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  • 矩阵的迹(Trace)   n×nn\times nn×n的方阵A的n个对角线元素的和称为方阵A的迹,记作tr(A). A=(a11⋯a1n⋮ ⋮an1⋯ann)A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots&\ &\vdots\\a_{n1...

    矩阵的迹(Trace)

      n×nn\times n的方阵A的n个对角线元素的和称为方阵A的迹,记作tr(A).

    A=(a11a1n an1ann)A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots&\ &\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}
    由定义知,tr(A)=a11+a22++ann=j=0najjtr(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}=\displaystyle\sum\limits_{j=0}^n a_{jj}

    矩阵的秩(Rank)

      定义1(比较晦涩):域FFn×mn\times m的非零矩阵A的所有子式中必有一个阶数最大的非零子式,其阶数称为矩阵A的秩,记作rank(A)rank(A). 零矩阵的秩定义为零。

      定义2:矩阵AA的秩是AA的列空间的维数,记作rank(A)rank(A)。(因为AA的主元列形成AA的列空间Col ACol\space A的一个基,所以AA的秩正好是AA的主元列的个数。)

      由于矩阵A的子式阶数不超过A的行数及列数,所以域FFn×mn\times m的非零矩阵A的秩有:

    (1)0rank(A)min(n,m)0\leq rank(A)\leq min(n,m);
    (2)rank(cA)=rank(A)rank(cA)=rank(A),其中c为不等于0的常数;
    (3)rank(AT)=rank(A)rank(A^T)=rank(A);
    (4)rank(A)=rank(A)rank(\overline{A})=rank(A), rank(A)=rank(A)rank(A^{*})=rank(A). 其中A\overline{A}AA的共轭矩阵,AA^{*}AA的伴随矩阵。

    使用MATLAB求矩阵的秩(RANK)

      若要求矩阵AA的秩,可以先将矩阵AA化简为简化阶梯阵(reduced echelon form),然后数其主元列(pivot columns)数即为AA的秩。

    >>A = [1 2 3 4;4 5 6 7;6 9 12 15;1 1 1 1]
    A =
           1              2              3              4       
           4              5              6              7       
           6              9             12             15       
           1              1              1              1  
    
    >>rref(A)   //求简化阶梯阵
    ans =
           1              0             -1             -2       
           0              1              2              3       
           0              0              0              0       
           0              0              0              0 
    //可见A的简化阶梯阵有2个主元列---第一列和第二列,所以秩为2. 可以使用rank()函数快速求矩阵的秩,进行验算
    
    >>rank(A)
    ans =
           2     
     //验算结果和计算的主元列数一致。
    

      可见,对于上例的矩阵AA,有两个主元列(第一和第二列),所以秩为2。由于上述矩阵化为简化阶梯阵后,有2列不是主元列,所以有方程Ax=0Ax=0有2个自由变量(非主元列对应于方程Ax=0Ax=0的自由变量),所以主元列加非主元列正好等于矩阵AA的列数。所以可以得出一下秩定理:

    秩定理:如果矩阵AAnn列,那么rank A+dim Nul A=nrank\space A+dim\space Nul\space A=n

    共轭矩阵(Conjugate Matrix)

      n×mn\times m的复矩阵A的共轭矩阵是m×nm\times n的矩阵(形如其转置矩阵),记作AA^{*}
    A=(a11a1m an1anm)A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1m}\\\vdots&\ &\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nm}\end{pmatrix}
    A=(a11a1m an1anm)\overline{A}=\begin{pmatrix}\overline{a_{11}}&\cdots &\overline{a_{1m}}\\\vdots&\ &\vdots\\\overline{a_{n1}}&\cdots&\overline{a_{nm}}\end{pmatrix}
    A=(a11an1 a1manm)A^{*}=\begin{pmatrix}\overline{a_{11}}&\cdots &\overline{a_{n1}}\\\vdots&\ &\vdots\\\overline{a_{1m}}&\cdots&\overline{a_{nm}}\end{pmatrix}

      共轭矩阵求法是,先将A转置,再对每个元素求共轭即可:
    A=ATA^{*}=\overline{A^T}

      共轭矩阵也叫自共轭矩阵、Hermite矩阵,要求元素ajka_{jk}akja_{kj}共轭,即ajk=akj\overline{a_{jk}}=\overline{a_{kj}}如:
    (13+2i32i1)\begin{pmatrix}1&3+2i\\3-2i&1\end{pmatrix}中,a12=3+2ia_{12}=3+2ia21=32ia_{21}=3-2i共轭相等,所以此矩阵为共轭矩阵。

    伴随矩阵(Adjugate Matrix)

      设矩阵A为域F上的n阶方阵:
    A=(a11a1n an1ann)A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots&\ &\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}
    AjkA_{jk}为元素ajka_{jk}的代数余子式,用域F上n2n^2个数AjkA_{jk}构成的n阶方阵即方阵A的伴随方阵,记作A()A^{(*)}。求法,先构成代数余子式矩阵:
    (A11A12A1nA21A22A2n An1An2Ann)\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\vdots&A_{2n}\\\vdots&\vdots&\ &\vdots\\A_{n1}&A_{n2}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}

    再将其转置即可得到A的伴随矩阵A()A^{(*)}

    (A11A21An1A12A22An2 A1nA2nAnn)\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\vdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&\ &\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}

    基底(Basis)维数(Dimension)与秩(Rank)

    基底(或称基,basis):如果向量空间HH中的一组线性无关向量可以把该空间内所有向量通过线性组合的方式表示出来,那么这组向量成为该空间的一个基。
    由定义知,基是一组向量的组合。

    相对某个基的坐标的计算方法:如果B={b1,,bp}B=\{b_1,\dots ,b_p\}是子空间HH的一组基,对HH中每一个向量xx,相对于基B={b1,,bp}B=\{b_1,\dots ,b_p\}的坐标是使得x=c1b1++cpbpx=c_1b_1+\dots +c_pb_p成立的权c1,,cpc_1,\dots,c_p,且RpR^p中的向量[x]B=[c1cp][x]_B=\begin{bmatrix}c_1\\\vdots\\c_p\end{bmatrix}称为xx相对于基BB的坐标向量,或称xxBB-坐标向量。

    :设v1=[362]v_1=\begin{bmatrix}3\\6\\2\end{bmatrix}v2=[101]v_2=\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}x=[3127]x=\begin{bmatrix}3\\12\\7\end{bmatrix}B={v1,v2}B=\{v_1,v_2\},因为v1,v2v_1,v_2显然线性无关,所以BBH=Span{v1,v2}H=Span\{v_1,v_2\}的基。请判断xx是否在空间HH中,如果在,请求出xx相对于BB的坐标向量。

    解:

    如果xx在空间HH中(空间HH是v_1和v_2确定的平面),则方程c1v1+c2v2=xc_1v_1+c_2v_2=xc1c_1c2c_2称为权,即:

    c1[362]+c2[101]=[3127]c_1\begin{bmatrix}3\\6\\2\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\12\\7\end{bmatrix}是有解的(或说相容的)

    如果权c1c_1c2c_2存在,那么它们是xxBB-坐标。

    下面解方程:c1v1+c2v2=xc_1v_1+c_2v_2=x对应的增广矩阵:

    [3136012217][102013000]\begin{bmatrix}3&-1 &3\\6&0&12\\2&1&7\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}

    即:c=[c1c2]=[23]c=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}

    所以[x]B=[c1c2]=[23][x]_B=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}就是xx相对于基BB的坐标向量,或称xxBB-坐标向量。

    即:x=2v1+3v2x=2v_1+3v_2,画图如下:
    在这里插入图片描述
    总结:

    虽然HH中的点也在R3R^3中,但是它们完全由属于R2R^2的坐标向量确定(因为本例中HH是v_1和v_2确定的平面,属于R2R^2)。映射x[x]Bx|\rightarrow [x]_B是使HHR2R^2之间保持线性组合关系的一一映射,那么可以称这种映射是同构的,本例中HHR2R^2同构。

    一般地,如果B={b1,,bp}B=\{b_1,\dots ,b_p\}是子空间HH的一组基,则映射x[x]Bx|\rightarrow [x]_B是使HHRpR^p的形态一样的一一映射(HH中的向量可能多于pp个元素)。

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  • 证明:\(Rank(A) = Rank(A^HA)\)线性方程组 \(A^HAx = A^Hb\) 恒有解其中 \(A^H\) 为 \(A\) 的共轭转置矩阵证明证明 \(Ax= 0\) 和 \(A^HA x=0\) 同解即可。因为对于 \(Ax=0, A\in R^(s\times n)\),如果矩阵...

    题目

    设 \(A\) 是 \(s\times n\) 矩阵,\(b\) 是 \(s\) 维列向量。证明:

    \(Rank(A) = Rank(A^HA)\)

    线性方程组 \(A^HAx = A^Hb\) 恒有解

    其中 \(A^H\) 为 \(A\) 的共轭转置矩阵

    证明

    证明 \(Ax= 0\) 和 \(A^HA x=0\) 同解即可。因为对于 \(Ax=0, A\in R^(s\times n)\),如果矩阵\(A\)秩为 \(r\),则基础解系的向量个数为 \(n-r\)。反之,如果基础解系的向量个数相同,则 \(Rank(A)\) 相同。上面两个等式的解系分别记为 \(S_0, S_1\)。

    (1) 证 \(x \in S_0 \rightarrow x\in S_1\)

    \[\because x \in S_0, it's Ax = 0, \therefore A^HAx = A^H(Ax) = 0

    \]

    (2) 证 \(x \in S_1 \rightarrow x \in S_0\)

    \[ \because x \in S_1, \ it's\ A^H Ax = 0, \\

    \therefore x^H (A^H A x) = 0 \\

    x^H(A^H A x) = (Ax)^H (Ax) = 0 \\

    \therefore Ax = 0

    \]

    证明 \(Rank(A^H A) = Rank(A^H A, A^H b)\) 即可。通过证明 \(Rank(A^H A) \le Rank(A^H A, A^H b)\) 和 \(Rank(A^H A) \ge Rank(A^H A, A^H b)\) 证明。

    (1) 证 \(Rank(A^H A) \le Rank(A^H A, A^H b)\)

    因为不等式右面是左面的增广矩阵,所以上面不等式成立。

    (2) 证 \(Rank(A^H A) \ge Rank(A^H A, A^H b)\)

    \[Rank(A^H A) = Rank(A)\\

    Rank(A^H A, A^H b) = Rank(A^H( A, b)) \le Rank(A^H) = Rank(A) \\

    \]

    证毕。

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  • 本来吧,觉得张量这个东西稍微混一混假装知道个大概就行了。...张量概念简单地说,张量是一个多重线性映射:给定一个域 及 上向量空间 , 是 的共轭空间[1], , 是 重空间 和 重空间 笛卡尔...

    本来吧,觉得张量这个东西稍微混一混假装知道个大概就行了。昨天拿到角动量那一章的讲义以后我发现事情并没有那么简单……总而言之,欠下的东西早晚要还的……碎碎念到此结束,进入正题。张量专题初步计划是分三个板块,也许是五个板块?这坑不小,慢慢填吧。


    张量的概念

    简单地说,张量是一个多重线性映射:

    给定一个域
    上的向量空间
    的共轭空间
    [1]
    重空间
    重空间
    的笛卡尔积,所有的
    重线性映射

    称为
    上的
    型,
    价(或秩)的
    张量。同样,也说
    是一个
    次共变且
    次反变的
    混合张量。当
    时,说
    反变的;当
    是,说
    共变的。

    特别地,

    型张量就是通常的
    上的线性函数,也就是
    中的一个元素;而
    型张量就是
    上的一个线性映射,即
    上的元素。由于
    有限维空间的自反性,在
    之间存在一个自然同构,使得
    与某个向量
    等同起来。这个等同可以在线性函数的记法

    下实现。当

    固定时,这是
    上的一个线性映射;当
    固定时,它就是
    上的一个线性映射。换言之,
    型张量可以认为是一个向量,即
    中的元素。

    对一个最简单的混合张量——

    型张量是很有分析的必要的。按定义,
    是一个对
    都有线性的映射。对任何固定的
    ,映射对
    是线性的,所以能够找到
    ,使得

    不难证明

    上的线性算子。反过来,
    ,依照
    建立映射
    ,它对
    都是线性的。因此,
    是一个双射。所以每个
    型张量都
    唯一对应
    上的一个线性算子。

    还要约定

    型张量是一个纯量,即
    上的元素。

    上所有
    型张量的集合
    构成一个向量空间。事实上,如果
    ,那么自然可以将
    理解为一个张量,它由公式

    定义。

    张量的乘积

    首先,设

    是任意的多线性型。这意味着

    是相互之间没有任何关系的向量空间。
    的张量积理解为映射

    它由公式

    定义。这里要注意,变量
    和变量
    是没有关系的。

    比如

    上的线性算子
    。显然,张量积没有交换性:

    但是(不难验证)它具有结合性:

    现在设

    型张量,
    型张量,那么
    就是在笛卡尔积

    上的多线性映射。把这个笛卡尔积与

    等同起来。对所有的

    ,定义

    上述定义的

    作为张量
    和张量
    (张量)乘积。后面(依照惯例)省略用来区别不同变量类型的分号,需注意。

    不难验证张量积具有分配性:

    张量的坐标

    从上一节对张量以及张量乘积的定义中我们应当意识到区分

    中元素的必要性。按照经典的观念,张量分析开始于在
    中选择基底,并用自己的坐标去刻画张量。通常,在
    中选择
    相互对偶的基底

    这种上下指标的表示是自然的,同时需要(在明确的前提下)注意上指标和指数的区别,在张量分析里这个混淆不太可能出现。

    注意到

    为了引入对称性,(通常)使用哑指标这个概念。所以一些经常接触张量的人会默认逐次求和从而忽略求和号(爱因斯坦约定)。在这里我们不赞成这个约定,不过可以约定不同指标的求和可以用一个求和号来写

    求和上下限通常可以经过上下文确定。

    设给定一个

    型张量
    ,它的值可以表达成

    称数
    是张量
    在基
    下的
    坐标系数分量)。

    让我们赋予上述定义惯用的思想,在

    型张量的空间
    本身中选择一个适当的基,即考察一个
    可分解
    型张量(不难证明,对不同的配套指标
    ,这种分解得到的张量是线性无关的)

    并且,将

    上的线性映射
    等同起来,因为
    ,所以

    构成张量

    所以

    这恰好是张量

    的坐标,但是注意到张量的坐标是唯一的,这是因为根据它的多重线性,对任意向量

    以及线性映射

    所以

    如果张量

    和张量
    的坐标重合,那么张量本身就应该重合,即

    特别的,每个双线性型都应该形如

    总而言之,上述命题可以总结为

    上的
    型张量构成一个
    维的向量空间
    ,它以

    构成一个基,其中
    是空间
    的一个基,
    的基(空间
    的对偶基)。

    存在且唯一地存在一个张量,它具有预先给定地坐标

    不同坐标系中的张量

    类似于线性算子在不同基下的表示,张量在不同的基下也有坐标。这一节我们来看张量在向新的基转化时坐标的变化。设

    是空间
    的另外一个基,且有对偶基
    的过度矩阵,其中上指标是行数,下指标是列数,按照规则

    规定。同时有

    的过度矩阵

    同时引入一个辅助矩阵

    那么

    因此,

    由于

    ,因此由
    的过度矩阵就是
    ,称为
    的转置逆矩阵。

    现在来求张量

    在基
    下的坐标

    现在,我们可以对张量的定义换一种说法。所谓

    上的
    型张量
    ,是与空间的每一个基底联系在一起的一组
    个纯量
    ,使得在不同基底下对应的数组按照上述坐标变换公式联系起来。

    空间的张量积

    这一块内容在高等代数和物理上都有非常深刻的应用,比如群的表示理论和角动量的耦合理论。更一般的形式在高等代数中再引入(日常挖坑),这里只构造向量空间的张量积。

    是域
    上的向量空间,那么存在
    上的一个向量空间
    和一个双线性映射
    ,满足
    如果
    是线性无关的,且
    ,那么
    如果
    是线性无关的,且
    ,那么
    是满射,即

    此外,对于
    在如下意义下是具有泛性的:如果任意一个向量空间
    和任意一个双线性映射
    作成对
    ,那么存在唯一的线性映射
    使得
    ,有

    这个定理的证明就不写(chao)了,我们主要是理清数学脉络(方便学习量子力学啊喂),具体细节都是书上有的,感兴趣可以自己翻阅(这个理由还可以吧?)。

    称给定的空间
    唯一确定的(精确到同构)对
    是这两个
    向量空间的张量乘积

    ,简记为
    。如下条件(不难发现)是满足的

    同时,双射

    建立起向量空间之间的同构

    上述同构称为自然同构标准同构)。同时,分配律也是满足的

    为了直观地研究结构,将向量空间的线性算子联系在一起是自然的

    ,称线性算子
    是算子
    的张量积,按照规则
    起作用。

    不难验证这些性质是满足的

    那么在基

    下,算子
    的矩阵是
    维的

    那么

    写成矩阵的形式

    对于迹,

    对于行列式,

    这两个公式在后面群的表示论中会经常使用。

    参考

    1. ^共轭(对偶)空间的概念见 https://zhuanlan.zhihu.com/p/194167945
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    fc61b390be2f9f369843bc1e7b52abd5.png

    先上一道题,来自xqh博客每周一题

    阶实反对称矩阵,
    阶实对称矩阵,证明:
    均为非奇异阵

    (亦即:


    这道题有两种考虑方式

    一是考虑证明直接矩阵满秩,二是转化为求解特征值(即 证明

    不是
    的特征值)

    下面按两种思路都给出证明

    【证一:秩】

    若不然,即

    不满秩

    因此

    的行向量、列向量分别线性相关,即:

    线性相关(行向量,列向量同理)

    记:

    为行向量,
    为列向量,
    代表所在的行/列数

    注意到:

    为标准基的第
    个基向量

    ,取

    考虑

    这与标准基间线性无关矛盾

    因此

    行/列均满秩,即
    为非奇异阵

    【证二:特征值】

    事实上,我们可以证明

    的特征值均为纯虚数,
    的特征值均为实数

    下面证明

    的特征值均为纯虚数,
    可同理

    两边同乘

    的共轭转置向量,得:

    两侧同取共轭转置,得:

    由于

    为实反对称矩阵,因此

    代入,得:

    与第一个式子相加,得:

    不难验证

    为纯虚数
    展开全文
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  • 其中A系数矩阵是确定,Ax是永远都取不到向量 b,取得到那就是不用最小二乘解 我要求AX和b最小距离,就是要求b在Ax上投影,向量b-AX一定是要垂直于AX 对A要求要满最小二乘法在于找到X,一开始我...
  • matlab 代码 ...1、方程组有唯一解:当方程组的系数矩阵的秩=方程组增广矩阵的秩=方程组中未知数个数n; 2、方程组有无穷多解:当方程组的系数矩阵的秩=方程组增广矩阵的秩相等且<方程组中未知数个...
  • 对任意的矩阵A∈Fmn,rank(A)=r(矩阵的秩),总可以取A的如下分解:,其中U和V是正交矩阵。分别为左右奇异值向量。 U是m×m阶酉矩阵;Σ是m×n阶非负实数对角矩阵;而V*,即V的共轭转置,是n×n阶酉矩阵。这样的...
  • MATLAB常用指令记录

    2018-06-27 20:57:00
    help + 'command name' % 查询指令用法 Ctrl + Break % 强制终止程序运行 Shift + Enter % command window下换行不运行指令 ...rank() % 求出矩阵的秩 n = norm(X,p) % 求矩阵的p范数 clear all;clc;...
  • 计算矩阵的秩、特征值及其对应的特征向量 利用矩阵操作求解线性方程组 数值微积分 矩阵的计算 矩阵的结构变换 转置: A' A.'(非共轭转置) 对称变换:利用指令flipud()和fliplr() A=flipud(B) %上下方向翻转...
  • MATLAB基础知识:矩阵取整、取余、取模,求...求矩阵的秩、迹、逆;解线性方程组;矩阵的分解、共轭、转置;plot绘制二维线图,设置图像的线型、标记符、颜色,设置标题与轴标签;双轴图、多子图、多图绘制;三维绘图;
  • Scipy。还是要记录一下,即使教程已经很明确了。 Scipy跟matlab好像啊 ndarray:存储单一数据类型多维...共轭矩阵:mat.H;单位矩阵:np.matlib.identity(维度);逆矩阵:mat.I 特殊函数(from scipy.special impo
  • 一种是张量(或CP等)分解,它是矩阵奇异值分解某种概括,并将张量分解为多个向量。 通过将向量视为形成空间点,可以使用另一种称为持久性同源性数据分析技术来提取拓扑属性,并通过对点虚拟扩散过程来...
  • 1.8 求矩阵的秩29 1.9 对称正定矩阵的乔里斯基分解与行列式求值33 1.10 矩阵的三角分解36 1.11 一般实矩阵的QR分解41 1.12 一般实矩阵的奇异值分解46 1.13 求广义逆的奇异值分解法61 第2章 矩阵特征值与特征向量的...
  • 4.8 求矩阵的秩 4.9 对称正定矩阵的乔里斯基分解与行列式求值 4.10 矩阵的三角分解 4.11 一般实矩阵的QR分解 4.12 一般实矩阵的奇异值分解 4.13 求广义逆的奇异值分解法 第5章 矩阵特征值与特征向量的计算 5.1 约化...
  • 奇异值分解(SVD)

    2017-11-12 21:52:42
    奇异值分解在矩阵理论中非常重要,也有很多实际运用,比如... 则称之为酉矩阵,是不是和正交矩阵的定义很相似,AHA^{H}指的是A的共轭对称,如果A是实矩阵,则就是转置,其实我们基本遇到的就是实矩阵。 2 定义:设A
  • 第1章 矩阵运算1 1.1 实矩阵相乘1 1.2 复矩阵相乘4 1.3 一般实矩阵求逆8 1.4 一般复矩阵求逆13 1.5 对称正定矩阵的求逆18 1.6 托伯利兹矩阵求逆的特兰持方法21 1.7 求一般行列式的值25 1.8 求矩阵的秩29 1.9 对称...
  • 范例1-8 查找矩阵的马鞍点 19 ∷相关函数:Get_Saddle函数 1.1.9 对角矩阵建立 21 范例1-9 对角矩阵建立 21 ∷相关函数:Store函数 1.1.10 三对角矩阵的建立 22 范例1-10 三对角矩阵的建立 22 ∷相关函数:...
  •  3.4.3 正交矩阵的舍入误差分析  3.4.4 为什么用正交矩阵  3.5 亏最小二乘问题  3.5.1 用svd解亏最小二乘问题  3.5.2 用选主元的qr分解解亏最小二乘问题  3.6 最小二乘问题解法的性能比较  3.7 ...
  • C++常用算法程序集

    热门讨论 2011-03-24 09:15:32
    1.8 求矩阵的秩29 1.9 对称正定矩阵的乔里斯基分解与行列式求值33 1.10 矩阵的三角分解36 1.11 一般实矩阵的QR分解41 1.12 一般实矩阵的奇异值分解46 1.13 求广义逆的奇异值分解法61 第2章 矩阵特征值与特征向量的...
  • 3.9 对称正定矩阵的乔里斯基分解与行列式的求值 3.10 矩阵的三角分解 3.11 一般实矩阵的QR分解 3.12 一般实矩阵的奇异值分解 3.13 求广义逆的奇异值分解法 3.14 约化对称矩阵为对称三对角阵的豪斯荷尔德变换法 3.15 ...

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共轭矩阵的秩