六大常见分布

六大常见分布六大常用分布的矩估计和最大似然估计推导过程 万次阅读 多人点赞
2020-09-28 14:00:47
矩估计和极大似然估计

矩估计基于辛钦大数定律：

当样本的容量足够大时，样本k阶距(A_k)收敛域总体k阶距(a_k)

样本的平均值去估计总体的均值(期望)

期望和均值

数学期望常称为“均值”，即“随机变量取值的平均值”之意，这个平均是以概率为权的平均，不是通常意义上的(总数)/(个数),数学期望由随机变量的分布完全决定。
$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$
(1)式，其实是平均值（期望是均值），对其求期望其实就是一个加权的过程，所以无论是哪种分布，都是E(x)=μ,而非X平均值=μ

方差：衡量一组数据离散程度的度量
$S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X-\mu)^2$
误差分析：
- 因为X取得是样本，所以X的取值存在误差
- 因为我们事先是不知道是什么分布的，所以μ是不知道的，使用均值替代的话，也会出现误差
方差和修正方差的来源及其证明
$S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{X})^2\\ S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n[(x_i-\mu)-(\bar{X}-\mu)]^2\\ S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n[(x_i-\mu)^2-2(x_i-\mu)(\bar{X}-\mu)+(\bar{X}-\mu)^2]\\ S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2-\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)(\bar{X}-\mu)+(\bar{X}-\mu)^2\\ S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2-(\bar{X}-\mu)^2\\ E(S^2)=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2-(\bar{X}-\mu)^2)=\sigma^2-E((\bar{X}-\mu)^2)\\ E((\bar{X}-\mu)^2)=E(\bar{X}^2-2\mu\bar{X}+\mu^2)=E(\bar{X}^2)-E(\bar{X})^2=D(X)=\frac{\sigma^2}{n}\\ E(S^2)=\sigma^2-\frac{\sigma^2}{n}=\frac{n-1}{n}\sigma^2\\$
由上可知S^2和σ^2是有微小差距的，所以对此做修正，得到的方差就是修正方差
$E(\frac{n}{n-1}S^2)=\frac{n}{n-1}\frac{n-1}{n}\sigma^2=\sigma^2\\ \frac{n}{n-1}S^2=\frac{n}{n-1}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{X})^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{X})^2\\ (S^*)^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{X})^2$
本质：使用样本原点距去估计总体原点距的一种方法(用样本量估计总体量)

估计均值
$E(\bar X)=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE(x_i)=\frac{1}{n}n\mu=\mu$

$\hat{u}=\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$

估计方差
$\sigma^2=a_2-a_1^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2-\bar{X}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{X})^2=S^2$

$\hat{\sigma}^2=S^2$

0-1分布:只有一个未知参数，所以也只能估P的值

X 0 1
P 1-p p

$p(x=x_i)=(1-p)^{1-x_i}p^{x_i}$

矩估计:
$E(\bar{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE(x_i)=\frac{1}{n}np=p$

$\hat{p}=\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$

最大似然估计
$L(p)=(1-p)^{\sum_{x_i=1}^n(1-x_i)}p^{\sum_{x_i=1}^n{x_i}}$

$lnL(p)=\sum_{x_i=1}^n(1-x_i)ln(1-p)+\sum_{x_i=1}^n{x_i}lnp$

$令：\frac{\partial{lnL(p)}}{\partial{p}}=-\frac{\sum_{x_i=1}^n(1-x_i)}{1-p}+\frac{\sum_{x_i=1}^n{x_i}}{p}=0$

$\hat{p}=\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$

注：估计的P，其实表示的就是在n次试验下，出现1的次数的概率

泊松分布
$P(x=x_i)=\frac{\lambda^{x_i}e^{-\lambda}}{x_i!}$
矩估计
$E(\bar{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(x_i)=\frac{1}{n}n\lambda=\lambda$

$\hat{\lambda}=\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$

注：E(x_i)=入的证明过程，其中使用到了泰勒公式进行变换
$E(X)=\sum_{i=1}^\infty x_iP(x=x_i)=\sum_{i=1}^\infty x_i\frac{\lambda^{x_i}e^{-\lambda}}{x_i!}=\lambda e^{-\lambda}\sum_{i=1}^\infty \frac{\lambda ^{x_i-1}}{(x_i-1)!}=\lambda e^{-\lambda}e^{\lambda}=\lambda$
最大似然估计
$L(\lambda)=\frac{\lambda^{\sum_{i=1}^{n}x_i}e^{-n\lambda}}{\prod_{i=1}^{n}x_i!}$

$lnL(\lambda)=\sum_{i=1}^{n}x_iln(\lambda)-n\lambda-ln(\prod_{i=1}^nx_i!)$

$\frac{\partial{lnL(\lambda)}}{\partial\lambda}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{\lambda}-n=0$

$可得:\hat{\lambda}=\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$

均匀分布
$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}\quad a<x<b\\0\quad\quad其他\end{cases}$

注：这里有两个参数，分别是a和b，故需要至少列两个参数才能得到解

矩估计
$E(X)=\int_{a}^{b}xf(x)dx=\int_{a}^{b}\frac{x}{b-a}dx=\frac{1}{2}(b+a)=\bar{X}\\ \sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{X})^2=S^2(下式原理)\\ \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}(x-\bar{X})^2dx=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}(x-\frac{1}{2}(b+a))^2dx=\frac{1}{12}(b-a)^2=S^2\\ 解得：\begin{cases}^{\hat{a}=\bar{X}-\sqrt{3}S}_{\hat{b}=\bar{X}+\sqrt{3}S}\end{cases}$
最大似然估计

常规的，列最大似然函数，然后求导令为零是求不出估计值。

指数分布

特点：无记忆性，可以用于描述机器寿命。
$f(x)=\begin{cases}^{\lambda e^{-\lambda x}\quad x>0}_{0\quad\quad 其他}\end{cases}$
矩估计：
$E(X)=\int_0^{+\infty}\lambda xe^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda}=\bar{X}\\ \hat{\lambda}=\frac{1}{\bar{X}}$
极大似然估计
$L(\lambda)=\lambda^ne^{-\lambda \sum_{i=1}^nx_i}\\ lnL(\lambda)=nln\lambda-\lambda\sum_{i=1}^nx_i\\ 令：\frac{\partial({lnL(\lambda)})}{\partial\lambda}=\frac{n}{\lambda}-\sum_{i=1}^{n}x_i=0\\ \hat{\lambda}=n\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}=\frac{1}{\bar{X}}$

正态分布
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
X~N(μ,σ^2)：
$\begin{cases}^{\hat{\mu}=\bar{X}}_{\hat{\sigma}=S}\end{cases}$

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随机变量

随机变量定义：
样本空间为Ω，随机变量X表示样本空间Ω中的一个样本点（样本空间和随机变量的关系类似于实数轴上的x轴和自变量x的区别）。如随机抛掷一枚骰子，X就是表示骰子的点数。

分布函数

分布函数定义：
F(X)=P(X<=x)
离散型随机变量的分布函数：

连续性随机变量的分布函数：

分布函数的性质：
1.非降性
F(x)是一个非递减函数
2.归一性
在x趋向于+∞时，F(x)趋向于1
3右连续性
因为 F（x）是单调有界非减函数，所以其任一点x0的右极限F（x0+0）必存在。

数学期望

在概率论和统计学中，数学期望（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

离散型随机变量的期望：

连续型随机变量的期望：

性质：
1.E©=C
2.E(CX)=CE(X)
3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)
4.当X和Y相互独立时，E(XY)=E(x)E(y)

方差

方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
D(x)=E ( ( X-E( X ) )²)

离散型变量的方差：

随机型变量的方差：

展开上式可得：

性质L:
D©=0
D(CX)=C²D(X)
D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E( (X-E(X))*(Y-E(Y)) )
若X,Y相互独立，则D(X±Y)=D(X)+D(Y)

离散型随机变量三大常见分布：

1.两点分布（伯努利分布）
定义：
一个非常简单只有两个可能结果的试验，比如正面或反面，成功或失败，有缺陷或没有缺陷，病人康复或未康复。记为X~（0,1）

分布律：

X 0 1
P (1-p) p

性质：
期望E(X)=p
方差D(X)=p(1-p)

2.二项分布
定义：
在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p。用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，…，n,且对每一个k（0≤k≤n）,事件{X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”，随机变量X的离散概率分布即为二项分布。
可以简单理解为多次抛硬币事件的概率分布。
记做X~b（n，p）

分布律：

X 0 1 。。。 k
P C⁰p⁰(1-p)⁽ⁿ⁾ C¹p¹(1-p)^(n-1) 。。。 C^kp^k(1-p)^(n-k)

性质：
期望E(X)=np
方差D(X)=np(1-p)
就是在两点分布的基础上乘以一个n

泊松分布：
定义：
二项分布的近似解，当n非常大，p非常小，计算十分复杂时，可以用泊松公式求近似解。（n＞200，p＜0.05）记做X~P（λ）

概率函数：
λ表示数学期望，即np
k表示事件发生的次数

性质：
期望E(X)=λ=np
方差D(X)=λ

均匀分布
定义：
均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为X~U（a，b）。

概率密度函数：
a表示区间上界，b表示区间下界

性质：
期望E(X)=(a+b)/2
方差D(X)=(b-a)²/12

指数分布：
定义：
指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。这是伽马分布的一个特殊情况。它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。记做X~ E（λ）

概率密度函数：
λ表示期望的倒数

性质
期望E(X)=1/λ
方差D(X)=1/λ²

正态分布（高斯分布）
定义：
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ²的正态分布，记为X~N(μ，σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

概率密度函数：

标准化：

将Y化为x的形式，转换为标准正态分布，方便查表计算。也可以用来算μ和σ。
F((96-0.5)/σ)=0.05，查表的到（96-0.5）/σ=2，可以求得σ。

性质
期望E(X)=μ
方差D(X)=σ²

到这里概率论的基础就完结了，开始上数理统计部分了。概率论对深度学习帮助挺大的，主要是帮助理解概念，方便搭建更优化的神经网络。

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特征函数的定义非常简单，随机变量 X 的特征函数 $\phi_{X}(t)=Ee^{itX}$ ，其中 i 为虚数单位

一、伯努利分布

$\phi_{X}(t)=Ee^{itX}=pe^{it}+1-p$

二、泊松分布

$\phi_{X}(t)=Ee^{itX}=\sum_{k=0}^{\infty}e^{itk}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(e^{it}\lambda)^k}{k!}e^{-\lambda}$

注意到， $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(e^{it}\lambda)^k}{k!}e^{-\lambda e^{it}}=1$

所以原式可化为 $\phi_{X}(t)=e^{\lambda(e^{it}-1)}$

三、几何分布

$\phi_{X}(t)=Ee^{itX}=\sum_{k=0}^{\infty}e^{itk}(1-p)^{k-1}p=\frac{pe^{it}}{1-e^{it}q}$

四、均匀分布

$\phi_{X}(t)=Ee^{itX}=\int_{a}^{b}\frac{1}{b-a}e^{itx}dx=\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}$

五、标准正态分布

$\phi_{X}(t)=Ee^{itX}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{itx}e^{-\frac{1}{2}x^2}dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(x-it)^2-\frac{t^2}{2}}dx=e^{-\frac{t^2}{2}}$

六、指数分布

$\phi_{X}(t)=Ee^{itX}=\int_{0}^{\infty}\lambda e^{(it-\lambda )x}dx$

注意到 $\int_{0}^{\infty}(it-\lambda ) e^{(it-\lambda )x}dx=1$

所以原式可化为 $(1-\frac{it}{\lambda})^{-1}$

七、特征函数的性质

特征函数以指数的形式存在，因此可以化随机变量的加减为乘除

1、 $Y=aX+b$ ，则 $\phi_{Y}(t)=e^{itb}\phi_{X}(at)$

2、 $e^{itx}=cos(tx)+i*sin(tx)$ ，因此其模恒小于等于 1

3、 $\phi_{X}(t)=Ee^{itX}=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f(x)dx$

$\phi_{X}^{(k)}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}(ix)^ke^{itx}f(x)dx=i^kEX^k$

这个性质在求原点矩时经常用

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特征函数定义是：设X是实值随机变量，则对任意实数t，有称为随机变量X的特征函数，其中。

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1.单点分布
单点分布的分布列为。
其特征函数计算方法如下：

2.二项分布
二项分布的分布列为。
其特征函数的计算方法如下：

3.泊松分布
泊松分布的分布列为。
其特征函数的计算方法如下：

4.几何分布
几何分布的分布列为。
特征函数的计算方法如下：

二、连续概率分布

1.正态分布
正态分布的分布密度是。
特征函数推导过程如下：

2.均匀分布
均匀分布的分布密度是。
特征函数推导过程如下：

3.指数分布
指数分布的分布密度是。
特征函数推导过程如下：

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