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  • 本章包含许多概念:对称矩阵正定矩阵共轭矩阵虚数的共轭平方复矩阵复矩阵的模长和内积酉矩阵这里面很多的概念是准备学习“傅里叶”之前所必备的概念。本人吃了很大的亏,一开始轻视学习对称矩阵,奉劝学习的人一定...

    本章包含许多概念:

    对称矩阵

    正定矩阵

    共轭矩阵

    虚数的共轭和平方

    复矩阵

    复矩阵的模长和内积

    酉矩阵

    这里面很多的概念是准备学习“傅里叶”之前所必备的概念。

    本人吃了很大的亏,一开始轻视学习对称矩阵,奉劝学习的人一定要侧重学习对称矩阵!一开始我们不知道它有什么用,甚至感觉它就是一种巧合,逐渐在后面的知识中,它意外得像一匹黑马,非常重要

    本章有些强调和补充地方,啰嗦,也是本人在学习中曾经被忽视的地方。


    在学习到代数的后期,我们会逐渐发现一个矩阵的性质、特点,很多时候都体现在它的特征值和特征向量上。

    而对称矩阵,逐渐成为拉开这个序幕的一股重要的力量。

    对称矩阵,定义:

    (1)

    (2)特征向量之间,任意一对两两正交(这是个非常重要的一点,在之后运用中非常非常重要。

    这说明了特征向量组成的“特征基矩阵”P也是一个正交矩阵。那么就有当A是一个对称阵时,存在正交矩阵使得:

    ,这完全运用了正交矩阵
    的性质,且恰好的
    等于对角阵D的原先使用条件是
    ,而特征基矩阵P又是两两正交,所以是正交矩阵,所以将P用正交矩阵Q去替换之。)

    另外还能引申出其它的性质:

    (3)如果A是一个对称阵,那么

    构成的矩阵也是对称矩阵

    另外其“长相”也有一定的特征:

    (4)

    8980b6a8f26199856d0c5f52bf42182b.png

    注意的是:一开始学习的时候,更应该侧重记忆(1)(2)(3),而(4)在实际很多的问题上,我们更要发挥能不能“看”不重要,重点是要会用(性质123)。

    (补充一点会遗忘的点:向量两两正交是指,比如上面图片中,3*1+1*2+7*9=0,如果结果是等于0,就是说,这一对向量两两正交,注意中间的符号是加哦,不是减!但对称矩阵是指对称矩阵A的特征向量之间两两正交,不是指对称矩阵A。)

    关于对称矩阵的其它重要关注点:

    (5)对称矩阵不一定可逆。比如一个三阶矩阵:

    1 0 0

    0 1 0

    0 0 0

    是一个对称矩阵,但存在0行0列,它是一个不可逆的矩阵。

    类似的还有:

    0 2 0

    2 0 0

    0 0 0

    或者是0矩阵,这些,都是不可逆的。

    对称矩阵可以逆,也可以无法逆;

    它既可能线性无关,也可能线性相关;

    它既可能存在0行0列,也可能是满秩。

    关于这一系列的推导可以关注之前章节提到的“神功运转路线”。

    (6)在(1)中

    ,进而,
    一个可逆的对称矩阵
    (或者也可以说)
    ,甚至
    这些A的幂次对称矩阵都和对称矩阵A有相等的零空间和秩。(前提,A一定是可逆。)

    还有可以补充可以延伸思考的另一个性质:

    (7)对角矩阵都是对称矩阵。(但是对称矩阵不一定是对角矩阵!

    强化和分辨:

    (8)A基于是对称矩阵的前提:

    在(2)说:对称矩阵A的特征向量之间,任意一对两两正交

    可推导,A一定存在可逆的“特征基”矩阵P,进而可推到存在对角阵

    也是一个对称矩阵,但A作为对称矩阵就不一定是对角阵了,参见(7)),

    且可逆的“特征基”矩阵P,我们在(2)说 P是一个特征向量矩阵,任意一对两两正交,正交又完全等同于互相垂直的概念,

    在之前的章节我们提到一句很重要的话:

    “互相垂直的各列一定是线性无关的”,

    所以A的特征向量矩阵P列向量一定都是线性无关的!

    注意,初学的时候,非常容易将线性无关和A和

    关联,这是一种错误的想法,

    这里屡次强调的“两两正交,线性无关,绝对不存在0行0列,绝对可逆”,是指的是特征向量矩阵P,而不是A和

    !P是A的特征向量矩阵!

    (且绝对可逆,也同样也可以看出:

    因为P可逆,所以P作为A的特征向量矩阵,可以有

    我想表达的是:正因为P可逆,所以才存在A的

    还是要强调一遍,是P可逆,P绝对是可逆的,而不是说对称矩阵A可不可逆!!!

    A可以逆,也可以无法逆!

    另一个非常重要的是:

    上面讨论的是:A基于是对称矩阵的前提,P也是绝对存在的,P也绝对可逆。

    但是,如果A不是对称矩阵,那么P也绝对存在,但P不一定是可逆的。A对角阵

    也不一定存在了。

    还有我们不能说,P可逆A就是对称矩阵,这种反推显然是不对的。

    请一定要记住,不要弄混了。

    (9)

    基于(8)的讨论。特征向量P还能化为单位向量矩阵,只需要将长度缩放到1,所以我们有标准正交向量Q,即可以把P认为是标准正交矩阵Q。

    (单位向量是指模等于1的向量。即范数(或者 内积)两两为1。)

    所以对于

    我们对P进行Schmidt化,而P已经是本身自带正交化,那么只需要单位化,就可以实现Schmidt化,我们就能将P化为标准正交矩阵Q(或者说规范正交矩阵Q),

    得出:

    而对于标准正交矩阵,我们有这样的性质:

    (标准正交矩阵,它 逆等于转置)

    ,所以:

    对了,因为我们一直说A是对称矩阵,对称矩阵一定是方阵,所以P单位化后,更准确的说法是正交矩阵,而非模棱两可的规范正交矩阵。

    而对称矩阵说的

    所以进一步的,

    对于

    也可以同等于

    总结:

    由于对称矩阵可以将特征向量矩阵P进行单位化而成为正交矩阵,所以有Q替代P,再因为正交矩阵的性质“Q的逆”和“Q的转置”这两个矩阵可以等同,对称矩阵又使得“Q的转置”等于“Q”,使得最后形成对于

    同等于
    的推论,

    这就是实数空间的谱定理。

    简而言就是,实数空间谱定理是:对称矩阵在标准正交基下某个特性互通。(这个特性就是上面的结论).

    谱就是矩阵特征值的集合。

    (我对谱定理还有很多不清晰,长路迢迢啊。)

    补充:

    虽然,上面没有讨论对称矩阵和正交矩阵之间关系,对称矩阵是A和

    ,正交矩阵是从P化到Q,但看到网络上充斥着大量的错误,所以特别说明下:

    对称矩阵有可能是正交矩阵。大部分情况都不是正交矩阵。

    正交矩阵可能是对称矩阵。大部分情况不是。对称矩阵(4)的性质和随便翻本书的正交矩阵的样子明显都不一样。

    先看下不是的:比如:

    1 0

    0 0

    它是一个对称矩阵,可逆不可逆对于它来讲无所谓,但它不是一个正交矩阵,因为它无法逆啊

    这就说明了对称矩阵不是正交矩阵的其中一个例子。

    而最简单的二阶单位矩阵就是对称矩阵,也是正交矩阵!

    关于范数和Schmidt化,这部分可以看之间我写的章节:

    14、范数、内积、归一、正交化、标准正交(Schmidt化)

    (10)对称矩阵内的数字一定是实数。定义对称矩阵一定在实数空间内,不可能存在虚数。

    这部分在下面的共轭矩阵中会再次提到。


    (11)在对称矩阵中,特征值的乘积总是等于行列式

    (12)对称矩阵中,

    主元的正值的个数和负值的个数,分别等于,特征值正值的个数和负值的个数

    (我们把正的特征值个数称为正惯性指数,把负的特征值个数称为负惯性指数)

    (惯性指数是特征值的个数)

    (本章暂且不提及惯性指数,在之后的学习中会提到。)

    关于对称阵还有其它的性质,可觉得一时没有特别的关注点,可以看百度百科:

    对称矩阵_百度百科


    反对称矩阵:

    满足

    的矩阵为反对称矩阵。

    且 可推,

    。 (对称矩阵是

    其外貌特征是主对角线上的元素是0,关于主对角线对称的元素互为相反数

    比如

    A=

    0 1

    -1 0

    是个二阶反对称矩阵


    正定矩阵:

    正定矩阵A是对称矩阵中的一种。其特点是:

    (1)A的特征值都是正的

    (2)矩阵A行最简的主元都是正的。

    (3)所有的子行列式都为正

    子行列式概念:

    从原行列式左上角开始依次划分出 1x1 的一块,2x2 的一块,...得到的这些子块对应的行列式就称之为“子行列式”。

    copy下别人的例子,觉得没必要浪费时间再添加什么了:

    bab0814a4925569b5faefe970f9f6f95.png

    ——推荐 ——推荐 ——推荐 ——推荐 ——推荐 ——推荐 ——

    关于更详细的正定矩阵的学习和概念:

    请参见本人写的22章:

    回头是岸不回走:22、正定矩阵、正定二次型、半负定zhuanlan.zhihu.com

    共轭矩阵:

    共轭矩阵又称为:自共轭矩阵、Hermite阵、埃尔米特矩阵。

    共轭矩阵有分为“实数共轭矩阵”和“复数共轭矩阵”,

    当是一个“实数共轭矩阵”时,实数共轭矩阵就是对称矩阵。

    当是一个“复数共轭矩阵时”,即包含了虚部,那么它不是对称矩阵,

    我们要明白对于虚数i的共轭是什么,

    看一下概念:

    两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数。(当虚部不等于0时也叫共轭虚数)

    复数z的共轭复数记作

    ,也可表示为

    根据定义,若z=a+ib (a,b∈R),则它的共轭是

    =a-ib(a,b∈R)。

    举个例子:

    矩阵A为复数共轭矩阵:

    1+i 2+i

    2-i 1+i

    在实数空间里,我们可以认为共轭就是为对称,而虚数还要参照上面说的。

    所以在复数空间里,如果一个复数矩阵想拥有实数对称矩阵的性质,需要满足

    简单说,包含实部和虚部的A要想拥有对称矩阵的性质,不仅要满足等于它的转置,还要等于它的共轭。

    而如果是实数空间,没有虚部,那么就直接等于转置就可以了,没必要再共轭,因为它的共轭就是本身啊。

    所以:在实数空间内,

    永远同等于

    (对称矩阵一定是实数。一定在实数空间内。)

    备注:

    共轭矩阵拥有这对称矩阵的性质,且共轭矩阵的特征值都是实数,它的特征向量互相垂直。


    虚数的平方和共轭:

    复数求范数或内积的核心就是,原先在实数空间内的

    现在变为了需要对 每个复数“x” 求共轭,

    考虑到转置这东西实在不过是公式里数乘运算的规范,其实在意义没有,那我想干脆就人性化,不要去记住转置这种东西,直接记得上面的式子,才简洁,不产生其它歧义。)

    已知复数“x”是包含了实数和虚数,实数的共轭是本身,那么虚数的共轭是:

    虚数的平方:(i3表示i的三次方,没这种写法,但我要节省时间,就这么写了)

    i1 = i

    i2= - 1

    i3 = - i

    i4 = 1

    i5 = i

    i6 = - 1

    i7 = - i

    i8 = 1

    幂次i,一次循环以4为周期,

    周期内一次奇数次方为i,二次偶数次方为-1,三次奇数次方为-i,四次奇数次方为1.

    以此循环。

    对于虚数的共轭是取相反符号:

    比如:

    i的共轭是-i

    4+3i 的共轭是 4-3i

    于是“对称矩阵”若在出现虚数,便不叫“对称矩阵”,复数空间里,它应该的叫法是:

    “共轭矩阵”。

    比如:

    a 4+3i

    4-3i b

    备注:

    共轭矩阵的特征值都是实数。它的特征向量互相垂直。

    备注:

    求一个数的共轭和共轭矩阵是不同的,并不是说“求某的共轭,它就是一个复数内对称矩阵。NO。”,共轭和共轭矩阵还是要有区分开来学习。


    复矩阵和它的模长:

    在复数空间内的矩阵都是复矩阵。

    我们对包含实数和虚数的数求“模长”和“内积”,其操作和实数空间内求“模长”和“内积”稍有些不同。

    做下实数求模长的简单回忆:

    一个实数要求模长(范数、长度),

    比如列向量A=[1 2]的模长为

    即是

    ,也有公式这么阐述:

    而对于复数的情况,即存在虚部,它的模长为

    表达的即是A不仅要做转置要要同时做“共轭”。我们将

    写做

    H就是共轭矩阵、埃尔米特矩阵、自共轭矩阵。(H主要代表了实数虚数共轭的性质)


    酉矩阵:

    正交矩阵是指在实数空间的范围内的,而在复数空间里,有相同正交性质的,不叫正交矩阵,而叫“酉矩阵”。

    简单总结:

    在实数空间:A正交矩阵,B对称矩阵 ;

    在复数空间:A酉矩阵 ,B共轭矩阵 。

    (完)

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  • 本章包含许多概念:对称矩阵正定矩阵共轭矩阵虚数的共轭平方复矩阵复矩阵的模长和内积酉矩阵这里面很多的概念是准备学习“傅里叶”之前所必备的概念。本人吃了很大的亏,一开始轻视学习对称矩阵,奉劝学习的人一定...

    本章包含许多概念:

    对称矩阵

    正定矩阵

    共轭矩阵

    虚数的共轭和平方

    复矩阵

    复矩阵的模长和内积

    酉矩阵

    这里面很多的概念是准备学习“傅里叶”之前所必备的概念。

    本人吃了很大的亏,一开始轻视学习对称矩阵,奉劝学习的人一定要侧重学习对称矩阵!一开始我们不知道它有什么用,甚至感觉它就是一种巧合,逐渐在后面的知识中,它意外得像一匹黑马,非常重要

    本章有些强调和补充地方,啰嗦,也是本人在学习中曾经被忽视的地方。


    在学习到代数的后期,我们会逐渐发现一个矩阵的性质、特点,很多时候都体现在它的特征值和特征向量上。

    而对称矩阵,逐渐成为拉开这个序幕的一股重要的力量。

    对称矩阵,定义:

    (1)

    (2)特征向量之间,任意一对两两正交(这是个非常重要的一点,在之后运用中非常非常重要。

    这说明了特征向量组成的“特征基矩阵”P也是一个正交矩阵。那么就有当A是一个对称阵时,存在正交矩阵使得:

    ,这完全运用了正交矩阵
    的性质,且恰好的
    等于对角阵D的原先使用条件是
    ,而特征基矩阵P又是两两正交,所以是正交矩阵,所以将P用正交矩阵Q去替换之。)

    另外还能引申出其它的性质:

    (3)如果A是一个对称阵,那么

    构成的矩阵也是对称矩阵

    另外其“长相”也有一定的特征:

    (4)

    9b601f79f205e7158ac8cf2736839a6c.png

    注意的是:一开始学习的时候,更应该侧重记忆(1)(2)(3),而(4)在实际很多的问题上,我们更要发挥能不能“看”不重要,重点是要会用(性质123)。

    (补充一点会遗忘的点:向量两两正交是指,比如上面图片中,3*1+1*2+7*9=0,如果结果是等于0,就是说,这一对向量两两正交,注意中间的符号是加哦,不是减!但对称矩阵是指对称矩阵A的特征向量之间两两正交,不是指对称矩阵A。)

    关于对称矩阵的其它重要关注点:

    (5)对称矩阵不一定可逆。比如一个三阶矩阵:

    1 0 0

    0 1 0

    0 0 0

    是一个对称矩阵,但存在0行0列,它是一个不可逆的矩阵。

    类似的还有:

    0 2 0

    2 0 0

    0 0 0

    或者是0矩阵,这些,都是不可逆的。

    对称矩阵可以逆,也可以无法逆;

    它既可能线性无关,也可能线性相关;

    它既可能存在0行0列,也可能是满秩。

    关于这一系列的推导可以关注之前章节提到的“神功运转路线”。

    (6)在(1)中

    ,进而,
    一个可逆的对称矩阵
    (或者也可以说)
    ,甚至
    这些A的幂次对称矩阵都和对称矩阵A有相等的零空间和秩。(前提,A一定是可逆。)

    还有可以补充可以延伸思考的另一个性质:

    (7)对角矩阵都是对称矩阵。(但是对称矩阵不一定是对角矩阵!

    强化和分辨:

    (8)A基于是对称矩阵的前提:

    在(2)说:对称矩阵A的特征向量之间,任意一对两两正交

    可推导,A一定存在可逆的“特征基”矩阵P,进而可推到存在对角阵

    也是一个对称矩阵,但A作为对称矩阵就不一定是对角阵了,参见(7)),

    且可逆的“特征基”矩阵P,我们在(2)说 P是一个特征向量矩阵,任意一对两两正交,正交又完全等同于互相垂直的概念,

    在之前的章节我们提到一句很重要的话:

    “互相垂直的各列一定是线性无关的”,

    所以A的特征向量矩阵P列向量一定都是线性无关的!

    注意,初学的时候,非常容易将线性无关和A和

    关联,这是一种错误的想法,

    这里屡次强调的“两两正交,线性无关,绝对不存在0行0列,绝对可逆”,是指的是特征向量矩阵P,而不是A和

    !P是A的特征向量矩阵!

    (且绝对可逆,也同样也可以看出:

    因为P可逆,所以P作为A的特征向量矩阵,可以有

    我想表达的是:正因为P可逆,所以才存在A的

    还是要强调一遍,是P可逆,P绝对是可逆的,而不是说对称矩阵A可不可逆!!!

    A可以逆,也可以无法逆!

    另一个非常重要的是:

    上面讨论的是:A基于是对称矩阵的前提,P也是绝对存在的,P也绝对可逆。

    但是,如果A不是对称矩阵,那么P也绝对存在,但P不一定是可逆的。A对角阵

    也不一定存在了。

    还有我们不能说,P可逆A就是对称矩阵,这种反推显然是不对的。

    请一定要记住,不要弄混了。

    (9)

    基于(8)的讨论。特征向量P还能化为单位向量矩阵,只需要将长度缩放到1,所以我们有标准正交向量Q,即可以把P认为是标准正交矩阵Q。

    (单位向量是指模等于1的向量。即范数(或者 内积)两两为1。)

    所以对于

    我们对P进行Schmidt化,而P已经是本身自带正交化,那么只需要单位化,就可以实现Schmidt化,我们就能将P化为标准正交矩阵Q(或者说规范正交矩阵Q),

    得出:

    而对于标准正交矩阵,我们有这样的性质:

    (标准正交矩阵,它 逆等于转置)

    ,所以:

    对了,因为我们一直说A是对称矩阵,对称矩阵一定是方阵,所以P单位化后,更准确的说法是正交矩阵,而非模棱两可的规范正交矩阵。

    而对称矩阵说的

    所以进一步的,

    对于

    也可以同等于

    总结:

    由于对称矩阵可以将特征向量矩阵P进行单位化而成为正交矩阵,所以有Q替代P,再因为正交矩阵的性质“Q的逆”和“Q的转置”这两个矩阵可以等同,对称矩阵又使得“Q的转置”等于“Q”,使得最后形成对于

    同等于
    的推论,

    这就是实数空间的谱定理。

    简而言就是,实数空间谱定理是:对称矩阵在标准正交基下某个特性互通。(这个特性就是上面的结论).

    谱就是矩阵特征值的集合。

    (我对谱定理还有很多不清晰,长路迢迢啊。)

    补充:

    虽然,上面没有讨论对称矩阵和正交矩阵之间关系,对称矩阵是A和

    ,正交矩阵是从P化到Q,但看到网络上充斥着大量的错误,所以特别说明下:

    对称矩阵有可能是正交矩阵。大部分情况都不是正交矩阵。

    正交矩阵可能是对称矩阵。大部分情况不是。对称矩阵(4)的性质和随便翻本书的正交矩阵的样子明显都不一样。

    先看下不是的:比如:

    1 0

    0 0

    它是一个对称矩阵,可逆不可逆对于它来讲无所谓,但它不是一个正交矩阵,因为它无法逆啊

    这就说明了对称矩阵不是正交矩阵的其中一个例子。

    而最简单的二阶单位矩阵就是对称矩阵,也是正交矩阵!

    关于范数和Schmidt化,这部分可以看之间我写的章节:

    14、范数、内积、归一、正交化、标准正交(Schmidt化)

    (10)对称矩阵内的数字一定是实数。定义对称矩阵一定在实数空间内,不可能存在虚数。

    这部分在下面的共轭矩阵中会再次提到。


    (11)在对称矩阵中,特征值的乘积总是等于行列式

    (12)对称矩阵中,

    主元的正值的个数和负值的个数,分别等于,特征值正值的个数和负值的个数

    (我们把正的特征值个数称为正惯性指数,把负的特征值个数称为负惯性指数)

    (惯性指数是特征值的个数)

    (本章暂且不提及惯性指数,在之后的学习中会提到。)

    关于对称阵还有其它的性质,可觉得一时没有特别的关注点,可以看百度百科:

    对称矩阵_百度百科


    反对称矩阵:

    满足

    的矩阵为反对称矩阵。

    且 可推,

    。 (对称矩阵是

    其外貌特征是主对角线上的元素是0,关于主对角线对称的元素互为相反数

    比如

    A=

    0 1

    -1 0

    是个二阶反对称矩阵


    正定矩阵:

    正定矩阵A是对称矩阵中的一种。其特点是:

    (1)A的特征值都是正的

    (2)矩阵A行最简的主元都是正的。

    (3)所有的子行列式都为正

    子行列式概念:

    从原行列式左上角开始依次划分出 1x1 的一块,2x2 的一块,...得到的这些子块对应的行列式就称之为“子行列式”。

    copy下别人的例子,觉得没必要浪费时间再添加什么了:

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    ——推荐 ——推荐 ——推荐 ——推荐 ——推荐 ——推荐 ——

    关于更详细的正定矩阵的学习和概念:

    请参见本人写的22章:

    回头是岸不回走:22、正定矩阵、正定二次型、半负定zhuanlan.zhihu.com

    共轭矩阵:

    共轭矩阵又称为:自共轭矩阵、Hermite阵、埃尔米特矩阵。

    共轭矩阵有分为“实数共轭矩阵”和“复数共轭矩阵”,

    当是一个“实数共轭矩阵”时,实数共轭矩阵就是对称矩阵。

    当是一个“复数共轭矩阵时”,即包含了虚部,那么它不是对称矩阵,

    我们要明白对于虚数i的共轭是什么,

    看一下概念:

    两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数。(当虚部不等于0时也叫共轭虚数)

    复数z的共轭复数记作

    ,也可表示为

    根据定义,若z=a+ib (a,b∈R),则它的共轭是

    =a-ib(a,b∈R)。

    举个例子:

    矩阵A为复数共轭矩阵:

    1+i 2+i

    2-i 1+i

    在实数空间里,我们可以认为共轭就是为对称,而虚数还要参照上面说的。

    所以在复数空间里,如果一个复数矩阵想拥有实数对称矩阵的性质,需要满足

    简单说,包含实部和虚部的A要想拥有对称矩阵的性质,不仅要满足等于它的转置,还要等于它的共轭。

    而如果是实数空间,没有虚部,那么就直接等于转置就可以了,没必要再共轭,因为它的共轭就是本身啊。

    所以:在实数空间内,

    永远同等于

    (对称矩阵一定是实数。一定在实数空间内。)

    备注:

    共轭矩阵拥有这对称矩阵的性质,且共轭矩阵的特征值都是实数,它的特征向量互相垂直。


    虚数的平方和共轭:

    复数求范数或内积的核心就是,原先在实数空间内的

    现在变为了需要对 每个复数“x” 求共轭,

    考虑到转置这东西实在不过是公式里数乘运算的规范,其实在意义没有,那我想干脆就人性化,不要去记住转置这种东西,直接记得上面的式子,才简洁,不产生其它歧义。)

    已知复数“x”是包含了实数和虚数,实数的共轭是本身,那么虚数的共轭是:

    虚数的平方:(i3表示i的三次方,没这种写法,但我要节省时间,就这么写了)

    i1 = i

    i2= - 1

    i3 = - i

    i4 = 1

    i5 = i

    i6 = - 1

    i7 = - i

    i8 = 1

    幂次i,一次循环以4为周期,

    周期内一次奇数次方为i,二次偶数次方为-1,三次奇数次方为-i,四次奇数次方为1.

    以此循环。

    对于虚数的共轭是取相反符号:

    比如:

    i的共轭是-i

    4+3i 的共轭是 4-3i

    于是“对称矩阵”若在出现虚数,便不叫“对称矩阵”,复数空间里,它应该的叫法是:

    “共轭矩阵”。

    比如:

    a 4+3i

    4-3i b

    备注:

    共轭矩阵的特征值都是实数。它的特征向量互相垂直。

    备注:

    求一个数的共轭和共轭矩阵是不同的,并不是说“求某的共轭,它就是一个复数内对称矩阵。NO。”,共轭和共轭矩阵还是要有区分开来学习。


    复矩阵和它的模长:

    在复数空间内的矩阵都是复矩阵。

    我们对包含实数和虚数的数求“模长”和“内积”,其操作和实数空间内求“模长”和“内积”稍有些不同。

    做下实数求模长的简单回忆:

    一个实数要求模长(范数、长度),

    比如列向量A=[1 2]的模长为

    即是

    ,也有公式这么阐述:

    而对于复数的情况,即存在虚部,它的模长为

    表达的即是A不仅要做转置要要同时做“共轭”。我们将

    写做

    H就是共轭矩阵、埃尔米特矩阵、自共轭矩阵。(H主要代表了实数虚数共轭的性质)


    酉矩阵:

    正交矩阵是指在实数空间的范围内的,而在复数空间里,有相同正交性质的,不叫正交矩阵,而叫“酉矩阵”。

    简单总结:

    在实数空间:A正交矩阵,B对称矩阵 ;

    在复数空间:A酉矩阵 ,B共轭矩阵 。

    (完)

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  • 矩阵和矩阵分解

    2020-03-12 15:38:44
    共轭对称矩阵 酉矩阵 对称矩阵 正交矩阵

    复共轭对称矩阵 

     

    酉矩阵

     

    对称矩阵

    正交矩阵

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    f47446853f6725879299fdaf20533ac9.png

    对称矩阵是最重要的矩阵之一,它的特性也体现在特征值和特征向量上。而正定矩阵作为一类特殊的对称矩阵,它又有哪些特性?

    本文的相关知识:

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    复数 炫云:复数(1)---共轭复数,复平面,复数乘法的意义

    炫云:线性代数1——矩阵的基本运算与简绍

    01 对称矩阵

      对称矩阵是最重要的矩阵之一,对于对称矩阵来说,

    。矩阵的特殊性也表现在特征值和特征向量上,比如马尔可夫矩阵的有一个值为1的特征值,对称矩阵的特征值又有哪些特性呢?

    1.1 谱定理

    对于实对称矩阵来说,它的特征值也为实数,并且能够挑选出完全正交的特征向量。

      单位矩阵是对称矩阵,它的特征值都是1,并且单位矩阵的每一个列向量都是特征向量,它们完全正交,因此单位矩阵肯定符合实对称矩阵特征值和特征向量的性质。

    P是投影矩阵也是单位矩阵,x是一个二维向量,如果x在平面的投影是x本身,即Px=x,那么平面内的所有向量都是P的特征向量。更一般的情况是,在重特征值的情况下,可能一个平面内的所有向量都能作为特征向量,因此我们说实对称矩阵“能够挑选出完全正交的特征向量”,下面是一个例子:

    d2d8c2d35a8c12425241d4b7a1a1c337.png

    A的特征值全部是λ=a,对于任何向量都有

    ,因此任何向量都是特征向量,但这些特征向量并不都是正交的,所以是从中选出一套正交向量。

      如果A有n个线性无关的特征向量,那么A可以对角化为

    ,如果
    A是对称矩阵,那么A对角化后有更好的性质:

    7b8f046106c567eaf0c49c7ec2a1db1c.png

    的特征向量矩阵,同时也是正交矩阵,列向量是标准正交基。对于一个列向量标准正交的矩阵来说,矩阵的逆等于矩阵的转置,因此:

    a5e36706486140b215c40117e08c0c5d.png

      上式是说,如果给定一个对称矩阵,那么这个矩阵就可以分解成正交矩阵乘以特征值矩阵再乘以正交矩阵的转置的形式,这种分解在数学上称为“谱定理”,将特征值的集合视为,力学上称为“主轴定理”。

      谱定理展示了对称矩阵的对称性,

    的转置还是原矩阵:

    1e40b2bafd8bf783100d29bdd9fd8f0a.png

    是对角矩阵,它的转置还是∧。

    1.2 为什么是实特征值?

      矩阵的特征值可能为虚数,但实对称矩阵的特征值一定是实数,这又是什么原理?

      先解释一下共轭复数(conjugate complex number):两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数。当虚部不为零时,共轭复数就是实部相等,虚部相反;如果虚部为零,其共轭复数就是自身。复数z的共轭复数用z上面加一横表示。

    792b3a4caea1667ee2c1de1767243487.png

      如果实矩阵A有特征值λ和特征向量x,则Axx。如果λ是复数,则λ的共轭复数满足:

    a44130b4cbcd4bbebb5b05e8035888f5.png

      如果等号两侧同时转置:

    2517ffa5c35ea257681364f8d5c10de7.png

      λ是对角矩阵,其共轭仍然是对角矩阵,因此:

    96212ee5d906d647a5dc5e2fdba66bac.png

      两侧同时乘以x

    c09051c3385fc7bb3176bedcbaefafd2.png

      另一方面,将Axx两侧同时乘以x共轭的转置:

    ef3d2cb2f8843863287c07adef2eaa6b.png

      现在假设A是对称矩阵,则①和②相等,即:

    46b81ee1f628bd3c4e9781f6798507eb.png

      根据共轭复数的定义,如果一个复数的共轭等于这个数本身,那么其虚部为0,即这个数是实数。

      现在的问题是如何证明

    af26bf4cd8af680d830072897840162a.png

      对于虚数来说,

    。对于复数来说,
    来说,它的模几何意义是复平面上一点(a,b)到原点的距离,模长的计算公式是:

    ba45be18ed19c588fb873ccc90fbade4.png

      因此:

    8d0928b09bc98336ae84a3f8fad54aee.png

      对于复矩阵来说,若A共轭对称复矩阵,即

    ,那么上面的推导仍然成立,
    A的特征值也是实数。

    1.3 朝向正交向量的投影矩阵

      对于一个实对称矩阵

    ,可以写成下面的形式:

    441c9c806aafe3f0786aee0db8f36adc.png

      根据投影矩阵的定义:向量b的在向量a上的投影是一个矩阵作用在b上得到的,这个矩阵就叫做投影矩阵(Projection Matrix),用大写的P表达:

    15e53ad826b99d5ad7962df1dc7b2417.png

      由于Q中的向量是正交向量,因此:

    9c8798b8c868c1519d61c7a5faa41598.png

      所以

    是某个向量在
    上的投影矩阵,因此每一个对称矩阵也是朝向正交向量的投影矩阵的线性组合。

    1.4 特征值的符号

      我们已经知道对称矩阵的特征值是实数,下一个问题是弄清它们的符号,这对微分方程来说意味着状态是否稳定。

      我们可以通过计算的方式求解特征值,然后回答特征值的符号问题,但对于一个大型矩阵来说,通过计算det(AI) = 0来求解特征值并不容易。值得庆幸的是,对于对称矩阵来说,主元和特征值存在着相关性:主元和特征值的个数一样,且正负主元的个数都和正负特征值的个数相同。

    02 正定矩阵

    正定矩阵是一类特殊的实对称矩阵,如果一个矩阵

    满足对于任何非零向量
    ,都有
    ,那么这个矩阵是正定矩阵。

      正定矩阵有很多重要的性质,其中一个是:正定矩阵的特征值和主元都是正数

      来看一个正定矩阵:

    2889f5711f6e17b1308d6b9c976b0d32.png

      首先A是一个对称矩阵,现在来计算一下它的主元。可以通过化简行阶梯矩阵的形式求得主元,在经过变换后,矩阵表示的“数表”改变了,但是如果将矩阵看方程组,那么方程组的本质没有变,可以将初等变换看成方程组的消元过程。

    54afec9385060ad569a788216a33d5eb.png

      两个主元是5和11/5。另一种方式或许更为简单,原矩阵中转换成上三角矩阵的时候,一定能变成下面的形式:

    dfc2b5a5030c054a439f8d0ecddab430.png

      它的行列式是主对角线元素的乘积,行列式的值又和原矩阵的行列式相等,因此

      类似地,可对角化的矩阵可也以化成对角元素都是其特征值的对角矩阵,而行列式的值不变,对角矩阵的行列式就是对角元素相乘,因此A的行列式也等于A的特征值的乘积。

      特征值:

    bac23bdbceee7b6f2ab3d6e2cdff45e0.png

    2.1 与行列式的关系

      正定矩阵的主元和特征值都是正数,因此可以确定其行列式也是正数(行列式等于主元的乘积,也等于所有特征值的乘积),但行列式是正数的矩阵不一定是正定矩阵,比如下面这个矩阵,虽然行列式是正值,但并不是一个正定矩阵,甚至都不是对称矩阵:

    40bb11aa8fb00c0745655b7b123fcac1.png

      如果把行列式作为正定矩阵的判定依据,则对于

    阶矩阵来说,需要矩阵左上角的所有
    子行列式均为正,才能判定矩阵是正定矩阵。

    2.2 正定矩阵的性质

    1、正定矩阵都是可逆的。

      矩阵可逆的条件是行列式不等于0,行列式等于特征值的乘积,正定矩阵的性质又规定特征值是正数,因此正定矩阵的行列式一定大于0,是可逆矩阵。

    2、只有正定的投影矩阵才是单位矩阵。

      如果P是投影矩阵,那么P的特征值要么是0,要么是1。如果P是正定的,那么根据定义,它的特征值只能是1,特征值矩阵是单位矩阵,因此:

    c73084669890edef1354478c091a0184.png

    3、如果D是一个对角元素都是正数的对角矩阵,那么D一定是个正定矩阵。

      对角矩阵肯定是对称的,对于任何非零向量x来说:

    7e0fd641d17a89a15693a136dd17fc18.png

      满足正定矩阵的定义。

    4、若A是正定矩阵,则A的逆矩阵也是正定矩阵。

      首先证明矩阵A的逆是对称矩阵。因为A是正定的,所以:

    cd1f0fd0be037356082eac2986f22dac.png

      再证明

    ceacbb90c313c53c8d37f98c6cd7428a.png

    A是正定矩阵,对于任意向量u来说,

    ,因此
    也是正定矩阵。

    5、两个正定矩阵的和是正定矩阵。

    6、正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

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共轭矩阵和对称矩阵