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  • 关于线性规划
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    2017-12-04 19:38:36
    优化问题涉及关键词:
    凸优化、凸锥、凸集、线性规划、非线性规划(np)、拉格朗日chengzi、hessian矩阵、泰勒展开式、梯度、方向导数、牛顿法、凸二次优化、局部最小化、随机梯度、最速梯度、批量梯度、kkt条件、等高线 、共轭梯度、二次型、二次型矩阵、对偶问题


    一,前置条件:需要补充一下知识,才开启下面内容:

    方向导数 与 梯度的概念

    线性规划

    hession矩阵

    泰勒展开式

    共轭

    ————————————————————————————————————————————————
    二,凸集:
    http://www.hanlongfei.com/%E5%87%B8%E4%BC%98%E5%8C%96/2015/05/22/convexset/


    ————————————————————————————————————————————————

    三,线性规划求解:

    可以转化为线性规划对偶方式:http://blog.csdn.net/chunyun0716/article/details/52423991

    求解:
    无约束求解:导数、求极值
    有约束求解:
    1,图解法——最为简单直观,不需要转化为标准型
    2,单纯形表法:
        a,需要转化为标准型:min到max,将不等式变为等式:增加松弛变量
        b,找出所有基解,判断是否是基础可行解,并比较求出最大的那个

    ————————————————————————————————————————————————
    四,非线性规划内的凸优化求解:

    也可以转化为对偶方法:http://blog.csdn.net/chunyun0716/article/details/52423991

    1,无约束:(无论是否是凸函数、还是非凸函数均可使用)
    原理:需要先理解方向导数、梯度概念;
    方法:
    最速梯度下降(需要方向导数、梯度知识、偏导数原理),
    牛顿法(泰勒展开式知识、需要hession矩阵、偏导数原理、对称矩阵、二次型),
    随机梯度(由最速梯度衍生),
    批量梯度(由最速梯度衍生),
    共轭梯度(由最速梯度衍生、共轭概念、共轭矩阵)

    2,等式约束(限凸函数):拉格朗日乘子(需要等高线、法向量知识)将等式有约束变为无约束,之后使用无约束方法求解,拉格朗日乘子原理请查看:https://www.zhihu.com/question/38586401。

    3,不等式约束(需要满足kkt条件):kkt条件(广义拉格朗日乘子),原理:https://www.zhihu.com/question/23311674,如果求解困难,可考虑转化为拉格朗日对偶,之后通过无约束方法求解。

    4,对于有约束的优化问题,通过拉格朗日法可以将其转变为等价的无约束优化问题。在这个过程中,新构造的拉格朗日函数存在好玩的对偶性质,从而衍生出了对偶问题。原问题与对偶问题之间的特殊性质,为我们

    研究优化问题提供了新的方向和方法。因此,这部分的思路是:对4.1定义的优化问题,通过拉格朗日法构造拉格朗日函数,从而生成原问题Primal problem和对偶问题Dual problem,然后介绍一些引理,揭示原问题

    与对偶问题之间的关系。拉格朗日对偶问题,详情查看:https://www.cnblogs.com/90zeng/p/Lagrange_duality.html
    ————————————————————————————————————————————————

    五,凸优化:
    凸优化包含:线性规划 与 目标函数与条件函数都是凸函数的 非线性规划。
    详情查看:https://www.zhihu.com/question/24641575/answer/164397294

    凸优化特性:
    a,局部最优解=全局最优解
    b,效率高
    c,是目前科技比较确定的可以求解的非线性规划方式,
    d,许多非凸问题通过一定的手段,要么等价地化归为凸问题,要么用凸问题去近似、逼近。典型的如几何规划、整数规划,它们本身是非凸的,但是可以借助凸优化手段去解,这就极大地扩张了凸优化的应用范围。
    e,在非凸优化中,凸优化同样起到很重要的作用    1)当你要解决一个非凸优化问题时,可以先试图建立一个简化多凸优化模型,解出来以后作为非凸问题的一个起始点。    2)很多非凸优化问题的启发式算法的基础都是基于凸优化    3)你可以先建立非凸优化的松弛问题,使用凸优化算法求解,作为非凸优化问题的上限或下限(bound)


    求解凸函数的极小值(convex minimization)和凹函数的极大值(concave maximization)都是凸优化问题(convex optimization problem)。

    凸优化之所以‘容易’是因为任何可证明的局部最优解(Local Optimal Solution)都同时为全局最优解(Global Optimal Solution)。

    凸优化理论中最重要的工具是Lagrange对偶。近些年来关于凸问题的研究非常透彻,以至于只要把某一问题抽象为凸问题,就可以近似认为这个问题已经解决了。

    ————————————————————————————————————————————————

    六,关于非凸非线性规划求解:

    解决一个非凸优化问题时,可以先试图建立一个简化的多凸优化模型,解出以后作为非凸问题的一个起始点,很多非凸优化问题的启发式算法的基础都是基于凸优化,可以先建立非凸


    优化的松弛问题,使用凸优化算法求解,然后作为非凸优化问题的上限或下限

    a,先松弛,例如,某问题有一约束为 x^2+bx+c=0 ,就不构成一个凸集,但等价于 x^2+bx+c<= 0 和 x^2+bx+c>= 0 ,前一个不等式即构成凸集,因此我们可以将后一个不等式从约束中去除,就得到原问题的一个凸

    优化松弛问题。
    b,利用广义拉格朗日乘子 以及 拉格朗日对偶简化,
    c,通过凸优化的无约束条件规划求解。

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