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  • 文章目录一、方差不平稳二、具有趋势性1、回归分析法2、...一阶差分可以使线性趋势的序列实现趋势平稳 序列蕴含着曲线趋势,通常低阶(二阶或三阶)差分可提取出曲线趋势的影响 ,这里效果不好的话,可以先取对数,再


    前言

    时间序列为什么要平稳后建模?

    • 时间序列是平稳的,则没有任何预测价值,因为均值不变,所以实际上人们只会对非平稳时间序列感兴趣
    • 之所以研究平稳时间序列,因为总希望可以通过差分等方式把非平稳序列变成平稳的,而平稳时间序列可以通过数学公式予以解释

    一、方差不平稳

    最简单的是做对数变换,使得前后方差没有那么变化。

    #Log transform: variance stationary
    data(AirPassengers)
    AirPassengers
    par(mfrow=c(1,2))
    plot(AirPassengers)
    plot(log(AirPassengers))
    

    在这里插入图片描述

    二、具有趋势性

    1、确定性趋势的删除——趋势拟合法

    最简单的处理方法就是考虑均值函数可以由一个时间的确定性函数来描述,比如可以用回归模型来描述。对于一个有线性趋势的序列,可以做一个线性模型。

    • Linear trend
    ##read the gasline data
    ##Abraham and Ledolter (1983) on the
    ##monthly gasoline demand in Ontario over the period 1960 - 1975.
    gas = scan("gas.dat")
    ## note that read.table() would give an error here since the data is not in rectangular format.
    gas.ts = ts(gas, frequency = 12, start = 1960)
    gas.ts
    plot(gas.ts, main = "Gasoline demand in Ontario", ylab = "Million gallons")
    #fit trend:OLS with constant and trend
    time = 1:length(gas.ts)
    fit = lm(gas.ts~time)
    summary(fit)#R-squared:  0.8225
    par(mfrow=c(2,1))
    plot(time, gas.ts, type='l', xlab='months', ylab='Million gallons gasoline',
    main="OLS fit")
    legend(.1, 256000, c("Time plot", "OLS fit"), col = c(1,2), text.col = "black",
    merge = TRUE, lty=c(1,1))
    abline(fit,col=2,lwd=2)
    plot(time, fit$resid, type='l', xlab="months", ylab="Residuals",main="Residuals OLS [yt-fit(yt)]")
    abline(a=0, b=0)#残差在0附近点波动
    #savePlot("plot of Residuals_gas",type="pdf")
    

    在这里插入图片描述

    • Quadratic trend
    fit2 = lm(gas.ts~time+I(time^2))
    summary(fit2)#R-squared:  0.8327
    names(fit2)
    par(mfrow=c(2,1))
    plot(time, gas.ts, type='l', xlab='months', ylab='Million gallons gasoline',
         main="OLS fit")
    legend(.1, 256000, c("Time plot", "OLS fit"), col = c(1,2), text.col = "black",
           merge = TRUE, lty=c(1,1))
    lines(time,fitted(fit2),col=2)   
    plot(time, fit2$resid, type='l', xlab="months", ylab="Residuals",main="Residuals OLS [yt-fit(yt)]")
    abline(a=0, b=0)
    

    在这里插入图片描述

    • Polynomial trend

    2、随机趋势的删除——差分法

    随机趋势的删除——差分法。

    • 一阶差分可以使线性趋势的序列实现趋势平稳
    Zt = as.ts(rnorm(1000, sd = 20))
    RW1 = as.ts(cumsum(Zt))
    par(mfrow = c(2,2))
    plot(RW1, main = "Random walk")
    acf(RW1, main = "Correlogram random walk")
    Yt=as.ts(diff(RW1))
    plot(Yt,main='Diff(RW1)')
    acf(Yt)
    

    在这里插入图片描述

    • 序列蕴含着曲线趋势,通常低阶(二阶或三阶)差分可提取出曲线趋势的影响 ,这里效果不好的话,可以先取对数,再做差分
    • 对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算,通常可以较好地提取周期信息
    • 差分的阶数要适度,避免过差分

    3、未知趋势的删除——平滑法

    平滑法——顾名思义,使序列变平滑。 期望结果,是显示出趋势变化的规律。

    1. 移动平均法

    假定在短的时间间隔内,序列的取值是比较稳定的,序列的大小差异主要是由随机波动造成的。用一段时间间隔内的平均值作为某一期的估计值。

    • 简单移动平均
    ##Moving average Model
    Vt5 = filter(Zt, rep(1/5, 5), sides = 2)
    Vt21 = filter(Zt, rep(1/21, 21), sides = 2)
    par(mfrow = c(2,2))
    plot(Vt5, main = "Moving 5-point average of above white noise series")
    acf(Vt5, main = "Correlogram 5-point moving average", lag.max = 40, na.action = na.pass)
    plot(Vt21, main = "Moving 21-point average of above white noise series")
    acf(Vt21, main = "Correlogram 21-point moving average", lag.max = 40, na.action = na.pass)
    par(mfrow = c(1,1))
    

    在这里插入图片描述

    • 权重移动平均

    2. 指数平滑法

    4、季节性

    Seasonality means an effect that happens at the same time and with the same magnitude and direction every year. 从而使得经过季节调整的序列能够较好的反应社会经济指标运行基本态势。

    1.Method1: 减掉趋势成分后取平均

    ## Investigating seasonality
    library(fields)
    z = matrix(fit$resid, ncol=12, byrow=TRUE)
    colnames(z) = c("Jan","Feb","Mar","Apr","May","Jun","Jul","Aug","Sep","Oct","Nov","Dec")
    bplot(z, xlab="Month", ylab="Detrended demand of gasoline", main="Annual seasonality of the detrended demand of gasoline")    
    mean=matrix(0, nrow=ncol(z), ncol=1) #mean for each month
    for(i in 1:ncol(z)){
      mean[i,1]=mean(z[,i])
    }
    Seas = as.matrix(rep(mean,16)) # matrix with seasonal term
    des.gas = fit$resid - Seas   # detrended and now deseasonized series
    par(mfrow=c(2,1))
    plot(fit$resid, type='l', xlab="months", ylab="Residuals", main="Residuals OLS [yt-fit(yt)]")
    abline(a=0, b=0)
    plot(des.gas, type='l', xlab="months", ylab="Deseasonized residuals", main="Deseasonized ResidualsOLS")
    abline(a=0, b=0)
    

    在这里插入图片描述

    2.Method2:使用哑元变量做回归分析

    ##seasonal modeling and estimating seasonal trends
    ##such as for the average monthly temperature data 
    library(TSA)  #install package TSA
    win.graph(width=4.875, height=2.5,pointsize=8)
    data(tempdub); 
    plot(tempdub,ylab='Temperature',type='o')
    month.=season(tempdub) # period added to improve table display
    model2=lm(tempdub~month.) # -1 removes the intercept term
    summary(model2)
    
    Call:
    lm(formula = tempdub ~ month.)
    
    Residuals:
        Min      1Q  Median      3Q     Max 
    -8.2750 -2.2479  0.1125  1.8896  9.8250 
    
    Coefficients:
                    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
    (Intercept)       16.608      0.987  16.828  < 2e-16 ***
    month.February     4.042      1.396   2.896  0.00443 ** 
    month.March       15.867      1.396  11.368  < 2e-16 ***
    month.April       29.917      1.396  21.434  < 2e-16 ***
    month.May         41.483      1.396  29.721  < 2e-16 ***
    month.June        50.892      1.396  36.461  < 2e-16 ***
    month.July        55.108      1.396  39.482  < 2e-16 ***
    month.August      52.725      1.396  37.775  < 2e-16 ***
    month.September   44.417      1.396  31.822  < 2e-16 ***
    month.October     34.367      1.396  24.622  < 2e-16 ***
    month.November    20.042      1.396  14.359  < 2e-16 ***
    month.December     7.033      1.396   5.039 1.51e-06 ***
    ---
    Signif. codes:  0***0.001**0.01*0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
    
    Residual standard error: 3.419 on 132 degrees of freedom
    Multiple R-squared:  0.9712,	Adjusted R-squared:  0.9688 
    F-statistic: 405.1 on 11 and 132 DF,  p-value: < 2.2e-16
    
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  • 时间序列分析数据要有平稳性 由此,我们引入一个概念,Strict stationary process(SSS)/严格平稳过程 n个随机变量的联合分布函数和的联合分布函数对所有时延都是相同的,称为严格平稳随机过程,又称为狭义平稳随机...

    通俗的理解就是前面的数据与后面的数据是有关联的,它们之间的关系不能有太大的改变
    比如这种,突然崩盘,就是突然改变了关系
    在这里插入图片描述
    算法模型的预测原理,数据之间有关联才能预测数据,关系突然改变,自然预测不了
    故时间序列分析数据要有平稳性

    由此,我们引入一个概念,Strict stationary process(SSS)/严格平稳过程
    n个随机变量的联合分布函数和的联合分布函数对所有时延都是相同的,称为严格平稳随机过程,又称为狭义平稳随机过程。
    所以,有以下:
    注意,t与k均为下标
    xt≤x1→x(t+k)≤x1

    进一步推广:
    x(t1)≤x1,x(t2)≤x2→x(t1+k)≤x1,x(t2+k)≤x2
    再推广:
    x(tn+k)≤xn
    就是说这个关系是固定的,不随时间的改变而改变

    问题又来了,现实生活中,各数据的关系都是固定的吗?
    肯定不是,
    于是我们要引入新的概念,弱平稳

    弱平稳的3个限制条件
    注意这些条件是有使用顺序的,比如1不符合,直接不用看了,肯定不是
    1函数/算法的均值与自变量t无关→简单的讲就是其均值没有变化
    2x(t+k)和x(t)的自协方差(Auto covariance)与t无关
    3不存在周期性关系(联想cosx)

    那么要怎么使用这三个条件去判断呢
    1观察图像,从直觉上感觉是否符合

    在这里插入图片描述

    2全局测试与局部测试比如选择某个区间的均值与其他区间的均值进行比较→看看是否符合条件1
    3,迪基-福勒检验(Dickey-Fuller test)→用于测试一个自回归模型是否存在单位根(unit root)

    展开全文
  • 平稳时间序列趋势分析

    万次阅读 2017-06-25 10:21:01
    有些时间序列具有非常显著的趋势,有时我们分析的目的就是要找到序列中的这种趋势,并利用这种趋势对未来的发展作出合理的预测。趋势拟合法趋势拟合法就是把时间作为自变量,相应的序列观测值做为因变量,建立序列值...

    有些时间序列具有非常显著的趋势,有时我们分析的目的就是要找到序列中的这种趋势,并利用这种趋势对未来的发展作出合理的预测。

    趋势拟合法

    趋势拟合法就是把时间作为自变量,相应的序列观测值做为因变量,建立序列值随时间变化的回归模型的方法。根据序列所表现出的线性或者非线性特征,拟合方法又可以具体分为线性拟合曲线拟合。

    线性拟合

    如果长期趋势呈现出线性特征,那我们可以用线性模型来拟合。
    R语言使用lm函数拟合线性趋势。
    lm(Y ~ a + X1 + X2 +…+Xn,data = )

    -Y:响应变量
    -a:指定是否需要常数项
    (1)a = 1,模型有非零常数项,这是默认设置。
    (2)a = 0,模型不需要常数项。
    -X1,…,Xn:自变量。
    -data:数据框名。如果自变量和响应变量不是独立输入变量而是共同存在于某个数据框中,则需要指定数据框名。

    #读入数据
    x<-c(8444,9215,8879,8990,8115,9457,8590,9294,8997,9574,9051,9724,9120,
         + 10143,9746,10074,9578,10817,10116,10779,9901,11266,10686,10961,10121,
         + 11333,10677,11325,10698,11624,11502,11393,10609,12077,11376,11777,
         + 11225,12231,11884,12109)
    #构造时间变量
    t<-c(1:40)
    #拟合回归模型
    x.fit<-lm(x~t)
    #查看拟合信息
    summary(x.fit)
    Call:
    lm(formula = x ~ t)
    
    Residuals:
        Min      1Q  Median      3Q     Max 
    -853.06 -329.64   63.54  314.46  794.04 
    
    Coefficients:
                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
    (Intercept) 8491.765    137.964   61.55   <2e-16 ***
    t             90.009      5.864   15.35   <2e-16 ***
    ---
    Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
    
    Residual standard error: 428.1 on 38 degrees of freedom
    Multiple R-squared:  0.8611,    Adjusted R-squared:  0.8575 
    F-statistic: 235.6 on 1 and 38 DF,  p-value: < 2.2e-16
    
    #绘制拟合效果图
    x<-ts(x)
    plot(x)

    时序图

    abline(lm(x~t),col=2)

    拟合效果图

    曲线拟合

    如果长期趋势呈现出非线性特征,那么我们可以用曲线典线模型来拟合它。对曲线模型进行参数估计时,能转换成线性模型的都转化成线性模型,用线性最小二乘法进行参数估计,实在不能转化成线性模型的,就用迭代法进行参数估计。
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    R语言针对非线性趋势的拟合也分为两类:一类可以写成关于时间t的多项式,这时仍然可以用lm函数拟合。另一类无法通过适当的变换变成线性回归模型,只能通过非线性回归解决,这时要用nls函数。
    nls(Y ~ f(x1,…,xn),data=,start=)

    -Y:响应变量。
    -X1,…,Xn:自变量
    -f:非线性函数
    -data:数据框名
    -start:如果需要利用迭代计算未知参数,可以指定迭代初始值。

    1949-2008年化肥产量序列进行曲线拟合’
    lm函数拟合

    a<-read.table("D:/R-TT/book4/4R/data/file12.csv",sep=",",header = T)
    x<-ts(a$output,start=1949)
    #lm函数拟合
    t1<-c(1:60)
    t2<-t1^2
    x.fit1<-lm(x~t1+t2)
    summary(x.fit1)
    Call:
    lm(formula = x ~ t1 + t2)
    
    Residuals:
        Min      1Q  Median      3Q     Max 
    -532.12 -164.92   24.68  105.51  716.37 
    
    Coefficients:
                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
    (Intercept) 319.0255   105.3371   3.029  0.00369 ** 
    t1          -57.7690     7.9679  -7.250 1.22e-09 ***
    t2            2.3551     0.1266  18.601  < 2e-16 ***
    ---
    Signif. codes:  0***0.001**0.01*0.05.0.1 ‘ ’ 1
    
    Residual standard error: 263 on 57 degrees of freedom
    Multiple R-squared:  0.9755,    Adjusted R-squared:  0.9746 
    F-statistic:  1133 on 2 and 57 DF,  p-value: < 2.2e-16

    nls函数拟合

     x.fit2<-nls(x~a+b*t1+c*t1^2,start = list(a=1,b=1,c=1))
    > summary(x.fit2)
    
    Formula: x ~ a + b * t1 + c * t1^2
    
    Parameters:
      Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
    a 319.0255   105.3371   3.029  0.00369 ** 
    b -57.7690     7.9679  -7.250 1.22e-09 ***
    c   2.3551     0.1266  18.601  < 2e-16 ***
    ---
    Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
    
    Residual standard error: 263 on 57 degrees of freedom
    
    Number of iterations to convergence: 1 
    Achieved convergence tolerance: 3.059e-08

    根据输出结果可以知道,这两个函数得到的拟合结果完全一致,1949-2008年我国化肥序列的拟合模型为:
    Xt = 319.0255 - 57.769t +2.3551t^2 N(0,263^2)

    y<-predict(x.fit2)
    y<-ts(y,start = 1949)
    plot(x,type = "p")
    lines(y,col=2,lwd=2)

    这里写图片描述

    平滑法

    平滑法是进行趋势分析和预测时常用的一种方法,它是利用修匀技术,消弱短期随机波动的序列的影响,使序列平滑化,从而显示出变化的规律。它具有调节灵活、计算简便的特征,广泛应用于计量经济、人口研究等诸多领域。根据所有的平滑技术的不同,平滑法又可以具体分为移动平均法与指数平滑法。

    移动平均法

    移动平均法的基本思想是对于一个时间序列{Xt},我们可以假定在一个比较短的时间间隔内,序列的预测值是比较平稳的,它们之间的差异主要是由随机波动造成的,根据这种假定,我们可以使用一定时间间隔的平均值作为下一期的估计值。
    移动平均的期数对原序列的修匀效果影响很大,要确定移动平均的期数,一般会从如下三个方面加以考虑:
    (1)事件的发展有无周期性。
    (2)对趋势平滑性的要求。
    (3)对趋势反映近期灵敏度的要求。
    在R语言中,TTR程序包中的SMA函数是专门用来作简单移动平均趋势拟合的函数。
    SMA(x,n)

    -x:需要做简单的移动平均的序列名
    -n:移动平均期数

    对北京市1949年-1998年每年最高气温序列进行进行5期移动平均拟合。

    library(TTR)
    a<-read.table("D:/R-TT/book4/4R/data/file6.csv",",",header = T)
    x<-ts(a$temp,start = 1949)
    x.ma<-SMA(x,n=5)
    plot(x,type = "o")
    lines(x.ma,col=2,lwd=2)

    这里写图片描述

    指数平滑法

    移动平均法实际上就是用一个简单的加权平均数作为某一期的趋势的估计值。
    原理为近期的结果对现在的影响大些,远期的结果对现在的影响小些。
    各期权重随时间间隔的增大而呈指数衰减,这就是指数平滑法的基本思想。
    1.简单的指数平滑
    这里写图片描述
    2.Holt两参数指数平滑
    适用于对含有线性趋势的序列进行修匀。它的基本思想是假定序列有一个比较固定的线性趋势——每期都递增r或者递减r,那么第t期的估计值就应该等于第t-1期的观察值加上每期固定的趋势变动。
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    3.Holt-Winters三参数指数平滑
    假定要进行指数平滑的序列为{Xt},{Xt}序列既含有趋势又含有季节。这个季节因子可以随每年的具体情况波动,因为引入了季节因子,所以构建了三参数模型。
    在R语言中,HoltWinters函数可以完成上述三种平滑趋势拟合。
    HoltWinters(x,alpha=,beta=,gamma=,seasonal=)

    -x:要进行指数平滑的序列名
    -alpha:随机波动部分的参数
    -beta:趋势部分的参数
    -gamma:季节部分的参数
    这三个指数联合起来,确定要拟合的指数平滑模型类型:
    (1)当alpha不指定时,beta = F,gamma=F,表示拟合简单指数平滑模型。
    (2)当alpha和beta不指定时,gamma=F时,表示拟合Holt两参数指数平滑模型。
    (3)当三个参数都不指定时,表示拟合Holt-Winters三参数指数平滑模型。
    -seasonal:当既含有季节的又含有趋势时,指定季节与趋势的关系。
    seasonal = “additive”表示加法关系, 这是系统默认选项。seasonal=”multiplicative”表示乘法关系。

    对1964-1999年中国纱年产量序列分析,并预测未来10年的

    #读入序列
    a<-read.table("D:/R-TT/book4/4R/data/file4.csv",sep=",",header = T)
    x<-ts(a$output,start = 1964)
    #进行Holt两参数平滑
    x.fit<-HoltWinters(x,gamma = F)
    x.fit
    Holt-Winters exponential smoothing with trend and without seasonal component.
    
    Call:
    HoltWinters(x = x, gamma = F)
    
    Smoothing parameters:
     alpha: 0.855644
     beta : 0.158537
     gamma: FALSE
    
    Coefficients:
           [,1]
    a 565.55301
    b  12.29066
    #绘制Holt两参数指数平滑拟合效果图
    plot(x.fit)

    这里写图片描述

    #预测序列并绘制预测效果图
    library(forecast)
    x.fore<-forecast(x.fit,h=10)
    x.fore
     Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
    2000       577.8437 545.8643 609.8230 528.9355 626.7519
    2001       590.1343 545.1051 635.1636 521.2681 659.0006
    2002       602.4250 544.7497 660.1003 514.2182 690.6318
    2003       614.7157 544.3115 685.1198 507.0417 722.3896
    2004       627.0063 543.6025 710.4101 499.4512 754.5614
    2005       639.2970 542.5375 736.0565 491.3161 787.2779
    2006       651.5876 541.0751 762.1002 482.5733 820.6020
    2007       663.8783 539.1960 788.5606 473.1931 854.5635
    2008       676.1690 536.8922 815.4458 463.1635 889.1744
    2009       688.4596 534.1622 842.7570 452.4821 924.4371
    plot(x.fore)

    这里写图片描述
    对1962年1月和1975年12月平均每头奶牛月产奶量序列进行Holt-Winters三参数指数平滑

    #读入序列
    b<-read.table("D:/R-TT/book4/4R/data/file5.csv",sep=",",header = T)
    x<-ts(b$milk,start = c(1962,1),frequency = 12)
    #进行Holt-winters三参数指数平滑
    x.fit<-HoltWinters(x)
    x.fit
    Holt-Winters exponential smoothing with trend and additive seasonal component.
    
    Call:
    HoltWinters(x = x)
    
    Smoothing parameters:
     alpha: 0.68933
     beta : 0
     gamma: 0.8362592
    
    Coefficients:
              [,1]
    a   885.775547
    b     1.278118
    s1  -16.743296
    s2  -59.730034
    s3   47.492731
    s4   56.203890
    s5  115.537545
    s6   84.554817
    s7   39.580306
    s8   -4.702033
    s9  -54.554684
    s10 -51.582594
    s11 -85.953466
    s12 -42.907363
    #绘制Holt-winters三参数指数平滑拟合效果图
    plot(x.fit)

    这里写图片描述

    #预测序列并绘制预测效果图
    x.fore<-forecast(x.fit,h=24)
    plot(x.fore)
    

    月度产奶量Holt-Winters三参数指数平滑序列预测图
    月度产奶量Holt-Winters三参数指数平滑序列预测图

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  • 作者:五雷 ...首先要理解什么是平稳的时间序列,一般时间序列书中给出的平稳的定义以弱平稳为主也就是一个随机变量的无条件期望不变、方差恒定且协方差不随时间改变,也就是,注意关键在于方差是

    作者:五雷
    链接:https://www.zhihu.com/question/22385598/answer/21221607
    来源:知乎
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    1. 首先要理解什么是平稳的时间序列,一般时间序列书中给出的平稳的定义以弱平稳为主也就是一个随机变量{y_{t} }的无条件期望不变、方差恒定且协方差不随时间改变,也就是E[y_{t}]=a,Var[y_{t}]=\sigma^{2},Cov(y_{t},y_{t-i})=\sigma_{i},注意关键在于方差是有限的,并且协方差是不随时间改变的。为什么这么设定?主要是给定这些假设前提后,就可以便于技术上的处理,例如平稳变量的谱分析;
    2. 然后,需要知道一般什么样的时间序列是平稳的,例如最常用的ARMA过程y_{t}=A(L)y_{t-1}+B(L)\epsilon_{t},关键在于理解这个方程实际上是一个随机差分方程,差分项就是变量自身,随机项就是\epsilon_{t},将上面这个方程稍微变换,可以看到可以写成y_{t}=B(L)\epsilon_{t}/(1-A(L)),这也就是随机微分方程的一个解,方程1-A(L)=0称为逆特征方程,解也就是逆特征解,跟差分方程的齐次解成倒数关系。现在可以知道,差分方程要平稳,那么其解应该在单位圆内,或者对应的逆特征方程的特征根在单位圆外。如果有根在单位圆上,那么对应着就是有单位根了;
    3. 最后,看什么样的序列存在单位根,最简单的情况y_{t}=y_{t-1}+\epsilon_{t},可以看到对应的特征根是1,这样得出的解为y_{t}=\sum_{i=0}^{\infty }{\epsilon_{t-i}} ,可以看到这种情况下,离当前时间t很久远的时刻的一个随机冲击对现在的影响仍然没有衰减,这样就是单位根过程了。如果时间序列存在这种情况,对时间序列的未来值的预测就难以进行。再从平稳的定义看,此时随机变量的方差就会逐渐增大到\infty ,而不会是有限的方差,这样长期的时间序列就没有预测意义了。
    上面陈述的就是最基本的单位根与非平稳时间序列的关系,那么怎么检验单位根过程?最基本的或者最通用的检验是ADF检验,要理解ADF检验需要弄清假设检验的一般原理,知道检验统计量的size distortion和power的含义,然后就能清楚为什么普通的t检验不能检验是否存在单位根而需要通过monte carlo实验来获取临界值了。系统的学习请参考hamilton~

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空空如也

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弱平稳时间序列