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  • 学习平面直角坐标系时,我们知道点A(a,b)关于x对称的点B(a,-b),关于y对称的点C(-a,b)。我们可以运用点的对称性求抛物线关于坐标轴对称的解析式。看如下例题:例1、求抛物线y=x2-4x-3关于x轴对称的抛物线。...
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    学习平面直角坐标系时,我们知道点A(a,b)关于x轴对称的点B(a,-b),关于y轴对称的点C(-a,b)。我们可以运用点的对称性求抛物线关于坐标轴对称的解析式。

    看如下例题:

    例1、求抛物线y=x2-4x-3关于x轴对称的抛物线。

    解法一,利用顶点式:

    y=x2-4x-3=(x-2)2-7

    抛物线y=x2-4x-3的顶点为(2,-7)。

    抛物线y=x2-4x-3关于x轴对称得到的抛物线形状大小与原抛物线一样,但开口的方向改为向下,顶点关于x轴对称。所以所求抛物线的二次项系数是-1,顶点为(2,7)。

    所以,抛物线y=x2-4x-3关于x轴对称的抛物线为y=-(x-2)2+7.

    解法二,利用点的对称性求:

    设点P(x,y)在对称后的抛物线上,则P点关于x轴对称的对称点为P′(x,-y)必在抛物线y=x2-4x-3上。点P′(x,-y)符合解析式y=x2-4x-3。

    所以在y=x2-4x-3中,用x代换x,用-y代换y

    得-y=x2-4x-3,即y=-x2+4x+3为抛物线y=x2-4x-3关于x轴对称的抛物线。

    小结:抛物线关于x轴对称,将解析式中的(x,y)换成它关于x轴对称的点(x,-y),即求出y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线为y=-ax2-bx-c.

    例2. 求抛物线y=2x2+4x-5关于y轴对称的抛物线。

    解法一,利用顶点式:

    y=2x2+4x-5=2(x+1)2-7

    所以,抛物线y=2x2+4x-5的顶点为(-1,-7)。

    因为,抛物线y=2x2+4x-5关于y轴对称后的抛物线形状大小与原来的一样,开口的方向保持不变,顶点关于y轴对称。所以,所求抛物线的二次项系数是2,顶点为(1,-7)。

    所以,抛物线y=2x2+4x-5关于y轴对称的抛物线为y=2(x-1)2-7.

    解法二、利用点的对称性:

    设点P(x,y)在对称后的抛物线上,则P点关于y轴对称的对称点为P′(-x,y)必在抛物线y=2x2+4x-5上,所以,点P′(-x,y)符合解析式y=2x2+4x-5。

    所以在y=2x2+4x-5中,用-x代换x,用y代换y,得y=2(-x)2+4(-x)-5,即y=2x2-4x-5为所求的抛物线。

    小结:抛物线关于y轴对称,即将解析式中的(x,y)换成它的关于y轴的对称点(-x,y),即可求出y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线y=ax2-bx+c.

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  • 2)顶点坐标为 蓝色线框框住那组数据x=-b/2a,y=4ac-b²/4a); 通过这两个代入后,计算,得出a,b,c值,a=-0.00005556821,b=0.0732389013,c c=-2.198227; 第二张图片当中右侧数据绘制出来,用是红色...
  • 此类型题目常常出现于填空题最后两个。相对难度有一些,需要掌握其中套路。1. 知识:两之间线段最短a) 引申... 关于过原点直线的对称,包括y=x,y=-x以及y=kx iii. 关于形如y=kx+b一般直线的对称,1. 知识...

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    此类型题目常常出现于填空题最后两个。相对的难度有一些,需要掌握其中套路。

    1. 知识点:两点之间线段最短

    a) 引申知识点:

    i. 三角形两边之和大于第三边

    ii. 三角形两边之差小于第三边

    2. 知识点: 点关于直线的对称点

    i. 关于坐标轴的对称,以及关于和坐标轴平行直线对称

    ii. 关于过原点直线的对称,包括y=x,y=-x以及y=kx

    iii. 关于形如y=kx+b的一般直线的对称,

    1. 知识点:两点之间线段最短

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    两点之间线段最短, 下图AB长度肉眼可知长度为5.

    a) 引申知识点:

    i. 三角形两边之和大于第三边。也就是下图中AC+BC的最小值

    ii. 三角形两边之差小于第三边。也就是下图中AC-BC的最大值,或者BC-AC的最大值

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    图中AC+BC的为当C点在线段AB内是最小值AC+BC=AB=5

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    当C点处于AB直线上且在A点下方时候取最大值BC-AC=AB=5

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    当C点处于AB直线上且在B点上方时候取最大值AC-BC=AB=5

    点关于直线的对称点

    i. 关于坐标轴的对称,以及关于和坐标轴平行直线对称

    显而易见,对于任意点A(x, y)

    关于y轴对称点B (-x,y)

    关于x轴对称点C(x, -y)

    关于原点对称(或者说是先x轴对称,再y轴对称。反之亦然)D(-x, -y)

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    点A的4个对应点

    而对于和对称轴平行x=a或者y=b来说,主要两种理解方式。
    1. 当成一条直线,则对于点A(x, y) 相当于y=b的距离相等,就是x-b=b-x1,x1=2b-x。其他点同理。

    2. 相当于坐标系的平移,对于y=b,相对于整个坐标系向右平移b个单位,则反过来,现在的点(x,y)本来是(x-b,y),那么(x-b,y)关于y轴对称点就是(b-x,y),在将(b-x,y)向右平移b个单位就是(2b-x,y)。其他点同理。

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    点(3,4)的关于x=1,y=1 的对称点分别是(-1,4),(3,-2),(-1,-2)

    ii. 关于过原点直线的对称,包括y=x,y=-x以及y=kx

    尺规作图来说,关于某条直线对称的点,就是找三角形。找对称三角形,三角形的两个重合顶点,可以取对称直线上面的任意点。(为了方便,其中一个取坐标原点),两者的交点就是需要的对称点。当然对应y=x,以及y=-x,有其套路。

    1. (x, y)关于y=x,是(y, x)相当于坐标互换,关于y=-x,是(-y,-x)相当于互换之后在做关于原点的对称点。

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    2. 关于y=kx对称,如同上面说到的,从几何作图角度将是以原点为圆心做过A点做圆,在对称直线上我们取过点和点关于直线垂足点为圆心。

    设点A(x,y),对称点A1(x1,y1)

    则点和对称点的连线和对称直线垂直。

    点和对称点的中点在对称直线上。

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    可以验证点(3,4)关于y=1/2x对称点是(5,0),关于y=2x对称点是(1.4,4.8)
    iii. 关于形如y=kx+b的一般直线的对称, iii. 关于形如y=kx+b的一般直线iii. 关于形如y=kx+b的一般直线的对称, iii. 关于形如y=kx+b的一般直线的对称, iii. 关于形如y=kx+b的一般直线的对称, iii. 关于形如y=kx+b的一般直线的对称,的对称,

    iii. 关于形如y=kx+b的一般直线的对称

    关于一般直线y=kx+b对称,上面说到的y=kx其实类似,以与坐标周交点为圆心做过A点做圆,在对称直线上取过点和点关于直线垂足点为圆心。

    设点A(x,y),对称点A1(x1,y1)

    则点和对称点的连线和对称直线垂直。

    点和对称点的中点在对称直线上。

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    如图,对于A(3,4)关于y=1/2x+1和y=2x+2的对称点分别为(4.2,1.6),(-0.2,5.6)


    b) 圆的有关性质

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  • (2)作A关于y轴的对称点A′,则A′的坐标为(-4,-6),把A′向上平移6个单位得到B'(-4,0),连接BB′,与y轴交于D,易得四边形A′B′DC为平行四边形,得到CA′=DB′=CA,则AC+BD=BB′,根据两之间线段最短得到...

    分析 (1)根据题意,设出并找到B(4,-1)关于x轴的对称点是B',其坐标为(4,1),进而可得直线AB'的解析式,进而可得答案;

    (2)作点A关于y轴的对称点A′,则A′的坐标为(-4,-6),把A′向上平移6个单位得到点B'(-4,0),连接BB′,与y轴交于点D,易得四边形A′B′DC为平行四边形,得到CA′=DB′=CA,则AC+BD=BB′,根据两点之间线段最短得到此时AC+BD最小,即四边形ABDC的周长最短.然后用待定系数法求出直线BB′的解析式y=-$\frac{1}{6}$x-$\frac{2}{3}$,易得D点坐标为(0,-$\frac{2}{3}$),则有b-6=-$\frac{20}{3}$,即可求出b的值;

    (3)根据对称轴的性质,可得存在使四边形ABMN周长最短的点M、N,当且仅当m=$\frac{5}{2}$,n=-$\frac{10}{3}$时成立.

    解答 解:(1)设点B(8,-2)关于y轴的对称点是B',其坐标为(-8,-2),

    设直线AB'的解析式为y=kx+b,

    把A(4,-6),B'(-8,-2)代入得:$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=-6}\\{-8k+b=-2}\end{array}\right.$,

    解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{14}{3}}\end{array}\right.$,

    ∴y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{14}{3}$,

    令x=0得x=-$\frac{14}{3}$,

    即p=-$\frac{14}{3}$.

    故答案为:-$\frac{14}{3}$;

    (2)作点A关于y轴的对称点A′,则A′的坐标为(-4,-6),把A′向上平移6个单位得到点B'(-4,0),连接BB′,与y轴交于点D,如图,

    ∴CA′=CA,

    又∵C(0,b),D(0,b+6),

    ∴CD=,6,

    ∴A′B′∥CD,

    ∴四边形A′B′DC为平行四边形,

    ∴CA′=DB′,

    ∴CA=DB′,

    ∴AC+BD=BB′,此时AC+BD最小,

    ∵CD与AB的长一定,

    ∴此时四边形ABDC的周长最短.

    设直线BB′的解析式为y=kx+b,

    把B(8,-2)、B'(-4,0)分别代入得,

    8k+b=-2,-4k+b=0,

    解得k=-$\frac{1}{6}$,b=-$\frac{2}{3}$,

    ∴直线BB′的解析式为y=-$\frac{1}{6}$x-$\frac{2}{3}$,

    令x=0,则y=-$\frac{2}{3}$,

    ∴D点坐标为(0,-$\frac{2}{3}$),

    ∴b-6=-$\frac{2}{3}$,

    ∴b=-$\frac{20}{3}$;

    故答案为:-$\frac{20}{3}$.

    (3)存在使四边形ABMN周长最短的点M、N,

    作A关于y轴的对称点A′,作B关于x轴的对称点B′,连接A′B′,与x轴、y轴的交点即为点M、N,

    ∴A′(-4,-6),B′(8,2),

    ∴直线A′B′的解析式为:y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{10}{3}$,

    ∴M(5,0),N(0,-$\frac{10}{3}$).

    ∴m=5,n=-$\frac{10}{3}$.

    故答案为:5,-$\frac{10}{3}$.

    点评 本题考查了轴对称-最短路线问题:通过对称,把两条线段的和转化为一条线段,利用两点之间线段最短解决问题.也考查了坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式.

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  • #include #include #include using namespace std; class CPoint { private: ... double y; // 纵坐标 public: CPoint(double xx=0,double yy=0); double GetX(){return x;} double GetY(){return

    #include<iostream>
    #include<cstdlib>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    class CPoint
    {
    private:
    	double x;  // 横坐标
    	double y;  // 纵坐标
    public:
    	CPoint(double xx=0,double yy=0);
    	double GetX(){return x;}
    	double GetY(){return y;}
    	double Distance(CPoint p) const;   // 两点之间的距离(一点是当前点,另一点为参数p)
    	double Distance0() const;          // 到原点的距离
    	CPoint SymmetricAxis(const char style);//style取'x','y'和'o'分别表示按x轴, y轴, 原点对称
    	void input();  //以x,y 形式输入坐标点
    	void output(); //以(x,y) 形式输出坐标点
    };
    int main()
    {
      CPoint aa;
      aa.input();
      CPoint bb(4,3);
      cout<<"点("<<aa.GetX()<<","<<aa.GetY()<<")与"
          <<"点("<<bb.GetX()<<","<<bb.GetY()<<")距离:"
          <<aa.Distance(bb)<<endl;
      cout<<"点("<<aa.GetX()<<","<<aa.GetY()<<")到原点距离:"
          <<aa.Distance0()<<endl;
      char c='o';
      aa.SymmetricAxis(c);
      cout<<"关于"<<c<<"对称坐标:";
      aa.output();
      return 0;
    }
    CPoint::CPoint(double xx,double yy):
                  x(xx),y(yy){}
    double CPoint::Distance(CPoint p) const
    {
      return sqrt((x-p.x)*(x-p.x)+(y-p.y)*(y-p.y));
    }
    double CPoint::Distance0() const
    {
      return sqrt(x*x+y*y);
    }
    CPoint CPoint::SymmetricAxis(const char style)
    {
      switch(style)
      {
        case 'x':y=-y;break;
        case 'y':x=-x;break;
        case 'o':x=-x;y=-y;break;
        default :cout<<"输入错误。。。"<<endl;
      }
      return *this;
    }
    void CPoint::input()
    {
      x=3;y=4;
    }
    void CPoint::output()
    {
      cout<<"("<<GetX()<<","<<GetY()<<")"<<endl;
    }
    





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