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  • 投影向量计算公式的推导

    万次阅读 2019-05-19 12:14:19
    在R3R^3R3中,将向量β\beta...如上图,Πα(β)\Pi_{\alpha}(\beta)Πα​(β)与α\alphaα共线,于是, Πα(β)=xe,(1)\Pi_{\alpha}(\beta)=xe,\quad (1)Πα​(β)=xe,(1) 其中,xxx为投影值,它的绝对值等于...

    R 3 R^3 R3中,将向量 β \beta β投影到向量 α \alpha α上的投影向量记为 Π α ( β ) \Pi_{\alpha}(\beta) Πα(β)
    在这里插入图片描述
    如上图, Π α ( β ) \Pi_{\alpha}(\beta) Πα(β) α \alpha α共线,于是,
    Π α ( β ) = x e , ( 1 ) \Pi_{\alpha}(\beta)=xe,\quad (1) Πα(β)=xe,(1)
    其中, x x x为投影值,它的绝对值等于投影向量的长度, e = α ∣ α ∣ e=\frac{\alpha}{|\alpha|} e=αα, 即与 α \alpha α同方向的单位向量。
    下面求 x x x的值:

    由点乘的计算公式,
    β ⋅ e = ∣ β ∣ ∣ e ∣ c o s θ = ∣ β ∣ c o s θ = x ( 2 ) \beta\cdot e=|\beta||e|cos\theta=|\beta|cos\theta=x \quad (2) βe=βecosθ=βcosθ=x(2)
    将(2)代入(1),得

    Π α ( β ) = x e = ( β ⋅ e ) e \Pi_{\alpha}(\beta)=xe=(\beta\cdot e) e Πα(β)=xe=(βe)e
    = β ⋅ α ∣ α ∣ α ∣ α ∣ = β ⋅ α α ⋅ α α , =\frac{\beta\cdot \alpha}{|\alpha|}\frac{\alpha}{|\alpha|}=\frac{\beta\cdot\alpha}{\alpha\cdot\alpha}\alpha, =αβααα=ααβαα
    所以,

    Π α ( β ) = β ⋅ α α ⋅ α α \Pi_{\alpha}(\beta)=\frac{\beta\cdot\alpha}{\alpha\cdot\alpha}\alpha Πα(β)=ααβαα

    应用

    例1 R 3 R^3 R3中,向量 β = ( 1 , 2 , 3 ) T , α = ( 1 , 1 , 1 ) T \beta=(1,2,3)^T,\alpha=(1,1,1)^T β=(123)T,α=(1,1,1)T,计算 Π α ( β ) . \Pi_{\alpha}(\beta). Πα(β).

    解: Π α ( β ) = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 α = 6 3 α = 2 α . \Pi_{\alpha}(\beta)=\frac{1\cdot1+2\cdot 1+3\cdot 1}{1\cdot1+1\cdot 1+1\cdot 1}\alpha=\frac{6}{3}\alpha=2\alpha. Πα(β)=11+11+1111+21+31α=36α=2α.

    推广

    n n n维欧式空间 P n P^n Pn中,点乘推广为内积,记为 ( β , α ) (\beta,\alpha) (β,α), 上述投影公式可推广为:
    Π α ( β ) = ( β , α ) ( α , α ) α . \Pi_{\alpha}(\beta)=\frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha. Πα(β)=(α,α)(β,α)α.


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  • 多维向量空间中点到线的距离公式

    千次阅读 2017-03-09 17:07:59
    在做多维向量索引,需要用到多维空间中的一些通用距离公式,在此罗列,包括:点-线距离,。

    标签(空格分隔): 多维几何


    背景

    在做多维向量索引,需要用到多维空间中的一些通用距离公式,在此罗列。目前含有点-线距离

    点-线距离

    转自stackexchange.com,原文
    通过两个点 p⃗ 1,p⃗ 2 的直线可以表示成:

    p⃗ =p⃗ 1+t(p⃗ 2p⃗ 1),tR

    则点 p⃗  到该直线的距离为:

    (p⃗ p⃗ 1)(p⃗ p⃗ 1)(p⃗ 2p⃗ 1)|p⃗ 2p⃗ 1|2(p⃗ 2p⃗ 1)

    LzEp8.png-22kB

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  • 向量代数:向量加法、共线与共面

    千次阅读 2014-11-17 16:35:22
    一. 向量加法

    一. 向量加法

    :csdn的文本编辑器不能表示向量的组合箭头表示,所以,这里用下划线代替,比如向量OA,表示为OA,在以后其他文章中的表示也是如此

            定义:如上图所示,设OA=aAB=b,则向量OB称为向量ab的和,记作a+b

            因为图中的aba+b构成一个三角形,所以向量加法的规定也叫做三角形法则。我们也可以用所谓平行四边形法则来定义向量的加法。

            性质:根据加法的三角形法则可得关于向量长度的三角不等式:|a+b| ≤ |a| + |b|。

    二. 共线与共面

            如果一组向量,用同一起点的有向线段来表示时,它们是共线的(或共面的),则成这组向量共线(或共面)。共线的两个向量 ab也叫做平行的向量,记做 ab
            共线的向量必共面,任意两个向量必共面。
            性质1:设A, B为不同两点,则点X在直线AB上的充要条件:存在实数λ, μ,使:x = λ ab, λ+μ=1,并且 AX/ XB = μ/λ。
    特别地,点X落在线段AB上的充要条件是:存在实数λ, μ,使:x = λ ab, λ+μ=1, 0≤λ, μ≤1,并且 AX/ XB = μ/λ。λ, μ成为线段 AB上的点的重心坐标。如下图所示:

            性质2:设A, B, C为不在同一直线的三点,则点X在A, B, C所决定的平面π上的充要条件是:存在唯一的一组实数λ, μ, ν,使:x = λ abc,λ+μ+ν = 1。
    特别地,点X落在△ABC内的充要条件是:存在唯一的一组实数λ, μ, ν,使:x = λ abc,λ+μ+ν = 1,0≤λ, μ, ν≤1。
            性质3:设向量 ab不共线。向量 ca, b共面。此时,必存在实数 λ, μ使: c = λ ab
            性质4:设向量 a, b, c不共面, d是空间的任意向量,则必存在实数λ, μ, ν,使: d = λ abc

    三. 实践总结

            共线与共面的性质3:在描述很多线相关问题时,大多数资料都只是将问题局限在二维空间中,就比如求三角形的外心和内心,很多资料都是得出外心和内心的二维坐标的公式出来。但是在实际应用当中,大部分的问题还是呈现在三维空间当中的,那么在三维空间中求解任意平面上的问题,除了通过复杂的矩阵变换或投影外,一个非常简洁的办法就是应用共线与共面的性质3来解决问题。可见应用实践:
            共线与共面的性质4:此性质可用于不同坐标系之间的坐标转换问题,已知向量 a, b, c, d,可通过混合积来解出实数λ, μ, ν,或者可通过克莱姆法则求解,此问题也可用矩阵变换进行表示,以后再讨论。

    四. 参考

    [1] 苏步青. 空间解析几何. 上海:上海科技出版社,1984
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  • 机器学习:常用的矩阵向量求导公式

    千次阅读 2018-09-23 11:06:58
    学习机器学习的时候有很多线性代数的知识,其中有一些矩阵向量求导的东西不是很熟悉,今天查了很久决定做一个总结。 定义1.梯度(Gradient) [标量对列向量微分] 设是一个变量为的标量函数,其中。那么定义对...

    学习机器学习的时候有很多线性代数的知识,其中有一些矩阵向量求导的东西不是很熟悉,今天查了很久决定做一个总结。

     

     

    定义1.梯度(Gradient) [标量对列向量微分]

    f(x)是一个变量为x的标量函数,其中x=(x_{1}...x_{n})^{T}。那么定义f(x)x的梯度为\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}:

     定义2. 海森矩阵(Hessian matrix)[海森矩阵是二阶梯度]

    f(x)是一个变量为x的二阶可微分的标量函数,其中x=(x_{1}...x_{n})^{T}。那么定义f(x)x的海森矩阵为\frac{\mathrm{d} ^{2}f(x)}{\mathrm{d} x\mathrm{d} x^{T}}:

     海森矩阵是对称阵。

     定义3. 雅可比矩阵(Jacobian matrix)[雅可比矩阵本质上是一阶梯度,向量对向量微分]

    f(x)是一个K*1的列向量函数

     其中x=(x_{1}...x_{n})^{T}。那么定义f(x)x的雅可比矩阵为\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x^{T}}:

    è¿éåå¾çæè¿°

    定义4. [矩阵对标量微分]

    M\times N的矩阵A的元素是一个向量x的元素x_{q}的函数,定义\frac{\partial A}{\partial x_{q}}为:

     

    矩阵的二阶微分:

     

    因为机器学习(这里指的是有监督的机器学习)的一般套路是给定输入X,选择一个模型f作为决策函数,由f(X)预测出Y'。而得到f的参数θ(往往是向量),需要定义一个loss函数(一般都是实值函数),描述当前f预测值Y'与实际的Y值的接近程度。模型学习的过程就是求使得 loss函数 L(f(X),Y)最小的参数θ。这是一个最优化问题,实际应用中都是用和梯度相关的最优化方法,如梯度下降,共轭梯度,拟牛顿法等等。


    其实只要掌握上面这个公式,就能搞定很多问题了。


    为了方便推导,下面列出一些机器学习中常用的求导公式,其中andrew ng那一套用矩阵迹的方法还是挺不错的,矩阵的迹也是实值的,而一个实数的迹等于其本身,实际工作中可以将loss函数转化成迹,然后在求导,可能会简化推导的步骤。

     

     证明:二次函数f(x) = x^{T}Vx, 其中x=(x_{1}...x_{n})^{T}k\times k矩阵V。则f(x)k\times 1的列向量x的微分为:\frac{\mathrm{d} (x^{T}Vx)}{\mathrm{d} x} = (V+V^{T})x,以k=3的情况举例说明: 

     矩阵微分的应用(看了其他博客内容,留下来回顾)

     

     本文主要参考了https://blog.csdn.net/yc461515457/article/details/49682473

                       http://blog.sina.com.cn/u/2393639721

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  • 两个向量投影的计算公式推导

    千次阅读 2019-06-14 21:18:21
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  • 且规定,当(向量共线)时: 当(向量垂直)时, 2. 推导过程 向量夹角公式由余弦定理: 推导出 下面为具体的推导: 等号左边又可以展开为: 将展开后的结果代入余弦定理公式: 因此: 推导...
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    2020-01-02 21:21:55
    相关专业大学时都学过线代, 然而等到真正需要用的时候,已经过去好久了导致很多东西都忘了,所以需要专门开一贴记录一下,这里就当是个汇总吧 1):向量点乘与其向量夹角之间的关系: 2):向量b在向量a上的...
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    万次阅读 多人点赞 2019-03-10 09:52:01
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    千次阅读 2018-05-22 23:35:34
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  • 支持向量机入门及公式推导

    千次阅读 2018-09-20 14:50:43
    版权声明:本文为博主原创文章,未经博主允许不得转载。 本文转自(文章源链接如下):... 一、简介 支持向量机(support vecto...
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    万次阅读 多人点赞 2018-03-07 14:29:14
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    千次阅读 2019-12-04 21:55:45
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    千次阅读 2020-02-29 23:19:28
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    千次阅读 2018-03-08 11:03:25
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    万次阅读 多人点赞 2017-04-19 15:00:02
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    千次阅读 2018-03-18 00:00:00
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    万次阅读 2017-04-19 09:55:05
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空空如也

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