精华内容
下载资源
问答
  • 该代码突出显示了 Fletcher ... 只需3次迭代或2次搜索即可求解二次方程。 与此算法中所示相同示例的最佳值采用最速下降进行 56 次迭代。(请参阅最速下降代码); 而该算法仅在 3 次迭代中收敛相同的初始猜测或起点。
  • % 计算xk点的梯度梯度值 fun=fun(x1,x2); fx1=diff(fun,'x1'); fx2=diff(fun,'x2'); fun=inline(fun); fx1=inline(fx1); fx2=inline(fx2); funval=feval(fun,xk1(1),xk1(2)); gradx1=feval(fx1,xk1(1&...
  • 计算方法——共轭梯度法求解线性方程组计算方法上机报告计算方法上机报告1 共轭梯度法求解线性方程组1.1 算法原理及程序框图当线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 是对称正定矩阵是,可以采用共轭梯度法对该方程组进行...

    计算方法——共轭梯度法求解线性方程组

    计算方法上机报告

    计算方法上机报告

    1 共轭梯度法求解线性方程组

    1.1 算法原理及程序框图

    当线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 是对称正定矩阵是,可以采用共轭梯度法对该

    方程组进行求解,可以证明,式(1)所示的n 元二次函数

    1 T T

    f (x ) x Ax b x (1)

    2

    *

    取得极小值点x 是方程Ax = b 的解。共轭梯度法是把求解线性方程组的问题转化为求

    解一个与之等价的二次函数极小化的问题。从任意给定的初始点出发,沿一组关于矩

    阵A 的共轭方向进行线性搜索,在无舍入误差的假定下,最多迭代n 次(其中n 为矩

    阵A 的阶数),就可求得二次函数的极小点,也就求得线性方程组Ax = b 的解。其迭

    代格式为公式(2) 。

    x(k 1) x(k )  d (k ) (2)

    k

    共轭梯度法中关键的两点是迭代格式(2) 中最佳步长 和搜索方向d (k) 的确定。其

    k

    中 可以通过一元函数f (x(k)+d(k)) 的极小化来求得,其表达式为公式(3) ;取d (0)

    k

    = r(0) = b-Ax (0) ,则d(k+ 1) = r(k+1) + d(k) ,要求d(k+ 1)满足 (d(k+ 1) , Ad(k)) = 0 ,可得 的表达

    k k

    式(4) 。

    k T k

    r  d  

    k k T k (3)

    d   Ad  

    r(k 1)T Ad (k )

      (4)

    k d (k )T Ad (k )

    经过一系列的证明和简化,最终可得共轭梯度法的计算过程如下,计算程序框图

    如图1。

    (1) 给定初始计算向量x(0) 即精度>0 ;

    (2) 计算r(0) = b -Ax (0) ,取d(0) = r(0) ;

    (3) for k =0 to n- 1 do

    展开全文
  • 计算方法——共轭梯度法求解线性方程组计算方法上机报告计算方法上机报告1 共轭梯度法求解线性方程组1.1 算法原理及程序框图当线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 是对称正定矩阵是,可以采用共轭梯度法对该方程组进行...

    计算方法——共轭梯度法求解线性方程组

    计算方法上机报告

    计算方法上机报告

    1 共轭梯度法求解线性方程组

    1.1 算法原理及程序框图

    当线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 是对称正定矩阵是,可以采用共轭梯度法对该

    方程组进行求解,可以证明,式(1)所示的n 元二次函数

    1 T T

    f (x ) x Ax b x (1)

    2

    *

    取得极小值点x 是方程Ax = b 的解。共轭梯度法是把求解线性方程组的问题转化为求

    解一个与之等价的二次函数极小化的问题。从任意给定的初始点出发,沿一组关于矩

    阵A 的共轭方向进行线性搜索,在无舍入误差的假定下,最多迭代n 次(其中n 为矩

    阵A 的阶数),就可求得二次函数的极小点,也就求得线性方程组Ax = b 的解。其迭

    代格式为公式(2) 。

    x(k 1) x(k )  d (k ) (2)

    k

    共轭梯度法中关键的两点是迭代格式(2) 中最佳步长 和搜索方向d (k) 的确定。其

    k

    中 可以通过一元函数f (x(k)+d(k)) 的极小化来求得,其表达式为公式(3) ;取d (0)

    k

    = r(0) = b-Ax (0) ,则d(k+ 1) = r(k+1) + d(k) ,要求d(k+ 1)满足 (d(k+ 1) , Ad(k)) = 0 ,可得 的表达

    k k

    式(4) 。

    k T k

    r  d  

    k k T k (3)

    d   Ad  

    r(k 1)T Ad (k )

      (4)

    k d (k )T Ad (k )

    经过一系列的证明和简化,最终可得共轭梯度法的计算过程如下,计算程序框图

    如图1。

    (1) 给定初始计算向量x(0) 即精度>0 ;

    (2) 计算r(0) = b -Ax (0) ,取d(0) = r(0) ;

    (3) for k =0 to n- 1 do

    展开全文
  • 共轭梯度法求解线性方程

    万次阅读 2017-04-09 20:09:14
    当线性方程组Ax= b的系数矩阵A是对称正定矩阵时,可以采用共轭梯度法对该方程组进行求解,可以证明,式(1)所示的n元二次函数  (1)  取得极小值点x*是方程Ax= b的解。共轭梯度法是把求解线性方程组的问题转化为...

    1.1算法原理及程序框图

    当线性方程组Ax= b的系数矩阵A是对称正定矩阵时,可以采用共轭梯度法对该方程组进行求解,可以证明,式(1)所示的n元二次函数

                                           (1)      

    取得极小值点x*是方程Ax= b的解。共轭梯度法是把求解线性方程组的问题转化为求解一个与之等价的二次函数极小值的问题。从任意给定的初始点出发,沿一组关于矩阵A的共轭方向进行线性搜索,在无舍入误差的假定下,最多迭代n次(其中n为矩阵A的阶数),就可求得二次函数的极小点,也就求得线性方程组Ax= b的解。其迭代格式为:

                                            (2)     

    经过一系列的证明和简化,最终可得共轭梯度法的计算过程如下:

    (1) 给定初始计算向量x(0)即精度ε>0;

    (2) 计算r(0)= b-Ax(0),取d(0) =r(0)

    (3) for k =0 to n-1 do

    (i);

    (ii);

    (iii);

    (iv)

    (v);

    (vi);

    End do

    计算程序如下:

    1.2程序使用说明

    共轭梯度法求解线性方程组的matlab已提交,该程序可以求解系数矩阵为对称正定矩阵的线性方程组。直接双击打开程序软件即可,在程序中根据问题需要更改系数矩阵A和矩阵b(直接输入矩阵或者用简单命令生成矩阵)。根据计算需要修改计算精度eps,点击运行即可得到结果。

    1.3算例计算

    选择课本第113页计算习题3.2计算。例题要求在N=100,N=200,N=400下的计算结果,以N=200为例先将N=100和N=400注释掉,通过diag()命令生成矩阵A和b,运行计算结果。当n=100,n=200,n=400时分别需要迭代的次数是50次,100次,200次,x的各元素为1。

    % ** 文件名:Conjugate Gradient.m
    % 
    % ** 日 期:2016.12.14
    % 
    % ** 描 述:共轭梯度法解线性方程组(Conjugate Gradient method)
    % 
    % ** 函数:113页计算实习3.2  
    % 
    % ** 参考教材:《数值分析》李乃成,梅立泉,科学出版社
    %
    clear;
    clc;
    %%
    %获得需要的N阶矩阵A
    N=100; %解向量的维数
    %N=200;
    %N=400;
    a0=eye(N);%a0为n阶的单位阵
    a1=eye(N-1);%a1为n-1阶的单位阵
    a11=diag(a1);%a11是a1的单位阵的元素
    a12=diag(a11,1);%a12是一个把a11的值放到其对角阵上一层的 矩阵
    A=a12'+a12+(-2)*a0;%A是对角线及其对角线上下(第n-1,n+1条对角线)有元素的矩阵
    %%
    %获得矩阵b
    b=zeros(N,1);
    b(1)=-1;
    b(N)=-1;
    b;
    %%  
    fprintf('库函数计算结果:');
    x=inv(A)*b      %库函数计算结果
    x=zeros(N,1);%迭代近似向量
    eps=0.0000001;%精度
    r=b-A*x;
    d=r;
    for k=0:N-1
        fprintf('第%d次迭代:',k+1);
        a=(norm(r)^2)/(d'*A*d)
        x=x+a*d;
        rr=b-A*x;    %rr=r(k+1)
        if (norm(rr)<=eps)||(k==N-1)
            break;
        end
        B=(norm(rr)^2)/(norm(r)^2);
        d=rr+B*d;
        r=rr;
    end
    x
        
    %由上述结果可知方程组由共轭梯度法求解所得的解与计算机直接计算所得的解相同,
    %故所得的的解释可靠的。
    %当n=100,n=200,n=400时分别需要迭代的次数是50次,100次,200次



    展开全文
  • 共轭梯度法c++程序

    2015-05-23 10:35:07
    共轭梯度法c++程序,也有黄金分割法和进退搜索法,可以使用,有介绍。/*以下是进退法搜索区间源程序*/ void sb(double *a,double *b,double x[],double p[]) { double t0,t1,t,h,alpha,f0,f1; int k=0; t0=2.5; /*...
  • 本文基于线性共轭梯度算法,利用正定二次函数与线性方程组在数学形式上的等价...其中,本文提供了正定二次函数与线性方程组在数学形式上一直性的证明,并且给出了线性共轭梯度法求解正定二次函数极小值的MATLAB源程序。

    实现原理

    具体数学实现原理可参考这篇文章:最速下降法/steepest descent,牛顿法/newton,共轭方向法/conjugate direction,共轭梯度法/conjugate gradient 及其他


    拟解决的问题

    求解正定二次函数的极小点

    对于正定二次函数
    f ( x ) = 1 2 x T G x + b T x + c f(x) = \frac{1}{2} x^T G x + b^T x + c f(x)=21xTGx+bTx+c

    我们有线性共轭梯度算法伪码如下:

    • Step1:给定初始点 x 0 x_0 x0 和容许误差 ϵ > 0 \epsilon > 0 ϵ>0 ,令 k = 0 k = 0 k=0 ;
    • Step2:计算 g k = G x k + b g_k = G x_k + b gk=Gxk+b ,若 ∣ ∣ g k ∣ ∣ < ϵ ||g_k|| < \epsilon gk<ϵ ,则迭代停止 ;
    • Step3:若 k = 0 k = 0 k=0 ,令 d k = − g k d_k = -g_k dk=gk ,否则计算

      β k − 1 = g k T g k g k − 1 T g k − 1 , d k = − g k + β k − 1 d k − 1 \beta_{k-1} = \dfrac{g_k^T g_k}{g_{k-1}^T g_{k-1}}, d_k = -g_k + \beta_{k-1} d_{k-1} βk1=gk1Tgk1gkTgk,dk=gk+βk1dk1 ;
    • Step4:计算步长 α k = g k T g k d k T G d k \alpha_k = \dfrac{g_k^T g_k}{d_k^T G d_k} αk=dkTGdkgkTgk ;
    • Step5:令 x k + 1 = x k + α k d k , k = k + 1 x_{k+1} = x_k + \alpha_k d_k, k = k + 1 xk+1=xk+αkdk,k=k+1 ,go to Step2.

    根据此算法可求解出 f(x) 的极小点,即令 f(x) 的梯度函数 g(x) 值为 0 的点值

    求解线性方程组的根

    对于线性方程组 A x = b ,我们记 A 为方程组的系数矩阵,x 为方程组的根向量,b 为方程组的值向量,我们可以发现,对于正定二次函数
    f ( x ) = 1 2 x T G x + b T x + c f(x) = \frac{1}{2} x^T G x + b^T x + c f(x)=21xTGx+bTx+c

    它的梯度函数为
    g ( x ) = G x + b T g(x) = G x + b^T g(x)=Gx+bT

    若我们令 g(x) = 0,则可得到如下表达式
    G x = − b T G x = - b^T Gx=bT

    因此,若我们做出如下构建,

    在这里插入图片描述

    令线性方程组的 系数矩阵A 为正定二次函数的 Hessen矩阵G,以线性方程组的 值向量b 构建 -b 作为正定二次函数中一次项前面的系数,则正定二次函数的极小点即为线性方程组的解


    代码实现

    利用线性共轭梯度法求解二次函数极小值,该极小值即为构建线性方程组的解:

    function [x, k] = Conjudate(G, b, x0, eps, kmax)
        %
        % function [x, k] = Conjudate(G, b, x0, kmax, eps)
        % 线性共轭梯度法求解正定二次函数 f(x) = 1/2 x' G x + b' x
        % 的极小点,即求解线性方程 G x = b 的过程,故最终输出 x 既为
        % 正定二次函数的极小点,也为线性方程的根
        % ---------------------------------------------------
        % 输入:
        %     G     n 阶正定对称矩阵,正定二次函数的Hessen矩阵,
        %           也为线性方程的系数矩阵
        % 	  b     正定二次函数中的一次项系数,也为线性方程的值向量乘以负一
        %	  x0    初始点
        %	  eps   精确度
        %     kmax  函数的最大迭代次数
        %
        % 输出:
        %		x   正定二次函数的极小点,线性方程的根
        %	  	k	算法迭代次数
        % ---------------------------------------------------
        % by Zhi Qiangfeng 
        %
        gk = G * x0 + b; % x0 处的正定二次函数梯度值
        dk = -gk; % 初始下降方向
        xk = x0;
        k = 0;
        while k <= kmax
            if norm(gk) < eps
                break
            end
            gk_ = gk; % 迭代前的梯度值
            gk = G * xk + b; % 迭代后的梯度值
            dk_ = dk; % 上一次选取的下降方向
            if k == 0
                dk = -gk; % 初始点的下降方向为负梯度方向
            else
                beta = (gk' * gk) / (gk_' * gk_);
                dk = -gk + beta * dk_; % 共轭梯度法迭代方向
            end
            % 正定二次函数步长公式
            alpha = (gk' * gk) / (dk' * G * dk);
            xk = xk + alpha * dk; % 更新迭代点
            k = k + 1;
        end
        x = xk;
    end
    

    方法的检验——求解线性方程组

    线性方程组的构建

    求解线性方程组 Ax = b,其中 A 为 n 阶希尔伯特矩阵,对于希尔伯特矩阵可参考百度百科:希尔伯特矩阵

    在这里插入图片描述

    b为系数矩阵A每行的和构成的列向量,其中我们初始阶数选取为40,即未知数个数为40。

    精确解的求解

    根据线性代数知识,我们有

    在这里插入图片描述

    对于值向量b,我们有

    在这里插入图片描述
    对比 Ax 与 b,我们不难得出线性方程组 Ax = b 的解为

    在这里插入图片描述

    利用计算机编程求解

    编写脚本文件 linear_equ.m,内容如下

    clear; clc;
    A = hilb(40); % 我们选取希尔伯特矩阵作为系数矩阵
    b = sum(A, 2); % b为nx1矩阵,为希尔伯特矩阵每行的和构成的向量
    x0 = zeros(40, 1); % 初始点我们选为0
    kmax = 1000; % 最大迭代次数
    eps = 1e-6; % 精度
    [x, k] = Conjudate(A, -b, x0, kmax, eps)
    

    其中,A 和 b 分别为线性方程组的系数矩阵和值向量,x0为正定二次函数迭代的初始点,x为所构建正定二次函数的极小点,即线性方程组 Ax = b 的解,得到输出如下:

    >> linear_equ
    
    x =
    
        1.0001
        0.9990
        1.0035
        0.9982
        0.9971
        0.9987
        1.0006
        1.0019
        1.0023
        1.0021
        1.0015
        1.0007
        0.9998
        0.9991
        0.9985
        0.9981
        0.9980
        0.9980
        0.9982
        0.9985
        0.9989
        0.9993
        0.9998
        1.0003
        1.0008
        1.0012
        1.0016
        1.0019
        1.0021
        1.0022
        1.0021
        1.0020
        1.0017
        1.0012
        1.0007
        1.0000
        0.9992
        0.9982
        0.9971
        0.9959
    
    k =
    
        10
    
    >> 
    

    可以看到,与精确解十分接近!


    最优化相关算法设计数学原理:最优化/Optimization文章合集
    最优化相关MATLAB实现程序:Z.Q.Feng的最优化笔记


    有帮助可以点赞哦,谢谢大家的支持~

    展开全文
  • 初始化,x(k)表示第k迭代的解向量。p(k)表示第k迭代的方向向量。r(k)表示第k迭代的残差向量。 进入迭代,计算残差向量 计算方向向量 计算步长 更新解向量 Matlab代码: A=[4 1 4 6 7;1 3 2 5 8;4 2 8 4 3...
  • Python实现最速下降法、共轭梯度法和信赖域狗腿法源代码。可以直接运行,同时将迭代分析绘图。配有详细注释
  • %共轭梯度法二次凸函数的最小值(FR法)%此代码不适用于求一般函数的最小值function [minf]=myCGMsyms x1 x2;f=fun([x1;x2]);%函数表达式A=[4 2;2 2];%矩阵A即为上面函数的二次型中的参数Ax0=[0 0]';%初始点mu=10^(-...
  • 第十共轭梯度法方程 运行上一篇的程序得到的结果表明,最陡下降法与迄今为止所其它迭代方法比较,在迭代次数上没有竞争力。然而,如果从根本上改进与[A]相互“共轭”的下降向量。于是,引入了满足以下关系的...
  • 题目和要求最速下降法是以负梯度方向最为下降...共轭梯度法它的每一个搜索方向是互相共轭的,而这些搜索方向dk仅仅是负梯度方向 gk与上一接待的搜索方向dk 1的组合。运行及结果如下:最速下降法:题目:f=(x-2)^2+...
  • 这一次,我们来谈谈如何运用共轭梯度法求解无约束问题。参考运筹学书,我将共轭梯度算法重新整理了一遍,将二次的和非二次的算法合为一体。废话不多说,看算法:来自于网络一、算法实现:二、Python实践:from ...
  • 共轭梯度法以及C语言实现

    千次阅读 2020-05-30 01:10:50
    } int main() { //原问题:Ax=b //求解二次泛函:fi(x)=1/2x^TAx-b^Tx int i, j; /* 初始化 */ static double A[N][N] = { 1,1,1,1,1, 1,2,2,2,2, 1,2,3,3,3, 1,2,3,4,4, 1,2...
  • 最优化方法-共轭梯度法

    千次阅读 2019-03-31 17:16:23
    共轭梯度法最初由Hesteness和Stiefel于1952年为求解线性方程组而提出的。其基本思想是把共轭性与最速下降方法相结合,利用已知点处的梯度构造一组共轭方向,并沿这组方向进行搜素,求出目标函数的极小点。根据共轭...
  • 数值计算之 共轭梯度法(1)线性共轭梯度法前言共轭梯度法的引出线性共轭梯度法共轭向量组构造线性共轭梯度流程补充:线性共轭梯度法的简化 前言 本篇继续无约束优化算法学习,线性共轭梯度法共轭梯度法的引出 ...
  • %精度 %共轭梯度 for i=1:2 if g==0 disp(‘x‘) x break else b=(g‘*a*d)/(d‘*a*d)%β d=-g+b*d; d11=subs(d(1),{x1,x2},{x(1) x(2)}); d22=subs(d(2),{x1,x2},{x(1) x(2)}); d=[d11;d22] af=(-g‘*d)/(d‘*a*d)%...
  • 最优化算法之共轭梯度算法求解非线性规划问题,代码运行稳定
  • 事实上这个方法(思想)在实际中是被用于求解线性方程的,当然单纯的梯度下降形式并没有被直接采用,被广泛用于求解对称、正系数矩阵方程组的方法是,基于梯度下降原理实现的共轭梯度法,这一方法在大...
  • 用于求解三元非线性方程组的共轭梯度算法.
  • 目前主流的方法有两种:随机梯度下降 (简称 SGD,stochastic gradient decent) 和交替最小二乘法 (简称 ALS,alternating least squares),而本文的重点是后者,在阐述其基本原理的同时,引入共轭梯度法来加速模型...
  • 共轭梯度法的推导与完整算法

    万次阅读 多人点赞 2017-10-09 19:51:17
    共轭梯度法学习自知乎:https://www.zhihu.com/question/27157047和非线性规划课程简介在数值线性代数中,共轭梯度法是一种求解对称正定线性方程组Ax=b的迭代方法。事实上,求解Ax=b等价于求解: min||Ax−b||22min|...
  • 正定二次函数的共轭梯度法matlab实现 1、算法过程 2、matlab实现 function [X,min_f]=minGRAD(fx,var,x0) %%%输入目标函数(正定二次函数)fx,变量var,初始点x0; %%%采用共轭梯度法计算目标函数的极小值; %%%输出...
  • 共轭梯度法(Conjugate gradient)详解

    千次阅读 2021-11-24 19:17:49
    最初,共轭梯度法是用来求解线性方程Ax=bAx = bAx=b的一种方法,特别是稀疏线性方程组迭代求解法里面最优秀的方法,其被称为线性共轭梯度法。后来,人们把这种方法慢慢推广到了非线性问题求解中,称为非线性共轭梯度...
  • MATLAB - 共轭梯度法

    万次阅读 多人点赞 2019-10-07 10:25:29
    求解系数矩阵A是对称正定矩阵的线性方程组或求解二次函数的极小值点。 二、算法 共轭梯度法,步骤如下: 1 任意给定初始点及精度 2 3 对于,作 1) 2) 3),或 4) 若或,则输出,,取作为的解,...
  • 我们每个人都会在我们的生活或者工作中遇到各种各样的最...随着学习的深入,博主越来越发现最优化方法的重要性,学习和工作中遇到的大多问题都可以建模成一种最优化模型进行求解,比如我们现在学习的机器学习算法...
  • 关于梯度的优化优化方法主要包括梯度上升和梯度下降,如果想要求最大值,则使用梯度上升,如果想要去最小值,则使用梯度下降。本文主要讲梯度下降梯度下降是指参数不断沿着负梯度方向不断更新,直到最小值...
  • 非线性共轭梯度法求解最优化问题的一类有效算法,该算法的一个显著优点是其存储量小,且具有较好的收敛性,因此广泛应用于求解大规模的最优化问题.而已有的共轭梯度法有些不能保证产生的方向为下降方向,有些共轭梯度...
  • 截断共轭梯度法

    2021-04-23 08:01:40
    截断共轭梯度法考虑信赖域子问题: 其中 是目标函数,$\nabla f(x), \nabla^2 f(x)$ 表示 的梯度与海瑟矩阵。注意,当 时,信赖域子问题...当约束不存在时(即 ),共轭梯度法通过求解一系列共轭方向可以快速求解对应...
  • 最优化之共轭梯度法

    千次阅读 2014-12-31 00:12:57
    共轭梯度法是利用目标函数的梯度逐步产生共轭方向并将其作为搜索方向的方法。 1. 共轭方向与共轭方向法 定义:设H是n*n方阵且对称正定。 (1)若对n维非零向量p和q,有p^THq = 0,则称p和q是H-共轭的; (2)若对n维...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 1,486
精华内容 594
关键字:

共轭梯度法求解二次方程