学习平面直角坐标系时，我们知道点A(a，b)关于x轴对称的点B(a，-b)，关于y轴对称的点C(-a，b)。我们可以运用点的对称性求抛物线关于坐标轴对称的解析式。
看如下例题：
例1、求抛物线y=x2-4x-3关于x轴对称的抛物线。
解法一，利用顶点式：
y=x2-4x-3=(x-2)2-7
抛物线y=x2-4x-3的顶点为(2，-7)。
抛物线y=x2-4x-3关于x轴对称得到的抛物线形状大小与原抛物线一样，但开口的方向改为向下，顶点关于x轴对称。所以所求抛物线的二次项系数是-1，顶点为(2，7)。
所以，抛物线y=x2-4x-3关于x轴对称的抛物线为y=-(x-2)2+7.
解法二，利用点的对称性求：
设点P(x，y)在对称后的抛物线上，则P点关于x轴对称的对称点为P′(x，-y)必在抛物线y=x2-4x-3上。点P′(x，-y)符合解析式y=x2-4x-3。
所以在y=x2-4x-3中，用x代换x，用-y代换y
得-y=x2-4x-3，即y=-x2+4x+3为抛物线y=x2-4x-3关于x轴对称的抛物线。
小结：抛物线关于x轴对称，将解析式中的(x，y)换成它关于x轴对称的点(x，-y)，即求出y＝ax2＋bx＋c关于x轴对称的抛物线为y＝-ax2-bx-c.
例2. 求抛物线y=2x2+4x-5关于y轴对称的抛物线。
解法一，利用顶点式：
y=2x2+4x-5=2(x+1)2-7
所以，抛物线y=2x2+4x-5的顶点为(-1，-7)。
因为，抛物线y=2x2+4x-5关于y轴对称后的抛物线形状大小与原来的一样，开口的方向保持不变，顶点关于y轴对称。所以，所求抛物线的二次项系数是2，顶点为(1，-7)。
所以，抛物线y=2x2+4x-5关于y轴对称的抛物线为y=2(x-1)2-7.
解法二、利用点的对称性：
设点P(x，y)在对称后的抛物线上，则P点关于y轴对称的对称点为P′(-x，y)必在抛物线y=2x2+4x-5上，所以，点P′(-x，y)符合解析式y=2x2+4x-5。
所以在y=2x2+4x-5中，用-x代换x，用y代换y，得y=2(-x)2+4(-x)-5，即y=2x2-4x-5为所求的抛物线。
小结：抛物线关于y轴对称，即将解析式中的(x，y)换成它的关于y轴的对称点(－x，y)，即可求出y＝ax2＋bx＋c关于y轴对称的抛物线y＝ax2－bx＋c.

此类型题目常常出现于填空题最后两个。相对的难度有一些，需要掌握其中套路。
1. 知识点：两点之间线段最短
a) 引申知识点：
 i. 三角形两边之和大于第三边
 ii. 三角形两边之差小于第三边
2. 知识点： 点关于直线的对称点
 i. 关于坐标轴的对称，以及关于和坐标轴平行直线对称
 ii. 关于过原点直线的对称，包括y=x，y=-x以及y=kx
 iii. 关于形如y=kx+b的一般直线的对称,
1. 知识点：两点之间线段最短。
a) 引申知识点：
 i. 三角形两边之和大于第三边。也就是下图中AC+BC的最小值 
ii. 三角形两边之差小于第三边。也就是下图中AC-BC的最大值，或者BC-AC的最大值
点关于直线的对称点
 i. 关于坐标轴的对称，以及关于和坐标轴平行直线对称
显而易见，对于任意点A(x, y)
关于y轴对称点B (-x，y)
关于x轴对称点C(x, -y)
关于原点对称（或者说是先x轴对称，再y轴对称。反之亦然）D(-x, -y)  
而对于和对称轴平行x=a或者y=b来说，主要两种理解方式。
1. 当成一条直线，则对于点A（x, y) 相当于y=b的距离相等，就是x-b=b-x1，x1=2b-x。其他点同理。
2. 相当于坐标系的平移，对于y=b，相对于整个坐标系向右平移b个单位，则反过来，现在的点(x,y)本来是（x-b,y)，那么（x-b,y)关于y轴对称点就是（b-x,y)，在将（b-x,y)向右平移b个单位就是（2b-x,y)。其他点同理。
 ii. 关于过原点直线的对称，包括y=x，y=-x以及y=kx
尺规作图来说，关于某条直线对称的点，就是找三角形。找对称三角形，三角形的两个重合顶点，可以取对称直线上面的任意点。（为了方便，其中一个取坐标原点），两者的交点就是需要的对称点。当然对应y=x，以及y=-x，有其套路。
(x, y)关于y=x，是(y, x)相当于坐标互换，关于y=-x，是(-y,-x)相当于互换之后在做关于原点的对称点。
2. 关于y=kx对称，如同上面说到的，从几何作图角度将是以原点为圆心做过A点做圆，在对称直线上我们取过点和点关于直线垂足点为圆心。
设点A(x,y)，对称点A1(x1,y1)
则点和对称点的连线和对称直线垂直。
点和对称点的中点在对称直线上。
 iii. 关于形如y=kx+b的一般直线的对称, iii. 关于形如y=kx+b的一般直线iii. 关于形如y=kx+b的一般直线的对称, iii. 关于形如y=kx+b的一般直线的对称, iii. 关于形如y=kx+b的一般直线的对称, iii. 关于形如y=kx+b的一般直线的对称,的对称,
iii. 关于形如y=kx+b的一般直线的对称
关于一般直线y=kx+b对称，上面说到的y=kx其实类似，以与坐标周交点为圆心做过A点做圆，在对称直线上取过点和点关于直线垂足点为圆心。
设点A(x,y)，对称点A1(x1,y1)
则点和对称点的连线和对称直线垂直。
点和对称点的中点在对称直线上。

b) 圆的有关性质

分析 (1)根据题意，设出并找到B(4，-1)关于x轴的对称点是B'，其坐标为(4，1)，进而可得直线AB'的解析式，进而可得答案；
(2)作点A关于y轴的对称点A′，则A′的坐标为(-4，-6)，把A′向上平移6个单位得到点B'(-4，0)，连接BB′，与y轴交于点D，易得四边形A′B′DC为平行四边形，得到CA′=DB′=CA，则AC+BD=BB′，根据两点之间线段最短得到此时AC+BD最小，即四边形ABDC的周长最短．然后用待定系数法求出直线BB′的解析式y=-$\frac{1}{6}$x-$\frac{2}{3}$，易得D点坐标为(0，-$\frac{2}{3}$)，则有b-6=-$\frac{20}{3}$，即可求出b的值；
(3)根据对称轴的性质，可得存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，当且仅当m=$\frac{5}{2}$，n=-$\frac{10}{3}$时成立．
解答 解：(1)设点B(8，-2)关于y轴的对称点是B'，其坐标为(-8，-2)，
设直线AB'的解析式为y=kx+b，
把A(4，-6)，B'(-8，-2)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=-6}\\{-8k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{14}{3}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{14}{3}$，
令x=0得x=-$\frac{14}{3}$，
即p=-$\frac{14}{3}$．
故答案为：-$\frac{14}{3}$；
(2)作点A关于y轴的对称点A′，则A′的坐标为(-4，-6)，把A′向上平移6个单位得到点B'(-4，0)，连接BB′，与y轴交于点D，如图，
∴CA′=CA，
又∵C(0，b)，D(0，b+6)，
∴CD=，6，
∴A′B′∥CD，
∴四边形A′B′DC为平行四边形，
∴CA′=DB′，
∴CA=DB′，
∴AC+BD=BB′，此时AC+BD最小，
∵CD与AB的长一定，
∴此时四边形ABDC的周长最短．
设直线BB′的解析式为y=kx+b，
把B(8，-2)、B'(-4，0)分别代入得，
8k+b=-2，-4k+b=0，
解得k=-$\frac{1}{6}$，b=-$\frac{2}{3}$，
∴直线BB′的解析式为y=-$\frac{1}{6}$x-$\frac{2}{3}$，
令x=0，则y=-$\frac{2}{3}$，
∴D点坐标为(0，-$\frac{2}{3}$)，
∴b-6=-$\frac{2}{3}$，
∴b=-$\frac{20}{3}$；
故答案为：-$\frac{20}{3}$．
(3)存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，
作A关于y轴的对称点A′，作B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，与x轴、y轴的交点即为点M、N，
∴A′(-4，-6)，B′(8，2)，
∴直线A′B′的解析式为：y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{10}{3}$，
∴M(5，0)，N(0，-$\frac{10}{3}$)．
∴m=5，n=-$\frac{10}{3}$．
故答案为：5，-$\frac{10}{3}$．
点评 本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题．也考查了坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式．

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using namespace std;
class CPoint
{
private:
	double x;  // 横坐标
	double y;  // 纵坐标
public:
	CPoint(double xx=0,double yy=0);
	double GetX(){return x;}
	double GetY(){return y;}
	double Distance(CPoint p) const;   // 两点之间的距离(一点是当前点，另一点为参数p)
	double Distance0() const;          // 到原点的距离
	CPoint SymmetricAxis(const char style);//style取'x','y'和'o'分别表示按x轴, y轴, 原点对称
	void input();  //以x,y 形式输入坐标点
	void output(); //以(x,y) 形式输出坐标点
};
int main()
{
  CPoint aa;
  aa.input();
  CPoint bb(4,3);
  cout<<"点("<<aa.GetX()<<","<<aa.GetY()<<")与"
      <<"点("<<bb.GetX()<<","<<bb.GetY()<<")距离："
      <<aa.Distance(bb)<<endl;
  cout<<"点("<<aa.GetX()<<","<<aa.GetY()<<")到原点距离："
      <<aa.Distance0()<<endl;
  char c='o';
  aa.SymmetricAxis(c);
  cout<<"关于"<<c<<"对称坐标：";
  aa.output();
  return 0;
}
CPoint::CPoint(double xx,double yy):
              x(xx),y(yy){}
double CPoint::Distance(CPoint p) const
{
  return sqrt((x-p.x)*(x-p.x)+(y-p.y)*(y-p.y));
}
double CPoint::Distance0() const
{
  return sqrt(x*x+y*y);
}
CPoint CPoint::SymmetricAxis(const char style)
{
  switch(style)
  {
    case 'x':y=-y;break;
    case 'y':x=-x;break;
    case 'o':x=-x;y=-y;break;
    default :cout<<"输入错误。。。"<<endl;
  }
  return *this;
}
void CPoint::input()
{
  x=3;y=4;
}
void CPoint::output()
{
  cout<<"("<<GetX()<<","<<GetY()<<")"<<endl;
}