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  • 重积分

    2017-10-09 13:01:14
    数学竞赛选讲-山东大学 四五周 公式例题 提示:只算第一象限,分区域计算,极坐标

    数学竞赛选讲-山东大学 四五六周

    公式

    积分上限函数求导

    例题

    积分与字母无关

    万能公式代换
    提示:只算第一象限,分区域计算,极坐标

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  • 一.二重积分 1.概念 2.存在性 3.性质 4.直角坐标系下的计算 5.变量变换 (1)变量变换公式: (2)极坐标下二重积分的计算: ...五.nnn重积分 .反常二重积分 1.无界区域上的二重积分 2.无界函数上的二重积分 ...

    一.二重积分
    1.平面图形的面积
    (1)定义:
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    (2)可求面积的充要条件:

    定理21.1:平面有界图形PP可求面积的充要条件是:对ε>0∀ε>0,总存在直线网TT,使得SP(T)sP(T)<ε(2)S_P(T)-s_P(T)<ε\qquad(2)
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    注:①证明方法类似于定积分中下和与上和相关性质的证明
    推论:平面有界图形PP的面积为0的充要条件是:其外面积IˉP=0\bar I_P=0,即对ε>0∀ε>0.存在直线网TT,使得SP(T)<εS_P(T)<ε或对ε>0,P∀ε>0,P总能被有限个面积总和小于εε的小矩形所覆盖

    (3)边界的面积:

    定理21.2:平面有界图形PP可求面积的充要条件是:PP的边界KK的面积为0
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    定理21.3:若曲线KK为定义在[a,b][a,b]上的连续函数f(x)f(x)的图像,则曲线KK的面积为0
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    推论1:参数方程x=φ(t),y=ψ(t)(t[α,β])x=φ(t),y=ψ(t)\,(t∈[α,β])所表示的光滑曲线KK的面积为0
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    推论2:由平面上分段光滑曲线所围成的有界闭区域是可求面积的
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    2.二重积分的定义及存在性
    (1)分割,细度,积分和:
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    (2)二重积分的定义:
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    (3)二重积分的存在性:
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    定理21.4:f(x,y)f(x,y)在有界,可求面积的区域DD上可积的充要条件是:limT0S(T)=limT0s(T)\displaystyle\lim_{||T||→0}S(T)=\displaystyle\lim_{||T||→0}s(T)

    定理21.5:f(x,y)f(x,y)在有界,可求面积的区域DD上可积的充要条件是:对ε>0∀ε>0,存在DD的某个分割TT,使得S(T)s(T)<εS(T)-s(T)<ε

    定理21.6:有界闭区域DD上的连续函数必可积

    定理21.7:设f(x,y)f(x,y)在有界闭区域DD上有界,且其不连续点集EE是零面积集,则f(x,y)f(x,y)DD上可积
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    3.二重积分的性质:

    ①若f(x,y)f(x,y)在区域DD上可积,kk为常数,则kf(x,y)kf(x,y)DD上也可积,且Dkf(x,y)dσ=kDf(x,y)dσ\iint_Dkf(x,y)dσ=k\iint_Df(x,y)dσ

    ②若f(x,y),g(x,y)f(x,y),g(x,y)在区域DD上可积,则f(x,y)±g(x,y)f(x,y)±g(x,y)DD上也可积,且D[f(x,y)±g(x,y)]dσ=Df(x,y)dσ±Dg(x,y)dσ\iint_D[f(x,y)±g(x,y)]dσ=\iint_Df(x,y)dσ±\iint_Dg(x,y)dσ

    ③若f(x,y)f(x,y)在区域D1,D2D_1,D_2上可积,且D1,D2D_1,D_2无公共内点,则f(x,y)f(x,y)D1D2D_1∪D_2上也可积,且D1D2f(x,y)dσ=D1f(x,y)dσ+D2f(x,y)dσ\iint_{D_1∪D_2}f(x,y)dσ=\iint_{D_1}f(x,y)dσ+\iint_{D_2}f(x,y)dσ

    ④若f(x,y),g(x,y)f(x,y),g(x,y)在区域DD上可积,且f(x,y)g(x,y)((x,y)D)f(x,y)≤g(x,y)\,((x,y)∈D)Df(x,y)dσDg(x,y)dσ\iint_Df(x,y)dσ≤\iint_Dg(x,y)dσ

    ⑤若f(x,y)f(x,y)在区域DD上可积,则f(x,y)|f(x,y)|DD上也可积,且Df(x,y)dσDf(x,y)dσ|\iint_Df(x,y)dσ|≤\iint_D|f(x,y)|dσ

    ⑥若f(x,y)f(x,y)在区域DD上可积,且mf(x,y)M((x,y)D)m≤f(x,y)≤M\,((x,y)∈D)mSDDf(x,y)dσMSdmS_D≤\iint_Df(x,y)dσ≤MS_d这里SDS_D是积分区域DD的面积

    ⑦(中值定理)若f(x,y)f(x,y)在有界闭区域DD上连续,则(ξ,η)SD∃(\xi,η)S_D这里SDS_D是积分区域DD的面积
    在这里插入图片描述

    4.直角坐标系下二重积分的计算
    (1)矩形区域上二重积分的计算:

    定理21.8:设f(x,y)f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]D=[a,b]×[c,d]上可积,且对x[a,b]∀x∈[a,b],积分cdf(x,y)dy\int_c^df(x,y)dy存在,则累次积分abdxcdf(x,y)dy\int_a^bdx\int_c^df(x,y)dy也存在,且Df(x,y)dσ=abdxcdf(x,y)dy(1)\iint_Df(x,y)dσ=\int_a^bdx\int_c^df(x,y)dy\qquad(1)
    在这里插入图片描述
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    定理21.9:设f(x,y)f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]D=[a,b]×[c,d]上可积,且对y[c,d]∀y∈[c,d],积分abf(x,y)dx\int_a^bf(x,y)dx存在,则累次积分cddyabf(x,y)dx\int_c^ddy\int_a^bf(x,y)dx也存在,且Df(x,y)dσ=cddyabf(x,y)dx\iint_Df(x,y)dσ=\int_c^ddy\int_a^bf(x,y)dx

    特别地,当f(x,y)f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]D=[a,b]×[c,d]上连续时,有Df(x,y)dσ=abdxcdf(x,y)dy=cddyabf(x,y)dx\iint_Df(x,y)dσ=\int_a^bdx\int_c^df(x,y)dy=\int_c^ddy\int_a^bf(x,y)dx

    (2)一般区域上二重积分的计算:
    在这里插入图片描述
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    定理21.10:若f(x,y)f(x,y)在如(4)式所示的xx型区域DD上连续,其中y1(x),y2(x)y_1(x),y_2(x)[a,b][a,b]上连续,则Df(x,y)dσ=abdxy1(x)y2(x)f(x,y)dy\iint_Df(x,y)dσ=\int_a^bdx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy即二重积分可化为先对yy后对xx的累次积分
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    同理,若DD为如(4)式所示的yy型区域,其中x1(y),x2(y)x_1(y),x_2(y)[c,d][c,d]上连续,则Df(x,y)dσ=cddyx1(y)x2(y)f(x,y)dx\iint_Df(x,y)dσ=\int_c^ddy\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx即二重积分可化为先对xx后对yy的累次积分

    5.变量变换
    (1)变量变换公式:
    在这里插入图片描述

    引理:设变换T:x=x(u,v),y=y(u,v)T:x=x(u,v),y=y(u,v)uvuv平面上由按段光滑的封闭曲线所围成的闭区域ΔΔ一对一地映成xyxy平面上的闭区域DD,函数x(u,v),y(u,v)x(u,v),y(u,v)ΔΔ内分别具有1阶连续偏导数且它们的函数行列式J(u,v)=(x,y)(u,v)0((u,v)Δ)J(u,v)=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}≠0\,((u,v)∈Δ)则区域DD的面积μ(D)=ΔJ(u,v)dudv(5)μ(D)=\iint_Δ|J(u,v)|dudv\qquad(5)
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    定理21.13:设f(x,y)f(x,y)在有界闭区域DD上可积,设变换T:x=x(u,v),y=y(u,v)T:x=x(u,v),y=y(u,v)uvuv平面上由按段光滑的封闭曲线所围成的闭区域ΔΔ一对一地映成xyxy平面上的闭区域DD,函数x(u,v),y(u,v)x(u,v),y(u,v)ΔΔ内分别具有1阶连续偏导数且它们的函数行列式J(u,v)=(x,y)(u,v)0((u,v)Δ)J(u,v)=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}≠0\,((u,v)∈Δ)Df(x,y)dxdy=Δf(x(u,v),y(u,v))J(u,v)dudv\iint_Df(x,y)dxdy=\iint_Δf(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv
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    (2)极坐标下二重积分的计算:
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    定理21.14:设f(x,y)f(x,y)满足定理21.13的条件,且在极坐标变换(8)下,xyxy平面上的有界闭区域DDrθ平面上的区域ΔΔ对应,则成立Df(x,y)dxdy=Δf(rcosθ,rsinθ)rdrdθ(9)\iint_Df(x,y)dxdy=\iint_Δf(rcos\,θ,rsin\,θ)rdrdθ\qquad(9)
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    将二重积分在极坐标系下化为累次积分:
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    二.格林公式·曲线积分与路线无关性
    1.二重积分与第二型曲线积分间的联系
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    (1)边界曲线的正方向:
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    (2)格林公式(Green Formula):

    定理21.11:若函数P(x,y),Q(x,y)P(x,y),Q(x,y)在闭区域DD上连续,且有连续的1阶偏导数,则有D(QxPy)dσ=LPdx+Qdy(1)\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dσ=\oint_LPdx+Qdy\qquad(1)这里LL为区域DD的边界曲线,分段光滑,并取正方向;公式(1)称为格林公式
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    格林公式揭示了沿闭曲线的积分和二重积分之间的联系,为便于记忆,格林公式(1)也可写成下述形式DxyPQdσ=LPdx+Qdy\iint_D\left|\begin{matrix}\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}\\P&Q\end{matrix}\right|dσ=\oint_LPdx+Qdy应用格林公式可简化某些曲线积分的计算

    2.曲线积分与路线的无关性
    (1)单连通与复连通:
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    (2)曲线积分在什么条件下和路径无关:

    定理21.12:设DD是单连通闭区域,若函数P(x,y),Q(x,y)P(x,y),Q(x,y)DD内连续,且具有1阶连续偏导数,则以下4个条件等价:
    ①沿DD内任一按段光滑封闭曲线LL,有LPdx+Qdy\oint_LPdx+Qdy
    ②对DD内任一按段光滑曲线LL,曲线积分LPdx+Qdy\int_LPdx+Qdy与路线无关,只与LL的起点与终点有关
    Pdx+QdyPdx+QdyDD内某函数u(x,y)u(x,y)的全微分,即在DD内有du=Pdx+Qdydu=Pdx+Qdy
    ④在DD内处处有下式成立Py=Qx\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
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    关于条件[DD是单连通区域]:
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    (3)Pdx+QdyPdx+Qdy的原函数:
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    三.三重积分
    1.概念与性质:
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    注:①可仿照定义平面图形可求面积的方法建立空间立体可求体积的概念,今后总是假定VV的边界由光滑曲面组成,以保证积分区域是可求体积的
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    2.将三重积分化为累次积分
    (1)先一后二法:

    定理21.15:若函数f(x,y,z)f(x,y,z)在长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在,且对(x,y)D=[a,b]×[c,d],g(x,y)=ehf(x,y,z)dz∀(x,y)∈D=[a,b]×[c,d],g(x,y)=\int_e^hf(x,y,z)dz都存在,则积分Dg(x,y)dxdy\iint_Dg(x,y)dxdy也存在,且Vf(x,y,z)dxdydz=Ddxdyehf(x,y,z)dz\iiint_Vf(x,y,z)dxdydz=\iint_Ddxdy\int_e^hf(x,y,z)dz
    在这里插入图片描述
    推论1:若V={(x,y,z)(x,y)D,z1(x,y)zz2(x,y)}[a,b]×[c,d]×[e,h]V=\{(x,y,z)\,|\,(x,y)∈D,z_1(x,y)≤z≤z_2(x,y)\}\sub[a,b]×[c,d]×[e,h],其中DDVVOxyOxy平面上的投影,z1(x,y),z2(x,y)z_1(x,y),z_2(x,y)DD上的连续函数,函数f(x,y,z)f(x,y,z)VV上的三重积分存在,且对(x,y)D∀(x,y)∈D,G(x,y)=z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dzG(x,y)=\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz也存在,则积分DG(x,y)dxdy\iint_DG(x,y)dxdy存在,且Vf(x,y,z)dxdydz=DG(x,y)dxdy    =Ddxdyz1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz(3)\iiint_Vf(x,y,z)dxdydz=\iint_DG(x,y)dxdy\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\,\,\,=\iint_Ddxdy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz\qquad(3)(见图21-21)
    在这里插入图片描述
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    (2)先二后一法:

    定理21.16:若函数f(x,y,z)f(x,y,z)在长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在,且对z[e,h]∀z∈[e,h],二重积分I(z)=Df(x,y,z)dxdyI(z)=\iint_Df(x,y,z)dxdy存在,其中D=[a,b]×[c,d]D=[a,b]×[c,d],则积分ehdzDf(x,y,z)dxdy\int_e^hdz\iint_Df(x,y,z)dxdy也存在,且Vf(x,y,z)dxdydz=ehdzDf(x,y,z)dxdy\iiint_Vf(x,y,z)dxdydz=\int_e^hdz\iint_Df(x,y,z)dxdy
    推论1:若V[a,b]×[c,d]×[e,h]V\sub[a,b]×[c,d]×[e,h],函数f(x,y,z)f(x,y,z)VV上的三重积分存在,且对z[e,h]∀z∈[e,h],二重积分φ(z)=Dzf(x,y,z)dxdyφ(z)=\iint_{D_z}f(x,y,z)dxdy存在,其中DzD_z是截面{(x,y)(x,y,z)V}\{(x,y)\,|\,(x,y,z)∈V\},则积分ehφ(z)dz\int_e^hφ(z)dz也存在,且Vf(x,y,z)dxdydz=ehφ(z)dz=ehdzDzf(x,y,z)dxdy\iiint_Vf(x,y,z)dxdydz=\int_e^hφ(z)dz=\int_e^hdz\iint_{D_z}f(x,y,z)dxdy(见图21-33)
    在这里插入图片描述

    3.三重积分换元法
    在这里插入图片描述
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    (1)柱面坐标变换:
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    (2)球坐标变换:
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  • 2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> ...

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    code

    clear
    clc
    
    f=@(x,y,z) x*y*z
    xmin=0
    xmax=1
    ymin=0
    ymax=1
    zmin=0
    zmax=1
    triplequad(f,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax)
    

    result

    
    f =
    
      包含以下值的 function_handle:
    
        @(x,y,z)x*y*z
    
    
    xmin =
    
         0
    
    
    xmax =
    
         1
    
    
    ymin =
    
         0
    
    
    ymax =
    
         1
    
    
    zmin =
    
         0
    
    
    zmax =
    
         1
    
    
    ans =
    
        0.1250
    
    >> 
    

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  • 章中心力场习题选择题37.氢原子的能级为DA..B..C.. D. .38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为BA.. B.. C.. D..39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为DA.. B. . C. . D. ....

    第六章中心力场习题

    选择题

    37.氢原子的能级为D

    A..B..C.. D. .

    38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为B

    A.. B.. C.. D..

    39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为D

    A.. B. . C. . D. .

    40.波函数和是平方可积函数,则力学量算符为厄密算符的定义是C

    A.. B..

    C.. D..

    41. 和是厄密算符,则D

    A.必为厄密算符. B.必为厄密算符. C.必为厄密算符.

    D. 必为厄密算符.

    42.已知算符和,则A

    A.和都是厄密算符. B.必是厄密算符. C.必是厄密算符.

    D.必是厄密算符.

    43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为B

    A.1. B. 2. C. 3. D. 4.

    44.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到函数)A

    A.. B.. C.. D.

    45.角动量Z分量的归一化本征函数为C

    A.. B. . C.. D. .

    46.波函数 C

    A.???? 是的本征函数,不是的本征函数. B.不是的本征函数,是的本征函数.

    C 是、的共同本征函数. D. 即不是的本征函数,也不是的本征函数.

    47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为C

    A. 3. B. 6. C. 9. D. 12.

    48.氢原子能级的特点是B

    A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.

    B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.

    C.能级随量子数的增大而减小.

    D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.

    49一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为,这种性质是B

    A.???? 库仑场特有的. B.中心力场特有的. C.奏力场特有的. D.普遍具有的.

    50.对于氢原子体系,其径向几率分布函数为,则其几率分布最大处对应于Bohr原子模型中的圆轨道半径是C

    A.. B. . C. . D. .

    51.设体系处于状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为A

    A.. B.. C.. D..

    52. 设体系处于状态,该体系的角动量的取值及相应几率分别为C

    A.. B.. C.. D..

    53. 设体系处于状态,该体系的角动量Z分量的取值及相应几率分别为A

    A.. B. . C.. D. .

    54. 设体系处于状态,该体系的角动量Z分量的平均值为D

    A.. B. . C. . D. .

    55. 设体系处于状态,该体系的能量的平均值为B

    A..B..C.. D..

    56.体系处于状态,则体系的动量取值为A

    A.. B. . C. . D. .

    57. 体系处于状态,体系的动量取值几率分别为B

    A. 1,0. B. 1/2,1/2. C. 1/4,3/4/ . D. 1/3,2/3.

    58. 体系处于状态, 体系的动量平均值为A

    A.. B. . C. . D. .

    59.一振子处于态中,则该振子能量取值分别为C

    A.. B. . C. . D. .

    60. 一振子处于态中,该振子的能量取值的几率分别为B

    A.. B. ,. C.,. D. .

    61. 一振子处于态中,该振子的能量平均值为D

    A.? . B. . C. .

    D. .

    填空题

    1. 经典力学中,在中心力场V ( r)中运动的粒子(质量为),角动量

    2.粒子在中心力场中的运动为 运动。 平面

    3.设质量为的粒子在中心势V ( r)中运动,则Hamilton量表示为

    4. 。 0

    5.中心场中的两个粒子,其质量分别为、,位矢为、,质心坐标可以表示为 。

    6. 中心场中的两个粒子,其质量分别为、,位矢为、,其相对坐标为 。

    7.氢原子的原子核是一个质子,荷电,它与电子的Coulomb吸引能为 。

    8. 中心场中的两个粒子,其质量分别为、,折合质量可以表示为 。

    9. 。

    10.在中心场V(r)中运动的粒子,其轨道角动量平方是个

    。 守恒量

    11. 。 0

    12. 。

    13. 。

    14. 。

    15.

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  • 积分 难点记录见微积分 难点记录 知识点一: 题目二: 题目三: 知识点四: 题目五: 知识点
  • 学习matlab()——微分和积分

    千次阅读 2020-02-12 23:38:59
    积分包括单变量数值积分、双重积分和三重积分等。然后介绍了常微分方程的符号解和数值解。最后介绍了如何求函数的最小值和零点。 0.数值积分 函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作: 其中f(x)称为被积函数,f(x...
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  • 高数是考研数学中最难也最重要的一个部分,考生复习要以它为主,多做总结,多练习重点题型,下面类是高数常考的类型,希望大家复习时注意。第一类:求极限无论数学一、数学二还是数学三,求极限是高等数学的基本...
  • 知识点: 知识点七: 画曲线的要素: domain, range, symmetry, limits, continuity, and vertical asymptotes derivatives and tangentsextreme values, intervals of increase and decrease, concavity, ...
  • 积分做题技巧

    2020-05-15 11:55:32
    一、 二重积分 二、 三重积分 三、 第一类曲线积分 四、 第二类曲线积分 1. 平面内 ①几何意义 ...、 第二类曲面积分 区域对称,积分简化 高斯公式 补成闭合曲面 + 高斯公式 一般解法 一些标识符 rot ...
  • 首先复习一下一元的定积分、然后讲解二重积分和三重积分。 复习定积分(单变量) 在之前,先复习一下之前学习的内容。使用matlab求解定积分的步骤大概如下: 定义符号变量(syms关键字) 定义内联函数(inline...
  • 积分(三)

    2019-12-25 15:47:42
    积分(三) 第一部分 多元函积分学 (续) 第二部分 无穷级数(续) 第1 第一节:立体的体密度,三重积分概念的引入与定义,xy—型区域;...第五节:三重积分化为球面坐标系下的累次积分,例题 第节:第...
  • 积分学:一、不定积分:二、基本初等函数不定积分表:三、常用特殊函数不定积分表:四、初等积分方法:五、阿贝尔积分、定积分 / 黎曼积分:七、反常积分:八、含参积分:九、二重积分:十、三重积分:十一、...
  • 节 微积分基本定理 第七节 微分积分符号体系与运算法则 第三章 初等函数与初步应用 第八节 多项式函数与局部高阶逼近 第九节 几何应用与三角函数 第十节 指数函数与对数函数 第十一节 常微分方程简介 第十二节 ...
  • 积分方法 作者:李亿民 著 出版时间:2013年版 内容简介  《微积分方法》补充了大量的数学工具,以此作为进一步研究微积分的起点,将...第篇 常微分方程与差分方程简介 6.1 常微分方程 6.2 差分方程简介 参考文献
  • 高等数学第版答案

    2018-09-16 16:42:44
    该书分上、下两册出版,上册包括数列、函数、极限、微积分以及微分方程,下册包括空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数等内容。依据最新的“工科类本科数学基础...
  • 参与AGT关系的Nekrasov函数的实际定义意味着在LMNS和Dotsenko-Fateev积分中对轮廓的特殊选择。... 我们用N =(1,1)U(1)SYM的最简单示例在个维度上说明了此思想,但是显然可以以完全相似的方式考虑所有其他情况。
  • 考研月学习总结

    2020-07-17 20:09:23
    拼了命结束重积分和级数。 线代讲义配合1800题目至少到第二章矩阵。 组原能够到第五章开头 天勤数据结构走30页 听一下唐迟的课,然后就做真题积累词汇短语了。 心得感想 这个月回家处理出租房的事情花了好几天,...
  • n维立体的体积• n重积分 ------------675. n重积分中的变量变换 ------------676.例 •----第十九章 傅里叶级数 --------§1.导言 ------------677.周期量与调和分析 ------------678.欧拉-傅里叶确定系数法 ---...
  • 2022考研复习第

    2021-04-11 12:43:53
    总结第九章 二重积分 同济教材定理证明 完成 三重积分球面坐标 不熟 应用:引力 不会 0基础班勾画教材的题 完成 660勾画的题 完成 第十章 无穷级数 同济教材定理证明 完成 0基础班勾画教材的题 完成 660勾画的...
  • 2021-5-8星期

    2021-05-08 11:58:50
    超链接,在网页中看到的链接可以点进去的,用a链接进行实现 `<!--超链接--> 百度一下,你就知道 ...《敲代码比算三重积分好玩》</title> </head> <body bgcolor="seagreen".
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空空如也

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六重积分