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  • 矩阵乘以矩阵转置运算的解析
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    2021-05-08 15:21:47

    题题目

    线性代数A矩阵乘以A的转置的含义或者几何意义我是在最小二乘法和SVD分解这部分知识中看到的,非常的迷惑,而且为什么A的转置乘以A的特征值是和A乘以A的转置的特征值是相同的呢重分!

    优优质解答

    (下面以A(T)表示A的转置.)

    先从奇异值说起.我个人的理解,奇异值是特征值的一种推广.因为只有方阵才可能具有特征值,对于实际遇到的一些问题(比如最小二乘问题),往往遇上长方阵,长方阵根本没有特征值.因而就有必要对特征值做推广,这就是奇异值.

    再看什么是奇异值.对于任意矩阵A(甚至是非方的),A(T)A(这个时候就变成方阵了,可以算特征值了)的特征值就称为A的奇异值.奇异值有个特性,就是A(T)A和AA(T)特征值相同.证明如下:

    【假定A(T)A做了一个特征分解,为:

    A(T)A = QΣQ(T)

    对上式取转置,有

    AA(T) = QΣ(T)Q(T)

    显然,Σ是个对角阵,因而,Σ(T) = Σ

    故而,AA(T)和A(T)A有完全一致的特征分解,即共特征值】

    再看特征值和奇异值的关系.对于长方阵来说,它根本不存在特征值,所以之后再讨论.对于方阵来说,容易证明,其所有奇异值恰好为其所有特征值的模长的平方(即奇异值全实非负),因而奇异值和特征值有相当良好的对应关系.证明如下:

    【假定方阵A有如下特征分

    A = QΣQ(T)

    则A(T)A = (QΣQ(T))(QΣQ(T)) = QΣΣQ(T)

    因而,A(T)A的特征值,也就是A的奇异值,恰好为A的特征值的模长的平方】

    【当然,对于复数域情况,里边的T要改成H,那么前一个Σ自然会带上复共轭】

    再看奇异值为什么重要.我们知道,对于一个方阵来说,特征分解后,从特征值和特征向量我们就可以知道矩阵的大量性质.对于非方阵来说,我们也希望得到一个这样信息量巨大的分解,这就是奇异值分解(SVD).这个SVD分解里边左右奇异向量分别是什么你的书上肯定都有,就不写在这里了.

    最后看一下SVD分解和最小二乘的关系.我们知道,最小二乘有个解法,对于Ax = b的最小二乘问题,等价于求解其法方程A(T)Ax = A(T)b,这个时候就变成方阵的问题了.但是这种算法是不稳定的.一种更为有效的算法就是SVD分解并利用广义逆求解.

    看一下广义逆和最小二乘、SVD的关系.广义逆可以百度一下.定义有很多式子.但是,对于可逆阵来说,广义逆就是逆.这里把A的广义逆记作A(+).则Ax = b的最小二乘解就是x = A(+)b.所以,现在的问题就是,怎么求A的广义逆A(+).通过SVD分解,广义逆可以这么求:

    如果A有SVD分解如下:

    A = VΣU(T)

    则A(+) = UΣV(T)

    当然,这里叙述可能不那么严谨.因为还涉及到Σ的形状什么的,所以两个式子的Σ形状大小不一样,形状变了,补0就行.

    因此,SVD分解就完美解决了最小二乘问题.

    -----更正---------

    说错了一点点,奇异值不是特征值的模长的平方,它就是模长,因为奇异值要对Σ(H)Σ对角线开算术平方根.

    追问:

    那对于最小二乘法,为什么要在左右乘上A的转置进行求解呢?

    追答:

    那种解法称作“法方程”解法。相当于求得一个x,使得A(T)(b-Ax)=0,也就是残差与矩阵A行向量的内积为0,即残差与矩阵A的行空间正交,由投影定理,可以证明,此时残差二范数最小。以上就是法方程的几何意义。法方程的解恰好是最小二乘解还有其他更严格的证明,比如泛函式的证明。但是,法方程法不是最佳解法。一般较优解法是QR分解法以及广义逆法(配合SVD分解)。

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    接下来对左右同时求共轭转置:(AA^{-1})^{H}=I^{H}=I

    因此对于等号左边:I=(AA^{-1})^{H}=(A^{-1})^{H}A^{H}

    根据逆矩阵定义,有

    (A^{-1})^{H}=(A^{H})^{-1}

    即证明了求逆和求共轭转置操作的可交换性质

     

     

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    1年前

    追问

    4

    688411942

    那对于最小二乘法,为什么要在左右乘上A的转置进行求解呢?

    688411942

    那种解法称作“法方程”解法。相当于求得一个x,使得A(T)(b-Ax)=0,也就是残差与矩阵A行向量的内积为0,即残差与矩阵A的行空间正交,由投影定理,可以证明,此时残差二范数最小。以上就是法方程的几何意义。法方程的解恰好是最小二乘解还有其他更严格的证明,比如泛函式的证明。但是,法方程法不是最佳解法。一般较优解法是QR分解法以及广义逆法(配合SVD分解)。手机打字有些慢。要是还有问题可以追问,明天我电脑上再接着说。

    688411942

    QR分解如何做最小二乘法?

    688411942

    QR分解确实可以做最小二乘。但是当时我没大学明白。后来我的最小二乘一直是用SVD+广义逆做的,所以我也搞不清楚了。

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共轭转置矩阵的特征值

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