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    2019-04-17 16:51:00

    几何光学概论

     

     

    几何光学概论

    1-1 光 谱

    光的整个行为我们可用电磁波的方式来表示。假设光以波长作为一个单位,我们可以从光谱图得知可见光的波谱是在400到700nm,故可见光在光谱中呈现出非常窄的范围。可见光以外更长的波长有红外线、微波(微波它的波长大概是在mini级的范围)、再更长的还有短波、短波就是我们所称为调幅、调频的范围,短波是大概是在几个米到一公里左右的波长。波长在一公里以外,达到10的6次方米的我们称为长波,就是通常我们所谓的声波的范围。比可见光更短的区域有紫外线、X射线、γ射线,这些我们称为射线。

     

    1-2 光的折射

    我们现在要来说明光在不同介质中它的穿透的行径与行为。我们先假设介质的折射率为n,而且第二个介质的折射率大于第一个介质的折射率。并且假设光是由疏的介质进入到密的介质。例如:光由空气中进入到水中,它会产生一种折射的现象。以图1为例:n1是光比较疏的介质、 n2是光比较密的介质。所以光由斜向入射时会产生入射角θ1,通过法线在第二个介质穿透的时后,光线产生偏折,其折射角为θ2。折射角会改变的主要原因是第二个介质有折射率。我们可以从图2来说明,当眼睛看水中的物体【鱼】时,真实的物体是在蓝色鱼的位置.,但是眼睛所看到的物体却是在紫色鱼的位置,主要就是因为折射所造成的现象。整个折射现象可透过Snell定律来作一个说明, n1乘以sinθ1会等于n2乘以sinθ2。这是一个在光在不同介质中永远成立的定律。

     

     

    1-3 光的反射

    我们现在要来说明光在介质中它界面的反射现象。我们所看到的这两个图它表示的是,当光斜向入射经过一个镜面时会产生反射的现象。从图中我们可以看到,当光入射进来时会在镜面和中间界面的法线形成一个入射角,反射时也会形成一个反射角。在光的反射现象中,有一个定律那就是入射角等于反射角。再由另一个图形中来看,蝴蝶实际的位置是在左上方,但是当经过一个平面镜子时,我们眼睛所观看到的蝴蝶相当于是在镜子的后面。主要就是因为光线的入射角、反射角所得到的结果,也就是说它是一个镜射的作用。

     

     

    1-4 光的全反射

    我们现在要来了解光的全反射现象。画面中的图假设的条件是若光线由光密介质向光疏介质传播的时后,譬如说光从水射向空气中,就会有光的全反射现象。主要的原理就是在水中射向水面的灯光当小于临界角的时后,部分的光线会折射出水面,当入射光等于临界角时,射出的光线就会擦过水面;如果入射光大于临界角时,光就会全反射了,就不会有任何的透射光在空气中,这样的现象我们就称为光的全反射现象。它的条件必须是光线由光密介质射向光疏介质时。你可以试着移动鼠标到光源刻板度,借着移动不同的光源角度,来了解入射光角度小于、等于、大于临界角时光所产生的折射、全反射现象。临界角的定义:我们可以透过Snell定律得到临界角,Snell定律是n1乘以sinθ1等于n2乘以sinθ2,当折射角是擦过水面时表示它的角度就等于90度。我们假设sinθ2等于临界角时,透过n1乘以sinθ1等于n2乘以sinθ2的Snell定理,由数学算式可以 得到n1乘以1【因为sin90等于1】等于n2乘以sinθ的临界角,所以可以算出sinθ的临界角等于n1除以n2。所以θc就是我们称的临界角。由此可知如果入射角大于临界角 的时后,那全反射的现象自然会产生了。

     

     

     

     

    1-5 光在棱镜中的色散

    我们现在要来了解光在棱镜中的色散现象,如图1中假设有一束白光入射到一个棱镜里面,经过棱镜的表面时,各种色光会有不同的折射角,它们就会分开向不同的方向传播,接着经过棱镜的另一个表面折射出来,入射的白光就被分散形成一个光谱。由于白光是由红、澄、黄、绿、蓝、靛、紫所组成,所以我们看到的色散就是呈现出来如彩虹的光谱,分别是由红到紫。我们常见的光学材料,折射率随光的频率的增大(波长减小)而增大﹐例如﹐紫光的折射率较红光的大,所以紫光的折射会比红光的大。同样的原理,如图2假设一束白光经过一个单透镜时,也会呈现色散的现象。这种色散的现象会造成透镜的光点变成模糊。右边透镜图中蓝色的线是代表450nm的波长,绿色的线是代表550nm的波长,红色的线是代表650nm的波长。所形成整个模糊的区域大概是0.3mm。白光在任何介质中都会有色散的现象,主要的原因就是因为在光学材料上,不同波长会有不同折射率的反应。

     

     

    色散系数VS折射率

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    第二章:透镜工作的原理

    2-1 透镜的种类

    1.透镜的种类与片组    
     1)凸透镜

    中间厚、边缘薄的透镜称为凸透镜,又称"正透镜",因为它具有会聚光线的性能,所以也称"汇聚透镜"。凸透镜按其形状不同,又分"双凸透镜"、"平凸透镜"、"凸凹透镜"。

    (2)凹透镜

    中间薄、边缘厚的透镜称为凹透镜,又称"负透镜",因它具有发散光线的性能,所以也称"发散透镜"。凹透镜按其形状不同又分"双凹透镜"、"平凹透镜"、"凸凹透镜"。

    (3)透镜片组

    照相机的镜头是由镜片组成的,而由多少片镜片组成,这要根据镜头的性能、质量而定的。相机或镜头的说明书上都为用户标明了镜头透镜片組的情况,如"几片几组"等,这是表示镜头的光学结构。一片可称为一组,一片以上也可称为一组,"几片几组"是根据镜头各自的构造而定的,如图。

     

     

     

     

    (4)非球面透镜

      凸透镜、凹透镜的镜面通常是制成球面状的,照相机的镜头大部分都是由这类镜片所组成。这类镜片有个共同点:从透镜中心到周边有一定的曲率,我们把这类透镜称为球面透镜。球面透镜成像时会出现球差,它是像差中的一种,像差直接影响着成像质量。我们在下面"镜头与像差"里会作进一步探讨。

      非球面透镜的特点是:从透镜中心到周边曲率是连续变化的,能有效克服球差。非球面透镜又有单面非球面和双面非球面两种。使用非球面透镜组成的镜头,有以下几方面的优点:1.能理想地克服球差,可以制成大口径高像质镜头;2.能全面提高镜头的成像质量;3.能减少镜头的透镜片数,减少镜头的长度,有利于镜头小型化。但是,非球面透镜的工艺加工要求较高,含有非球面透镜的镜头,相对要比一般不含非球面镜片的同类镜头,价格要高。

     (5)其它透镜

      镜头是由一组或一组以上的透镜组成的,随着透镜片数的增加,它的透光能力也会随之下降。因此,现代照相机镜头大部分都经过加膜处理,我们看到的镜头表面呈蓝紫色、微红色、暗绿色等现象,就是加膜的结果。

    (1) 未加膜镜头对光线的损失

      镜头的透镜除能透光,也能反光,还能吸收光。以单片透镜的镜头为例,光线进入镜头时约有5%的光线被反射了,出镜头时又有5%的光线被反射,透镜本身又吸收了2%的光线。这样约有12%的光线被损失了,只有88%的入射光线到达胶平面。这只是单片透镜对光的损失情况,透镜的片组越多,光线的损失也就越严重。

    (2) 单层加膜与多层加膜

    镜头的加膜有"单层加膜"和"多层加膜"两种,以多层加膜为好。因为镜头加膜的原理是应用光的干涉作用,即在透镜表面镀上某一色光波长1/4厚度的薄膜,就可将该波长的光反射减小到最低限度。例如一只7 片6组的标准镜头,不加膜的透光率为59,单层加膜为81%,多层加膜则使透光率上升到97%。有些相机镜头圈上刻有"MC"就是表示"多层加膜",也有的多层加膜镜头在镜圈上不标明的,可查阅相机镜头说明书。总之,镜头加膜、尤其是多层加膜后,能提高色彩的还原能力及影像清晰度。

     

    2-2 透镜的基点与焦距

    现在我们要来说明有关透镜的基点,基点有助于光学设计者了解透镜基本的原理,可以作为后面光学成像的引导说明。假设画面中的是一个透镜,蓝色的线是入射光轴,在这个透镜会有两个焦点,一个是物方焦点、另外一个是在像方的焦点。从透镜到物方焦点的距离叫做物方焦距;从透镜到像方焦点的距离叫做像方焦距。在透镜中还会有两个基点,我们称为主点。第一个主点我们称为H,第二个主点称为H'。从透镜的顶点到第一个主点H的距离称为lH,从第二个主点H'到透镜的顶点的距离称为lH' lHlH'是主点的距离。由整个透镜来看,从前曲面的顶点到物方焦点称为前焦距,从后曲面的顶点到像方焦点称后焦距。所以图中的焦点FF ',主点H H' 以及透镜的顶点,这些我们都称为透镜的基点。我们可以透过基点来了解透镜的聚焦行为。 H H'所形成的面叫做主平面。主平面的定义是:放大率等于1之虚拟共轭面。所以厚透镜的焦距是由第一主点H或第二主点 H'算起。而薄透镜因为中间比较薄所以我们把H H'当成镜中心一点。

     

    2-3 透镜的作图法

     

     

    2-5 透镜与折射率的关系

    接下要我们要来说明透镜与折射率的关系。我们由造镜者的公式知道透镜的焦距与曲面的曲率半径及材料的折射率有关。曲面的曲率半径就代表透镜表面的半径,由薄透镜的造镜者的公式1/f =(n-1)(1/R1-1/R2),其中R1就是图1曲率的半径,R2是图2曲率的半径。假设图1中的R1=R2而且折射率N=1.5时,我们可以得到焦距是50mm。同样的,假设图2的R1也等于R2,但是其折射率N=2时,他的焦距会缩短,焦距变为25mm。所以我们可知透镜的焦距与折射成一种近似反比的关系。

     

     

     

     

     

     

     

    1. 缺衍射极限

    1. 把象散和场曲的图片贴上来
      第三章 镜头的像差
      像差[aberration]

    理想的摄影镜头在成像时,必须具备下列几点特性:①点必须成像为点。②正前方的面必须与光轴垂直成像为正的面。③被摄体与镜头的成像必须是相似形。此外,从映像表现面来看,忠实的色彩再现性也不容忽视。如果只注意到靠近光轴的光线,那么,单色光(特定波长的光)的场合就可以获得接近理想镜头的描写性能。然而,对于必须使用大光圈以获取充分的光量,对焦也不只限于近光轴区域,而是画面的每一个角落的摄影镜头而言,只要下列各项障碍因素存在,满足理想条件的完美镜头是不存在的:
    1.几乎所有的镜片面都是球面构成的,因此,以点呈现出来的光,无法结成理想的点。

    2.光的波长的不同,焦点位置也不同。

    3.广角、变焦、望远等,改变画角时所衍生的各色各样的需求。

    包括这些因素在内的成像,和理想的像之间的差异,总称为像差(aberration)。总之,为了实现高性能镜头的目标,如何全力减少像差,以及如何尽量接近理想成像,将是最关键性的课题。像差为不同波长的光所引起的·色像差以及·单色光所引起的像差两种。→色像差→赛德尔(Seidel)的五像差。


    物理像差

    色像差[chromatic aberration]

    光的实际波长为400nm~760nm,在同一介质中,由n=c/v,得出传播速度大的折射率小,传播速度小的折射率大。所以红光折射率最小,紫光折射率最大。

    某一种介质对不同颜色的光线的折射率之差称为该介质对两种颜色光的色散。

    折射率越大焦距越短,因此对同一个透镜,红光的焦距最长,紫光的焦距最短。如果把一个简单的正透镜用来对无穷远的物体成像,由于各种颜色光的焦距不同,所成的像的位置也不同。

    不同颜色的光的像点沿光轴方向位置之差称为轴向色差,又称为纵向色差。

    当焦距f'随着波长改变时,像高y 也随之改变。因此,不同颜色光线所成的像高也不一样,如图所示,红光的像高最大,紫光的像高最小。换句话说,不同颜色光线的放大率不一样,这种像的大小差异称为垂轴色差,也称横色差。

    汇总图

    几何像差 

    赛德尔的五像差[five aberration of Seidel]

    1856年德国的赛德尔,分析出五种镜头像差源之于单一色(单一波长)。此称为赛德尔五像差。

    ①球面像差[spherical aberration]

    入射光以平行光轴的角度入射到球面系统,不同孔径高度的光线在轴上的焦点位置不同的现象。


    校正方法:

    (1)采用非球面透镜。(2)采用多片透镜组合,使多片凹、凸透镜的不同透光特性相抵消、减小球差的影响。(3)对存在球差的镜头,使用时缩小光圈也是减小甚至消除球差的常用方法。


    ②慧星像差[coma/comatic aberration]

    离轴光束斜向入射至透镜系统,不同入射环带成像的中心焦点(像高)不同而形成的像差。


    校正方法:移动光阑位置,光阑和透镜距离越小,会差越大

    ③像散现象[astigmatism]
    一个离轴点光源所发出的光线经过系统后,子午焦点与弧矢焦点不在同一位置上。



    ④场曲[curvature of field]
    物面上所有的点经过系统后,最佳焦点位置不在同一平面上,若这些像点所成的曲面为曲面,则称为系统有场曲。

    像面弯曲主要随着像散现象的矫正方法而改变,由于像面会出现在子午像面和孤矢像面之间,因此,像散现象矫正得愈好,像面弯曲现象就愈少。由于缩小光圈无法矫正像面弯曲,因此设计上,一般都是改变各种单镜片的开头或者选择光圈的位置上下功夫。像散现象和像面弯曲需要同时矫正时,不可少的条件之一的就是匹兹万条件(Petzval's condition/1843年)。这个条件就是,将镜头使用的单镜片数,加在各单镜片的折射率乘以焦点距离的积的倒数上,它的和最好等于零,这个和叫做[匹兹万和数](Petzval's Sum)


    ⑤畸变[distortion]
    像的大小和理想像高不一样,是由于像在离轴及轴上的放大率不同造成的。实际上拍摄到直线变形的现象。

    TV 畸变:

    对角线向外延长的变形(正)叫做枕形(pincushion) 歪曲像差,向内缩短的变形(负)叫做桶形(barrel)歪曲像差。虽然罕见,也有两者同时存在的复合形歪曲像差,出现在超广角镜头上。镜头组合构成上,镜片对称的分置光圈两侧,歪曲像差比较少;非对称构成的镜片,则经常发生。另外,变焦镜头的歪曲像差在广角区为桶形,望远区为枕形(因变焦的不同,歪曲像差的特性稍微不同)。采用非球面镜片的变焦镜头,由于非球面镜片有消除歪曲像差的功能,矫正效果相当良好。再者歪曲像差是通过镜头中心的主光线异常折射所引起的,因此不论如何缩小光圈,都不能获得改善。


    算法:

     

    SMIA 畸变:

     

    光学畸变

     

     

    衍射

    衍射是一种与光波特性有关的现象。当一束光通过一个锐利的边缘时,会发生轻微的散射。当光线通过镜头时,受到了光圈直径的限制。光圈形成了一个锐利的边缘,造成光线的轻微散射。换句话说,光圈边缘造成了一定程度的成像模糊,这就是所谓的衍射现象。

    由于衍射现象只发生在靠近光圈边缘通过的光线处,"模糊光"的比例随着增大光圈而减少。无论光圈制作的多麽精细,也不论镜头有多麽昂贵,都无法解决衍射的问题。

     

    如果只考虑衍射的影响,当使用小光圈时MTF值会自动降低,在高线频时MTF值受到的影响最大。而实际上,可以影响MTF值的因素很多,制造大光圈的镜头要比制造小光圈的镜头难得多,镜头口径越大,设计和加工的难度也就越大。实际上,在使用大光圈镜头摄影时,是以牺牲MTF值为代价的。

    从MTF值的角度上考虑,制造镜头的目标要尽量接近衍射的影响限。一般的来说,最大光圈的MTF值都在衍射限曲线以下,而小光圈的MTF值几乎与衍射限相同。

    大光圈意味着衍射的影响最小,但光学系统的制造误差最大。小光圈则正好相反。一般说来,镜头锐度最好处一般都在光圈值为8和11的时候。

     

     

     

     

     

     

     

    第三章:几何光学名词

    3-9 F number 与数值孔径 Numerical Aperture

    现在要说明的是F number与Numerical Aperture 数值孔径,图1中有一平行光进来,且会聚焦成一点,假设物在无穷远处,透镜的孔径为D,焦距为f。所以F number的定义就是焦距除以孔径,如公式1。而Numerical Aperture所代表的是透镜成像的能力,它的定义是像空间的折射率乘以成像的斜角q。如公式2:NA= n sinq,如果是在空气中,n就是等于1。由NA= n sinq几何关系我们可以得到q等于焦距除以2分之1,假如焦距远大于q时,可以得d/2f,便可导出F number=1/2NA。所以当孔径不变时,NA越高,焦距会越短,F number越小,其彼此间是有互相的关系。

     

     

    3-1 孔径光栏 - aperture stop

    现在我们要来说明aperture stop孔径光栏,以图1中的单透镜来说,它的成像关系可由两边的像平面和物平面构成,当光射入进来会在像面上成一点。所谓孔径光栏就是会阻挡光进入的光孔。所以在光学系统中的各个光学零件都由各自的镜框来限定其通过光孔。在所有这些光孔中﹐可找到一个光孔来限制轴上物点的张角最小的那个光孔﹐称为孔径光栏。所以在图1的单透镜中,限制轴上物点的张角就是透镜本身的孔径。孔径愈大张角就愈大,在物面这边的称为轴上物点张角;在像面这边的称为轴上像点张角。所以透镜变小张角就缩小,透镜变大张角就变大。在单透镜中它的孔径光栏就是透镜本身。同样原理,假设图2是一个照相机镜头的镜组,它的孔径光栏就会在照相机的光圈中,光圈就是孔径光栏,它的作用就是限制光通过的范围。

     

     

     

    3-2 视场光栏 - field stop

    field stop视场光栏主要的定义:是说明在整个透镜中有一个光孔会限制成像的范围,这样的光孔我们称为视场光栏。视场光栏限制了成像范围也就代表着它会限制视场的场角。如画面中的图,当一个透镜中,前方有一个孔镜光栏,光由四面八方经过孔径穿过透镜会在透镜后方成像,但是我们希望它的成像范围要受到一些限制,所以我们会加一个光栏在成像面上,把不必要的成像挡掉,这就是视场光栏的作用。我们在成像面上作一个光孔来限制成像的范围,相对来说也会影响到入射的场角。这种在成像面的光孔,我们称为视场光栏。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    3-3 主光线与边缘光线

    这一小节主要是要来说明透镜中的主光线chief ray与边缘光线marginal ray,在任何一个光学里面,主光线与边缘光线是永远存在的。假设图1中是透镜的物平面、像平面的空间和主光轴。主光线的定义就是光线由物的边缘出射,通过孔径光栏的中心最后到达像的边缘。那我们知道单透镜它的孔径光栏就是透镜本身,因为透镜的大小会限制到成像的大小。画面中的通过透镜中心的这条红色的线就是主光线。边缘光线是代表由物的中心出射,会经过孔径光栏的边缘,最后会到达像的中心位置,这条线就是marginal ray边缘光线。同样的在图2照相机镜头里面,假设它的光圈是在中间,由前面的定义可知边缘光线是经过光栏的边缘到达像的中心,所以蓝色这条线会经过光栏边缘而成像于像的中心。所以图2中的蓝色的线我们称为边缘光线。红色光线的主光轴经过的光圈的中心,会成像于像的边缘,红色的线我们称为主光线。以上是以照相机光学系统所做的范例说明。

     

     

     

     

    3-4 视场角与孔径角

    现在要说明的是透镜中的两个名词field angle视场角与aperture angle孔径角,简单的说,主光线与光轴并行线的夹角为视场角, 可决定物像的大小。边缘光线与光轴并行线的夹角称为孔径角, 可决定像的亮度。孔径角也可以称为透镜的斜角。以图1中的单透镜来看,红色的线是主光线,蓝色的线是边缘光线,视场角就是图1中主光线与光轴线的夹角。由于视场角可决定物像的大小,所以视场角小表示物与像的高度就小。反之,如果视场角大,表示物与像的高就大。接着要说明是孔径角,由于孔径角可决定像的亮度,所以当孔径角愈大表示张角就愈大,经过透镜时的光会比较亮;当孔径角小时,经过透镜的区域会变小,所以相对来说在成像面的亮度会相对减少。同样的原理,图2所说明的是视场角与孔径角的关系,当物体在2倍焦距位置时,会得到大小相同倒立的实像。所以由此关系我们可以知道视场角在物地方和像地方会相等,以长颈鹿来看,边缘光线是在长颈鹿角的地方,孔径角就是在边缘光线与主光轴的夹角。

     

     

     

     

    3-5 入瞳 - entrance pupil

    入射光瞳(Entrance pupil)最简单的定义就是指在物空间所观测到的孔径光栏的像;也就是孔径光栏对前面光学组件所成的像。以画面中的图来看,灯泡是我们的物体,孔径光栏经过前面透镜所成的像会在入射光瞳处,是个虚像。如果物体是在2倍焦距内,会形成正立虚像。所以入射光瞳和出射光瞳是虚拟的平面。同样在图中所示的光学系统照相机里,光圈透过前面透镜的所成的像会在后方,这个区域就是入射光瞳的位置。

     

     

     

     

     

    3-6 出瞳 - exit pupil

    出射光瞳(Exit pupil)它的基本定义是: 在像空间观测到的孔径光栏,也就是孔径光栏对后面光学组件所成的像。如画面中的图所看到是一个光学组件,灯泡是我们的物体,经过透镜后会在后方成像。透镜前方有个孔径光栏,我们知道孔径光栏可以限制光的成像范围,当孔径光栏对后面所成的像,透过成像公式的计算,可以得到一个正立的虚像。所以出射光瞳会位于透镜前方如图中绿色线的位置,而且也是虚拟的平面。它所代表的意义是像空间控制的平面,这就是出射光瞳的定义。在任何一个光学系统中,都会有入射光瞳和出射光瞳,所以如画面中的照相机系统中,可以看到光圈的位置,它经过后面的凹面镜后所成的像,会在光圈前面出射光瞳的位置。也就是说,最后的光线会射出到光圈后方的像平面上。

     

     

     

    3-7 子午面 tangential plane与子午光束 tangential ray

    接下来要说明的是子午面和子午光束。子午面Tangential plane的定义是包含轴外物点和光轴的平面,由于光学系统的轴对称性质﹐轴外物点可以取在作图平面上﹐如画面中图1纸的平面就是子午面。而在任何子午面所形成的光束我们称为子午光束。画面上的图2是一个光学系统,这个光学系统中垂直轴的平面我们称为Tangential plane,而绿色和蓝色的光束为子午光束,蓝色的光束我们称为轴上的子午光束,绿色的光束我们称为轴外的子午光束。

     

    3-8 弧矢面 sagittal plane、弧矢光束 sagittal ray

    同样的原理,我们也会得到一个弧矢的平面和弧矢光束。所谓弧矢面,指的就是包含主光线并与子午平面垂直的平面。我们知道子午面是垂直的方向,弧矢面则是横向的面。而位于弧矢平面上的光束我们称为弧矢光束。所以弧矢面与子午面是一个相互垂直的现象。从接下来的图中,我们可以看到是弧矢面与子午面的示意图,有点像地球的经纬度的表示,经度相当于是子午面,而纬度相当于是弧矢面,图中的垂直于透镜方向的面就是子午面,而透镜横向的面就是弧矢面,轴上的弧矢面将平行于光轴。

    MTF 定义:

    MTF `Modulation Transfer Function,翻译成中文就是光学调制传递函数,它有另外一个名称叫做 Contrast Transfer Function,也就是:对比度转换函数。

    光学中对于正弦条纹对比度的定义是V = (Imax - Imin) / (Imax + Imin),(这儿人们用矩形条纹,也一样)。那么MTF就是成像前后此对比度的比: 
      MTF = Vo / Vi 

    将镜头看作一个信息传递系统:被拍摄景物反射出来的光线是它的输入信息,而胶片上的成像就是它的输出信息。一个优秀的镜头意味着它的输出的像忠实的再现了输入方景物的特性。喜欢音响的朋友都知道,高保真放大器的输出,应当准确地再现输入信号(图1)。当输入端输入频率变化而幅度不变的正弦信号时,输出正弦波信号幅度的变化反映了放大器的频幅特性。频幅特性越平坦,放大器性能越好(图2)!

    图1 放大器准确再现输入信号

    图2 放大器的频幅特性

    类似的方法也可以用来描述镜头的特性。由数学证明可知,任何周期性图形都可以分解成亮度按正弦变化的图形的叠加,而任何非周期图形又可以看作是周期图形片断的组合。因此,研究镜头对正弦变化的图形的反映,就可以研究镜头的性能!亮度按正弦变化的周期图形叫做"正弦光栅"。为了描述正弦光栅的线条密度,我们引入了"空间频率"的概念。一般正弦波的频率指单位时间(每秒钟)正弦波的周期数,对应的,正弦光栅的空间频率就是单位长度(每毫米)的亮度按照正弦变化的图形的周期数。

    3 正弦光栅

    典型的正弦光栅如图3所示。相邻的两个最大值的距离是正弦光栅的空间周期,单位是毫米。空间周期的倒数就是空间频率(Spatial Frequency),单位是线对/毫米(lp/mm linepairs/mm)。正弦光栅最亮处与最暗处的差别,反映了图形的反差(对比度)。设最大亮度为Imax,最小亮度为Imin,我们用调制度(Modulation)表示反差的大小。调制度M定义如下:

    M=(ImaxImin)/(ImaxImin)

    很明显,调制度介于01之间。调制度越大,意味着反差越大。当最大亮度与最小亮度完全相等时,反差完全消失,这时的调制度等于0

    我们将正弦光栅置于镜头前方、在镜头成像处测量像的调制度,发现当光栅空间频率很低时,像的调制度几乎等于正弦光栅的调制度;随着空间频率的提高,像的调制度逐渐单调下降;空间频率高到一定程度,像的调制度逐渐降低到0、完全失去了反差!

    正弦信号通过镜头后,它的调制度的变化是正弦信号空间频率的函数,这个函数称为调制传递函数MTF(Modulation Transfer Function)。对于原来调制度为M的正弦光栅,如果经过镜头到达像平面的像的调制度为M ' ,则MTF函数值为:

    MTF= M ' / M

    可以看出,MTF值必定介于01之间,并且越接近1、镜头的性能越好!

    如果镜头的MTF值等于1,镜头输出的调制度完全反映了输入正弦光栅的反差;而如果输入的正弦光栅的调制度是1,则输出图像的调制度正好等于MTF值!所以,MTF函数代表了镜头在一定空间频率下的反差。

    6是三只不同镜头的MTF频幅曲线对比,曲线A(红色)低频端MTF值很高反映出它有很高的反差,而高频端MTF值较高反映出它的分辨率也不错,是一只综合性能较高的镜头。曲线B(蓝色)在空间频率较低时表现出很高的MTF值,说明它有较好的反差;而在空间频率较高时MTF值很低,表明它的分辨率较差。曲线C(绿色)在空间频率较低时MTF值并不高,说明它的反差较差;而在空间频率很高时它的MTF值下降较少,表明它的分辨率较高。一般的,我们可以比较MTF曲线下部包围的空间来大致判断镜头质量,MTF曲线包围的空间越大越好。

    6 利用MTF曲线判断镜头质量

     

     

    1 MTF曲线越高越好,越高说明镜头光学质量越好。综合反差和分辨率来看,MTF曲线以下包含面积越大越好。

    2 MTF曲线越平直越好,越平直越说明边缘与中间一致性好。边缘严重下降说明边角反差与分辨率较低。

    3 S曲线与M曲线越接近越好,两者距离较小反映出镜头像散较小。

    4 低频(10线对/mm)曲线代表镜头反差特性。这条曲线越高反映镜头反差大。

    5 高频(30线对/mm)曲线代表镜头分辨率特性。这条曲线越高反映镜头分辨率越高。

    6 F8的曲线反映了镜头理想条件下的最佳性能。这是任何严格的摄影师都非常看重的性能。

    7 最大光圈的曲线反映了在镜头边界条件下至少应当达到的性能。当你在金钱与超大口径之间折衷时,你必须将这个性能当作重要的考虑因素。

     

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    共轴球面系统

    基本成像元件是至少由两个球面或非球面所构成的透镜。为了加工方便,绝大部分透镜是由球面组成的。但还要解决由一个面向下一个面的过渡计算问题,才能对整个系统进行光路计算。

    1. 共轴球面系统的转面(或迫渡)公式

    在这里插入图片描述
    各折射球面曲率半径: r 1 , r 2 , . . . r k r_{1},r_{2},...r_{k} r1,r2,...rk

    各相邻折射面顶点之间的间隔: d 1 , d 2 , . . . d k − 1 d_{1},d_{2},...d_{k-1} d1,d2,...dk1

    各球面间介质的折射率: n 1 , n 2 , . . . n k + 1 n_{1},n_{2},...n_{k+1} n1,n2,...nk+1

    那么就有:
    { n 2 = n 1 ′ , n 3 = n 2 ′ , . . . , n k = n k − 1 ′ u 2 = u 1 ′ , u 3 = u 2 ′ , . . . , u k = u k − 1 ′ y 2 = y 1 ′ , y 3 = y 2 ′ , . . . , y k = y k − 1 ′ − − − − ( 1 ) \begin{cases} n_{2}=n'_{1},n_{3}=n'_{2},...,n_{k}=n'_{k-1}\\ u_{2}=u'_{1},u_{3}=u'_{2},...,u_{k}=u'_{k-1}\\ y_{2}=y'_{1},y_{3}=y'_{2},...,y_{k}=y'_{k-1}\\ \end{cases}----(1) n2=n1,n3=n2,...,nk=nk1u2=u1,u3=u2,...,uk=uk1y2=y1,y3=y2,...,yk=yk1(1)
    l 2 = l 1 ′ − d 1 , l 3 = l 2 ′ − d 2 , . . . . , l k = l k − 1 ′ − d k − 1 − − − − ( 2 ) l_{2}=l'_{1}-d_{1},l_{3}=l'_{2}-d_{2},....,l_{k}=l'_{k-1}-d_{k-1}----(2) l2=l1d1,l3=l2d2,....,lk=lk1dk1(2)
    上述公式不仅对于近轴光适用,对于远轴光同样适用。
    类似的可以得到:
    { L 2 = L 1 ′ − d 1 , L 3 = L 2 ′ − d 2 , . . . . , L k = L k − 1 ′ − d k − 1 U 2 = U 1 ′ , U 3 = U 2 ′ , . . . , U k = U k − 1 ′ n 2 = n 1 ′ , n 3 = n 2 ′ , . . . , n k = n k − 1 ′ − − − − ( 3 ) \begin{cases} L_{2}=L'_{1}-d_{1},L_{3}=L'_{2}-d_{2},....,L_{k}=L'_{k-1}-d_{k-1}\\ U_{2}=U'_{1},U_{3}=U'_{2},...,U_{k}=U'_{k-1}\\ n_{2}=n'_{1},n_{3}=n'_{2},...,n_{k}=n'_{k-1}\\ \end{cases}----(3) L2=L1d1,L3=L2d2,....,Lk=Lk1dk1U2=U1,U3=U2,...,Uk=Uk1n2=n1,n3=n2,...,nk=nk1(3)

    式(1)和式(2)对应项相乘可得:
    { l 2 u 2 = l 1 ′ u 1 ′ − d u 1 ′ , h 2 = h 1 − d u 1 ′ l 3 u 3 = l 2 ′ u 2 ′ − d u 2 ′ , h 3 = h 2 − d u 2 ′ . . . l k u k = l k − 1 ′ u k − 1 ′ − d u k − 1 ′ , h k = h k − 1 − d u k − 1 ′ − − − − ( 4 ) \begin{cases} l_{2}u_{2}=l'_{1}u'_{1}-du'_{1},h_{2}=h_{1}-du'_{1}\\ l_{3}u_{3}=l'_{2}u'_{2}-du'_{2},h_{3}=h_{2}-du'_{2}\\ ...\\ l_{k}u_{k}=l'_{k-1}u'_{k-1}-du'_{k-1},h_{k}=h_{k-1}-du'_{k-1}\\ \end{cases}----(4) l2u2=l1u1du1,h2=h1du1l3u3=l2u2du2,h3=h2du2...lkuk=lk1uk1duk1,hk=hk1duk1(4)

    2.共轴球面系统的拉赫不变量

    共轴球面系统的拉赫不变量:
    n 1 u 1 y 1 = n 2 u 2 y 2 = . . . . . . = n k u k y k = n k ′ u k ′ y k ′ = J n_{1}u_{1}y_{1}=n_{2}u_{2}y_{2}=......=n_{k}u_{k}y_{k}=n'_{k}u'_{k}y'_{k}=J n1u1y1=n2u2y2=......=nkukyk=nkukyk=J
    上式表示的拉赫不变量 J 不仅对一个折射面的物像空间是一个不变量,对于整个光学系统的
    各个面的物像空间都是不变量。因此,可以用来作为如下图两条近轴光路计算的校对公式。

    在这里插入图片描述

    3.共轭球面系统的倍率计算

    对于共轴球面系统,利用转面公式容易证明三种倍率均等于各个折射面相应倍率的乘积
    (1)垂轴倍率
    b = y k ′ y 1 = y 1 ′ y 1 ⋅ y 2 ′ y 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ y k ′ y k = b 1 b 2 ⋅ ⋅ ⋅ b k b={{y'_{k}}\over{y_{1}}}={{y'_{1}}\over{y_{1}}}·{{y'_{2}}\over{y_{2}}}·····{{y'_{k}}\over{y_{k}}}=b_{1}b_{2}···b_{k} b=y1yk=y1y1y2y2ykyk=b1b2bk
    (2)轴向倍率
    a = n 1 ′ n 1 b 1 2 ⋅ n 2 ′ n 2 b 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ n k ′ n k b k 2 = n k ′ n 1 b 1 2 b 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ b k 2 = n k ′ n 1 b 2 a={{n'_{1}}\over{n_{1}}}{b^2_{1}}·{{n'_{2}}\over{n_{2}}}{b^2_{2}}·····{{n'_{k}}\over{n_{k}}}{b^2_{k}}={{n'_{k}}\over{n_{1}}} {b^2_{1}} {b^2_{2}}····· {b^2_{k}}={{n'_{k}}\over{n_{1}}} {b^2} a=n1n1b12n2n2b22nknkbk2=n1nkb12b22bk2=n1nkb2
    (3)角倍率
    b = u k ′ u 1 = u 1 ′ u 1 ⋅ u 2 ′ u 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ u k ′ u k = g 1 g 2 ⋅ ⋅ ⋅ g k b={{u'_{k}}\over{u_{1}}}={{u'_{1}}\over{u_{1}}}·{{u'_{2}}\over{u_{2}}}·····{{u'_{k}}\over{u_{k}}}=g_{1}g_{2}···g_{k} b=u1uk=u1u1u2u2ukuk=g1g2gk
    (4)三个倍率间的关系

    垂轴倍率、轴向倍率和角倍率三个倍率间的关系依然不变:

    a g = b ag=b ag=b

    展开全文
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    几何光学学习笔记(2)- 1.2 费马原理、马吕斯定律和成像

    1. 费马原理

    费马大定理

    "光程"是指光在介质中经过的几何路程 l与该介质折射率 n 的乘积,光程用 s表示为:
    s = n l s=nl s=nl
    而介质的折射率 n = c / v n=c/v n=c/v,几何路程 l = v t l=vt l=vt,那么
    s = n l = c v v t = c t s=nl={c \over v} v t =ct s=nl=vcvt=ct
    这便是费马定理:光在某种介质中的光程等于光在同一时间内在真空中所走过的路程。
    若光线通过多层(如m层)均匀介质,则光线由许多段折线组成,其光程
    s = ∑ i = 1 m n i l i s = \displaystyle\sum_{i=1}^m n_{i}l_{i} s=i=1mnili
    其中 n i 和 l i n_{i}和l_{i} nili分别为第i层介质的折射率和光路长度。
    若光线通过连续变化的非均匀介质,即折射率 n 为位置的函数,则光线实际所走过的路程为
    一条空间曲线。若光由点 A传到点 B , 则光程可表示为
    s = ∫ A → B ( L ) n d l s = \int_{A→B(L)} n dl s=ABL)ndl
    式中,L为光线在介质中走过的实际路程。

    费马原理还指出 2 光线由点 A传到点 B , 经过任意多次折射或反射,其光程为极值(极大值
    或极小值) ,可以用光程的一次导数为零表示:
    d s = d ∫ A B n d l ds = d {\int_{A}}^B n dl ds=dABndl
    这就是费马原理的数学描述。费马原理又称为"极值光程定律"。满足费马原理时,光程可能为极
    大值或极小值,可以认为符合费马原理的情况下,光程处于稳定值。

    可以由费马定理中光程的 一阶导为0 轻易证明出光的折射和反射定律。
    在这里插入图片描述

    2.马吕斯定律

    在这里插入图片描述

    马吕斯定理指出: 垂直于波面的光线束(法线集合)经过任意多次反射和折射以后,无论折射面和反射面的形状如何,出射光束仍垂直于出射波面,保持光线柬仍为法线集合的性质:并且入射波面与出射波面对应点之间的光程均为定值。

    这个定理表明:光线束在各向同性介质的传播过程中,始终保持着与波面的正交性。该定理
    由马吕斯于 1808 年提出,而由杜宾于 1861 年加以修正,故又称为马吕斯一杜宾定理

    折射(及反射)定律、费马原理和马吕斯定律三者中任意一个均可以作为几何光学的基本定
    律,其余两个可以视为推论。三者之间可以互相推导出来。

    3.成像

    3.1 共轴系统与非共轴系统

    光学系统通常由一个或多个光学元件组成。各光学元件都是由球面、平面或非球面包围一定折射率的介质而组成的。组成光学系统的各光学元件的表面曲率中心在同一条直线上的光学系统称为共轴光学系统,该直线称为光轴。也有非共轴光学系统(如包括色散棱镜或色散光栅的光谱仪系统) 。

    3.2 完善像的概念

    发光体(自发光或被照明物体 ) AB上每一个点发出球面波,通过光学系统后仍为球面波,会
    聚成像,这样的像为物体 AB 的完善像。

    3.3 物空间和像空间的概念:

    凡是物所在的空间(包括实物和虚物)称为物空间:像(包括实像和虚像)所在的空间称为像空间。两个空间是无限扩展的,并不是由折射面或一个光学系统的左边和右边机械地分开的。

    物空间 ——未经光学系统变换的光束所在的几何空间称为物空间。它包括所有的实物点。虚物点所在的几何空间也属于物空间,或称为延拓物空间。
    像空间——经光学系统变换后的光束所在的几何空间称为像空间,它包括所有的实像点,虚像所在的几何空间也属于像空间,或称为延拓像空间。

    以上是关于物空间和像空间的基本定义。这个定义对于单个透镜的折射系统比较容易理解,但当有多个折射透镜的时候,就不容易区分了。

    不妨将系统想象成一个整体,入射光线充满的空间,应该就是物空间了,而像空间,可以用光路可逆,从像的位置置一光源,那么这个光线充满的空间应该就是像空间。

    实物空间:光学系统第一个曲面前的空间。
    虚物空间:光学系统第一个曲面后的空间。
    实像空间:光学系统最后一个曲面后的空间。
    虚像空间:光学系统最后一个曲面前的空间。

    3.4 几个典型的等光程面
    ①椭球面
    椭球面②抛物面
    抛物面
    ③ 笛卡尔卵形面
    笛卡尔卵形面
    ④双曲线旋转面
    在这里插入图片描述实际上,上述等光程面仅对特定的点才有意义,能够成完善像。对一定大小的物体成像时,
    不能对物体上所有的点满足等光程条件,不能成完善像。又由于这些非球面制造困难,所以实际光学系统中很少采用这些等光程面,多用一系列球面组成光学系统。当满足一定条件时,它们能对光轴附近的小物体近似地成完善像。

    展开全文
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    千次阅读 2021-06-14 00:42:41
    光学系统中的几何像差 文章目录光学系统中的几何像差光学几何的基本概念光线、光束衍射、干涉、反射、折射、费马原理色散理想光学系统几何像差球差(Spherical Aberration)慧差(Coma)像散(Astigmatism)场曲(Field ...

    光学系统中的几何像差

    光学几何的基本概念

    光线、光束

    由于光的衍射,想要从光源发出的光能中分离出光线来是不可能的,需要将此复杂的光学成像及光能传播问题简化。根据光的波动理论,由光源上一点发出的电磁波被看作是以波面的形式向四周推进,若光所处的介质为各向同性的均匀介质,则波面向各方向的传播速度相同,不同时刻的波面为一系列以发光点为中心的球面波(Spherical Wave),光能就是沿着波面的法线方向传播的。这里,几何光学中的光线即波动光学中波面的法线,因此我们将波面的法线束称为光束(Light Heam)。无限远处发光点发出的是平面波(Plane Wave),对应于平行光束,有限远处发光点发出的是球面波,对应于同心的发散光束和汇聚光束,统称为同心光束。同心光束经透镜或有缺陷的光学系统以后会失去同心性,此时所对应的波面可能是轴对称或非轴对称的非球面。

    衍射、干涉、反射、折射、费马原理

    衍射(Differaction): 当光传经小孔时,光的衍射现象将明显地表现出来,通过小孔的光除了按原来的直线方向继续传播外,还要向其他方向衍射光能,当波长为0时,才不存在衍射现象

    干涉(Interference): 从光源同一点发出的光经不同途径传播后再相遇于某点时,其合成作用应是电矢量的相加,而不是简单的光强度的相加,其强度可能加强,也可能是减弱的。

    反射(Reflection)、折射(Refraction): 当光传播到两种介质的光滑分界面时,依界面的性质不同,光线返回原介质即为反射,光线进入另一介质即为折射。
    光在不同介质中的传播速度各不相同,在真空中光速最快,以 c c c表示,介质的折射率便是描述光在该介质中的传播速度 v v v减慢程度的物理量,为:
    n = c v ≥ 1 n=\frac{c}{v}≥1 n=vc1
    费马原理从光程的观点来描述光的传播。所谓光程,是光在介质中所经过的几何路程 l l l与该介质折射率 n n n的乘积:
    s = n l s=nl s=nl
    由于 n = c / v , l = v t n=c/v,l=vt n=c/vl=vt,即有:
    s = c t s=ct s=ct
    光程相当于光在介质中走过 l l l这段路程的时间 t t t内,在真空中走过的几何路程。

    费马原理(Fermat’s Principle): 光从一点到另一点是沿光程为极值的路径传播的,即光沿光程为极小、极大、常亮的路径传播,又称极端光程定律。

    色散

    介质的折射率只是对单一波长的光而言,而波长反应了光的一种颜色。实际最长遇见的是白光的成像,白光是各种波长色光的复合光,除真空外,任何透明介质对不同波长的色光具有不同的折射率,随介质不同,折射率随波长而变的程度不同,这种性质称为光的色散(Dispersion),通常的光学介质折射率随波长的变短而增大,尤其是短波长部分,折射率增加得更快,红光的波长长,折射率小,产生较小的偏角,紫光将产生较大的偏角。如果入射于折射棱镜的是白光,由于棱镜对不同色光具有不同折射率,各色光经折射后的折射角将不同,经整个棱镜后的偏角也随之不等,白光经棱镜折射后将分解成各色光而呈现一片按顺序排列的连续光谱(红、橙、黄、绿、青、蓝、紫)。

    色散示意图

    理想光学系统

    所谓理想光学系统就是能对任意宽空间内的点以任意宽的光束成完善像的光学系统。

    共轭点(Conjugate Points): 物空间中一点对应于像空间中唯一的一点,这一对对应点称为共轭点。

    光轴(Optical Axis): 光学仪器中的光学系统由一系列折射和反射表面组成,主要是折射球面,各表面曲率中心均在同一直线上的光学系统为共轴光学系统(Symmetrical Optical System),这条直线为光轴,实际光学系统大部分属于共轴光学系统。

    焦距(Focal Length): 光线从物体所侧照射到薄透镜上,并以平行光束进入透镜,光束被透镜折射,并聚焦到光轴上距离透镜中心 f f f的一个点上。对于非常薄的透镜来说,用 R 1 R_{1} R1表示物体所在一侧透镜的曲率,用 R 2 R_{2} R2表示像所在一侧透镜的曲率,用 n n n表示透镜的折射率,可用下式计算该透镜的焦距:
    1 f = ( n − 1 ) . ( 1 R 1 − 1 R 2 ) \frac{1}{f}=(n-1).(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}) f1=(n1).(R11R21)
    此公式中,当物体所在一侧透镜是凸面时,透镜表面的曲率半径 R 1 R_{1} R1是整数,而当像所在一侧透镜是凸面时,透镜表面的曲率半径 R 2 R_{2} R2是负数。当然,实际的透镜都有一定的厚度,用 d d d来表示透镜的厚度,可将将上述计算公式扩展为:
    1 f = ( n − 1 ) . ( 1 R 1 − 1 R 2 ) + d ( n − 1 ) 2 n R 1 R 2 \frac{1}{f}=(n-1).(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}) + \frac{d(n-1)^{2} }{nR_{1}R_{2}} f1=(n1).(R11R21)+nR1R2d(n1)2
    可以看出,**对于两侧都是凸面的透镜来说,透镜越厚,焦距越长。**另外可以直接计算两个非常薄的透镜所组成的透镜组的组合焦距,用 f 1 f_{1} f1表示第一个透镜的焦距,用 f 2 f_{2} f2表示第二个透镜的焦距,用 a a a表示两个透镜的间距,则组合焦距可以做如下表示:

    1 f = 1 f 1 + 1 f 2 − a f 1 f 2 \frac{1}{f}= \frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}}-\frac{a}{f_{1}f_{2}} f1=f11+f21f1f2a

    单透镜成像示意图

    透镜焦度(Refractive Power): 焦距的倒数体现了透镜的折光能力,称为透镜焦度,一个透镜的焦度大程度上意味着透镜的折射能力强。

    放大率(Magnification):

    横向放大率: 垂直光轴的小物体成像时,像的大小与物的大小之比 β = y ′ y = l ′ − r l − r = n l ′ n ′ l \beta =\frac{{y}' }{y} =\frac{{l}'-r }{l-r}=\frac{n{l}'}{{n}' l} β=yy=lrlr=nlnl

    轴向放大率: 像点与对应物点沿光轴移动量之比 α = d l ′ d l = n l ′ 2 d l ′ 2 = n ′ n β 2 \alpha =\frac{d{l}' }{dl}= \frac{n{l}'^{2} }{d{l}'^{2}}=\frac{{n}' }{n}\beta ^{2} α=dldl=dl2nl2=nnβ2

    角放大率: 折射前后的一对光线与光轴夹角之间的比值 γ = u ′ u = l l ′ = n n ′ β \gamma =\frac{{u}' }{u}=\frac{l}{{l}' }=\frac{n}{{n}'\beta } γ=uu=ll=nβn

    垂直光轴小物体AB被球面成像的情况

    F-Numbber: 聚焦光束张角的一半 θ ′ {\theta}' θ为自变量的镜头参数:
    F = 1 2 s i n θ ′ F=\frac{1}{2sin{\theta}'} F=2sinθ1
    由于与光束的横截面积相关,镜头的亮度(像平面的亮度)与 F F F数的平方成反比,这意味着 F F F数越大,通过镜头的光亮越小,所成的像就越暗。但实际镜头的性能还被其表面对光的反射和内部光学材料对光线的吸收所影响,所以镜头的亮度不能只用 F F F数来表示,很多场合下亮度还可以用 T T T数来表示, T T T数与 F F F数相当,只是额外考虑了成像光学器件的透明度( T T T)。为了提高成像光学器件的透明度,必须抑制光学系统元件表面的反射现象。无论如何,本质上可以认为亮度与有效 F F F数的平方成反比,与光学系统的透明度( T T T)成正比,用 E 0 E_{0} E0表示物体的亮度(照度),则像平面的亮度 E i E_{i} Ei可以表示作如下表示:
    E i = π 4 E 0 T ( 1 ( 1 + β ) F ) 2 E_{i}=\frac{\pi}{4}E_{0}T(\frac{1}{(1+\beta)F })^{2} Ei=4πE0T((1+β)F1)2
    以上为像中心的亮度,像边缘的亮度一般要比这个值低,即边缘衰减效应
    等效透镜(Equivalent Lens): 下图中的第一个透镜是凹透镜,第二个透镜是凸透镜,整体作用等效于只在位置 A A A处放置一个透镜,因此,整个透镜组长度相对于其焦距而言很长,称为逆望远型镜头,经常被应用在广角镜头和紧凑型数码变焦镜头中。

    逆望远型镜头示意图

    下图中的第一个透镜是凸透镜,第二个镜头是凹透镜,整体作用等效于只在位置 B B B处放置一个透镜,这种组合结构使得整个透镜组的长度可能短于焦距,称为望远型镜头,被广泛应用在长焦镜头和紧凑型胶片机的变焦镜头中。

    望远型镜头示意图

    几何像差

    绝大多数实际光学系统的成像是不完善的,像差就是不完善之处的具体表述,几何像差是最直观、最容易同光学系统结构参数建立联系的表述方法。镜头的理想成像,简单来说,应当满足以下几个条件:

    ①点所成像仍为点

    ②平面所成像仍为平面

    ③物体和它的成像形状一样

    镜头不能满足这些条件的原因在于其中存在像差。只有平面反射镜是唯一能对物体成完善像的光学器件,单个球面镜或任意组合的光学系统,只能对近轴物点以细光束成完善像,随着视场合孔径的增大,成像光束的同心性遭到破坏,产生各种成像缺陷,使像的形状与物不再相似,这些成像缺陷可用若干种像差来描述。如果只考虑单色光成像,光学系统可能产生五中性质不同的像差,即球差、慧差、像散、相面弯曲、畸变,统称为单色像差。但是,绝大多数光学系统用白光或者复合光成像,由于色散的存在会使得其中不同的色光有不同的传播光路,由于这种光路差别而引起的像差称为色像差,包括位置色差和倍率色差。

    球差(Spherical Aberration)

    球差是轴上点单色像差,是所有几何像差中最简单也是最基本的像差。光轴上一点发出的同心光束经光学系统各个球面折射后,将不复为同心光束,与光束不同夹角的光线交光轴于不同位置,相对于理想像点的位置有不同程度的偏离,称为球差。

    镜头的球差

    理想无球差镜头

    可以看出,距离光轴越远的入射光线,形成的球差越大,因此可以通过适当减小光圈尺寸来降低球差,此外还可以通过使用更复杂的非球面透镜来最小化球面像差。

    两种简单的球差校正示意图
    球差对成像质量的危害,是在理想像平面上引入了一定尺寸的弥散圆,造成了图像的模糊。

    球差造成图像模糊

    慧差(Coma)

    慧差是一种描述轴外点光束关于主光线失对称的像差,对于单个球面,慧差一方面由球差引起,球差越大,慧差也越大,另一方面,慧差是轴外点成像时产生的一种宽光束像差,与视场角和孔径相关。孔径越大,像空间中由慧差形成的彗星状的弥散斑也越大。

    慧差形成示意图

    光阑孔径大小对慧差的影响

    离光轴越远,越靠近镜头边缘区域,像差越明显。当明亮区域或者高亮点时,明亮区域指向镜头边缘的方向会形成由细变宽的光斑或光晕,一般通过减小光圈尺寸来减小慧差。

    慧差对成像质量的影响示意图

    慧差对成像质量的影响

    像散(Astigmatism)

    像散是点光源被投影成线或椭圆导致的像差,与慧差是比较接近的,但是对光圈孔径大小不敏感,更加依赖于光束的斜角,像差表现为样本点的离轴图像显示为线或椭圆,根据进入透镜的离轴光线的角度,像散图像可以在两个不同方向中的任意一个方向成扩散的弥散斑,受焦点的影响,线的形状像是旋转了90度,例如,垂直线变成了水平线。

    像散示意图

    非对称细光束的聚焦情况:下方为成像所成的弥散斑


    像散对图像质量的影响

    场曲(Field Curvature)

    场曲也称Petzval field curvature,当物体是一个平面时,这种像差会导致焦平面是相切于高斯像面中心点的曲面,即像面弯曲,这是由于光学元件的弯曲特性,透镜以曲面的方式而不是平面的方式投射图像,或者说场曲是指透镜没有将光线完美聚焦在一个平面上,而是聚焦在一个假想的曲面上。但和前面几种像差不同的是,场曲不形成或增大弥散斑,不会从根本上模糊图像,如果像素阵列保持和像面相同的弯曲程度,就能对场景成清晰的像,但是,目前大多数相机的传感器都是平面的,这将会导致像仅在特定部分清晰,而不是整个画面上均匀清晰。常见的场曲有球面场曲和波面场曲,其对应的图像模糊区域的分布特征有所区别。

    球面场曲

    波面场曲

    场曲对成像质量的影响

    由于场曲随着视场的增加而增加,因此减小光圈大小可以降低场曲,另一种方式是在靠近像面的一侧添加一个具有相反场曲的透镜,用以抵消前面透镜存在的场曲。

    畸变(Distortion)

    对于理想光学系统,一对共轭平面上的放大率是常数,但对于实际光学系统,只当视场较小时具有这一性质,当视场较大时,像的放大率随视场而异,这样就会使像相对于物体失去相似性,这种使像变形的像差为畸变。

    畸变产生原因示意图

    可以看出,畸变主要是由轴外像点的放大率与轴上像点的放大率间的差异造成的,如下图所示, C C C表示无畸变的高斯像面,越靠近镜头边缘时,当放大率大于高斯像面的放大率时,为正畸变,呈枕型;当放大率小于高斯像面的放大率时,为负畸变,呈桶型。此外还有胡型畸变,是枕型畸变和桶型畸变的组合。另外,和场曲相似的是,畸变并不从影响透镜成像的清晰度,本身不会对MTF产生影响,并且畸变不能通过减小光圈尺寸来校正。

    枕型畸变、桶型畸变与高斯像面的比较

    桶型畸变

    枕型畸变

    胡型畸变

    畸变对图像质量的影响,依次为:无畸变、桶型畸变、枕型畸变、胡型畸变

    轴向色差(Longitudinal/Axial Chromatic Aberration)

    透镜对于不同的波长的光有不同的焦点,造成不同色光对轴上物点成像位置差异。口径越大的镜头越容易产生这种色差,一般可以通过缩小光圈来减弱轴向色差。

    轴向色差示意图
    而人眼对于G通道更敏感,不管是Bayer域还是YUV域的自动对焦统计信息,G通道的统计信息的影响都更大,一般认为G通道可以正确对焦,从而引起R、B的模糊,造成高光区与底光区交界处出现明显的紫边现象(**Purple Fringing**)

    轴向色差产生伪色

    轴向色差产生紫边

    横向色差(Lateral Chromatic Aberration)

    轴外白光经透镜折射后,不同波长的像高不同,即不同波长的光会聚焦在焦平面上不同的位置,造成R、G、B通道具有不同的像高,产生颜色的错位,当横向色差严重时,会使物体的像带有彩色的边缘。于是,从像的中心看去可以看到点对称的颜色扩散,这种色差并不能通过减小光圈尺寸进行校正,需要通过标定R、B通道相对于G通道的倍率偏移量,对R、B通道进行相应的缩放来实现校正。

    横向色差示意图

    横向色差产生色彩边缘

    衍射的影响(Diffraction)

    光有波动性,对于传统的胶片机中的光学成像器件,其设计仅考虑光的折射和反射,但对于拥有很小像素间距的数码相机而言,必须考虑衍射问题,衍射涉及光线在物体周围弯曲的方式。

    在将光简单看做直线的几何方法中,点状物体用无像差镜头所成的像可以被聚焦成一个点,然而,在波动光学中需要考虑波动性,点状物体所成的像不再聚焦成一个点。例如,给一个圆形小孔和无像差镜头,就能形成一个被一系列暗的同心圆所包围的亮斑,即是艾里斑,而且第一级圆环(一级衍射光)的亮度只有中心亮度的1.75%,虽然它很暗,但的确存在。

    艾里斑示意图

    第一个暗环的半径 r r r由下式给出:
    r = 1.22 λ F r=1.22\lambda F r=1.22λF
    其中 λ \lambda λ为波长, F F F F F F数,1.22由第一类贝塞尔函数导出。

    圆孔半径对衍射的影响

    F数对艾里斑半径的影响示意图

    瑞利将两个点光源图像之间第一暗环之间的距离作为对两个点光源图像分辨能力的标准,就是瑞利极限,和空间频率的倒数相关,这种关系可表示为:
    M T F ( v ) = 2 π . ( c o s − 1 ( λ F v ) ) − λ F v 1 − ( λ F v ) 2 MTF(v)=\frac{2}{\pi}.(cos^{-1}(\lambda Fv)) -\lambda Fv\sqrt{1-(\lambda Fv)^{2} } MTF(v)=π2.(cos1(λFv))λFv1(λFv)2
    其中 v v v为空间频率,下图为具有圆形光圈的理想镜头的 F F F数与氦的 d d d线(587.56nm)单色光的MTF频率特征的关系图。

    F数与MTF关系图

    Summary

    如果只考虑单色光成像,光学系统可能产生五种性质不同的像差,即球差、慧差、像散、场曲、畸变,前三种会形成弥散斑,将从本质上造成成像的模糊,场曲不会形成弥散斑,但由于弯曲的虚拟像面与传感器阵列之间必然存在的不完美契合,在传感器是形成弥散斑,从而造成成像的模拟,畸变始终不造成成像的模糊,只使图像产生扭曲。因此,前4中都会影响镜头的空间分辨率MTF,畸变不对MTF产生影响。

    任何光学介质,对透明波段中不同波长的单色光具有不同 折射率,波长短者折射率大。光学系统多半用白光成像,白光入射于任意形状的介质分界面时,只要入射角不为零,各种色光将因色散而有不同的传播途径,结果导致各种色光有不同的成像位置和不同的成像倍率,形成成像的色差,其中影响轴上物点成像位置差异的色差为轴向色差,影响轴外物体成像倍率的色差Wie横向色差。可以看出,色差会形成弥散斑,将从本质上造成成像的模糊,从而对MTF产生影响。

    另外,球差、轴向色差均是轴上色差,像散、场曲、畸变、横向色差均是轴外像差。

    Reference

    [1]:望远镜中像差产生过程的几何原理

    [2]:像差像素过程的动画演示

    [3]:镜头像差总结

    [4]:镜头像差总结

    [5]:一些镜头成像的常见现象示意

    [6]:《Geometric Optics, Aberrations and Optical Design》

    [7]:《Image Sensors and Signal Processing For Digital Still Cameras》

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空空如也

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