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  • (FR)共轭梯度法是介于最速下降法和牛顿法之间的一个方法,相比最速下降法收敛速度快,并且不需要像牛顿法一样计算Hesse矩阵,只需计算一阶导数 共轭梯度法是共轭方向法的一种,意思是搜索方向都互相共轭 共轭...

    (FR)共轭梯度法是介于最速下降法和牛顿法之间的一个方法,相比最速下降法收敛速度快,并且不需要像牛顿法一样计算Hesse矩阵,只需计算一阶导数

     

    共轭梯度法是共轭方向法的一种,意思是搜索方向都互相共轭

    共轭的定义如下:

     

     

    共轭梯度法是一种典型的共轭方向法,它的搜索方向是负梯度方向和上一次搜索方向的一个组合

    关于βk-1,有两种常用的计算公式

    (PRP公式)

    (PRP公式)

     

    预处理共轭法改善了G的条件数,使算法的收敛速度加快

    预处理的方法是寻找一个非奇异矩阵C,使得C-TGC-1的条件数小于G的条件数

     

    再开始共轭梯度法是满足某一条件后重新使用最速下降方向作为搜索方向,这个条件包括迭代n步,或共轭梯度方向是上升方向

     

    下面给出这几种方法的python实现

    FR共轭梯度法:

    # coding=utf-8
    # FR-CG共轭梯度法
    from linear_search.Function import *
    from linear_search.wolfe import *
    import numpy as np
    
    
    def conjugate(_f, _x):
        fun = Function(_f)
        x = array(_x)
        d = -fun.grad(x)
        while fun.norm(x) > 0.01:
            alpha = wolfe(_f, x, d)
            g = np.mat(fun.grad(x))
            beta = 1 / np.dot(g, g.T)
            x = x + alpha * d
            g = np.mat(fun.grad(x))
            beta = beta * np.dot(g, g.T)
            d = array(-g + beta * d)[0]
        return x

     再开始共轭梯度法:

    # coding=utf-8
    # 再开始共轭梯度法
    from linear_search.Function import *
    from linear_search.wolfe import *
    import numpy as np
    
    
    def restart_conjugate(_f, _x, n):
        fun = Function(_f)
        x = array(_x)
        while True:
            d = -fun.grad(x)
            k=0
            if(np.linalg.norm(d)<0.01):
                break
            while fun.norm(x) > 0.01:
                g = np.mat(fun.grad(x))
    
                alpha = wolfe(_f, x, d)
                x = x + alpha * d
                k=k+1
    
                g1= np.mat(fun.grad(x))
    
                if np.dot(g1,g.T)/np.dot(g1,g1.T)>0.1 or k>=n:
                    if np.linalg.norm(g1)<0.01:
                        return x
                    break
                else:
                    beta = np.dot(g1, g1.T) / np.dot(g, g.T)
                    d = array(-g + beta * d)[0]
                    if np.dot(mat(d),g1.T)>0:
                        break
        return x

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/kisetsu/p/9159783.html

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  • 共轭梯度法原理与实现

    万次阅读 多人点赞 2015-05-29 23:24:47
    作者:金良(golden1314521@gmail.com) csdn博客: 共轭...定义 共轭方向的性质 共轭方向法 算法描述 算法的收敛性 搜索步长kalpha_k的确定 共轭梯度法 共轭梯度法的原理 共轭梯度算法描述 共轭梯度算法Python实现 r

    所用例子
    求解二次目标函数极小点。设

    minf(x)=12xTGx+bTx+c

    其中Gn阶对称正定矩阵,b为一维常向量,c为常数。

    1.共轭方向

    定义:

    Gn阶对称正定矩阵,若n维向量组d1,d2,,dm(mn)满足:

    dTiGdj=0,ij

    则称d1,d2,,dm为关于G共轭的。
    G=I时,则上式变为
    dTidj=0,ij

    即向量相互正交。由此可见共轭概念是正交概念的推广,正交概念是共轭概念的特例。

    共轭方向的性质

    • 若非零向量d1,d2,,dm对于对称正定矩阵G共轭,则这m个向量线性无关。
    • n维空间中互相共轭的非零向量不超过n个。
    • 从任意初始点出发,依次沿n个G的共轭方向d1,d2,,dm进行一维寻优,最多经过n次寻优就可以找到二次函数的极小值点。

    2.共轭方向法

    算法描述

    step 1 : 给定迭代精度0ϵ1和初始点x0. 计算g0=f(x0). 选取初始方向d0,使得dT0g0<0. 令k0.
    step 2 : ||gk||ϵ,停止迭代,输出xxk
    step 3 : 确定搜索步长αk
    step 4 : xk+1xk+αkdk,并计算gk+1=f(xk+1)
    step 5 : 选取dk+1满足如下下降性和共轭性条件:

    dTk+1gk+1<0,dTk+1Gdi=0,i=0,1,,k

    step 6 : kk+1,转step 2

    算法的收敛性

    设目标函数为之前定义的f(x){xk}是有算法产生的迭代序列,则每一步迭代xk+1都是f(x)x0和方向d0,d1,,dk所形成的线性流形

    Sk={X|X0+i=0kαidi,αi}

    中的极小点。特别地,xn=x=G1b是目标函数的唯一极小值点。
    证明:有
    xk+1=xkdk==x0+i=0kαidiSk

    设任意xSk,存在γiR(i=0,1,,k),使得

    x=x0+i=0kγidi

    xxk+1的差为 hk+1,有
    hk+1=xxk+1=i=0k(γiαi)di

    利用泰勒展开公式,有
    f(x)=fk+1+gTk+1hk+1+12hTk+1Ghk+1fk+1+gTk+1hk+1=fk+1+i=0k(γiαi)gTk+1di

    下面只需证明
    gTk+1di=0,i=0,1,,k

    即可。实际上,因
    gj+1gj=G(xj+1xj)=αiGdj

    故当ik时有
    gTk+1di=gTi+1di+j=i+1k(gj+1gj)Tdi=gTi+1di+j=i+1kαjdTjdi=0

    故每一步迭代xk+1都是f(x)x0和方向d0,d1,,dk所形成的线性流形

    Sk={X|X0+i=0kαidi,αi}

    中的极小点。

    搜索步长αk的确定

    x是目标函数的极小值点,x0为不同于x的任意一点,则它们的差向量可以表示为

    xx0=i=0n1αidi

    将其改写成如下形式

    x=x0+i=0n1αidi

    然后从逐步寻优的角度分析该式,可以把x0看成初值,按照上式进行n次累加后得到的结果。这是一种经过特殊迭代关系的寻优过程,其中经过k次寻优得到的点xk的计算通式可以表示为
    xk=x0+i=0k1αidi

    可以将视dkαkk+1次迭代的搜索方向和步长。
    对向量xx0左乘dTkG,得到
    dTkG(xx0)=i=0n1αidTkGdi=αkdTkGdk

    进而得到步长αk的表达式
    αk=dTkG(xx0)dTkGdk

    对向量xkx0左乘dTkG,得到
    dTkG(xkx0)=i=0k1αidTkGdi=0

    从而得到
    dTkGxk=dTkGx0

    将该等式带入到αk的表达式,得
    αk=dTkG(xxk)dTkGdk

    对二次目标函数,其在x处的梯度向量为g(x)=Gx+b,所以Gx=g(x)b,有
    G(x^*-x_k)=\left[g(x^*)-b\right]-\left[g(x_k)-b\right]\\ \qquad\quad=g(x^*)-g(x_k)=0-g(x_k)\\ =-g(x_k)\qquad\qquad
    G(xxk)=[g(x)b][g(xk)b]=g(x)g(xk)=0g(xk)=g(xk)

    最后得到
    αk=dTkg(xk)dTkGdk

    用共轭方向法的思想可以解决前面给出的二次目标函数f(x)=12xTGx+bTx+c的极小值,这等同于求线性方程组Gx=b的解。

    3.共轭梯度法

    共轭梯度法的原理

    在寻优过程中利用当前点xk处的梯度向量gk和前一迭代点xk处的搜索方向dk1对搜索方向进行如下修正:

    dk=gk+βk1dk1

    其修正系数βk1的取值有一个约束条件,即要确保dkdk1,dk2,,d0之间满足关于G的共轭关系。这就是共轭梯度法的基本思想。
    修正系数βk1的取值方法有多个,下面的例子采用的取值公式为

    βk1=gTkgkgTk1gk1
    .

    可以看出共轭梯度法的搜索方向dk的计算只需要梯度向量,不需要矩阵G,可以推广到非二次目标函数的极小值求解,但是这种推广也带来了构造的搜索向量序列{dk}不共轭的问题,后面有提到解决办法。

    共轭梯度算法描述

    step 1 : 给定迭代精度0ϵ1和初始点x0. 计算g0=f(x0). . 令k0.
    step 2 : ||gk||ϵ,停止迭代,输出xxk
    step 3 : 计算搜索方向 dk

    dk={gkgk+βk1dk1k=0k1

    step 4 : 利用线搜索方法确定搜索步长αk
    step 5 : 令 令xk+1xk+αkdk,并计算gk+1=f(xk+1)
    step 6 : kk+1,转step 2

    说明
    通常来说,共轭梯度法的收敛速度比最速下降法快,而且不用像牛顿法那样计算海森矩阵及其逆矩阵。但是随着迭代次数的增加,新构造的共轭方向由于误差(如果目标函数不是二次函数则会造成这种误差)积累会逐渐不精确甚至不下降,可能出现收敛速度极慢的现象。为了避免这种现象,一种有效的改进办法是:
    每迭代n次或者不下降时就再次插入负梯度方向作为搜索方向,从新开始共轭梯度算法。下面的代码就采用了这种思想。

    共轭梯度算法Python实现

    def frcg(fun,gfun,x0):
        #用FR共轭梯度法求解无约束问题
        #x0是初始点,fun和gfun分别是目标函数和梯度
        #x,val分别是近似最优点和最优值,k是迭代次数
        maxk = 5000
        rho = 0.6
        sigma = 0.4
        k = 0
        epsilon = 1e-5
        n = np.shape(x0)[0]
        itern = 0
        while k < maxk:
            gk = gfun(x0)
            itern += 1
            itern %= n
            if itern == 1:
                dk = -gk
            else:
                beta = 1.0*np.dot(gk,gk)/np.dot(g0,g0)
                dk = -gk + beta*d0
                gd = np.dot(gk,dk)
                if gd >= 0.0:
                    dk = -gk
            if np.linalg.norm(gk) < epsilon:
                break
            m = 0
            mk = 0
            while m < 20:
                if fun(x0+rho**m*dk) < fun(x0) + sigma*rho**m*np.dot(gk,dk):
                    mk = m
                    break
                m += 1
            x0 += rho**mk*dk
            g0 = gk
            d0 = dk
            k += 1  
    
        return x0,fun(x0),k
    
    

    性能展示

    这里写图片描述
    与拟牛顿法http://blog.csdn.net/u012176591/article/details/46225289 对比,发现共轭梯度法还是挺挫的,需要的迭代次数很多,超过一半的样本的迭代次数超过500(上图没有显示)。

    作图代码:

    n = 50
    x = y = np.linspace(-10,10,n)
    xx,yy = np.meshgrid(x,y)
    data = [[xx[i][j],yy[i][j]] for i in range(n) for j in range(n)]
    iters = []
    for i in xrange(np.shape(data)[0]):
        rt = frcg(fun,gfun,data[i])
        if rt[2] <=200:
            iters.append(rt[2])
        if i%100 == 0:
            print i,rt[2]
    
    plt.hist(iters,bins=50)
    plt.title(u'共轭梯度法迭代次数分布',{'fontname':'STFangsong','fontsize':18})
    plt.xlabel(u'迭代次数',{'fontname':'STFangsong','fontsize':18})
    plt.ylabel(u'频率分布',{'fontname':'STFangsong','fontsize':18})

    参考文献:

    展开全文
  • 共轭梯度法

    2019-05-18 13:25:55
    共轭梯度下降主要用于解线性方程组和二次优化问题 A-共轭的定义及其性质 第一条性质利用线性无关的定义很容易得到,第二条性质也就是如下的定理 ppt中的αk\alpha_kαk​可以由表达式αk=arg⁡min⁡αkϕ(xk+α...

    共轭梯度下降法主要用于解线性方程组和二次优化问题
    在这里插入图片描述
    A-共轭的定义及其性质
    在这里插入图片描述
    第一条性质利用线性无关的定义很容易得到,第二条性质也就是如下的定理
    在这里插入图片描述
    ppt中的αk\alpha_k可以由表达式αk=argminαkϕ(xk+αkpk)\alpha_k = \arg\min\limits_{\alpha_k} \phi(x_k+\alpha_kp_k)计算得到,定理的证明如下:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    n个基的确定方法,由这种方法得到的各个基两两共轭
    在这里插入图片描述
    CG算法描述1:
    在这里插入图片描述
    一些性质
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    利用这些性质可以推出CG算法一个等价描述:
    在这里插入图片描述
    迭代次数最大不超过A的无重复特征值个数
    在这里插入图片描述
    利用这个定理可以改进CG算法得到PCG算法
    在这里插入图片描述
    PCG算法描述
    在这里插入图片描述
    Homework
    在这里插入图片描述
    PCG算法实战(homework)

    import numpy as np
    
    MAX = 1000
    
    PRECISION = 1e-6
    
    class Function:
    
        def __init__(self,mat,vec):
            self.mat = mat
            self.vec = vec
            self.dim = len(mat)
    
        def grid(self,x):
            return np.dot(self.mat,x) - self.vec
    
        def __call__(self, x):
            return (1/2)*x.T.dot(self.mat).dot(x) - self.vec.T.dot(x)
    
    
    def min(f):
        x = np.zeros((f.dim,1))
        r = f.grid(x)
        y = (1/10)*r
        p = -y
        number = 0
        while number<MAX:
            a = (r.T.dot(y))/(p.T.dot(f.mat).dot(p))
            x1 = x + a*p
            r1 = f.grid(x1)
            y1 = (1/10)*r1
            b = (r1.T.dot(y1))/(r.T.dot(y))
            p = -y1 + b*p
            if abs(f(x1) - f(x)) < PRECISION:
                break
            else:
                x, y, r =x1, y1, r1
                number += 1
        return  number,f(x)
    
    def create_coefficient(dim):
        b = np.ones((dim,1))
        A = np.array([[1/(i+j+1) for j in range(dim)] for i in range(dim)])
        return A,b
    
    if __name__ =='__main__':
        A, b = create_coefficient(5)
        print(min(Function(A, b)))
    
        A, b = create_coefficient(8)
        print(min(Function(A, b)))
    
        A, b = create_coefficient(12)
        print(min(Function(A, b)))
    
        A, b = create_coefficient(20)
        print(min(Function(A, b)))
    

    计算结果

    (5, array([[-12.49999988]]))
    (19, array([[-31.99999995]]))
    (20, array([[-48.44638437]]))
    (11, array([[-59.08143301]]))
    
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  • Matlab实现FR共轭梯度法

    万次阅读 多人点赞 2015-08-26 00:24:00
    前一段时间学习了无约束最优化方法,今天用Matlab实现了求解无约束最优化问题的FR共轭梯度法。关于共轭梯度法的理论介绍,请参考我的另一篇文章 无约束最优化方法学习笔记。文件testConjungateGradient.m用于测试...

    前一段时间学习了无约束最优化方法,今天用Matlab实现了求解无约束最优化问题的FR共轭梯度法。关于共轭梯度法的理论介绍,请参考我的另一篇文章 无约束最优化方法学习笔记

    文件testConjungateGradient.m用于测试共轭梯度法函数。测试文件需要定义函数f和自变量x,给定迭代初值x0和允许误差ϵ。函数设置了show_detail变量用于控制是否显示每一步的迭代信息。

    % test conjungate gradient method
    % by TomHeaven, hanlin_tan@nudt.edu.cn, 2015.08.25
    
    %% define function and variable
    syms x1 x2;
    %f = xs^2+2*ys^2-2*xs*ys + 2*ys + 2;
    f = (x1-1)^4 + (x1 - x2)^2;
    %f = (1-x1)^2 + 2*(x2 - x1^2)^2;
    x = {x1, x2};
    
    % initial value
    x0 = [0 0];
    % tolerance
    epsilon = 1e-1;
    
    %% call conjungate gradient method
    show_detail = true;
    [bestf, bestx, count] = conjungate_gradient(f, x, x0, epsilon, show_detail);
    % print result
    fprintf('bestx = %s, bestf = %f, count = %d\n', num2str(bestx), bestf, count);

    文件conjungate_gradient.m是共轭梯度法的实现函数。变量nf表示函数f的梯度f(梯度的希腊字母是nabla,故用nf)。

    function [fv, bestx, iter_num] = conjungate_gradient(f, x, x0, epsilon, show_detail)
    %% conjungate gradient method
    % by TomHeaven, hanlin_tan@nudt.edu.cn, 2015.08.25
    % Input: 
    %   f - syms function
    %   x - row cell arrow for input syms variables
    %   $x_0$ - init point
    %   epsilon - tolerance
    %   show_detail - a boolean value for wether to print details
    % Output:
    %   fv - minimum f value
    %   bestx - mimimum point
    %   iter_num - iteration count
    
    %% init
    syms lambdas  % suffix s indicates this is a symbol variable
    
    % n is the dimension
    n = length(x);
    
    % compute differential of function f stored in cell nf
    nf = cell(1, n); % using row cells, column cells will result in error
    for i = 1 : n
        nf{i} = diff(f, x{i});
    end
    
    % $\nabla f(x_0)$
    nfv = subs(nf, x, x0);
    % init $\nabla f(x_k)$
    nfv_pre = nfv;
    % init count, k and xv for x value.
    count = 0;
    k = 0;
    xv = x0;
    % initial search direction
    d = - nfv; 
    % show initial info
    if show_detail
        fprintf('Initial:\n');
        fprintf('f = %s, x0 = %s, epsilon = %f\n\n', char(f), num2str(x0), epsilon);
    end
    
    %% loop
    while (norm(nfv) > epsilon)
        %% one-dimensional search
        % define $x_{k+1} = x_{k} + \lambda d$
        xv = xv+lambdas*d;
        % define $\phi$ and do 1-dim search
        phi = subs(f, x, xv);
        nphi = diff(phi); % $\nabla \phi$
        lambda = solve(nphi);
        % get rid of complex and minus solution
        lambda = double(lambda);  
        if length(lambda) > 1
            lambda = lambda(abs(imag(lambda)) < 1e-5);
            lambda = lambda(lambda > 0);
            lambda = lambda(1);
        end
        % if $\lambda$ is too small, stop iteration
        if lambda < 1e-5
            break;
        end
    
        %% update
        % update $x_{k+1} = x_{k} + \lambda d$
        xv = subs(xv, lambdas, lambda); 
        % convert sym to double
        xv = double(xv);
        % compute the differential
        nfv = subs(nf, x, xv);   
        % update counters
        count = count + 1;
        k = k + 1; 
        % compute alpha based on FR formula
        alpha = sumsqr(nfv) / sumsqr(nfv_pre);
    
        % show iteration info
        if show_detail
            fprintf('Iteration: %d\n', count);
            fprintf('x(%d) = %s, lambda = %f\n', count, num2str(xv), lambda);
            fprintf('nf(x) = %s, norm(nf) = %f\n', num2str(double(nfv)), norm(double(nfv)));
            fprintf('d = %s, alpha = %f\n', num2str(double(d)), double(alpha));
            fprintf('\n');
        end
    
        % update conjungate direction
        d = -nfv + alpha * d;
        % save the previous $$\nabla f(x_k)$$
        nfv_pre = nfv;
        % reset the conjungate direction and k if k >= n
        if k >= n
            k = 0;
            d = - nfv;
        end
    end % while
    
    %% output
    fv = double(subs(f, x, xv));
    bestx = double(xv);
    iter_num = count;
    
    end

    运行testConjungateGradient后输出结果如下:

    >> testConjungateGradient
    Initial:
    f = (x1 - x2)^2 + (x1 - 1)^4, x0 = 0  0, epsilon = 0.100000
    
    Iteration: 1
    x(1) = 0.41025           0, lambda = 0.102561
    nf(x) = 1.08e-16    -0.82049, norm(nf) = 0.820491
    d = 4  0, alpha = 0.042075
    
    Iteration: 2
    x(2) = 0.52994     0.58355, lambda = 0.711218
    nf(x) = -0.52265     0.10721, norm(nf) = 0.533528
    d = 0.1683     0.82049, alpha = 0.422831
    
    Iteration: 3
    x(3) = 0.63914     0.56115, lambda = 0.208923
    nf(x) = -0.031994    -0.15597, norm(nf) = 0.159223
    d = 0.52265    -0.10721, alpha = 0.089062
    
    Iteration: 4
    x(4) = 0.76439     0.79465, lambda = 1.594673
    nf(x) = -0.11285    0.060533, norm(nf) = 0.128062
    d = 0.078542     0.14643, alpha = 0.646892
    
    Iteration: 5
    x(5) = 0.79174     0.77998, lambda = 0.242379
    nf(x) = -0.012614   -0.023517, norm(nf) = 0.026686
    d = 0.11285   -0.060533, alpha = 0.043425
    
    bestx = 0.79174     0.77998, bestf = 0.002019, count = 5

    修改允许误差为

    epsilon = 1e-8;

    则可以得到更加精确的结果:

    Iteration: 6
    x(6) = 0.9026      0.9122, lambda = 6.329707
    nf(x) = -0.022884    0.019188, norm(nf) = 0.029864
    d = 0.017515    0.020888, alpha = 1.252319
    
    Iteration: 7
    x(7) = 0.90828     0.90744, lambda = 0.247992
    nf(x) = -0.0014077  -0.0016788, norm(nf) = 0.002191
    d = 0.022884   -0.019188, alpha = 0.005382
    
    Iteration: 8
    x(8) = 0.97476     0.97586, lambda = 43.429293
    nf(x) = -0.0022668   0.0022025, norm(nf) = 0.003161
    d = 0.0015309   0.0015756, alpha = 2.080989
    
    Iteration: 9
    x(9) = 0.97533     0.97531, lambda = 0.249812
    nf(x) = -2.9597e-05 -3.0461e-05, norm(nf) = 0.000042
    d = 0.0022668  -0.0022025, alpha = 0.000181
    
    Iteration: 10
    x(10) = 0.99709     0.99712, lambda = 725.188481
    nf(x) = -5.2106e-05  5.2008e-05, norm(nf) = 0.000074
    d = 3.0006e-05  3.0063e-05, alpha = 3.004594
    
    Iteration: 11
    x(11) = 0.9971      0.9971, lambda = 0.249997
    nf(x) = -4.8571e-08 -4.8663e-08, norm(nf) = 0.000000
    d = 5.2106e-05 -5.2008e-05, alpha = 0.000001
    
    Iteration: 12
    x(12) = 0.99992     0.99992, lambda = 57856.826721
    nf(x) = -9.3751e-08  9.3748e-08, norm(nf) = 0.000000
    d = 4.8616e-08  4.8617e-08, alpha = 3.718503
    
    Iteration: 13
    x(13) = 0.99992     0.99992, lambda = 0.250000
    nf(x) = -1.1858e-12 -1.1855e-12, norm(nf) = 0.000000
    d = 9.3751e-08 -9.3748e-08, alpha = 0.000000
    
    bestx = 0.99992     0.99992, bestf = 0.000000, count = 13

    这与问题的最优解(1,1)T已经非常接近了。

    算法实现没有经过大量测试,实际使用可能会有BUG。这里只是用于说明基本实现原理,有兴趣的读者可以在此基础上改进。

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