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  • 函数的各种对称
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    2020-12-24 11:10:10

    函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学

    的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个

    基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更

    简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自

    身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性

    质。

    一、

    数自身的对称性探究

    定理

    1.

    函数

    y = f (x)

    的图像关于点

    A (a ,b)

    对称的充要条件是

    f (x) + f (2a

    x) = 2b

    证明:

    (必要性)

    设点

    P(x ,y)

    y = f (x)

    图像上任一点,

    ∵点

    P( x ,y)

    关于点

    A (a ,b)

    的对称点

    P

    (

    2a

    x

    2b

    y

    )也在

    y = f (x)

    图像上,∴

    2b

    y = f (2a

    x)

    y + f (2a

    x)=2b

    f (x) + f (2a

    x) = 2b

    ,必要性得证。

    (充分性)设点

    P(x

    0

    ,y

    0

    )

    y = f (x)

    图像上任一点,则

    y

    0

    = f (x

    0

    )

    f (x) + f (2a

    x) =2b

    f (x

    0

    ) + f (2a

    x

    0

    ) =2b

    ,即

    2b

    y

    0

    = f (2a

    x

    0

    )

    故点

    P

    (

    2a

    x

    0

    2b

    y

    0

    )

    也在

    y = f (x)

    图像上,

    而点

    P

    与点

    P

    关于点

    A (a ,b)

    对称,充分性得征。

    推论:

    函数

    y = f (x)

    的图像关于原点

    O

    对称的充要条件是

    f (x) + f (

    x) = 0

    定理

    2.

    函数

    y = f (x)

    的图像关于直线

    x = a

    对称的充要条件是

    f (a +x) = f (a

    x)

    f (x) = f (2a

    x)

    (证明留给读者)

    推论:函数

    y = f (x)

    的图像关于

    y

    轴对称的充要条件是

    f (x) = f (

    x)

    定理

    3.

    ①若函数

    y = f (x)

    图像同时关于点

    A (a ,c)

    和点

    B (b ,c)

    成中心对称

    (

    a

    b

    )

    ,则

    y = f (x)

    是周期函数,且

    2| a

    b|

    是其一个周期。

    ②若函数

    y = f (x)

    图像同时关于直线

    x = a

    和直线

    x = b

    成轴对称

    (

    a

    b

    )

    ,则

    y = f (x)

    是周期函数,且

    2| a

    b|

    是其一个周期。

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  • X轴对称就是X不变Y 的值变成-Y相同的道理Y对称Y不变X变成-X关于x轴对称就是横坐标不变,纵坐标变相反数,如(2,3)关于x轴对称就是(2,-3),y轴以此类推横坐标不变,纵坐标变成相反数(-2,3)关于x轴对称的点为:(-2,-...

    就是以x为中心,图像两边对称

    什么叫X轴对称?Y轴对称?

    X轴对称就是X不变Y 的值变成-Y相同的道理Y轴对称是Y不变X变成-X

    关于x轴对称就是横坐标不变,纵坐标变相反数,如(2,3)关于x轴对称就是(2,-3),y轴以此类推

    横坐标不变,纵坐标变成相反数

    (-2,3)关于x轴对称的点为:(-2,-3)(-2,3)关于y轴对称的点为:(2,3)总结如下:关于x轴对称的点,横坐标x值不变,纵坐标y值变为相反数关于y轴对称的点,纵坐标y值不变

    有什么公式和方法求x轴对称点,y轴的对称点? 例如:(-2,3)

    点a(x,y)关于y=x轴的对称点是(y,x),互换坐标即可。第二问很奇怪,从直线方程的角度来理解,和第一问没区别。

    将点A关于x轴的对称点误认为是关于y轴的对称点,得到点(-2,-3),求点A的。

    (2,-3)(2,3)(-2,3)

    关于x轴对称的方程,一般来说,不是函数,因为不符合函数的定义。所以也就不可能是偶函数或奇函数了。函数的定义要求,每一个x值(自变量),只有唯一个一个y值

    关于x轴对称,横坐标相等, b是(1,2)

    二次函数关于X轴对称什么意思?关于x轴对称 则函数中的一次项系数为 0 所以函数解析式为 y=ax2+c 如还不明白,请继续追问。如果你认可我的回答,请及时点击【采纳

    还有一个点M【a,b】关于Y轴对称;纵坐标相等,横坐标互为相反数。即什么。

    关于X轴对称:横坐标相等,纵坐标互为相反数。即轴对称;关于原点对称:横坐标和纵坐标都互为相反数。即中心对称

    p(x,y)关于x轴对称的点坐标为(x,-y),关于y轴对称的点坐标为(-x,y),关于原点对称的坐标为(-x,-y)

    这类题应该怎么做。。

    与X轴就是 (x,y)中的 X有变化 Y轴就是 Y有变化 ,, 远点对称就是XY都有变化,, 所谓的变化就是 符号变化,,

    这些是什么意思啊???? 还有些什么 在做几何需要知道的定理概念 我数学

    原点对称是指对任意(x,y),存在(-x,-y)与之对应; x轴对称是指对任意(x,y),存在(-x,y)与之对应; y轴对称是指对任意(x,y),存在(x,-y)与之对应;

    我记得好像有一个是 两个 都是 互为相反数 的 么?、、

    关于x轴对称,横坐标不变,纵坐标变为原来的相反数关于y轴对称,纵坐标不变,横坐标变为原来的相反数

    函数图像关于x轴对称说明什么 两函数 图像关于 X轴对称 有什么性质

    关于x轴对称的应该根据函数定义不算函数,性质就是一个x对应2个互为相反的数

    类似这种正过来说是对的,反过来说是错误的命题多着啊。例如a、b都是正数,则a+b是正数,是对的。但是a+b是正数,则a、b都是正数,是错的。类似关于x轴对称又关

    (3)关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系

    (1) x轴对称的两点纵坐标之和等于零,横坐标相同。(2) y轴是横坐标之和为零,纵坐标相同。(3) 关于原点对称,那就是横坐标之和为零,纵坐标之和也是零

    应该是:两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数。

    标题:关于x轴对称-图象关于y轴对称是什么函数

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  • 高中函数对称性总结

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    中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。2、常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值)常数...

    一、对称性的概念及常见函数的对称性

    1、对称性的概念

    函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。

    中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。

    2、常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值)

    常数函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

    一次函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

    二次函数:是轴对称,不是中心对称,其对称轴方程为x=-b/(2a)。

    反比例函数:既是轴对称又是中心对称,其中原点为它的对称中心,y=x与y=-x均为它的对称轴。

    指数函数:既不是轴对称,也不是中心对称。

    对数函数:既不是轴对称,也不是中心对称。

    幂函数:显然幂函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点;幂函数中的偶函数是轴对称,对称轴是y轴;而其他的幂函数不具备对称性。

    正弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中(kπ,0)是它的对称中心,x=kπ+π/2是它的对称轴。

    正弦型函数:正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称,只需从ωx+φ=kπ中解出x,就是它的对称中心的横坐标,纵坐标当然为零;只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x,就是它的对称轴;需要注意的是如果图像向上向下平移,对称轴不会改变,但对称中心的纵坐标会跟着变化。

    余弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中x=kπ是它的对称轴,(kπ+π/2,0)是它的对称中心。

    正切函数:不是轴对称,但是是中心对称,其中(kπ/2,0)是它的对称中心,容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是(kπ,0)。

    对号函数:对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称,原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴,例如在处理函数y=x+1/x时误以为会有f0.5)=f(1.5),我在教学时总是问学生:你可看见过老师将“√”两边画得一样齐?学生们立刻明白并记忆深刻。

    三次函数:显然三次函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点,而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。

    绝对值函数:这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数,它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方,是否仍然具备对称性,这也没有一定的结论,例如y=│lnx│就没有对称性,而y=│sinx│却仍然是轴对称。

    二、函数的对称性猜测

    1、具体函数特殊的对称性猜测

    一个函数一般是不会关于x轴的

    这是由函数定义决定的,因为一个x不会对应两个y的值。但我们在此略微引申,一个曲线是可能关于x轴对称的。

    例1判断曲线y^2=4x的对称性。

    函数关于y轴对称

    例2判断函数y=cos(sin(x))的对称性。

    函数关于原点对称

    例3判断函数y=(x^3)×sinx的对称性。

    函数关于y=x对称

    例4判断函数y=1/x的对称性。

    函数关于y=-x对称

    例5判断函数y=-4/x的对称性。

    总结:设(x,y)为原曲线图像上任一点,

    如果(x,-y)也在图像上,则该曲线关于x轴对称;

    如果(-x,y)也在图像上,则该曲线关于y轴对称;

    如果(-x,-y)也在图像上,则该曲线关于原点对称;

    如果(y,x)也在图像上,则该曲线关于y=x对称;

    如果(-y,-x)也在图像上,则该曲线关于y=-x轴对称。

    2、抽象函数的对称性猜测

    轴对称

    例6如果函数y=f(x)满足f(x+1)=f(4-x),求该函数的所有对称轴。(任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4),正中间2.5,从而该函数关于x=2.5对称)

    例7如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x),求该函数的所有对称轴。(按上例一样的方法可以猜出对称轴为x=0,可见偶函数是特殊的轴对称)

    例8如果f(x)为偶函数,并且f(x+1)=f(x+3),求该函数的所有对称轴。(因为f(x+1)=f(-x-3),按上例可以猜出对称轴x=-1,又因为它以2为周期,所以x=k是它所有的对称轴,k∈Z)

    中心对称

    例9如果函数y=f(x)满足f(3+x)+f(4-x)=6,求该函数的对称中心。(因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6,所以中点固定为(3.5,3),这就是它的对称中心)

    例10如果函数y=f(x)满足f(-x)+f(x)=0,求该函数的所有对称中心。(按上例一样的方法可以猜出对称中心为(0,0),可见奇函数是特殊的中心对称)

    例11如果f(x)为奇函数,并且f(x+1)+f(x+3)=0,求该函数的所有对称中心和对称轴。(由周期性定义知周期为4,又f(x+1)=-f(x+3),从而f(x+1)=f(-x-3),按上例知x=-1为对称轴,所以x=-1+2n为对称轴,(2k,0)为对称中心,其中k∈Z)

    总结:

    当括号里面x前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性,其中的对称为多少我们可以用特殊值代入来猜测,这里并不主张记结论,因为很容易与后面的结论相混淆。

    而当x前面的符号相同时告诉我们的是周期性。例如f(x+1)=f(x-5)是告诉我们它以6为周期。

    当x前面的符号相同,同时告诉我们奇偶性时我们也可以推出对称性,因为奇偶性有制造负号的能力。

    3、两个抽象函数之间的对称性猜测

    例12求y=f(x+2)与y=f(1-x)的对称轴方程。(当第一个函数的x取0时,值为f(2),这时第二个函数的x必须取-1才也对应那么多,他们的正中间为-1.5,因而猜测对称轴为x=-1.5)

    总结:

    当括号里面x前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性,其中的对称为多少我们仍然可以用特殊值代入来猜测,这里仍然不主张记结论,因为很容易与前面的结论相混淆。

    而当x前面的符号相同时告诉我们的是图像平移。例如y=f(x+2)与y=f(x-1),前者是由后者向左移三个单位得到。

    三、对称性的证明

    如果在解答大题时仅仅猜测出结论是不够的,我们要辅以完整的证明才行。

    1、一个函数的对称性证明

    例13证明如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则该函数关于直线x=(a+b)/2对称。

    证明:在y=f(x)上任取点(m,n),则n=f(m),而点(m,n)关于x=(a+b)/2的对称点为(a+b-m,n),又因为f(a+b-m)=f(a+(b-m))=f(b-(b-m))=f(m)=n,这正表明(a+b-m,n)也在原函数图像上,从而原函数关于直线x=(a+b)/2对称。

    总结:核心是间接法,即在函数上任取一点,对称点如果仍在函数图像上,我们就可以下结论该函数关于它对称。

    2、两个函数之间的对称性的证明

    例14证明函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)关于直线x=(b-a)/2对称。(注意不是(a-b)/2,证明的方法类似于上例方法)

    总结:仍是间接法,但是多一次,需在函数上任取一点,对称点如果在对方函数图像上,同时在对方函数上任取一点,对称点又在该函数图像上,我们才可以下结论该函数关于它对称。取两次的原因是以免两个图像一个只是另一个对称过来图像的一部分。

    3、特别地关于y=x对称性的证明

    例15证明y=(2x+1)/(3x-2)关于y=x对称。(只需求出它的反函数是自己即可)

    总结:

    一个函数自身关于y=x对称不需要用上面的间接法,只需要证明它的反函数是自己就可以了。

    两个函数关于y=x对称性证明也不需要用上面那么繁琐的方法,只需证明两个函数互为反函数,即求一个的反函数为另外一个就可以了。

    反过来这句话也成立,如果需要证明两个函数互为反函数,只需要证明它们的图像关于y=x对称即可。

    四、对称性的运用

    1、求值

    例16已知f(x)=4^x/(4^x+1),求f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值。(我们只需要考虑当两个自变量加起来为0时函数值的和是否为定值,验证果然。而这里显然隐含的是函数的对称性)

    总结:“配对”,对称性主要是考查一对函数值之间的关系。

    2、“对称性+对称性”可以推导出周期性

    例17如果函数y=f(x)满足f(x+3)=f(2-x)和f(4+x)=f(5-x),求该函数的最小正周期。(因为f(x+3)=f(2-x)=f(4+(-2-x))

    =f(5-(-2-x))=f(7+x)所以周期为4)

    总结:两个对称性拼起来就可以将里面的符号化为同号,从而得出周期性。

    3、“奇偶性+对称性”可以推导出周期性

    这在前面已经提到,还是因为奇偶性有制造负号的能力。

    4、三角函数的奇偶性

    例18如果函数y=3sin(2x+θ+π/4)(其中0

    总结:几乎所有的三角函数的奇偶性都是当对称性来使用,先求出所有的对称轴,然后y轴是其中的一条(或者先求出所有的对称中心,然后原点是其中的一个)。

    5、关于y=x对称的应用

    例19求函数f(x)=e^(x+1)与函数g(x)=ln(x+1)的对称轴方程。(因为f(x)=e^x与g(x)=lnx互为反函数,关于y=x对称,而f(x)=e^(x+1)是由f(x)=e^x向左移一个单位得到,g(x)=ln(x+1)也是由g(x)=lnx向左移一个单位得到,因而对称轴也跟着左移一个单位,即y=x+1)

    6、对称性的本义

    例20如果y=asinx+bcosx关于x=π/4对称,求直线ax+by+3=0的直线的斜率。(既然关于x=π/4对称,则f(0)=f(π/2)代入求出a和b的关系即可)

    总结:对称性的本义就是关于对称中心(或对称轴)对称的两个自变量的函数值的紧密关系。

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