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  • 向量代数:向量加法、共线与共面

    千次阅读 2014-11-17 16:35:22
    一. 向量加法

    一. 向量加法

    :csdn的文本编辑器不能表示向量的组合箭头表示,所以,这里用下划线代替,比如向量OA,表示为OA,在以后其他文章中的表示也是如此

            定义:如上图所示,设OA=aAB=b,则向量OB称为向量ab的和,记作a+b

            因为图中的aba+b构成一个三角形,所以向量加法的规定也叫做三角形法则。我们也可以用所谓平行四边形法则来定义向量的加法。

            性质:根据加法的三角形法则可得关于向量长度的三角不等式:|a+b| ≤ |a| + |b|。

    二. 共线与共面

            如果一组向量,用同一起点的有向线段来表示时,它们是共线的(或共面的),则成这组向量共线(或共面)。共线的两个向量ab也叫做平行的向量,记做ab
            共线的向量必共面,任意两个向量必共面。
            性质1:设A, B为不同两点,则点X在直线AB上的充要条件:存在实数λ, μ,使:x = λab, λ+μ=1,并且AX/XB = μ/λ。
    特别地,点X落在线段AB上的充要条件是:存在实数λ, μ,使:x = λab, λ+μ=1, 0≤λ, μ≤1,并且AX/XB = μ/λ。λ, μ成为线段AB上的点的重心坐标。如下图所示:

            性质2:设A, B, C为不在同一直线的三点,则点X在A, B, C所决定的平面π上的充要条件是:存在唯一的一组实数λ, μ, ν,使:x = λabc,λ+μ+ν = 1。
    特别地,点X落在△ABC内的充要条件是:存在唯一的一组实数λ, μ, ν,使:x = λabc,λ+μ+ν = 1,0≤λ, μ, ν≤1。
            性质3:设向量ab不共线。向量ca,b共面。此时,必存在实数λ, μ使:c = λab
            性质4:设向量a, b, c不共面,d是空间的任意向量,则必存在实数λ, μ, ν,使:d = λabc

    三. 实践总结

            共线与共面的性质3:在描述很多线相关问题时,大多数资料都只是将问题局限在二维空间中,就比如求三角形的外心和内心,很多资料都是得出外心和内心的二维坐标的公式出来。但是在实际应用当中,大部分的问题还是呈现在三维空间当中的,那么在三维空间中求解任意平面上的问题,除了通过复杂的矩阵变换或投影外,一个非常简洁的办法就是应用共线与共面的性质3来解决问题。可见应用实践:
            共线与共面的性质4:此性质可用于不同坐标系之间的坐标转换问题,已知向量a, b,c, d,可通过混合积来解出实数λ, μ, ν,或者可通过克莱姆法则求解,此问题也可用矩阵变换进行表示,以后再讨论。

    四. 参考

    [1] 苏步青. 空间解析几何. 上海:上海科技出版社,1984
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  • 实数单竖线:表示求实数的绝对值...向量双竖线:表示求向量的模长| xi+yj |=√(x²+y²)    范数双竖线加下标:表示求向量或者矩阵的范数(详情请看博客)   矩阵单竖线:求矩阵行列式(详情请看博客) ...

    实数单竖线:表示求实数的绝对值

     

    向量双竖线:表示求向量的模长| xi+yj |=√(x²+y²) 

     

    范数双竖线加下标:表示求向量或者矩阵的范数(详情请看博客

     

    矩阵单竖线:求矩阵行列式(详情请看博客

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  • 向量空间与线性子空间

    千次阅读 2018-10-30 17:33:03
    向量空间是线性代数研究的基本对象,它是一个集合。在该集合内,可以做向量的加法(两个向量相加仍然在该集合中),...子空间一般指的是线性子空间。线性子空间 WWW 是向量空间 VVV 的一个子集,并且还满足下面三...

    向量空间是线性代数研究的基本对象,它是一个集合。在该集合内,可以做向量的加法(两个向量相加仍然在该集合中),向量与标量的乘法,并且该加法与乘法还满足八个公理。具体可参见维基百科:https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space

    注:齐次线性方程组的解是一个向量空间。

    子空间一般指的是线性子空间。线性子空间 WW 是向量空间 VV 的一个子集,并且还满足下面三个性质:

    1. 零向量在 WW 中.
    2. 如果 uuvvWW 的元素,则向量和 u+vu + v 也是 WW 的元素。
    3. 如果 uuWW 的元素,而 cc 是一个实数,标量积 cucu 也是 WW 的元素。
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  • 其实,齐次坐标系中三点共线,可以等价于求二维欧几里得坐标系中三个向量共面. 第一种方法是利用公式:a⋅(b×c)=0 \mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=0 a⋅(b×c)=0 三个向量的混合积等于0,就证明它们共...

    其实求齐次坐标系中三点共线,可以等价于求欧几里得坐标系中三个向量共面.
    第一种方法是利用公式:a(b×c)=0 \mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=0

    三个向量的混合积等于0,就证明它们共面.
    因为两个向量b,c的叉积得到第三个向量d,这个向量b,c所组成的平面垂直,
    如果a与d垂直,也就是a与d的点积等于0,那么a与b,c所组成的平面是平行的,由于向量在空间中可以自由平移,所以a与b,c共面.
    需要用到Opencv,代码如下:

    bool noThreeCollinear(const std::vector<cv::Vec3f> &points){
        int n = points.size();
        int result = 1;
        for (int i = 0; i<n-2;i++){
            for (int j = i+1; j<n-1;j++){
                for (int k = j+1; k<n;k++){
                    result *= points[i].dot(points[j].cross(points[k]));
                }
            }
        }
        if (result == 0)
        {return false;}
        else
        {return true;}
    }
    

    第二种方法是判断这三个向量(齐次坐标系中的点)的行列式是不是为0.
    det[xyz]=0 \operatorname{det}\left[\begin{array}{lll} {\mathbf{x}} & {\mathbf{y}} & {\mathbf{z}} \end{array}\right]=0
    det[xyz]=x1y1z1x2y2z2x3y3z3 \operatorname{det}\left[\begin{array}{lll} {\mathbf{x}} & {\mathbf{y}} & {\mathbf{z}} \end{array}\right]=\left|\begin{array}{lll} {x_{1}} & {y_{1}} & {z_{1}} \\ {x_{2}} & {y_{2}} & {z_{2}} \\ {x_{3}} & {y_{3}} & {z_{3}} \end{array}\right|
    而前面的混合积展开后是这个样子的:
    a(b×c)=a1a2a3b1b2b3c1c2c3 \mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=\left|\begin{array}{lll} {a_{1}} & {a_{2}} & {a_{3}} \\ {b_{1}} & {b_{2}} & {b_{3}} \\ {c_{1}} & {c_{2}} & {c_{3}} \end{array}\right|
    混合积展开就是行列式的转置.
    由于:det(A)=det(AT) \operatorname{det}(\mathbf{A})=\operatorname{det}\left(\mathbf{A}^{T}\right)
    所以这两种方法本质上是一样的.
    代码如下:

    bool noThreeCollinear(const std::vector<cv::Vec3f> &points){
        int n = points.size();
        int result = 1;
        cv::Matx33f M;
        for (int i = 0; i<n-2;i++){
            for (int j = i+1; j<n-1;j++){
                for (int k = j+1; k<n;k++){
                    M(0,0)= points[i](0);
                    M(1,0)= points[i](1);
                    M(2,0)= points[i](2);
                    M(0,1)= points[j](0);
                    M(1,1)= points[j](1);
                    M(2,1)= points[j](2);
                    M(0,2)= points[k](0);
                    M(1,2)= points[k](1);
                    M(2,2)= points[k](2);
                    result *= cv::determinant(M);
                }
            }
        }
        if (result == 0)
        {return false;}
        else
        {return true;}
    }
    

    这个矩阵赋值我觉得应该有更简单的方法,但是我不会,谁知道可以告诉我一下嘛

    测试函数:

    
    void test_noThreeCollinear()
    {
         std::vector<cv::Vec3f> p1 = {
               {1.0f, 0.0f, 1.0f},
               {2.0f, 0.0f, 1.0f},
               {3.0f, 639.0f, 1.0f},
               {4.0f, 639.0f, 1.0f},
           };
        bool b = noThreeCollinear(p1);
        if (!b){
            cout << "There seems to be a problem with noThreeCollinear(..)!" << endl;
            cout << "Press enter to continue..." << endl;
            cin.get();
            exit(-1);
        }
    }
    

    如果觉得有帮助,欢迎点赞~
    有问题的话欢迎评论里指出错误!我感觉自己都在乱写.
    谢谢~

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