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  • 学习平面直角坐标系时,我们知道点A(a,b)关于x轴对称的点B(a,-b),关于y轴对称的点C(-a,b)。我们可以运用点的对称性求抛物线关于坐标轴对称的解析式。看如下例题:例1、求抛物线y=x2-4x-3关于x轴对称的抛物线。...
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    学习平面直角坐标系时,我们知道点A(a,b)关于x轴对称的点B(a,-b),关于y轴对称的点C(-a,b)。我们可以运用点的对称性求抛物线关于坐标轴对称的解析式。

    看如下例题:

    例1、求抛物线y=x2-4x-3关于x轴对称的抛物线。

    解法一,利用顶点式:

    y=x2-4x-3=(x-2)2-7

    抛物线y=x2-4x-3的顶点为(2,-7)。

    抛物线y=x2-4x-3关于x轴对称得到的抛物线形状大小与原抛物线一样,但开口的方向改为向下,顶点关于x轴对称。所以所求抛物线的二次项系数是-1,顶点为(2,7)。

    所以,抛物线y=x2-4x-3关于x轴对称的抛物线为y=-(x-2)2+7.

    解法二,利用点的对称性求:

    设点P(x,y)在对称后的抛物线上,则P点关于x轴对称的对称点为P′(x,-y)必在抛物线y=x2-4x-3上。点P′(x,-y)符合解析式y=x2-4x-3。

    所以在y=x2-4x-3中,用x代换x,用-y代换y

    得-y=x2-4x-3,即y=-x2+4x+3为抛物线y=x2-4x-3关于x轴对称的抛物线。

    小结:抛物线关于x轴对称,将解析式中的(x,y)换成它关于x轴对称的点(x,-y),即求出y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线为y=-ax2-bx-c.

    例2. 求抛物线y=2x2+4x-5关于y轴对称的抛物线。

    解法一,利用顶点式:

    y=2x2+4x-5=2(x+1)2-7

    所以,抛物线y=2x2+4x-5的顶点为(-1,-7)。

    因为,抛物线y=2x2+4x-5关于y轴对称后的抛物线形状大小与原来的一样,开口的方向保持不变,顶点关于y轴对称。所以,所求抛物线的二次项系数是2,顶点为(1,-7)。

    所以,抛物线y=2x2+4x-5关于y轴对称的抛物线为y=2(x-1)2-7.

    解法二、利用点的对称性:

    设点P(x,y)在对称后的抛物线上,则P点关于y轴对称的对称点为P′(-x,y)必在抛物线y=2x2+4x-5上,所以,点P′(-x,y)符合解析式y=2x2+4x-5。

    所以在y=2x2+4x-5中,用-x代换x,用y代换y,得y=2(-x)2+4(-x)-5,即y=2x2-4x-5为所求的抛物线。

    小结:抛物线关于y轴对称,即将解析式中的(x,y)换成它的关于y轴的对称点(-x,y),即可求出y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线y=ax2-bx+c.

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  • %% 直线为中心对称的圆 clc; clear; hold on syms x y; % 画对称 x1=-20:0.1:20; k=1; b1=10; f1(x)=k.*x+b1; plot(x1,f1(x1)); theta=0:2*pi/3600:2*pi; R=4; Circle1=10+R*cos(theta); Circle2=10+R*sin(theta...

    %% 直线为轴中心对称的圆
    clc;
    clear;
    hold on
    syms x y;
    % 画对称轴
    x1=-20:0.1:20;
    k=1;
    b1=10;
    f1(x)=k.*x+b1;
    plot(x1,f1(x1));
    theta=0:2*pi/3600:2*pi;
    R=4;
    Circle1=10+R*cos(theta);
    Circle2=10+R*sin(theta);
    plot(Circle1,Circle2,'m','Linewidth',3);
    x1=Circle1;
    y1=Circle2;
    % 对称点坐标(2*x0-x1,2f(x0)-y1)
    b0=y1+(1/k).*x1;
    x0=(b0-b1).*(k/(k^2+1));
    x2=2*x0-x1;
    y2=2*f1(x0)-y1;
    plot(x2,y2,'r-');
    axis equal

    %% 直线为轴中心对称的三角形
    close all; clear all; clc
    hold on
    x1=-20:0.1:20;
    syms x
    k=1/2;
    b1=4;
    f1(x)=k.*(x+2)+b1;
    plot(x1,f1(x1),'b');

    x1=1;x2=2;x3=1;
    y1=1;y2=2;y3=3;
    triangle_x1=[x1,x2,x3,x1];
    triangle_y1=[y1,y2,y3,y1];
    fill(triangle_x1,triangle_y1,'r');

    % 对称点坐标(2*x0-x1,2f(x0)-y1)
    b0=triangle_y1+(1/k).* triangle_x1;
    x0=(b0-b1).*(k/(k^2+1));
    triangle_x2=2*x0-triangle_x1;
    triangle_y2=2*f1(x0)-triangle_y1;
    % triangle_y2=[1,2,1,1];
    fill(triangle_x2,triangle_y2,'b');
    axis([-5 5 -5 30])
    axis equal;

     

    %% 点为中心对称的三角形
    close all; clear all; clc
    hold on
    x0=1.5;
    y0=2;
    plot(x0,y0,'*')
    x1=1;x2=2;x3=1;
    y1=1;y2=2;y3=3;
    triangle_x1=[x1,x2,x3,x1];
    triangle_y1=[y1,y2,y3,y1];
    fill(triangle_x1,triangle_y1,'r');
    triangle_x2=2*x0-triangle_x1;
    triangle_y2=2*y0-triangle_y1;
    fill(triangle_x2,triangle_y2,'b');
    axis equal;


     

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  • 分析出椭圆右上部分、右下部分中点画线方法,并将所得点关于y轴对称,得出整个椭圆图案。 二、代码实现 待补 /* 程序:中点画线法实现焦点在x\y轴上椭圆绘制 编译环境:Visual C++ 6.0 EasyX_20200109(beta) ...

    【计算机图形学】中点画线法实现焦点在x、y轴上的椭圆绘制

    一、中点画线法原理简介

    1.建立基础

    2.具体分析

    • 待补具体图例

    二、代码实现

    • 分析出椭圆右上部分、右下部分的中点画线方法,并将所得点关于y轴对称,得出整个椭圆图案。
    /*
    程序:中点画线法实现焦点在x\y轴上的椭圆绘制
    编译环境:Visual C++ 6.0 EasyX_20200109(beta)
    作者ID:weixin_43536824
    邮箱:changye303@163.com
    */
    #include <easyx.h>
    #include <graphics.h>
    #include <conio.h>
    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    
    //情况1:画上部分(屏幕显示为下部分)
    void GetOvalUp(double a,double b,double m,double n,int COLOR,int c){
    	double x,y,d,xx,yy,l;
    	double xp = m+pow(a,2)/sqrt(pow(a,2)+pow(b,2));
    	double yp = n+pow(b,2)/sqrt(pow(a,2)+pow(b,2));
    	double xpp = pow(a,2)/sqrt(pow(a,2)+pow(b,2));
    	double ypp = pow(b,2)/sqrt(pow(a,2)+pow(b,2));
    	double d10 = pow(a,2)*(0.25-b)+pow(b,2);
    	double d20 = pow(b,2)*pow(xpp+0.5,2)+pow(a,2)*pow(ypp-1,2)-pow(a,2)*pow(b,2);
    	
    	//x <= xp:
    	x = m;
    	y = n+b;
    	xx = 0;
    	yy = b;
    	moverel((int)x,(int)y);
    	d = d10;
    	while (x <= xp){
    		if(d < 0){
    			//若焦点在x轴上
    			if(c==0){
    				putpixel((int)x,(int)y,COLOR);
    			    l = x-m;
    			    putpixel((int)(m-l),(int)y,COLOR);		
    			}
    			//若焦点在y轴上
    			else{
    				putpixel((int)y,(int)x,COLOR);
    			    l = x-m;
    			    putpixel((int)y,(int)(m-l),COLOR);		
    			}
    			d+= (pow(b,2)*(2*xx+3));
    			x+= 1;
    			xx+=1;
    		}
    		else{
    			//若焦点在x轴上
    			if(c==0){
    				putpixel((int)x,(int)y,COLOR);
    			    l = x-m;
    			    putpixel((int)(m-l),(int)y,COLOR);		
    			}
    			//若焦点在y轴上
    			else{
    				putpixel((int)y,(int)x,COLOR);
    			    l = x-m;
    			    putpixel((int)y,(int)(m-l),COLOR);		
    			}
    			d+= (pow(b,2)*(2*xx+3)+pow(a,2)*(2-2*yy));
    			x+= 1;
    			y-= 1;
    			xx+= 1;
    			yy-= 1;
    		}
    	}
    
    	//x > xp:
    	x = xp;
    	y = yp;
    	xx = xpp;
    	yy = ypp;
    	moverel((int)x,(int)y);
    	d = d20;
    	while(x >= xp && x <= m+a && y >= n ){
    		if(d < 0){
    			//若焦点在x轴上
    			if(c==0){
    				putpixel((int)x,(int)y,COLOR);
    			    l = x-m;
    			    putpixel((int)(m-l),(int)y,COLOR);	
    			}
    			//若焦点在y轴上
    			else{
    				putpixel((int)y,(int)x,COLOR);
    			    l = x-m;
    			    putpixel((int)y,(int)(m-l),COLOR);		
    			}
    			d+= (pow(b,2)*(2*xx+2)+pow(a,2)*(3-2*yy));
    			y-= 1;
    			x+= 1;
    			yy-= 1;
    			xx+= 1;
    		}
    		else{
    			//若焦点在x轴上
    			if(c==0){
    				putpixel((int)x,(int)y,COLOR);
    			    l = x-m;
    			    putpixel((int)(m-l),(int)y,COLOR);		
    			}
    			//若焦点在y轴上
    			else{
    				putpixel((int)y,(int)x,COLOR);
    			    l = x-m;
    			    putpixel((int)y,(int)(m-l),COLOR);		
    			}
    	
    			d+= pow(a,2)*(3-2*yy);
    			y-= 1;
    			yy-= 1;
    		}
    	}
    }
    
    //画下部分(屏幕上显示为上部分)
    void GetOvalDown(double a,double b,double m,double n,int COLOR,int c){
    	double x,y,d,xx,yy,l;
    	double xp = m+pow(a,2)/sqrt(pow(a,2)+pow(b,2));
    	double yp = n-pow(b,2)/sqrt(pow(a,2)+pow(b,2));
    	double xpp = pow(a,2)/sqrt(pow(a,2)+pow(b,2));
    	double ypp = (-1)*(pow(b,2)/sqrt(pow(a,2)+pow(b,2)));
    	double d10 = pow(a,2)*(0.25-b)+pow(b,2);
    	double d20 = pow(b,2)*pow(xpp+0.5,2)+pow(a,2)*pow(ypp+1,2)-pow(a,2)*pow(b,2);
    
    	//x <= xp:
    	x = m;
    	y = n-b;
    	xx = 0;
    	yy = -1*b;
    	moverel((int)x,(int)y);
    	d = d10;
    	while (x <= xp){
    		if(d < 0){
    			//若焦点在x轴上
    			if(c==0){
    				putpixel((int)x,(int)y,COLOR);
    			    l = x-m;
    			    putpixel((int)(m-l),(int)y,COLOR);		
    			}
    			//若焦点在y轴上
    			else{
    				putpixel((int)y,(int)x,COLOR);
    			    l = x-m;
    			    putpixel((int)y,(int)(m-l),COLOR);		
    			}
    		
    			d+= (pow(b,2)*(2*xx+3));
    			x+= 1;
    			xx+= 1;
    		}
    		else{
    			//若焦点在x轴上
    			if(c==0){
    				putpixel((int)x,(int)y,COLOR);
    			    l = x-m;
    			    putpixel((int)(m-l),(int)y,COLOR);		
    			}
    			//若焦点在y轴上
    			else{
    				putpixel((int)y,(int)x,COLOR);
    			    l = x-m;
    			    putpixel((int)y,(int)(m-l),COLOR);		
    			}
    	
    			d+= (pow(b,2)*(2*xx+3)+pow(a,2)*(2+2*yy));
    			x+= 1;
    			y+= 1;
    			xx+= 1;
    			yy+= 1;
    		}
    	}
    	//x > xp:
    	x = xp;
    	y = yp;
    	xx = xpp;
    	yy = ypp;
    	moverel((int)x,(int)y);
    	d = d20;
    	while(x >= xp && y <= n){
    		if(d < 0){
    			//若焦点在x轴上
    			if(c==0){
    				putpixel((int)x,(int)y,COLOR);
    			    l = x-m;
    			    putpixel((int)(m-l),(int)y,COLOR);		
    			}
    			//若焦点在y轴上
    			else{
    				putpixel((int)y,(int)x,COLOR);
    			    l = x-m;
    			    putpixel((int)y,(int)(m-l),COLOR);		
    			}
    	
    			d+= (pow(b,2)*(2*xx+2)+pow(a,2)*(3+2*yy));
    			y+= 1;
    			x+= 1;
    			yy+= 1;
    			xx+= 1;
    		}
    		else{
    			//若焦点在x轴上
    			if(c==0){
    				putpixel((int)x,(int)y,COLOR);
    			    l = x-m;
    			    putpixel((int)(m-l),(int)y,COLOR);		
    			}
    			//若焦点在y轴上
    			else{
    				putpixel((int)y,(int)x,COLOR);
    			    l = x-m;
    			    putpixel((int)y,(int)(m-l),COLOR);		
    			}
    			d+= pow(a,2)*(3+2*yy);
    			y+= 1;
    			yy+= 1;
    		}
    	}
    }
    
    
    //画椭圆函数
    //c=0,画焦点在x轴上的椭圆
    //c=1,画焦点在y轴上的椭圆
    void GetOval(double a,double b,double m,double n,int COLOR,int c){
    		GetOvalUp(a,b,m,n,COLOR,c);
    	    GetOvalDown(a,b,m,n,COLOR,c);
    }
    int main(){
    	initgraph(500,500);	//创建绘图窗口
    	GetOval(200,100,250,250,WHITE,1);
    	getch();			//按任意键继续
    	closegraph();		//关闭绘图窗口
    	return 0;
    }
    
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  • 图形的基本对称

    2019-10-05 16:49:25
    2.关于任意平行于y轴直线图像的对称 3.关于任意点的对称 4.关于直线y=x对称 5.关于直线y=-x对称 编译器:vs2013 1 // x对称.cpp : 定义控制台应用程序入口点。 2 // 3 4 #include "stdafx.h" 5...

    1.关于任意平行于x轴直线图像的对称

    2.关于任意平行于y轴直线图像的对称

    3.关于任意点的对称

    4.关于直线y=x对称

    5.关于直线y=-x对称

     

    编译器:vs2013

      1 // x对称.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
      2 //
      3 
      4 #include "stdafx.h"
      5 #include<stdio.h>
      6 #include"graphics.h"
      7 #include<stdlib.h>
      8 
      9 //函数声明
     10 void SymmetricalY(int a[], int y);//关于x的直线对称
     11 void SymmetricalX(int a[], int x);//关于y的直线对称
     12 void Symmetricalxy(int a[], int x, int y);//关于随机点对称
     13 void Symmetricaly_x(int a[]);//关于y=x对称
     14 void Symmetricaly__x(int a[]);    //关于y=-x对称
     15 
     16 int main()
     17 {
     18     int gdriver = DETECT, gmove;
     19     int a[28] = { 100, 100, 150, 150, 250, 150, 250, 0, 350, 150, 450, 150, 500, 200, 450, 250, 350, 250, 250, 400, 250, 250, 150, 250, 100, 300, 100, 100 };
     20 
     21     //关于x的直线对称
     22     /*int x;
     23     
     24     printf("please input the line x= ");
     25     scanf_s("%d", &x);
     26 
     27     initgraph(&gdriver, &gmove, "");
     28 
     29     drawpoly(14, a);
     30 
     31     SymmetricalX(a, x);*/
     32 
     33     //关于y的直线对称
     34     /*int y;
     35 
     36     printf("please input the line y= ");
     37     scanf_s("%d", &y);
     38 
     39     initgraph(&gdriver, &gmove, "");
     40 
     41     drawpoly(14, a);
     42 
     43     SymmetricalY(a, y);*/
     44 
     45     //关于随机点对称
     46     /*int x, y;
     47 
     48     printf("please inout the point:\n");
     49     scanf_s("%d%d", &x, &y);
     50 
     51     initgraph(&gdriver, &gmove, "");
     52 
     53     drawpoly(14, a);
     54     Symmetricalxy(a,  x,  y);*/
     55 
     56     //关于y=x对称
     57     /*initgraph(&gdriver, &gmove, "");
     58     drawpoly(14, a);
     59     Symmetricaly_x(a);*/
     60 
     61     //关于y=-x对称
     62     initgraph(&gdriver, &gmove, "");
     63     drawpoly(14, a);
     64     Symmetricaly__x(a);
     65 
     66     system("pause");
     67 
     68     closegraph();
     69 
     70     return 0;
     71 }
     72 
     73 //绕任意x直线对称
     74 void SymmetricalX(int a[], int x)
     75 {
     76     int i,b[28];
     77 
     78     for (i = 0; i < 28; i = i + 2)
     79     {
     80         b[i] = 2 * x - a[i];
     81         b[i + 1] = a[i + 1];
     82     }
     83 
     84     drawpoly(14,b);
     85 }
     86 
     87 //绕任意y直线对称
     88 void SymmetricalY(int a[], int y)
     89 {
     90     int i, b[28];
     91 
     92     for (i = 0; i < 28; i = i + 2)
     93     {
     94         b[i+1] = 2 * y - a[i+1];
     95         b[i] = a[i];
     96     }
     97 
     98     drawpoly(14, b);
     99 }
    100 
    101 //关于某一点对称
    102 void Symmetricalxy(int a[], int x, int y)
    103 {
    104     int i, b[28];
    105 
    106     for (i = 0; i < 28; i = i + 2)
    107     {
    108         //平移至原点
    109         b[i] = a[i] - x;
    110         b[i + 1] = a[i + 1] - y;
    111         //原点的对称变换
    112         b[i] = -b[i];
    113         b[i + 1] = -b[i+1];
    114         //平移回去
    115         b[i] = b[i] + x;
    116         b[i + 1] = b[i + 1] + y;
    117     }
    118 
    119     drawpoly(14, b);
    120 }
    121 
    122 //关于y=x对称
    123 void Symmetricaly_x(int a[])
    124 {
    125     int i, b[28];
    126 
    127     for (i = 0; i < 28; i = i + 2)
    128     {
    129         //交换xy的坐标值
    130         b[i + 1] = a[i];
    131         b[i] = a[i + 1];
    132     }
    133 
    134     drawpoly(14, b);
    135 }
    136 
    137 //关于y=-x对称
    138 void Symmetricaly__x(int a[])
    139 {
    140     int i, b[28];
    141 
    142     for (i = 0; i < 28; i = i + 2)
    143     {
    144         //交换负xy的坐标值
    145         b[i + 1] = -a[i];
    146         b[i] = -a[i + 1];
    147     }
    148 
    149     drawpoly(14, b);
    150 }

     

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关于y轴对称的图形