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  • 全文共2948字,预计学习时长9分钟图源:superprof伟大的前苏联物理学家列夫·朗道和叶夫根尼·利夫希茨在他们的著作《经典场论》中写道:“建立在相对论基础上的引力场理论被称为广义相...


    全文共2948字,预计学习时长9分钟

    图源:superprof

    伟大的前苏联物理学家列夫·朗道和叶夫根尼·利夫希茨在他们的著作《经典场论》中写道:“建立在相对论基础上的引力场理论被称为广义相对论,它是由爱因斯坦建立的,并且可能是现存的物理理论中最美丽的一个。”

     

    所有认真研究过广义相对论的人都会觉得它具有一种独特的吸引力。20世纪最具影响力的物理学家之一、英国理论物理学家保罗·狄拉克曾说过:

    “很难将牛顿引力理论与其力的瞬时传播相协调,使之符合狭义相对论的要求;然而,爱因斯坦却解决了这一问题,相对论理论也由此诞生——这可能是有史以来最伟大的科学发现。”

    本文中,笔者将结合昌德拉塞卡的文章(任何遗漏或不清楚的细节都可以在作品文章中找到),并试图说明为何这些伟大科学家都做出了如此有力的陈述。

    图源:unsplash

    钟表问题

    仔细观察下图:

     

    根据等效原理,时钟A和时钟B将根据时钟C保持相同的相对时间。

    当时钟向上移动时,根据狭义相对论,时钟A和时钟B测量的时间间隔与真空中的时钟C测量的相应间隔具有以下关系:

     

    结合这两个表达式,可以得到:

     

    在以上方程中还使用到了托里拆利公式和引力势的概念:

     

    现在,如果把时钟B放到没有引力场的位置x上,那么上面的表达式将变成:

     

    公式1:两次的时间间隔如何随引力势U(x)的变化而变化。

     

    等效原理

    在牛顿力学中,有两种概念的质量,即惯性质量和引力质量。前者是一种测量外力阻力的方法(根据牛顿第二定律)。后者是引力场的来源,也是另一个大质量物体对引力场的反应。

     

    根据牛顿万有引力定律,此图展示了相互吸引的两个物体。

    两个质量分别为M与m的物体相距R,它们之间的引力可表示为:

     

    根据牛顿第二定律,物体m(或M)的加速度为:

     

    公式2:惯性质量和引力质量之所以会相等,是因为加速度的大小并不取决于物体的质量。因为加速度是不变的,所以质量比必须是常数。很明显,此时该常数为1。

    事实上,加速度a的大小无关于质量m,这也意味着上述的质量比是一个普适常数。由此推断,惯性质量和引力质量的大小相等。

     

    广义相对论中的时空

    在狭义相对论中,闵可夫斯基距离表现为以下形式:

     

    公式3:狭义相对论中的闵可夫斯基距离。

    其中dτ表示其本征时间。沿世界线的本征时间(物体在时空中的轨迹)是由沿着该线的时钟测量出的时间。

     

    对于给定的事件,该图显示了闵可夫斯基时空的四个不相交细分。

    如上图所示,时空中的世界线可以有以下三种:

    ·        光速曲线,每一点都表示光速。这样的世界线在时空中形成了一个光锥。

    ·        时间曲线。这些速度小于光速的曲线落在光锥内(注意:大质量粒子的世界线都是时间型曲线)

    ·        空间曲线。例如,这些曲线表示物体的长度。

     

    以上各种世界线皆对应一种dτ的符号。

    本征时间dτ的长短取决于时空的性质。在时空的某个区域,如果方程2有效,那么就可以将其代入方程3,并得出:

     

    公式4:由恒定引力场引起的闵可夫斯基时空间隔的变化。

    现在,可以考虑进行坐标变换,将其放入一个匀加速的参考系中。新的x和t变成:

     

    公式5:通过坐标变换将其放入一个匀加速的参考系。

    y和z保持不变。闵可夫斯基区间方程3用该坐标表示如下:

     

    公式6:匀加速的参考系中的闵可夫斯基距离。

    现在,在变换方程5中选择时间小于或等于c/g的次数,并进行简单展开,即新的时空间隔方程3变成:

     

    公式7:用非惯性坐标表示的平直闵可夫斯基时空中的时空间隔。

    注意,它的形式与方程4相同。因此,根据等效原理,转换成一个加速参考系相当于引入一个引力场。

    图源:unsplash

    到目前为止,我们只考虑了闵可夫斯基度量下的小偏差。与爱因斯坦相同,我们也假设,一般来说(不仅是小偏差)引力场的存在扭曲了时空的几何结构。更准确地说,爱因斯坦的引力理论认为,在引力场存在的情况下,时空会成为一个光滑的伪黎曼流形,并具有以下形式的时空间隔:

     

    公式8:伪黎曼流形上的时空间隔。

    在闵可夫斯基时空中,粒子以匀速直线运动:

     

    公式10:在闵可夫斯基时空中,粒子以匀速直线运动。

    在没有重力的情况下,让我们把下列变换成一个曲线坐标系:

     

    公式11:在没有重力的情况下转换成曲线坐标。

    时空间隔变为:

     

    方程12:变换后的时空间隔方程11。

    其中:

     

    方程13:变换后的度量张量公式11。

     

    在上图的惯性参考系中,黑球以直线运动。然而,站在旋转参照系(底部)中的观察者(红点)看到,由于该参照系中存在科里奥利力和离心力,该黑球沿着弯曲的路径行进。

    运动方程10成为普遍存在的测地线方程:

     

    方程14:运动方程10经坐标变换后变为方程11,此时仍然没有重力。

    其中物体被称为克氏符号。

     

    方程15:在测地线方程中出现的克氏符号。

    在方程14中,克氏符号产生一种“明显的”加速度,这种加速度只是在用曲线坐标描述笛卡尔坐标系中的线性运动时产生的。但它们实际上是惯性加速度(例如科里奥利加速度)。

    但是根据等价原理,所有的加速度,无论是惯性加速度还是重力加速度,都是度量:重力扭曲了时空几何(这是一个具有相关度量的拟黎曼流形),并且粒子在时空中沿着方程16给出的测地线进行运动。

     

    方程16:粒子在时空中运动所依据的测地线运动方程。

    推导爱因斯坦引力定律

    在牛顿物理学中,描述引力场的方程是用引力势U来表示的。当没有引力时,只有U=0;当有一个大质量物体,但受其场影响的被测粒子在物体外时,有∇²U=0;在有物质的区域,方程变为∇²U=4πGρ。

    再试试如何把这三个方程应用于广义相对论。

    首先,假设有一个粒子根据方程16来进行运动。如果方程16通过坐标转换可变为方程10,那么这就意味着粒子不在引力场中。

    同样,在目前的重力下,克氏符号在任何坐标变换后都不能消失。利用克氏符号的变换规律就很容易证明,如果要通过一个普通的坐标变换来使得所有的克氏符号都消失,只有当方程17中的四个变换fs对于方程18有解。

     

    方程17:应用于克氏符号的变换。

     

    方程18:克氏符号消失的条件。

    如果所谓的黎曼-克氏张量消失,就会发生这种情况。后者由以下给出:

     

    方程19:黎曼曲率张量或黎曼-克氏张量。

    我们得出结论,引力场不存在的条件是:

     

    方程20:失重的条件。这个方程是U=0牛顿方程在相对论理论下的结果。

    这个方程是牛顿方程U=0的广义相对论版本。可见,∇²U=0最简单的概括是方程20的收缩,即:

    方程21:里奇标量的消失是∇²U=0牛顿方程在相对论下的结果。

    这个消失的物体叫做里奇张量。最后一步是确定∇²U=4πGρ右侧的归纳。在此,首先想到的是能量动量张量。通过狭义相对论,我们可以知道它的导数消失了。但是广义相对论是协变理论,所以标准导数的消失是不够的:我们还需要T的协变导数消失,并且这在所有坐标系中都满足。

     

    但里奇张量的协变导数是非零的。通过引入一个相关且协变导数会消失的张量,即所谓的爱因斯坦张量,这一问题就会得以解决。

     

    在广义相对论中,物体之间的引力效应是时空扭曲的结果。

    因此,爱因斯坦引力定律变成:

     

    通过要求在c → ∞的区间内,可以获得常数k,并且牛顿的理论也能得以应用。

    最美丽的物理理论,你感受到它的魅力了嘛?


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    编译组:孙宇超、虞双双

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    导读:为什么说爱因斯坦场方程难理解呢,你一看就明白了。广义相对论是研究物质引力相互作用的理论,其最本核心的内容就是引力场方程:

    为什么说爱因斯坦场方程难理解呢,你一看就明白了
    别看这个引力场方程形式上十分简单,但其却是一个二阶偏微分方程,表达的意思却十分复杂,每一个字母都代表了极其复杂的含义。想要解这个方程,可谓难中之难。到目前为止,此方程的解也十分有限,其中一个解就是著名的史瓦西解,对应的就是大名鼎鼎的黑洞。

    广义相对论的思想就是认为引力只是时空的几何弯曲的表象而已,引力并不像其它三种基本力一样,它并不是力。这种描述可以说是颠覆性的,而时空弯曲更是彻底的和牛顿平坦时空不同,完全是人们之前想到没想过的。广义相对论在当时可谓惊世骇俗,好在随着水星进动的测量,证明了相对论的预言之一:大质量天体会扭曲时空导致光线弯曲。而前几年的引力波发现,更加肯定了广义相对论的正确性。但其实,这些预言都已经包含在相对论引力场方程之中了。

    可是引力真的是时空弯曲的表现吗?普通人呢如何理解该方程呢? 可以从下面的文章中获取思路。

    本章内容摘录自灵遁者先生科普书籍《变化》,旨在帮你认识和了解爱因斯坦场方程。

    在这里插入图片描述

    内容正文:

    量纲是物理量的度量,是物理量的测量数据的表示。用来表示量纲的单位必须反映特定物理现象或物理量,如温度、位移、速度、质量等。

    客观规律要求数值的非实质变化必须保证事物客观大小的绝对性。具体说,任何两个一定大小的同类量,不论测量的单位如何,它们的相对大小永远不变,即它们的比值对任何单位都必须是个定值。同类量相对大小对于单位的不变性是度量的根本原则。违反这一原则,量度将没有任何意义。根据这个原则,可以导出以下的重要结论:在确定的单位制中,所有物理量的量纲都具有基本量量纲的幂次积形式。

    接下来看看什么是缩并:缩并是张量分析中特有的一种运算,缩并就是从某个独特的角度去看一个张量,在这个角度上,一个复杂的张量可以显得比较简单。

    所谓的独特角度可以是一种逻辑规律,即我们在遵循某种逻辑规律的前提下,一个复杂张量就可以简化为一个简单些的张量。所以黎曼张量缩并为里奇张量,可以理解为存在某种逻辑规律,在这种逻辑规律下,黎曼空间曲率的数学描述可以得到简化。

    既然里奇张量是由黎曼张量缩并来的,则里奇张量就是在某种逻辑规律下的,描述空间曲率的,比黎曼张量要显得简单些的张量。

    什么叫度量张量:度量张量也叫度规张量,是在黎曼几何里用来衡量距离及角度的二阶张量,描述了空间的性质。度规张量是一个矩阵(方阵),也可以描述空间是否弯曲。这里的四维时空(一维时间+三维空间)是闵可夫斯基空间,闵可夫斯基空间是相对论理论框架的基础。

    度量张量与里奇标量的乘积也是一个张量,这个张量可以看作是在度量张量作用下的针对黎曼空间的某种曲率描述。

    最后来看看什么叫能量-动量-应力张量:在物理学中是一个张量,它描述了能量与动量在时空中的密度与通量(flux),其为牛顿物理中应力张量的推广。在广义相对论中,其为重力场的源,如同牛顿重力理论中质量是重力场源一般。应力-能量张量具有重要的应用,尤其是在爱因斯坦场方程式。

    这个张量是二阶的,因此也是一个矩阵。为什么叫能量-动量-应力张量呢?因为这个矩阵中的各项有不同的物理意义,其中包含能量密度(量纲与压强相同)、动量密度和动量通量。

    这个矩阵中是由不同的物理量组成的,这就是通常对张量不做量纲分析的原因,因为张量可以是不同物理量的组合,因而量纲是混杂的,所以有时不太容易将量纲分离出来做分析。但是可以分析的,也可以通过分析量纲,来验证公式和定律的对错。

    好了,基础的知识就分享到这里,下面才是重点。在我的书里《变化》中,我一直强调引力不是时空弯曲造成的,是时空使然。也就是说引力是时空性质。和弯曲没有关系。

    为什么说爱因斯坦场方程难理解呢,你一看就明白了

    那么如何通过数学逻辑来看呢? 还是先看看场方程吧,如上图:

    还可以写成这样,两者是一样的【字写的不好,大家见谅】:

    其中:G_uv{\displaystyle G_{\mu \nu },}称为爱因斯坦张量。

    R_uv{\displaystyle R_{\mu \nu },}是从黎曼张量缩并而成的里奇张量,代表曲率项,表示空间弯曲程度。R是从里奇张量缩并而成的标量曲率(或里奇数量)

    · g_uv{\displaystyle g_{\mu \nu },}是从(3+1)维时空的度量张量;

    · T_uv{\displaystyle T_{\mu \nu },}是能量-动量-应力张量,表示了物质分布和运动状况。

    · G是引力常数,

    · c是真空中光速。

    整个方程式的意义是:空间物质的能量-动量(T_uv)分布=空间的弯曲状况(R_uv)。

    爱氏以此推断引力的成因是时空弯曲。但我不这样推断。看过我前面内容的朋友,应该知道我认为引力的本源是时空,不是时空弯曲。

    为什么说爱因斯坦场方程难理解呢,你一看就明白了

    时空是弯曲的,但不是时空弯曲产生引力。空间物质的能量-动量(T_uv)分布等于空间的弯曲状况(R_uv),是在描述空间的状态,不是说空间的弯曲状况(R_uv)产生了引力。

    具体应该是这样的,从量纲角度讲引力肯定不是一个基本量,它是一个导出量。能量可以表示为 E=mc^2。动量可以表示为 P=mv 。力可以表示为 F=ma ,其中a=dv/dt是加速度

    所以能量密度就是将 E除以一个体积,应力就是压强,所以能量-动量-应力张量中的每一项确实都含有质量m这个量纲,且都是一次的。

    矩阵有一个性质,如果矩阵中的每一项都含有一个系数k,则可以将这个系数k提取出来写在矩阵外面,所以能量-动量-应力张量(二阶张量就是矩阵)中的质量m可以作为系数被提取出来写在能量-动量-应力张量的外面。

    在这里插入图片描述

    而在场方程中T_uv是能量-动量-应力张量,更多是能量时空的代表。G是引力常数。所以整个指向关系是时空,能量产生引力。不是R_uv产生引力!

    那么“时空弯曲是由引力造成的”这种说法是否正确呢?

    假设这种说法正确,那我们就不能说“引力是由时空弯曲造成的”,因为如果A是B的原因,那么B就只能是A的结果而不能是A的原因。

    就好像A是B生的,是B的儿子。那么A不可能反过来生下B。可以将B看做“基本量”“,A是导出量,那么导出量不可能反导出基本量。 ”引力是由时空弯曲造成的”与“时空弯曲是由引力造成的”不能同时成立。

    所以只有一个是对的,那就是引力是由时空造成的!不是时空弯曲造成的。这时候我们说时空弯曲是由引力造成的,就没有错。不会有上面所描述的尴尬。

    为什么说爱因斯坦场方程难理解呢,你一看就明白了

    所以从爱氏的场方程完全可以推出引力的本源是时空。至于爱氏为何推出是时空弯曲,我认为是受场方程形式和弯曲时空背影影响。

    物理上的东西和数学上的东西,还是有区别的。就好像上面我们说在意义上空间物质的能量-动量(T_uv)分布=空间的弯曲状况(R_uv)。但我们不能说T_uv减去R_uv等于0.。这是大家都能理解的。

    更通俗的可以这样说,我拿两个苹果减去你的两个苹果,会证明我们两都没有苹果了吗? 显然是不可能的。我们就不能这样去做减法,你得出的零也没有任何现实意义。

    然后在这里还要说一个点,就是惯性。为了解决我高中时候的疑问,我才写这本书。也就是以惯性作为突破口,来重新构建认识。

    引力是惯性的源泉是我一再强调的。传统的教科书认为惯性只有大小,没有方向,也和时间无关。在我的理论中惯性只有大小,没有方向,但与时间有关。因为引力是惯性的源泉。物体间的引力作用如果不是超距作用,那么惯性也必然是这样的。

    而我一直强调引力作用是光速,那么惯性作用自然也是光速。这个我在前面也论述过。涉及到运动,就脱离不了时间。所以是有关系的。

    为什么说爱因斯坦场方程难理解呢,你一看就明白了

    可能细心的网友会问:“如果你认为惯性和时间有关的话,那么时间是有箭头的,可是惯性是没有方向的,这不矛盾吗?”

    有此问题的朋友肯定没有看我前面的章节,在《时间的本质说明》中我对时间做了新的定义。时间是没有方向的,所谓向前的方向是人的行为意识。时间是没有方向的。

    时间的定义如下:时间是物质在引力场中以及运动速度的应变度量;它是物质存在的客观形式。【时间应变与主客体的引力成正比,与速度成反比。】

    因此时间段就可以表述为:时间段是物质在引力场中以及运动速度的应变度量过程!

    在这里插入图片描述

    进一步的阐述说明是时间的这种“应变度量过程”就是物质的运动变化的持续性和连续性的表现。在这里要说明“应变”这个词,指的是时间受“引力场位置”和“运动速度”影响而作出的反应。

    且这种应变是不以人的意志为转移的,它是客观的。可是为什么连有些科学家都不愿意相信时间是存在的。就在于它的抽象性和意识干扰性。这就是我关于爱氏场方程引力方面的新解。相信一个理论有时候很容易,有时候很难。放弃原有的相信更难,因为大家都相信权威,我只是提供了一种新的看世界的角度。

    摘自独立学者,科普作家,艺术家灵遁者书籍《变化》

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    引力场算法及其在生物信息学中的应用

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    前人对优化算法的研究已久,虽然算法目标是求得最优解,但对大规模数据却无法全局收敛,只可逼近最优解。最优算法种类繁多,有解析法、直接法、数值计算法和各种启发式搜索算法等等。其中大规模数据优化问题启发式搜索算法效果最佳,所以该方向也是研究热点与难点。启发式搜索算法目前主要包括模拟退火算法、遗传算法和粒子群算法等等。但这些算法无法解决所有问题,尤其是多峰值问题处理不佳,运算速度慢等,需要一种新算法来弥补这些缺陷。本文根据天文学的星云盘模型提出一种新型启发式搜索算法:引力场算法,并应用该模型到生物信息学的诸多领域,具体内容如下:

    ⑴星云盘模型描述行星形成过程:宇宙中暗星云通过各种形式组合在一起成为恒星,而宇宙灰尘则被恒星排出,在引力作用下不断凝聚并最终形成行星。将此模型通过数学建模并创新提出了引力场算法。引力场算法主要包含四个步骤,分别为灰尘初始化、灰尘分组、移动算子和吸收算子。在灰尘初始化阶段,首先要考虑解空间的维度和形式,比如求两点间距离,则两点编号所组成向量作为引力场算法灰尘,再比如求某一矩阵行列式的值,则该矩阵作为引力场算法的灰尘。然后,在灰尘的每一个维度都随机赋予一个值,但要使该分量符合解空间范围。灰尘分组算子是引力场算法的核心问题之一,分组策略较多。解空间维度是1时,可采用平均法和随机法。平均法是每一组的取值范围都相同但组内数据皆连续,随机法是指每一组取值范围不等但组内数据皆连续。当解空间维度为2时,可以采用最大公约数法和随机法。最大公约数法是将二维空间面积分解为该面积值的两个最大公约数的乘积,每一个子块成为一组。随机法只考虑其中一维数据作为分组标准,方法与一维随机法相同,另一维不作为分组标准。当解空间维度大于2时,可采用随机法和扩展随机法。随机法与二维随机法相同,只考虑其中一维数据作为分组标准,其他维不作为分组标准。扩展随机法将每一个灰尘随机赋给任意一组,每组内灰尘数据可不连续,每组灰尘数量也各不相等。扩展随机法也可用于一维和二维数据灰尘分组。移动算子是引力场算法另一个重要内容。分组结束后,计算每组内所有灰尘质量函数值并比较所有值大小,从而确定中心灰尘。每组内周围灰尘向中心灰尘方向移动,移动步伐采用两灰尘间距离乘以黄金分割数的1/10。在移动过程中,每一个周围灰尘都要受到自转系数的影响。自转是一种从中心灰尘向周围灰尘的排斥力,自转系数是发生自转的概率,自转系数随两灰尘间距离减小而增大。吸收算子指中心灰尘和周围灰尘间距离足够小时,将周围灰尘删除。若算法满足结束条件,则直接得出中心灰尘及其相应质量函数值,否则所有中心灰尘降为周围灰尘并重新分组。引力场算法通过全局极值和多极值两种方式验证,并与其他算法进行比较,结果证实引力场算法具有很高的执行效率。

    ⑵引力场算法已应用于基因表达聚类算法中。聚类算法所采用数据是离散形式,需要将引力场算法修改。首先,质量函数需采用两基因间距离。然后,在灰尘初始化阶段,采用待求距离的两基因编号组成的二元向量作为灰尘随机初始化值。最后,在移动算子部分,根据中心灰尘和周围灰尘相应二元素的基因编号大小关系确定周围灰尘移动方式,与连续值移动不同的是每次移动只将编号加1或减1。同时该基因对标记为使用过,因为使用过的基因对不会产生连续数据那样的非预期值,所以使用过的基因对不再计算。聚类算法通过层次聚类和非层次聚类两种聚类方式进行测试。将引力场算法结果与其他算法结果进行比较,结果证实引力场算法具有很高的执行效率。

    ⑶引力场算法已应用于基因调控网络构建算法中。数学模型采用微分方程模型,取值范围采用奇异值分解方法确定。奇异值分解是将基因表达值矩阵在广义逆矩阵定义下分解为三个矩阵的乘积,并以此求出网络权值矩阵的特解,进一步可求出所有可能的权值矩阵的通解。引力场算法中,最小二乘方公式作为质量函数进行优化。在灰尘初始化阶段用权值矩阵作为灰尘进行随机赋值,赋值结果需通过通解验证,若未通过需重新随机赋值。在移动算子部分,需对周围灰尘和中心灰尘N×T个对应元素进行比较,若元素值不相等,则周围灰尘元素值向中心灰尘元素值移动。得到新灰尘值后将其进行通解验证,若不能通过则重新移动,若能通过进行下一步移动。网络构建算法通过模拟数据和真实数据验证。实验证实引力场算法在基因调控网络构建算法中具有极高的执行效率。

    ⑷引力场算法已应用于基因表达数据的模拟算法中。通过无标度网络重连接构建算法模拟基因调控网络。通过计算得到候选父节点,以概率r选定该节点,若未选定以概率1-r选定该节点的祖先节点作为父节点,即强调中心控制节点的作用。用引力场算法模拟基因表达数据,通过奇异值分解获得表达值的解空间。灰尘采用矩阵形式,并随机初始化。在移动算子部分,周围灰尘的每个元素均向中心灰尘相应元素方向移动。用底数图验证重连接方法准确性,用三种网络构建工具包来验证引力场算法准确性。实验证实网络构建准确,引力场算法执行效率高。

    综上所述,本文提出的引力场算法是一种运算速度快,执行效率高的新型启发式搜索算法。此算法可应用于生物信息学的诸多领域,包括基因表达聚类,基因调控网络构建和基因数据模拟等,执行效果良好。也可将引力场算法应用于其他领域,发展空间很大。

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    未知函数是只有一个自变量的方程
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
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    是一个一阶的常微分方程
    在这里插入图片描述
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    在这里插入图片描述

    偏微分方程

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      在这里插入图片描述
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      在这里插入图片描述
      引力场:
      在这里插入图片描述
      V为引力势。ρ为该点的密度。
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      在这里插入图片描述
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空空如也

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引力场方程的解