • 小程序:DW数据表血缘关系的实现

    万次阅读 2016-10-17 23:28:22
    数据表血缘关系,俗称“表与表之间的关系”。良好的数据管理,可以清晰和明确看出每张表和模型之前的关系。在没有工具之前,只能依靠手工维护,一旦脚本发生变化,手工维护遗漏或不及时的话,就会造成关系不准确...

            随着数据仓库(DW)接入的表和建立的模型增多,元数据管理就变得越来越重要。元数据表血缘关系,俗称“表与表之间的关系”。良好的元数据管理,可以清晰和明确看出每张表和模型之前的关系。

            在没有工具之前,只能依靠手工维护,一旦脚本发生变化,手工维护遗漏或不及时的话,就会造成关系不准确。通过工具,当表数量上百、上千张的时候,通过分析表与表“血缘关系”,就能清楚知道每张表之间的关系,及时定位和溯源问题。

            笔者在XXX项目实践中,通过JAVA和HIVE,最终产出一张表与表之间的关系表。现在把思路和代码分享给大家,与大家一起交流。当然,程序也有会很多改进和完善的地方,如有不妥,欢迎指正,谢谢。

            本文也提供了解析sql的思路和方法。

    实现思路:

    • 获取输入路径;
    • 读取文本文件内容(其中需要把从路径中读取所有文件);
    • 规则解析

           “来源表”解析:主要通过表命名规范进行解析

           “目标表”解析:主要通过insert into table和insert overwrite table语句解析

    • 将解析文件,输出txt文件;
    • 将文件上传到hdfs文件,加载到HIVE;
    • HIVE“行转列”处理;

              生成“文件目录filepath、来源表source_table、目标表target_table ”三个字段.

    主要代码:

    <一>、获取输入路径主要代码:

    ArrayList<File> files=getListFiles(D:\\\HQL\xx); //获取解析文件路径
     public static ArrayList<File> getListFiles(Object obj) {  
     File directory = null;  
     if (obj instanceof File) {  
      directory = (File) obj;  
     } else {  
      directory = new File(obj.toString());  
     }  
     ArrayList<File> files = new ArrayList<File>();  
     if (directory.isFile()) {  
      files.add(directory);  
      return files;  
     } else if (directory.isDirectory()) {  
      File[] fileArr = directory.listFiles();  
      for (int i = 0; i < fileArr.length; i++) {  
       File fileOne = fileArr[i];  
       files.addAll(getListFiles(fileOne));  
      }  
     }  
     return files;  
    }
    <二>、读取文本文件内容主要代码

    String filePath =files.get(i).toString(); //获取的单个文件路径
        //读取文本文件内容
       public static String readFile(String filePath) throws IOException {
        StringBuffer sb = new StringBuffer();
        readToBuffer(sb, filePath);
        return sb.toString();
       }
       //将文本文件中的内容读入到buffer中
    public static void readToBuffer(StringBuffer buffer, String filePath) throws IOException {
    	    InputStream is = new FileInputStream(filePath);
    	    String line; // 用来保存每行读取的内容
    	    BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(is));
    	    line = reader.readLine(); // 读取第一行
    	    while (line != null) { // 如果 line 为空说明读完了
    		    buffer.append(line); // 将读到的内容添加到 buffer 中
    		    buffer.append("\n"); // 添加换行符
    		    line = reader.readLine(); // 读取下一行
    	    }
    	    reader.close();
    	    is.close();
        }
    <三>、解析“来源表”主要代码

    	public static String  hqltoSourceTable(String hql){	  
    	 //获取hql内容
    	  Map<String,String> map = new HashMap<String,String>();
    	  String pattern = "(<span style="line-height: 23.8px; font-family: 微软雅黑, 宋体, arial;">ods.|dwd.|......</span><span style="line-height: 23.8px; font-family: 微软雅黑, 宋体, arial;">)\\w+" ;//此处可以添加表命名规则</span>
    	  Pattern r = Pattern.compile(pattern);
    	  Matcher m = r.matcher(hql.toLowerCase().replaceAll(" \\s+"," "));//转小写,将“空白字符”转空格		 	   
    	  while(m.find()) {
        	  map.put(m.group(0), m.group(0));
    	  } 		 
    	  return map.keySet().toString().replaceAll("[\\[\\] +]", "");
    }
    <四>、解析“目标表”主要代码

    	public static String  hqltoTargetTable(String hql){	    
    	 //获取hql内容
    	  Map<String,String> map = new HashMap<String,String>();
    	  
    	  //表:
    	  String pattern = "(insert into table|insert overwrite table)\\s+((\\w+)\\.(\\w+)|(\\w+))" ;
    
    	  Pattern r = Pattern.compile(pattern);
    	  Matcher m = r.matcher(hql.toLowerCase().replaceAll(" \\s+"," "));//转小写,将“空白字符”转空格	 
    	  while(m.find()) {
        	  map.put(m.group(0).replaceAll("insert into table|insert overwrite table|ods.|dwd.|.....", ""), m.group(0));//此处需要添加库名规则,将库名过滤掉
    	  } 	   
    	  return map.keySet().toString().replaceAll("[\\[\\] \\s+]", "");
       
    }

    五、将解析文件,输出txt文件

     StringBuffer bf =new StringBuffer();
    FileUtil fileUtil = new FileUtil();
    		fileUtil.writerFile(path,"hqlToTable.txt",bf.toString());		
    		System.out.println("succeed! The file path is "+ path + "/hqlToTable.txt"); 
    

     package com.xx.xx.hql;
    import java.io.*;
    
    public class FileUtil {
        public String readerFile(String path) throws IOException {
    	    File file = new File(path);
    	    if (!file.exists() || file.isDirectory())
    		    throw new FileNotFoundException();
    
    	    byte[] tempbytes = new byte[5120];
    	    int length=0;
    	    StringBuffer sb = new StringBuffer();
    	    @SuppressWarnings("resource")
    		FileInputStream fin = new FileInputStream(path);
    
    	    // 读入多个字节到字节数组中,byteread为一次读入的字节数
    	    while ((length=fin.read(tempbytes)) != -1) {
    		    sb.append(new String(tempbytes,0,length));
    	    }
    
    	    return sb.toString();
        }
    
        public boolean writerFile(String path, String fileName, String fileContent) throws IOException {
    	    try {
    		    File file = new File(path);
    		    if (!file.isDirectory()) {
    			    file.deleteOnExit();
    			    file.mkdirs();
    		    }
    		    String filePath = file + "/" + fileName;
    		    file = new File(filePath);
    		    if (file.exists() || file.isFile()) {
    			    file.delete();
    		    }
    		    BufferedWriter out
    				    = new BufferedWriter(new FileWriter(filePath));
    		    out.write(fileContent);
    		    out.flush();
    		    out.close();
    		    return true;
    	    } catch (IOException e) {
    		    e.printStackTrace();
    		    return false;
    	    }
        }
    }
    六、HIVE“行转列”处理主要代码

     load data inpath '/tmp/hqlToTable.txt' into table tmp_app_xxxxx_table_rel_a;
    
    insert overwrite table app_xxxxx_table_rel_a partition(dt='${hivevar:today}')
    select
    source_table
    ,target_table
    ,filepath
    ,from_unixtime(unix_timestamp())
    from
    (
    SELECT distinct
    filepath
    ,trim(new_source_table) as source_table
    ,trim(new_target_table) as target_table
    FROM (
    SELECT filepath
    ,source_table
    ,target_table
    FROM tmp_app_xxxxx_table_rel_a --将解析后的文件数据加载到此表里
    WHERE target_table IS NOT NULL
    AND target_table <> ''
    AND (
    filepath NOT LIKE '%create%'
    OR filepath NOT LIKE '%bak%'
    OR filepath NOT LIKE '%test%'
    OR filepath NOT LIKE '%bkt%'
    )
    ) t LATERAL VIEW explode(split(source_table, ',')) adTable AS new_source_table
    LATERAL VIEW explode(split(target_table, ',')) adTable AS new_target_table
    ) t
    where trim(source_table) <> trim(target_table)
    ;
     


    展开全文
  • 一、最大 、 二、最小 、 ...、极大、极小元示例 、 七、上界 、 八、下界 、 九、上界、下界示例 、 十、上确界 ( 最小上界 ) 、 十一、下确界 ( 最大下界 ) 、 十二、上确界、下确界示例 、





    一、最大元



    < A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,> 是 偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A BA , y ∈ B y \in B yB ,


    B B B 中的所有元素与 y y y 都是可比的 , B B B 中的任意元素 x x x , 都满足 x x x 小于等于 y y y

    符号化表示 : ∀ x ( x ∈ B → x ≼ y ) \forall x ( x \in B \to x \preccurlyeq y ) x(xBxy)

    y y y B B B 集合的最大元 ;





    二、最小元



    < A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,> 是 偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A BA , y ∈ B y \in B yB ,


    B B B 中的所有元素与 y y y 都是可比的 , B B B 中的任意元素 x x x , 都满足 y y y 小于等于 x x x

    符号化表示 : ∀ x ( x ∈ B → y ≼ x ) \forall x ( x \in B \to y \preccurlyeq x ) x(xByx)

    y y y B B B 集合的最小元 ;





    三、最大元、最小元示例



    集合 A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 } A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} A={1,2,3,4,5,6,9,10,15} ,

    集合 A A A 上的整除关系 “ ∣ | ” 是偏序关系 ,

    偏序集是 < A , ∣ > <A, |> <A,>

    x x x 整除 y y y , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy
    y y y 能被 x x x 整除 , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy


    绘制上述偏序集的哈斯图 :

    在这里插入图片描述


    B 1 = { 1 , 2 , 3 } B_1 = \{ 1,2,3 \} B1={1,2,3}

    B 2 = { 3 , 5 , 15 } B_2 = \{ 3 , 5, 15 \} B2={3,5,15}

    B 3 = A B_3 = A B3=A

    求上述集合的 最大元 , 最小元 ?


    B 1 = { 1 , 2 , 3 } B_1 = \{ 1,2,3 \} B1={1,2,3}

    • 最大元 : 2 , 3 2, 3 2,3互相不可比 , 没有最大元 ;
    • 最小元 : 1 1 1 与其它元素都是可比的 , 都小于等于其它元素 , 1 1 1 是最小元 ;

    B 2 = { 3 , 5 , 15 } B_2 = \{ 3 , 5, 15 \} B2={3,5,15}

    • 最大元 : 15 15 15 与其它元素都是可比的 , 都大于等于其它元素 , 15 15 15 是最大元 ;
    • 最小元 : 3 , 5 3, 5 3,5互相不可比 , 没有最小元 ;

    B 3 = A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 } B_3 = A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} B3=A={1,2,3,4,5,6,9,10,15}

    • 最大元 : 9 , 4 , 6 , 15 , 10 9,4,6,15,10 9,4,6,15,10互相不可比 , 没有最大元 ;
    • 最小元 : 1 1 1 与其它元素都是可比的 , 都小于等于其它元素 , 1 1 1 是最小元 ;




    四、极大元



    < A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,> 是 偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A BA , y ∈ B y \in B yB ,


    B B B 中没有比 y y y 更大的元素 ,

    符号化表示 : ∀ x ( x ∈ B ∧ y ≼ x → x = y ) \forall x ( x \in B \land y \preccurlyeq x \to x = y ) x(xByxx=y)

    y y y B B B 集合的 极大元 ;





    五、极小元



    < A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,> 是 偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A BA , y ∈ B y \in B yB ,


    B B B 中没有比 y y y 更小的元素 ,

    符号化表示 : ∀ x ( x ∈ B ∧ x ≼ y → x = y ) \forall x ( x \in B \land x \preccurlyeq y \to x = y ) x(xBxyx=y)

    y y y B B B 集合的 极小元 ;





    六、极大元、极小元示例



    集合 A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 } A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} A={1,2,3,4,5,6,9,10,15} ,

    集合 A A A 上的整除关系 “ ∣ | ” 是偏序关系 ,

    偏序集是 < A , ∣ > <A, |> <A,>

    x x x 整除 y y y , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy
    y y y 能被 x x x 整除 , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy


    绘制上述偏序集的哈斯图 :

    在这里插入图片描述


    B 1 = { 1 , 2 , 3 } B_1 = \{ 1,2,3 \} B1={1,2,3}

    B 2 = { 3 , 5 , 15 } B_2 = \{ 3 , 5, 15 \} B2={3,5,15}

    B 3 = A B_3 = A B3=A

    求上述集合的 极大元 , 极小元 ?


    B 1 = { 1 , 2 , 3 } B_1 = \{ 1,2,3 \} B1={1,2,3}

    • 极大元 : 2 , 3 2, 3 2,3互相不可比 , 没有比 2 , 3 2,3 2,3 更大的元素 , 2 , 3 2,3 2,3 是极大元 ;
    • 极小元 : 1 1 1 与其它元素都是可比的 , 都小于等于其它元素 , 没有比 1 1 1 更小的元素 , 1 1 1 是极小元 ;

    B 2 = { 3 , 5 , 15 } B_2 = \{ 3 , 5, 15 \} B2={3,5,15}

    • 极大元 : 15 15 15 与其它元素都是可比的 , 都大于等于其它元素 , 没有比 15 15 15 更大的元素 , 15 15 15 是 极大元 ;
    • 最小元 : 3 , 5 3, 5 3,5互相不可比 , 没有比 3 , 5 3,5 3,5 更小的元素 , 3 , 5 3,5 3,5 是极小元 ;

    B 3 = A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 } B_3 = A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} B3=A={1,2,3,4,5,6,9,10,15}

    • 极大元 : 9 , 4 , 6 , 15 , 10 9,4,6,15,10 9,4,6,15,10互相不可比 , 没有比 9 , 4 , 6 , 15 , 10 9,4,6,15,10 9,4,6,15,10 更大的元素 , 9 , 4 , 6 , 15 , 10 9,4,6,15,10 9,4,6,15,10 是极大元 ;
    • 极小元 : 1 1 1 与其它元素都是可比的 , 都小于等于其它元素 , 没有比 1 1 1 更小的元素 , 1 1 1 是极小元 ;




    七、上界



    < A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,> 是 偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A BA , y ∈ A y \in A yA


    y y y B B B 中所有的元素都要大

    符号化表示 : ∀ x ( x ∈ B → x ≼ y ) \forall x ( x \in B \to x \preccurlyeq y ) x(xBxy)

    y y y B B B 集合的 上界 ;





    八、下界



    < A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,> 是 偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A BA , y ∈ A y \in A yA


    y y y B B B 中所有的元素都要小

    符号化表示 : ∀ x ( x ∈ B → y ≼ x ) \forall x ( x \in B \to y \preccurlyeq x ) x(xByx)

    y y y B B B 集合的 下界 ;





    九、上界、下界示例



    集合 A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 } A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} A={1,2,3,4,5,6,9,10,15} ,

    集合 A A A 上的整除关系 “ ∣ | ” 是偏序关系 ,

    偏序集是 < A , ∣ > <A, |> <A,>

    x x x 整除 y y y , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy
    y y y 能被 x x x 整除 , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy


    绘制上述偏序集的哈斯图 :

    在这里插入图片描述


    B 1 = { 1 , 2 , 3 } B_1 = \{ 1,2,3 \} B1={1,2,3}

    B 2 = { 3 , 5 , 15 } B_2 = \{ 3 , 5, 15 \} B2={3,5,15}

    B 3 = A B_3 = A B3=A

    求上述集合的 上界 , 下界 ?


    B 1 = { 1 , 2 , 3 } B_1 = \{ 1,2,3 \} B1={1,2,3}

    • 上界 : 6 6 6 1 , 2 , 3 1, 2, 3 1,2,3 可比 , 6 6 6 B 1 B_1 B1 中所有元素都大 , 6 6 6 是上界 ;
    • 下界 : 1 1 1 1 , 2 , 3 1, 2, 3 1,2,3 可比 , 1 1 1 B 1 B_1 B1 中所有元素都小 , 1 1 1 是下界 ;

    B 2 = { 3 , 5 , 15 } B_2 = \{ 3 , 5, 15 \} B2={3,5,15}

    • 上界 : 15 15 15 3 , 5 , 15 3 , 5, 15 3,5,15 可比 , 15 15 15 B 2 B_2 B2 中所有元素都大 , 15 15 15 是上界 ;
    • 下界 : 1 1 1 3 , 5 , 15 3 , 5, 15 3,5,15 可比 , 1 1 1 B 2 B_2 B2 中所有元素都小 , 1 1 1 是下界 ;

    B 3 = A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 } B_3 = A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} B3=A={1,2,3,4,5,6,9,10,15}

    • 上界 : 不存在元素与 B 3 B_3 B3 中的元素都可比 ; 不存在上界 ;
    • 下界 : 1 1 1 B 3 B_3 B3 中的元素可比 , 1 1 1 B 3 B_3 B3 中所有元素都小 , 1 1 1 是下界 ;




    十、上确界 ( 最小上界 )



    < A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,> 是 偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A BA , y ∈ A y \in A yA


    上界中最小的元素就是 最小上界, 又称为上确界





    十一、下确界 ( 最大下界 )



    < A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,> 是 偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A BA , y ∈ A y \in A yA


    下界中最大的元素就是 最大下界, 又称为下确界





    十二、上确界、下确界示例



    集合 A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 } A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} A={1,2,3,4,5,6,9,10,15} ,

    集合 A A A 上的整除关系 “ ∣ | ” 是偏序关系 ,

    偏序集是 < A , ∣ > <A, |> <A,>

    x x x 整除 y y y , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy
    y y y 能被 x x x 整除 , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy


    绘制上述偏序集的哈斯图 :

    在这里插入图片描述


    B 1 = { 1 , 2 , 3 } B_1 = \{ 1,2,3 \} B1={1,2,3}

    B 2 = { 3 , 5 , 15 } B_2 = \{ 3 , 5, 15 \} B2={3,5,15}

    B 3 = A B_3 = A B3=A

    求上述集合的 上确界( 最小上界 ) , 下确界 ( 最大下界 ) ?


    B 1 = { 1 , 2 , 3 } B_1 = \{ 1,2,3 \} B1={1,2,3}

    • 上确界 : 6 6 6 1 , 2 , 3 1, 2, 3 1,2,3 可比 , 6 6 6 B 1 B_1 B1 中所有元素都大 , 6 6 6 是上界 ; 6 6 6 也是上确界 , 最小上界 ;
    • 下确界 : 1 1 1 1 , 2 , 3 1, 2, 3 1,2,3 可比 , 1 1 1 B 1 B_1 B1 中所有元素都小 , 1 1 1 是下界 ; 1 1 1 也是下确界 , 最大下界 ;

    B 2 = { 3 , 5 , 15 } B_2 = \{ 3 , 5, 15 \} B2={3,5,15}

    • 上确界 : 15 15 15 3 , 5 , 15 3 , 5, 15 3,5,15 可比 , 15 15 15 B 2 B_2 B2 中所有元素都大 , 15 15 15 是上界 ; 15 15 15 也是上确界 , 最小上界 ;
    • 下确界 : 1 1 1 3 , 5 , 15 3 , 5, 15 3,5,15 可比 , 1 1 1 B 2 B_2 B2 中所有元素都小 , 1 1 1 是下界 ; 1 1 1 也是下确界 , 最大下界 ;

    B 3 = A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 } B_3 = A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} B3=A={1,2,3,4,5,6,9,10,15}

    • 上确界 : 不存在元素与 B 3 B_3 B3 中的元素都可比 ; 不存在上界 ; 不存在 上确界 / 最小上界 ;
    • 下确界 : 1 1 1 B 3 B_3 B3 中的元素可比 , 1 1 1 B 3 B_3 B3 中所有元素都小 , 1 1 1 是下界 ; 1 1 1 也是下确界 , 最大下界 ;
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