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  • 关于欧氏空间
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    2019-03-04 10:58:30

    向量空间

    向量空间一个最大的特征是对加法运算和数乘运算封闭。n维向量空间的定义是n维实向量全体构成的集合,同时考虑到向量的线性运算,成为实n维向量空间,用 R n \R^n Rn表示,显然 R n \R^n Rn中任意两个向量的和向量还是 R n \R^n Rn中的向量, R n \R^n Rn中任意一个向量与一个实数的乘积也是 R n \R^n Rn中的向量。

    定义了距离后,我们再加上线性结构,如向量的加法、数乘,使其满足加法的交换律、结合律、零元、负元;数乘的交换律、单位一;数乘与加法的结合律(两个)共八点要求,从而形成一个线性空间,这个线性空间就是向量空间。

    欧氏空间

    欧氏空间也称为欧几里得空间,是带有“内积”的实数域上的一类向量空间。引入内积的目的是能够计算两点间的距离和夹角。向量空间中的向量对应于欧几里得平面中的点,在向量空间中的加法运算对应于欧几里得空间中的平移。

    欧氏空间的定义:
    ​设V是数域P上的线性空间,定义一个代数运算(V×V->P),记为 (ɑ,ß) 。如果(ɑ,ß)满足下列条件:

    ​1) 对称性:(ɑ,ß) = (ß,ɑ);
    ​2) 可加性:(ɑ+ß,γ) = (ɑ,γ) + (ß,γ);
    3) 齐次性:(kɑ,ß) = k(ɑ,ß);
    ​4) 非负性:(ɑ,ɑ)≥0,当且仅当ɑ=0时(ɑ,ɑ)=0,

    ​其中k是数域P中的任意数,ɑ、ß、γ是V中的任意元素,则称(ɑ,ß)为ɑ与ß的内积,定义了内积的线性空间V称为内积空间,称实数域R上的内积空间V为Euclid空间(欧式空间)。

    内积空间

    内积空间是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积,或标量积,或点积。这个增添的结构允许我们谈论向量的角度和长度。

    希尔伯特空间

    希尔伯特空间即是完备的内积空间,首先说明一下完备性。完备空间或者完备度量空间是指空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。柯西序列中的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切的说,在去掉优先个元素后,可以使得余下的元素中的任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正常数。

    欧几里德空间的一个推广,其不再局限于有限维的情形。又称无穷维欧化空间,
    与欧几里德空间相仿,希尔伯特空间也是一个内积空间,其上有距离和角的概念(及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念)。此外,希尔伯特空间还是一个完备的空间,其上所有的柯西列等价于收敛列,从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式,而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公设化数学和量子力学的关键性概念之一。

    总结

    1. 线性完备内积空间称作希尔伯特空间
    2. 线性完备赋范空间称作巴拿赫空间
    3. 有限维线性内积空间称作欧几里得空间

    参考链接1
    参考链接2
    参考链接3(这篇写的比较详细)

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    欧氏空间 约在公元前300年,古希腊数学家欧几里德建立了角和空间中距离之间联系的法则,现称为欧几里德几何。欧几里德首先开创了处理平面上二维物体的平面几何,接着分析三维物体的立体几何,所有欧几里德的公理已被...

    欧氏空间

    约在公元前300年,古希腊数学家欧几里德建立了角和空间中距离之间联系的法则,现称为欧几里德几何。欧几里德首先开创了处理平面上二维物体的平面几何,接着分析三维物体的立体几何,所有欧几里德的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里德空间的抽象数学空间中。

    这些数学空间可以被扩展而应用于任何有限维度,这种空间叫做n维欧几里德空间(简称n维空间)或有限维实内积空间

    简单来说,欧式空间就是二维空间三维空间以及继承三维空间定理的N维空间

    非欧氏空间

    爱因斯坦曾经形象地比喻过非欧几何

    假设有一种生活在二维平面的生物,但它们不是生活在绝对的平面上,而是生活在一个球面上,那么,当它们在小范围内研究圆周率的时候,会像我们一样发现圆周率是3.1415926……

    但是,如果它们画一个很大的圆,去测量圆的周长和半径,就会发现周长小于2πr,圆越大,周长比2πr小得越多。为了能够适用于大范围的研究,它们就必须修正它们的几何方法。

    如果空间有四维,而我们生活的三维空间在空间的第四个维度中发生了弯曲,那我们的几何就必须进行修正,这就是非欧几何。在非欧几何中,平行的直线只在局部平行,就像地球的经线只在赤道上平行一样。

    二维生物画圆的解释如下:

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    而中学学的几何空间一般是2维,3维(所以,我们讨论余弦值、点间的距离、内积都是在低纬空间总结的),如果将这些低维空间所总结的规律推广到有限的n维空间,那这些符合定义的空间则被统称为欧几里得空间(欧式空间...

    欧几里得空间就是在对现实空间的规则抽象和推广(从n<=3推广到有限n维空间)。

    欧几里得几何就是中学学的平面几何、立体几何,在欧几里得几何中,平行线任何位置的间距相等。而中学学的几何空间一般是2维,3维(所以,我们讨论余弦值、点间的距离、内积都是在低纬空间总结的),如果将这些低维空间所总结的规律推广到有限的n维空间,那这些符合定义的空间则被统称为欧几里得空间(欧式空间,Euclidean Space)。而欧几里得空间主要是定义了内积、距离、角(没错,就是初中的那些定义),理解了这些再去理解数学定义就很明确了。

    计算两个向量的内积(对应点相乘再加总):两个向量内积的计算内积的几何概念是两个向量的长度与它们夹角余弦的积,所以,内积可以表示成:初中公式:内积于是余弦值就是:初中定义:余弦值所以角的计算就是:角的定义计算两点x, y间的距离:点坐标之间对应相减平方加总开根号

    引用来自链接:https://www.zhihu.com/question/27903807/answer/699570097

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  • 展开全部联系:线性空间32313133353236313431303231363533e58685e5aeb931333431366264中的向量对应于欧几里得平面中的点,在线性空间中的加法运算对应于欧几里得空间中的平移。...2、欧氏空间:是一个特别的...

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    联系:线性空间32313133353236313431303231363533e58685e5aeb931333431366264中的向量对应于欧几里得平面中的点,在线性空间中的加法运算对应于欧几里得空间中的平移。

    区别:

    一、指代不同

    1、线性空间:解析几何里引入向量概念后,使许多问题的处理变得更为简洁和清晰,在此基础上的进一步抽象化,形成了与域相联系的向量空间概念。

    2、欧氏空间:是一个特别的度量空间,使得我们能够对其的拓扑性质,在包含了欧氏几何和非欧几何的流行的定义上发挥了作用。

    二、特性不同

    1、线性空间:实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间,在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后,也构成向量空间,研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

    2、欧氏空间:设V是实数域R上的线性空间(或称为向量空间),若V上定义着正定对称双线性型g(g称为内积),则V称为(对于g的)内积空间或欧几里德空间(有时仅当V是有限维时,才称为欧几里德空间)。

    三、扩展不同

    1、线性空间:在P与V的元素间定义了一种运算,称为纯量乘法(亦称数量乘法),即对V中任意元素α和P中任意元素k,都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα,称为k与α的积

    2、欧氏空间:是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度,转换成任意数维的坐标系。这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。

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