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  • 什么矩阵

    千次阅读 2019-03-19 16:55:24
    什么矩阵 矩阵,在数学上,矩阵是指纵横排列的二维数据表格,最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。矩阵是高等代数学中的常见工具,也常见于统计分析等应用数学学科中。 长这个样子: 失量也可以转为矩阵,...

    什么是矩阵

    矩阵,在数学上,矩阵是指纵横排列的二维数据表格,最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。矩阵是高等代数学中的常见工具,也常见于统计分析等应用数学学科中。
    长这个样子:
    在这里插入图片描述
    矢量也可以转为矩阵,可以看成nX1的行矩阵,或1Xn的矩阵。
    矩阵列的运行比较复杂,下面就来一一探讨。

    矩阵和标量的乘法

    直接标量与各个分量相乘即可,不多废话了…同时kM=Mk即,谁在哪边都一样。

    矩阵与矩阵的乘法

    它会得到一个新的矩阵,而且维度与这两个矩阵有关系。
    如A为4X3矩阵,B为3X6矩阵那么 AB维度就是4X6。
    左矩阵的列数必须与右矩阵的行数想同,否则不能相乘。
    矩阵不满足交换律:AB!=BA
    满足结合律:(AB)C=A(BC) 甚至可以扩展至 ABCDE=((A(BC))D)E=(AB)(CD)E

    方阵

    方块矩阵,即行列数相同的矩阵。有一些运算和性质是只有方阵有具有,如对角元素
    对角矩阵:
    在这里插入图片描述
    单位矩阵(I):
    单位矩阵乘完还等于原本的矩阵,设I为转:
    MI=IM=M
    在这里插入图片描述

    转置矩阵(Mt)

    对原矩阵的一种运算,即行变列,列变行。可以记作Mt
    在这里插入图片描述
    性制一:转两次就转回来了:
    (Mt)t=M
    性制二:矩阵串接转置,等于反射串接各矩阵
    (AB)t=BtAt

    逆矩阵(M-1)

    这应该是这里最复杂的一种操作了。不是所有矩阵都有逆矩阵,它必须是一个方阵。
    给定M-1来表示。最重要的特性就是M和M-1相乘会得到一个单位矩阵。也就是说:
    MM-1=M-1M=I

    并非所有有对应的逆矩阵,如果一个矩阵有对应的逆矩阵则这个矩阵称为是可逆的,否则称为不可逆的。
    如果一个矩阵行列式不为0,那么它就是可逆的。

    性质一:逆矩阵的逆矩阵就是它本身
    (M-1)-1=M

    性质二:单位矩阵的逆矩阵就是它本身
    I-1=I

    性制三:转置矩阵的逆矩阵是逆矩阵的转置
    (Mt)-1=(M1)t

    性质四:矩阵串接相乘后的逆矩阵等于反向串接各个矩阵的逆矩阵
    (ABCD)-1=D-1C-1B-1A-1

    性质五:允许我们还原这个变换
    M-1(Mv)=(M-1M)v=Iv=v

    正交矩阵

    方正M和它的转置矩阵乘积为单位矩阵的话,它就是一个正交矩阵,即:
    MMt=MtM=I

    正交矩阵的逆矩阵和转置矩阵是一样的
    Mt=M-1

    三维变换中我们经常会需要作用逆矩阵来求解反射的变换。而逆矩阵的求解往往计算量很大,但转置矩阵就非常容易。

    在这里插入图片描述
    矩阵的每一行,即c1、c2、c3的是单位矢量,由于其相互垂直只有与自己点乘才能得到1,其他为0.

    矩阵与矢量相乘

    我们需要把矢量先转成行矩阵或是列矩阵,但要满足矩阵相乘的条件。通常我们使用右乘。

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  • 矩阵的逆矩阵 和 转置矩阵

    万次阅读 2019-06-17 13:59:25
    这几天用到了逆矩阵,就在这里总结一下逆矩阵和转置矩阵。 逆矩阵矩阵就是一个矩阵的逆向。比如一个点乘以一个矩阵后得到了一个新的点的位置,如果想通过这个点再获得矩阵转换前的位置,那我们就需要乘以这个矩阵...

    这几天用到了逆矩阵,就在这里总结一下逆矩阵和转置矩阵。

    逆矩阵

    逆矩阵就是一个矩阵的逆向。比如一个点乘以一个矩阵后得到了一个新的点的位置,如果想通过这个点再获得矩阵转换前的位置,那我们就需要乘以这个矩阵的逆矩阵。
    在Three.js里面,我们可以通过new THREE.Matrix4().getInverse(matrix4)方法来获得一个矩阵的逆矩阵。

    具有的性质:
    可逆矩阵一定是方阵。
    如果矩阵是可逆的,那它的逆矩阵具有唯一性。
    矩阵A的逆矩阵的逆矩阵,等于它自身。

    Three.js获得一个矩阵的逆矩阵:

    var m = `new THREE.Matrix4().getInverse(matrix4);
    

    Three.js求逆矩阵源码:

    		getInverse: function ( m, throwOnDegenerate ) {
    
    			// based on http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/matrix/functions/inverse/fourD/index.htm
    			var te = this.elements,
    				me = m.elements,
    
    				n11 = me[ 0 ], n21 = me[ 1 ], n31 = me[ 2 ], n41 = me[ 3 ],
    				n12 = me[ 4 ], n22 = me[ 5 ], n32 = me[ 6 ], n42 = me[ 7 ],
    				n13 = me[ 8 ], n23 = me[ 9 ], n33 = me[ 10 ], n43 = me[ 11 ],
    				n14 = me[ 12 ], n24 = me[ 13 ], n34 = me[ 14 ], n44 = me[ 15 ],
    
    				t11 = n23 * n34 * n42 - n24 * n33 * n42 + n24 * n32 * n43 - n22 * n34 * n43 - n23 * n32 * n44 + n22 * n33 * n44,
    				t12 = n14 * n33 * n42 - n13 * n34 * n42 - n14 * n32 * n43 + n12 * n34 * n43 + n13 * n32 * n44 - n12 * n33 * n44,
    				t13 = n13 * n24 * n42 - n14 * n23 * n42 + n14 * n22 * n43 - n12 * n24 * n43 - n13 * n22 * n44 + n12 * n23 * n44,
    				t14 = n14 * n23 * n32 - n13 * n24 * n32 - n14 * n22 * n33 + n12 * n24 * n33 + n13 * n22 * n34 - n12 * n23 * n34;
    
    			var det = n11 * t11 + n21 * t12 + n31 * t13 + n41 * t14;
    
    			if ( det === 0 ) {
    
    				var msg = "THREE.Matrix4: .getInverse() can't invert matrix, determinant is 0";
    
    				if ( throwOnDegenerate === true ) {
    
    					throw new Error( msg );
    
    				} else {
    
    					console.warn( msg );
    
    				}
    
    				return this.identity();
    
    			}
    
    			var detInv = 1 / det;
    
    			te[ 0 ] = t11 * detInv;
    			te[ 1 ] = ( n24 * n33 * n41 - n23 * n34 * n41 - n24 * n31 * n43 + n21 * n34 * n43 + n23 * n31 * n44 - n21 * n33 * n44 ) * detInv;
    			te[ 2 ] = ( n22 * n34 * n41 - n24 * n32 * n41 + n24 * n31 * n42 - n21 * n34 * n42 - n22 * n31 * n44 + n21 * n32 * n44 ) * detInv;
    			te[ 3 ] = ( n23 * n32 * n41 - n22 * n33 * n41 - n23 * n31 * n42 + n21 * n33 * n42 + n22 * n31 * n43 - n21 * n32 * n43 ) * detInv;
    
    			te[ 4 ] = t12 * detInv;
    			te[ 5 ] = ( n13 * n34 * n41 - n14 * n33 * n41 + n14 * n31 * n43 - n11 * n34 * n43 - n13 * n31 * n44 + n11 * n33 * n44 ) * detInv;
    			te[ 6 ] = ( n14 * n32 * n41 - n12 * n34 * n41 - n14 * n31 * n42 + n11 * n34 * n42 + n12 * n31 * n44 - n11 * n32 * n44 ) * detInv;
    			te[ 7 ] = ( n12 * n33 * n41 - n13 * n32 * n41 + n13 * n31 * n42 - n11 * n33 * n42 - n12 * n31 * n43 + n11 * n32 * n43 ) * detInv;
    
    			te[ 8 ] = t13 * detInv;
    			te[ 9 ] = ( n14 * n23 * n41 - n13 * n24 * n41 - n14 * n21 * n43 + n11 * n24 * n43 + n13 * n21 * n44 - n11 * n23 * n44 ) * detInv;
    			te[ 10 ] = ( n12 * n24 * n41 - n14 * n22 * n41 + n14 * n21 * n42 - n11 * n24 * n42 - n12 * n21 * n44 + n11 * n22 * n44 ) * detInv;
    			te[ 11 ] = ( n13 * n22 * n41 - n12 * n23 * n41 - n13 * n21 * n42 + n11 * n23 * n42 + n12 * n21 * n43 - n11 * n22 * n43 ) * detInv;
    
    			te[ 12 ] = t14 * detInv;
    			te[ 13 ] = ( n13 * n24 * n31 - n14 * n23 * n31 + n14 * n21 * n33 - n11 * n24 * n33 - n13 * n21 * n34 + n11 * n23 * n34 ) * detInv;
    			te[ 14 ] = ( n14 * n22 * n31 - n12 * n24 * n31 - n14 * n21 * n32 + n11 * n24 * n32 + n12 * n21 * n34 - n11 * n22 * n34 ) * detInv;
    			te[ 15 ] = ( n12 * n23 * n31 - n13 * n22 * n31 + n13 * n21 * n32 - n11 * n23 * n32 - n12 * n21 * n33 + n11 * n22 * n33 ) * detInv;
    
    			return this;
    
    		}
    

    转置矩阵

    说到转置矩阵,这里就要说一下矩阵的排列。矩阵的排列有两种方式:行优先和列优先。而转置矩阵其实就是行优先和列优先之间的切换。
    两种方式在数学上没有什么不同,大多数人都习惯上使用行优先。在Three.js中,我们需要通过行优先设置,而在存储中,则使用列优先存储数据到elements。
    设置矩阵时使用行优先:

    var m = new Matrix4();
    
    m.set( 11, 12, 13, 14,
           21, 22, 23, 24,
           31, 32, 33, 34,
           41, 42, 43, 44 );
    

    元素数组elements将存储为:

    m.elements = [ 11, 21, 31, 41,
                   12, 22, 32, 42,
                   13, 23, 33, 43,
                   14, 24, 34, 44 ];
    

    在Three.js中,我们可以同过transpose()方法,将矩阵转置:

    matrix.transpose();
    

    Three.js的转置源码:

    	transpose: function () {
    
    		var te = this.elements;
    		var tmp;
    
    		tmp = te[ 1 ]; te[ 1 ] = te[ 4 ]; te[ 4 ] = tmp;
    		tmp = te[ 2 ]; te[ 2 ] = te[ 8 ]; te[ 8 ] = tmp;
    		tmp = te[ 6 ]; te[ 6 ] = te[ 9 ]; te[ 9 ] = tmp;
    
    		tmp = te[ 3 ]; te[ 3 ] = te[ 12 ]; te[ 12 ] = tmp;
    		tmp = te[ 7 ]; te[ 7 ] = te[ 13 ]; te[ 13 ] = tmp;
    		tmp = te[ 11 ]; te[ 11 ] = te[ 14 ]; te[ 14 ] = tmp;
    
    		return this;
    
    	},
    
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  • 什么是奇异矩阵与非奇异矩阵

    千次阅读 2020-12-29 23:48:37
    奇异矩阵是线性代数的概念,就是对应的行列式等于0的矩阵,反之则为非奇异矩阵。 首先,看这个矩阵是不是方阵(即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等,那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵)。 然后,再看此矩阵...

    奇异矩阵是线性代数的概念,就是对应的行列式等于0的矩阵,反之则为非奇异矩阵

    首先,看这个矩阵是不是方阵(即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等,那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵)。

    然后,再看此矩阵的行列式|A|是否等于0,若等于0,称矩阵A为奇异矩阵;若不等于0,称矩阵A为非奇异矩阵。

    同时,由|A|≠0可知矩阵A可逆,这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵,非奇异矩阵也是可逆矩阵。 如果A为奇异矩阵,则AX=0有无穷解,AX=b有无穷解或者无解。如果A为非奇异矩阵,则AX=0有且只有唯一零解,AX=b有唯一解。

    扩展资料:

    对一个 n 行 n 列的非零矩阵A,如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E( E是单位矩阵),则称 A 是可逆的,也称 A 为非奇异矩阵,此时A和B互为逆矩阵。

    一个方阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。一个方阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

    将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ,矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。

    奇异值分解(SVD)

    展开全文
  • 矩阵转置与矩阵相乘

    万次阅读 2016-09-13 22:24:11
    1.转置矩阵1.1转置矩阵简介把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做A的转置矩阵(Transpose of a Matrix),记作ATA^T。 例如: 因此,转置矩阵的特点: (1)转置矩阵的行数是原矩阵的列数,转置矩阵的列数是...

    前言

    写这篇博客的原因是为了记录一下矩阵转置与矩阵相乘的实现代码,供日后不时之需。直接原因是今晚(2016.09.13)参加了百度 2017 校招的笔试(C++岗),里面就有一道矩阵转置后相乘的在线编程题。考虑到日后笔试可能会用到,特此记录,也希望能够帮助到需要的网友。

    今晚的百度笔试还有一个道求矩形方格中房子的数量,可以用类似于求迷宫中寻找可行路径的深度优先搜索(DFS)加回溯法来求解,幸好之前研究过迷宫问题并记录下来写成博客,要不然,又悲剧了,短时间内很难写出那么多代码!

    1.矩阵转置

    1.1 简介

    把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做 A 的转置矩阵(Transpose of a Matrix),记作 A T A^T AT

    例如:
    这里写图片描述
    因此,转置矩阵的特点:
    (1)转置矩阵的行数等于原矩阵的列数,转置矩阵的列数等于原矩阵的行数;
    (2)转置矩阵下标(i,j)的元素对应于原矩阵下标(j,i)的元素。

    1.2 实现

    使用二维数组作为矩阵的存储结构,根据转置矩阵的特点,很容易得到转置矩阵。

    /**************************************************
    *@para:matrix:原矩阵;row:矩阵行数;column:矩阵列数
    *@ret:返回转置矩阵
    **************************************************/
    int** getTransposeMatrix(int** matrix,int row,int column){
       int** matrixR=new int*[columns];
       for(int i=0;i<columns;++i){
            matrixR[i]=new int[rows];
       }
       
       for(int i=0;i<row;++i){
            for(int j=0;j<column;++j){
                matrixR[j][i]=matrix[i][j];
            }
       }
       return matrixR;
    }
    

    2.矩阵相乘

    2.1 简介

    设 A 为 m × p m\times p m×p 的矩阵,B 为 p × n p\times n p×n 的矩阵,那么称 m × n m\times n m×n 的矩阵 C 为矩阵 A 与 B 的乘积,记作 C=AB ,其中矩阵 C 中的第 i 行第 j 列元素可以表示为:
    这里写图片描述

    示例如下:
    这里写图片描述

    矩阵相乘的特点:
    (1)当矩阵 A 的列数等于矩阵 B 的行数时,A 与 B 才可以相乘。
    (2)乘积 C 的第 m 行第 n 列的元素等于矩阵 A 的第 m 行的元素与矩阵 B 的第 n 列对应元素乘积之和。
    (3)矩阵 C 的行数等于矩阵 A 的行数,C 的列数等于 B 的列数。

    2.2 示例代码

    /********************************************
    *@para:A:矩阵A;B:矩阵B;C:相乘结果矩阵;rowA:A的行数;columnB:B的列数;columnA:A的列数
    *@ret:void 
    ********************************************/
    void matrixMul(int **A, int **B, int **C, int rowA, int columnB, int columnA){
        for (int i=0;i<rowA;i++){
            for (int j=0; j<columnB;j++){
                C[i][j] = 0;
                for (int k=0;k<columnA;k++){
                    C[i][j]+=A[i][k]*B[k][j];
                }
             }
         }
    }
    

    参考文献

    [1] 转置矩阵 百度百科
    [2] 矩阵乘法 百度百科

    展开全文
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  • 多数高中生学习矩阵矩阵乘法,但是他们往往不知道为什么矩阵乘法是这样工作的。 添加矩阵很简单: 只需添加相应的条目。 然而,矩阵乘法并不是这样工作的,对于一个不理解矩阵背后理论的人来说,这种矩阵相乘的...
  • 目录实对称矩阵定义实反对称矩阵定义厄米特矩阵定义反厄米特矩阵定义正交矩阵定义性质酉矩阵(幺正矩阵)定义性质正规矩阵定义性质正定矩阵定义性质充要条件友矩阵(伴侣矩阵)定义性质旋转矩阵定义性质对比 ...
  • 奇异矩阵与非奇异矩阵

    万次阅读 多人点赞 2019-05-01 19:52:39
    首先需要说明的值奇异矩阵和非奇异矩阵都是针对方阵而言的。 奇异矩阵是线性代数的概念,就是对应的行列式等于0的矩阵。 对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A,如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =I( I是单位矩阵),则称 A ...
  • 伴随矩阵求逆矩阵

    万次阅读 多人点赞 2018-11-15 13:58:08
    我们先看例子来直观的理解什么是余子式(Minor,后边将都用英文Minor,中文的翻译较乱)。 minor example 这个例子(我们假设矩阵为A)中我们看到A[1,1]的minor就是将A[1,1]所在的行和列删除后剩下的矩阵的行列...
  • 矩阵的特征值矩阵是由矩阵特征值λ\lambdaλ构成的矩阵。包含三个运算: 1、互换两行(列) 2、某行(列)乘非零常数 3、某行(列)乘多项式后加到另一行 n阶λ\lambdaλ矩阵可逆的充要条件是:A(λ)=非零常数A(\...
  • 雅克比矩阵

    千次阅读 2019-09-02 15:18:52
    文章目录雅克比矩阵推导雅可比矩阵的代码实现 计算雅克比矩阵 雅克比矩阵推导 函数h(x)相对于x的导数,被称作雅可比式。 推到过程如下: 为了计算这个函数的导数,我们使用了商的求导规则。 给定一个函数z,它...
  • 矩阵知识:伴随矩阵

    千次阅读 2020-06-15 22:19:39
    一、伴随矩阵 1.1 定义 1.2 定理 利用伴随矩阵矩阵的逆矩阵的一个例子

空空如也

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