#多项式轨迹–五次多项式

1.5 Polynomial of degree five

利用三次多项式，根据过$q_0,q_1,\dots ,q_n$确定的轨迹的特征是位置和速度连续，但是加速度不连续（参见上一篇博客轨迹规划–三次多项式轨迹）。尽管三次多项式轨迹确定的轨迹有一定“平滑”，但是对于一些应用的动力学和惯性载荷会产生一些不期待的影响。为了获得一个加速度连续的轨迹，位置和速度需要合适的初始和终止条件，也需要合适的初始和终止加速度值。这样共有六个边界条件，因此需要采用五次多项式：
$$q(t)=q_0+a_1(t-t_0)+a_2(t-t_0{)}^2+a_3(t-t_0{)}^3+a_4(t-t_0{)}^4+a_5(t-t_0{)}^5\text{\hspace{1em}(1-24)}$$
根据条件
$$\begin{array}{cc}q(t_0)=q_0,& q(t_1)=q_1\\ \dot{q}(t_0)=v_0,& \dot{q}(t_1)=v_1\\ \ddot{q}(t_0)={\text{a}}_0,& \ddot{q}(t_1)={\text{a}}_1.\end{array}$$
这里定义$T=t_1-t_0$,求得多项式系数为
$$\{\begin{array}{llc}{a}_0& =& a_0\\ a_1& =& v_0\\ a_2& =& \frac{1}{2}{\text{a}}_0\\ a_3& =& \frac{1}{2T^3}\left[20h-\left(8v_1+12v_0\right)T-(3{\text{a}}_0-{\text{a}}_1)T^2\right]\\ a_4& =& \frac{1}{2T^4}[-30h+(14v_1+16v_0)T+(3{\text{a}}_0-2{\text{a}}_1)T^2]\\ a_5& =& \frac{1}{2T^5}[12h-6(v_1+v_0)T+({\text{a}}_1-{\text{a}}_0)T^2].\end{array}\text{\hspace{1em}(1-25)}$$
Example2.9:使用五次多项式确定运动轨迹：

(a)
$$\begin{array}{cc}{t}_0=0,& t_1=8,\\ q_0=0,& q_1=10,\\ v_0=0,& v_1=0,\\ {\text{a}}_0=0,& {\text{a}}_1=0.\end{array}$$

(b)
$$
\begin{matrix}

t_0&=&0,& t_1&=&8, \

q_0&=&0,& q_1&=&10, \

v_0&=&-5, &v_1&=&-10,\

\text a_0&=&0, & \text a_1&=&0.

\end{matrix}
$$
可以注意到，使用三次多项式是无法指定加速度的边界条件的。对(a)和(b)条件使用五次多项式确定轨迹如下图所示。可以与上一篇博文的三次多项式（轨迹规划–三次多项式轨迹）比较一下，三次多项式是无法指定加速度的边界条件的。

图7 五次多项式轨迹

matlab仿真代码参见examplesCode文件夹下的example2_9.m文件

%example2.9
clc
clear
%轨迹定义条件
%时间
t0=0;
t1=8;
%位置和速度（a）
q0=0;
q1=10;
v0=0;
v1=0;
acc0=0;
acc1=0;
%利用公式（1-25）求系数
h=q1-q0;
T=t1-t0;
a0=q0;
a1=v0;
a2=1.0/2*acc0;
a3=1.0/(2*T*T*T)*(20*h-(8*v1+12*v0)*T+(acc1-3*acc0)/(T*T));
a4=1.0/(2*T*T*T*T)*(-30*h+(14*v1+16*v0)*T+(3*acc0-2*acc1)/(T*T));
a5=1.0/(2*T*T*T*T*T)*(12*h-6*(v1+v0)*T+(acc1-acc0)/(T*T));
%轨迹生成
t=t0:0.1:t1;
%位置
q=a0+a1*power((t-t0),1)+a2*power((t-t0),2)+a3*power((t-t0),3)+...
    a4*power(t-t0,4)+a5*power(t-t0,5);
%速度
v=a1+2*a2*power((t-t0),1)+3*a3*power((t-t0),2)+4*a4*power(t-t0,3)+...
    5*a5*power(t-t0,4);
%加速度
acc=2*a2+6*a3*power((t-t0),1)+12*a4*power(t-t0,2)+20*a5*power(t-t0,3);
%绘图
subplot(3,2,1)
plot(t,q,'r');
axis([0,8,0,11])
ylabel('position')
grid on
subplot(3,2,3)
plot(t,v,'b');
axis([0,8,-1,2.5])
ylabel('velocity')
grid on
subplot(3,2,5)
plot(t,acc,'g');
xlabel('(a)');
ylabel('acceleration')
grid on

%时间
t0=0;
t1=8;
%位置和速度（a）
q0=0;
q1=10;
v0=-5;
v1=-10;
acc0=0;
acc1=0;
%利用公式（1-25）求系数
h=q1-q0;
T=t1-t0;
a0=q0;
a1=v0;
a2=1.0/2*acc0;
a3=1.0/(2*T*T*T)*(20*h-(8*v1+12*v0)*T+(acc1-3*acc0)/(T*T));
a4=1.0/(2*T*T*T*T)*((-30*h+(14*v1+16*v0)*T)+(3*acc0-2*acc1)/(T*T));
a5=1.0/(2*T*T*T*T*T)*(12*h-6*(v1+v0)*T+(acc1-acc0)/(T*T));
%轨迹生成
t=t0:0.1:t1;
%位置
q=a0+a1*power((t-t0),1)+a2*power((t-t0),2)+a3*power((t-t0),3)+...
    a4*power(t-t0,4)+a5*power(t-t0,5);
%速度
v=a1+2*a2*power((t-t0),1)+3*a3*power((t-t0),2)+4*a4*power(t-t0,3)+...
    5*a5*power(t-t0,4);
%加速度
acc=2*a2+6*a3*power((t-t0),1)+12*a4*power(t-t0,2)+20*a5*power(t-t0,3);
%绘图
subplot(3,2,2)
plot(t,q,'r');
axis([0,8,-5,30])
ylabel('position')
grid on
subplot(3,2,4)
plot(t,v,'b');
ylabel('velocity')
grid on
subplot(3,2,6)
plot(t,acc,'g');
xlabel('(b)');
ylabel('acceleration')
grid on

Example 2.10:对于example2.7、example2.8 的条件（参见上一篇博客轨迹规划–三次多项式轨迹）使用五次多项式确定轨迹，如下图所示。并与example2.8对比，发现“平滑度”得到了改善。

给定条件
$$\begin{array}{cc}{t}_0=0,t_1=2,& t_2=4,t_3=8,t_4=10,\\ q_0=10,q_1=20,& q_2=0,q_3=30,q_4=40,\\ v_0=0,v_1=-10,& v_2=10,v_3=3,v_4=0.\end{array}$$
由此系列点确定的轨迹如下图所示。

图8 Example2.7的条件用五次多项式确定的轨迹

matlab仿真代码参见examplesCode文件夹下的example2_10.m文件

%example2.10
clc
clear
close('all')
%轨迹定义条件
%时间、位置和速度（a）
t_array=[0,2,4,8,10];
q_array=[10,20,0,30,40];
v_array=[0,-10,10,3,0];
%起点和终点加速度假设为0，中间点加速度都初始化为0，
acc_array=[0,0,0,0,0];
%计算轨迹
%初始位置
t=t_array(1);
q=q_array(1);
v=v_array(1);
v_array2=v_array;
acc=acc_array(1);

for k=1:length(t_array)-1
    %按照式（1-23）式确定中间点的速度值
    if(k>1)
        dk1=(q_array(k)-q_array(k-1))/(t_array(k)-t_array(k-1));
        dk2=(q_array(k+1)-q_array(k))/(t_array(k+1)-t_array(k));
        if((dk2>=0 && dk1>=0) || (dk2<=0 && dk1<=0))
            v_array2(k)=1.0/2.0*(dk1+dk2);
        else
            v_array2(k)=0;
        end  
    end
end

for k=1:length(t_array)-1
    %利用公式（1-25）求系数

    %计算各段多项式的系数
    h(k)=q_array(k+1)-q_array(k);
    T(k)=t_array(k+1)-t_array(k);
    a0(k)=q_array(k);
    a1(k)=v_array2(k);
    a2(k)=1.0/2*acc_array(k);
    a3(k)=1.0/(2*T(k)*T(k)*T(k))*(20*h(k)-(8*v_array2(k+1)+12*v_array2(k))*T(k)+(acc_array(k+1)-3*acc_array(k))/(T(k)*T(k)));
    a4(k)=1.0/(2*T(k)*T(k)*T(k)*T(k))*(-30*h(k)+(14*v_array2(k+1)+16*v_array2(k))*T(k)+(3*acc_array(k)-2*acc_array(k+1))/(T(k)*T(k)));
    a5(k)=1.0/(2*T(k)*T(k)*T(k)*T(k)*T(k))*(12*h(k)-6*(v_array2(k+1)+v_array2(k))*T(k)+(acc_array(k+1)-acc_array(k))/(T(k)*T(k)));
    
    %生成各段轨迹密化的数据点
    %局部时间坐标
    tau=t_array(k):T(k)/100:t_array(k+1);
    %全局时间坐标，由局部时间坐标组成
    t=[t,tau(2:end)];
    %位置
    qk=a0(k)+a1(k)*power(tau-tau(k),1)+a2(k)*power(tau-tau(k),2)+a3(k)*power(tau-tau(k),3)+...
        a4(k)*power(tau-tau(k),4)+a5(k)*power(tau-tau(k),5);
     %全局位置坐标
    q=[q,qk(2:end)];
    %速度
    vk=a1(k)+2*a2(k)*power(tau-tau(k),1)+3*a3(k)*power(tau-tau(k),2)+4*a4(k)*power(tau-tau(k),3)+...
        5*a5(k)*power(tau-tau(k),4);
     v=[v,vk(2:end)];
    %加速度
    acck=2*a2(k)+6*a3(k)*power(tau-tau(k),1)+12*a4(k)*power(tau-tau(k),2)+20*a5(k)*power(tau-tau(k),3);
    acc=[acc,acck(2:end)];

end
%绘图
subplot(3,1,1)
plot(t,q,'r');
hold on
plot(t_array,q_array,'o');
 axis([0,10,-5,45])
ylabel('position')
grid on
subplot(3,1,2)
plot(t,v,'b');
hold on
plot(t_array,v_array2,'o');
axis([0,10,-20,15])
ylabel('velocity')
grid on
subplot(3,1,3)
plot(t,acc,'g');
axis([0,10,-35,35])
ylabel('acceleration')
grid on

接下来将介绍七次多项式和更高阶次的多项式轨迹。

---

参考文献

Biagiotti L, Melchiorri C. Trajectory Planning for Automatic Machines and Robots[M]. Springer Berlin Heidelberg, 2009.

https://download.csdn.net/download/yjw0911/85451711下载链接

六轴机械臂本体由6个可重组的关节模组、连接部件、底座、末端部件组成，如下图所示，定义底部为第一关节（Jiont 1，其它关节命名同上）。
机械臂的参数如表2.1所示。机械臂的尺寸如图2.2所示。

1.轨迹规划的定义
轨迹规划(trajectory planning)是运动规划(motion planning)研究的主要内容。运动规划指的是运动插补，在起始点和终止点之间插入中间点序列，实现沿着轨迹的平稳运动。运动控制包含路径规划(path planning)和轨迹规划，路径规划是规划位置，在起终点之间经过的路径点，轨迹规划是规划时间，将路径点与时间相对应。
对于我们的六轴机器人而言轨迹规划可以分为：关节空间轨迹规划和笛卡尔空间轨迹规划。关节空间轨迹规划是把机器人的关节变量变换成跟时间的函数，然后对角速度和角加速度进行约束。笛卡尔空间轨迹规划是把机器人末端在笛卡尔空间的位移、速度和加速度变换成跟时间的函数关系。
2.数学基础
三次多项式插值（适用于起点和终点速度为零的情况，约束关节在起点和终点的角度值，规定轨迹两端点位置角速度为定值）。
设关节角满足下式

$$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} \theta(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3\\ \dot{\theta}(t)=a_1+2a_2t+3a_3t^2\\ \ddot{\theta}(t)=2a_2+6a_3t \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$
将相邻两个点看作一小段轨迹的起点和终点分别用 $\theta_0$和 $\theta_f$表示，约束起始速度为 $v_0$，终止速度为 $v_f$
$$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} \theta(t_0)=\theta_0\\ \theta(t_f)=\theta_f\\ \dot{\theta}(t_0)=v_0\\ \dot{\theta}(t_f)=v_f\\ \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$
将约束条件代入函数，可以求得系数（为简便计算，设 $t_0=0$）
$$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} a_0=\theta_0\\ a_1=v_0\\ a_2=\frac{3}{t_f^2}(\theta_f-\theta_0)-\frac{1}{t_f}(2v_0+v_f)\\ a_3=\frac{2}{t_f^3}(\theta_0-\theta_f)+\frac{1}{t_f^2}(v_0+v_f)\\ \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$
三次多项式规划轨迹如下
$$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} \theta(t)=\theta_0+v_0t+[\frac{3}{t_f^2}(\theta_f-\theta_0)-\frac{1}{t_f}(2v_0+v_f)]t^2+[\frac{2}{t_f^3}(\theta_0-\theta_f)+\frac{1}{t_f^2}(v_0+v_f)]t^3\\ \dot{\theta}(t)=v_0+2[\frac{3}{t_f^2}(\theta_f-\theta_0)-\frac{1}{t_f}(2v_0+v_f)]t+3[\frac{2}{t_f^3}(\theta_0-\theta_f)+\frac{1}{t_f^2}(v_0+v_f)]t^2\\ \ddot{\theta}(t)=2[\frac{3}{t_f^2}(\theta_f-\theta_0)-\frac{1}{t_f}(2v_0+v_f)]+6[\frac{2}{t_f^3}(\theta_0-\theta_f)+\frac{1}{t_f^2}(v_0+v_f)]t \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$
当速度为零时适用于一段轨迹的起终点，不为零时适用于一段轨迹的经过点。
3.matlab代码实现

序号	位置	速度	时间
1	0	0	0
2	100	0	3

clear;
clc;
q0=0;
q1=100; %指定起止位置
t0=0;
t1=3;%指定起止时间
v0=0;
v1=0;%指定起止速度
a0=q0;
a1=v0;
a2=(3/(t1)^2)*(q1-q0)-(1/t1)*(2*v0+v1);
a3=(2/(t1)^3)*(q0-q1)+(1/t1^2)*(v0+v1);%计算三次多项式系数
t=t0:0.01:t1;
q=a0+a1*t+a2*t.^2+a3*t.^3;%三次多项式插值的位置
v=a1+2*a2*t+3*a3*t.^2;%三次多项式插值的速度
a=2*a2+6*a3*t;%三次多项式插值的加速度
subplot(3,1,1),plot(t,q),xlabel('t'),ylabel('position');grid on;
subplot(3,1,2),plot(t,v),xlabel('t'),ylabel('velocity');grid on;
subplot(3,1,3),plot(t,a),xlabel('t'),ylabel('accelerate');grid on;

下图为插值结果

4.含经过点的插值

序号	位置	速度	时间
1	0	0	0
2	50	10	3
3	150	20	6
4	100	-15	12
5	0	0	14

clear;
clc;
q_array=[0,50,150,100,0];%指定起止位置
t_array=[0,2,4,8,10];%指定起止时间
v_array=[0,10,20,-15,0];%指定起止速度
t=[t_array(1)];q=[q_array(1)];v=[v_array(1)];a=[0];%初始状态
for i=1:1:length(q_array)-1;%每一段规划的时间
     a0=q_array(i);
     a1=v_array(i);
     a2=(3/(t_array(i+1)-t_array(i))^2)*(q_array(i+1)-q_array(i))-(1/(t_array(i+1)-t_array(i)))*(2*v_array(i)+v_array(i+1));
     a3=(2/(t_array(i+1)-t_array(i))^3)*(q_array(i)-q_array(i+1))+(1/(t_array(i+1)-t_array(i))^2)*(v_array(i)+v_array(i+1));%计算三次多项式系数 
     ti=t_array(i)+0.001:0.001:t_array(i+1);
     qi=a0+a1*(ti-t_array(i))+a2*(ti-t_array(i)).^2+a3*(ti-t_array(i)).^3;
     vi=a1+2*a2*(ti-t_array(i))+3*a3*(ti-t_array(i)).^2;
     ai=2*a2+6*a3*(ti-t_array(i));
     t=[t,ti];q=[q,qi];v=[v,vi];a=[a,ai];
end
subplot(3,1,1),plot(t,q,'r'),xlabel('t'),ylabel('position');grid on;
subplot(3,1,2),plot(t,v,'b'),xlabel('t'),ylabel('velocity');grid on;
subplot(3,1,3),plot(t,a,'g'),xlabel('t'),ylabel('accelerate');grid on;

PS:这种三次多项式插值，只要给定离散点位置、速度和时间，就能插补出一段连续平滑的曲线。但是角加速度并不连续，下次为大家介绍高阶多项式插值则可以解决这个问题。