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  • 引力场方程推导
    2020-09-15 15:50:52

    在这里插入图片描述
    参数说明:
    M : 地 球 总 质 量 M:地球总质量 M:
    d m : 地 球 上 的 质 量 微 元 dm:地球上的质量微元 dm:
    m ′ : 地 球 外 部 空 间 上 的 一 个 质 点 m':地球外部空间上的一个质点 m:
    p : m 与 d m 之 间 的 距 离 p:m与dm之间的距离 p:mdm
    万有引力大小为:
    f = G d m ∗ m ′ p 2 f=\frac{Gdm*m'}{p^2} f=p2Gdmm

    引力位函数

    若 外 有 引 力 做 工 ( 从 无 穷 远 移 动 到 半 径 p 处 ) 为 : A = ∫ ∞ p − G d m ∗ m p 2 = G d m ∗ m ′ p 若外有引力做工(从无穷远移动到半径p处)为:A=\int_\infty^p-\frac{Gdm*m}{p^2}=\frac{Gdm*m'}{p} (p):A=pp2Gdmm=pGdmm
    根据能量守恒,引力做工必然等于 m ′ m' m减少的位能(势能),若单位质量的点(从无穷远移动到半径p处),势能必然减少,将减少量定义为位函数:
    d V = G d m p dV=\frac{Gdm}{p} dV=pGdm

    地球外部空间的调和函数

    地球产生的各质量微元函数之和为:
    V = ∫ M d V = G ∫ M d m p ( 公 式 1 ) V=\int_MdV=G\int_M\frac{dm}{p}(公式1) V=MdV=GMpdm1

    又因为:
    ▽ V = ∂ 2 V ∂ x 2 + ∂ 2 V ∂ y 2 + ∂ 2 V ∂ z 2 = 0 ( 证 略 ) \bigtriangledown V=\frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2V}{\partial z^2}=0(证略) V=x22V+y22V+z22V=0()
    所以 V V V是在地球质量M的外部空间上是调和函数

    勒让德多项式的生成函数

    在这里插入图片描述

    参数说明:
    m ′ : 的 球 坐 标 为 ( r , θ , λ ) m':的球坐标为(r,\theta,\lambda) m(r,θ,λ)
    d m : 的 球 坐 标 为 ( r , θ ′ , λ ′ ) dm:的球坐标为(r,\theta',\lambda') dm(r,θ,λ)
    向 量 R 与 r 夹 角 为 φ 向量R与r夹角为\varphi Rrφ
    m 0 ′ 是 m ′ 在 球 面 上 的 投 影 m0'是m'在球面上的投影 m0m
    在, o , d m , m ′ o,dm,m' o,dm,m构成的三角形中,根据余弦定理,可以得到:
    p 2 = r 2 + R 2 − 2 R r c o s φ = r 2 ( 1 − 2 a x + a 2 ) ( a = R r , x = c o s φ ) p^2=r^2+R^2-2Rrcos\varphi=r^2(1-2ax+a^2)(a=\frac{R}{r},x=cos\varphi) p2=r2+R22Rrcosφ=r2(12ax+a2)(a=rR,x=cosφ)
    再开平方,取倒数得到:
    1 p = 1 r ( 1 − 2 a x + a 2 ) − 1 2 ( 公 式 2 ) \frac{1}{p}=\frac{1}{r}(1-2ax+a^2)^{-\frac{1}{2}}(公式2) p1=r1(12ax+a2)212

    又因为:
    ( 1 − 2 a x + a 2 ) − 1 2 = ∑ n = 0 ∞ P n ( x ) a n ( 勒 让 德 多 项 式 的 生 成 函 数 ) ( 公 式 3 ) (1-2ax+a^2)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^\infty P_n(x)a^n(勒让德多项式的生成函数)(公式3) (12ax+a2)21=n=0Pn(x)an()3

    所以 ( 1 − 2 a x + a 2 ) − 1 2 (1-2ax+a^2)^{-\frac{1}{2}} (12ax+a2)21为勒让德多项式的生成函数

    球函数的加法公式

    在这里插入图片描述

    根据球面的三角余弦定理有: c o s φ = c o s θ c o s θ ′ + s i n θ s i n θ ′ c o s ( λ − λ ′ ) cos\varphi=cos\theta cos\theta'+sin\theta sin\theta'cos(\lambda-\lambda') cosφ=cosθcosθ+sinθsinθcos(λλ)
    带入 P n ( c o s φ ) = ∑ k = 0 n 2 ( n − k ) ! ( 1 + δ k ) ( n + k ) ! P n k ( c o s θ ) P n k ( c o s θ ′ ) c o s k λ ′ + P n k c o s θ s i n ( k λ ) P n k ( c o s θ ′ ) ( s i n k λ ′ ) ( 公 式 4 ) P_n(cos\varphi)=\sum_{k=0}^n\frac{2(n-k)!}{(1+\delta_k)(n+k)!}P_n^k(cos\theta)P_n^k(cos\theta')cosk\lambda'+P_n^kcos\theta sin(k\lambda) P_n^k(cos\theta')(sink\lambda') (公式4) Pn(cosφ)=k=0n(1+δk)(n+k)!2(nk)!Pnk(cosθ)Pnk(cosθ)coskλ+Pnkcosθsin(kλ)Pnk(cosθ)(sinkλ)(4)

    利用德让勒多项式求解V(调和函数)

    将勒让德多项式的生成函数(公式(3)),将带入公式(2),再将公式2带入地球外部空间的调和函数公式(1)。
    得到:
    R e : 旋 转 椭 圆 球 的 长 半 径 R_e:旋转椭圆球的长半径 Re:
    u = G M : 地 球 引 力 常 数 u=GM:地球引力常数 u=GM:
    δ k = { 1 k = 0 0 k ≠ 1 \delta_k= \begin{cases} 1&k=0\\ 0&k\neq1\\ \end{cases} δk={10k=0k=1
    V = G r ∑ n = 0 ∞ ( R e r ) n ∫ M ( R R e ) n P n ( c o s φ ) d m V=\frac{G}{r}\sum_{n=0}^\infty(\frac{R_e}{r})^n\int_M(\frac{R}{R_e})^nP_n(cos\varphi)dm V=rGn=0(rRe)nM(ReR)nPn(cosφ)dm
    将公式(4)带入:
    得到:
    V = u r ∑ n = 0 ∞ ( R e r ) n ∑ k = 0 n ( C n k c o s k λ + S n k s i n k λ ) P n k ( c o s θ ) V=\frac{u}{r}\sum_{n=0}^\infty(\frac{R_e}{r})^n\sum_{k=0}^n(C_n^kcosk\lambda+S_n^ksink\lambda)P_n^k(cos\theta) V=run=0(rRe)nk=0n(Cnkcoskλ+Snksinkλ)Pnk(cosθ)
    C n k = 2 ( n − k ) ! M ( 1 + δ k ) ( n + k ) ! ∫ M ( R R e ) n P n k ( c o s θ ′ ) c o s k λ ′ d m C_n^k=\frac{2(n-k)!}{M(1+\delta_k)(n+k)!}\int_M(\frac{R}{R_e})^nP_n^k(cos\theta')cosk\lambda'dm Cnk=M(1+δk)(n+k)!2(nk)!M(ReR)nPnk(cosθ)coskλdm
    S n k = 2 ( n − k ) ! M ( 1 + δ k ) ( n + k ) ! ∫ M ( R R e ) n P n k ( c o s θ ′ ) s i n k λ ′ d m S_n^k=\frac{2(n-k)!}{M(1+\delta_k)(n+k)!}\int_M(\frac{R}{R_e})^nP_n^k(cos\theta')sink\lambda'dm Snk=M(1+δk)(n+k)!2(nk)!M(ReR)nPnk(cosθ)sinkλdm
    已知直角坐标系到球体坐标系的转换关系如下:
    { x = R s i n θ ′ c o s λ ′ y = R s i n θ ′ s i n λ ′ z = R c o s θ ′ \begin{cases} x=Rsin\theta'cos\lambda'\\ y=Rsin\theta'sin\lambda'\\ z=Rcos\theta'\\ \end{cases} x=Rsinθcosλy=Rsinθsinλz=Rcosθ
    刚体的张量定义如下:刚体的惯性张量及其物理意义
    I = [ I x − I x y − I x z − I x y I y − I y z − I x z − I y z I x z ] = ∫ M [ y 2 + z 2 − x y − x z − x y x 2 + z 2 − y z − x z − y z x 2 + y 2 ] d m I=\left[\begin{matrix} I_{x}&-I_{xy}&-I_{xz}\\ -I_{xy}&I_{y}&-I_{yz}\\ -I_{xz}&-I_{yz}&I_{xz}\\ \end{matrix}\right]=\int_M\left[\begin{matrix} y^2+z^2&-xy&-xz\\ -xy&x^2+z^2&-yz\\ -xz&-yz&x^2+y^2\\ \end{matrix}\right]dm I=IxIxyIxzIxyIyIyzIxzIyzIxz=My2+z2xyxzxyx2+z2yzxzyzx2+y2dm
    可以得到:
    C 0 0 = 1 C_0^0=1 C00=1
    C 0 1 = 1 R e ( 1 M ∫ M z d m ) C_0^1=\frac{1}{R_e}(\frac{1}{M}\int_Mzdm) C01=Re1(M1Mzdm)
    C 1 1 = 1 R e ( 1 M ∫ M x d m ) C_1^1=\frac{1}{R_e}(\frac{1}{M}\int_Mxdm) C11=Re1(M1Mxdm)
    S 1 1 = 1 R e ( 1 M ∫ M y d m ) S_1^1=\frac{1}{R_e}(\frac{1}{M}\int_Mydm) S11=Re1(M1Mydm)
    C 2 0 = 1 M R e 2 ( ∫ M z 2 − x 2 + y 2 2 d m ) = 1 M R e 2 ( I x + I y 2 − I z ) C_2^0=\frac{1}{MR_e^2}(\int_Mz^2-\frac{x^2+y^2}{2}dm)=\frac{1}{MR_e^2}(\frac{I_x+I_y}{2}-I_z) C20=MRe21(Mz22x2+y2dm)=MRe21(2Ix+IyIz)
    C 2 1 = 1 M R e 2 ∫ M x z d m = I x z M R e 2 C_2^1=\frac{1}{MR_e^2}\int_Mxzdm=\frac{I_{xz}}{MR_e^2} C21=MRe21Mxzdm=MRe2Ixz
    C 2 2 = 1 4 M R e 2 ( ∫ M x 2 − y 2 d m ) = I y − I x 4 M R e 2 C_2^2=\frac{1}{4MR_e^2}(\int_Mx^2-y^2dm)=\frac{I_{y}-I_{x}}{4MR_e^2} C22=4MRe21(Mx2y2dm)=4MRe2IyIx
    S 2 1 = 1 M R e 2 ( ∫ M y z d m ) = I y z M R e 2 S_2^1=\frac{1}{MR_e^2}(\int_Myzdm)=\frac{I_{yz}}{MR_e^2} S21=MRe21(Myzdm)=MRe2Iyz
    S 2 2 = 1 4 M R e 2 ( ∫ M x y d m ) = I x y 2 M R e 2 S_2^2=\frac{1}{4MR_e^2}(\int_Mxydm)=\frac{I_{xy}}{2MR_e^2} S22=4MRe21(Mxydm)=2MRe2Ixy
    如果定义直角坐标与地球惯性惯性主轴重合,则: I x y = I y z = I x z = 0 I_{xy}=I_{yz}=I_{xz}=0 Ixy=Iyz=Ixz=0

    对于实际应用时,地球坐标一边选择坐标原点与地球质心重合,oz与地球自转平行,ox轴在赤道面上且指向0度经线,这时坐标轴往往与惯性主轴不重合。
    利用三角函数恒等式:
    得到:
    V = u r { 1 − ∑ n = 1 ∞ ( R e r ) n [ J n P n ( c o s θ ) + ∑ k = 1 n J n k P n k ( c o s θ ) c o s k ( λ + λ n k ) ] } V=\frac{u}{r}\{1-\sum_{n=1}^\infty(\frac{R_e}{r})^n[J_nP_n(cos\theta)+\sum_{k=1}^nJ_n^kP_n^k(cos\theta)cosk(\lambda+\lambda_n^k)]\} V=ru{1n=1(rRe)n[JnPn(cosθ)+k=1nJnkPnk(cosθ)cosk(λ+λnk)]}
    J n = − C n 0 , J n k = ( C n k ) 2 + ( S n k ) 2 , λ n k = − a r c t a n ( S n k C n k ) / k J_n=-C_n^0,J_n^k=\sqrt{(C_n^k)^2+(S_n^k)^2},\lambda_n^k=-arctan(\frac{S_n^k}{C_n^k})/k Jn=Cn0,Jnk=(Cnk)2+(Snk)2 ,λnk=arctan(CnkSnk)/k
    J 2 = C 2 0 = 1 M R e 2 ( I x + I y 2 − I z ) ( 动 力 扁 率 : 反 映 赤 道 与 极 轴 上 转 动 惯 量 的 差 别 ) J_2=C_2^0=\frac{1}{MR_e^2}(\frac{I_x+I_y}{2}-I_z)(动力扁率:反映赤道与极轴上转动惯量的差别) J2=C20=MRe21(2Ix+IyIz)()
    u r : 球 形 地 球 引 起 的 引 力 位 \frac{u}{r}:球形地球引起的引力位 ru:
    在实际应用中因为其他系数比 J 2 J_2 J2小三个数量级,所以只需考虑 u r 和 J 2 \frac{u}{r}和J_2 ruJ2的影响,可以将 V V V近似看为:
    V = u r [ 1 − J 2 R e 2 2 r 2 ( 3 c o s 2 θ − 1 ) ] ( 只 考 虑 主 谐 项 ) V=\frac{u}{r}[1-\frac{J_2R_e^2}{2r^2}(3cos^2\theta-1)](只考虑主谐项) V=ru[12r2J2Re2(3cos2θ1)]

    卫星在惯性坐标系下的运动方程(只考虑主谐项)

    已知
    位 移 矢 量 : r = [ x y z ] T 位移矢量:r=\left[\begin{matrix} x&y&z\\ \end{matrix}\right]^T r=[xyz]T
    引 力 : f = [ f x f y f z ] T 引力:f=\left[\begin{matrix} f_x&f_y&f_z\\ \end{matrix}\right]^T f=[fxfyfz]T
    c o s θ = z r cos\theta=\frac{z}{r} cosθ=rz
    对x,y,z求2阶片导,求得加速度方程为:
    r ¨ = − u r 3 [ I + 3 2 J 2 ( R e r ) 2 ( D − 5 ( u r ∗ u p ) I ) ] r \ddot r=-\frac{u}{r^3}[I+\frac{3}{2}J_2(\frac{R_e}{r})^2(D-5(u_r*u_p)I)]r r¨=r3u[I+23J2(rRe)2(D5(urup)I)]r
    其中: D = d i a g ( 1 1 3 ) D=diag\left(\begin{matrix} 1&1&3\\ \end{matrix}\right) D=diag(113)
    u r 表 示 r 上 的 单 位 矢 量 u_r表示r上的单位矢量 urr
    u p 表 示 自 转 轴 上 的 的 单 位 矢 量 u_p表示自转轴上的的单位矢量 up
    u r ∗ u p 表 示 u p 与 u r 之 间 夹 角 的 余 弦 值 u_r*u_p 表示u_p与u_r之间夹角的余弦值 urupupur

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    全文共2948字,预计学习时长9分钟

    图源:superprof

    伟大的前苏联物理学家列夫·朗道和叶夫根尼·利夫希茨在他们的著作《经典场论》中写道:“建立在相对论基础上的引力场理论被称为广义相对论,它是由爱因斯坦建立的,并且可能是现存的物理理论中最美丽的一个。”

     

    所有认真研究过广义相对论的人都会觉得它具有一种独特的吸引力。20世纪最具影响力的物理学家之一、英国理论物理学家保罗·狄拉克曾说过:

    “很难将牛顿引力理论与其力的瞬时传播相协调,使之符合狭义相对论的要求;然而,爱因斯坦却解决了这一问题,相对论理论也由此诞生——这可能是有史以来最伟大的科学发现。”

    本文中,笔者将结合昌德拉塞卡的文章(任何遗漏或不清楚的细节都可以在作品文章中找到),并试图说明为何这些伟大科学家都做出了如此有力的陈述。

    图源:unsplash

    钟表问题

    仔细观察下图:

     

    根据等效原理,时钟A和时钟B将根据时钟C保持相同的相对时间。

    当时钟向上移动时,根据狭义相对论,时钟A和时钟B测量的时间间隔与真空中的时钟C测量的相应间隔具有以下关系:

     

    结合这两个表达式,可以得到:

     

    在以上方程中还使用到了托里拆利公式和引力势的概念:

     

    现在,如果把时钟B放到没有引力场的位置x上,那么上面的表达式将变成:

     

    公式1:两次的时间间隔如何随引力势U(x)的变化而变化。

     

    等效原理

    在牛顿力学中,有两种概念的质量,即惯性质量和引力质量。前者是一种测量外力阻力的方法(根据牛顿第二定律)。后者是引力场的来源,也是另一个大质量物体对引力场的反应。

     

    根据牛顿万有引力定律,此图展示了相互吸引的两个物体。

    两个质量分别为M与m的物体相距R,它们之间的引力可表示为:

     

    根据牛顿第二定律,物体m(或M)的加速度为:

     

    公式2:惯性质量和引力质量之所以会相等,是因为加速度的大小并不取决于物体的质量。因为加速度是不变的,所以质量比必须是常数。很明显,此时该常数为1。

    事实上,加速度a的大小无关于质量m,这也意味着上述的质量比是一个普适常数。由此推断,惯性质量和引力质量的大小相等。

     

    广义相对论中的时空

    在狭义相对论中,闵可夫斯基距离表现为以下形式:

     

    公式3:狭义相对论中的闵可夫斯基距离。

    其中dτ表示其本征时间。沿世界线的本征时间(物体在时空中的轨迹)是由沿着该线的时钟测量出的时间。

     

    对于给定的事件,该图显示了闵可夫斯基时空的四个不相交细分。

    如上图所示,时空中的世界线可以有以下三种:

    ·        光速曲线,每一点都表示光速。这样的世界线在时空中形成了一个光锥。

    ·        时间曲线。这些速度小于光速的曲线落在光锥内(注意:大质量粒子的世界线都是时间型曲线)

    ·        空间曲线。例如,这些曲线表示物体的长度。

     

    以上各种世界线皆对应一种dτ的符号。

    本征时间dτ的长短取决于时空的性质。在时空的某个区域,如果方程2有效,那么就可以将其代入方程3,并得出:

     

    公式4:由恒定引力场引起的闵可夫斯基时空间隔的变化。

    现在,可以考虑进行坐标变换,将其放入一个匀加速的参考系中。新的x和t变成:

     

    公式5:通过坐标变换将其放入一个匀加速的参考系。

    y和z保持不变。闵可夫斯基区间方程3用该坐标表示如下:

     

    公式6:匀加速的参考系中的闵可夫斯基距离。

    现在,在变换方程5中选择时间小于或等于c/g的次数,并进行简单展开,即新的时空间隔方程3变成:

     

    公式7:用非惯性坐标表示的平直闵可夫斯基时空中的时空间隔。

    注意,它的形式与方程4相同。因此,根据等效原理,转换成一个加速参考系相当于引入一个引力场。

    图源:unsplash

    到目前为止,我们只考虑了闵可夫斯基度量下的小偏差。与爱因斯坦相同,我们也假设,一般来说(不仅是小偏差)引力场的存在扭曲了时空的几何结构。更准确地说,爱因斯坦的引力理论认为,在引力场存在的情况下,时空会成为一个光滑的伪黎曼流形,并具有以下形式的时空间隔:

     

    公式8:伪黎曼流形上的时空间隔。

    在闵可夫斯基时空中,粒子以匀速直线运动:

     

    公式10:在闵可夫斯基时空中,粒子以匀速直线运动。

    在没有重力的情况下,让我们把下列变换成一个曲线坐标系:

     

    公式11:在没有重力的情况下转换成曲线坐标。

    时空间隔变为:

     

    方程12:变换后的时空间隔方程11。

    其中:

     

    方程13:变换后的度量张量公式11。

     

    在上图的惯性参考系中,黑球以直线运动。然而,站在旋转参照系(底部)中的观察者(红点)看到,由于该参照系中存在科里奥利力和离心力,该黑球沿着弯曲的路径行进。

    运动方程10成为普遍存在的测地线方程:

     

    方程14:运动方程10经坐标变换后变为方程11,此时仍然没有重力。

    其中物体被称为克氏符号。

     

    方程15:在测地线方程中出现的克氏符号。

    在方程14中,克氏符号产生一种“明显的”加速度,这种加速度只是在用曲线坐标描述笛卡尔坐标系中的线性运动时产生的。但它们实际上是惯性加速度(例如科里奥利加速度)。

    但是根据等价原理,所有的加速度,无论是惯性加速度还是重力加速度,都是度量:重力扭曲了时空几何(这是一个具有相关度量的拟黎曼流形),并且粒子在时空中沿着方程16给出的测地线进行运动。

     

    方程16:粒子在时空中运动所依据的测地线运动方程。

    推导爱因斯坦引力定律

    在牛顿物理学中,描述引力场的方程是用引力势U来表示的。当没有引力时,只有U=0;当有一个大质量物体,但受其场影响的被测粒子在物体外时,有∇²U=0;在有物质的区域,方程变为∇²U=4πGρ。

    再试试如何把这三个方程应用于广义相对论。

    首先,假设有一个粒子根据方程16来进行运动。如果方程16通过坐标转换可变为方程10,那么这就意味着粒子不在引力场中。

    同样,在目前的重力下,克氏符号在任何坐标变换后都不能消失。利用克氏符号的变换规律就很容易证明,如果要通过一个普通的坐标变换来使得所有的克氏符号都消失,只有当方程17中的四个变换fs对于方程18有解。

     

    方程17:应用于克氏符号的变换。

     

    方程18:克氏符号消失的条件。

    如果所谓的黎曼-克氏张量消失,就会发生这种情况。后者由以下给出:

     

    方程19:黎曼曲率张量或黎曼-克氏张量。

    我们得出结论,引力场不存在的条件是:

     

    方程20:失重的条件。这个方程是U=0牛顿方程在相对论理论下的结果。

    这个方程是牛顿方程U=0的广义相对论版本。可见,∇²U=0最简单的概括是方程20的收缩,即:

    方程21:里奇标量的消失是∇²U=0牛顿方程在相对论下的结果。

    这个消失的物体叫做里奇张量。最后一步是确定∇²U=4πGρ右侧的归纳。在此,首先想到的是能量动量张量。通过狭义相对论,我们可以知道它的导数消失了。但是广义相对论是协变理论,所以标准导数的消失是不够的:我们还需要T的协变导数消失,并且这在所有坐标系中都满足。

     

    但里奇张量的协变导数是非零的。通过引入一个相关且协变导数会消失的张量,即所谓的爱因斯坦张量,这一问题就会得以解决。

     

    在广义相对论中,物体之间的引力效应是时空扭曲的结果。

    因此,爱因斯坦引力定律变成:

     

    通过要求在c → ∞的区间内,可以获得常数k,并且牛顿的理论也能得以应用。

    最美丽的物理理论,你感受到它的魅力了嘛?


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    编译组:孙宇超、虞双双

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    来源: 余坤 Whyeemcc的日志

    个月前的某几天在教室里,翻看费曼物理学讲义的时候,上面提到一个非常有趣的问题:“地球对其表面或外面一点所产生的力,正像地球质量全部集中在地心所产生的力一样。我们一直假设问题的答案就是如此,但这种假设的正确性并不明显,因为当靠近一个物体时,有些质量离我们非常近,而有些质量则离开我们较远。当我们把所有的效果加起来,净的作用力正好与质量全部集中在中点的力一样,这似乎是一个奇迹。”——摘自《费曼讲义卷一》

     

    也许费曼怎么也不会想到,“这是一个奇迹”这句话如今会在中国这么火......撇开这个,其实我们在计算天体轨道的时候,往往把天体看做一个质点来对待,不光光是相距太遥远而对它们进行的近似,即便是距离较近的情况下,这也是成立的,原因正如上面所说。于是,费曼便开始证明这个奇迹,物理直觉极高并反感繁琐数学计算的他竟把球体一片片分割最后求积分,这并不像他擅长投机取巧的风格(其实他留了一手在《卷二》)。

     

    于是乎,我坐椅子上苦思冥想,一定有更简便的方法证明这个美妙的理论,结果算了一整张纸,利用前后对称的圆周产生的引力逆推出等效距离等等,结果是:它并不在球心!它并没有简单到我所期望的审美度......就这样草草了事了。

     

    看到卷二电磁学部分,着重引进了场的概念,场的确是个好东西,因为让我更加觉得物理和数学是多么的融洽。场是能量的一种体现,例如一个正电荷,场的能量要在三维空间内铺展开,世界的美妙之处之一在于很多事物都是对称的,你能想象的到,上帝大概会让它以点电荷为中心,向四周发散,就像小球爆炸一样,一个急速暴胀的空间对称的球体,然而,离球心越近的地方所包围住的空间是微小的,从这个小球表面穿出去的场都是点电荷供给的,它是守恒的,所以所含能量较密,如果离的越远,这个球的体积越大,但包含的场依然是里面那个“遥远”点电荷提供的,虽然有限,但依然在球的表面上均匀地分布着,在能量互不“渗透”的前提下,由近到远的时候,它的能量强度必然会受到空间影响,这个逻辑的直接结果是:场强度和半径r有着密切的关系,正是因为这个守恒关系,“有限”的场向外扩展,球的表面积不断以半径的平方系数增大,所以场的强度必须以半径的平方系数减小,总体一来,场的“总和”并没有变,就像一个圆柱体,把它压扁,虽然变矮小了,但却胖了,总的体积并不变。

     

    世界的美妙之处之二在于很多事物都是相似的,引力与电力,如出一辙。我们一样能构造一个引力场,它的强度也是随半径平方缩小,早在200多年前,已被卡文迪许的扭秤实验所证实,同样,他也发现了电力的强度关系。

     

    在第二卷,费曼用高斯定理表述了带电球体的场后,说,同样的证法也可用于引力场,可以比积分更容易证明牛顿的问题。于是我便恍然大悟.....

     

    鼓舞我一步步尝试建立这个模型。

     

     

    (一)质量等效的证明

     

    首先,如上图,参照电磁学,“一根”引力线穿过一个锥形的闭合曲面它的通量会是多少,对于那个较小的面为正,较大的面为负,引力的大小随1/r^2减少,而表面积却正比于r^2(曲面足够小以至于近似于边界为直线),所以对于每个面的通量都会因为r^2的相消而与半径无关,即便两个面不是与引力线垂直的,也会由于引力强度减小一个余弦因子而面积增大一个同样的余弦因子,它们相乘得到的通量依然不变。

     

    现在来看看如果一个单位的质量在闭合曲面内,它的引力线通过这个闭合曲面的通量该是多少。如下图

     

    在这个单位质量的周围我们虚设一个闭合球面,可以看到,我们把这个内含一个空洞的“体”分成无数个细小的锥体,像第一个图一样,通过第一个面的通量和通过第二个面的通量是相等的,由此可以想象的到,通过外面大的不规则的曲面S的通量,与通过内部小球体的通量其实是完全相同的,于是我们可以完全摒弃那个不规则曲面,直接用小球体来计算任何一个闭合曲面的通量。然而这一切,都要归功于场强度正比于1/r^2的关系。

     

    若内部小球体的半径为r,则它的表面积为4πr^2,引力场的强度就是引力的大小,它是我们很熟悉的万有引力公式去掉一个质量符号:Gm/r^2

     

    所以通过球面的通量可以计算为:(引力场向内,所以定义通量为负值)

     

    可以看出,这个量与半径无关,所以对于一个闭合曲面内的点质量,不论曲面的半径有多大,曲面多么不规则,引力线的通量都是定值,即为—4πGm

     

    这是内含一个单位质量的情况,如果里面出现两个单位质量呢,很明显它的整体通量会是两倍,所以它的场是线性叠加的,跟电场是同一种情况。这就很好考虑了,如果是一堆单位质量组成的质量块,就最简单的情况吧,球体,那它通过包围它的曲面的通量就等于所有点质量的贡献之和。如下图所示:

     

    对于这个面引力线向内的通量为

     

    根据我们之前的推论,任意一个闭合曲面内质量的通量,等同于所有点质量通量的贡献之和,单位点质量的通量是—4πGm,那么点质量集合的球体M的引力的通量即为—4πGM

     

    这两者是相等的。联立起来:

     

    从最后的结果可以看到,球体M在周围任何一点长生的场的大小T,就是如上的表达式本身,然而这个表达式也可看做一个质量为M的点电荷,在半径为R的地方所产生的场,这和开头所说“地球在外面所产生的引力,正像地球质量全部集中在地心所产生的力一样”是同一个概念。

     

    这么一个普通人看来也许很是常理的问题,如果用微积分证明会显得很繁琐,利用场的概念和高斯定理,干净利落地证明它的存在性,这得感叹完美的几何学和伟大的造物主,恩,这是一个奇迹。

     

    (二)无限大薄片的引力场大小

     

    我们可以利用这个奇迹去解决更多的问题。

     

    譬如考虑一个无限大物质薄片作用于一个物体上的万有引力,显然薄片对点P的吸引是指向薄片的。设这块无限大薄片的面密度为ρ,那么如何求出P处的单位质量的万有引力呢?我们以往的做法就是取一个长度元dl,做出这个长度元对点P的引力,然后对整个无限大面积求积分即可。如下图的左边那样。

     

    现在可以换一种方式,利用高斯定理,如上图右边,取一个立方体一样的闭合曲面做为高斯面,包围住一定面积的薄片,被包围的面积为S,由于面密度为ρ,那么这块物质的质量即为ρS

     

    薄片上下两面都会存在引力场,所以它的引力线的通量为:

     

    因为之前推论过,任意一个闭合曲面内的引力场的通量都与形状无关,只与内部的质量的多少有关,即为—4πGM,所以,联立下式:

     

    这个答案与利用积分得到的是完全一样的,显然是正确的,但可以看到一个奇妙的地方,它与距离无关,是一个定值!按照常规的理解,当物体离这个面越来越远,以至于非常遥远时,它应该是感觉不到薄片对它的吸引了,但事实并非如此,因为薄片是无限大的!这是一个无限大和无限小相乘的问题,结果不为0,为一个定值。其实也可以这样考虑,费曼说:如果我们接近这个无限大薄片,那么这块薄片上的绝大部分物质是处于不适宜的角度在吸引我们,假如我们离的远一些,则薄片上有较多的物质处于更有利的角度把我们拉向薄片,在任何距离上,最有效的物质位于一定的圆锥内。多么精辟形象的分析!再次敬佩老顽童费曼。

     

    (三)球壳的内部不存在引力吗?

     

    还有一个有趣的问题,如果把地球地壳以下的东西都掏空,只剩一个地球壳(当然,这只是一个想象),那么如果一个人跑到这个地球壳内部去了,人会呈现一个什么状态呢。事实上是,人会漂浮在里面,不受任何引力的作用,你可以在地球壳内部的东边岩石上一蹬腿,经过一段时间,你就飘到地球西边去了........

     

    单纯地从几何学上来说,是很显然易见的。

     

    人随便处在内部的某一个位置,分别取上下两个对称的面,这两个面的面积并不是相等的,a面比b面大,面积之比a/b=r1^2/r2^2,所以ab处的质量之比等同于面积只比,于是,aP处产生的引力大小与bP处产生的大小的比为:

     

    从而得出,abP的吸引力的大

    小是完全相等的,所以在这个方向上由于两个同等大小的力互相拉扯最终不受力,依此类推,整个球体可以分割为无数对这样的两个小曲面,所以,只要是球壳内部,是不会受到引力的作用的。

     

    如果利用高斯定理,不经过任何计算便可得到这个结论,因为在球内随便选取一个高斯面,在这个高斯面的内部不可能存在质量,没了这个质量源,它向内的通量就是0,即不存在“引力线”,也就不会受到引力的作用。有趣的结论在于,若真存在这样一个只有地壳的世界,那么坐在地表的牛顿还依然会被落下的苹果砸到,但倘若掉进了地球这个空空的内部,就只有飘来飘去了。电磁学也是如此,金属外壳所造成的电磁屏蔽,一样是这个道理。

     

    (四)牛顿体系下的引力场方程

     

    引力做为一个典型的保守力,可以利用它的场的概念,一步步导出引力势,以及它的引力场方程。不妨先看看一个单位质量物质的引力场是如何的:

     

    物质相互间吸引,这个场由外向内,表明了引力的方向。

     

    保守力一个很重要的特点就是它沿任意一个环路的曲线积分为0,从A选取一个路线到B,再从BA,不论这个环路多么曲折,它与引力的积分依然是0,若把这条道路一份为二,那么可以得出AB曲线积分和BA曲线积分的大小是相同的,只不过方向相反,所以最后相加结果为,这样,可以认为,AB与引力的积分,与随意选取哪条路径无关,得出的结果都是一个固定值,(高等数学中的格林公式就讨论了曲线积分与路径无关的条件)。势的概念就很理所当然的出现了。

     

    在一个场内,我们把一个物体从A处移到B处,对对它所做的功就是其势能的变化

     

    继续利用微元思想,选取一段很小的距离,那么引力所做的功为(方向问题,所以为负)

     

    引力的矢量可以表示为引力势场的梯度的负方向,我们都知道,引力势在无限远处最大,为0,标量场的梯度是由小到大变化最快的方向,所以梯度方向由里朝外,而引力方向由外朝里,与上述公式完全相符。

     

    另外在高等数学中曾经证明过,一个矢量通过曲面的通量等于这个矢量的散度对体积的积分,对于引力来说,它的通量又为定值—4πGM,所以

     

    最后的公式,就是牛顿体系下的引力场方程,是一个泊松方程的形式,为什么非要特指牛顿经典力学体系,因为这与爱因斯坦广义相对论的引力理论有所区别,不同之处在于,爱因斯坦引进了空间度规,把引力几何化,时空的弯曲造成了引力场的存在。以下便是爱因斯坦重力场方程:

     

    这里引进了很多张量,与牛顿那个简洁的场方程似乎一点都不一样,然而,在弱场近似以及慢速近似的情况下,爱因斯坦场方程可以经推导简化为牛顿场方程,两者是有联系的,只不过爱因斯坦描述的是真理,牛顿的方程则是真理在某一方面的极限。

     

    虽然暂且对这个公式毫无头绪一点看不懂,但毕竟是爱因斯坦毕生的最高成就,先行感叹下。在我看来,牛顿熟练地运用自创但并未公布的微积分发现了上帝的游戏规则,更是建立起了现代数学和科学的基石,他绝对是文明史上做出最大贡献的人,爱因斯坦同样伟大,不畏权威,才让我们能更清楚地看清这个世界。

     

     

    参考书目:《费恩曼物理学讲义》

     

                                                                                                                              Whyeemcc

                                                                                                                             2011815

    展开全文
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  • 深入浅出讲解麦克斯韦方程

    万次阅读 多人点赞 2016-01-04 11:37:30
    小结一下,我们已经搞清楚了麦克斯韦方程组里每一项的意思,基本就是指出了电磁的来源和变化电磁的定量关系。下一步便是往我们这些粗浅的理解中加入数学,具体看看这些方程到底说了什么。在这之前,我们必须花...


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    花了好长好长时间写的,请不要转载。还有几个有意思的话题还没有涉及,以后有空再更新。

    11/7更新:上了知乎日报,瞬间过了500赞!希望大家都能有所收获!更新了梯度和电荷守恒的一些内容。可能答案已经太长了,能看到结尾的人应该少之又少吧。。。
    11/4更新:过200赞了!更新了方向性的讨论,还有所有省略的公式,供感兴趣的同学查看。
    11/2更新:过百赞了!谢谢大家支持!更新了微分形式的解释、和电磁波的话题。


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    题主简直坑爹。不讲微积分怎么给你讲麦克斯韦方程组?你不知道麦克斯韦方程组里面每个方程都是一个积分或者微分么??那既然这样,我只能躲躲闪闪,不细谈任何具体的推导和数学关系,纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。


    1. 力、能、场、势

    经典物理研究的一个重要对象就是 力force。比如牛顿力学的核心就是 F=m a这个公式,剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。但是力有一点不好,它是个 向量vector(既有大小又有方向),所以即便是简单的受力分析,想解出运动方程却难得要死。很多时候,从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。 能量energy说到底就是力在空间上的积分(能量=功=力×距离),所以和力是有紧密联系的,而且能量是个 标量scalar,加减乘除十分方便。分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力,从能量出发,算运动方程比牛顿力学要简便得多。

    在电磁学里,我们通过力定义出了 场field的概念。我们注意到洛仑兹力总有着 F=q( E+ v× B)的形式,具体不谈,单看这个公式就会发现力和电荷(或电荷×速度)程正比。那么我们便可以刨去电荷(或电荷×速度)的部分,仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。也就是说,场是某种遍布在空间中的东西,当电荷置于场中时便会受力。具体到两个电荷间的库仑力的例子,就可以理解为一个电荷制造了电场,而另一个电荷在这个电场中受到了力,反之亦然。类似地我们也可以对能量做相同的事情,刨去能量中的电荷(或电荷×速度),剩下的部分便是 势potential

    一张图表明关系:
        积分
      力--->能
      |    |
      场<---势
        微分

    具体需要指出,这里的电场(标为 E)和磁场(标为 B)都是向量场,也就是说空间中每一个点都对应着一个向量。如果我们把xyz三个分量分开来看的话,这就是三个标量场。而能量和势是标量(电磁学中的势其实并不是标量,原因马上揭晓),放到空间中也就是一个标量场。在力/场和能量/势之间互相转化的时候,我们是在3<->1个标量场之间转化,必然有一些信息是丢掉了的。怎么办?

    一个显而易见的答案是 “保守力场”conservative force field。在这样一个场中,能量(做功)不取决于你选择什么样的路径。打个比方,你爬一座山,无论选择什么路径,只要起点和终点一样,那么垂直方向上的差别都是一样的,做的功也一样多。在这种情况下,我们对力场有了诸多限制,也就是说,我假如知道了一个保守力场的x一个分量,那么另两个分量yz就随之确定了,我没得选(自由度其实只有一个标量场)。有了保守力场这样的额外限制,向量场 F(3个标量场)和(1个)标量场V之间的转化便不会失去信息了。具体而言,二者关系可以写作 F=- V。这里不说具体细节,你只要知道 是一种固定的、把一个标量场变成三个标量场的算法就可以了(叫做 算符operator)。

    那么我们想问,电场和磁场是不是保守力场呢?很不幸,不是。在静电学中,静止的电场是保守的,但在电动力学中,只要有变化的电场和磁场,电场就不是一个保守力场了;而磁场从来都不是保守力场。这也就是说明,在电磁学中,我们很少涉及能量这个概念,因为它不能完整地描述一个电磁场。我们更多时候只关注“场”这个概念,尽管因此我们不得不涉足很多向量微积分,但我们没有办法,这是不让信息丢掉的唯一办法。那么,既然势也是标量,它是否也是一个没什么用的概念呢?恰恰相反,在电动力学中我们定义出了 “向量势”vector potential,以保留额外的自由度。后面我会更具体地谈到这一点。

    总而言之,我想说明一点,那就是电磁学的主要研究对象是电场和磁场,而麦克斯韦方程组就是描述电场和磁场的方程。势(包括电势和磁向量势)也是有用的概念,而且不像引力势是一个标量,在电磁学中势不得不变成一个向量。


    2. 麦克斯韦方程组

    前边说到, 麦克斯韦方程组Maxwell equations是描述电场和磁场的方程。前边也说到,因为电磁场不是保守力场,它们有三个标量场的自由度,所以我们必须用向量微积分来描述电磁场。因此,麦克斯韦方程组每个式子都出现了向量微积分,而整个方程组也有 积分形式微分形式两种。这两种形式是完全等价的,只是两种不同的写法。这里我先全部写出。

    积分形式:
    \text{(1-1)} \quad \oiint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_V}{\epsilon_0},
    \text{(1-2)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a},
    \text{(1-3)} \quad \oiint_{\partial V} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a} = 0,
    \text{(1-4)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_S + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a}.

    微分形式:
    \text{(2-1)} \quad \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0},
    \text{(2-2)} \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B},
    \text{(2-3)} \quad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,
    \text{(2-4)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}.

    这里 E表示电场, B表示磁场,ε0和μ0只是两个常数暂时可以忽略。积分形式中Q是电荷,I是电流,V表示一块体积,∂V表示它的表面,而S表示一块曲面,∂S表示它的边缘。微分形式中ρ是电荷密度(电荷/体积), J是电流密度(电流/面积), ∇·∇×是两个不同的算符,基本可以理解为对向量的某种微分。

    先不说任何细节,我们可以观察一下等式的左边。四个方程中,两个是关于电场 E的,两个是关于磁场 B的;两个是曲面积分∫d a或者散度 ∇·,两个是曲线积分∫d l或者旋度 ∇×。不要管这些术语都是什么意思,我后面会讲到。但光看等式左边,我们就能看出四个式子分别描述电场和磁场的两个东西,非常对称。


    3. 电荷->电场,电流->磁场

    这一部分和下一部分中,我来简单讲解四个式子分别代表什么意思,而不涉及任何定量和具体的计算。

    我们从两个电荷之间的库仑力讲起。 库仑定律Coulomb's Law是电学中大家接触到的最早的定律,有如下形式:
    \text{(3)} \quad \mathbf{F} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r^2} \mathbf{\hat{r}},
    其中Q是电荷,r是电荷之间的距离, r是表示方向的单位向量。像我之前说的,把其中一个电荷当作来源,然后刨去另一个电荷,就可以得到电场的表达式。

    高中里应该还学过 安培定律Ampere's Law,也就是电流产生磁场的定律。虽然没有学过具体表达式,但我们已经能看出它与库仑定律之间的区别。库仑定律描述了“两个”微小来源(电荷)之间的“力”,而安培定律是描述了“一个”来源(电流)产生的“场”。事实上,电磁学中也有磁场版本的库仑定律,描述了两个微小电流之间的力,叫做 毕奥-萨伐尔定律Biot-Savart Law;反之,也有电场版本的安培定律,描述了一个电荷产生的磁场,叫做 高斯定律Gauss's Law。这四个定律之间有如下关系:
                电场     磁场
    两个微小来源之间的力
     库仑定律 毕奥-萨伐尔定律
    单个来源产生的场   高斯定律   安培定律

    数学上可以证明库仑定律(毕奥-萨伐尔定律)和高斯定律(安培定律)在静电学(静磁学)中是完全等价的,也就是说我们可以任意假设一个定律,从而推导出另一个定律。然而如果我们想从静止的静电学和静磁学推广到电动力学,前者是非常不便的而后者很却容易,所以尽管库仑定律在中学中常常提到,麦克斯韦方程组中却没有它,有的是高斯定律和安培定律。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的(1)和(4)的第一项,即:

    高斯定律(积分、微分形式):
    \text{(4-1)} \quad \oiint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_V}{\epsilon_0},
    \text{(4-2)} \quad \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}.
    安培定律(积分、微分形式):
    \text{(5-1)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_S,
    \text{(5-2)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}.

    我们继续推迟讲解数学关系,单看这几个式子本身,就能看到等式的左边有电场 E(磁场 B),而右边有电荷Q(电流I)或电荷密度ρ(电流密度 J)。看, 电荷产生电场,电流产生磁场


    4. 变化磁场->电场,变化磁场->电场

    然而这不是故事的全部,因为事实上电磁场是可以互相转化的。法拉第发现了电磁感应,也就是说变化的磁场是可以产生电场的,这就是 法拉第定律Faraday's Law。类似地,麦克斯韦发现安培定律的描述并不完善,除了电流以外,变化的电场也可以产生磁场,这被称为 安培-麦克斯韦定律Ampere-Maxwell Law。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的(2)和(4)的第二项,即:

    法拉第定律(积分、微分形式):
    \text{(6-1)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a},
    \text{(6-2)} \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}.
    安培-麦克斯韦定律(积分、微分形式):
    \text{(7-1)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a},
    \text{(7-2)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}.

    同样地,等式的左边有电场 E(磁场 B),而右边有磁场 B(电场 E)的导数d/dt或偏导∂/∂t。看, 变化磁场产生电场,变化电场产生磁场

    需要指出的是,我这样的说法其实是不准确的,因为并不是真的某一个场“产生”的另一个场。这两个定律只是描述了电场(磁场)和磁场(电场)的变化率之间的定量关系,而不是因果关系。

    小结一下,我们已经搞清楚了麦克斯韦方程组里每一项的意思,基本就是指出了电磁场的来源和变化电磁场的定量关系。下一步便是往我们这些粗浅的理解中加入数学,具体看看这些方程到底说了什么。在这之前,我们必须花一点时间了解一下向量微积分的皮毛。


    5. 向量积分

    普通的单变量微积分基本可以理解为乘法的一种拓展。我们想计算一个矩形的面积,我们用长x乘宽y,即xy。如果宽不是一个定值而是根据长而变化的(也就是说宽是一个长的函数,即宽=y(x)),那么我们就需要积分,记为“∫y(x)dx”。这样的想法也很容易推广到更高的维度,比如在一块体积V内,若电荷密度为ρ,那么这块体积内的总电荷就是Q=ρV;如果ρ在空间中每一点都不一样,是个关于坐标的函数ρ(x),那么就要变成积分Q=∫∫∫ρ(x)dV(这里三个∫表示是一个三维的积分,很多时候也可以省略写为一个∫)。

    在向量场中,这个事情比较麻烦。首先两个向量的乘积的定义稍显复杂,必须使用 点乘dot product,即 u·v,它暗示着两个向量之间的角度,也就是有多么平行。如果 uv完全平行,它们的点乘是一个正值;如果方向相反,则是一个负值;如果垂直,那么为0。另一方面,我们不一定要像上一个电荷的例子一样积上整个体积V,我们可以只积一个曲面S或者一条曲线γ。这就是所谓的曲面积分和曲线积分的概念。

    曲面积分surface integral有如下形式:
    \text{(8)} \quad \int_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{a},
    其中S表示我们需要积的曲面, F是我们想要积的向量场, ·代表点乘, a指向垂直于S的方向。因此,我们看到,如果 F和S是平行的,那么点乘处处得0,这个曲面积分也为0。换句话说, 曲面积分表示着向量场F穿过曲面S的程度,因此也很形象地叫做 通量flux。下图为两个简单的例子(虚线----表示曲面所在的位置):

    曲面积分(通量)为0:
    → → → → →
    --------------------
    → → → → →

    曲面积分(通量)不为0:
    ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
    --------------------
    ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

    那么 曲线积分line integral也很类似,只不过我们不积一个曲面S而是一个一维的曲线γ。它有如下形式:
    \text{(9)} \quad \int_\gamma \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l},
    其中γ表示我们需要积的曲线, ·代表点乘, l指向曲线γ的方向。不难看出, 曲线积分表示着向量场F沿着曲线γ的程度。下图为两个简单的例子(虚线----表示曲线γ):

    曲线积分不为0:
    → → → → →
    --------------------
    → → → → →

    曲线积分为0:
    ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
    --------------------
    ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

    特别地,如果曲线是闭合的(首尾相连的),那么我们可以在积分符号∫上画一个圈,表示闭合,然后这个特殊的曲线积分叫做 环量circulation,因为是积了一个环嘛。很显然,如果 F是个保守力场,那么我随便找一个闭合曲线,做的功都一定为0(这就是保守力场的定义啊),所以 保守力场的任意环量都为0。最后一提,“环量”这个名字很少使用,一般就直接叫做“闭合曲线的积分”。

    定义一个通量所使用的曲面S则不一定要是闭合的,任何曲面都可以。如果这个曲面很特殊恰好是闭合的,我们也可以在积分符号∫∫上画上一个圈,代表闭合,但这个量则没有一个特殊的名字了。

    总结如下表:
          曲面积分 曲线积分
    表示向量场
     通过曲面 沿着曲线  的程度
    又叫做
        通量   --
    若为闭合   --   环量


    6. 麦克斯韦方程组的积分形式

    我非常不严谨地描述了曲面积分和曲线积分分别是什么。我们回头看看麦克斯韦方程组的积分形式,我们应该都能看懂了。
    \text{(10-1)} \quad \oiint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_V}{\epsilon_0},
    \text{(10-2)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a},
    \text{(10-3)} \quad \oiint_{\partial V} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a} = 0,
    \text{(10-4)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_S + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a}.

    (1) 高斯定律:    电场 E在闭合曲面∂V上的通量,等于该曲面包裹住的体积V内的电荷(乘上系数1/ε0);
    (2) 法拉第定律:   电场 E在闭合曲线∂S上的环量,等于磁场 B在该曲线环住的曲面S上的通量的变化率(乘上系数-1);
    (3) 高斯磁定律:   磁场 B在闭合曲面∂V上的通量,等于0;
    (4) 安培麦克斯韦定律:磁场 B在闭合曲线∂S上的环量,等于该曲线环住的曲面S里的电流(乘上系数μ0),加上电场 E在该曲线环住的曲面S上的通量的变化率(乘上系数μ0ε0)。

    虽然在我看来,这样的描述已经是非常通俗、没有任何数学了,但对于没有学习过微积分的同学来说,显然还是太晦涩了一点。那么我来举几个例子吧。

    (1) 高斯定律:

    例子1
    :假设我们有一个点电荷Q,以其为球心作一个球,把这块体积称为V,那么∂V就是这个球的表面。这个电荷Q产生了一些电场,从中心的Q向外发射,显然电场线都穿过了球的表面∂V,所以“闭合曲面∂V的通量”是个正数,不为0,而“该曲面包裹住的电荷”为Q,也不为0。

    例子2:假设我们把电荷Q替换为-Q,那么所有的电场线方向都反过来了,∂V的通量(记得通量中的点乘吗?)也因此获得了一个负号,所以“闭合曲面∂V的通量”变成了负数,而“该曲面包裹住的电荷”为-Q,也变成了负数。等式再一次成立。

    例子3:假设我们把这个球的半径扩大为原来的2倍,这个球的表面积就变成了原来的4倍。与此同时,由于库仑力的反比平方定律,由于球表面与球心电荷Q的距离变成了原来的2倍,在球表面∂V的电场强度也变成了原来的1/4。通量(电场和面积的积分)获得一个系数4,又获得一个系数1/4,所以“闭合曲面∂V的通量”没有变,而“该曲面包裹住的电荷”显然仍然为Q,也没有变。

    例子4:事实上,我们随便怎么改变这一块表面积的大小、体积,算出来的通量都不会变(尽管会非常难算),因为等式的右边“该曲面包裹住的电荷”一直都没有变。

    例子5:假设我们把电荷移到这个曲面外面,那么电场线会从这个球的一面穿透进去,然后从另一面出来,所以当我们做积分的时候,两个方向的通量抵消了,整个“闭合曲面∂V的通量”为0,而此时我们的曲面没有包裹住任何电荷,所以“该曲面包裹住的电荷”也为0。等式成立。

    (2) 法拉第定律:

    例子6:
    一圈闭合导线,环住了一块曲面S,则记这个曲线的位置为∂S,那么经过∂S的电场 E的环量其实就是导线内的电势(电压)。垂直于S通过一些磁场 B,则通过S的磁通量不为0。然而此时导线内并没有电流,也就是说,并没有电压,“闭合曲线∂S的环量”为0。这是很显然的,因为磁通量并没有变化,没有电磁感应,换句话说,“曲面S上的通量的变化率”为0。

    例子7:这个时候我突然增加磁场,所以磁通量变大了,“磁通量的变化率”为正,不为0。因此,等式的左边“闭合曲线∂S的环量”也为正,不为0,也就是说,导线内产生了一些电压,继而产生了一些感应电流。这正是大家熟悉的法拉第电磁感应。

    例子8:如果我不是增加磁场,而是减小磁场,那么磁通量变小了,“磁通量的变化率”为负。那么等式左边“闭合曲线∂S的环量”也获得了一个负号,换句话说,感应电流的方向反了过来。

    (3) 高斯磁定律:

    例子9
    :随便选择一个闭合曲面,整个曲面上的磁通量一定为0。这和电场的情况迥然不同,因此说明,不像有可以产生电场的“电荷”,这个世界上是没有能单独产生磁场的“磁荷”(也就是“磁单极子”)的。

    (4) 安培-麦克斯韦定律:

    例子10
    :假设我们有一个电流I,以其为轴作一个圆,把这个圆称为S,那么∂S就是这个圆的边缘。这个电流I产生了一些磁场,(按照右手定则)绕着导线。显然磁场线和∂S都是“绕着导线”,方向一致,所以“闭合曲线∂S的环量”是个正数,不为0,而“该曲线环住的电流”为I,也不为0。

    例子11:假设我们改变电流方向,即把I变成-I,那么所有的磁场线方向都反过来了,∂S的环量也因此获得了一个负号,所以“闭合曲线∂S的环量”和“该曲线环住的电流”均获得一个负号。等式再一次成立。

    例子12:和高斯定律很像,我们随便怎么改变这一个环的大小、面积,只要环住的电流不变,算出来的环量都不会变(尽管可能会非常难算)。而若电流在这个环外面,尽管仍然有磁场存在,但在计算环量时相互抵消,使得等式两边都变成0。

    例子13:“变化的电场产生磁场”(即第二项)的例子非常难找,这也正是安培当年没有自己发现、非要等到麦克斯韦帮忙才发现的原因。我这里不妨不再细述,读者只要接受这个设定就好。有兴趣的读者可以自己思考一个这种情况的例子。

    最后,还记得我们之前说过“保守力场的任意环量都为0”吗?显然,要想让磁场的环量为0,那就只能既没有电流(方程(4)中的第一项),也没有变化的电通量(第二项),那么磁场只能为0。换言之,任何磁场都不是保守力场。想让电场的通量为0还比较简单,只需要令磁通量不变(方程(2))就好了。换言之,只有在静电学(电磁场均静止不变)中,静电场才是保守力场。


    7. 向量微分

    麦克斯韦方程组描述了所有的电磁现象,从每个方程的名字也可以看出,方程组总结、整合了前人(库仑、高斯、安培、法拉第等)发现的各种现象和其方程(在麦克斯韦以前这样的方程可能有数十个),而麦克斯韦把它们总结归纳到了一起,用短短四个公式涵盖了所有现象,非常了不起。然而平心而论,积分形式仍然显得颇为繁琐,原因有二:1. 积分是很难算的,虽然每一个方程的左右两边都必然相等,但随便给你一个场和一个曲面/曲线,想把左侧的积分算出来极为困难;2. 也正因为如此,我们尽管有可以描述电磁场的方程,但给定一个特定的来源(比如天线中一个来回摇摆的电荷),我们想算出具体的 EB也是极为困难,因为我们只知道E和B在某个特殊曲面/曲线上的积分。

    这就是微分形式的好处。首先,计算一个给定向量场的微分(散度和旋度)是很简单的,只要使用之前提到过的 ∇·∇×算符就好,而这两个算符都有一套固定的算法。其次,散度和旋度代表着一个向量场的两种不同的自由度,有着非常直接的几何意义,从这两个量中恢复出向量场也是比较直观的过程。当然,我们又需要再准备一些向量微积分的知识,其中的重点就是散度和旋度。

    散度divergence,顾名思义,是 指一个向量场发散的程度。一个向量场 F的散度是一个标量场(向量场的每一点有一个自己的散度),写作 ∇·F(这个写法也很直白,因为点乘就是标量)。如果一个点的散度为正,那么在这一点上 F有向外发散的趋势;如果为负,那么在这一点上 F有向内收敛的趋势。

    旋度curl指一个向量场旋转的程度。一个向量场 F的旋度是一个向量场(向量场的每一点有一个自己的旋度,而且是一个向量;这是因为旋转的方向需要标明出来),写作 ∇×F(这个写法也很直白,因为叉乘就是向量)。如果一个点的旋度不为0,那么在这一点上 F有漩涡的趋势,而这个旋度的方向表明了旋转的方向。

    举些例子,以下是两个向量场的例子。其中第一个向量场往外发散,但完全没有旋转扭曲的趋势;第二个向量场形成了一个标准的漩涡,但没有任何箭头在往外或往里指,没有发散或收敛的趋势。(显然这两个图都是用字符直接画的;大家凑合着看,有空我再搞张好看点的图)

    散度不为0、但旋度为0的向量场:
    ↖ ↑ ↗
    ← · →
    ↙ ↓ ↘

    旋度不为0、但散度为0的向量场:
    ↗ → ↘
    ↑ · ↓
    ↖ ← ↙

    因此,如你所见,散度和旋度描述的都是非常直观的几何性质。只要知道一个向量场的散度和旋度,我们就可以唯一确定这个向量场本身(这是亥姆霍兹定理,我要是有兴致可以以后简单谈谈)。

    麦克斯韦方程组的微分形式,就是要描述电磁场的散度和旋度。我前边说到,微分形式和积分形式是完全等价的,我很也可以很轻松地从一个形式推导出另一个形式,用的是高斯定理(不要和高斯定律混淆、又叫散度定理)和斯托克斯定理。

    高斯定理Gauss's Theorem:一个向量场 F在闭合曲面∂V上的通量,等于该曲面包裹住的体积V里的 F全部的散度( F的散度的体积积分)。这是可以想象的,毕竟通量就是在计算有多少场从这个闭合曲面里发散出去了,也就是总共的散度(散度的积分)。

    斯托克斯定理Stokes' Theorem:一个向量场 F在闭合曲线∂S上的环量,等于该曲线环住的曲面S上的 F全部的旋度( F的旋度的曲面积分)。这也是可以想象的,毕竟环量就是在计算有多少场和这个环方向一样(有多少场在沿着这个环旋转),也就是总共的旋度(旋度的积分)。

    总结如下表:
         曲面积分  曲线积分
    积分形式
      通量    环量
    联系   高斯定理 斯托克斯定理
    微分形式  散度    旋度


    8. 麦克斯韦方程组的微分形式

    了解了散度和旋度的概念之后,我们便可以读懂麦克斯韦方程组的微分形式了。
    \text{(11-1)} \quad \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0},
    \text{(11-2)} \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B},
    \text{(11-3)} \quad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,
    \text{(11-4)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}.

    (1) 高斯定律:    电场 E的散度,等于在该点的电荷密度ρ(乘上系数1/ε0);
    (2) 法拉第定律:   电场 E的旋度,等于在该点的磁场 B的变化率(乘上系数-1);
    (3) 高斯磁定律:   磁场 B的散度,等于0;
    (4) 安培麦克斯韦定律:磁场 B的旋度,等于在该点的电流密度 J(乘上系数μ0),加上在该点的电场 E的变化率(乘上系数μ0ε0)。

    我们可以看出,电荷和电流对电场和磁场干的事情是不一样的:电荷的作用是给电场贡献一些散度,而电流的作用是给磁场贡献一些旋度。然而变化的电磁场对对方干的事情是一样的,都是给对方贡献一些旋度。

    想看一些具体例子的同学要失望了。微分形式的例子比较难举,因为微分形式主要是让计算更加简便,在数学上比较有优势,而应用到具体的现象上则不那么显而易见。不过,至少静电磁场的例子还是可以举的。比如,我们知道电场线总是从正电荷出发、然后进入负电荷,这正是在说电场的散度在正电荷处为正,在负电荷处为负。再例如我们知道磁场线总是绕着电流,而不会进入或发源于电流,这也就是在说磁场有旋度而一定没有散度。


    9. 电磁波

    我刚刚提到,微分形式的主要好处是数学上处理起来很简便,我现在就给一个例子,也就是著名的光速。想象我们在真空中,周围什么都没有。这个时候,显然电荷密度和电流密度均为0,所以麦克斯韦方程组的微分形式变成了:
    \text{(12-1)} \quad \nabla \cdot \mathbf{E} = 0,
    \text{(12-2)} \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B},
    \text{(12-3)} \quad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,
    \text{(12-4)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}.

    这四个公式简直太对称了!而且它们的含义也很清晰,基本就是说,变化的电场产生磁场,而变化的磁场产生电场。这就是 电磁波electromagnetic wave的方程,电磁波也就是电场和磁场此消彼长、相互转化、向前传播的形式。

    想要具体解出这个方程的解,还是需要玩儿一会儿微积分的,但是我们注意到两个式子分别有系数-1和μ0ε0。如果你了解波动方程的话,从这两个系数就可以算出这个波传播的速度,为
    \text{(13)} \quad c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}.

    然而!μ0和ε0这两个常数是真空的性质(分别叫做 真空电容率vacuum permittivity真空磁导率vacuum permeability),是个定值。换句话说, 电磁波传播的速度(光速)也是一个定值!也就是说,在任何参考系里观察,光速都应该是一样的c!这根据伽利略速度相加原理是不可能的(静止的你认为火车的速度是50 m/s,那么如果你以1 m/s的速度往前走你就会认为火车的速度只有49 m/s,显然不会仍然是50 m/s),但是电磁学却实实在在地告诉我们光速是不会变的。呐,这就是相对论的由来了。


    10. 方向性

    可能有同学已经发现,我们的讨论中似乎忽略了很重要的一部分就是方向性。毕竟初高中学电磁的时候,出现了各种左手、右手定则(插一句,请一定一定忘掉左手定则,使用左手简直反人类,在正统的向量微积分和电磁学里 只有右手定则)。在之前对于麦克斯韦方程组的诠释中,我们似乎很少提及方向。麦克斯韦方程组描述了方向性吗?

    答案是肯定的。方向或者说手性(为什么是“右手”定则而不是“左手”定则?)来自于叉乘的定义和面积的向量微分元素的定义。我们定义叉乘 u×v是一个向量,指的方向是垂直于 uv的方向;但显然有两个不同的方向均满足这个条件,而我们选择了其中特定的一个,把选择的这个规则叫做“右手定则”。类似地,一个曲面S也有两个方向(即其微分元素d a是向量)。注意到曲线积分也是有方向性的(即其微分元素d l也是向量),因此我们把S的d a和∂S的d l联系起来,这个联系的规则也叫做“右手定则”。

    上面这些情况中,选择“右手”是非常随意的;原则上我也可以全部选择左手,那么我得到的数学体系和原来的是完全等价的。当然,磁场 B会和原来的磁场指的方向完全相反,但是没有关系,因为我们又不能直接看到磁场,所有的定律的手性都变了之后,描述的物理是不变的。但是,选择右手是约定俗成的,也就没必要再纠结为什么了。


    11. 梯度、二次导数

    我在之前说到保守力场的时候,偷偷塞进来过这样一个式子: F=- V。这里 F是个向量场,V是个标量场。我们看到,这个神奇的倒三角不但可以表示散度(把向量变成标量)和旋度(把向量变成向量),还可以这样把一个标量场变成一个向量场!数学上这个倒三角叫 Nabla算符,而 V叫做一个标量场V的梯度。

    什么叫做梯度呢?其实相比于散度和旋度,这应该是更加熟悉的概念。 梯度gradient就是 一个标量场变化的程度。我们可以把一个标量场想象成一个山坡,每一点的梯度是一个向量,指的方向是上坡的方向,大小则是坡的陡峭程度。

    总结一下我们见到的三种向量微分吧:
          梯度 散度 旋度
    作用在一个 
    标量 向量 向量  场上
    表示这个场 
    变化 发散 旋转  的程度
    得到一个  
    向量 标量 向量 
    写作    ∇
    V   ∇·F∇×F

    于是从 F=- V这个公式我们看到,保守力场(比如引力场)可以表示为某个标量场(比如引力势能)的梯度。之前说过,保守力场的环量/旋度一定为0。这也就是说,梯度的旋度一定为0。这是可以想象的,梯度指的是上坡的方向,而如果它有旋度,就意味着它们的指向可以形成的一个环,在这个环上可以一直上坡。这就像彭罗斯楼梯,是不可能的情形。

    还有一个类似的定理,是说旋度的散度一定为0。我们也来想一下几何上这意味着什么。如果旋度有散度,就意味着在某个球上散度都在往球外指,也就意味着在球上每个点这个场都是逆时针旋转的。想想也知道这是不可能的。所以我们得到了两个重要的结论:

    1. 任意标量场V的梯度∇V都是没有旋度的,也就是∇×(∇V)=0;
    2. 任意向量场F的旋度∇×F都是没有散度的,也就是∇·(∇×F)=0。


    我说过,这些“X度”都可以认为是场的一种微分,那么这些“X度的X度”就可以认为是二次导数了。我们看到,有两种二次导数都自动为0,不必我们深究。还有一种二次导数也很有名,也就是梯度的散度,它甚至有了一个专门的花哨的名字,叫 “拉普拉斯算符”Laplacian。在此我不作展开,大家只要知道它挺重要的就行。


    12. 电荷守恒

    从麦克斯韦方程组中可以直接推出电荷守恒。这个推导十分简单,且颇为有趣,可以让大家看到向量微积分的方便之处,我就简要写一下:

    首先我们有安培-麦克斯韦定律:
    \text{(14-1)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E},
    两边同时取散度:
    \text{(14-2)} \quad \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = \mu_0 \nabla \cdot \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \nabla \cdot \left( \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E} \right),
    注意到左边是磁场的旋度的散度,而旋度的散度一定为0,故左边为0。右边交换散度和时间导数,并约掉μ0,得:
    \text{(14-3)} \quad 0 = \nabla \cdot \mathbf{J} + \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot \mathbf{E}),
    使用高斯定律:
    \text{(14-4)} \quad \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0},
    代入原式,约掉ε0,得:
    \text{(14-5)} \quad 0 = \nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial}{\partial t} \rho.

    这个就是电荷守恒的公式。用语言说,就是 电流密度的散度加上电荷密度的变化率一定为0。如果这比较抽象,我们可以对两项同时体积积分,再对 J那项使用高斯定律变成面积积分,则结论变成:
    一块体积V内的电荷的变化率加上通过表面∂V的电流一定为0。

    举个栗子,如果一块体积内的电荷Q变少了,其变化率为负,根据上述结论,通过表面的电流一定为正,也就是说有电流从这块体积内流出去了。这就是非常明显的电荷守恒了,给出了电荷和电流的关系,这个公式也叫 “连续性方程”continuity equation。连续性方程在流体力学里十分重要,甚至在量子力学里的概率也遵守这个方程(电荷->概率,电流->概率流)。


    S1. 附录:省略掉的各种公式和定义

    库仑定律:
    \text{(S1)} \quad d\mathbf{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{dQ \mathbf{\hat{r}}}{r^2}.
    毕奥-萨伐尔定律:
    \text{(S2)} \quad d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I d\mathbf{l} \times \mathbf{\hat{r}}}{r^2}.
    Nabla算符:
    \text{(S3)} \quad \nabla = \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{\hat{x}} + \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{\hat{y}} + \frac{\partial}{\partial z} \mathbf{\hat{z}}.
    梯度:
    \text{(S4)} \quad \nabla V = \frac{\partial V}{\partial x} \mathbf{\hat{x}} + \frac{\partial V}{\partial y} \mathbf{\hat{y}} + \frac{\partial V}{\partial z} \mathbf{\hat{z}}.
    散度:
    \text{(S5)} \quad \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}.
    旋度:
    \text{(S6)} \quad \nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) \mathbf{\hat{x}} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \mathbf{\hat{y}} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \mathbf{\hat{z}}.
    高斯定理:
    \text{(S7)} \quad \oiint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{a} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) dV.
    斯托克斯定理:
    \text{(S8)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) d\mathbf{a}.
    真空中的电磁波:
    \text{(S9)} \quad \nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}, \quad \nabla^2 \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}.
    展开全文
  • 第七章:史瓦西解与粒子运动   史瓦西解是真空解:Rμν=0R...  (2)引力场是静态的,即gμνg_{\mu\nu}gμν​不依赖于ttt   因此史瓦西解具有一定的猜测成分   一般的形式为: dτ2=F(r)dt2−2E(r)dtx⃗⋅dx
  • 此外,本文研究了具有一般物质作用的一般f(R)引力理论,并获得了不同的场方程,一般物质张量和有效物质张量。 此外,本文还获得了有效的强能条件(SEC)和有效的零能条件(NEC)。 然后,我们证明当f(R)接近R时...
  • 我们详细推导了耦合标量-Tachyon反弹宇宙中原始度量摄动张量模式的运动方程。 我们求解反弹前和反弹后时期的重力波方程。 为了匹配张量摄动的解,我们理想化了反弹过程,但保留了反弹宇宙的基本物理属性。 我们提出...
  • 电磁与电磁波:02第二章电磁的基本规律.pdf
  • 推导了黑洞弯曲背景下的零大地测地线方程。 通过扰动和级联方法对生成的轨迹方程进行解析求解,以得到特殊的参数选择,并计算出最接近黑洞的距离。 我们还可以得出透镜方程,给出在弯曲背景下光的弯曲角度。 在强...
  • 推导了质量测试粒子的场方程和运动方程,我们证明了独立连接可以表示为与能量度量相关的,与能量度量相关的辅助度量的Levi-Civita连接,该保形与保形相关。 转型。 类似于度量情况,场方程强加了能量动量张量的不...
  • 我们表明,自相互作用标量函数作为标量场方程的解,可以写成三个Liouville型势能的线性组合。 确定了热力学量,特别是推导了广义的Smarr公式。 结果表明,尽管热力学量受彩虹函数的影响,但黑洞热力学第一定律的...
  • 5.伯努利方程具有伽利略变换的不变性
  • 中国地质大学(北京)地球物理学院安玉林教师自编辑电子书籍; 核心内容为安教授首创的重磁场全方位正反演理论体系成果。 推荐地球物理领域科研工作者(特别是重磁勘探领域)参考学习。
  • 这是我学习电动力学的笔记。适合学过高数,电磁学,线性代数的同学阅读

空空如也

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引力场方程推导