1)张量的分量转换规律
张量，都不会因人为选择不同参考坐标系而改变其固有性质，然而其分量的值则与坐标选择密切相关。所以，张量的分量在坐标转换时应满足一定的规律，以保证其坐标不变性。
2)张量方程
1.定义
张量方程：每项都由张量组成的方程。


2.特性
具有与坐标选择无关的重要性质，可用于描述客观物理现象的固有特性和普遍规律。
个人思考：
这章只是对张量的分量转换规律和张量方程的概念进行简单陈述，更多的需要在后面或者在本章中补充。

欢迎来到张量基础学习的第二弹，本次将持续深入学习相关知识，觉着本人写的对您多少有帮助的麻烦点点关注，养成先赞再看的好习惯！
Tensors learning
一 . 坐标与坐标转换
二. 张量分量转换规律与张量方程
（1）张量分量转换规律
（2）张量方程

一 . 坐标与坐标转换
在笛卡尔坐标系中：
其中有：



这都是我们中学常用的一些向量的基本套路！在其他的非笛卡尔坐标系中，$r=r(x_{1},x_{2},x_{1})$, 当坐标系发生变化时候，矢径 变化为：



这里的矢径就是这个r矢量！
下面我们来认识几个简单的概念：
（1）基矢量：

矢径对坐标的偏导数定义的三个基矢量$g_{i}$:

$\boldsymbol{g}_{i}=\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x_{1}}  \qquad(i = 1,2,3)$
（2）参考架(单位向量)：
空间每点处有三个基矢量，它们组成一个参考架或称坐标架。任何具有方向性的物理量都可以对其相应作用点处的参考架分解。例如对于笛卡尔坐标系：

$\boldsymbol{g}_{1}=\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x_{1}}=\boldsymbol{e}_{1} ; \boldsymbol{g}_{2}=\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x_{2}}=\boldsymbol{e}_{2} ; \boldsymbol{g}_{3}=\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x_{3}}=\boldsymbol{e}_{3}$



了解了这些基本概念之后，我们来看一看坐标变换的具体操作，在这之前，先认识欧式空间中的一般坐标系有几个特性：

现在的坐标线可能不再正交。
不同点处的坐标线可能不再平行。
基矢量的大小和方向都可能随点而异。
各点处的参考架不再是正交标准化基。

为了让大家更好的理解这个变换（其实非常简单），废话不多说，先上图：

我们直接在原来坐标系旁边建立一组新的正交基矢，然后重新标号并且连线！
同样的，这三个新基底和原来一样满足：

${e_{i}}'\cdot{e_{j}}'= \delta_{ij}；e_{i}\cdot e_{j} = \delta_{ij}$
下面我们引入一组新的转化系数 $\beta _{{i}'j}$，以老基为基底分解新底:

$e_{i}^{\prime}=\beta_{i 1} e_{1}+\beta_{i 2} e_{2}+\beta_{i 3} e_{3}=\sum \beta_{i j} e_{j}$
其中，这里的转化系数易得：

$\beta_{i j}=\cos \left(e_{i}^{\prime}, e_{j}\right)=e_{i}^{\prime} \cdot e_{j}=e_{j} \cdot e_{i}^{\prime}$
那么，举一反三，以新基为基底分解老基：

$e_{j}=\beta_{{1}' j} e_{1}^{\prime}+\beta_{2^{\prime} j} e_{2}^{\prime}+\beta_{3^{\prime}} e_{3}^{\prime}=\beta_{{i}'j} e_{i}^{\prime}$
进一步，其中的${r}',{r_{0}}' ,r$三种关系用三角形法则展示为：${r}' ={r_{0}}' +r$
通过这三个不同的r，我们将新坐标系与原坐标系形成了一种联系，能够让我们实现其中矢量相互转换的联系：
$\boldsymbol{r}^{\prime}=x_{i}^{\prime} \boldsymbol{e}_{i}^{\prime}, \quad \boldsymbol{r}=x_{j} \boldsymbol{e}_{j}, \quad \boldsymbol{r}_{0}^{\prime}=\left(x_{i}^{\prime}\right)_{0} e_{i}^{\prime}$
要想实现坐标转变，需要将原坐标系中的目标矢量投影到新坐标中，即用${e_{i}}'$点乘${r}' ={r_{0}}' +r$的左右两边！

左边：

$\boldsymbol{r}^{\prime} \cdot \boldsymbol{e}_{i}^{\prime}=x_{k}^{\prime} \boldsymbol{e}_{k}^{\prime} \cdot \boldsymbol{e}_{i}^{\prime}=x_{k}^{\prime} \delta_{k i}=x_{i}^{\prime}$
右边：

$\left(r+r_{0}^{\prime}\right) \cdot e_{i}^{\prime}=x_{j} e_{j} \cdot e_{i}^{\prime}+\left(x_{k}^{\prime}\right)_{0} e_{k}^{\prime} \cdot e_{i}^{\prime}=x_{j} \beta_{i j}+\left(x_{i}^{\prime}\right)_{0}$

之后，我们便可以用这两个公式根据实际情况灵活的变换不同坐标系中的矢量！

根据上一篇博客中学到的爱因斯坦求和约定以及指标相关知识，我们可以将它展开成矩阵的形式（坐标原点未变）：

$\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{\prime} \\ x_{2}^{\prime} \\ x_{3}^{\prime}\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{lll}\beta_{1^{\prime} 1} & \beta_{1^{\prime} 2} & \beta_{1^{\prime} 3} \\ \beta_{2^{\prime} 1} & \beta_{2^{\prime} 2} & \beta_{2^{\prime} 3} \\ \beta_{3^{\prime} 1} & \beta_{3^{\prime} 2} & \beta_{3^{\prime} 3}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right\}$

或： $\quad\left\{x^{\prime}\right\}=[\beta]\{x\}$

$\left\{\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{lll}\beta_{1^{\prime} 1} & \beta_{2^{\prime} 1} & \beta_{3^{\prime} 1} \\ \beta_{1^{\prime} 2} & \beta_{2^{\prime} 2} & \beta_{3^{\prime} 2} \\ \beta_{1^{\prime} 3} & \beta_{2^{\prime} 3} & \beta_{3^{\prime} 3}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{\prime} \\ x_{2}^{\prime} \\ x_{3}^{\prime}\end{array}\right\}$

或 $\quad\{x\}=[\beta]^{\mathrm{T}}\left\{x^{\prime}\right\}$
一般情况下我们运用这个的时候没有那么复杂，转化公式一般都包含在一个函数方程里面，下面我们来正式定义一下 坐标转换 ：
设在三维欧氏空间中任选两个新、老坐标系，${x_{i}}'$  和 $x_{j}$  是同一空间点P的新、老坐标值，则方程组

$x_{i}^{\prime}=x_{i}^{\prime}\left(x_{j}\right) \quad(i, j=1,2,3)$

定义了由老坐标到新坐标的坐标变换，称为：正变换，反之，我们称其为逆变换：

$x_{j} = x_{j}({x_{i}}')\quad(i, j=1,2,3)$

我们再对第一个红色定义式微分得：
$\mathrm{d} x_{i}^{\prime}=\frac{\partial x_{i}^{\prime}}{\partial x_{j}} \mathrm{d} x_{j}$

前面的系数为$J$(雅克比行列式)：



同样的，要学会举一反三，这是对应正变换的，需要逆变换就反过来$d\;{x_{i}}'$,唯一确定$d\;x_{j}$ 。
二. 张量分量转换规律与张量方程
（1）张量分量转换规律
通过前面的简单学习，我们知道，张量都不会因人为选择参考系的改变而改变，但是张量分量的值则与坐标系的选择密切相关！
其实非常好理解，想象一下我们一起用正交分解法分解矢量的时候，是需要依赖参考系的，所以不同的坐标系会让分量产生些许的变化！所以，张量的分量在坐标转化得时候应满足一定的规律以确保其坐标不变性！
先以三维空间的二阶张量为例，其分解成：

其中这个$T_{ij}$ 为张量分量 ，$e_{i}e_{j}$也就是 基矢量

以此类推，再根据之前坐标转换的相关知识，张量分量转化规律为：
还有一些小规律，大家看一下有个印象就行：
在一个表示全部张量分量集合的指标符号 $T_{ijk\cdots}$ 中，自由指标的数目等于张量的阶数 K，每个自由指标的取值范围等于张量的维数 n，各指标在其取值范围内的任何一种可能组合都表示了张量的一个分量，所以 n 维 K 阶张量共有 nK 个分量
（2）张量方程
要探索张量分量的值与坐标系变换的规律，那就离不开方程组的应用。所谓张量方程，就是每一项都是张量的方程，我们初中之前学过的标量方程，在物理中学的矢量方程，在线性代数中学的矩阵方程都是张量方程。张量方程具有一条神奇的特性：与坐标选择无关，换言之，解出来的结果不随坐标系变化而变化。因此，张量方程可以用于描述客观物理现象的固有性质和普遍规律。


好 本期张量学习的博客就到这里的，觉得还能看的，对您有帮助的不要忘记点赞关注！

动量方程有许多种形式。本文以rhoPimpleFoam为例子进行说明。

rhoPimpleFoam/UEqn.h内容如下：
文件内容
tmp<fvVectorMatrix> UEqn
(
    fvm::ddt(rho, U) 										(I)
       + fvm::div(phi, U)									(II)
       + MRF.DDt(rho, U)								(III)
       + turbulence -> divDevReff(U)		(IV)
       ==
       fvOptions(rho, U)									(V)
)

其中，(I)为非稳态项；(II)为对流项；(III)为MRF造成的附加修正；(IV)为应力张量；(V)用于处理fvOptions文件夹中的附加源项。
我们主要关注turbulence->divDevReff(U)函数。（如果是可压缩流体，那么这个函数就是turbulence->divDevRhoReff(U)）
turbulence->divDevReff(U)是什么
类的名称是turbulence，该类基于turbulenceModel类，并从imcompressibleTurbulenceModel类中衍生出来。turbulence类调用了函数divDevReff(U)。该函数内容如下：
tmp<fvVectorMatrix> laminar::divDevReff(volVectorField& U) const
{
    return
    (
      - fvm::laplacian(nuEff(), U)
      - fvc::div(nuEff()*dev(T(fvc::grad(U))))
    );
}

在此函数中存在运动粘度nu，暗示此方程为一不可压缩方程。其次，fvm代表隐式，fvc代表显式。此外，还调用了一个新函数dev()。
新函数dev()
dev()内容为：
template<class Cmpt>
inline Tensor<Cmt dev(const Tensor<Cmpt>& t>
{
    return t - SphericalTensor<Cmpt>::oneThirdsI*tr(t);
}

弥散张量估计理论
Stejskal方程描绘了磁场梯度向量(magnetic-field-gradient vector)与回波图象强度(echo intensity)之间的函数关系。Stejskal方程：

磁场梯度向量：



磁场梯度的积分：



回波强度：



其中，$\gamma$为质子旋磁比，A(0)为无磁场梯度施加下的回波强度，H(t)为单位阶跃函数（Heaviside function），TE为回波时间，f=F(TE/2)。
随后，定义$D^{eff}$ 效应扩散系数张量（effective diffusivity tensor）：



转化为广义矩阵点积：



其中，



整理后可得：



因此，Stejskal方程将弥散张量估计问题转化为多元线性回归问题。在实际情况中，根据图像采集时所采用的序列，往往可以先验的得到$b_{ij}$的解析表达式。例如，在pulsed-gradient spin-echo diffusion spectroscopy实验中，可以得到以下解析表达式：


弥散张量估计实例
指定$n$个非共线的磁场梯度方向，每个方向指定$m$个不同大小的梯度大小，进行spin-echo数据采集。

定义$\alpha$ 向量：



根据上面[9]式，计算大小为$nm$x7的$b$矩阵。

根据上面[8]式，计算回波强度预测值：



根据回波强度预测值与回波强度真实值，定义多元回归损失函数，并进行求解：


参考文献
Basser, P.J.; Mattiello, J.; LeBihan, D. Estimation of the effective self-diffusion tensor from the NMR spin echo. J Magn Reson B., 1994, 103, 247–254.