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  • 在apachecommons math3中,EigenDecomposition接受非对称矩阵,但它使用...在在特征向量的情况下,你得到:eigenvector[0] = {-0.8660254038; 0}eigenvector[1] = {0.5; 1}这两个向量都与复共轭特征值对getRealEi...

    在apachecommons math3中,EigenDecomposition接受非对称矩阵,但它使用RealVector和{}类返回结果。为了得到实际的复杂结果,您必须将适当的实际结果组合成复共轭对。在

    在特征向量的情况下,你得到:eigenvector[0] = {-0.8660254038; 0}

    eigenvector[1] = {0.5; 1}

    这两个向量都与复共轭特征值对getRealEigenvalue(0) + getImagEigenvalue(0)*i和{}相关联,但这些向量不是实际的特征向量。实际的特征向量是复共轭对

    eigenvector[0] + eigenvector[1]*i和{}。在

    这些向量仍然不能“匹配”numpy返回的结果,但这是因为这两个库没有使用相同的规范化。特征向量不是唯一的;特征向量乘以任何非零标量(包括复数标量)仍然是特征向量。Java结果和numpy结果之间的唯一区别是标量乘数。在

    为了方便起见,我将浮点值转换为它们的精确值。也就是说,-0.8660254038是-sqrt(3)/2的浮点近似值。Java数学库给出了以下特征向量:

    ^{pr2}$

    如果你把第一个特征向量乘以-(sqrt(2)/2)*i,第二个特征向量乘以(sqrt(2)/2)*i,你就会得到以numpy返回的特征向量。在

    这是一个ipython会议的计算。v1和{}是上面显示的向量。在In [20]: v1 = np.array([-np.sqrt(3)/2 + 0.5j, 1j])

    In [21]: v1

    Out[21]: array([-0.8660254+0.5j, 0.0000000+1.j ])

    In [22]: v2 = np.array([-np.sqrt(3)/2 - 0.5j, -1j])

    In [23]: v2

    Out[23]: array([-0.8660254-0.5j, 0.0000000-1.j ])

    将v1乘以-(sqrt(2)/2)*i得到numpy.linalg.eig返回的第一个特征向量:In [24]: v1*(-np.sqrt(2)/2*1j)

    Out[24]: array([ 0.35355339+0.61237244j, 0.70710678-0.j ])

    将v2乘以(sqrt(2)/2)*i得到numpy.linalg.eig返回的第二个特征向量:In [25]: v2*(np.sqrt(2)/2*1j)

    Out[25]: array([ 0.35355339-0.61237244j, 0.70710678+0.j ])

    为了方便起见,这里重复了numpy计算。evecs的列是特征向量。在In [28]: evals, evecs = np.linalg.eig(a)

    In [29]: evecs

    Out[29]:

    array([[ 0.35355339+0.61237244j, 0.35355339-0.61237244j],

    [ 0.70710678+0.j , 0.70710678-0.j ]])

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  • 在Apache Commons Math 3中,EigenDecomposition接受非对称矩阵,但它使用RealVector和RealMatrix类返回结果.要获得实际的复杂结果,您必须将适当的实际结果组合成复杂的共轭对.... 1}这两个向量都与复合共轭特征...

    在Apache Commons Math 3中,EigenDecomposition接受非对称矩阵,但它使用RealVector和RealMatrix类返回结果.要获得实际的复杂结果,您必须将适当的实际结果组合成复杂的共轭对.

    在特征向量的情况下,您得到:

    eigenvector[0] = {-0.8660254038; 0}

    eigenvector[1] = {0.5; 1}

    这两个向量都与复合共轭特征值对相关联getRealEigenvalue(0)getImagEigenvalue(0)* i和getRealEigenvalue(1)getImagEigenvalue(1)* i,但这些向量不是实际的特征向量.实际的特征向量是复共轭对

    特征向量[0]特征向量[1] * i和特征向量[0] – 特征向量[1] * i.

    那些向量仍然不匹配numpy返回的结果,但这是因为这两个库没有使用相同的规范化.特征向量不是唯一的;特征向量乘以任何非零标量(包括复数标量)仍然是特征向量. Java结果和numpy结果之间的唯一区别是标量乘数.

    为方便起见,我将浮点值转换为它们的确切值.也就是说,-0.8660254038是-sqrt(3)/ 2的浮点近似. Java数学库提供以下特征向量:

    [-sqrt(3)/2 + (1/2)*i] and [-sqrt(3)/2 - (1/2)*i]

    [ 0 + 1*i] [ 0 - 1*i]

    如果你将第一个特征向量乘以 – (sqrt(2)/ 2)* i和第二个乘以(sqrt(2)/ 2)* i,你将得到numpy返回的特征向量.

    这是一个带有该计算的ipython会话. v1和v2是上面显示的向量.

    In [20]: v1 = np.array([-np.sqrt(3)/2 + 0.5j, 1j])

    In [21]: v1

    Out[21]: array([-0.8660254+0.5j, 0.0000000+1.j ])

    In [22]: v2 = np.array([-np.sqrt(3)/2 - 0.5j, -1j])

    In [23]: v2

    Out[23]: array([-0.8660254-0.5j, 0.0000000-1.j ])

    将v1乘以 – (sqrt(2)/ 2)* i得到numpy.linalg.eig返回的第一个特征向量:

    In [24]: v1*(-np.sqrt(2)/2*1j)

    Out[24]: array([ 0.35355339+0.61237244j, 0.70710678-0.j ])

    将v2乘以(sqrt(2)/ 2)* i得到numpy.linalg.eig返回的第二个特征向量:

    In [25]: v2*(np.sqrt(2)/2*1j)

    Out[25]: array([ 0.35355339-0.61237244j, 0.70710678+0.j ])

    为方便起见,这里是numpy计算的重复. evecs列是特征向量.

    In [28]: evals, evecs = np.linalg.eig(a)

    In [29]: evecs

    Out[29]:

    array([[ 0.35355339+0.61237244j, 0.35355339-0.61237244j],

    [ 0.70710678+0.j , 0.70710678-0.j ]])

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  • 在四元数体 口上的矩阵理论的研究中, 继共轭矩阵对角化之后, 人们自然会提出...上的酉阵、 规范阵的对角化问题, 进而研究对一般四元数矩阵的特征值和特征向量问题。文 献[ 1 ] ~E S ] 就这些问题已作了前期研究。
  • 计算方阵的特征值和右特征向量。 参数: a : ( …,M,M)数组 将计算特征值和右特征向量的矩阵 返回: w : ( …,M)数组 特征值,每个都根据其多样性重复。特征值不一定是有序的。结果数组将是复数类型,除非...

    计算方阵的特征值和右特征向量。

    参数:
    a : ( …,M,M)数组
    将计算特征值和右特征向量的矩阵

    返回:
    w : ( …,M)数组
    特征值,每个都根据其多样性重复。特征值不一定是有序的。结果数组将是复数类型,除非虚部为零,在这种情况下它将被转换为实数类型。当a 是实数时,得到的特征值将是实数(0虚部)或出现在共轭对中

    v : ( …,M,M)数组
    归一化(单位“长度”)特征向量,使得列v[:,i]是对应于特征值的特征向量w[i]。

    举:
    LinAlgError
    如果特征值计算不收敛。

    也可以看看
    eigvals
    非对称阵列的特征值。
    eigh
    实对称或复Hermitian(共轭对称)阵列的特征值和特征向量。
    eigvalsh
    实对称或复Hermitian(共轭对称)阵列的特征值。

    笔记

    1.8.0版中的新功能。

    广播规则适用,请参阅numpy.linalg文档以获取详细信息。

    这是使用_geev LAPACK例程实现的,该例程计算一般方阵的特征值和特征向量。

    数瓦特是的特征值一个,如果存在一个矢量 v,使得。因此,该阵列一个,瓦特,并且 v满足式 为。dot(a,v) = w * vdot(a[:,:], v[:,i]) = w[i] * v[:,i]我在\ {0,…,M-1 }

    特征向量的阵列v可能不具有最大等级,即,一些列可能是线性相关的,尽管舍入误差可能使该事实模糊。如果特征值都不同,那么理论上特征向量是线性无关的。同样,特征向量的(复值)矩阵v是酉如果基质一个是正常的,即,如果,其中AH表示的共轭转置一个。dot(a, a.H) = dot(a.H, a)

    最后,需要强调的是v组成的右侧(如右侧)的特征向量一个。载体ÿ满足 某些数目ž被称为左侧 的特征向量一个,并且,在一般情况下,矩阵的左和右本征向量不一定彼此的(可能共轭)调换。dot(y.T, a) = z * y.T

    参考

    G. Strang,Linear Algebra and Applications,2nd Ed。,Orlando,FL,Academic Press,Inc.,1980,Various pp。

    例子

    from numpy import linalg as LA

    (几乎)具有真实e值和电子矢量的微不足道的例子。

    w, v = LA.eig(np.diag((1, 2, 3)))
    w; v
    array([ 1., 2., 3.])
    array([[ 1., 0., 0.],
    [ 0., 1., 0.],
    [ 0., 0., 1.]])

    具有复杂e值和电子矢量的真实矩阵; 注意,e值是彼此的复共轭。

    w, v = LA.eig(np.array([[1, -1], [1, 1]]))
    w; v
    array([ 1. + 1.j, 1. - 1.j])
    array([[ 0.70710678+0.j , 0.70710678+0.j ],
    [ 0.00000000-0.70710678j, 0.00000000+0.70710678j]])

    具有实际e值的复值矩阵(但是复值e向量); 注意a.conj()。T = a,即a是Hermitian。

    a = np.array([[1, 1j], [-1j, 1]])
    w, v = LA.eig(a)
    w; v
    array([ 2.00000000e+00+0.j, 5.98651912e-36+0.j]) # i.e., {2, 0}
    array([[ 0.00000000+0.70710678j, 0.70710678+0.j ],
    [ 0.70710678+0.j , 0.00000000+0.70710678j]])

    关于舍入错误要小心!

    a = np.array([[1 + 1e-9, 0], [0, 1 - 1e-9]])
    #Theor. e-values are 1 +/- 1e-9
    w, v = LA.eig(a)
    w; v
    array([ 1., 1.])
    array([[ 1., 0.],
    [ 0., 1.]])

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  • 即使矩阵是实的,特征值和特征向量也经常会是复数。1. 虚数回顾虚数由实部和虚部组成,虚数相加时实部和实部相加,虚部和虚部相加,虚数相乘时则利用 。在虚平面,虚数 是位于坐标 的一个点。复数 的共轭为 。在极...

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    为了完整地展示线性代数,我们必须包含复数。即使矩阵是实的,特征值和特征向量也经常会是复数。

    1. 虚数回顾

    虚数由实部和虚部组成,虚数相加时实部和实部相加,虚部和虚部相加,虚数相乘时则利用

    6d3308498c407b621aef83b5b1afb3b8.png

    在虚平面,虚数

    是位于坐标
    的一个点。复数
    的共轭为

    870f36a19627ede21a5528faea218110.png

    在极坐标下,复数则可以写作模长和极角的形式。

    716dd1b243868bd4b89c6706a91ee64c.png

    两个复数相乘是模长相乘,极角相加。

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    73d4fa78c087c615214613dfb0d66a4f.png

    56486f710f4c4529a55a3b17af845555.png

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    2. 厄米特(Hermitian)矩阵和酉(Unitary)矩阵

    这部分的重点可以用一句话来介绍:当你对一个复数向量或者矩阵进行转置时,同时对它们取共轭。

    5d62c692f5ca3765dadc29747da8b285.png

    为什么要这样做呢?一个理由是复数向量长度的特殊性。针对实向量,其长度的平方为

    ,但复数向量长度的平方并不是
    。比如
    长度的平方并不是
    ,而应该是

    fa3f087ec45f6eea660d626cabc6cef9.png

    我们定义一个新符号,

    ,来表示向量的共轭转置,这个符号也可以应用到矩阵中去。

    9471c21be46408d6ddef797d189763d8.png

    同时,我们也要对向量的内积定义进行一下扩展,但内积为零仍然表明正交。

    8170e9184dd4a97b389f6da9cb7c1519.png

    这时候,向量的顺序就变得重要了。

    f20e8e7b28010417b50b5be701dd36bd.png

    一个厄米特矩阵满足

    ,每一个实对称矩阵都是厄米特的,因为实数的共轭还是它本身。

    f8ebfb2199423b28e2c52bdd92c19fa7.png
    如果
    是任意向量,那么
    是实数。

    ac14ce9844834ce1cb07f8745938e569.png

    来自对角线上的两项都是实数,而来自非对角线上的两项互为共轭,相加之后也为实数。

    厄米特矩阵的每个特征值都是实数。

    上式左边为实数,

    是长度的平方,是正实数,所以特征值也必须为实数。

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    厄米特矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的。

    比较 (1) 式和 (2) 式可得,两式左边相等,所以右边应该也相等。又由于两个特征值不一样,所以有

    ,两个特征向量正交。

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    酉矩阵是一个有着标准正交列的方阵。

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    任意有着标准正交列的矩阵满足
    ,如果它还是一个方阵,那么有

    一个酉矩阵乘以任意向量,向量的长度保持不变。

    而且,酉矩阵的所有特征值的绝对值都为 1。

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    最后,我们来总结一下实数和虚数向量以及矩阵之间的一些概念迁移。

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共轭特征向量