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  • 张量内积外积
    2021-08-12 10:56:56

    张量积的定义为:给定两个有限维的向量空间(finite dimensional vector space) 和 ,其中, 为向量空间 的基(basis), 为向量空间 的基,则我们可以将 定义为 个 的线性组合,即

     .

    同时,双线性映射(bilinear map,如果仅仅关注张量积的计算,则不必深究这个概念)被定义为

    其中, ,对于任意取自向量空间 和 下的向量,我们都可以用相应的基进行线性组合来表示出来,若 为向量 线性组合的系数, 为向量 线性组合的系数,则满足 。另外, 表示两个向量空间的Cartesian积(维基链接:Cartesian product)。

    为了便于理解,这里举一个简单的例子(来源:Calculate the tensor product of two vectors)。

    已知 下的一组标准基为 , , 下的一组标准基为 , , 。给定向量 ,向量 ,则向量 的张量积为

       

    其中, 是 的基,张量积与外积的计算结果完全相同。

     
    
    1. import numpy as np

    2. x = np.array([[1], [1]])

    3. y = np.array([[1], [-2], [1]])

    4. np.kron(x, y.T)

    5. np.outer(x, y)

    对于任意向量 , ,它们的张量积 有时被称为外积,如果 是 的基,且 ,   是标准基,则外积可以写成如下形式:

    其中, 是矩阵 第 行、第 列的元素。

    对于向量而言,张量积和外积是等价的。

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    方法1 爱因斯坦求和

    d = tf.ones(shape=[4, 2, 5], dtype=tf.float32) 
    w = tf.random.normal(shape=[2, 4])  
    einsum = tf.einsum('be,ebd->bd',w,d)
    print(einsum)

    输出

    输出的shape=(2,5)

     也可以将维度小的一个增加一维,然后交换维度,再按第一维求和

    d1 = tf.ones(shape=[4, 2, 5], dtype=tf.float32) 
    
    W2 = tf.random.normal(shape=[2, 4])                      
    W2 = tf.expand_dims(W2,2)
    W2 = tf.transpose(W2,perm=[1,0,2])
    Ty1 = tf.multiply(W2,d1)
    ty2 = tf.reduce_sum(Ty1,axis=0)                                         
    print(ty2)
    
    

    输出的维度也是(2,5) 

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    张量积:Kronecker product a⊗b

    1.内积、外积、张量积、对应元素相乘

    1. 内积:innerx = np.dot(arr1,arr2)
    2. 外积:outerx = np.outer(arr1,arr2)
    3. 张量积:kronx = np.kron(arr1,arr2)
    4. 对应元素相乘:mul = arr1 * arr2 # 只有这种方式是元素相乘,其余都是矩阵相乘运算规则

    2. 举例如下

    >>> arr1 = np.array([1,2,3])
    >>> arr2 = np.array([2,3,4])
    # 外积
    >>> outerx = np.outer(arr1,arr2)
    >>> outerx
    array([[ 2,  3,  4],
           [ 4,  6,  8],
           [ 6,  9, 12]])
    # 内积
    >>> dotx = np.dot(arr1,arr2)
    >>> dotx
    20
    # 张量积
    >>> kronx = np.kron(arr1,arr2)
    >>> kronx
    array([ 2,  3,  4,  4,  6,  8,  6,  9, 12])
    # 对应元素乘积
    >>> mul = a * b
    >>> mul
    array([1, 4, 9])
    

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