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  • 共回答了20个问题采纳率:100%(下面以A(T)表示A的转置.)先从奇异值说起.我个人的理解,奇异值是特征值的一种推广...对于任意矩阵A(甚至是非方的),A(T)A(这个时候就变成方阵了,可以算特征值了)的特征值就称为A的奇异值...

    共回答了20个问题采纳率:100%

    (下面以A(T)表示A的转置.)先从奇异值说起.我个人的理解,奇异值是特征值的一种推广.因为只有方阵才可能具有特征值,对于实际遇到的一些问题(比如最小二乘问题),往往遇上长方阵,长方阵根本没有特征值.因而就有必要对特征值做推广,这就是奇异值.

    再看什么是奇异值.对于任意矩阵A(甚至是非方的),A(T)A(这个时候就变成方阵了,可以算特征值了)的特征值就称为A的奇异值.奇异值有个特性,就是A(T)A和AA(T)特征值相同.证明如下:【假定A(T)A做了一个特征分解,为:A(T)A = QΣQ(T)对上式取转置,有AA(T) = QΣ(T)Q(T)显然,Σ是个对角阵,因而,Σ(T) = Σ故而,AA(T)和A(T)A有完全一致的特征分解,即共特征值】

    再看特征值和奇异值的关系.对于长方阵来说,它根本不存在特征值,所以之后再讨论.对于方阵来说,容易证明,其所有奇异值恰好为其所有特征值的模长的平方(即奇异值全实非负),因而奇异值和特征值有相当良好的对应关系.证明如下:【假定方阵A有如下特征分A = QΣQ(T)则A(T)A = (QΣQ(T))(QΣQ(T)) = QΣΣQ(T)因而,A(T)A的特征值,也就是A的奇异值,恰好为A的特征值的模长的平方】【当然,对于复数域情况,里边的T要改成H,那么前一个Σ自然会带上复共轭】

    再看奇异值为什么重要.我们知道,对于一个方阵来说,特征分解后,从特征值和特征向量我们就可以知道矩阵的大量性质.对于非方阵来说,我们也希望得到一个这样信息量巨大的分解,这就是奇异值分解(SVD).这个SVD分解里边左右奇异向量分别是什么你的书上肯定都有,就不写在这里了.最后看一下SVD分解和最小二乘的关系.我们知道,最小二乘有个解法,对于Ax = b的最小二乘问题,等价于求解其法方程A(T)Ax = A(T)b,这个时候就变成方阵的问题了.但是这种算法是不稳定的.一种更为有效的算法就是SVD分解并利用广义逆求解.

    看一下广义逆和最小二乘、SVD的关系.广义逆可以百度一下.定义有很多式子.但是,对于可逆阵来说,广义逆就是逆.这里把A的广义逆记作A(+).则Ax = b的最小二乘解就是x = A(+)b.所以,现在的问题就是,怎么求A的广义逆A(+).通过SVD分解,广义逆可以这么求:如果A有SVD分解如下:A = VΣU(T)则A(+) = UΣV(T)当然,这里叙述可能不那么严谨.因为还涉及到Σ的形状什么的,所以两个式子的Σ形状大小不一样,形状变了,补0就行.因此,SVD分解就完美解决了最小二乘问题.-----更正---------说错了一点点,奇异值不是特征值的模长的平方,它就是模长,因为奇异值要对Σ(H)Σ对角线开算术平方根.

    1年前

    追问

    4

    688411942

    那对于最小二乘法,为什么要在左右乘上A的转置进行求解呢?

    688411942

    那种解法称作“法方程”解法。相当于求得一个x,使得A(T)(b-Ax)=0,也就是残差与矩阵A行向量的内积为0,即残差与矩阵A的行空间正交,由投影定理,可以证明,此时残差二范数最小。以上就是法方程的几何意义。法方程的解恰好是最小二乘解还有其他更严格的证明,比如泛函式的证明。但是,法方程法不是最佳解法。一般较优解法是QR分解法以及广义逆法(配合SVD分解)。手机打字有些慢。要是还有问题可以追问,明天我电脑上再接着说。

    688411942

    QR分解如何做最小二乘法?

    688411942

    QR分解确实可以做最小二乘。但是当时我没大学明白。后来我的最小二乘一直是用SVD+广义逆做的,所以我也搞不清楚了。

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  • 转置:A.'为矩阵A的转置,A’为矩阵A的共轭转置; rot90(A,k):将矩阵A逆时针方向旋转90°的k倍,k为1时可省略; fliplr(A):将矩阵A左右翻转; flipld(A):将矩阵A上下翻转。 矩阵的行列式、秩、迹 det(A):求矩阵A...

    矩阵的转置、求逆、旋转、翻转

    inv(A):求矩阵A的逆矩阵;
    转置:A.'为矩阵A的转置,A’为矩阵A的共轭转置;
    rot90(A,k):将矩阵A逆时针方向旋转90°的k倍,k为1时可省略;
    fliplr(A):将矩阵A左右翻转;
    flipud(A):将矩阵A上下翻转。

    矩阵的行列式、秩、迹

    det(A):求矩阵A的行列式;
    rank(A):求矩阵A的秩;
    trace(A):求矩阵A的迹;

    矩阵的特征值、特征向量

    E=eig(A):求矩阵A的全部特征值,构成特征向量E;
    [X,D]=eig(A):求矩阵A的全部特征值,构成对角矩阵D,并产生矩阵X,X各列是相应的特征向量;

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  • 特征值的界估计 复数矩阵 厄米特矩阵: 共轭转置矩阵 和 原矩阵的关系 特征值是实数 反厄米特矩阵: 共轭转置矩阵 和 原矩阵的关系 特征值是虚数 ...与自己的共轭转置矩阵对应的 复系数方块... 酉矩阵的特征值都是 ...

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    特征值的界估计

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    最小范数解 和 最小二乘解

    在这里插入图片描述

    广义逆

    在这里插入图片描述

    特征值的界估计

    复数矩阵
    厄米特矩阵: 共轭转置矩阵 和 原矩阵的关系 特征值是实数
    反厄米特矩阵: 共轭转置矩阵 和 原矩阵的关系 特征值是虚数

    正规矩阵:

    1. 与自己的共轭转置矩阵对应的 复系数方块矩阵
    2. 正规矩阵 ------> 经过一个酉变换 ----> 对角矩阵,
    3. 所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵的矩阵都是正规矩阵

    什么是酉矩阵; 酉矩阵的特征值都是 模为1 的复数
    下图中的* 代表的是矩阵的共轭转置矩阵
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    圆盘定理

    行盖尔圆: 的求法
    特征值和盖尔圆的关系
    连通部分

    谱半径的估计

    复数域上的任意n阶方针的谱半径都不超过A的任一范数(1, 无穷, 2)
    2范数: 复数矩阵 * 其共轭转置矩阵 的 最大特征值 再开方

    若A 是n阶正规矩阵, 那么谱半径等于矩阵A的2范数

    广义逆矩阵 与 线性方程组的解

    1. {1}-广义逆 (广义逆矩阵)

    A: mn
    G: n
    m
    G是A 的广义逆
    AX = B(B 是任意给定的 m*1的矩阵) 有解, 那么就称为 X = GB 也一定是方程组的解

    判定的充要条件: AGA = A, 则称为G为A的 {1}-广义逆
    一般性: 矩阵A为mn, 且 rankA = r, 则 A的{1} - 广义逆可以表示为
    在这里插入图片描述
    这里的Er为r维的单位矩阵 A1 A2 A3为任意矩阵,但是要满足整个矩阵为n
    m

    m = n = r, 当矩阵A 是可逆的时候, A 的广义逆为 A的逆矩阵

    A的广义逆存在, 当方程组AX = B有解的时候, 通解可以表示为在这里插入图片描述

    AX = B中的最小范数解和最小二乘解

    在这里插入图片描述

    广义逆 的类别

    在这里插入图片描述
    若 G 满足 (1), 则为 {1}-广义逆
    若 G 满足 (1) & (4), 则为 某个
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    广义逆矩阵A+

    对于任意一个矩阵A m*n 的. 其广义逆矩阵 A+ 存在且唯一 ==> 其他三类都是存在的

    若A是可逆的, 那么A 的广义逆矩阵 = A 的{1}-广义逆 = A的逆矩阵

    AX = B的极小最小二乘解 为 X = 广义逆矩阵 * B

    summary

    m = n = r:
    若A是可逆的, 那么A 的广义逆矩阵 = A 的{1}-广义逆 = A的逆矩阵
    当矩阵A 是可逆的时候, A 的广义逆为 A的逆矩阵

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  • 这里 表示 的共轭转置在介绍之前,先介绍一个命题定理1:设 ,则 行列式 ,也就是 与 互为共轭复数定理1可以用行列式定义直接证明出来。这里 1.Hermite矩阵定义1:设 ,若 ,则称 为Hermite矩阵,或者为自共轭矩阵,...

    之前我们接触过一些特殊的实矩阵,例如:正交矩阵,实对称矩阵,正定矩阵等。这次我们来研究在代数学上同样重要的几种特殊的复矩阵。这里

    表示
    的共轭转置

    在介绍之前,先介绍一个命题

    定理1:

    ,则
    的行列式
    ,也就是
    互为共轭复数

    定理1可以用行列式的定义直接证明出来。这里

    1.Hermite矩阵

    定义1:

    ,若
    ,则称
    Hermite矩阵,或者为自共轭矩阵,或者为埃尔米特矩阵

    显然,实对称矩阵为Hermite矩阵,除此之外,矩阵

    等也是Herimte矩阵

    事实上,Hermite矩阵的对角线上的元素全为实数

    2.酉矩阵,酉相似,酉对角化

    之前在我自己的文章“酉空间——欧几里得空间在复数域上的推广(一)”中曾提到了酉矩阵。这里我再复述一下酉矩阵的定义

    定义2:

    是n阶复方阵,若
    ,则称
    酉矩阵

    实际上,实正交矩阵就是酉矩阵,除此之外,矩阵

    等也是酉矩阵

    事实上,由

    为酉矩阵知
    ,从而
    的模为1,从而
    为单位复数

    事实上,两个酉矩阵的乘积还是酉矩阵。

    事实上,

    阶酉矩阵当且仅当它的列向量组是
    的标准正交基

    事实上,由

    为酉矩阵知
    ,由此我们定义酉相似

    定义3:

    ,若存在酉矩阵
    满足
    ,则称
    酉相似,也称
    酉相似
    。若
    酉相似于对角矩阵,则称
    可以
    酉对角化

    事实上,酉相似是一类特殊的相似,并且酉相似同样满足自反性,对称性,传递性

    那么,什么样的矩阵可以酉对角化?注意到复对角矩阵

    不一定满足
    ,从而不一定为Hermite矩阵,但一定满足
    ,由此我们引入新类型的矩阵。

    3.正规矩阵

    定义4:

    ,若
    ,则
    正规矩阵

    事实上,酉矩阵,Hermite矩阵,对角矩阵等都是正规矩阵

    为探究正规矩阵是否可对角化,我们先证明几个引理

    引理1:

    ,其中
    均为方阵,若
    为正规矩阵,则
    均为正规矩阵。由此可得一个上三角矩阵是正规矩阵当且仅当它是对角矩阵

    证:此时

    ,则

    则由

    ,从而
    ,而
    ,故
    .注意到
    各个元素的模的平方和,故有

    此时

    ,

    从而

    均为正规矩阵

    引理2:

    ,且
    酉相似于
    。若
    是正规矩阵,则
    是正规矩阵。

    证:此时存在酉矩阵

    满足

    我们用数学归纳法证明正规矩阵可以酉对角化

    定理2:正规矩阵可以酉对角化

    证:我们对正规矩阵

    的阶数
    作归纳法

    时显然

    假设在

    时命题成立。对于
    阶正规矩阵
    ,设
    的一特征值,对应的单位特征向量为
    ,则

    事实上,单位向量

    可以扩充为
    的标准正交基

    ,则
    是酉矩阵

    。由引理1,
    ,
    阶正规矩阵。由归纳假设,存在
    阶对角矩阵
    以及
    阶酉矩阵
    使得

    ,则
    为酉矩阵,且
    为对角矩阵,故
    可以酉对角化

    由引理2,定理3以及对角矩阵是正规矩阵立马可得

    定理3:一个矩阵是正规矩阵当且仅当它可以酉对角化

    我们再来看几个引理

    引理3:

    是正规矩阵,则线性方程组
    与线性方程组
    同解

    证:若

    的解,则

    从而

    同理可证反过来的情形

    引理4:

    是正规矩阵,
    ,则
    也是正规矩阵

    证:

    与实对称矩阵类似,我们同样有

    定理4:

    是正规矩阵,则
    中属于
    的不同特征值的特征向量必正交

    证:设

    的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为
    ,则

    则由引理3,引理4,

    此时

    从而

    ,但
    ,故

    注意到对于复数

    ,
    等价于
    ,我们可以得到

    引理5:

    是对角矩阵,则
    是Hermite矩阵当且仅当它是
    实对角矩阵

    由引理5以及Hermite矩阵只能酉相似于Hermite矩阵立马可得

    定理5:

    是正规矩阵,则
    是Hermite矩阵当且仅当
    酉相似于
    实对角矩阵.

    由定理5立马可得

    定理6:Hermite矩阵的特征值全为实数

    这里可以根据Hermite矩阵酉相似于实对角矩阵立马可得

    下面提供定理6的另外一种证法

    设Hermite矩阵

    的特征值为
    ,对应的非零特征向量为

    ,故
    ,从而

    下一节我们将继续探究Hermite矩阵,并研究几种特殊的Hermite矩阵以及反Hermite矩阵

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共轭转置矩阵的特征值