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    全文共2948字,预计学习时长9分钟

    图源:superprof

    伟大的前苏联物理学家列夫·朗道和叶夫根尼·利夫希茨在他们的著作《经典场论》中写道:“建立在相对论基础上的引力场理论被称为广义相对论,它是由爱因斯坦建立的,并且可能是现存的物理理论中最美丽的一个。”

     

    所有认真研究过广义相对论的人都会觉得它具有一种独特的吸引力。20世纪最具影响力的物理学家之一、英国理论物理学家保罗·狄拉克曾说过:

    “很难将牛顿引力理论与其力的瞬时传播相协调,使之符合狭义相对论的要求;然而,爱因斯坦却解决了这一问题,相对论理论也由此诞生——这可能是有史以来最伟大的科学发现。”

    本文中,笔者将结合昌德拉塞卡的文章(任何遗漏或不清楚的细节都可以在作品文章中找到),并试图说明为何这些伟大科学家都做出了如此有力的陈述。

    图源:unsplash

    钟表问题

    仔细观察下图:

     

    根据等效原理,时钟A和时钟B将根据时钟C保持相同的相对时间。

    当时钟向上移动时,根据狭义相对论,时钟A和时钟B测量的时间间隔与真空中的时钟C测量的相应间隔具有以下关系:

     

    结合这两个表达式,可以得到:

     

    在以上方程中还使用到了托里拆利公式和引力势的概念:

     

    现在,如果把时钟B放到没有引力场的位置x上,那么上面的表达式将变成:

     

    公式1:两次的时间间隔如何随引力势U(x)的变化而变化。

     

    等效原理

    在牛顿力学中,有两种概念的质量,即惯性质量和引力质量。前者是一种测量外力阻力的方法(根据牛顿第二定律)。后者是引力场的来源,也是另一个大质量物体对引力场的反应。

     

    根据牛顿万有引力定律,此图展示了相互吸引的两个物体。

    两个质量分别为M与m的物体相距R,它们之间的引力可表示为:

     

    根据牛顿第二定律,物体m(或M)的加速度为:

     

    公式2:惯性质量和引力质量之所以会相等,是因为加速度的大小并不取决于物体的质量。因为加速度是不变的,所以质量比必须是常数。很明显,此时该常数为1。

    事实上,加速度a的大小无关于质量m,这也意味着上述的质量比是一个普适常数。由此推断,惯性质量和引力质量的大小相等。

     

    广义相对论中的时空

    在狭义相对论中,闵可夫斯基距离表现为以下形式:

     

    公式3:狭义相对论中的闵可夫斯基距离。

    其中dτ表示其本征时间。沿世界线的本征时间(物体在时空中的轨迹)是由沿着该线的时钟测量出的时间。

     

    对于给定的事件,该图显示了闵可夫斯基时空的四个不相交细分。

    如上图所示,时空中的世界线可以有以下三种:

    ·        光速曲线,每一点都表示光速。这样的世界线在时空中形成了一个光锥。

    ·        时间曲线。这些速度小于光速的曲线落在光锥内(注意:大质量粒子的世界线都是时间型曲线)

    ·        空间曲线。例如,这些曲线表示物体的长度。

     

    以上各种世界线皆对应一种dτ的符号。

    本征时间dτ的长短取决于时空的性质。在时空的某个区域,如果方程2有效,那么就可以将其代入方程3,并得出:

     

    公式4:由恒定引力场引起的闵可夫斯基时空间隔的变化。

    现在,可以考虑进行坐标变换,将其放入一个匀加速的参考系中。新的x和t变成:

     

    公式5:通过坐标变换将其放入一个匀加速的参考系。

    y和z保持不变。闵可夫斯基区间方程3用该坐标表示如下:

     

    公式6:匀加速的参考系中的闵可夫斯基距离。

    现在,在变换方程5中选择时间小于或等于c/g的次数,并进行简单展开,即新的时空间隔方程3变成:

     

    公式7:用非惯性坐标表示的平直闵可夫斯基时空中的时空间隔。

    注意,它的形式与方程4相同。因此,根据等效原理,转换成一个加速参考系相当于引入一个引力场。

    图源:unsplash

    到目前为止,我们只考虑了闵可夫斯基度量下的小偏差。与爱因斯坦相同,我们也假设,一般来说(不仅是小偏差)引力场的存在扭曲了时空的几何结构。更准确地说,爱因斯坦的引力理论认为,在引力场存在的情况下,时空会成为一个光滑的伪黎曼流形,并具有以下形式的时空间隔:

     

    公式8:伪黎曼流形上的时空间隔。

    在闵可夫斯基时空中,粒子以匀速直线运动:

     

    公式10:在闵可夫斯基时空中,粒子以匀速直线运动。

    在没有重力的情况下,让我们把下列变换成一个曲线坐标系:

     

    公式11:在没有重力的情况下转换成曲线坐标。

    时空间隔变为:

     

    方程12:变换后的时空间隔方程11。

    其中:

     

    方程13:变换后的度量张量公式11。

     

    在上图的惯性参考系中,黑球以直线运动。然而,站在旋转参照系(底部)中的观察者(红点)看到,由于该参照系中存在科里奥利力和离心力,该黑球沿着弯曲的路径行进。

    运动方程10成为普遍存在的测地线方程:

     

    方程14:运动方程10经坐标变换后变为方程11,此时仍然没有重力。

    其中物体被称为克氏符号。

     

    方程15:在测地线方程中出现的克氏符号。

    在方程14中,克氏符号产生一种“明显的”加速度,这种加速度只是在用曲线坐标描述笛卡尔坐标系中的线性运动时产生的。但它们实际上是惯性加速度(例如科里奥利加速度)。

    但是根据等价原理,所有的加速度,无论是惯性加速度还是重力加速度,都是度量:重力扭曲了时空几何(这是一个具有相关度量的拟黎曼流形),并且粒子在时空中沿着方程16给出的测地线进行运动。

     

    方程16:粒子在时空中运动所依据的测地线运动方程。

    推导爱因斯坦引力定律

    在牛顿物理学中,描述引力场的方程是用引力势U来表示的。当没有引力时,只有U=0;当有一个大质量物体,但受其场影响的被测粒子在物体外时,有∇²U=0;在有物质的区域,方程变为∇²U=4πGρ。

    再试试如何把这三个方程应用于广义相对论。

    首先,假设有一个粒子根据方程16来进行运动。如果方程16通过坐标转换可变为方程10,那么这就意味着粒子不在引力场中。

    同样,在目前的重力下,克氏符号在任何坐标变换后都不能消失。利用克氏符号的变换规律就很容易证明,如果要通过一个普通的坐标变换来使得所有的克氏符号都消失,只有当方程17中的四个变换fs对于方程18有解。

     

    方程17:应用于克氏符号的变换。

     

    方程18:克氏符号消失的条件。

    如果所谓的黎曼-克氏张量消失,就会发生这种情况。后者由以下给出:

     

    方程19:黎曼曲率张量或黎曼-克氏张量。

    我们得出结论,引力场不存在的条件是:

     

    方程20:失重的条件。这个方程是U=0牛顿方程在相对论理论下的结果。

    这个方程是牛顿方程U=0的广义相对论版本。可见,∇²U=0最简单的概括是方程20的收缩,即:

    方程21:里奇标量的消失是∇²U=0牛顿方程在相对论下的结果。

    这个消失的物体叫做里奇张量。最后一步是确定∇²U=4πGρ右侧的归纳。在此,首先想到的是能量动量张量。通过狭义相对论,我们可以知道它的导数消失了。但是广义相对论是协变理论,所以标准导数的消失是不够的:我们还需要T的协变导数消失,并且这在所有坐标系中都满足。

     

    但里奇张量的协变导数是非零的。通过引入一个相关且协变导数会消失的张量,即所谓的爱因斯坦张量,这一问题就会得以解决。

     

    在广义相对论中,物体之间的引力效应是时空扭曲的结果。

    因此,爱因斯坦引力定律变成:

     

    通过要求在c → ∞的区间内,可以获得常数k,并且牛顿的理论也能得以应用。

    最美丽的物理理论,你感受到它的魅力了嘛?


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    编译组:孙宇超、虞双双

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  • 最后的公式,就是牛顿体系下的引力场方程,是一个泊松方程的形式,为什么非要特指牛顿经典力学体系,因为这与爱因斯坦广义相对论的引力理论有所区别,不同之处在于,爱因斯坦引进了空间度规,把引力几何化,时空的...

    转自:http://blog.renren.com/share/260663504/8140626257

    来源: 余坤 Whyeemcc的日志

    个月前的某几天在教室里,翻看费曼物理学讲义的时候,上面提到一个非常有趣的问题:“地球对其表面或外面一点所产生的力,正像地球质量全部集中在地心所产生的力一样。我们一直假设问题的答案就是如此,但这种假设的正确性并不明显,因为当靠近一个物体时,有些质量离我们非常近,而有些质量则离开我们较远。当我们把所有的效果加起来,净的作用力正好与质量全部集中在中点的力一样,这似乎是一个奇迹。”——摘自《费曼讲义卷一》

     

    也许费曼怎么也不会想到,“这是一个奇迹”这句话如今会在中国这么火......撇开这个,其实我们在计算天体轨道的时候,往往把天体看做一个质点来对待,不光光是相距太遥远而对它们进行的近似,即便是距离较近的情况下,这也是成立的,原因正如上面所说。于是,费曼便开始证明这个奇迹,物理直觉极高并反感繁琐数学计算的他竟把球体一片片分割最后求积分,这并不像他擅长投机取巧的风格(其实他留了一手在《卷二》)。

     

    于是乎,我坐椅子上苦思冥想,一定有更简便的方法证明这个美妙的理论,结果算了一整张纸,利用前后对称的圆周产生的引力逆推出等效距离等等,结果是:它并不在球心!它并没有简单到我所期望的审美度......就这样草草了事了。

     

    看到卷二电磁学部分,着重引进了场的概念,场的确是个好东西,因为让我更加觉得物理和数学是多么的融洽。场是能量的一种体现,例如一个正电荷,场的能量要在三维空间内铺展开,世界的美妙之处之一在于很多事物都是对称的,你能想象的到,上帝大概会让它以点电荷为中心,向四周发散,就像小球爆炸一样,一个急速暴胀的空间对称的球体,然而,离球心越近的地方所包围住的空间是微小的,从这个小球表面穿出去的场都是点电荷供给的,它是守恒的,所以所含能量较密,如果离的越远,这个球的体积越大,但包含的场依然是里面那个“遥远”点电荷提供的,虽然有限,但依然在球的表面上均匀地分布着,在能量互不“渗透”的前提下,由近到远的时候,它的能量强度必然会受到空间影响,这个逻辑的直接结果是:场强度和半径r有着密切的关系,正是因为这个守恒关系,“有限”的场向外扩展,球的表面积不断以半径的平方系数增大,所以场的强度必须以半径的平方系数减小,总体一来,场的“总和”并没有变,就像一个圆柱体,把它压扁,虽然变矮小了,但却胖了,总的体积并不变。

     

    世界的美妙之处之二在于很多事物都是相似的,引力与电力,如出一辙。我们一样能构造一个引力场,它的强度也是随半径平方缩小,早在200多年前,已被卡文迪许的扭秤实验所证实,同样,他也发现了电力的强度关系。

     

    在第二卷,费曼用高斯定理表述了带电球体的场后,说,同样的证法也可用于引力场,可以比积分更容易证明牛顿的问题。于是我便恍然大悟.....

     

    鼓舞我一步步尝试建立这个模型。

     

     

    (一)质量等效的证明

     

    首先,如上图,参照电磁学,“一根”引力线穿过一个锥形的闭合曲面它的通量会是多少,对于那个较小的面为正,较大的面为负,引力的大小随1/r^2减少,而表面积却正比于r^2(曲面足够小以至于近似于边界为直线),所以对于每个面的通量都会因为r^2的相消而与半径无关,即便两个面不是与引力线垂直的,也会由于引力强度减小一个余弦因子而面积增大一个同样的余弦因子,它们相乘得到的通量依然不变。

     

    现在来看看如果一个单位的质量在闭合曲面内,它的引力线通过这个闭合曲面的通量该是多少。如下图

     

    在这个单位质量的周围我们虚设一个闭合球面,可以看到,我们把这个内含一个空洞的“体”分成无数个细小的锥体,像第一个图一样,通过第一个面的通量和通过第二个面的通量是相等的,由此可以想象的到,通过外面大的不规则的曲面S的通量,与通过内部小球体的通量其实是完全相同的,于是我们可以完全摒弃那个不规则曲面,直接用小球体来计算任何一个闭合曲面的通量。然而这一切,都要归功于场强度正比于1/r^2的关系。

     

    若内部小球体的半径为r,则它的表面积为4πr^2,引力场的强度就是引力的大小,它是我们很熟悉的万有引力公式去掉一个质量符号:Gm/r^2

     

    所以通过球面的通量可以计算为:(引力场向内,所以定义通量为负值)

     

    可以看出,这个量与半径无关,所以对于一个闭合曲面内的点质量,不论曲面的半径有多大,曲面多么不规则,引力线的通量都是定值,即为—4πGm

     

    这是内含一个单位质量的情况,如果里面出现两个单位质量呢,很明显它的整体通量会是两倍,所以它的场是线性叠加的,跟电场是同一种情况。这就很好考虑了,如果是一堆单位质量组成的质量块,就最简单的情况吧,球体,那它通过包围它的曲面的通量就等于所有点质量的贡献之和。如下图所示:

     

    对于这个面引力线向内的通量为

     

    根据我们之前的推论,任意一个闭合曲面内质量的通量,等同于所有点质量通量的贡献之和,单位点质量的通量是—4πGm,那么点质量集合的球体M的引力的通量即为—4πGM

     

    这两者是相等的。联立起来:

     

    从最后的结果可以看到,球体M在周围任何一点长生的场的大小T,就是如上的表达式本身,然而这个表达式也可看做一个质量为M的点电荷,在半径为R的地方所产生的场,这和开头所说“地球在外面所产生的引力,正像地球质量全部集中在地心所产生的力一样”是同一个概念。

     

    这么一个普通人看来也许很是常理的问题,如果用微积分证明会显得很繁琐,利用场的概念和高斯定理,干净利落地证明它的存在性,这得感叹完美的几何学和伟大的造物主,恩,这是一个奇迹。

     

    (二)无限大薄片的引力场大小

     

    我们可以利用这个奇迹去解决更多的问题。

     

    譬如考虑一个无限大物质薄片作用于一个物体上的万有引力,显然薄片对点P的吸引是指向薄片的。设这块无限大薄片的面密度为ρ,那么如何求出P处的单位质量的万有引力呢?我们以往的做法就是取一个长度元dl,做出这个长度元对点P的引力,然后对整个无限大面积求积分即可。如下图的左边那样。

     

    现在可以换一种方式,利用高斯定理,如上图右边,取一个立方体一样的闭合曲面做为高斯面,包围住一定面积的薄片,被包围的面积为S,由于面密度为ρ,那么这块物质的质量即为ρS

     

    薄片上下两面都会存在引力场,所以它的引力线的通量为:

     

    因为之前推论过,任意一个闭合曲面内的引力场的通量都与形状无关,只与内部的质量的多少有关,即为—4πGM,所以,联立下式:

     

    这个答案与利用积分得到的是完全一样的,显然是正确的,但可以看到一个奇妙的地方,它与距离无关,是一个定值!按照常规的理解,当物体离这个面越来越远,以至于非常遥远时,它应该是感觉不到薄片对它的吸引了,但事实并非如此,因为薄片是无限大的!这是一个无限大和无限小相乘的问题,结果不为0,为一个定值。其实也可以这样考虑,费曼说:如果我们接近这个无限大薄片,那么这块薄片上的绝大部分物质是处于不适宜的角度在吸引我们,假如我们离的远一些,则薄片上有较多的物质处于更有利的角度把我们拉向薄片,在任何距离上,最有效的物质位于一定的圆锥内。多么精辟形象的分析!再次敬佩老顽童费曼。

     

    (三)球壳的内部不存在引力吗?

     

    还有一个有趣的问题,如果把地球地壳以下的东西都掏空,只剩一个地球壳(当然,这只是一个想象),那么如果一个人跑到这个地球壳内部去了,人会呈现一个什么状态呢。事实上是,人会漂浮在里面,不受任何引力的作用,你可以在地球壳内部的东边岩石上一蹬腿,经过一段时间,你就飘到地球西边去了........

     

    单纯地从几何学上来说,是很显然易见的。

     

    人随便处在内部的某一个位置,分别取上下两个对称的面,这两个面的面积并不是相等的,a面比b面大,面积之比a/b=r1^2/r2^2,所以ab处的质量之比等同于面积只比,于是,aP处产生的引力大小与bP处产生的大小的比为:

     

    从而得出,abP的吸引力的大

    小是完全相等的,所以在这个方向上由于两个同等大小的力互相拉扯最终不受力,依此类推,整个球体可以分割为无数对这样的两个小曲面,所以,只要是球壳内部,是不会受到引力的作用的。

     

    如果利用高斯定理,不经过任何计算便可得到这个结论,因为在球内随便选取一个高斯面,在这个高斯面的内部不可能存在质量,没了这个质量源,它向内的通量就是0,即不存在“引力线”,也就不会受到引力的作用。有趣的结论在于,若真存在这样一个只有地壳的世界,那么坐在地表的牛顿还依然会被落下的苹果砸到,但倘若掉进了地球这个空空的内部,就只有飘来飘去了。电磁学也是如此,金属外壳所造成的电磁屏蔽,一样是这个道理。

     

    (四)牛顿体系下的引力场方程

     

    引力做为一个典型的保守力,可以利用它的场的概念,一步步导出引力势,以及它的引力场方程。不妨先看看一个单位质量物质的引力场是如何的:

     

    物质相互间吸引,这个场由外向内,表明了引力的方向。

     

    保守力一个很重要的特点就是它沿任意一个环路的曲线积分为0,从A选取一个路线到B,再从BA,不论这个环路多么曲折,它与引力的积分依然是0,若把这条道路一份为二,那么可以得出AB曲线积分和BA曲线积分的大小是相同的,只不过方向相反,所以最后相加结果为,这样,可以认为,AB与引力的积分,与随意选取哪条路径无关,得出的结果都是一个固定值,(高等数学中的格林公式就讨论了曲线积分与路径无关的条件)。势的概念就很理所当然的出现了。

     

    在一个场内,我们把一个物体从A处移到B处,对对它所做的功就是其势能的变化

     

    继续利用微元思想,选取一段很小的距离,那么引力所做的功为(方向问题,所以为负)

     

    引力的矢量可以表示为引力势场的梯度的负方向,我们都知道,引力势在无限远处最大,为0,标量场的梯度是由小到大变化最快的方向,所以梯度方向由里朝外,而引力方向由外朝里,与上述公式完全相符。

     

    另外在高等数学中曾经证明过,一个矢量通过曲面的通量等于这个矢量的散度对体积的积分,对于引力来说,它的通量又为定值—4πGM,所以

     

    最后的公式,就是牛顿体系下的引力场方程,是一个泊松方程的形式,为什么非要特指牛顿经典力学体系,因为这与爱因斯坦广义相对论的引力理论有所区别,不同之处在于,爱因斯坦引进了空间度规,把引力几何化,时空的弯曲造成了引力场的存在。以下便是爱因斯坦重力场方程:

     

    这里引进了很多张量,与牛顿那个简洁的场方程似乎一点都不一样,然而,在弱场近似以及慢速近似的情况下,爱因斯坦场方程可以经推导简化为牛顿场方程,两者是有联系的,只不过爱因斯坦描述的是真理,牛顿的方程则是真理在某一方面的极限。

     

    虽然暂且对这个公式毫无头绪一点看不懂,但毕竟是爱因斯坦毕生的最高成就,先行感叹下。在我看来,牛顿熟练地运用自创但并未公布的微积分发现了上帝的游戏规则,更是建立起了现代数学和科学的基石,他绝对是文明史上做出最大贡献的人,爱因斯坦同样伟大,不畏权威,才让我们能更清楚地看清这个世界。

     

     

    参考书目:《费恩曼物理学讲义》

     

                                                                                                                              Whyeemcc

                                                                                                                             2011815

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    千次阅读 2015-11-02 12:16:04
    求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题,因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象(一般统称为“保守场”或“有势场”)的性质。[1]  ...
    拉普拉斯方程(Laplace's equation),又名调和方程、位势方程,是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题,因为这种方程以势函数的形式描写了电场引力场和流场等物理对象(一般统称为“保守场”或“有势场”)的性质。[1] 
    中文名
    拉普拉斯方程
    外文名
    Laplace's equation
    别    称
    调和方程
    提出者
    拉普拉斯
    涉及领域
    电磁学、天文学、流体力学

    基本概述编辑

    拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面,通常用相应的两个曲率半径来描述曲面,即在曲面上某点作垂直于表面的直线,再通过此线作一平面,此平面与曲面的截线为曲线,在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交,可得到第二条截线和它的曲率半径R2,用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的,液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同,在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2,其数值与液面曲率大小有关,可表示为:
      
    ,式中γ是液体表面张力。该公式成为拉普拉斯方程。

    在数理方程中

    拉普拉斯方程为:
      
    ,其中 
     
    为拉普拉斯算子,此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下,拉普拉斯方程可由下面的形式描述,问题归结为求解对实自变量xyz二阶可微的实函数φ :
    其中 Δ 称为拉普拉斯算子.
    拉普拉斯方程的解称为调和函数
    如果等号右边是一个给定的函数f(x,y,z),即:
    则该方程称为泊松方程。 拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或 Δ(可以在任意维空间中定义这样的算子)称为拉普拉斯算子,英文是Laplace operator或简称作Laplacian

    狄利克雷问题

    拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ,使得在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述,以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍:固定区域边界上的温度(是边界上各点位置坐标的函数),直到区域内部热传导使温度分布达到稳定,这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。

    诺伊曼边界条件

    拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身,而是φ沿D的边界法向的导数。从物理的角度看,这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果(对热传导问题而言,这种效果便是边界热流密度)。

    方程的解

    称为调和函数,此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数,如果它们都满足拉普拉斯方程(或任意线性微分方程),这两个函数之和(或任意形式的线性组合)同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来,构造适用面更广的通解。[2] 

    二维方程编辑

    解析函数

    两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式:
    解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之,若z=x+iy,并且
    那么f(z)是解析函数的充要条件是它满足下列柯西-黎曼方程
    上述方程继续求导就得到
    所以u满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得v同样满足拉普拉斯方程。
    反之,给定一个由解析函数(或至少在某点及其邻域内解析的函数)f(z)的实部确定的调和函数,若写成下列形式:
    则等式
    成立就可使得柯西-黎曼方程得到满足。 上述关系无法确定ψ,只能得到它的微增量表达式:
    φ满足拉普拉斯方程意味着ψ满足可积条件:
    所以可以通过一个线积分来定义ψ。可积条件和斯托克斯定理的满足说明线积分的结果与积分经过的具体路径无关,仅由起点和终点决定。于是,我们便通过复变函数方法得到了φ和ψ这一对拉普拉斯方程的解。这样的解称为一对共轭调和函数。这种构造解的方法只在局部(复变函数f(z))的解析域内)有效,或者说,构造函数的积分路径不能围绕有f(z)的奇点。譬如,在极坐标平面(r,θ)上定义函数
    那么相应的解析函数为
    在这里需要注意的是,极角θ仅在不包含原点的区域内才是单值的。
    拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导(这是解析函数的一个性质),因此可以展开成幂级数形式,至少在不包含奇点的圆域内是如此。这与波动方程的解形成鲜明对照,后者包含任意函数,其中一些的可微分阶数是很小的。
    幂级数和傅里叶级数之间存在着密切的关系。如果我们将函数f在复平面上以原点为中心,R为半径的圆域内展开成幂级数,即
    将每一项系数适当地分离出实部和虚部
    那么
    这便是f的傅里叶级数。

    流场中的应用

    uv分别为满足定常、不可压缩和无旋条件的流体速度场的xy方向分量(这里仅考虑二维流场),那么不可压缩条件为:
    无旋条件为:
    若定义一个标量函数ψ,使其微分满足:
    那么不可压缩条件便是上述微分式的可积条件。积分的结果函数ψ称为流函数,因为它在同一条流线上各点的值是相同的。ψ的一阶偏导为:
    无旋条件即令 ψ 满足拉普拉斯方程。ψ的共轭调和函数称为速度势。 柯西-黎曼方程要求
    所以每一个解析函数都对应着平面内的一个定常不可压缩无旋流场。解析函数的实部为速度势函数虚部为流函数。

    电磁学中应用

    二维拉普拉斯方程可以用有限差分法进行近似计算。首先把求解的区域划分成网格,把求解区域内连续的场分布用求网格节点上的离散的数值解代替。
    根据麦克斯韦方程组,二维空间中不随时间变化的电场(u,v)满足:
    其中ρ为电荷密度。第一个麦克斯韦方程便是下列微分式的可积条件:
    所以可以构造电势函数φ使其满足
    第二个麦克斯韦方程即:
    这是一个泊松方程[3] 

    三维方程编辑

    基本解

    泊松方程或拉普拉斯方程一般是三维的偏微分方程,只有带电体的场呈“球、柱”形对称时,三维方程才退化为低维的微分方程。通过分离变量法可以得到方程的级数解。
    拉普拉斯方程的基本解满足
    其中的三维δ函数代表位于的一个点源。 由基本解的定义,若对u作用拉普拉斯算子,再把结果在包含点源的任意体积内积分,那么
    由于坐标轴旋转不改变拉普拉斯方程的形式,所以基本解必然包含在那些仅与到点源距离r相关的解中。如果我们选取包含点源、半径为a的球形域作为积分域,那么根据高斯散度定理
    求得在以点源为中心,半径为r的球面上有
    所以
    经过类似的推导同样可求得二维形式的解

    格林函数

    格林函数是一种不但满足前述基本解的定义,而且在体积域V的边界S上还满足一定的边界条件的基本解。譬如,可以满足
    现设u为在V内满足泊松方程的任意解:
    u在边界S上取值为g,那么我们可以应用格林公式(是高斯散度定理的一个推论),得到
    unGn分别代表两个函数在边界S上的法向导数。考虑到uG满足的条件,可将上式化简
    所以格林函数描述了量fg对(x',y',z')点函数值的影响。格林函数在半径为a的球面内的点上得值可以通过镜像法求得(Sommerfeld, 1949):距球心ρ的源点P的通过球面的“反射镜像”P'距球心
    需要注意的是,如果P在球内,那么P'将在球外。于是可得格林函数为
    式中R表示距源点P的距离,R'表示距镜像点P'的距离。从格林函数上面的表示式可以推出泊松积分公式。设ρ、θ和φ为源点P的三个球坐标分量。此处θ按照物理学界的通用标准定义为坐标矢径与竖直轴(z轴)的夹角(与欧洲习惯相同,与美国习惯不同)。于是球面内拉普拉斯方程的解为:

    式中

    这个公式的一个显见的结论是:若u是调和函数,那么u在球心处的取值为其在球面上取值的平均。于是我们可以立即得出以下结论:任意一个调和函数(只要不是常函数)的最大值必然不会在其定义域的内部点取得。

    人物介绍编辑

    拉普拉斯,1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日,曾任巴黎军事学院数学教授。1795年任巴黎综合工科学校教授,后又在高等师范学校任教授。1799年他还担任过法国经度局局长,并在拿破仑政府中任过6个星期的内政部长。1816年被选为法兰西学院院士,1817年任该院院长。1827年3月5日卒于巴黎。拉普拉斯在研究天体问题的过程中,创造和发展了许多数学的方法,以他的名字命名的拉普拉斯变换拉普拉斯定理和拉普拉斯方程,在科学技术的各个领域有着广泛的应用。
    拉普拉斯曾任拿破仑的老师,所以和拿破仑结下不解之缘。拉普拉斯在数学上是个大师,在政治上是个小人物、墙头草,总是效忠于得势的一边,被人看不起,拿破仑曾讥笑他把无穷小量的精神带到内阁里。在席卷法国的政治变动中,包括拿破仑的兴起和衰落,没有显著地打断他的工作。尽管他是个曾染指政治的人,但他的威望以及他将数学应用于军事问题的才能保护了他,同时也归功于他显示出的一种并不值得佩服的在政治态度方面见风使舵的能力。[4] 
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    传csdn换点积分,详情请看链接:霍曼转移轨道推导 - Mr.Bo的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/372582685

    根据两体运动方程,我们可以得到轨道方程为: \\r=\frac{h^2/\mu}{1+ecos\theta}=\frac{p}{1+ecos\theta}

    两体运动方程的推导可以来看我这篇回答: https://www.zhihu.com/answer/1875709958

    图1 圆锥曲线轨道图

    在这里我们先省略推导,直接给出中心引力场中圆锥曲线运动能量方程的一般形式:

    \\\frac{v^2}{2}-\frac{\mu}{r}=-\frac{\mu}{2a}

    式中 \mu 为引力常数, v 为轨道上的速度,r为近心点高度,a为远心点高度。

    那么为了推导霍曼(Hohmann)过渡,我们先来介绍一下圆轨道和椭圆轨道的一些特性:

    那么e=0,也就是圆轨道的时候, r=\frac{h^2}{\mu}=p=a=const ,圆轨道的轨道参数p和a都等于轨道半径r,h为动量矩,那么航天器绕圆轨道的速度就为: v=\sqrt{\frac{\mu}{r}} ,这里代入地球半径和地球的引力常数就可以得到我们熟悉的第一宇宙速度。

    当 0<e<1 时,轨道就是椭圆轨道,根据能量方程就有: v=\sqrt{\frac{2\mu}{r}-\frac{\mu}{a}} ,那么在远心点和近心点就有最大速度 v_p 和最小速度 v_a ,即:

    \\v_p=\sqrt{\mu(\frac{2}{r_p}-\frac{1}{a})}=\sqrt{\frac{\mu}{r_p}(1+e)}=\sqrt{\frac{\mu}{a}\frac{1+e}{1-e}}=\sqrt{\frac{\mu}{r_p}\frac{2r_a}{r_a+r_p}}>\sqrt{\frac{\mu}{r_p}}

    \\v_a=\sqrt{\mu(\frac{2}{r_a}-\frac{1}{a})}=\sqrt{\frac{\mu}{r_a}(1+e)}=\sqrt{\frac{\mu}{a}\frac{1-e}{1+e}}=\sqrt{\frac{\mu}{r_a}\frac{2r_p}{r_a+r_p}}<\sqrt{\frac{\mu}{r_a}}

    做完了准备工作,我们来看,在同一轨道平面中,两不相交轨道之间的过渡,由于新旧轨道不相交,因此轨道过渡需要用一个以上的速度脉冲来实现,对于两个圆轨道之间的过渡最为简单,因为霍曼(Hohmann)提出了这种过渡的最佳方案,所以同平面两圆轨道间能量最佳的过渡就被称为霍曼(Hohmann)过渡。

    图2 霍曼(Hohmann)过渡图

    如图,霍曼(Hohmann)过渡轨道是一条外切与小圆轨道,内切与大圆轨道的椭圆轨道,过渡轨道的参数为: a=\frac{r_a+r_p}{2} , e=\frac{r_a-r_p}{r_a+r_p}

    \\v_p=\sqrt{\mu(\frac{2}{r_p}-\frac{1}{a})}=\sqrt{\frac{\mu}{r_p}(1+e)}=\sqrt{\frac{\mu}{a}\frac{1+e}{1-e}}=\sqrt{\frac{\mu}{r_p}\frac{2r_a}{r_a+r_p}}>\sqrt{\frac{\mu}{r_p}}=v_1

    \\v_a=\sqrt{\mu(\frac{2}{r_a}-\frac{1}{a})}=\sqrt{\frac{\mu}{r_a}(1+e)}=\sqrt{\frac{\mu}{a}\frac{1-e}{1+e}}=\sqrt{\frac{\mu}{r_a}\frac{2r_p}{r_a+r_p}}<\sqrt{\frac{\mu}{r_a}}=v_2

    v_1,v_2 分别为航天器在 r_p,r_a 圆轨道上的速度,那么机动的两个脉冲大小为:

    \\\Delta v_1=v_p-v_1=\sqrt{\frac{\mu}{r_p}\frac{2r_a}{r_a+r_p}}-\sqrt{\frac{\mu}{r_p}}

    \\\Delta v_2=v_2-v_a=\sqrt{\frac{\mu}{r_a}\frac{2r_p}{r_a+r_p}}-\sqrt{\frac{\mu}{r_a}}

    那么总速度增量为:

    \\\Delta v_T= \Delta v_1+\Delta v_2=\sqrt{\frac{\mu}{r_p}}\left [\sqrt{\frac{2r_a}{r_a+r_p}}(1-\frac{r_p}{r_a})+\sqrt{\frac{r_p}{r_a}-1} \right]

    那么凭什么说霍曼(Hohmann)过渡的总能量是两圆轨道最小呢?来证明一下:

    图3 证明图

    现在条件和上面一样,设椭圆过渡轨道与小圆轨道交于b点,从小圆轨道变为椭圆轨道所需要的速度脉冲为 \Delta v_1^* 并不与小圆轨道相切,那么过渡椭圆轨道在b点的速度分量就分为径向分量 v_r 和横向分量 v_\theta ,那么根据几何关系就有:

    \\{\Delta v_1^*}^2= v_r^2+(v_\theta-v_p)^2

    其中, v_\theta=h/r_p , v_p=\sqrt{\frac{\mu}{r_p}} ,代入上式:

    \\{\Delta v_1^*}^2= v_r^2+(\frac{h}{r_p}-\sqrt{\frac{\mu}{r_p}})^2

    在椭圆轨道a,b两点上应该满足能量方程,两体系统仅有保守力做功,能量守恒,就有:

    \\ \frac{1}{2}(v_r^2+\frac{h^2}{r_p^2})-\frac{\mu}{r_p}=\frac{h^2}{2r_a^2}-\frac{\mu}{r_a}

    整理:

    \\h^2=\frac{r_a^2r_p^2}{r_a^2-r_p^2}(2\mu\frac{r_a-r_p}{r_ar_p}-v_r^2)

    h^2\geq0 ,显然有:

    \\v_r\leq \sqrt{2\mu\frac{r_a-r_p}{r_ar_p}}=v_{rmax}

    将 h^2 的表达式代入 {\Delta v_1^*}^2 式中,得到:

    \\{\Delta v_1^*}^2= v_r^2+\frac{r_a}{\sqrt{r_a^2-r_p^2}}(\sqrt{2\mu\frac{r_a-r_p}{r_ar_p}-v_r^2}-\sqrt{\frac{\mu}{r_p}})^2

    上式对 v_r 求导,并令导数为0,就可以得到 \Delta v_1^* 的最小值,即:

    \\({\Delta v_1^*}^2)_{min}=(\sqrt{\frac{\mu}{r_p}\frac{2r_a}{r_a+r_p}}-\sqrt{\frac{\mu}{r_p}})^2

    很明显,这与 \Delta v_1=v_p-v_1=\sqrt{\frac{\mu}{r_p}\frac{2r_a}{r_a+r_p}}-\sqrt{\frac{\mu}{r_p}} 结果一致,霍曼(Hohmann)过渡所花的能量最小。

    同理可以去证明 \Delta v_2 ,那么霍曼(Hohmann)过渡就是两圆轨道间以两脉冲进行过渡能量最省的方法。当然如果速度脉冲允许使用两次以上,结论就会有所变化。

    对于同轴向的椭圆轨道之间的过渡,其实也可以用类似的方法,有了上面的基础就很好推导了。

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空空如也

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引力场方程推导