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  • 2021-05-04 09:36:23

    《基于MATLAB设计巴特沃斯低通滤波器》由会员分享,可在线阅读,更多相关《基于MATLAB设计巴特沃斯低通滤波器(6页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。

    1、基于MATLAB设计巴特沃斯低通滤波器摘 要: 首先分析了巴特沃斯低通滤波器的特性。然后用MATLAB的信号处理工具箱提供的函数设计了巴特沃斯低通滤波器,使得巴特沃斯滤波器的设计变得更加简单、快捷、直观。巴特沃斯(Butterworth)滤波器是一种具有最大平坦幅度响应的低通滤波器,它在通信领域里已有广应用,在电测中也具有广泛的用途,可以作检测信号的滤波器。MATLAB语言是一种面向科学与工程计算的语言。它编程效率高,测试程序手段丰富,扩展能力强,内涵丰富。它的信号处理工具箱(Signal Processing Toolbox)提供了设计巴特沃斯滤波器的函数,本文充分利用这些函数,进行了巴特沃。

    2、斯滤波器的程序设计,并将其作为函数文件保存,可方便地进行调用。1. 巴特沃斯低通滤波器的特性巴特沃斯低通滤波器的平方幅度响应为:其中,n为滤波器的阶数,c为低通滤波器的截止频率。该滤波器具有一些特殊的性质: 对所有的n,都有当 =0时,|H(j0)|2 =1; 对所有的n,都有当=c时,|H(jc)|2 =0.5 ,即在c处有3dB的衰减;|H(j)|2 是的单调递减函数,即不会出现幅度响应的起伏; 当n+时,巴特沃斯滤波器趋向于理想的低通滤波器; 在=0处平方幅度响应的各级导数均存在且等于0,因此|H(j)|2 在该点上取得最大值,且具有最大平坦特性。图l展示了2阶、4阶、8阶巴特沃斯低通滤。

    3、波器的幅频特性。可见阶数n越高,其幅频特性越好,低频检测信号保真度越高。巴特沃斯与贝塞尔(Besse1)、切比雪夫(Cheby.shev)滤波器的特性差异如图2所示。从图2可以看出,巴特沃斯滤波器在线性相位、衰减斜率和加载特性三个方面具有特性均衡的优点,因此在实际使用中,巴特沃斯滤波器已被列为首选。2 .巴特沃斯低通滤波器的MATLAB实现MATLAB的信号处理工具箱提供了有关巴特沃斯滤波器的函数buttap、buttord、butter。21 用buttap函数设计归一化的巴特沃斯低通滤波器系数z,P,k=bttap(n)可设计出n阶巴特沃斯低通滤波器原型,其传递函数为:因此实际上Z为空阵。。

    4、上述零极点形式可以化为:其中,巴特沃斯滤波器的归一化结果,如表1所示。22 设计巴特沃斯滤波器的程序实现buttord函数可在给定滤波器性能的情况下,选择巴特沃斯滤波器的阶数n和截止频率c, 从而可利用butter函数设计巴特沃斯滤波器的传递函数。n,c=buttord(p,s,Rp,Rs,s)可得到满足性能的模拟巴特沃斯滤波器的最小阶数n及截止频率c, 其中p为通带的拐角频率,s为阻带的拐角频率,p和s的单位均为rad/s;Rs为通带区的最大波动系数,Rp为Rs阻带区的最小衰减系数,Rp和Rs的单位都为dB。b,a=butter(n,c ,s )可设计截止频率为c的n阶低通模拟巴特沃斯滤波器。

    5、为:利用buttord函数、buuer函数编制设计巴特沃斯低通滤波器的MATLAB函数文件butterdesignm,其清单如下:FunctionNbutt,Wcbutt,bbutt,abutt=butterdesign(Wp,Rp,Ws,As)Nbutt,Wcbutt=buttord(Wp,Ws,Rp,As,S);bbutt,abutt=butter(Nbutt,Wcbutt,S);hbutt,Wbutt=freqs(bbutt,abutt);subplot(2,1,1);plot(WbuR,abs(hbutt);subplot(2,1,2);plot(Wbutt,angle(hbutt);。

    6、为了使程序更通用,采用以下命令从键盘上输入巴特沃斯滤波器的性能指标。 Wp=input(Please input passband comer frequencyin rads Wp=) Rp=input(Please input passband ripple in dB Rp= )Ws=input(Please input stopband comer frequency in rads Ws=)As=input(Please input stopband attenuation in dB As=)调用butterdesign函数就可设计出满足性能指标的巴特沃斯滤波器,其主程序文件名为b。

    7、uttermainm。下面举例说明巴特沃斯滤波器的计算机辅助设计过程。设计一模拟巴特沃斯低通滤波器,其通带的拐角频率p为02,通带区的最大波动系数Rp为7dB,阻带的拐角频率s为03,阻带区的最小衰减系数Rs为16dB。在MATLAB命令窗口中输入buttermain,根据屏幕上的提示分别输入02*pi,7,03*pi,16,就可得到满足性能指标的巴特沃斯低通滤波器的最小阶数n=3,截止频率c=05122rads,其传递函数为:同时得到图3所示的巴特沃斯低通滤波器曲线。3. 结束语利用本文的butterdesign函数就可以轻而易举地设计出满足性能指标要求的巴特沃斯滤波器的最小阶数n及截止频率c ,并绘制出巴特沃斯滤波器的频率特性曲线,使得巴特沃斯滤波器的设计变得更加简单、快捷、直观。参 考 文 献1 张殿龙,王福文巴特沃斯低通滤波器在电动机测试中的应用J电测与仪表,2001.2 王永初Buttworth滤波器在过程控制中的应用J工业仪表与自动化装置,1994,63 陈思巴特沃斯低通滤波器的简化快速设计J信阳师范学院学报(自然科学版),1997.4 楼顺天,李博菡基于MATLAB的系统分析与设计 信号处理M.西安电子科技大学出版社,1998。

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    matlab数字低通滤波器 MATLAB一阶低通滤波器的设计

    截止频率50Hz,设计MATLAB低通滤波器的程序及注释,谢谢 %滤波前数据t = 0:0.01:10;f=5*sin(2*pi*20*t)+5*sin(2*pi*60*t);%滤波器设计Fpass = 1; % Passband FrequencyFstop = 50; % Stopband FrequencyApass = 1;% Passband Ripple (dB)Astop = 60, Fpass;.lowpass(';fp;):0,ast$matlab数字低通滤波器。', , Astop;equiripple'.01., '. ',f2, Apass;StopbandShape',fst, ;b'),ap,'%滤波前数据t = 0。 擅长:VC++ 其他编程语言 工程技术科学 环境学根据你的题目设计一个butterworth的3阶滤波器

    N=3;

    [z,p,k]=buttap(N);求出该滤波器的零点和极点

    OmegaC=2*pi*50; 给定的截止频率

    p=p*OmegaC; 由于前面是归一化的,现在还原

    k=k*OmegaC^N;

    >> k=k*OmegaC^$matlab数字低通滤波器。

    6af967b731901d3ac911705a3ae15d7f.png

    用matlab设计低通滤波器。IIR butterworth的,fdatool产生的:function Hd = test1%TEST1 Returns a discrete-time filter object.%% M-File generated by MATLAB(R) 7.0.4 and the Signal Processing Toolbox 6.3.%% Generated on: 25-Jun-2009 15$matlab数字低通滤波器。

    帮忙编一个matlab的低通滤波器的程序。p2)I=[];%绘制数字滤波器的幅频特性和相频特性[db,a]=zp2tf(z; A(fix((i+1)/2); ).0001)&nbsp,'&nbsp.5*cos(2*pi*f2*t),Arow]=residuez(Brow; &nbsp:)=real(Brow); for ):),1;%输入信号subplot(2;);; &nbsp,a;&n$matlab数字低通滤波器。xlabel('%频带变换得到归一化滤波器[N; 输出信号',;s'endendI=I' %用设计好的滤波器对信号进滤波处理figure(4)f1=500;&nbsp,i]; xlabel(' &nbsp,a1; &nbsp,;&nbsp,; = s'filter'&nbsp,title('&nbsp,a)[H;&nbsp:i+1,w1),Arow; &nbsp,az); [Brow; &nbsp:)=real(Brow); for &nbsp,1000-0000*eps); ylabel(' B(fix((i+1)/2); &nbsp,y1,x);&nbsp,-30,A1]=dir2par(bz; [Brow; Arow=p(i;&nbsp:N-1; &nbsp,w0]=freqs(b,Arow]=residuez(r(N-1); $matlab数字低通滤波器。

    matlab 数字带通滤波器。想设计一个带通滤波器,比如通带范围为100~200Hz?谢谢求各位高人帮忙。 怎么用matlab实现?谢谢,帮助。 以前我做的一个完整的信号滤波前后的程序,可能数据有些不一样,但用MATLAB做滤波器的大体思路都差不多,希望对你有用。(完全自创,要给分哦)f=8*10^3; %信号频率f1=30*10^3;%噪声频率l=100; %信号的长度fs=100*10^3; %采样频率%%%%%%%%%%%%%%%%生成信号t=(0:l-1)/fs;s=0.5*sin(2*pi*f*t)+cos(2*pi*f1*t);figure(1);subplot(1,2,1);plot(fs*t(1:60),s(1:60)); title('时域波形');xlabel('时间');ylabel('幅度$matlab数字低通滤波器。k=fs*linspace(0,1,nf)-fs/2;subplot(1,2,2);plot(k,abs(Y)); %信号的频谱图title('信号频谱');xlabel('频率');ylabel('幅度');grid on;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%滤波器设定ws=10*10^3; %通带截止频率ws1=20*10^3; %阻带起始频率ds=50; $matlab数字低通滤波器。

    Matlab的FIR低通滤波器阶数取多少为好。这要看你过渡带的归一化长度,还有阻带的衰减情况(或者通带波纹,阻带波纹)。你可以用matlab的freqz函数看一下FIR滤波器系数的频率响应情况怎样。这个没有说取多少阶为好。你可以用matlab的freqz函数看一下FIR滤波器系数的频率响应情况怎样,根据实际需要把这要看你过渡带的归一化长度,还有阻带的衰减情况(或者通带波纹。 Matlab的FIR。

    基于MATLAB的FIR低通滤波器程序。你目前给出的技术指标不完全,还需要采样频率、通带波纹、阻带衰减。给全了倒是可以帮你编一个。那就假设几个吧:采样频率:Fs=80KHz经计算得相应数字滤波器的指标:通带截止频率:fp=0.6*Fs/2通带波纹:rp=0.01(假设的,单位dB,下同);阻带截止频率:fs=0.7*Fs/2阻带衰减:rs=0.1(假设的,同上)程序如下,给出了幅频特性曲线。clear;Fs=80;fp=0.6*Fs/2$matlab数字低通滤波器。

    试调用MATLAB函数设计数字低通滤波器,高通滤波器,,,,。。1.试调用MATLAB函数设计数字低通滤波器,截止频率wc=0.2pi,过渡带宽度△w<0.4pi,阻带衰减As>40dB.

    2.试调用MATLAB函数设计数字高通滤波器,要求通带截止频率wp=0.5pi,阻带截止频率ws=0.25pi,通带最大阻带衰减Ap=1dB,阻带最小阻带衰减As=40dB.

    3.试调用。。 调用MATLAB函数设计数字低通滤波器包哦。 你好,帮在你设计好啊。

    求 MATLAB 巴特沃思 低通滤波器程序。冲击响应不变法函数 [bz,az]=impinvar(b,a,Fs) [bz,az]=impinvar(b,a) 例如:取采样频率f=1KHz,用双线性变换法设计五阶Butterworth低通数字滤波器,绘出模拟滤波器与数字滤波器的幅频与相频特性,MATLAB程序如下: [z,p,k]=buttap(5) ;% 设计五阶Butterworth低通模拟滤波器原型 [zd,pd,kd]=bilinea$matlab数字低通滤波器。w=128; freqs(b,a,w) figure; freqz(b,a,w) 实例:1、设带通滤波器的滤波器中心频率为W0=2KHz,带宽为BW=100Hz, 取采样频率f=10kHZ,用脉冲相应不变法设计,设计五阶带通Butterworth数字滤波器,绘出数字滤波器的频谱特性 [z,p,k]=buttap(5); [b,a]=zp2tf(z,p,k); w=128; w0=2000; [bt,at]=lp2bp(b,a,w0,10000); [bz,az]=impinvar(b,a,w); freqz(bt,at,w) 2、直接设计五阶butterworth带通滤波器,绘出频谱图。(高端与低端截止频率分别为0.2和0.9) figure; w=[0.2,0.9]; [b,a]=butter(5,w); $matlab数字低通滤波器。

    matlab使用低通滤波器来处理数据。先设计数字滤波器 fir2(N,f,m) 其中N是滤波器长度 f是截止频率(归一化为0到1) m是该截止频率对应的滤波器相应 我说的比较简单 去查一下help 讲的很详细当然还有其他方法设计数字滤波器 根据你的需要选择吧得到滤波器后 与10000个点做卷积就可以了 最后还可以用freqz命令做出滤波结果的频率响应希望能帮到你。

    用MATLAB设计低通数字滤波器的参数计算问题!利用MATLAB的FDATOOL设计请帮我计算出 用什么窗函数,Beta值,Specify order,并附详细计算方法。 一般用的都是butterworth的,以保证通带内平坦,阶数的计算方法公式编辑器编辑的公式复制不了,matlab语言了,n=log10(10.^(0.1*As-1))/log10(ws);%最小阶数,ws是止带归一化频率,As是止带衰减,没必要自己算设置minimum,order就可以。

    数字滤波器由数字乘法器、加法器和延时单元组成的一种算法或装置。数字滤波器的功能是对输入离散信号的数字代码$matlab数字低通滤波器。对于低通滤波器,一般用的都是butterworth的,以保证通带内平坦,阶数的计算方法公式编辑器编辑的公式复制不了,matlab语言了

    n=log10(10.^(0.1*As-1))/log10(ws);%最小阶数

    ws是止带归一化频率

    As是止带衰减

    其实没必要自己算设置minimum order就行了。

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  • 《设计数字低通滤波器(用matlab实现)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《设计数字低通滤波器(用matlab实现)(7页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。1、DSP设计滤波器报告姓名:张胜男 班级:07级电信(1)班 学号:一低...

    《设计数字低通滤波器(用matlab实现)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《设计数字低通滤波器(用matlab实现)(7页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。

    1、DSP设计滤波器报告姓名:张胜男 班级:07级电信(1)班 学号:一低通滤波器的设计(一)实验目的:掌握IIR数字低通滤波器的设计方法。(二)实验原理:1、滤波器的分类滤波器分两大类:经典滤波器和现代滤波器。经典滤波器是假定输入信号中的有用成分和希望取出的成分各自占有不同的频带。这样,当通过一个线性系统(即滤波器)后可讲欲去除的成分有效的去除。现代滤波器理论研究的主要内容是从含有噪声的数据记录(又称时间序列)中估计出信号的某些特征或信号本身。经典滤波器分为低通、高通、带通、带阻滤波器。每一种又有模拟滤波器(AF)和数字滤波器(DF)。对数字滤波器,又有IIR滤波器和FIR滤波器。IIR DF 。

    2、的转移函数是:FIR DF的转移函数是:FIR滤波器可以对给定的频率特性直接进行设计,而IIR滤波器目前最通用的方法是利用已经很成熟的模拟滤波器的设计方法进行设计。2、滤波器的技术要求低通滤波器:通带截止频率(又称通带上限频率):阻带下限截止频率:通带允许的最大衰减 :阻带允许的最小衰减(,的单位dB):通带上限角频率:阻带下限角频率(,)即 3、IIR 数字滤波器的设计步骤:1) 按一定规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标。2) 根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器;3) 再按一定的规则将转换成。4) 若是高通、带通或带阻数字滤波器则将它们的技术指标先转化为低通模。

    3、拟滤波器的技术指标,然后按上述步骤2)设计出低通,再将转换为所需的。4几种不同类型的滤波器的介绍:因为我们设计的滤波器的冲击响应一般都为实数,所以有这样,如果我们能由,求出,那么就容易得到所需要的。不同类型的的表达式,代表了几种不同类型的滤波器。(1)巴特沃思(Butterworth)滤波器:C为待定常数,N为待定的滤波器阶次。(2)切比雪夫I型(Chebyshev I )滤波器:5巴特沃思模拟低通滤波器的设计由于每一个滤波器的频率范围将直接取决于设计者的应用目的,因此必然是千差万别。为了使设计规范化,我们需要将滤波器的频率参数作归一化处理。设所给的实际频率为(或),归一化后的频率为,对低通模。

    4、拟滤波器,令显然,。又令归一化复数变量为,显然所以巴特沃思模拟低通滤波器的设计可按以下三个步骤来进行。(1)将实际频率规一化(2)求C和N这样C和N可求。若令3dB,则C1,这样巴特沃思滤波器的设计就只剩一个参数N,这时(3)确定因为,根据上面公式有由解得,1,2,2N这样可得求得后,用代替变量,即得实际需要得。6用双线性Z变换法设计IIR数字低通滤波器s平面到z平面的映射关系称为双线性Z变换,由此关系求出及即因为设计滤波器时系数会被约掉,所以又有(三)实验内容题一:试用双线性Z变换法设计一低通数字滤波器,给定技术指标是Hz,Hz,dB, dB,抽样频率Hz。提示:首先应该得到角频率,然后再(。

    5、1) 将数字滤波器的技术要求转换为模拟滤波器的技术要求。(2) 设计低通滤波器由依次求出,再求出N,可得然后由转换成(3) 由求源程序:fp=100; fs=300;ap=3; %通带最大衰减as=20; %阻带最小衰减Fs1=1000; %抽样频率wp=2*pi*fp/Fs1; ws=2*pi*fs/Fs1; %数字角频率Fs=Fs1/Fs1;T=1/Fs;Op=2/T*tan(wp/2); Os=2/T*tan(ws/2); %角频率畸变N Wn=buttord(Op,Os,ap,as,s); %N代表滤波器阶数,Wn代表滤波器的截止频率。简单来说就是在wp处,通带内波纹系数或者说是通带内。

    6、达到最大衰减为Rp,如(3db),而在Ws处,阻带达到最小衰减为Rs(如40db),而我们默认求得的Wn是在(-3db)时的频率z p k=buttap(N); %G(p)的零点,极点,增益用于计算N阶归一化(3dB截止频率c=1)模拟低通原型滤波器系统函数的零、极点和增益因子。b a=zp2tf(z,p,k); %G(p)的分子、分数系数从零、极点模型得到系统函数的分子、分母多项式系数向量ba、aaB A=lp2lp(b,a,Op); %H(s)的分子、分数系数改变低通模拟滤波器的截止频率,原滤波器是以多项式系数Bap,Aap给出的,改后的滤波器是带截止频率Wn的Bz Az=bilinear。

    7、(B,A,Fs*T/2); %H(z)的分子、分数系数H w=freqz(Bz,Az,256,Fs*Fs1); %H频率响应plot(w,abs(H),r);title(低通滤波器);grid on;实验结果:同理可以设计出低通滤波器和带通及带阻滤波器。MATLAB参考程序和仿真内容%*%functionx=ffts(mode,M)Nfft=2M;x=zeros(1,Nfft); %定义一个长度为Nfft的一维全0数组if mode= =1 for n=0:Nfft-1 x(n+1)=sin(2*pi*n/Nfft); end end %定义一个长度为Nfft的单周期正弦序列if mode= 。

    8、=2 for n=0:Nfft-1 x(n+1)=sin(4*pi*n/Nfft); end end %定义一个长度为Nfft的双周期正弦序列if mode= =3 for n=0:Nfft/2-1 x(n+1)=sin(4*pi*n/Nfft); end end %定义一个长度为Nfft/2的正弦序列,后面一半为0序列。if mode= =4 for n=0:Nfft-1 x(n+1)=square(2*pi*n/Nfft); end endif mode= =5 for n=0:Nfft-1 x(n+1)=square(2*pi*n/Nfft); end endif mode= =6 for n=0:Nfft/2-1 x(n+1)=square(4*pi*n/Nfft); end endn=0:Nfft-1;subplot(2,1,1);stem(n,x);axis(0 Nfft-1 1.1*min(x) 1.1*max(x);xlabel(Points);ylabel(x(n);X=abs(fft(x,Nfft);subplot(2,1,2);stem(n,X);axis(0 Nfft-1 1.1*min(X) 1.1*max(X);xlabel(frequency);ylabel(!X(k)!);图二图三。

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  • 巴特沃斯数字低通滤波器的设计步骤

    万次阅读 多人点赞 2021-08-22 13:51:07
    1 低通滤波器性能指标 低通滤波器的主要性能指标有四个: 通带截止频率:通带内幅值下降至一定程度时对应的频率,单位为:Hz或角频率 阻带截止频率:阻带内幅值高于一定程度时对应的频率,单位为:Hz或角频率 通带...

    Hello,欢迎来到我的博客~~~

    1 低通滤波器性能指标

    低通滤波器的主要性能指标有四个:

    1. 通带截止频率:通带内幅值下降至一定程度时对应的频率,单位为:Hz或角频率
    2. 阻带截止频率:阻带内幅值高于一定程度时对应的频率,单位为:Hz或角频率
    3. 通带纹波(衰减):通带中最大幅值和最小幅值之间的差值,单位为:dB
    4. 阻带衰减:阻带中最大幅值和通带最大幅值的差值,单位为:dB

    幅值单位:dB,计算方式: 20 log ⁡ 10 A 20\log_{10}A 20log10A
    示例:

    1. 假如幅值响应是100,那么相当于 20 log ⁡ 10 100 = 40 20\log_{10}100=40 20log10100=40 dB
    2. 假如通带最大幅值是100,阻带最大幅值是10,那么阻带衰减就是 20 log ⁡ 10 10 − 20 log ⁡ 10 100 = − 20 20\log_{10}10 - 20\log_{10}100=-20 20log101020log10100=20 dB

    在这里插入图片描述

    2 巴特沃斯模拟低通滤波器设计步骤

    2.1 巴特沃斯低通滤波器的传递函数

    极点形式:
    H ( s ) = G 0 ∏ k = 1 n 1 s − ω c s k ,   s k = exp ⁡ j ( 2 k + n − 1 ) 2 n ,   k = 1 , 2 , 3 , . . . , n H(s)=G_0\prod_{k=1}^n \frac{1}{s-\omega_cs_k},\ s_k=\exp\frac{j(2k+n-1)}{2n}, \ k=1,2,3,...,n H(s)=G0k=1nsωcsk1, sk=exp2nj(2k+n1), k=1,2,3,...,n
    其中, ω c \omega_c ωc就是-3dB截止频率, n n n是滤波器阶数, G 0 G_0 G0是直流增益,一般取1。
    多项式形式:
    H ( s ) = G 0 ∑ k = 0 n a k ( s / ω c ) k ,   a k = ∏ μ = 1 k cos ⁡ ( ( μ − 1 ) γ ) sin ⁡ ( μ γ ) ,   a 0 = 1 ,   γ = π 2 n ,   k = 1 , 2 , 3 , . . . , n H(s)=\frac{G_0}{\sum_{k=0}^n a_k({s}/{\omega_c})^k} ,\ a_k=\prod_{\mu=1}^{k}\frac{\cos((\mu-1)\gamma)}{\sin(\mu\gamma)},\ a_0=1, \ \gamma=\frac{\pi}{2n}, \ k=1,2,3,...,n H(s)=k=0nak(s/ωc)kG0, ak=μ=1ksin(μγ)cos((μ1)γ), a0=1, γ=2nπ, k=1,2,3,...,n
    对应于不同阶数的滤波器, s k s_k sk a k a_k ak的值都是可以事先计算好,然后查表得到的,如下示例:
    在这里插入图片描述

    2.2 频率响应

    根据巴特沃斯滤波器的传递函数,可以推得其频率响应为:
    ∣ H ( j ω ) ∣ 2 = G 0 2 1 + ( ω ω c ) 2 n |H(j\omega)|^2=\frac{G_0^2}{1+(\frac{\omega}{\omega_c})^{2n}} H(jω)2=1+(ωcω)2nG02

    根据上述的频率响应,很容易分析得到当 ω \omega ω趋于0时,频率响应趋于 G 0 2 G_0^2 G02,当 ω \omega ω趋于无穷时,频率响应趋于0。

    2.3 设计步骤

    1. 给定通带截止频率 ω p \omega_p ωp,阻带截止频率 ω s \omega_s ωs,通带纹波 α s \alpha_s αs和阻带衰减 α p \alpha_p αp,计算滤波器阶数N

    计算两个辅助变量: k s p = 1 0 0.1 α s − 1 1 0 0.1 α p − 1 k_{sp}=\sqrt{\frac{10^{0.1\alpha_s}-1}{10^{0.1\alpha_p}-1}} ksp=100.1αp1100.1αs1 , λ s p = ω s ω p \lambda_{sp}=\frac{\omega_s}{\omega_p} λsp=ωpωs

    计算阶数(向上取整): N = lg ⁡ k s p lg ⁡ λ s p N=\frac{\lg{k_sp}}{\lg{\lambda_{sp}}} N=lgλsplgksp

    2. 根据滤波器阶数,通过查表得到滤波器传递函数的系数

    如上文所示,从表格中找出对应阶数滤波器的系数值: a k a_k ak
    3. 计算3 dB截止频率 ω c \omega_c ωc
    ω c = ω p ( 1 0 0.1 a p − 1 ) − 1 2 N \omega_c=\omega_p(10^{0.1a_p}-1)^{-\frac{1}{2N}} ωc=ωp(100.1ap1)2N1

    4. 代入系数和 ω c \omega_c ωc,得到最终的滤波器传递函数

    H ( s ) = G 0 ∑ k = 0 n a k ( s / ω c ) k H(s)=\frac{G_0}{\sum_{k=0}^n a_k({s}/{\omega_c})^k} H(s)=k=0nak(s/ωc)kG0

    3 巴特沃斯数字低通滤波器设计步骤(IIR实现)

    1. 选择一个归一化的模拟滤波器(确定巴特沃斯低通滤波器的阶数)
    2. 确定数字滤波器的3 dB截止频率
    3. 利用公式计算模拟滤波器的3 dB截止频率

    f a = f s π tan ⁡ π f d f s f_a=\frac{f_s}{\pi}\tan{\frac{\pi f_d}{f_s}} fa=πfstanfsπfd
    f s f_s fs是采样频率, f d f_d fd是数字滤波器截止频率

    1. 将模拟截止频率 ω c = 2 π f a \omega_c=2\pi f_a ωc=2πfa带入模拟滤波器传递函数 H ( s ) H(s) H(s)
    2. 用双线性变换,把模拟滤波器传递函数中的 s s s替换为 z z z,得到 H ( z ) H(z) H(z)

    双线性变换: s = 2 f s ( z − 1 z + 1 ) s=2f_s(\frac{z-1}{z+1}) s=2fs(z+1z1)

    4 巴特沃斯高通、带通、带阻数字滤波器的设计

    要设计高通、带通、带阻等数字滤波器,有两种思路。

    1. 低通模拟滤波器 =》=》高通、带通、带阻模拟滤波器 =》=》高通、带通、带阻数字滤波器
    2. 低通模拟滤波器 =》=》高通、带通、带阻数字滤波器

    这里主要介绍的是第二种思想,方法如下图所示:
    在这里插入图片描述

    4.1 变量说明

    • ω = 2 π f p f s \omega=\frac{2\pi f_p}{f_s} ω=fs2πfp,其中, f p f_p fp是数字通带截止频率
    • Ω = 2 π F p f s \Omega=\frac{2\pi F_p}{f_s} Ω=fs2πFp,其中, F p F_p Fp是模拟通带截止频率(注意这里的符号和上文有差异,不要混淆)
    • ω p 1 = 2 π f p 1 f s \omega_{p1}=\frac{2\pi f_{p1}}{f_s} ωp1=fs2πfp1,其中, f p 1 f_{p1} fp1是数字下通带截止频率(带通滤波器)
    • ω p 2 = 2 π f p 2 f s \omega_{p2}=\frac{2\pi f_{p2}}{f_s} ωp2=fs2πfp2,其中, f p 2 f_{p2} fp2是数字上通带截止频率(带通滤波器)
    • ω s t 1 = 2 π f s t 1 f s \omega_{st1}=\frac{2\pi f_{st1}}{f_s} ωst1=fs2πfst1,其中, f s t 1 f_{st1} fst1是数字下阻带截止频率(带阻滤波器)
    • ω s t 2 = 2 π f s t 2 f s \omega_{st2}=\frac{2\pi f_{st2}}{f_s} ωst2=fs2πfst2,其中, f s t 2 f_{st2} fst2是数字上阻带截止频率(带阻滤波器)

    4.2 设计步骤

    根据上图,设计步骤可以描述如下:

    1. 选定巴特沃斯滤波器的阶数,可以得到一个归一化的巴特沃斯低通滤波器,形式如下:
      H ( p ) = 1 ∑ k = 0 N a k p k H(p)=\frac{1}{\sum_{k=0}^N a_kp^k} H(p)=k=0Nakpk1

    2. 针对不同的滤波器形式,利用图中公式计算出 Ω \Omega Ω,并在 H ( p ) H(p) H(p)中带入 p = s Ω p=\frac{s}{\Omega} p=Ωs,得到 H ( s ) H(s) H(s)

    3. 针对不同的滤波器形式,利用图中公式,将 H ( s ) H(s) H(s)公式中的 s s s z z z变量替换,得到 H ( z ) H(z) H(z)

    注意事项:
    上图中对应低通、高通、带通、带阻都有 s s s Ω \Omega Ω的计算方法
    需要注意的是,
    对于低通和高通而言, ω \omega ω一般指的都是通带 3 3 3 dB截止频率
    对于带通和带阻而言, ω \omega ω一般指的都是上通带或上阻带 3 3 3 dB截止频率

    4.3 设计示例

    4.3.1 巴特沃斯数字高通滤波器

    给定条件:滤波器阶数为1,数字滤波器通带截止频率为30 Hz,采样频率为100 Hz
    第一步:查表,得到归一化巴特沃斯低通滤波器形式:
    H ( p ) = 1 p + 1 H(p)=\frac{1}{p+1} H(p)=p+11
    第二步:计算 ω \omega ω Ω \Omega Ω,在 H ( p ) H(p) H(p)中带入 p = s Ω p=\frac{s}{\Omega} p=Ωs
    ω = 2 π ∗ 30 100 = 0.6 π ,   Ω = cot ⁡ ω 2 = 0.7265 \omega=\frac{2\pi*30}{100}=0.6\pi,\ \Omega=\cot{\frac{\omega}{2}}=0.7265 ω=1002π30=0.6π, Ω=cot2ω=0.7265
    H ( s ) = 0.7265 s + 0.7265 H(s)=\frac{0.7265}{s+0.7265} H(s)=s+0.72650.7265
    第三步:将 H ( s ) H(s) H(s)公式中的 s s s z z z变量替换
    H ( z ) = 0.7265 z − 1 z + 1 + 0.7265 = 0.7265 z − 0.7265 1.7265 z + 0.2735 = 0.4208 z − 0.4208 z + 0.1584 H(z)=\frac{0.7265}{\frac{z-1}{z+1}+0.7265}=\frac{0.7265z-0.7265}{1.7265z+0.2735}=\frac{0.4208z-0.4208}{z+0.1584} H(z)=z+1z1+0.72650.7265=1.7265z+0.27350.7265z0.7265=z+0.15840.4208z0.4208
    以上是设计得到的巴特沃斯数字高通滤波器,利用Matlab可以验算结果,和公式计算的完全一致。

    Matlab命令:
    fc = 30; fs = 100; [a,b]=butter(1, fc/(fs/2), ‘high’)
    结果:
    a = [0.4208, -0.4208] % 分子多项式系数
    b = [1.0000, 0.1584] % 分母多项式系数

    4.3.2 巴特沃斯数字带阻滤波器

    给定条件:滤波器阶数为2,数字滤波器上阻带截止频率为15 Hz,下阻带截止频率为10 Hz,采样频率为100 Hz
    第一步:查表,得到归一化巴特沃斯低通滤波器形式:
    H ( p ) = 1 p 2 + 1.4142 p + 1 H(p)=\frac{1}{p^2+1.4142p+1} H(p)=p2+1.4142p+11
    第二步:计算 ω \omega ω ω s t 1 \omega_{st1} ωst1 ω s t 2 \omega_{st2} ωst2 Ω \Omega Ω,在 H ( p ) H(p) H(p)中带入 p = s Ω p=\frac{s}{\Omega} p=Ωs
    ω s t 1 = 2 π ∗ 10 100 = 0.2 π ,   ω s t 2 = 2 π ∗ 15 100 = 0.3 π , cos ⁡ ω 0 = cos ⁡ ω s t 2 + ω s t 1 2 cos ⁡ ω s t 2 − ω s t 1 2 = cos ⁡ 0.3 π + 0.2 π 2 cos ⁡ 0.3 π − 0.2 π 2 = 0.7159 , Ω s t 1 = sin ⁡ ω s t 1 cos ⁡ ω s t 1 − cos ⁡ ω 0 = sin ⁡ 0.2 π cos ⁡ 0.2 π − 0.7159 = 6.3123 , Ω s t 2 = sin ⁡ ω s t 2 cos ⁡ ω s t 2 − cos ⁡ ω 0 = sin ⁡ 0.3 π cos ⁡ 0.3 π − 0.7159 = − 6.3148 , Ω = Ω s t 1 \begin{aligned} &\omega_{st1}=\frac{2\pi*10}{100}=0.2\pi, \ \omega_{st2}=\frac{2\pi*15}{100}=0.3\pi,\\ &\cos\omega_0=\frac{\cos\frac{\omega_{st2}+\omega_{st1}}{2}}{\cos\frac{\omega_{st2}-\omega_{st1}}{2}}=\frac{\cos\frac{0.3\pi+0.2\pi}{2}}{\cos\frac{0.3\pi-0.2\pi}{2}}=0.7159,\\ &\Omega_{st1}=\frac{\sin\omega_{st1}}{\cos\omega_{st1}-\cos\omega_0}=\frac{\sin0.2\pi}{\cos0.2\pi-0.7159}=6.3123,\\ &\Omega_{st2}=\frac{\sin\omega_{st2}}{\cos\omega_{st2}-\cos\omega_0}=\frac{\sin0.3\pi}{\cos0.3\pi-0.7159}=-6.3148,\\ &\Omega = \Omega_{st1} \end{aligned} ωst1=1002π10=0.2π, ωst2=1002π15=0.3π,cosω0=cos2ωst2ωst1cos2ωst2+ωst1=cos20.3π0.2πcos20.3π+0.2π=0.7159,Ωst1=cosωst1cosω0sinωst1=cos0.2π0.7159sin0.2π=6.3123,Ωst2=cosωst2cosω0sinωst2=cos0.3π0.7159sin0.3π=6.3148,Ω=Ωst1
    H ( s ) = 6.312 3 2 s 2 + 6.3123 s + 6.312 3 2 = 39.8451 s 2 + 6.3123 s + 39.8451 H(s)=\frac{6.3123^2}{s^2+6.3123s+6.3123^2}=\frac{39.8451}{s^2+6.3123s+39.8451} H(s)=s2+6.3123s+6.312326.31232=s2+6.3123s+39.845139.8451
    第三步:将 H ( s ) H(s) H(s)公式中的 s s s z z z变量替换
    H ( z ) = 39.8451 ( z 2 − 1 z 2 − 2 cos ⁡ ω 0 z + 1 ) 2 + 6.3123 z 2 − 1 z 2 − 2 cos ⁡ ω 0 z + 1 + 39.8451 = 39.8451 ( z 2 − 1.4318 z + 1 ) 2 ( z 2 − 1 ) 2 + 6.3123 ( z 2 − 1 ) ( z 2 − 1.4318 z + 1 ) + 39.8451 ( z 2 − 1.4318 z + 1 ) 2 = 39.8451 ( z 4 − 2.8636 z 3 + 4.0501 z 2 − 2.8636 z + 1 ) 47.1574 z 4 − 123.1384 z 3 + 159.3747 z 2 − 105.0625 z + 34.5328 = 0.8449 z 4 − 2.4196 z 3 + 3.4221 z 2 − 2.4196 z + 0.8449 z 4 − 2.6112 z 3 + 3.3796 z 2 − 2.2279 z + 0.7323 \begin{aligned} H(z)&=\frac{39.8451}{(\frac{z^2-1}{z^2-2\cos\omega_0z+1})^2+6.3123\frac{z^2-1}{z^2-2\cos\omega_0z+1}+39.8451}\\ &=\frac{39.8451(z^2-1.4318z+1)^2}{(z^2-1)^2+6.3123(z^2-1)(z^2-1.4318z+1)+39.8451(z^2-1.4318z+1)^2}\\ &=\frac{39.8451(z^4 - 2.8636z^3 + 4.0501z^2 - 2.8636z + 1)}{47.1574z^4 - 123.1384z^3 + 159.3747z^2 - 105.0625z+ 34.5328}\\ &=\frac{0.8449z^4 - 2.4196z^3 + 3.4221z^2 - 2.4196z + 0.8449}{z^4 - 2.6112z^3 + 3.3796z^2 - 2.2279z+ 0.7323}\\ \end{aligned} H(z)=(z22cosω0z+1z21)2+6.3123z22cosω0z+1z21+39.845139.8451=(z21)2+6.3123(z21)(z21.4318z+1)+39.8451(z21.4318z+1)239.8451(z21.4318z+1)2=47.1574z4123.1384z3+159.3747z2105.0625z+34.532839.8451(z42.8636z3+4.0501z22.8636z+1)=z42.6112z3+3.3796z22.2279z+0.73230.8449z42.4196z3+3.4221z22.4196z+0.8449
    以上是设计得到的巴特沃斯数字高通滤波器,利用Matlab可以验算结果,和公式计算的基本一致。

    Matlab命令:
    fst1 = 10; fst2 = 15; fs = 100; [a,b]=butter(2,[fst1/(fs/2),fst2/(fs/2)],‘stop’)
    结果:
    a = [0.8006, -2.2926, 3.2425, -2.2926, 0.8006] % 分子多项式系数
    b = [1.0000, -2.5494, 3.2024, -2.0359, 0.6414] % 分母多项式系数

    5 参考资料

    参考链接:从模拟滤波器到数字滤波器
    数字信号处理公式变程序(四)——巴特沃斯滤波器(上)
    数字信号处理教程(超浓缩版)

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数字低通滤波器的指标归一化