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2020-07-20 23:18:43
在OpenFOAM中，我们用函数
divDevReff与divDevRhoReff来计算剪切应力。
1.函数名称含义
下面，解释这两个函数名称的由来：
∇ ⋅ τ = ∇ ⋅ σ d e v \nabla \cdot \tau=\nabla \cdot \sigma^{dev} ∇⋅τ=∇⋅σdev关于这个公示的推导可查看Cauchy应力张量、剪切力张量与压力的关系。
div:散度（divergence）；dev:每个二阶张量都可分解为dev部分（deviatoric）和hyd部分（hydrostatic）；R:雷诺时均(Reynolds-Average Simulation)；eff:有效的(effective)流动方式，包括 层流（laminar）或湍流(turbulent)；rho:取决于流体密度是否发生变化。
由此，不难判断
divDevReff用于不可压缩流体，divDevRhoReff用于可压缩流体 。2.不可压缩流
2.1代码解读
对于
turbulence->divDevReff(U)，即操作对象turbulence通过指针调用名为divDevReff(U)的函数。该函数声明如下：
(文件位置：)tmp<fvVectorMatrix>laminar::divDevReff(volVectorField &U) const { Return ( -fvm::laplacian(nuEff(), U) -fvc::div(nuEff()*dev(T(fvc::grad(U)))) ) }注意：计算过程中，采用的是运动粘度。方程一部分用了隐式(fvm)，而另一部分用了显式(fvc)。此外，还调用了一个名为
dev()的函数://- Return the deviatoric part of a tensor template<class Cmpt> inline Tensor<Cmpt> dev(const Tensor<Cmpt>& t) { return t - SphericalTensor<Cmpt>::oneThirdI*tr(t); }（文件位置：$FOAM_SRC/turbulenceModel/incompressible/RAS/laminar/laminar.C）
2.2函数方程
关于函数
dev()，可以简单地理解为一个矩阵的dev(deviatoric part)部分：
A d e v = A − A h y d = A − 1 3 t r ( A ) I \mathbf A^{dev}=\mathbf A-\mathbf A^{hyd}=\mathbf A-\frac13 tr(\mathbf A)\mathbf I Adev=A−Ahyd=A−31tr(A)I函数
dev()的参数为速度场的转置梯度矩阵:
A = [ ∇ U ] T \mathbf A =[\nabla \mathbf U]^T A=[∇U]T我们对代码进行重写：
-fvm::laplacian(nuEff(), U)= − ∇ ⋅ ( ν e f f ( ∇ U ) ) -\nabla\cdot\left(\nu^{eff}(\nabla \mathbf U)\right) −∇⋅(νeff(∇U))-fvc::div(nuEff()*dev(T(fvc::grad(U))))= − ∇ ⋅ ( ν e f f ∗ d e v ( ( ∇ U ) T ) ) -\nabla\cdot\left(\nu^{eff}*dev((\nabla \mathbf U)^T)\right) −∇⋅(νeff∗dev((∇U)T))d e v ( ( ∇ U ) T ) = ( ∇ U ) T − 1 3 t r ( ( ∇ U ) T ) I dev((\nabla \mathbf U)^T)=(\nabla \mathbf U)^T-\frac 13 tr((\nabla \mathbf U)^T)\mathbf I dev((∇U)T)=(∇U)T−31tr((∇U)T)I
将上述代码整合在一起，有：
− ∇ ⋅ R e f f = − ∇ ⋅ ( ν e f f ( ∇ U ) ) − ∇ ⋅ ( ν e f f [ ( ∇ U ) T − 1 3 t r ( ( ∇ U ) T ) I ] ) -\nabla\cdot \mathbf R^{eff}=-\nabla\cdot\left(\nu^{eff}(\nabla \mathbf U)\right)-\nabla\cdot \left(\nu^{eff} \left[ (\nabla \mathbf U)^T-\frac 13 tr((\nabla \mathbf U)^T)\mathbf I \right] \right) −∇⋅Reff=−∇⋅(νeff(∇U))−∇⋅(νeff[(∇U)T−31tr((∇U)T)I])
整理，可得：
− ∇ ⋅ R e f f = − ∇ ⋅ ( ν e f f [ ∇ U + ( ∇ U ) T − 1 3 t r ( ( ∇ U ) T ) I ] ) -\nabla\cdot \mathbf R^{eff}=-\nabla\cdot \left( \nu^{eff} \left[ \nabla \mathbf U+(\nabla \mathbf U)^T-\frac 13 tr((\nabla \mathbf U)^T)\mathbf I \right] \right) −∇⋅Reff=−∇⋅(νeff[∇U+(∇U)T−31tr((∇U)T)I])
根据CFD张量公式
t r ( ∇ U ) I = t r ( ( ∇ U ) T ) I = ( ∇ ⋅ U ) I \mathrm{tr}\left(\nabla\mathbf{U}\right)\mathbf I=\mathrm{tr}\left((\nabla\mathbf{U})^{\mathrm{T}}\right)\mathbf I=\left(\nabla\cdot\mathbf{U}\right)\bf I tr(∇U)I=tr((∇U)T)I=(∇⋅U)I
对于不可压缩流连续性方程 ∇ ⋅ U = 0 \nabla\cdot \mathbf U=0 ∇⋅U=0，则：
− ∇ ⋅ R e f f = − ∇ ⋅ ( ν e f f [ ∇ U + ( ∇ U ) T ] ) = − ∇ ⋅ ( 2 ν e f f [ 1 2 ( ∇ U + ( ∇ U ) T ) ] ⏟ ‘ 形 变 率 D ‘ ) = ∇ ⋅ τ -\nabla\cdot \mathbf R^{eff}=-\nabla\cdot \left( \nu^{eff} \left[ \nabla \mathbf U+(\nabla \mathbf U)^T \right] \right)=-\nabla\cdot \left( 2\nu^{eff} \underbrace{\left[\frac12 \left( \nabla \mathbf U+(\nabla \mathbf U)^T \right) \right] }_{`形变率 \mathbf D`} \right)=\nabla\cdot \tau −∇⋅Reff=−∇⋅(νeff[∇U+(∇U)T])=−∇⋅⎝⎜⎜⎛2νeff‘形变率D‘ [21(∇U+(∇U)T)]⎠⎟⎟⎞=∇⋅τ对于不可压缩流， 1 3 t r ( ( ∇ U ) T ) \frac 13 tr((\nabla \mathbf U)^T) 31tr((∇U)T) 应该恒等于零，是可以忽略的，但考虑到连续性不可能百分百为零，这里我们将其作为误差引入进去。
3.可压缩流
对于可压缩流，调用
turbulence->divDevRhoReff(U)函数。该函数包含关键字Rho，这说明在计算可压缩流的剪切应力时，需要考虑由密度变化引起的膨胀粘度项。3.1代码解读
函数
divDevRhoReff(U)tmp<fvVectorMatrix>laminar::divDevRhoReff(volVectorField &U) const { Return ( -fvm::laplacian(muEff(), U) -fvc::div(muEff()*dev2(T(fvc::grad(U)))) ) }注意，这里我们应用的是
dev2()函数，这种新函数的代码如下：//- Return the deviatoric part of a tensor template<class Cmpt> inline Tensor<Cmpt> dev(const Tensor<Cmpt>& t) { return t - SphericalTensor<Cmpt>::twoThirdI*tr(t); }3.2 函数方程
关于函数
dev2()，可以理解为一个矩阵减去两次hyd部分A d e v 2 = A − 2 A h y d = A − 2 3 t r ( A ) I \mathbf A^{dev2}=\mathbf A-2\mathbf A^{hyd}=\mathbf A-\frac23 tr(\mathbf A)\mathbf I Adev2=A−2Ahyd=A−32tr(A)I
经整理（方法同上），其方程为：
− ∇ ⋅ R e f f = − ∇ ⋅ ( 2 ν e f f [ 1 2 ( ∇ U + ( ∇ U ) T ) ] ⏟ ‘ 形 变 率 D ‘ − 2 3 μ e f f ( ∇ ⋅ U ) I ) = ∇ ⋅ τ -\nabla\cdot \mathbf R^{eff}=-\nabla\cdot \left( 2\nu^{eff} \underbrace{\left[\frac12 \left( \nabla \mathbf U+(\nabla \mathbf U)^T \right) \right] }_{`形变率 \mathbf D`}-\frac23\mu^{eff}(\nabla \cdot \mathbf U)\mathbf I \right)=\nabla\cdot \tau −∇⋅Reff=−∇⋅⎝⎜⎜⎛2νeff‘形变率D‘ [21(∇U+(∇U)T)]−32μeff(∇⋅U)I⎠⎟⎟⎞=∇⋅τ更多相关内容 -
张量与散度
2020-05-24 17:24:48张量的几个物理场景 应力状态 材料内部受力状况就是应力状态，应力在不同方向的大小不同，并且与感应面有关。如图所示材料某点的应力状态，可用矩阵表示 σ=(σxτxyτxzτyxσyτyzτzxτzyσz)\sigma=\begin{...展开全文张量的几个物理场景
应力状态
材料内部受力状况就是应力状态，应力在不同方向的大小不同，并且与感应面有关。
如图所示材料某点的应力状态，可用矩阵表示
σ = ( σ x τ x y τ x z τ y x σ y τ y z τ z x τ z y σ z ) \sigma=\begin{pmatrix} \sigma_x&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\ \tau_{yx}&\sigma_y&\tau_{yz}\\ \tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_z \end{pmatrix} σ=⎝⎛σxτyxτzxτxyσyτzyτxzτyzσz⎠⎞
这是个对称矩阵，即 τ x y = τ y x , τ x z = τ z x , τ y z = τ z y \tau_{xy}=\tau_{yx},\tau_{xz}=\tau_{zx},\tau_{yz}=\tau_{zy} τxy=τyx,τxz=τzx,τyz=τzy
现在已知某任意平面，那么怎么求该平面上的应力状态呢?如下图所示，以平面示意
红色的箭头是该平面的总的应力，该总应力可以分解成垂直于平面的正应力和平行于平面的切应力。若已知平面的法矢为
n
=
(
n
x
,
n
y
,
n
z
)
n=(n_x,n_y,n_z)
n=(nx,ny,nz)，其总应力计算如下
σ ′ = n ⋅ σ = ( n x , n y , n z ) ( σ x τ x y τ x z τ y x σ y τ y z τ z x τ z y σ z ) \sigma'=n\cdot \sigma=(n_x,n_y,n_z) \begin{pmatrix} \sigma_x&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\ \tau_{yx}&\sigma_y&\tau_{yz}\\ \tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_z \end{pmatrix} σ′=n⋅σ=(nx,ny,nz)⎝⎛σxτyxτzxτxyσyτzyτxzτyzσz⎠⎞
那么正应力为
σ n ′ = σ ′ / n ⋅ n = σ ′ ⋅ n ⋅ n = ( n x , n y , n z ) ( σ x τ x y τ x z τ y x σ y τ y z τ z x τ z y σ z ) ( n x n y n z ) ( n x , n y , n z ) \sigma'_n=\sigma'/n\cdot n=\sigma'\cdot n\cdot n\\=(n_x,n_y,n_z) \begin{pmatrix} \sigma_x&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\ \tau_{yx}&\sigma_y&\tau_{yz}\\ \tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n_x\\n_y\\ n_z \end{pmatrix}(n_x,n_y,n_z) σn′=σ′/n⋅n=σ′⋅n⋅n=(nx,ny,nz)⎝⎛σxτyxτzxτxyσyτzyτxzτyzσz⎠⎞⎝⎛nxnynz⎠⎞(nx,ny,nz)
切应力的为
σ τ ′ = σ ′ ÷ n = σ ′ − σ n ′ \sigma'_\tau=\sigma'\div n=\sigma'-\sigma'_n στ′=σ′÷n=σ′−σn′转动惯量
一个物体的转动，和平移一样，也存在惯性。转动惯量就是衡量这个惯性的大小。对于规则的物体，其转动比较容易求得，如下图所示
该立方块绕
x
x
x轴的转动惯量为
J
x
J_x
Jx，绕
y
y
y轴的转动惯量为
J
y
J_y
Jy，绕
z
z
z轴的转动惯量为
J
z
J_z
Jz。那么如何求得其绕任意轴
n
n
n的转动惯量
J
′
J'
J′，如图红色所示。转动惯量也是一种张量，其数学形式如下
J = ( J x 0 0 0 J y 0 0 0 J z ) J=\begin{pmatrix} J_x&0&0\\0&J_y&0\\ 0& 0&J_z \end{pmatrix} J=⎝⎛Jx000Jy000Jz⎠⎞
那么绕 n n n的总转动惯量计算如下
J ′ = n ⋅ J = ( n x , n y , n z ) ( J x 0 0 0 J y 0 0 0 J z ) J'=n\cdot J=(n_x,n_y,n_z)\begin{pmatrix} J_x&0&0\\0&J_y&0\\ 0& 0&J_z \end{pmatrix} J′=n⋅J=(nx,ny,nz)⎝⎛Jx000Jy000Jz⎠⎞
总的转动惯量到转轴的投影就是绕这个轴的转动惯量
J n ′ = J ′ / n ⋅ n J'_n=J'/n\cdot n Jn′=J′/n⋅n
总的转动惯量垂直于这个轴的投影为
J τ ′ = J ′ ÷ n J'_\tau=J'\div n Jτ′=J′÷n
有个疑问，为什么会有这个垂直的转动惯量。这是因为，在物体转动的时候，两端会甩开远离轴，或者聚拢越来越接近轴，而这个转动的转动惯量就是总转动惯量垂直于这个轴的分量。各向异性的感应电场
我们知道，一个电荷在真空中形成的电场是向各个方向发散，并且每个方向等强度，即等势面是球形。但如果在物质内部呢?这个电荷在物质内部形成的是感应电场(也常称为电位移矢量)，并且由于很多物质都是各向异性的，也就是说电荷在不同方向的感应效果不一样，所以等势面试是椭球，如下图所示
其实所有三维张量都可以用椭球表示，二维张量可以用椭圆表示。
电荷在真空发出的电场为
E = Q 4 π r 2 ( ϵ 0 0 0 ϵ 0 0 0 ϵ ) E=\frac{Q}{4\pi r^2}\begin{pmatrix} \epsilon&0&0\\0&\epsilon&0\\0&0&\epsilon \end{pmatrix} E=4πr2Q⎝⎛ϵ000ϵ000ϵ⎠⎞
电荷在各向异性物质内感应的电场为
D = Q 4 π r 2 ( ϵ x x ϵ x y ϵ x z ϵ y x ϵ y y ϵ y z ϵ z x ϵ z y ϵ z z ) D=\frac{Q}{4\pi r^2}\begin{pmatrix} \epsilon_{xx}&\epsilon_{xy}&\epsilon_{xz}\\\epsilon_{yx}&\epsilon_{yy}&\epsilon_{yz}\\\epsilon_{zx}&\epsilon_{zy}&\epsilon_{zz} \end{pmatrix} D=4πr2Q⎝⎛ϵxxϵyxϵzxϵxyϵyyϵzyϵxzϵyzϵzz⎠⎞
该式中的矩阵为对称矩阵，即 ϵ x y = ϵ y x , ϵ x z = ϵ z x , ϵ y z = ϵ z y \epsilon_{xy}=\epsilon_{yx},\epsilon_{xz}=\epsilon_{zx},\epsilon_{yz}=\epsilon_{zy} ϵxy=ϵyx,ϵxz=ϵzx,ϵyz=ϵzy。矩阵中 ϵ i j = ϵ i j r ϵ \epsilon_{ij}=\epsilon^r_{ij}\epsilon ϵij=ϵijrϵ，其中 ϵ i j r \epsilon^r_{ij} ϵijr为方向 i j ij ij的相对介电系数，所以任意方向的感应电场强度为
D ′ = n ⋅ D = ( n x , n y , n z ) ( ϵ x x ϵ x y ϵ x z ϵ y x ϵ y y ϵ y z ϵ z x ϵ z y ϵ z z ) D'=n\cdot D=(n_x,n_y,n_z)\begin{pmatrix} \epsilon_{xx}&\epsilon_{xy}&\epsilon_{xz}\\\epsilon_{yx}&\epsilon_{yy}&\epsilon_{yz}\\\epsilon_{zx}&\epsilon_{zy}&\epsilon_{zz} \end{pmatrix} D′=n⋅D=(nx,ny,nz)⎝⎛ϵxxϵyxϵzxϵxyϵyyϵzyϵxzϵyzϵzz⎠⎞
其大小为
∣ D ′ ∣ = D ′ / n = D ′ ⋅ n = ( n x , n y , n z ) ( ϵ x x ϵ x y ϵ x z ϵ y x ϵ y y ϵ y z ϵ z x ϵ z y ϵ z z ) ( n x n y n z ) |D'|=D'/n=D'\cdot n=(n_x,n_y,n_z)\begin{pmatrix} \epsilon_{xx}&\epsilon_{xy}&\epsilon_{xz}\\\epsilon_{yx}&\epsilon_{yy}&\epsilon_{yz}\\\epsilon_{zx}&\epsilon_{zy}&\epsilon_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n_x\\n_y\\n_z \end{pmatrix} ∣D′∣=D′/n=D′⋅n=(nx,ny,nz)⎝⎛ϵxxϵyxϵzxϵxyϵyyϵzyϵxzϵyzϵzz⎠⎞⎝⎛nxnynz⎠⎞
这就是一个二次型，其图像就是椭球，所以说张量可以用椭球表示。张量的散度
我们知道张量可以表示感应电场，其实他可以表示任意种不同方向不同大小和方向的场，也就是张量场。既然有场，那就有散度的概念。已知下面的张量
M = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) M=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} M=⎝⎛a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎠⎞
那么该场为
f = ( x , y , z ) ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) f=(x,y,z)\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} f=(x,y,z)⎝⎛a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎠⎞
散度有两种计算方式，一种是极限的计算方式
d i v f = lim v → 0 ∮ s f d s / v div f=\lim_{v \to 0}\oint_{s}fds/v divf=v→0lim∮sfds/v
还有一种方式为 d i v f = ∇ ⋅ f = ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ z div f=\nabla \cdot f=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z} divf=∇⋅f=∂x∂f+∂y∂f+∂z∂f
采用第二种比较容易计算，那么张量场的散度为
d i v f = ∇ ⋅ f = a 11 + a 22 + a 33 div f=\nabla \cdot f=a_{11}+a_{22}+a_{33} divf=∇⋅f=a11+a22+a33
也就是说张量的散度就是张量的迹，可知一个方阵无论经过什么样的相似变换，它的迹不变；也就是说场无论经过什么样的坐标变换，它的散度不变。
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散度、梯度、张量相关的数学公式
2021-11-02 20:57:14本文是关于梯度、散度、旋度、张量相关的数学表达式和相关运算。其相关的物理意义以后来写。 对相关记号做一下说明： 浅色展开全文本文是关于梯度、散度、旋度、张量相关的数学表达式和相关运算。相关的物理意义以后来写。
对相关记号做一下说明：
黑体希腊文表示张量，比如 τ \pmb{\tau} τττ;
浅色斜体表示标量，比如 u , v , w u,v,w u,v,w等；
下黑体小罗马字符表示向量，比如 u , v , w \pmb{\mathrm{u}},\pmb{\mathrm{v}},\pmb{\mathrm{w}} uuu,vvv,www等；
下黑体大罗马字符表示矩阵，比如 A , B , C \pmb{\mathrm{A}},\pmb{\mathrm{B}},\pmb{\mathrm{C}} AAA,BBB,CCC等。除此之外，小括号 " ( ) " "()" "()"内的是标量；中括号 " [ ] " "[]" "[]"内的是向量；大括号 " { } " "\{\}" "{}"内的是张量。
①点积： i ⋅ j = j ⋅ k = i ⋅ k = 0 i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1 \pmb{\mathrm{i}}\cdot\pmb{\mathrm{j}}=\pmb{\mathrm{j}}\cdot\pmb{\mathrm{k}}=\pmb{\mathrm{i}}\cdot\pmb{\mathrm{k}}=0\qquad\qquad\pmb{\mathrm{i}}\cdot\pmb{\mathrm{i}}=\pmb{\mathrm{j}}\cdot\pmb{\mathrm{j}}=\pmb{\mathrm{k}}\cdot\pmb{\mathrm{k}}=1 iii⋅jjj=jjj⋅kkk=iii⋅kkk=0iii⋅iii=jjj⋅jjj=kkk⋅kkk=1
②叉积：
i × i = j × j = k × k = 0 i × j = k = − i × j j × k = i = − k × j k × i = j = − i × k \begin{aligned}&\pmb{\mathrm{i}}\times\pmb{\mathrm{i}}=\pmb{\mathrm{j}}\times\pmb{\mathrm{j}}=\pmb{\mathrm{k}}\times\pmb{\mathrm{k}}=0 \qquad\qquad\pmb{\mathrm{i}}\times\pmb{\mathrm{j}}=\pmb{\mathrm{k}}=-\pmb{\mathrm{i}}\times\pmb{\mathrm{j}} \\&\pmb{\mathrm{j}}\times\pmb{\mathrm{k}}=\pmb{\mathrm{i}}=-\pmb{\mathrm{k}}\times\pmb{\mathrm{j}} \qquad\qquad\qquad\quad\pmb{\mathrm{k}}\times\pmb{\mathrm{i}}=\pmb{\mathrm{j}}=-\pmb{\mathrm{i}}\times\pmb{\mathrm{k}}\end{aligned} iii×iii=jjj×jjj=kkk×kkk=0iii×jjj=kkk=−iii×jjjjjj×kkk=iii=−kkk×jjjkkk×iii=jjj=−iii×kkk有了上面基本的计算式，下面的操作就比较简单理解了：
对标量求梯度变为向量： [ ∇ s ] = ∂ s ∂ x i + ∂ s ∂ y j + ∂ s ∂ z k ( ∇ = ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k ) [\nabla s]=\frac{\partial s}{\partial x}\pmb{\mathrm{i}}+\frac{\partial s}{\partial y}\pmb{\mathrm{j}}+\frac{\partial s}{\partial z}\pmb{\mathrm{k}}\qquad (\nabla =\frac{\partial }{\partial x}\pmb{\mathrm{i}}+\frac{\partial }{\partial y}\pmb{\mathrm{j}}+\frac{\partial }{\partial z}\pmb{\mathrm{k}}) [∇s]=∂x∂siii+∂y∂sjjj+∂z∂skkk(∇=∂x∂iii+∂y∂jjj+∂z∂kkk)
对向量求散度为标量：
( ∇ ⋅ v ) = ( ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k ) ⋅ ( u i + v j + w k ) = ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z \begin{aligned} (\nabla \cdot\pmb{\mathrm{v}})&=(\frac{\partial}{\partial x}\pmb{\mathrm{i}}+\frac{\partial}{\partial y}\pmb{\mathrm{j}}+\frac{\partial}{\partial z}\pmb{\mathrm{k}})\cdot(u\pmb{\mathrm{i}}+v\pmb{\mathrm{j}}+w\pmb{\mathrm{k}})\\&=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z} \end{aligned} (∇⋅vvv)=(∂x∂iii+∂y∂jjj+∂z∂kkk)⋅(uiii+vjjj+wkkk)=∂x∂u+∂y∂v+∂z∂w
对向量求旋度：
[ ∇ × v ] = ( ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k ) × ( u i + v j + w k ) = ∣ i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z u v w ∣ \begin{aligned} [\nabla \times\pmb{\mathrm{v}}]&=(\frac{\partial}{\partial x}\pmb{\mathrm{i}}+\frac{\partial}{\partial y}\pmb{\mathrm{j}}+\frac{\partial}{\partial z}\pmb{\mathrm{k}})\times(u\pmb{\mathrm{i}}+v\pmb{\mathrm{j}}+w\pmb{\mathrm{k}})\\&=\begin{vmatrix} \pmb{\mathrm{i}}&\pmb{\mathrm{j}}&\pmb{\mathrm{k}}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ u&v&w \end{vmatrix} \end{aligned} [∇×vvv]=(∂x∂iii+∂y∂jjj+∂z∂kkk)×(uiii+vjjj+wkkk)=∣∣∣∣∣∣iii∂x∂ujjj∂y∂vkkk∂z∂w∣∣∣∣∣∣
以上是基本的运算表达式，下面是几个常用的公式：
( ∇ ⋅ ( ∇ s ) ) = ∇ 2 s = ∂ 2 s ∂ x 2 + ∂ 2 s ∂ y 2 + ∂ 2 s ∂ z 2 (\nabla\cdot(\nabla s))={\nabla}^2s=\frac{\partial^2 s}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 s}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 s}{\partial z^2} (∇⋅(∇s))=∇2s=∂x2∂2s+∂y2∂2s+∂z2∂2s
[ ∇ ⋅ ( ∇ v ) ] = ∇ 2 v = ( ∇ 2 u ) i + ( ∇ 2 v ) j + ( ∇ 2 w ) k [\nabla\cdot(\nabla \pmb{\mathrm{v}})]={\nabla}^2\pmb{\mathrm{v}}=({\nabla}^2u)\pmb{\mathrm{i}}+({\nabla}^2v)\pmb{\mathrm{j}}+({\nabla}^2w)\pmb{\mathrm{k}} [∇⋅(∇vvv)]=∇2vvv=(∇2u)iii+(∇2v)jjj+(∇2w)kkk
[ ( v ⋅ ∇ ) v ] = ( u i + v j + w k ) ⋅ ( ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k ) ( u i + v j + w k ) = ( u ∂ u ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ w ∂ z ) i + ( u ∂ u ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ w ∂ z ) j + ( u ∂ u ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ w ∂ z ) k \begin{aligned}[(\pmb{\mathrm{v}}\cdot\nabla)\pmb{\mathrm{v}}]&=(u\pmb{\mathrm{i}}+v\pmb{\mathrm{j}}+w\pmb{\mathrm{k}})\cdot(\frac{\partial}{\partial x}\pmb{\mathrm{i}}+\frac{\partial}{\partial y}\pmb{\mathrm{j}}+\frac{\partial}{\partial z}\pmb{\mathrm{k}})(u\pmb{\mathrm{i}}+v\pmb{\mathrm{j}}+w\pmb{\mathrm{k}})\\&=(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z})\pmb{\mathrm{i}}+(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z})\pmb{\mathrm{j}}\\&+(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z})\pmb{\mathrm{k}}\end{aligned} [(vvv⋅∇)vvv]=(uiii+vjjj+wkkk)⋅(∂x∂iii+∂y∂jjj+∂z∂kkk)(uiii+vjjj+wkkk)=(u∂x∂u+v∂y∂v+w∂z∂w)iii+(u∂x∂u+v∂y∂v+w∂z∂w)jjj+(u∂x∂u+v∂y∂v+w∂z∂w)kkk
张量：
{ v v } = ( u i + v j + w k ) ( u i + v j + w k ) = u u i i + u v i j + u w i k + v u j i + v v j j + v w j k + w u k i + w v k j + w w k k = [ u u u v u w v u v v v w w u w v w w ] \begin{aligned} \{\pmb{\mathrm{v}}\pmb{\mathrm{v}}\}&=(u\pmb{\mathrm{i}}+v\pmb{\mathrm{j}}+w\pmb{\mathrm{k}})(u\pmb{\mathrm{i}}+v\pmb{\mathrm{j}}+w\pmb{\mathrm{k}})\\&= uu\pmb{\mathrm{i}}\pmb{\mathrm{i}}+uv\pmb{\mathrm{i}}\pmb{\mathrm{j}}+uw\pmb{\mathrm{i}}\pmb{\mathrm{k}}+vu\pmb{\mathrm{j}}\pmb{\mathrm{i}}+vv\pmb{\mathrm{j}}\pmb{\mathrm{j}}+vw\pmb{\mathrm{j}}\pmb{\mathrm{k}}+wu\pmb{\mathrm{k}}\pmb{\mathrm{i}}+wv\pmb{\mathrm{k}}\pmb{\mathrm{j}}+ww\pmb{\mathrm{k}}\pmb{\mathrm{k}}\\&=\begin{bmatrix} uu&uv&uw\\ vu&vv&vw\\ wu&wv&ww \end{bmatrix} \end{aligned} {vvvvvv}=(uiii+vjjj+wkkk)(uiii+vjjj+wkkk)=uuiiiiii+uviiijjj+uwiiikkk+vujjjiii+vvjjjjjj+vwjjjkkk+wukkkiii+wvkkkjjj+wwkkkkkk=⎣⎡uuvuwuuvvvwvuwvwww⎦⎤
对向量求梯度为张量：
{ ∇ v } = ( ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k ) ( u i + v j + w k ) = [ ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ w ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ y ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w ∂ z ] \begin{aligned} \{\nabla \pmb{\mathrm{v}}\}&=(\frac{\partial}{\partial x}\pmb{\mathrm{i}}+\frac{\partial}{\partial y}\pmb{\mathrm{j}}+\frac{\partial}{\partial z}\pmb{\mathrm{k}})(u\pmb{\mathrm{i}}+v\pmb{\mathrm{j}}+w\pmb{\mathrm{k}})\\&= \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}&\frac{\partial v}{\partial x}&\frac{\partial w}{\partial x}\\ \frac{\partial u}{\partial y}&\frac{\partial v}{\partial y}&\frac{\partial w}{\partial y}\\ \frac{\partial u}{\partial z}&\frac{\partial v}{\partial z}&\frac{\partial w}{\partial z} \end{bmatrix} \end{aligned} {∇vvv}=(∂x∂iii+∂y∂jjj+∂z∂kkk)(uiii+vjjj+wkkk)=⎣⎡∂x∂u∂y∂u∂z∂u∂x∂v∂y∂v∂z∂v∂x∂w∂y∂w∂z∂w⎦⎤以上便是这篇文章全部内容，难免有些错误~~~。
封面图来自网络。
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梯度是哈密尔顿算子直接作用于函数F得到的，不论F是标量还是向量，标量的梯度是向量，也即也即一阶张量，向量函数的梯度为二阶张量。
在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。
在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。
梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。散度
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