• 共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的...
共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。 在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。算法步骤：import randomimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef goldsteinsearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):'''线性搜索子函数数f，导数df，当前迭代点x和当前搜索方向d，t试探系数>1，'''flag = 0a = 0b = alphamfk = f(x)gk = df(x)phi0 = fkdphi0 = np.dot(gk, d)alpha=b*random.uniform(0,1)while(flag==0):newfk = f(x + alpha * d)phi = newfk# print(phi,phi0,rho,alpha ,dphi0)if (phi - phi0 )<= (rho * alpha * dphi0):if (phi - phi0) >= ((1 - rho) * alpha * dphi0):flag = 1else:a = alphab = bif (b < alpham):alpha = (a + b) / 2else:alpha = t * alphaelse:a = ab = alphaalpha = (a + b) / 2return alphadef Wolfesearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):'''线性搜索子函数数f，导数df，当前迭代点x和当前搜索方向dσ∈(ρ,1)=0.75'''sigma=0.75flag = 0a = 0b = alphamfk = f(x)gk = df(x)phi0 = fkdphi0 = np.dot(gk, d)alpha=b*random.uniform(0,1)while(flag==0):newfk = f(x + alpha * d)phi = newfk# print(phi,phi0,rho,alpha ,dphi0)if (phi - phi0 )<= (rho * alpha * dphi0):# if abs(np.dot(df(x + alpha * d),d))<=-sigma*dphi0:if (phi - phi0) >= ((1 - rho) * alpha * dphi0):flag = 1else:a = alphab = bif (b < alpham):alpha = (a + b) / 2else:alpha = t * alphaelse:a = ab = alphaalpha = (a + b) / 2return alphadef frcg(fun,gfun,x0):# x0是初始点，fun和gfun分别是目标函数和梯度# x,val分别是近似最优点和最优值，k是迭代次数# dk是搜索方向，gk是梯度方向# epsilon是预设精度，np.linalg.norm(gk)求取向量的二范数maxk = 5000rho = 0.6sigma = 0.4k = 0epsilon = 1e-5n = np.shape(x0)[0]itern = 0W = np.zeros((2, 20000))f = open("共轭.txt", 'w')while k < maxk:W[:, k] = x0gk = gfun(x0)itern += 1itern %= nif itern == 1:dk = -gkelse:beta = 1.0 * np.dot(gk, gk) / np.dot(g0, g0)dk = -gk + beta * d0gd = np.dot(gk, dk)if gd >= 0.0:dk = -gkif np.linalg.norm(gk) < epsilon:breakalpha=goldsteinsearch(fun,gfun,dk,x0,1,0.1,2)# alpha=Wolfesearch(fun,gfun,dk,x0,1,0.1,2)x0+=alpha*dkf.write(str(k)+' '+str(np.linalg.norm(gk))+"\n")print(k,alpha)g0 = gkd0 = dkk += 1W = W[:, 0:k+1] # 记录迭代点return [x0, fun(x0), k,W]def fun(x):return 100 * (x[1] - x[0] ** 2) ** 2 + (1 - x[0]) ** 2def gfun(x):return np.array([-400 * x[0] * (x[1] - x[0] ** 2) - 2 * (1 - x[0]), 200 * (x[1] - x[0] ** 2)])if __name__=="__main__":X1 = np.arange(-1.5, 1.5 + 0.05, 0.05)X2 = np.arange(-3.5, 4 + 0.05, 0.05)[x1, x2] = np.meshgrid(X1, X2)f = 100 * (x2 - x1 ** 2) ** 2 + (1 - x1) ** 2 # 给定的函数plt.contour(x1, x2, f, 20) # 画出函数的20条轮廓线x0 = np.array([-1.2, 1])x=frcg(fun,gfun,x0)print(x[0],x[2])# [1.00318532 1.00639618]W=x[3]# print(W[:, :])plt.plot(W[0, :], W[1, :], 'g*-') # 画出迭代点收敛的轨迹plt.show()代码中求最优步长用得是goldsteinsearch方法，另外的Wolfesearch是试验的部分，在本段程序中不起作用。迭代轨迹：三种最优化方法的迭代次数对比：最优化方法最速下降法共轭梯度法牛顿法迭代次数17022405以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持我们。本文标题: python实现共轭梯度法本文地址: http://www.cppcns.com/jiaoben/python/264414.html
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• 共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的...
共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。 在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。算法步骤：import randomimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef goldsteinsearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):'''线性搜索子函数数f，导数df，当前迭代点x和当前搜索方向d，t试探系数>1，'''flag = 0a = 0b = alphamfk = f(x)gk = df(x)phi0 = fkdphi0 = np.dot(gk, d)alpha=b*random.uniform(0,1)while(flag==0):newfk = f(x + alpha * d)phi = newfk# print(phi,phi0,rho,alpha ,dphi0)if (phi - phi0 )<= (rho * alpha * dphi0):if (phi - phi0) >= ((1 - rho) * alpha * dphi0):flag = 1else:a = alphab = bif (b < alpham):alpha = (a + b) / 2else:alpha = t * alphaelse:a = ab = alphaalpha = (a + b) / 2return alphadef Wolfesearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):'''线性搜索子函数数f，导数df，当前迭代点x和当前搜索方向dσ∈(ρ,1)=0.75'''sigma=0.75flag = 0a = 0b = alphamfk = f(x)gk = df(x)phi0 = fkdphi0 = np.dot(gk, d)alpha=b*random.uniform(0,1)while(flag==0):newfk = f(x + alpha * d)phi = newfk# print(phi,phi0,rho,alpha ,dphi0)if (phi - phi0 )<= (rho * alpha * dphi0):# if abs(np.dot(df(x + alpha * d),d))<=-sigma*dphi0:if (phi - phi0) >= ((1 - rho) * alpha * dphi0):flag = 1else:a = alphab = bif (b < alpham):alpha = (a + b) / 2else:alpha = t * alphaelse:a = ab = alphaalpha = (a + b) / 2return alphadef frcg(fun,gfun,x0):# x0是初始点，fun和gfun分别是目标函数和梯度# x,val分别是近似最优点和最优值，k是迭代次数# dk是搜索方向，gk是梯度方向# epsilon是预设精度，np.linalg.norm(gk)求取向量的二范数maxk = 5000rho = 0.6sigma = 0.4k = 0epsilon = 1e-5n = np.shape(x0)[0]itern = 0W = np.zeros((2, 20000))f = open("共轭.txt", 'w')while k < maxk:W[:, k] = x0gk = gfun(x0)itern += 1itern %= nif itern == 1:dk = -gkelse:beta = 1.0 * np.dot(gk, gk) / np.dot(g0, g0)dk = -gk + beta * d0gd = np.dot(gk, dk)if gd >= 0.0:dk = -gkif np.linalg.norm(gk) < epsilon:breakalpha=goldsteinsearch(fun,gfun,dk,x0,1,0.1,2)# alpha=Wolfesearch(fun,gfun,dk,x0,1,0.1,2)x0+=alpha*dkf.write(str(k)+'  '+str(np.linalg.norm(gk))+"\n")print(k,alpha)g0 = gkd0 = dkk += 1W = W[:, 0:k+1] # 记录迭代点return [x0, fun(x0), k,W]def fun(x):return 100 * (x[1] - x[0] ** 2) ** 2 + (1 - x[0]) ** 2def gfun(x):return np.array([-400 * x[0] * (x[1] - x[0] ** 2) - 2 * (1 - x[0]), 200 * (x[1] - x[0] ** 2)])if __name__=="__main__":X1 = np.arange(-1.5, 1.5 + 0.05, 0.05)X2 = np.arange(-3.5, 4 + 0.05, 0.05)[x1, x2] = np.meshgrid(X1, X2)f = 100 * (x2 - x1 ** 2) ** 2 + (1 - x1) ** 2 # 给定的函数plt.contour(x1, x2, f, 20) # 画出函数的20条轮廓线x0 = np.array([-1.2, 1])x=frcg(fun,gfun,x0)print(x[0],x[2])# [1.00318532 1.00639618]W=x[3]# print(W[:, :])plt.plot(W[0, :], W[1, :], 'g*-') # 画出迭代点收敛的轨迹plt.show()代码中求最优步长用得是goldsteinsearch方法，另外的Wolfesearch是试验的部分，在本段程序中不起作用。迭代轨迹：三种最优化方法的迭代次数对比：最优化方法最速下降法共轭梯度法牛顿法迭代次数17022405以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持脚本之家。
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• 共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的...
• 上篇文章介绍了线性共轭梯度法。简单回顾一下，线性共轭梯度法是一种不需要矩阵求逆或矩阵分解，以迭代的方式求解线性方程的方法，而且可以保证在N次迭代内收敛，其中N是变量的维度。对于维度较大的问题，辅以良好的...
上篇文章介绍了线性共轭梯度法。简单回顾一下，线性共轭梯度法是一种不需要矩阵求逆或矩阵分解，以迭代的方式求解线性方程的方法，而且可以保证在N次迭代内收敛，其中N是变量的维度。对于维度较大的问题，辅以良好的预处理步骤，算法可以在很少的步数内收敛，得到一个比较好的近似解。在线性共轭梯度法提出约10年后，Fletcher和Reeves将其推广到非线性优化问题中，称为非线性共轭梯度法。这种新方法可以替代之前讲过的线搜索和信赖域方法，并且仍然在高维度问题中展现出非凡的性能。Fletcher-Reeves CG我们把Fletcher和Reeves最早提出的非线性共轭梯度法称为Fletcher-Reeves CG（FR-CG）算法。按照惯例，我们应该先介绍该方法提出的动机，并一步步推导其计算公式。但据我所知，FR-CG似乎不是从某个目标推导出来的，而是直接在CG（线性共轭梯度法）上改进而来的。直接替换CG算法中某些值的计算方法，如下所示与共轭梯度法（一）：线性共轭梯度中的式(5.23)相比，只修改了两处。一是计算  的方式，用线搜索（一）：步长的选取中介绍的线搜索算法来搜索  方向上可接受的步长。之所以这样做，是因为在非线性问题中，我们已经无从构造一组共轭向量了，而且也不可能保证N次迭代内收敛。FR-CG更像是一种线搜索方法，通过所谓共轭梯度的方式计算优化方向，然后用步长搜索算法计算一个可接受的步长。二是用梯度  替代残差  ，因为在CG中，残差恰好就是梯度，这里只不过将其推广而已。换句话说，式(5.40)不过是CG推广到普通非线性函数后的结果，CG则是其在二次函数下的特例。不过，强行推广到普通非线性函数就能奏效吗？那可未必。首先，我们要确认式(5.40)的每次迭代都能生成使得目标函数下降的方向。其次，我们还要探究该方法是否能保证全局收敛。第一个问题等价于证明  ，我们代入式(5.40)的第4行，得到如果第  次迭代求得了确切解，即  是  方向上的最优步长，那么下一次迭代的梯度方向一定与上次迭代方向垂直，即  ，于是  成立。但是，确切解是不可能的，我们无法对普通的非线性函数求某个方向的极值，时间上也不允许，只能用前面提到的线搜索算法来搜索一个可接受的步长。所以式(5.41)中的  很可能大于  ，从而无法保证  。不过，虽然线搜索无法找到确切最优解，我们仍可以把搜索的结果限制在可接受的范围内。在线搜索那篇文章中，我们讲解了Goldstein conditions和Wolfe conditions，它们用来限制搜索的区域。如果我们把后者的约束变得再严格一些，可以得到下面的strong Wolfe conditions它要求函数值有充分的下降，并要求导数的绝对值不要过大。可以证明，当常数因子满足  时，  一定成立。证明方式是数学归纳法，先验证  时  成立。然后假设  成立，再借助式(5.42)的第二行，可以推导出  也成立。（证明过程略。）好在线搜索算法一般都在strong Wolfe conditions下进行，所以这个要求很容易满足。第二个问题，关于收敛性，则有更多值得讨论的地方。收敛性分析先从直观上感受FR-CG方法的收敛性能。想象非线性目标函数  ，如果在非常接近极小值点的区域，  恰好是一个严格的凸二次函数。那么我们就可以期待，在该区域内，算法能够像线性共轭梯度法一样在N次迭代内收敛。但是，注意到CG有效的一个前提是，初始方向必须是最速下降方向，这在FR-CG的迭代过程中是无法保证的。这时，我们需要一种称为重新启动（restart）的策略，让FR-CG每N次迭代后都从最速下降方向重新开始，具体操作是直接令  。这样一来，一旦进入凸二次函数的区域，迟早会有一次重新启动，接下来收敛速度就非常快了。不过，由于FR-CG是用线搜索的方式计算步长  ，因此即使进入凸二次函数区域，也不一定搜索出最优步长，这就违反了CG方法的要求。回顾线搜索那篇文章的最后一节，我们提到了用插值的方式加速线搜索。现在，我们会发现这一策略用在FR-CG上简直完美，一旦进入凸二次函数区域，二次插值的结果就会完全吻合原目标函数，直接就能求出最优步长。事实上，添加了重新启动策略的FR-CG方法，具有n-step意义上的二次收敛性质，即可以理解为，如果把每N次迭代合并为一次，得到的序列就是二次收敛的。此时，另一个问题出现了。每N次迭代进行一次重新启动并不一定是最优方案，当N特别大时，我们其实期望整个算法在远小于N次迭代时就收敛，所以重新启动可能永远不会执行。这种情况下，可以采用更灵活的重新启动策略，比如，当时，意味着连续两次迭代的梯度方向不垂直。但我们知道，线性共轭梯度法中，任意两次迭代的梯度都应该是垂直的，此时方可获得最快的收敛速度。因此，如果它们不垂直，就说明收敛速度慢下来了，需要重新启动。现在回归主题，既然是收敛性分析，就需要研究FR-CG是否具有全局收敛性。在线搜索的收敛性分析中提到过，当目标函数  满足Lipschitz continuous性质，且线搜索步长满足Wolfe conditions时，下式成立我们知道，全局收敛的条件是  ，要想满足该条件，需要  。一个典型的例子是最速下降法中  恒成立，因此最速下降法全局收敛。而在FR-CG中，每次重新启动也是满足  的，所以所有重新启动对应的  组成的序列满足  。这意味着梯度的某个子序列是全局收敛的，即这里极限运算符中的  表示取整个序列中极限值最小的那个子序列。这是一种打了折的全局收敛性，虽然不是严格意义上的全局收敛，但也不错。不过，如果没有重新启动呢，纯粹的FR-CG是否具有全局收敛性？答案是有的，可以通过反证法证明。假设  ，利用strong Wolfe conditions，式(5.42)的第二行，可以推导出与假设相反的矛盾，详细过程本文就不讲了，需要的同学可以参考原书。缺陷与改进如果实际中使用FR-CG，会发现它收敛得很慢，而且有时会在很小的区域内停滞不前。这是因为其固有的一个缺陷，当某次迭代计算出的方向  较差时，比如与梯度方向相差90°，线搜索的结果是一个极小的步长，这是显然的，因为  恰好是函数  的等高线方向。我们接下来看看此时会发生什么。在本文第一段的最后，我们简要提到了可以用数学归纳法证明  。事实上，这部分证明的结果不只如此，完整的结论是其中  。借助这个结果，我们继续证明刚才的问题。对上式左右同时乘上  ，并带入  的定义，得到其中，  。回到最初的假设，一旦当前的  与  相差90°，即  ，就会导致式(5.52)的左右两端的值都是0，这意味着  。另外，由于  很小，迭代前后变量值基本不变，即  ，于是迭代前后的梯度值也基本不变，即  。由式(5.40)第三行可知，  ，再由式(5.40)第四行可得，  。这一结果说明，从第  次开始的每次迭代，都会前进一个相同且非常小的步长，相当于在做无用功。这也是导致FR-CG方法收敛慢的罪魁祸首。不过，既然找到了原因，自然可以想到改进方案。当出现这种情况的时候，让算法做一次重新启动，强行让迭代方向与梯度方向垂直，就可以避开这种无畏的消耗了。这一思想有个更直接的名称，PR-CG。Polak-Ribière CGPR-CG是FR-CG的一种改进，由Polak和Ribière提出，与FR-CG的唯一区别在于如何选取  。选取方法为在凸二次函数情况下，  和  是一样的，因为  。但对于普通非线性函数，当出现上一节介绍的停滞不前的状况时，可以发现  ，这恰好就相当于一次重新启动。所以PR-CG用改进  计算公式的方式解决了FR-CG收敛慢的问题。但PR-CG也不是没有缺点，  的定义会导致其不满足全局收敛性。更具体地，会使得某些迭代产生小于  的  ，进而使得新的  不再是下降方向。好在解决方法也很简单，用替代  。这样做的意义是，当出现无法使得目标函数下降的方向时，执行重新启动策略。这种方法称为PR+-CG。总结本文介绍了非线性共轭梯度法中的FR-CG、PR-CG和PR+-CG三种方法。它们都源自于线性共轭梯度法，只不过修改了残差的计算方式和步长的确定方式，以适应任意的非线性目标函数。为了确保全局收敛性，选择在合适的时机使用重新启动策略非常重要，也是PR-CG和PR+-CG设计的初衷。至此，数值最优化系列文章已经推出了八篇，从宏观的层面上介绍了线搜索、信赖域和共轭梯度的整体思想和算法流程。从下篇文章开始，我们会进一步深入细节，探究各种方法的具体实现细节以及针对实际情况的改进。上一篇：共轭梯度法（一）：线性共轭梯度下一篇：牛顿法进阶
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• 共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的...
共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。 在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。算法步骤：import randomimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef goldsteinsearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):'''线性搜索子函数数f，导数df，当前迭代点x和当前搜索方向d，t试探系数>1，'''flag = 0a = 0b = alphamfk = f(x)gk = df(x)phi0 = fkdphi0 = np.dot(gk, d)alpha=b*random.uniform(0,1)while(flag==0):newfk = f(x + alpha * d)phi = newfk# print(phi,phi0,rho,alpha ,dphi0)if (phi - phi0 )<= (rho * alpha * dphi0):if (phi - phi0) >= ((1 - rho) * alpha * dphi0):flag = 1else:a = alphab = bif (b < alpham):alpha = (a + b) / 2else:alpha = t * alphaelse:a = ab = alphaalpha = (a + b) / 2return alphadef Wolfesearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):'''线性搜索子函数数f，导数df，当前迭代点x和当前搜索方向dσ∈(ρ,1)=0.75'''sigma=0.75flag = 0a = 0b = alphamfk = f(x)gk = df(x)phi0 = fkdphi0 = np.dot(gk, d)alpha=b*random.uniform(0,1)while(flag==0):newfk = f(x + alpha * d)phi = newfk# print(phi,phi0,rho,alpha ,dphi0)if (phi - phi0 )<= (rho * alpha * dphi0):# if abs(np.dot(df(x + alpha * d),d))<=-sigma*dphi0:if (phi - phi0) >= ((1 - rho) * alpha * dphi0):flag = 1else:a = alphab = bif (b < alpham):alpha = (a + b) / 2else:alpha = t * alphaelse:a = ab = alphaalpha = (a + b) / 2return alphadef frcg(fun,gfun,x0):# x0是初始点，fun和gfun分别是目标函数和梯度# x,val分别是近似最优点和最优值，k是迭代次数# dk是搜索方向，gk是梯度方向# epsilon是预设精度，np.linalg.norm(gk)求取向量的二范数maxk = 5000rho = 0.6sigma = 0.4k = 0epsilon = 1e-5n = np.shape(x0)[0]itern = 0W = np.zeros((2, 20000))f = open("共轭.txt", 'w')while k < maxk:W[:, k] = x0gk = gfun(x0)itern += 1itern %= nif itern == 1:dk = -gkelse:beta = 1.0 * np.dot(gk, gk) / np.dot(g0, g0)dk = -gk + beta * d0gd = np.dot(gk, dk)if gd >= 0.0:dk = -gkif np.linalg.norm(gk) < epsilon:breakalpha=goldsteinsearch(fun,gfun,dk,x0,1,0.1,2)# alpha=Wolfesearch(fun,gfun,dk,x0,1,0.1,2)x0+=alpha*dkf.write(str(k)+' '+str(np.linalg.norm(gk))+"\n")print(k,alpha)g0 = gkd0 = dkk += 1W = W[:, 0:k+1] # 记录迭代点return [x0, fun(x0), k,W]def fun(x):return 100 * (x[1] - x[0] ** 2) ** 2 + (1 - x[0]) ** 2def gfun(x):return np.array([-400 * x[0] * (x[1] - x[0] ** 2) - 2 * (1 - x[0]), 200 * (x[1] - x[0] ** 2)])if __name__=="__main__":X1 = np.arange(-1.5, 1.5 + 0.05, 0.05)X2 = np.arange(-3.5, 4 + 0.05, 0.05)[x1, x2] = np.meshgrid(X1, X2)f = 100 * (x2 - x1 ** 2) ** 2 + (1 - x1) ** 2 # 给定的函数plt.contour(x1, x2, f, 20) # 画出函数的20条轮廓线x0 = np.array([-1.2, 1])x=frcg(fun,gfun,x0)print(x[0],x[2])# [1.00318532 1.00639618]W=x[3]# print(W[:, :])plt.plot(W[0, :], W[1, :], 'g*-') # 画出迭代点收敛的轨迹plt.show()代码中求最优步长用得是goldsteinsearch方法，另外的Wolfesearch是试验的部分，在本段程序中不起作用。迭代轨迹：三种最优化方法的迭代次数对比：最优化方法最速下降法共轭梯度法牛顿法迭代次数17022405以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持脚本之家。
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