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  • - 问:什么情况下需要从单应性矩阵恢复两个相机之间的姿态参数R和T呢?- 答:相机发生纯旋转或特征点面Multiple View Geometry in Computer Vision(2nd) P36- H矩阵表示两幅图像之间的映射关系 - 问: 怎么求 ? //...

    - 问:什么情况下需要从单应性矩阵恢复两个相机之间的姿态参数R和T呢?

    - 答:相机发生纯旋转或特征点共面

    87544b2371af16845b449f4266129728.png
    Multiple View Geometry in Computer Vision(2nd) P36

    - H矩阵表示两幅图像之间的映射关系

    equation?tex=+x%27+%3D+Hx+%5C%5C++s+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+x%5E%7B%27%7D+%5C%5C+y%5E%7B%27%7D+%5C%5C+1+%5Cend%7Bbmatrix%7D+%3D+H+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+x+%5C%5C+y+%5C%5C+1+%5Cend%7Bbmatrix%7D+%3D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+h_%7B11%7D+%26+h_%7B12%7D+%26+h_%7B13%7D+%5C%5C+h_%7B21%7D+%26+h_%7B22%7D+%26+h_%7B23%7D+%5C%5C+h_%7B31%7D+%26+h_%7B32%7D+%26+h_%7B33%7D+%5Cend%7Bbmatrix%7D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+x+%5C%5C+y+%5C%5C+1+%5Ctag%7B1%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D++

    - 问: 怎么求

    equation?tex=H
    	// Estimate homography between two planes
    	cv::Mat H, inliers;
    	H = cv::findHomography(pointframe1, pointframe2, cv::RANSAC, 3.0, inliers);

    -

    equation?tex=H 矩阵包含什么内容?
    • 相似变换
      equation?tex=H_s : 旋转、平移、缩放
    • 仿射变换
      equation?tex=H_a
    • 射影变换
      equation?tex=H_p
    • equation?tex=H+%3D+H_s+H_a+H_p
    • equation?tex=H 矩阵为
      equation?tex=3+%5Ctimes+3 矩阵,8个自由度

    -

    equation?tex=H 矩阵分解的方法有哪些呢?
    • Faugeras SVD-based decomposition(orb_slam)
    • Zhang SVD-based decomposition
    • Analytical decomposition(opencv)

    - 详解 Faugeras SVD-based decomposition 如何 ?

    • 结果:共8组可能的解
      equation?tex=%28R%2C+T%29 ,选出3D点在相机前方最多的解为最优解

    - 问: 为什么是8组?

    • 假设已知约束条件
    • 条件一:
      equation?tex=d_1%5Cge+d_2%5Cge+d_3
    • 条件二:
      equation?tex=%5CSigma_%7Bi%3D1%7D%5E3+x_i%5E2%3D1

    根据上述已知条件求解如下的线性方程组,使其有非零解

    equation?tex=+%5Cbegin%7Bcases%7D+%28d%27%5E2-d_2%5E2%29x_1%5E2%2B%28d%27%5E2-d_1%5E2%29x_2%5E2%3D0%5C%5C+%28d%27%5E2-d_3%5E2%29x_2%5E2%2B%28d%27%5E2-d_2%5E2%29x_3%5E2%3D0%5C%5C+%28d%27%5E2-d_1%5E2%29x_3%5E2%2B%28d%27%5E2-d_3%5E2%29x_1%5E2%3D0+%5Ctag%7B2%7D%5Cend%7Bcases%7D+

    那么该线性方程组的行列式必须为0,即:

    equation?tex=%28d%27%5E2-d_1%5E2%29%28d%27%5E2-d_2%5E2%29%28d%27%5E2-d_3%5E2%29%3D0%5Ctag%7B3%7D

    那么我们逐个分析

    equation?tex=d%27 的取值
    • equation?tex=%5Cquad+d%27%3D%5Cpm+d_1
    • 唯一解为:
      equation?tex=x_1+%3D+x_2+%3D+x_3+%3D0
    • 不满足
      equation?tex=%5CSigma_%7Bi%3D1%7D%5E3+x_i%5E2%3D1
    • equation?tex=%5Cquad+d%27%3D%5Cpm+d_3
    • 唯一解为:
      equation?tex=x_1+%3D+x_2+%3D+x_3+%3D0
    • 不满足
      equation?tex=%5CSigma_%7Bi%3D1%7D%5E3+x_i%5E2%3D1
    • equation?tex=%5Cquad+d%27%3D%5Cpm+d_2
      equation?tex=d_1+%5Cneq+d_3
    • 有4组解:

    equation?tex=+%5Cbegin%7Baligned%7D+%5Cbegin%7Bcases%7D+x_1%3D%7B%5Cvarepsilon+_1%7D%5Csqrt+%7B%5Cfrac%7B%7Bd_1%5E2+-+d_2%5E2%7D%7D%7B%7Bd_1%5E2+-+d_3%5E2%7D%7D%7D%5C%5C+x_2%3D0%5C%5C+x_3%3D%7B%5Cvarepsilon+_3%7D%5Csqrt+%7B%5Cfrac%7B%7Bd_2%5E2+-+d_3%5E2%7D%7D%7B%7Bd_1%5E1+-+d_3%5E2%7D%7D%7D+%5Cend%7Bcases%7D+%26%26+%5Cvarepsilon+_1%2C%5Cvarepsilon+_3%3D%5Cpm1++%5Cend%7Baligned%7D%5Ctag%7B4%7D

    那么,如果我再告诉你平移向量的公式:

    • equation?tex=d%27+%3E+0

    equation?tex=+%5Cmathbf+t%27%3D%28d_1-d_3%29%5Cbegin%7Bpmatrix%7Dx_1%5C%5C0%5C%5C+-x_3%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Ctag%7B5%7D
    • equation?tex=d%27+%3C+0

    equation?tex=+%5Cmathbf+t%27%3D%28d_1%2Bd_3%29%5Cbegin%7Bpmatrix%7Dx_1%5C%5C0%5C%5Cx_3%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Ctag%7B6%7D

    可以看出每种情况,平移向量都和每组解有联系,因此就变成了2 * 4 = 8 组解

    旋转矩阵的计算公式也是类似:

    • equation?tex=d+%3E+0

    equation?tex=R%27%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+%7B%5Ccos+%5Ctheta+%7D%260%26%7B+-+%5Csin+%5Ctheta+%7D%5C%5C+0%261%260%5C%5C+%7B%5Csin+%5Ctheta+%7D%260%26%7B%5Ccos+%5Ctheta+%7D+%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Ctag%7B7%7D+

    equation?tex=+%5Cbegin%7Bcases%7D+%5Csin+%5Ctheta++%3D+%5Cfrac%7Bd_1-d_3%7D%7B%7B%7Bd_2%7D%7D%7D%7Bx_1%7D%7Bx_3%7D+%3D+%7B%5Cvarepsilon+_1%7D%7B%5Cvarepsilon+_3%7D%5Cfrac%7B%7B%5Csqrt+%7B%5Cleft%28+%7Bd_1%5E2+-+d_2%5E2%7D+%5Cright%29%5Cleft%28+%7Bd_2%5E2+-+d_3%5E2%7D+%5Cright%29%7D+%7D%7D%7B%7B%5Cleft%28+%7B%7Bd_1%7D+-+%7Bd_3%7D%7D+%5Cright%29%7Bd_2%7D%7D%7D%5C%5C+%5Ccos+%5Ctheta++%3D+%5Cfrac%7B%7B%7Bd_1%7Dx_3%5E2+-+%7Bd_3%7Dx_1%5E2%7D%7D%7B%7B%7Bd_2%7D%7D%7D+%3D+%5Cfrac%7B%7Bd_2%5E2+%2B+%7Bd_1%7D%7Bd_3%7D%7D%7D%7B%7B%5Cleft%28+%7B%7Bd_1%7D+%2B+%7Bd_3%7D%7D+%5Cright%29%7Bd_2%7D%7D%7D+%5Cend%7Bcases%7D%5Ctag%7B8%7D
    • equation?tex=d%27+%3C+0

    equation?tex=+R%27%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+%7B%5Ccos+%5Ctheta+%7D%260%26%7B%5Csin+%5Ctheta+%7D%5C%5C+0%26-1%260%5C%5C+%7B%5Csin+%5Ctheta+%7D%260%26%7B-%5Ccos+%5Ctheta+%7D+%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Ctag%7B9%7D

    equation?tex=+%5Cbegin%7Bcases%7D+%5Csin+%5Ctheta++%3D%5Cfrac%7Bd_1%2Bd_3%7D%7Bd_2%7D%7B%7Bx_1%7D%7Bx_3%7D%7D+%3D+%7B%5Cvarepsilon+_1%7D%7B%5Cvarepsilon+_3%7D%5Cfrac%7B%7B%5Csqrt+%7B%5Cleft%28+%7Bd_1%5E2+-+d_2%5E2%7D+%5Cright%29%5Cleft%28+%7Bd_2%5E2+-+d_3%5E2%7D+%5Cright%29%7D+%7D%7D%7B%7B%5Cleft%28+%7B%7Bd_1%7D+-+%7Bd_3%7D%7D+%5Cright%29%7Bd_2%7D%7D%7D%5C%5C+%5Ccos+%5Ctheta++%3D+%5Cfrac%7B%7B%7Bd_3%7Dx_1%5E2+-+%7Bd_1%7Dx_3%5E2%7D%7D%7B%7B%7Bd_2%7D%7D%7D+%3D+%5Cfrac%7B%7B%7Bd_1%7D%7Bd_3%7D-d_2%5E2%7D%7D%7B%7B%5Cleft%28+%7B%7Bd_1%7D+-+%7Bd_3%7D%7D+%5Cright%29%7Bd_2%7D%7D%7D+%5Cend%7Bcases%7D%5Ctag%7B10%7D+

    - 再解释已知约束条件的由来

    • 对单应矩阵
      equation?tex=H 进行
      equation?tex=SVD 分解,有
      equation?tex=A%3DU%5CLambda+V%5ET
    • 根据
      equation?tex=SVD 分解
      equation?tex=+%5CLambda+%3D+diag%28d_1%2Cd_2%2Cd_3%29 ,所以有
      equation?tex=d_1%5Cge+d_2%5Cge+d_3
    • equation?tex=+%5Cmathbf+n%27%3D%28x_1%2Cx_2%2Cx_3%29 为单位法向量,因此:
      equation?tex=%5CSigma_%7Bi%3D1%7D%5E3+x_i%5E2%3D1

    - 上述内容中的

    equation?tex=%5Cmathbf+n%27%2C%5Cmathbf+t%27%2C%5Cmathbf+R%27%2C+d%27 又是从哪里来?

    equation?tex=+%5Cbegin%7Baligned%7D+%26+H%3DU%5CLambda+V%5ET+%5C%5C+%26+%5CLambda%3DU%5ETAV%3DdU%5ETRV%2B%28U%5ET%5Cmathbf+t%29%28V%5ET%5Cmathbf+n%29%5ET+%5C%5C+%26+%5Cbegin%7Bcases%7D+%26+R%27%3DsU%5ETRV%5C%5C+%26+%5Cmathbf+t%27%3DU%5ET%5Cmathbf+t%5C%5C+%26+%5Cmathbf+n%27%3DV%5ET%5Cmathbf+n%5C%5C+%26+d%27%3Dsd%5C%5C+%26+s%3DdetUdetV+%5Cend%7Bcases%7D+%5Cend%7Baligned%7D%5Ctag%7B11%7D

    - 上述内容中的

    equation?tex=%5Cmathbf+n%27%2C%5Cmathbf+t%27%2C%5Cmathbf+R%27%2C+d%27 又是从哪里来?

    equation?tex=+H%3DdR%2B%5Cmathbf+t+%5Cmathbf+n%5ET+%5Ctag%7B12%7D

    - 各变量的含义呢?

    • equation?tex=%5Cmathbf+n 表示特征点所在平面法向量
    • equation?tex=%5Cmathbf+t 表示两幅图像之间的平移向量
    • equation?tex=%5Cmathbf+R 表示两幅图像之间的旋转矩阵
    • equation?tex=d 表示坐标原点到平面的距离

    参考文献:

    Faugeras SVD-based: Motion and structure from motion in a piecewise planar environment

    Zhang SVD-based:3D Reconstruction Based on Homography Mapping

    Analytical decomposition: Deeper understanding of the homography decomposition for vision-based control

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  • 回答了17个问题采纳率:94.1%一般翻译为“主元”,在对矩阵做某种算法时,首先进行的部分元素.在线性规划的单纯形法中常见.wiki的解释如下:Pivot element(the first element distinct from zero in a matrix in ...

    共回答了17个问题采纳率:94.1%

    一般翻译为“主元”,在对矩阵做某种算法时,首先进行的部分元素.在线性规划的单纯形法中常见.

    wiki的解释如下:

    Pivot element

    (the first element distinct from zero in a matrix in echelon form)

    The pivot or pivot element is the element of a matrix,which is selected first by an algorithm (e.g.Gaussian elimination,Quicksort,Simplex algorithm),to do certain calculations with the matrix.

    The above mentioned matrix algorithms require an entry distinct from zero in pivot position to work properly or at all respectively.Depending on the algorithm either one (random) element distinct from zero or the element with the greatest absolute value in a row or column is chosen.This is called pivotization.The row containing the pivot element is called pivot row,the pivot element's column is called pivot column.

    Pivot element in Quicksort means the element that is selected as boundary for partitioning.Quicksort sorts all elements „left“ and „right“ of the pivot element recursively.

    1年前

    1

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  • python 共现矩阵构建

    千次阅读 热门讨论 2019-04-26 19:44:02
    1.什么矩阵矩阵矩阵能表明两个词之间的关系程度 2.构建过程: 数据准备: 假设有10篇文本,我们将从这10篇文本中,提取每一篇的分词结果,并存入Single_text_list中。再将由10篇文章的关键词列表...

    1.什么是共现矩阵:
    共现矩阵:也成为共词矩阵,能表明两个词之间的关系程度

    2.构建过程:
    数据准备:
    假设有10篇文本,我们将从这10篇文本中,提取每一篇的分词结果,并存入Single_text_list中。再将由10篇文章的关键词列表合为一个列表Full_text_list,

    Full_text_list=[ [文章1切词结果],[文章2切词结果] ...]
    

    构建:
    1.对每篇文章作词频统计,选出其排名前100的词及词频(或者全部词频统计结果)
    2.对词频统计结果求并集,结果存入一个字典中,keys()为词,values()为每个词的词频。再将所有特征词存入Full_Feature_word列表中,其对应的词频存入Full_Feature_weight列表中。
    3.建一个二维矩阵Common_matrix其大小为: 总特征词词数x总特征词词数 (也就是共词矩阵)。其横竖分别对应总特征词中的每个词,例如矩阵第3行第5列的数值即代表,特征词第3个与特征词第5个的关系程度,同时它的值也等于该矩阵第5行第3列的值。(对,没错,它也是一个对角矩阵)
    4.将共词矩阵对角线上元素赋值为它自身在所有文章出现次数。
    5.循环遍历特征词列表,构建全部两个词之间的组合,再遍历每一篇文章的切词结果,如果该两个词在同一片文章中出现,则该两词的权重+1,再将其存入共词矩阵的对应位置中。例如特征词第6个和特征词第8个,这两个词的权重为3,则将其权重3存入共词矩阵的第6行第8列和第8行第6列中。

    3.重要功能:
    在构建好共词矩阵后,我们需要能够获取 总特征词特征词所对应的共词矩阵。有了这些,我们还希望能够获取一个词与所有特征词的关系列表

    4.python代码
    在这里我构建了一个共词矩阵的类,该类接收 Full_text_list=[ [文章1切词结果],[文章2切词结果] …]参数(即每篇文章分词而得到的矩阵),该类可以返回特征词列表,共词矩阵,并定义了一个方法:参数为一个词,方法返回 该词对应的共词矩阵的那一行

    import os
    import jieba
    import collections
    import numpy as np
    from collections import Counter
    
    class Coword_matrix(object):    #定义了一个共词矩阵的类  初始化参数(切词后的嵌套列表 [[文章1切词结果],[文章2切词结果]...])
        def __init__(self,Fulltext_cut_content):    #传入切词后的嵌套列表,可以得到self.Fulltext_cut_content,self.Full_Feature_word, self.Common_matrix
            # self.Fulltext_cut_content_str = [" ".join(i) for i in self.Fulltext_cut_content]    也可以将列表转化为字符串,使后面对全文本的遍历更快,for...in... 遍历str比遍历list更快!
            self.Fulltext_cut_content=Fulltext_cut_content
            Full_familiar_Feature = {}  # 储存特征和权重,为dict格式
            for Single_text_feature_list in Fulltext_cut_content:
                Single_text_feature_sort_dict = collections.Counter(Single_text_feature_list)  # 词频统计
                Single_text_feature_sort_result = Single_text_feature_sort_dict.most_common(100)  # 选出词频统计排名前100的,请按需选择,无参表示全部排序结果,会运行比较长的时间
                Full_familiar_Feature = dict(Counter(dict(Single_text_feature_sort_result))+Counter(dict(Full_familiar_Feature)))  # 化为Counter后 作并集,再将结果化为dict
            self.Full_Feature_word,self.Full_Feature_weight= list(Full_familiar_Feature.keys()), list(Full_familiar_Feature.values())
    
            self.Common_matrix = np.empty((len(self.Full_Feature_word), len(self.Full_Feature_word)))  # 构建共词矩阵,大小为[词数]x[词数]
            for row in range(len(self.Full_Feature_word)):  # 将共词矩阵 对角线上元素=它自身在所有文章出现次数
                for column in range(len(self.Full_Feature_word)):
                    if column == row:
                        self.Common_matrix[row][column] = int(self.Full_Feature_weight[row])
            for i in range(len(self.Full_Feature_word)):  # i的范围为 1 到 词数
                for n in range(1, len(self.Full_Feature_word) - i):  # n的范围为 1到(词数-i)   i+n的范围为 i 到 词数
                    word1 = self.Full_Feature_word[i]
                    word2 = self.Full_Feature_word[i + n]
                    Common_weight = 0
                    for Single_Text_Cut in self.Fulltext_cut_content:  
                    #遍历每一篇文章的切词结果,如果word1和word2在同一片文章中出现,则该两词的权重+1
                    #也可以将Fulltext_cut_content化为字符串后进行遍历,这样更快!
                    #如果希望统计word1和word2在同一片文章中出现的最小次数,则可以使用 str.count(),或者 list.Counter分别计算次数,再取最小值 赋予权重
                        if ((word1 in Single_Text_Cut) and (word2 in Single_Text_Cut)):
                            Common_weight += 1
                    self.Common_matrix[i][i + n] = Common_weight    #该矩阵为对角矩阵
                    self.Common_matrix[i + n][i] = Common_weight
    
        def get_Full_Feature_word(self):    #返回特征词列表
            return self.Full_Feature_word
    
        def get_Common_matrix(self):    #返回共词矩阵
            return self.Common_matrix
    
        def return_word_row(self,word):    #定义一个方法 参数为一个词,函数返回 该词对应的共词矩阵的那一行
            if word not in self.Full_Feature_word:
                print(word + "   该词不在特征词中!")
            else:
                for row in range(len(self.Full_Feature_word)):
                    if word == self.Full_Feature_word[row]:
                        return self.Common_matrix[row]
    '''
    self.Fulltext_cut_content   初始化参数(切词后的嵌套列表 [[文章1切词结果],[文章2切词结果]...])
    Full_familiar_Feature = {}  # 储存特征和权重,为dict格式
    self.Full_Feature_word  特征词列表
    self.Common_matrix 共词矩阵
    '''
    

    如何对初始文本进行处理,转化为Full_text_list=[ [文章1切词结果],[文章2切词结果] …],其python代码如下:

    def delstopwordslist(classsstr):    #去停用词
        stopwords = [line.strip() for line in open('stop.txt', encoding='UTF-8').readlines()]    #注意停用词文本名称和所在位置
        outstr = ''
        classsstr=classsstr.split(' ')
        for word in classsstr:
            if ((word not in stopwords) and (len(word)>1)):    #去掉停用词和长度小于1的
                outstr += word
                outstr += ' '
        return outstr
    
    def Read_Full_Cut_List(path="测试文本"):
        filenames=os.listdir(path)
        Fulltext_cut_content = []
        for i in filenames:
            Single_text_content = ''
            with open(path+'/'+i,"r",encoding='UTF-8') as f:
                for centence in f.readlines():
                    centence = centence.strip().replace(' ', '').replace(' ', '')
                    Single_text_content += centence
                text = ' '.join(jieba.cut(Single_text_content))    #分词
            Fulltext_cut_content.append(delstopwordslist(text).split())    #去停用词和长度小于1的
        return Fulltext_cut_content    #每篇文章的分词结果str,再apend到一个Fulltext_cut_content中
    

    测试文本格式如下:
    在这里插入图片描述
    测试代码:

    if __name__=="__main__":
        Fulltext_cut_content=Read_Full_Cut_List("测试文本")
        Coword_one=Coword_matrix(Fulltext_cut_content)	#对该类传入初始化参数
        print('=========================特征词===========================')
        print(Coword_one.get_Full_Feature_word())
        print('========================共词矩阵===========================')
        print(Coword_one.get_Common_matrix())
        print('===============“娱乐”词与所有特征词的关系程度===============')
        print(Coword_one.return_word_row("娱乐"))
    

    结果:
    在这里插入图片描述
    以上,如果有什么不清楚的地方,可以在评论区说明,将上面代码组合一下,是可以跑通的,可以试一试。

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  • 如何用编程语言实现矩阵乘法?设A为m×n的矩阵,B为n×t的矩阵,那么称m×t的矩阵C为矩阵A与...示例中14=2×1+3×4(两次乘法)。乘积结果C每个元素的时间复杂度为O(n),元素个数为m×t。因此,总的时间复杂度为O(m...

    4e643a91510d88480eb3d6c198dae4a5.png

    如何用编程语言实现矩阵乘法?

    设A为m×n的矩阵,B为n×t的矩阵,那么称m×t的矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积,记为C=AB,其中矩阵C的第i行第j列的元素可以表示为:

    819c3b72ef080adf8dcb2ca2fcc49672.png
    图源 百度百科:矩阵乘法

    示例:

    c7a58f0085c3e335767b6a201b61b1c3.png

    根据矩阵乘法规则,每得到矩阵C的一个元素,需要将n次乘法的结果相加。

    示例中14=2×1+3×4(共两次乘法)。

    c81309ee67cc467bb7e9b9a7f97dfb96.png

    乘积结果C每个元素的时间复杂度为O(n),元素个数为m×t。

    因此,总的时间复杂度为O(m×n×t),即为O(

    )级。

    C语言实现如下:

    #include<stdio.h>
    
    int main()
    {
    	int a[3][2] = {2,3,4,5,3,5};
    	int b[2][3] = { 1,2,3,4,5,6 };
    	int c[3][3];
    	for (int i = 0; i < 3; i++)
    	{
    		for (int j = 0; j < 3; j++)
    		{
    			c[i][j] = 0;
    			for (int k = 0; k < 2; k++)
    				c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
    		}
    	}
    
    	printf("矩阵1与矩阵2相乘的结果为:n");
    	for (int i = 0; i < 3; i++)
    	{
    		for (int j = 0; j < 3; j++)
    		{
    			printf("%dt", c[i][j]);	
    		}
    		printf("n");
    	}
    	return 0;
    }

    测试结果为

    9733f880704776a10e67f57ffcd23b92.png

    测试结果正确,程序中共三层循环,时间复杂度为O(

    )。

    Bingo!

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空空如也

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