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  • 三角函数及其之间的关系

    千次阅读 2020-02-11 14:45:21
    正弦函数:sin x 余弦函数:cos x 正切函数:tan x 余切函数:cot x 正割函数:sec x 读音:[si:kent] 余割函数:csc x 读音:[keu'si:kent] 其中 tan x = sin x/cos x cot x = cos x/sin x sec x = ...

    正弦函数:sin x

    余弦函数:cos x

    正切函数:tan x

    余切函数:cot x

    正割函数:sec x       读音:[si:kent]

    余割函数:csc x       读音:[keu'si:kent]

     

    其中

    tan x = sin x/cos x

    cot x = cos x/sin x

    sec x = 1 / cos x

    csc x = 1 / sin x

     

     

     

    同角三角函数间的基本关系式: 
    ·平方关系: 
    sin^2(α)+cos^2(α)=1 
    tan^2(α)+1=sec^2(α) 
    cot^2(α)+1=csc^2(α) 
    ·商的关系: 
    tanα=sinα/cosα 

    cotα=cosα/sinα 


    ·倒数关系: 
    tanα·cotα=1 
    sinα·cscα=1 
    cosα·secα=1 
    三角函数恒等变形公式: 
    ·两角和与差的三角函数: 
    cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ 
    cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ 
    sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ 
    tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) 
    tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 

    ·倍角公式: 
    sin(2α)=2sinα·cosα 
    cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 
    tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 

    ·三倍角公式: 
    sin3α=3sinα-4sin^3(α) 
    cos3α=4cos^3(α)-3cosα 

    ·半角公式: 
    sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 
    cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 
    tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) 
    tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 

    ·万能公式: 
    sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] 
    cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] 
    tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 

    ·积化和差公式: 
    sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 
    cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] 
    cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 
    sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 

    ·和差化积公式: 
    sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 
    sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 
    cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 
    cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

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  • 三角函数关系

    千次阅读 2020-03-15 21:27:02
    三角关系 sin2(x)+cos2(x)=1sin^{2}(x) + cos^{2}(x) = 1 sin2(x)+cos2(x)=1 tan2(x)+1=sec2(x)tan^{2}(x) + 1 = sec^{2}(x)tan2(x)+1=sec2(x) 1+cot2(x)=csc2(x)1 + cot^{2}(x) = csc^{2}(x) 1+cot2(x)=csc2(x) 2...

    三角函数关系图

    1. 倒三角关系
      s i n 2 ( x ) + c o s 2 ( x ) = 1 sin^{2}(x) + cos^{2}(x) = 1 sin2(x)+cos2(x)=1
      t a n 2 ( x ) + 1 = s e c 2 ( x ) tan^{2}(x) + 1 = sec^{2}(x) tan2(x)+1=sec2(x)
      1 + c o t 2 ( x ) = c s c 2 ( x ) 1 + cot^{2}(x) = csc^{2}(x) 1+cot2(x)=csc2(x)
      2、对角线关系
      c s c ( x ) = 1 s i n ( x ) csc(x) = \frac{1}{sin(x)} csc(x)=sin(x)1
      s e c ( x ) = 1 c o s ( x ) sec(x) = \frac{1}{cos(x)} sec(x)=cos(x)1
      t a n ( x ) = 1 c o t ( x ) tan(x) = \frac{1}{cot(x)} tan(x)=cot(x)1
      3、顺时针关系
      t a n ( x ) = s i n ( x ) c o s ( x ) tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} tan(x)=cos(x)sin(x)
      s i n ( x ) = c o s ( x ) c o t ( x ) sin(x) = \frac{cos(x)}{cot(x)} sin(x)=cot(x)cos(x)
      c o s ( x ) = c o t ( x ) c s c ( x ) cos(x) = \frac{cot(x)}{csc(x)} cos(x)=csc(x)cot(x)
      c o t ( x ) = c s c ( x ) s e c ( x ) cot(x) = \frac{csc(x)}{sec(x)} cot(x)=sec(x)csc(x)
      c s c ( x ) = s e c ( x ) t a n ( x ) csc(x) = \frac{sec(x)}{tan(x)} csc(x)=tan(x)sec(x)
      s e c ( x ) = t a n ( x ) s i n ( x ) sec(x) = \frac{tan(x)}{sin(x)} sec(x)=sin(x)tan(x)
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  • 三角函数公式和图像大全

    千次阅读 2021-04-07 12:01:05
    三角函数的图形 反三角函数的图形 各三角函数值在各象限的符号 三角函数的性质 反三角函数的性质 三角函数公式 两角和公式 倍角公式 三倍角公式 半角公式 和差化积 积...

    初等函数的图形

    幂函数的图形

    指数函数的图形

    对数函数的图形

    三角函数的图形

    反三角函数的图形

    各三角函数值在各象限的符号

    三角函数的性质

    反三角函数的性质

    三角函数公式

    两角和公式

    倍角公式

    三倍角公式

    半角公式

    和差化积

    积化和差

    诱导公式

    万能公式

    其它公式

    其他非重点三角函数

    双曲函数

    公式一

    设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:

    sin(2kπ+α)= sinα

    cos(2kπ+α)= cosα

    tan(2kπ+α)= tanα

    cot(2kπ+α)= cotα

    公式二

    设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:

    sin(π+α)= -sinα

    cos(π+α)= -cosα

    tan(π+α)= tanα

    cot(π+α)= cotα

    公式三

    任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:

    sin(-α)= -sinα

    cos(-α)= cosα

    tan(-α)= -tanα

    cot(-α)= -cotα

    公式四

    利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:

    sin(π-α)= sinα

    cos(π-α)= -cosα

    tan(π-α)= -tanα

    cot(π-α)= -cotα

    公式五

    利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:

    sin(2π-α)= -sinα

    cos(2π-α)= cosα

    tan(2π-α)= -tanα

    cot(2π-α)= -cotα

    公式六

    这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用

    三角函数公式证明(全部)

    公式表达式

    乘法与因式分解

    a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

    三角不等式

    |a+b|≤|a|+|b|

    |a-b|≤|a|+|b|

    |a|≤b<=>-b≤a≤b

    |a-b|≥|a|-|b|

    -|a|≤a≤|a|

    一元二次方程的解

    -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a

    根与系数的关系

    X1+X2=-b/a

    X1*X2=c/a

    注:韦达定理

    判别式 b2-4a=0 注:方程有相等的两实根

    b2-4ac>0 注:方程有一个实根

    b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根

    三角函数公式

    两角和公式

    sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

    cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

    tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

    ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

    倍角公式

    tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

    cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

    半角公式

    sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

    cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

    tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

    ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

    和差化积

    2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

    2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

    sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

    tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

    ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

    某些数列前n项和

    1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2

    1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

    2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

    12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

    13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4

    1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

    正弦定理

    a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

    注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径

    余弦定理

    b2=a2+c2-2accosB

    注:角B是边a和边c的夹角

    正切定理

    [(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}

    圆的标准方程

    (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标

    圆的一般方程

    x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0

    抛物线标准方程

    y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

    直棱柱侧面积

    S=c*h

    斜棱柱侧面积

    S=c'*h

    正棱锥侧面积

    S=1/2c*h'

    正棱台侧面积

    S=1/2(c+c')h'

    圆台侧面积

    S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l

    球的表面积

    S=4pi*r2

    圆柱侧面积

    S=c*h=2pi*h

    圆锥侧面积

    S=1/2*c*l=pi*r*l

    弧长公式

    l=a*r

    a是圆心角的弧度数r >0

    扇形面积公式

    s=1/2*l*r

    锥体体积公式

    V=1/3*S*H

    圆锥体体积公式

    V=1/3*pi*r2h

    斜棱柱体积

    V=S'L

    注:其中,S'是直截面面积, L是侧棱长

    柱体体积公式

    V=s*h

    圆柱体

    V=pi*r2h

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  • 一、三角函数的概念单位圆定义:设起点在原点的射线,与x轴正半轴形成一个角θ,并与单位圆(x2+y2=1)相交。这个交点的横坐标值和纵坐标值分别等于cosθ和sinθ。单位圆定义允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义...

    一、三角函数的概念

    单位圆定义:设起点在原点的射线,与x轴正半轴形成一个角θ,并与单位圆(x2+y2=1)相交。这个交点的横坐标值和纵坐标值分别等于cosθ和sinθ。

    单位圆定义允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在 0 和 π/2弧度之间的角。逆时针方向的度量是正角,而顺时针的度量是负角,对于大于2π或小于-2π的角,可继续绕单位圆旋转得到。

    如:角α的终边经过点P(3,-4),则cosα=3/5。

    二、三角函数的诱导公式

    任意角的三角函数均可与第一象限角的三角函数相互转化。

    (奇变偶不变,符号看象限)

    f5d6c7dc1d35e1d8145c1bbf9fd3371a.png

    诱导公式可以概括为:对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值,当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变;当k是奇数时,得到α相应的余函数值sin→cos;cos→sin;tan→cot;cot→tan。(奇变偶不变),然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号(符号看象限)。

    如:sin(-2π-α)=sin(-4·π/2-α),k=-4为偶数,所以取sin;α看成锐角时,-2π-α在第四象限,sin(-2π-α)<0,符号为“-”。所以sin(-2π-α)=-sinα。

    和差角公式

    正弦、余弦、正切、余切的和差角公式:

    ef014ba37192f0aa02087f4170ac2d08.png

    二倍角公式

    二倍角公式是利用和差角公式展开得到。

    8be31bd7ce1968ac1eafca19770bd9bc.png

    三、三角函数的图像

    一个周期内的图像如下所示。

    40ade1d7fe7a2c8077b031b4c376ec66.png

    四、三角函数的值域

    当x∈R时,sinx值域为[-1,1]。

    对于当x∈[a,b]时,求y=Asin(ωx+φ)的值域问题可用换元法,令t=ωx+φ,根据x的范围确定t的范围,然后再求出sint的范围,进而得到函数的值域。

    如求函数y=4cos(x+π/6)-2,x∈[0,π/2]的值域,由x∈[0,π/2],得x+π/6∈[π/6,2π/3],即cos(x+π/6)∈[-1/2,√3/2],所以y∈[-4,2√3-2]。

    五、三角函数的单调性

    sinx的单调增区间是x∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2],单调减区间是x∈[2kπ+π/2,2kπ+3π/2],k∈Z。

    cosx的单调增区间是x∈[2kπ-π,2kπ],单调减区间是x∈[2kπ,2kπ+π],k∈Z。

    求y=Asin(ωx+φ)的单调增区间,可把ωx+φ看作一个整体,即ωx+φ∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2],k∈Z;解得x∈[(2kπ-π/2-φ)/ω,(2kπ+π/2-φ)/ω],k∈Z。

    如f(x)=5sin(2x+π/4)的单调增区间为2x+π/4∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2],k∈Z。则2x∈[2kπ-3π/4,2kπ+π/4],k∈Z。即x∈[kπ-3π/8,kπ+π/8],k∈Z。

    六、三角函数的周期性

    三角函数都有周期,最小正周期用T表示,nT(n为整数)也是该三角函数的周期。

    sinx和cosx的最小正周期T=2π;tanx和cotx的最小正周期 T=π。

    y=Asin(ωx+B)+C或y=Acos(ωx+B)+C,其中A,ω,B,C为常数。周期只与x的系数ω有关,最小正周期T=2π/ω。

    七、三角函数的对称性

    正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形。

    正弦、余弦函数图像的对称轴是过函数图象的最高(低)点且垂直于x轴的直线;对称中心是图象与x轴的交点。

    如:函数y=sinx图像关于直线x=kπ+π/2对称,关于点(kπ,0)中心对称。

    八、三角函数图形变换

    1.平移变换

    函数图像y=f(x)按向量(a,b)平移,得到的新图像按向量(-a,-b)平移可变回原图像,并满足原函数的对应法则,故新函数为:y-b=f(x-a)。即图形平移可视为函数按向量作减法(即“左加右减,上加下减”)。

    如:将函数y=sinx图像往左平移5个单位,再往上平移3个单位后的函数为y-3=sin(x-(-5)),整理后:y=sin(x+5)+3。

    2、放缩变换

    对函数y=f(x)图像x变化a倍、y变化b倍,得到的新图像x变化1/a倍、y变化1/b倍可变回原图像,并满足原函数的对应法则,新函数为:y/b=f(x/a)。

    如:将函数y=sinx图像横坐标缩小5倍,得到函数y=sin5x,再将纵坐标放大3倍得到函数y/3=sin5x,整理后得y=3sin5x。

    注意:平移变换和放缩变换均只对x与y进行变换。

    如:由y=sinx得到y=5sin(2x+4)。

    法1:先平移后放缩

    先向左平移4个单位,然后横坐标变为原来的1/2,最后纵坐标伸长为原来5倍。

    法2:先放缩后平移

    先横坐标变为原来的1/2,然后向左平移2个单位(只对x变换,而不是2x),最后纵坐标伸长为原来5倍。

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  • 怎样将锐角三角函数推广到任意角

    千次阅读 2018-01-26 17:06:26
    常用的诱导公式 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: ... 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan
  • 微分、积分、三角函数、数学公式大全

    万次阅读 多人点赞 2018-10-25 20:35:05
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  • 几何三角函数

    千次阅读 2018-06-03 11:06:53
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  • 三角函数常见基本公式

    千次阅读 2018-12-02 14:08:45
    函数关系 商数关系:①  ;②  . 倒数关系:①  ;②   ;③ 平方关系:①  ;②  ;③   和差角公式 二角和差公式 三角和公式 积化和差公式 倍角公式...

空空如也

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六种三角函数的关系