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  • 题图来源:https://zhidao.baidu.com/question/495472211249527164.html对于高于3维的欧氏空间没有直观...(关于向量空间的内容可查看知之子:向量空间的定义|线性代数漫步(三))下面叙述仿射空间和欧氏空间(这...

    题图来源:https://zhidao.baidu.com/question/495472211249527164.html

    对于高于3维的欧氏空间没有直观的描述,这些概念的建立需要借助于向量空间和适当的公理系统。


    元数组的集合
    中,规定欧几里得内积如下:

    是一个
    维欧氏向量空间。

    (关于向量空间的内容可查看知之子:向量空间的定义|线性代数漫步(三))

    下面叙述仿射空间和欧氏空间(这里的“欧氏空间”与上文的欧氏向量空间是两个不同的概念,给出定义后会详细说明)。

    • 非人话定义1.1:
      维向量空间,
      是一个非空集合,
      中的元素称为点。如果存在一个映射
      ,把
      中任意一对有序点
      映射到
      中的一个向量
      ,且满足以下条件:
      • ,存在唯一的点
        ,使得
      • ,恒等式
        成立。

    则称

    仿射空间
    是仿射空间
    伴随的向量空间

    要理解这一堆话说了啥,就需要把脑子里面以前对点、向量这些建立起来的直观概念压一压,从集合、映射的角度来把这些抽象表达掰开揉碎了消化。

    中的元素称为“点”并没有什么非此不可的理由,只是为了与后面将要给出的欧氏空间的定义相配合,毕竟以前欧氏空间中的元素都是称作“点”的。这就像向量空间中的元素称作“向量”一样。它只是一个名字,并不一定要跟它以前的直观意义搭得上。

    映射

    中两个元素组成一个有序对(
    这个符号就是表示集合
    两个集合元素组成的有序对的集合),然后能够唯一确定到
    中的一个元素。这个映射满足第一个条件是说,对于有序对
    ,映射的像都是向量空间
    中的零元素
    。剩下两个条件也很好解读,这里就不赘述了。

    如果在仿射空间

    中取定一点
    ,则从定义可知,空间
    中的点与伴随的向量空间
    中的元素是一一对应的:

    此时,把取定的点

    称为空间
    的原点,向量
    称为点
    的向径。这些向径都有同一个固定起点

    当然,如果不取定原点,那么空间

    中可能有不止一对有序点能够映到
    中同一个向量上。这一点是很显然的,直观上来看,就是长度和方向分别相同的两条有向线段可以代表同一个向量。如下图,由
    经映射
    到一个向量
    ,由
    映射到一个向量,但是一般这两个像定义为同一个元素。

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    有向线段的平行移动

    定义1.1的条件(2)还表明,每一个向量

    给出了一个
    到其自身的变换。这个变换把任意一个元素
    映为
    ,并使得
    此处有一个需要着重理解的地方,就是集合
    中的“元素”
    现在可以看成一个“映射”
    。顺便一提,这个变换也有一个直观的名字叫“平行移动”。
    • 定义1.2:
      维仿射空间,
      是其伴随的向量空间。任取
      中一点
      中的一组基底
      ,称
      是仿射空间中
      的一个
      标架

    在仿射空间

    中取定一个标架
    就相当于在
    中建立了一个坐标系。此时点
    元实数组
    建立了一一对应的关系:

    实数组

    就称为点
    在标架
    下的坐标,或点
    关于标架
    的坐标。

    点与实数组的这种一一对应关系依赖于选取的标架,不同的标架会使得同一个

    点跟不同的实数组对应。当然,只要取定标架,
    中的点跟实数组的对应关系就建立好了。
    • 定义1.3
      维欧氏向量空间,则以
      为伴随向量空间的仿射空间称为
      维欧氏空间,记作
      。欧氏空间中任意两点之间的距离定义为

    可以看出,

    关于这样定义的距离函数
    成为度量空间。(度量空间的定义在网上很容易查到,比如度量空间_百度百科或者参看Roman, S., Advanced linear algebra, third edition, Springer, 2008.)

    需要强调的是仿射空间、欧氏空间是点的空间,而向量空间、欧氏向量空间是向量的空间。向量之间有代数运算(如加法),而我们没有在点与点之间定义代数运算。上文中,就连点与点之间的距离都是通过伴随的向量空间中的内积定义的。点与向量的联系是通过定义1.1中的条件建立起来的,并且仿射空间和它所伴随的向量空间作为集合而言是可以建立一一对应的。

    对于

    维向量空间来说,它还有一个特殊的身份,就是
    维向量空间也可以是一个
    维仿射空间,如下——

    。对于任意的
    ,令映射

    右端的运算是向量空间中的减法。显然,当

    时,

    于是仿射空间的第一个条件满足。

    对于

    ,使得
    是唯一确定的,它就是
    。于是第二个条件也满足。

    对于

    这下三个条件都齐齐整整了。因此

    维仿射空间,它的伴随向量空间是作为向量空间的

    从上面的叙述可以知道,

    元数组的集合
    具有多重身份。首先,这是一个
    维向量空间。定义欧几里得内积之后,它也是一个
    维欧氏向量空间。

    中的元素看作一个“点”,则按照刚刚叙述的,它也是一个仿射空间,它的伴随向量空间就是作为
    维向量空间的它自己。

    这个集合具有如此的“精神分裂症”在数学中是很常见的。对于同一个集合,赋予不同性质的运算、关注它不同的方面,就能给它贴上某种“空间”或者某种“代数结构”的标签。比如,全体整数集合

    可以构成整数加群
    ,带有乘法之后,又是一个整数环
    。此外,刚刚研究过的
    也可以构成一个加群
    ,事实上这是它作为向量空间的基础。
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  • 一、希尔伯特空间的直和和直积对于有限维空间的直和和直积(或称张量积)我们不陌生,而在无穷维空间中,这也容易推广,当然我们得考虑新的空间中的内积,以及新空间关于此内积的完备性。对于有限个空间的直和,考虑...

    一、希尔伯特空间的直和和直积

    对于有限维空间的直和和直积(或称张量积)我们不陌生,而在无穷维空间中,这也容易推广,当然我们得考虑新的空间中的内积,以及新空间关于此内积的完备性。

    对于有限个空间的直和,考虑

    容易想到,新内积为

    如果我们把直和的数量推广至可数个,那么需要限制

    那么由柯西不等式,可保证内积存在

    对于直积,我们只能考虑有限个空间的直积,因为无穷元函数并不好定义,而

    是由多重线性映射
    构成的线性空间的子空间,需要满足 2范数有限,即

    自然定义

    并由柯西不等式保证内积存在。

    我们通常用到的是2范数有限的张量,即

    (乘方表示笛卡尔积),且
    ,如同有限维记作
    张量,
    表示2范数有限,括号区别算子范数,因为算子是
    型张量。

    考虑一组向量的直积

    ,易知(实际上这就是向量直积的定义)


    这里涉及到纠缠态的问题,实际上纠缠态就是不能写成直积的态,但总可以写成直积的和,这么看来纠缠态反而应该是主流的。但大量粒子合在一起时会发生退相干,使得纠缠态退化为直积态,这也是目前量子比特难以制成的原因。

    二、Fock空间的构造

    一个n粒子态由一个

    型完全对称或反对称张量表示:

    其中

    的一个置换,而
    为此置换的逆序数(也可以看作此置换可拆分为对换的个数)。

    对于任何

    型张量,可以考虑其对称和反对称化:

    其中对称

    张量表示一个n粒子玻色子态,记作
    ;反对称的
    张量表示一个n粒子费米子态,记作

    那么

    就分别构成了玻色子和费米子的Fock空间。

    我们定义粒子数算子

    ,这样n粒子态的全体就构成了粒子数算子的特征子空间。

    三、产生与湮灭算子

    一般书上的产生与湮灭算子实际上是一组基底的产生与湮灭算子,实际上任何一个态,不管它是否作为基底考虑,都可以对应一个产生与湮灭算子。

    我们要求产生算子把n粒子态变为(n+1)粒子态,而湮灭算子相反,并把无粒子态(即真空)湮灭为0向量

    。而最自然地改变张量类型的方法就是张量积和缩并,所以我们定义:

    它们满足对易关系:

    或者反对易关系:

    一般书上的产生湮灭算子是其特例

    ,其中
    是一组单粒子空间的正交归一基,而通常的对易关系,可由上面的一般对易关系和正交归一基的定义得出。

    四、玻色子的相干态

    对于玻色子单粒子态

    ,定义其相干态:

    其中

    表示n个
    的直积,显然它是对称的,于是这的确是一个玻色子态, 对于任何玻色子态
    ,总有:

    那么我们就可以把任何一个Fock空间中的态对应到一个单粒子对偶空间上的解析泛函。

    五、希尔伯特空间的外代数

    外代数的内积要求满足

    这个内积和张量的内积差了个

    的因子,实际上一个n阶完全反对称张量
    ,对它的任何非0分量,可以做一次置换,保持不变或改变负号,而内积中出现两个张量,于是负号抵消,这个分量在内积中重复运算了
    次从而可以去除掉。

    重新定义

    我们使用一套新记号与原记号做区别,由外积定义:

    从而

    ,刚好
    ,于是

    对于一般的Fock态,其内积定义为各n粒子分量内积之和,此时

    不断压低大量粒子分量,使得原来一些范数不收敛的情况变得收敛,也就是说外代数实际上是比费米子的Fock空间更大的,而
    也更弱。

    则保证了
    从而使得外代数的外积关于范数连续,使外代数成为一个巴拿赫代数(由于此范数由内积给出,也可称为希尔伯特代数)。

    在量子场论中,我们对费米子做路径积分时用到了Grassmann数,而外代数就是一种Grassmann数具体化的方法,而其中Grassmann数的生成元可以看作是单粒子空间的一组基,函数可以看作一个一般的外代数元素,而对函数的积分满足

    ,这并不是通常意义的积分,叫做Berezin积分,它可以用外代数的内乘(interior product)来解释。注意内积的英文是 inner product。

    而内乘需要用到对偶向量,

    ,一般外代数是定义在
    型张量的空间中,然后用一个向量做内乘,本文为了对比外代数和费米子的Fock空间,使用了
    型张量。当然有了内积后,向量和对偶向量是通的,不会造成多大问题。

    而Berezin积分的真实意思是

    ,这里*号表示按内积取得对偶,而不是Hodge对偶。
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  • 距离用于衡量同一空间不同元素之间的差异,下面是关于距离的属性:1)元素之间的距离大于等于0,若距离等于0则为相同元素。d(x,y)>=0 x=y时 d(x,y)=02)A到B的距离等于B到A的距离。d(x,y)=d(y,x)3)满足三角不等式。...

    1.  距离、向量空间、度量空间、线性度量空间

    距离包括各个点之间的距离,向量之间的距离,曲线之间的距离,函数之间的距离等。

    距离用于衡量同一空间不同元素之间的差异,下面是关于距离的属性:

    1)元素之间的距离大于等于0,若距离等于0则为相同元素。d(x,y)>=0  x=y时 d(x,y)=0

    2)A到B的距离等于B到A的距离。d(x,y)=d(y,x)

    3)满足三角不等式。d(x,y)<=d(x,c)+d(c,y)

    拥有距离的空间叫做度量空间。

    线性结构,如向量的加法、数乘,使其满足加法的交换律、结合律、零元、负元;数乘的交换律、单位一;数乘与加法的结合律(两个)共八点要求:

    1)交换律  x+y=y+x

    2)   结合律  (x+y)+z=x+(y+z)

    3)   零元素   x+0=x

    4)   负元素 在空间中每一个元素x,都有元素y,使得x+y=0

    5)   1x=x

    6)   k(lx)=(kl)x

    7)   (k+l)x=kx+lx

    8)   k(x+y)=kx+ky

    从而形成一个线性空间,这个线性空间就是向量空间,线性空间又叫向量空间。

    度量空间+线性结构⟶线性度量空间

    2. 范数、赋范空间、度量空间与赋范空间的关系

    范数的概念,表示某点到空间零点的距离:

    1. ||x|| ≥0;

    2. ||ax||=|a|||x||;

    3. ||x+y||≤||x||+||y||。

    拥有范数的空间称为赋范空间。赋范空间一定是度量空间。

    赋范空间+线性结构⟶线性赋范空间

    3. 内积、内积空间、欧几里得空间

    内积:

    设K是实数域或复数域,H是K上线性空间,如果对H中任何两个向量x,y,都对应着一个数(x,y)∈K,满足条件:

    1.(共轭对称性)

    192829829_4_20200612061621146.png

    2.(对第一变元的线性性)对任何x,y,z∈H及α,β∈K,有(αx+βy,z)=α(x,z)+β(y,z).

    3.(正定性)对一切x∈H,有(x,x)≥0且(x,x)=0⇔x=0

    在范数的概念上加了角度限制条件。拥有内积的空间叫做内积空间。内积空间一定是赋范空间。

    有限维内积空间是欧几里得空间。欧几里得空间是一个定义了内积的实数域上的向量空间。

    4. 完备性、希尔伯特空间、巴拿赫空间

    集合中的元素取极限不超出此空间称其具有完备性。

    例如:有理数组成的一个集合{1,1.4,1.41,1.414,1.4142…},此集合极限为√2,而√2是无理数,不是有理数,即有理数不具备完备性。一个通俗的理解是把学校理解为一个空间,你从学校内的宿舍中开始一直往外走,当走不动停下来时(极限收敛),发现已经走出学校了(超出空间),不在学校范围内了(不完备了)。

    赋范空间+完备性⟶巴拿赫空间

    内积空间(无限维)+完备性⟶ 希尔伯特空间

    换个角度来理解函数空间,如泰勒展开,是将f(x)表示为{

    192829829_5_20200612061621224}的线性组合的形式;比如傅里叶展开,是将f(x)表示成无限三角函数线性组合的形式。而{

    192829829_5_20200612061621224}或无限维的三角函数,也叫作一个函数空间的基。

    5.拓扑空间

    以上都是距离或者线性空间的基础上逐渐增加条件,那如果尝试减少条件呢?比如不要角度的概念,甚至不要距离的概念。比如“连续”的定义:对所有的

    192829829_6_20200612061621459即为连续。或者写成

    192829829_7_20200612061621709

    192829829_8_20200612061621959

    换句话说,拓扑是元素X与其规则

    192829829_9_20200612061622115合起来。所以,拓扑是弱化了的距离,能描述的范围最广泛。

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  • 下面是一个关于欧式距离的例子~假设是二维空间,判断点哪一个更离群,显然右边的点到椭圆边界的距离要比上边的点到椭圆边界的距离小,所以直觉上判断上边的点更离群,但是通过算欧氏距离得到右边的点距中心的欧氏...

    欧氏距离

    马氏距离

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    欧氏距离可以理解成P维空间中,两个点之间的距离。需要注意的是,各变量之间的单位要全都相同。

    下面是一个关于欧式距离的例子~

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    假设是二维空间,判断点哪一个更离群,显然右边的点到椭圆边界的距离要比上边的点到椭圆边界的距离小,所以直觉上判断上边的点更离群,但是通过算欧氏距离得到右边的点距中心的欧氏距离更大,这与直觉相违背。所以需要一个标准化的过程,把椭圆横轴进行标准化,相当于横向压缩成一个圆,那么,这样求得的欧氏距离就是上边的点更大。

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    马氏距离

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    首先需要明确,变量X1和X2相关,反映到椭圆图中就是椭圆点群是歪的。所以单纯的标准化不能排除变量相关的影响。所以需要先对坐标轴进行旋转,把变量之间的相关性考虑在内(公式中加入了协方差矩阵),然后标准化求欧氏距离。即马氏距离是将坐标轴旋转之后求得的欧氏距离!

    马氏距离特点

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    针对图一第三条的解释:如果协方差矩阵是单位矩阵,也就是X,Y之间不相关,就不需要对坐标轴进行旋转且不需要标准化,此时求得欧氏距离就是马氏距离。如果协方差矩阵是对角阵,那么同样X,Y之间不相关,不需要旋转,但是需要对方差进行标准化。

    马氏距离意义

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    PPT来源:b站上海财经大学-王学民

    图片来源:谷歌wiki百科

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空空如也

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